Travail Energie Cours

22
Travail et énergie A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 196 1 / : (travail et puissance) : (puissance) : M v R . F M ! " : ) 1.6 ( : : ! F & t M " M () OM r = & t dt + M " ' M () OM' r dr = + ! * + : ) 2.6 ( . dW P dt = , : ' ' . OM OM MM dr v dt = = = ! - )+ F ./ !0 !1 d : ) 3.6 ( dW = F.dr & 2 + ! 1 3 4 . ) 4.6 ( . .cos dW F dr = 1 3 : .cos T F F = . ) dr ds = + !& 5& !/ : ) 5.6 ( . T dW F ds = VI / &’’’()’’’*’’’+, - .’’’/’’’0’’’+, TRAVAIL ET ENERGIE A B r F T F M T v O ' M C !4 1.6 . -1 watt(W) P N F P Fv m.s v =

Transcript of Travail Energie Cours

Page 1: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

196

1/������� � � ��:(travail et puissance)

��������:(puissance)

������:����M���� �� �� ���� v����� ������ R.��������� ����� F

���� ���� ��� �M������� �� � !� �" :

)1.6(

�� ��:������:����� !��F

��� &�� ��� t���� �� '�� ���� ������ M�" M������ (�) OM r=

����� ��� &�� � 't dt+���� �� 'M�" 'M

������ (�)OM' r dr= +����� � �!����� *�� ����� � ���� �+ ':

)2.6(.dW P dt=

��� � ���� ���� , :' ' .OM OM MM dr v dt− = = =

������ ����� ������ � �

����� !�� ���� -���� �)�+ �F�

./���� !����0� !�1 �� d�:)3.6(dW = F.dr

� �

� ��& 2� � �+ !���� �1 � 3������4.)4.6(. .cosdW F dr θ=

� �

�1 � 3�:.cos TF Fθ =.��� �)�dr ds=��+ � !��&� � � � ���� 5&� !/ � :

)5.6 (.TdW F ds=

VI/&و ا+ـــ*ـــ()ـــ ا+ـــ0ـــ/ـــ.TRAVAIL ET ENERGIE

ABr� θ

F�

TF�

M T�v�

O

'M

C

!�4��1.6

.-1

watt(W) P N F P F v

m.s v

←← =

� �

Page 2: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

197

���� �1 .1!����0� 5 �� 6"� ����� ���� �" ./���� !����0� 2� � .��� !.�� �&� !����� !�� ��A)�� &�� �"At(5��B)�� &�� �"Bt(!�� 5&�

5� ����C�� �� !���� !�4 5&� �&��� !���� ���� 5&� !/ � ':

)6.6(

������ ���� 7� �/���� ��� �� �"F�5&� !���� 8���� 9���:�� � 4�� ����;

�<" 8���� �� :)7.6(

�=���� !����0� 5&� �� ����� =���� �+ !��� 0 ����)/ 2θ π=. (��� �:!�4�� 5&� !;���� 8���2.6 .��� 5&� !���� �+ � ����; =�> ���? ���� ��"1.

P�

F�

f�

N�

θC

v�

NF�

+

����s��� !����� 8:����� !�� F�:. .cosFW F s θ=�

�������� ����� !�� :f�

.fW f s= −�

!�;�� !�� P�:0PW =�

�������� ����� !�� N�:0NW =���

��� �� ��@� �� �� �� �" �������� ����� !�� ����)!�4��3.6.(

. .B B

TA A

W F dr F ds= =∫ ∫� �

. .B B

TA A

F F W F ds F ds W F s= ⇒ = = ⇔ =∫ ∫

Page 3: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

198

�(��� �)�, ,x y zF F F���&� �&������ (������ �+ F��, ,dx dy dz(������

./���� !����:� A��4� �&������dr ��<" :

)8.6(

���� ��� ����:=�> � �� ����� 8��� ��� �)�1 2 3, , ........ ,nF F F F� � � ����&/ �

RF��+ =���� 9)+ !� !�> �� B����� !���� �<" :

)9.6(1 2 3

1 2 3

..............

