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Ecole Centrale Paris - Cours de Mécanique I Mécanique des Structures - TD-2004-2005 1

TRAVAUX DIRIGES 2004-2005 Méca I :Mécanique des Structures

CORRIGES

TD 1 à 3


TD1 : Exercice A : Poutre Console (éléments de réduction)

On considère une poutre de longueur L, de section rectangulaire de hauteur 2h et de largeur b constituée d’un matériau de comportement élastique linéaire isotrope. Cette poutre est encastrée à une extrémité et soumise à l’autre extrémité à une force 2iF F−= . Les forces de volume et d’inertie sont supposées négligeables. On se

place dans le cadre des petites perturbations. La solution obtenue en MMC sous certaines hypothèses (en particulier loin des conditions aux limites) est la suivante :

)122111 iii(iii ⊗+⊗τ+⊗σ=σ avec )xL(ax 12 −=σ et )hx(2a 22

2 −=τ où a est une constante.

1-a. Vérifier les conditions les conditions aux limites locales sur les faces perpendiculaires à i2 et i3. Justifier alors la forme du tenseur des contraintes (termes nuls). 1-b. Calculer les résultantes dans une section repérée par x1. En déduire la constante a en fonction de F. 1-c. Ecrire l’équilibre de la poutre. Calculer les réactions à l’encastrement. 1-d. Déterminer les éléments de réduction en toute section, par la méthode des coupures. 2- On considère la même poutre, mais soumise à une force linéique f = -f i2. La théorie des poutres permet de déterminer le tenseur des contraintes suivant (valable loin des conditions aux limites) :

)ts 122111 iii(iii ⊗+⊗+⊗=σ avec 2123)xL(x

bh4

f3 −−=σ et )hx(bh4

)xL(f3 2223

1 −−

=τ

2-a. Reprendre la question 1.a. Discuter des résultats en fonction de L/h. 2-b. Calculer les réactions à l’encastrement. Déterminer les éléments de réduction en toute section définie par x1, en considérant l’équilibre d’un tronçon de poutre de longueur dx1.

Exercice B : Appareillage de radiographie mobile (poutre courbe, éléments de réduction) On étudie un appareillage de radiographie mobile permettant d’amener les outils de diagnostic jusqu’au patient. La partie spécifique à la méthode d’analyse radiographique peut être modélisée comme une poutre de ligne moyenne courbe de rayon constant R, de longueur πR/2, de section rectangulaire de hauteur h et de largeur b. On néglige le poids propre de la poutre. Elle est encastrée à une extrémité et soumise à l’autre extrémité, à un torseur

d’efforts { }T C F=r r, supposé connu :

−

0

F

0

Fet

C

0

0

C 2

3

rr.

rF

rC

R

O x

y

e1

e2

b

h


1 - Déterminer les actions de liaison. 2- Calculer les éléments de réduction en tout point de la poutre.


Exercice C :Ressort Hélicoïdal On considère un ressort hélicoïdal constitué d’un fil de diamètre d enroulé sur un rayon R avec un angle i. Ce ressort est soumis à un effort de traction de résultante F.

1- En utilisant une méthode globale, déterminer les éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs en toute section.

2- Retrouver ces résultats en intégrant les équations d’équilibre local de la théorie des poutres


Eléments de solution Exercice A : 1-a . les conditions aux limites en x2=h σ(i2) =0 σ (-i2)=0 en x2=-h en x3=+/-b σ (+/-i3)=0 « Avec les mains »l : les termes nuls : si3 =0 conditions de contraintes planes ; facettes perpendiculaires a i3 non chargées (cf conditions aux limites) , épaisseur faible => peu de variation entre des valeurs nulles donc tout est (supposé et vérifié) nul . σ22 : idem σ12 : les conditions aux limites sur les faces perpendiculaires à i2 le prévoit nul , mais la face du bout est chargée en cisaillement : l’équilibre nécessite qu’il ne soit donc pas nul (σ 12 et σ 21, ou écrire l’équilibre local sur i1) Quant à σ11 on ne peut rien dire en ce qui concerne ses valeurs locales. 1-b. pour ce qui est du global :

∫ =σS

11 0dS 3

3

S12 bh

F23aFabh

32dS =⇒−=−=σ∫ ∫ −−=σ

S1112 )xL(FdSx et les autres nuls

1-c. Les efforts sont dans le plan , donc 3 réactions : V1=0 V2-F=0 C3-Fl=0 tout est déterminable par les équations d’équilibre donc le système est isostatique. 1-d. coupure en x1 :

∑∑∑∑ +==>=++L

1x

L

1x

1x

0

1x

0actionsRéactionsréduction_de_éléments0réduction_de_élémentsactionsRéactions

sollicitation dans le plan : 3 éléments de réduction : N=0 T=-F et M=-F(L-x1): à comparer avec les résultantes (torseur des efforts intérieurs) on pourra rajouter les évolutions graphiques de M et T, comme celles des composantes de σ. 2-a. le problème se pose pour σ22 : conditions aux limites en x2=h σ22=-f/b on compare cette valeur au max de maxσ11=3fL2/4bh2 en (L/h)2 et max σ12=3fL/4bh, en L/h : pour les poutres L>>h, donc on néglige σ22. 2-b. équilibre d ‘un petit tronçon :

équilibre en force : dT/dx1=f équilibre en moment : dM +Tdx1 +dT dx1 -f/2(dx1)2=0 on néglige le second ordre => dM/dx1=-T T=fx1+b T(L)=-F => T(x1)= -f(L- x1) M(x1)=-1/2f(L- x1)2 +c et M(L)=0 donc M(x1)=-f/2(L-x1)2 On pourra noter qu’en particulier s11 s’exprime très facilement à partir de M (comme on le verra à la séance prochaine): σ11=M(x1)x2/I3 Et que M se calcule facilement , donc on obtient des infos sur les contraintes à bien moindre frais qu’en MMC (au prix de quelques approximations) ! Exercice B : 1 - On appelle H1 , V2 et ′C3 les réactions de l’encastrement (ie les efforts exercés par l’encastrement sur la

poutre). Le problème est isostatique (3 inconnues, 3 équations).


Equilibre des forces :

HV F

C C F R

HV F

C C F R

1

2 2

3 3 2

1

2 2

3 3 2

0 00

0

0− =− =+ ′ + =

⇒=

=′ = − −

2 - Soient N, T et M l’effort normal, l’effort tranchant et le moment de flexion d’axe 3. On peut par exemple considérer que N est la projection sur

rt des efforts à droite de ( )1zG et que T est la

projection sur rn des efforts à droite de ( )G ζ :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

θ−−′−=

θ−=θ−θ−==

θ=θ+θ−==

cos1RVCM

sinVesinecoseVneVT

cosVecosesineVteVN

23

2212222

2212222rrrrr

rrrr

( )

( )( )

θ+=

θ=

θ−=

cosRFCM

sinFT

cosFN

23

2

2

F2

C3

R

O x1

x2

e1

e2 θ

1

V2

ζ

G

Z1

Z2

on peut faire de même avec les équations d’équilibre.

Exercice C : 1-Equilibre du tronçon de ressort dans la base globale xR,yR,zR :

{ } 0=

∧−+

GRR

RG

yFzR

yFC

En projection sur la base locale (repère tangent à l’hélice) x,y,z :

{ }G

GyiRFxiRF

yiFxiFC

+−−−

=sincos

cossin

A priori, travail en traction, cisaillement torsion et flexion.

Typiquement i=6°,alors { }G

GxRF

yFC

−−

= si on néglige le cisaillement, torsion : { }G

G xRFC

−

=0

2-Equations locales :


=∧+

=

0

0

RM

R

yds

ddsd

,d’où :

=−

−=

0cos R

R

xiFds

dzF

MR

or xkds

yd 1−=

−=−=

−=

xikFxRikFM

FzR

cos)0()cos()( θθ


TD2 : Exercice A : Pont roulant (flexion 3points) On souhaite dimensionner la poutre porteuse d’un pont roulant permettant de déplacer des masses allant jusqu’à 10 tonnes. La longueur de la poutre est de 10m. L’acier choisi pour la construction de cette poutre a une limite d’élasticité en traction uniaxiale de 300MPa, un module de Young de 200GPa. Pour le dimensionnement, on s’intéresse au cas de charge le plus défavorable, c’est-à-dire lorsque la charge se situe au milieu de la travée. On néglige le poids de la poutre.

1- Calculer les charges que devront supporter les appuis A et B. Déterminer et tracer les éléments de réduction

sur la longueur de la travée. 2- On suppose que seul le moment de flexion engendre la déformée. Montrer que la flèche varie en raison

inverse du cube de la hauteur dans le cas d’une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Pour des raisons de précision de manœuvre, la flèche maximale doit rester inférieure à 1cm. Calculer la hauteur que doit avoir la section de la poutre lorsque h/b=2.