. . . .......... .

.

n

n

R

dW dW dW dW dW

dW F dr F dr F dr F dr

dW F dr

= + + + +

= + + + +

=

� � � �� � � �� �

��� 1.6:!�4�� �" ��� ����>�4 (�;� C��� � ��� 8B3�� !���� , 1)4.6 (� ���3cm*���� (��; �1 ��&� A�� .1 �� � 150 .k N m−=.�����:

2

02

1. .2

2.25.10

x

F kx dW kx dx W k x

W J−

= → = ⇒ =

=

��� .62:��>2 ( )F t N=���&�� ���� 5&� ;D� 2kg.!�> �� B����� !���� , 1��� ��� �" ���� (��� ������ �1 ��&� 5��?� ����;�� !3� ����� 9)+.

�����:!���� ���� �� 6&��� :.W F dx= ∫

!����0� E�� � ��B�� ��0 � �"�� ����� �1 �F .�� ������ �� � 0 �)� ���B�� ��0 � !����0� .��B�� ��0 � ���� 0�1 , �:

12

0

12 2. . )2

-1dv tF=ma F=m t v dt v t (m.sdt m

⇔ = ⇒ = ⇒ =∫�� ��

��B�� ��0 � ./���� !����0� �� G��� �H� �:

F�

T�

+!�4��4.6

. ( . . . )B B

x y zA A

W F dr F dx F dy F dz= = + +∫ ∫� �

Page 4: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

199

2 21 12 2

dxv t dx t dtdt

= = ⇒ =

� ��� C��� � !���� ���� 5�dx����� ��&/�� ���� ������� :1

2 4

0 0

1 1. 2 .2 4

x

W F dx t t dt W t W=0.25J= = ⇒ =∫ ∫

��� 3.6:���&� ���� ����22F xyi x j= +� � �.����� !�> �� B����� !���� , 1F

���� �� !���� �� �� ��(0,0)������ 5� (2,0)� ��� !�� 5&� OX.

�����:� �&� B��� I&� 6"� !���� ������ �1 � 3� (������� !3� ��OX��� ����

0 0y dy= ⇒ =.���� !�� B����� !���� ,� ���� ��; �� �:

2( . . ) (2 .0. .0) 0x yW F dx F dy x dx x W= + = + ⇒ =∫ ∫

!����:� A��4 5&� �� ��� ����� �? ����� ��� �)+ �:2.

0.

F x jF dr W

dr dx i=

⇒ ⊥ ⇒ ==

� � ���

2/������ �����:(énergie cinétique)

�1 ���� ���1 TdW F ds=.����&� �� J����� ������ ������ 9)+ �� �>3:)10.6(

./���� !���� ���� !����:)11.6(

7� av������ �" I ���� �� A�Bv������ �" I ���� �� B.������:���&�� �� �� ����� ��� �� �>���� m��� &�� ���� � 4 �v�+

������:

.Tdv dsdW F ds m ds dW m dv dW mvdvdt dt

= = ⇒ = ⇒ =

2 21 12 2

B

B AA

W m vdv W mv mv= ⇒ = −∫

Page 5: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

200

)12.6 (212cE mv=

�1 ��� �p mv=����� ���� :

)13.6 (2

2cpEm

=

������� ����� ��� !:(théorème de l’énergie cinétique)

"!�:"=���� �&/ � !�� .��� ���� � ��� �� �� ����� ��� �� �>���� �" �L���������� ���&� ����&� ����� &�� ".

)14.6 (c i ci

W E W E= ∆ ⇔ = ∆∑

��� .64:��@� ��:� ���� �+ ��0v8�� 5��� ���� 5&�?� � � ����>�4 ������� ����� ��&� M&�� ���hNC?� O� 6�" )���� !����(����� 0.(

���:*&�; �+ 8��� ��� ���� ���� � � ��� �����P�:

zh

Z0v =

0v�P�

RرضBا

X

( )M t

O

0 0 2. TmMP m g GR

= =

2TmMP mg G

z= =

2 2

02 20 0

P g R Rg g ; g=-g.kP g z z

= = ⇒ =��

z

��� �� �>���� ���� 6��� :cW E= ∆

2 20

1 1 . .2 2

R h R h

R R

mv mv P dz = mg dz + +

− = ∫ ∫� �� �

� 5/>1 M&�� 8��� ��� *� �&0v =:

Page 6: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

201

22 2

0 0 02

2 00 0 0

1 10 . .2

2 .1.

R hR h

RR

R h

R

Rmv m g dz g Rz z

g R hv g R vz R h

++

+

− = − = − −

= − ⇒ = +

3/� ��#� $� � $ �#�% � ��#� �� � &��:)les forces conservatives ou dérivant d’un potentiel(

������:)� ���� �� ���4� ��> �1 ��"� � ���1 ��> �� !��� 3��� ��&�� ��� ���� � 63��0� ���� ��� !�� ��� !����0� ��� ���� ������ I&��� ��

!�/���.����� ��� �)�C�<" ��&L� :

)15.6(

�#�� ��� :7� ��B���� (��;� � �&�� �"OZ5&�?� � � *����� !�>�4�� �+ �<" )16.6(

��B������ (��;� 0�� ./���� !����0� ���� !������

. . .dr dx i dy j dz k= + +�� ��

J����� ���� :.dW F dr mgdz= = −� �

������ ��� !����� !�1 �� !���� �1 =� �� ����� 9)+ �&�����A

�B��" ��+�&�� ���� � ������ I&���� 6&��� 0:2

1

2 1 1 2( ) ( )z

z

W mgdz W mg z z W mg z z= − ⇒ = − − ⇒ = −∫

! � ��� 8� �� !�;�� !�> �� B����� !���� �<" .����� EP� �" �������� (��� �)���"� � ��> !�;�� �1 5&�.1 2 0z z W= ⇒ =

��"� � ��> !�;�� �1 ��� ���� �)�+ �.

0 0C

C , W= F.dr W∀ = ⇔ =∫� ��

P F mgk= = −�� �

Z

Ok�

P�

g�

.EF+6.6ا

Page 7: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

202

��� 5.6:������ !���2 2( ). 3 .F x y i xy j= − +� � ������� �� (0,0)A������ 5��

(2,4)B�� �� !� 6"� ����2y x=�2y x=.N ��"� � ����� 9)+ !+ �����:��' (�� � )&� 2y x=:

2 2

2 2

2 22 30

0

2 3 . 6 .2 . . . 2 .

. ( . . ) ( 3 . 12 )

9 3 ;

x y

y x F x i x jdy dx ; dr=dx i dy j dr=dx i dx j

W F dr F dx F dy x dx x dx

W x dx x W=24J

= ⇒ = − += + ⇒ +

= = + = − +

= =

∫ ∫ ∫

� � �� � � �� �

� �

*!��� (�� � )&�:2y x=:2 2 4 3

2 4 4

222 4 5 3

00

( ). 3 .2 . . . 2 .

. ( . ). ( ) 6

1( 5 )3

x y

y x F x x i x jdy xdx ; dr=dx i dy j dr=dx i xdx j

W F dr F dx F dy x x dx x dx

W x x dx x x W=34.6J

= ⇒ = − += + ⇒ +

= = + = − +

= + = + ⇒

∫ ∫ ∫

� � �� � � �� �

� �

����� �<" *�&� � ������� �F �3����F��"� � �F ��� �� 9)+ �" �.