3- Montrer que la valeur maximale de la contrainte normale de flexion, σ11 est inversement proportionnelle au carré de la hauteur dans le cas de la section rectangulaire. Calculer sa valeur maximale pour la géométrie déterminée à la question précédente.

4- On pourrait montrer par quelques études simples d’équilibre que la contrainte moyenne de cisaillement dans une section rectangulaire s’exprime de la façon suivante :

−=σ 2

2x2

4h

3IT

12 où I3 est le moment d’inertie d’une section par rapport à l’axe x3, T l’effort tranchant.

Calculer le rapport des valeurs maximales de la contrainte de cisaillement et de la contrainte. Justifier le fait que l’on considère souvent ce type de problème comme uniaxial en termes d’état de contraintes. Vérifier alors que le dimensionnement effectué à la question précédente ne risque pas de produire une déformation irréversible de la poutre. 5- Calculer la masse de la poutre(ρ(acier)=7800kg/m3). Sachant que la flèche d’une poutre soumise à un effort

linéique f est :

3

4

EI384fl5

u = , que pensez-vous de votre dimensionnement précédent ?

6- On souhaite réduire cette masse tout en conservant la même rigidité de flexion. Proposer des solutions. Calculer la hauteur h’ d’une poutre en I de section constante, de largeur b’=h’/2 et d’épaisseur e=h’/20 présentant la rigidité de flexion calculée précédemment. Recalculer la valeur maximale de la contrainte normale de flexion, et la masse. Exercice B : Essieu de TGV (Flexion 4 points) Un essieu de Train à Grande Vitesse peut en première approximation se représenter par une poutre de section circulaire posée sur deux appuis (les roues) distants de L1 et supportant deux charges concentrées s’appliquant à chaque bout de la poutre de longueur L2, le tout conduisant à un problème symétrique (c’est la géométrie de la flexion 4 points, essai mécanique largement utilisé pour caractériser les matériaux fragiles : béton, verre, céramique), au même titre que l’essai de flexion 3 points traité dans l’exercice précédent). 1- Déterminer les inconnues de liaison et les éléments de réduction. Tracer l’évolution du moment fléchissant et

de l’effort tranchant.

F

A B

L

E,I3

x2

x1


2- En réfléchissant à la définition de la contrainte de cisaillement, déterminer la principale différence entre les flexions 3 et 4 points. Déterminer les endroits les plus sollicités.

3- Actuellement seul l’Eurostar possède des essieux creux. Pourquoi jusqu’à présent cette solution n’avait pas été adoptée ? On pourra, pour répondre à cette question, se rappeler des mécanismes conduisant à la rupture par fatigue. On note par ailleurs que le contrôle non destructif par ultra-sons est maintenant bien maîtrisé.


Eléments de solution Exercice A :

1- équilibre des forces : projection sur x : HA + HB =0 , la géométrie montre HA=HB=0

projection sur y : VA + VB - F=0 ( dépendant du choix d‘orientation de vos réactions)

équilibre des moments sur z /A : FL/2 - VB L=0

ð VA=VB= FL/2

2- calcul des éléments de réduction :

Effort normal N=0

Effort tranchant T si x<L/2 T(x)= -F/2 si 2/Lx ≥ 2/F)x(T =

Moment fléchissant : si x<L/2 M(x) = -F (L/2 -x) + F/2 (L-x)=Fx/2 si 2/Lx ≥ M(x)= F/2 (L-x)

(Vérifier T=- dM/dx donné par les équations d’équilibre.)

3- Calcul de la flèche :

d2uy/ds2 = M/EI3 et u(0)=0=u(L) u-(L/2)=u+(L/2) et u’-(L/2)=u’+(L/2) (=0 par symétrie)

=> x<L/2 EI3u-(x) = Fx3/12 - FL2 x/16

et x≥ L/2 EI3u+(x)= F(L-x)3/12 + FL2x/16 - FL3/16

Valeur absolue de la flèche maximale en L/2 |u|=FL3/48EIz = FL3/4Ebh3

calcul de h tel que u=1cm : I3 = bh3/12=h4/24

h=39.76cm

calcul de la contrainte normale max : σ11= -M 3x2/I3 max de σ11 = FL/4I3 h/2 = 3/2 FL/bh2=47.7MPa

4- Comparaison contrainte normale et de cisaillement :

Quelque soit la section, Max (valeur absolue) de σ12= F/2I3 h2/4

Le rapport σ13max/σ11max=h/L, => pour des poutres où par définition h/L<<1, on néglige souvent le

cisaillement, et on considère le problème uniaxial pour le dimensionnement de matériaux homogènes (c’est l

endroit où σ est max qui est en général dimensionnant).