4/�! ��� �����:(énergie potentielle )

������:����> ��� !������ ���� 7� � '(��;� � ��� �+ ������� �>�������� ��&��� ����&� 8 ���� !���� .��� !�/��� � 63��0� �� ���)��D���

��� 5�� �@� ��0� ��������@����� ��.(��� �)�F��<" ���� �� ���4� ��> :

)17.6(

��� �>���� ���� � � ��� 9)�R�� ��� 5�� ��@� ����� ����)0pE =.(��� �>���� �������pE����� �"��� (��;� �"G�� .

�$�� ��+��*�,�-��! ��� ����� � � �� :(Relation entre différentielles du travail et de l’énergie potentielle)

.A B

B

p pA

W F dr E E= = −∫� �

Page 8: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

203

��� �� ������ �)�( )pE z mgz=�+ ��&��P� �<" :'( ) ( ). ( )p p pdE z E z dz dE z mgdz= ⇒ =

�1 !�;�� !�� ,� !�;�� ������� �" ���� ���1dW mgdz= −.������� �������������� 5�� !/� ����/����:

)18.6(

�.��� �! ��� �������#� ��#�:(énergie potentielle de quelques champs de force)

���,�' ���/���� 0 �! � �#�� *& � ���:(particule dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)

��� �)� z��� �>��&� � ��� )��D��� C?� O� �� ��� � ' �&��� �+ �<" ' �����+ C?� O�� ������ ����&� ������� �>����:

)19.6(pdE dW= − ⇒

'������ ��� ������ (&���� �)� ������ ��� �� �" �, � ������ ���� ��� ����� '������� �>���� �<"

������� :

������ �>���� �<" 6 1 �P/� ���@� �+ ��� ��� ������� ��� ������� �L� .

��!� ��#� ��,�1 � ���:(particule soumise à une force élastique)

*���� (��; ' C��� �" ���;� ������ (��� �)� kS�" �+ � *��� �0l�l*��� �&� ��� , � �&���� 9)�� ������� �>���� �<" ' ������� !� � �+�:

)20.6(2 21 102 2

0

. ( )x

p p pdE dW ; E kxdx E k x k l l= − = − − ⇒ = = −∫

pE mgz=

( ) ( )p pdW dE z dE z = -dW= − ⇔

1z

2z

A

B

(�)*+++++0pEا�/+++++.-ي ا� =

�� �7.6

21 2

2

0( )

01 p

p1 p

z z EE mg z z

z z E

> ⇒ >= −

< ⇒ <

Page 9: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

204

�$�����2� �#� *& � ���:( particule dans un champ électrostatique)

�������� !� �� �1 ������L������ E �" � �/�E����� �� 4 �� ������

Q� ���� �" � ������� O(��;� T� ( . )rOM r u=������ �������� ��� :

)21.6(

�� 4� ������q���&� ���� ���<" !� �� �)+ �" � ����� :

20

1 .. .4

Q qF qE urπε

= =� � �

������ (�) ������� �>���� �� ���4� ��������� ����� �1 �� 6� ��� !��� ��:

)22.6(

�� 4� ������� �>���� �<" ������ ��� �� �" �q���� �" ������ !� �" � ���� ( )M���� ������ 7� �+ ����( )V M��� �� �+ ( ) ( , , )p pE M E x y z=�������

!�4�� 5&�:

)23.6(

��2���� ��#! �#� *& � ���M:)particule dans un champ d‘un point de masse M(

��� �)�g gk= −���������� �������� �>���� ���� 5�� !/��� �������� !� �� ��

C?� ���� 8������ ���)���� !� �" � ������ ����&�:

)24.6(

0

1 ..4p

Q qErπε

=

0

0

1 ..4

.1 .

4

p

p

Q qEr

E qVQVr

πε

πε

=⇒ =

=

( ) 20

1 . .4M r

QE urπε

=� �

0

14

p

Q MmMq m E G

rG

πε

→→ ⇒ = −

→ −

Page 10: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

205

������ ����� ���� �@������ !� �� �� ��@� ���������)24.6 (!�4�� 5&�:

)25.6(

)26.6(

V:5�� ��+ B������)���� ��� ������ ���" ��� ���� ������ �" m.