Attention, négliger les contraintes de cisaillement dans le dimensionnement en contrainte n’impliquent pas qu’on

peut les négliger pour tout : les contraintes de cisaillement existent et jouent leur rôle (pb de délaminage dans les

composites et tout pb de collage. On peut réfléchir à la rigidité à la flexion d’un tas de poutres superposées et à

celle d’une seule poutre de la hauteur du tas : elle diminue en nombre de poutres au carré).

On ne les néglige pas dans le calcul des flèches de poutres sandwichs pour lesquelles la rigidité de l’âme est très

faible devant celle des plaques extrêmes.

Elles peuvent aussi être très élevées dans le cas des sections minces où la surface de reprise d ‘effort est faible (cf

la suite de l’exo).

T

xL/2

M

xL/2

FL/4F/2

-F/2


σ11 < à la limite d’élasticité en traction => pas de plasticité

5- calcul de la masse : M= 6166 kg

flèche due au poids propre : up=5ρgS L4/(384 EI3) = 4 10-3 m

réduire la masse à rigidité constante : éloigner la matière de l’axe de gravité x3 pour augmenter I3 : caisson, I, H …

section en I , en négligeant e devant h’: I3= eh’3/12 + 2 (h’/2)2 eh’/2= h’4/60

h’4/60 = h4/24 => h’=50cm

nouvelle masse = 1950kg (3 x moins a rajouter sur le dimensionnement des supports et les problèmes de flèche

sous poids propre ) et max de σ11 = FL/4I3 h/2 = 60MPa

(contrainte maximale de cisaillement dans l’âme : 9MPa … est-ce utile d’en parler ?)

Exercice B :

1- VA+VB-F=0 -F/4(L2-L1)-F(L1+L2)/4+VBL2=0 => VA=VB=F/2

2/)LL(x0 211 −≤≤ T=-F/2 M=Fx1/2

2/)LL(x2/)LL( 21112 +≤≤− T=0 M=F(L2-L1)/4

2121 Lx2/)LL( ≤≤+ T=F/2 M=F(L2-x1)/2

2- entre les deux points d ‘application des efforts on est en flexion pure T=0 : sans cisaillement : véritable

sollicitation uniaxiale (loin des points d application des efforts).

3- Calcul des contraintes maxi : entre les deux points d application des efforts : en +/-R/2 .le cœur de l’axe ne

travaille pratiquement pas => axe creux mais….

4- Les fissures de fatigue apparaissent en surface ( mécanisme d’intrusion extrusion de matière due à des

glissements localisés) : les surfaces des essieux sont régulièrement contrôlées.

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3

hauteur

con

trai

nte

cisaillement

normale


TD3: Exercice A : Modèle simplifié de pont Incidence d’une dénivellation d’appui accidentelle (Poutre continue élastique sous 3 appuis)

On se propose d’étudier l’incidence d’une dénivellation d’appui accidentelle sur un pont. La structure est modélisée par la poutre droite de la figure ci-dessus.

Partie 1 La poutre droite AB étudiée a pour longueur 2L. Elle est placée selon l’axe Ox d’un repère cartésien orthonormé : les abscisses A et B ont respectivement pour abscisse : Lx , Lx BA =−= . L’appui intermédiaire C a pour abscisse 10 avec Lx C ≤α≤α= . La section de cette poutre est constante et admet le plan Oxy comme plan de symétrie. Le chargement actif est représenté par une densité linéique de force ( ) 0p,pxf >−= ey . Les appuis A, B et C sont simples, unilatéraux, n’exerçant donc en ces points que des réactions que l’on notera yA eR AR= ,

yB eR BR= , yC eR Y= avec 0Y 0,R 0,R BA ≥≥≥ .

1.1. Déterminer les valeurs des réactions d’appui en fonction de p et de la réaction Y d’appui en C. Préciser le domaine de variation de l’inconnue hyperstatique Y par les conditions de liaison du problème. 1.2. Donner en fonction de p et Y l’expression de toutes les distributions de torseurs d’efforts intérieurs.

Partie 2 On suppose l’appui intermédiaire C situé en O (α=0). On désigne par I le moment d’inertie de la section constante de cette poutre par rapport à son axe principal d’inertie ze . Le matériau constitutif est homogène, isotrope, linéairement élastique, de module d’Young E. 2.1. On suppose les 3 appuis situés au même niveau à la cote y=0. Déterminer la valeur de réactions d’appuis et la distribution de torseurs d’efforts intérieurs. 2.2. On suppose l’appui en C légèrement dénivelé vers le bas : sa cote est v<0 ( Lv << ). Cet appui n’est donc

pas au contact de la poutre dans son état initial non chargé. Déterminer, en fonction de v, la valeur des réactions d’appuis et la distribution du torseur d’efforts intérieurs. 2.3. Avec des valeurs significatives pour un tablier de pont : E=4.104 MPa, I=6 m4, L=30 m, p=2.105 N/m, déterminer la valeur du tassement v tel que l’appui C ne soit plus au contact de la poutre dans son état chargé.

C

αL

BAx

yL

O

p

L


Exercice B : Matrices de flexibilité et de rigidité pour une poutre encastrée. Application à un assemblage de poutres

y

l

A

B

x

F

C

y

l

A

B

x

F

C

ωB

vB

Partie 1 1.Une poutre droite AB de longueur l (module d’ Young E, Inertie I) encastrée en A , est soumise en son extrémité B à une force F et un couple C. Calculer la flèche vB et la rotation ωB en B, en fonction de F et C, en négligeant l’influence de l’effort tranchant sur la flèche. 2. En déduire la matrice de flexibilité L de la poutre AB encastrée en A, qui lie vB et ωB à F et C, puis la matrice de rigidité K qui lie F et C à vB et ωB.

Partie 2

y

l

AB

x

F1

C1

B’A’

On considère maintenant l’assemblage de deux poutres AB (l,E,I) et A’B’(l,E’,I’), encastrées en A et A’ au même massif et en B et B’ à une barre rigide. Cette barre est soumise à une force verticale F1 et à un couple C1. En supposant que les poutres ne travaillent qu’en flexion (rigidités de AB et A’B’ à la traction –compression grandes devant leur rigidité à la flexion), calculer le déplacement vertical v1 et la rotation ω1 de la barre BB’. (On pourra calculer la matrice de rigidité K1de l’ensemble AB,A’B’).


CORRECTION EXERCICE A

1.1. Equilibre : ( )

( )( )

α+−=α−−=

⇔

=−α++=−++

21YpLR21YpLR

0pL2LY 1LR20Lp2YRR

B

A

2B

BA

Domaine de variation de Y : avec 0Yet 0R , 0R BA ≥≥≥ on obtient ( )α+≤≤ 1pL2Y0 (la valeur

( )α+1pL2 correspond au cas isostatique avec liaison en B rompue).

1.2. Equations de la statique :

=+

=−

=

0

0

0

Vdx

dM

pdxdVdxdN

avec ( )( )

=−−=−

=−

0

0)(

LM

RLVLN

A et ( )( )

===

0

0)(

LM

RLVLN

B

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

α+−−

−=

α≠α+−==

≤≤α

α−+−

−=

α≠α−+==

α≤≤−

21

xLY2

xLpxM

Lx 21YpxxV0 xN

LxL

21

xLY2

xLpxM

Lx 21YpxxV0 xN

LxL2222

On vérifie que l’on a bien ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

α=α

=+α−α−+

−+

LMLM

0YLVLV

2.1. On a maintenant : 2YpLRR BA −==

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

−−

−=

−==

≤≤

+−

−=

+==

≤≤−

22

20

0

22

20

02222 xL

YxL

pxM

YpxxVxN

x

xLY

xLpxM

YpxxVxN

xL

L

Résolution par équation différentielle :

0

C

αL

BA

x

yL

p

LRA RBY


( ) ( ) ( )

=

=

=

−−

−=

≤≤

=

=

=−

+−

−=

≤≤−

0)0(

)0()0(

0)(22

0

0)0(

)0()0(

0)(22

0

2

21

2

22

2

2

21

1

22

21

2

uds

dudsdu

Lu

xLY

xLp

dsud

EI

x

uds

dudsdu

Lu

xLY

xLp

dsud

EI

xL

L

en tout : 4 constantes d’intégration +Y=5 conditions aux limites ::fleches nulles en 0 et L et raccord des pentes

en 0

0624

5:0)(

0;0)0(

0)(

124244

4262

0

34

1

1

1

32422

1

2321

=−−=−

==

=−

++

+−

−=

+

+−

−=

≤≤−

ALL

YpL

Lu

donneBu

Lu

BAxxLx

YxxL

pEIu

AxLx

YxxL

pdsdu

EI

xL

':)0()0(

0'624

5:0)(

0';0)0(

''124244

'4262

0

21

34

2

2

32422

2

232

AAdsdu

dsdu

LAL

YpL

Lu

donneBu

BxAxLx

YxxL

pEIu

AxLx

YxxL

pds

duEI

xLI

é

==

=+−=

==

++

−−

−=

+

−−

−=

≤≤−


Finalement :

0624

5 34

=+−EI

YLEI

pLet A=A’=0

Noter la tangente horizontale en C(symétrie structure ET chargement)

D’où 45 pLY = et 83 pLRR BA == et le torseur des efforts intérieurs d’après les expressions ci-

dessus.

2.2. Si la liaison est établie en C entre la poutre et l’appui intermédiaire dénivelé, la valeur Y de la réaction

d’appui est telle que, en considérant la poutre AB appuyée en A et B seulement soumise au chargement

constitué de la densité linéique uniforme yep− et d’une force yeY appliquée en O, le déplacement u1(0)=u2(0)

du point O est égal à la cote v de l’appui ;On peut reprendre les solutions précédentes avec B=B’=v :Par

exemple :

334

1 6450624

5:0)( LEIvpLYEIv

LY

pLLu +=⇒=+−=−

interpréter :valeur de Y qui ramène la flèche due au poids propre à 0 + valeur de la réaction de deux

consoles de longueur L aboutissant en C dont on a déplacé l’extrémité de v.

Le résultat n’est valable que si le contact est effectivement établi en C : pLY 20 ≤≤ d’où la

condition : EIpLv 245 4−≥ .

On obtient les réactions d’appui et le torseur des efforts intérieurs d’après les expressions ci-dessus.

Pour EIpLv 245 4−< , la liaison ne s’établit pas et les réactions d’appui et le torseur des efforts intérieurs

sont déterminés dans la poutre isostatique AB (même expressions avec Y=0) :

plRR BA == et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LxL 2

xLpxM ,pxxV , 0 xN 22

≤≤−−===

2.3. On trouve qu’il suffit d’un tassement de 14 cm pour annuler la réaction au droit de l’appui C.


EXERCICE B Partie1

y

l

A

B

x

F

CVA

CA

Equations d’équilibre :

F+VA=0 CA+Fl+C=0

Eléments de réduction : T=F, M=F(l-x)+C Equation différentielle de la flèche :

EI2Cl

EI3Fllvv00v

2xC

6x

2xlFEIv

EICl

EI2Fl

lv0)0v'(Cx2x

lxFvEI

CxlFvEI

23

B

232

2

B

2

+===+−=

+===+−=′

+−=′′

)()(;)(

)(';)(

)(

;

; ω

D’où la matrice de flexibilité :

=

=

l2l

2l

3l

EI1

LC

FL

v2

23

B

B avec,ω

Et par inversion la matrice de rigidité :

−

−== −

lEI4

lEI6

lEI6

lEI12

LK2

231


Partie 2

y

l

AB

x

F1

C1

B’

A’ C’

C

F,F’

Soient F (resp. F’) ,C (resp. C’)les forces et couples exercés par la barre sur B (resp.B’). L’équilibre de la barre s’écrit : F1=F+F’ C1=C+C’ La barre rigide impose les conditions cinématiques : vB=v B’=v1

ωB=ωB’=ω1 D’où :

′′+′′+−

′′+−

′′+

=+=

lIEEI4

lIEEI6

lIEEI6

lIEEI12

KKKv

KCF

2

23

11

1

1

1

)()(

)()(

',' :où ω

Commentez si vous avez le temps : exo méca géné, bilame,poutre composite… On peut calculer la flèche sous l’effet de la masse de la barre en négligeant le poids propre des poutres :

V=Mgl3/3(EI+E’I’)

TRAVAUX DIRIGES 2004-2005 Méca I :Mécanique des · PDF fileExercice A : Poutre...

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