5/�2! )�%� *�� �! ��� ����� $ ��+�! � &�� � ��#� �#� ����� :(expression du champ de force conservative à partir de l’énergie potentielle dont il dérive)

P�� �" �� 4 �� ������ �1 !����� ��&����� ��.cosF θ5 �� 6"� ����� ���� �+ !����0�ds��� ��� �)<" ' *�&� � U( , , )pE x y z���� 5&� !�/ �� ������ F

�6"� ���4��� ,� � I�) � ��� .1/pdE ds−5�� ���� ���+���:� ���4��� ��� &�pE.

�H� ,��� �1 ���� 6�� ��� ����:

)27.6(

�1 ��&�( , , )pE x y z,��� ��&��P� �<" (��L�� 73; (�) ��� �+ :

)28.6 (p p pp

E E EdE dx dy dz

x y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

�������� �������)27.6 ( �)28.6 ( ����&� ����� ���� ��B������ (��;� :� 5�� !/���( , , )pE x y z:

)29.6 (p p px y z

E E EF ; F ; F

x y z∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂

����� ���� �/��� ����� �:)30.6(p pF gradE E= − = −∇

������� �

���� $� ��,��� $3��! ���F�$� � $ �#�% 4�� 5

MV Gr

= −

.( . . . )

. . .

p

p x y z

x z

dW dE

dW F drdE F dx F dy F dz

dr dx i dy j dz kF F F F

= −

=⇒ = − + +

= + +

= + +

� ��� ��

� � � �

pE mV=

Page 11: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

206

��� �� ������ ()30.6 ( �1 �� �D��� ������" ��"� ��� =���� ��� �" ��� � ������ J � ��� pE� ��� 8� ��0 . V� ��� 8� �� ����F

�:

)31.6(( ) 0 0p pF gradE rotF rot gradE rotF= − ⇔ = − = ⇔ =������ ���� ���� ������ ����� �� � �

������ 5�� . V� ,� �� :( ) 0y yx xz zF FF FF FrotF )i-( )j+( k

z y z x y x∂ ∂∂ ∂∂ ∂= − − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

���� � �� � �

�P�� ����� �1 (�;�� ������� (0 ����� �� 6� �� �1 �)� F����� �� ���4� :

)32.6(

��� 6.6:��� $� �� $22pE x xy yz= − +.����� ���� ��1F���B������ (��;� :� �&�� �" .N ���� �� ���4� ����� !+

���:������ !3L��� I�) � ����� (���� �� 7 ��)29.6: (p p p

x y zE E E

F =-4x+y ; F =x-z ; F yx y z

∂ ∂ ∂= − = − = − = −

∂ ∂ ∂

�����4�� ������ �<" *�� ��+ ���&� :( .F 4x+y).i+(x-z).j-y k= −�� � �

�1 �� �H� 6� �� F������� �� ���4� ( , , )pE x y z.1 0rotF =

���� ��:1 1; 0 0; 1 1y yx x z zF FF F F F

y x z x y z∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + = + = ⇒ = = ⇒− = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

���� �� ���4� ����� !�P���.!������ � ����� �� �� (��� �)� ��������� ����;� :��θ6"� !����:� �<" '

���� �/� A��4�.��� d.��� . ����� !����:� �rdθ)!�4��8.6.(

y yx x z zF FF F F F ; ; y x z x y z

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Page 12: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

207

O

F�

F�

A

'Adr�

dr rdθ

C

θ1p p

rE E

F ; Fr rθ θ

∂ ∂= − = −

∂ ∂

. .rdr dr u rd u θθ= +� � �

(33.6)

�����8����� (���� ��+�� �� � ���� �1 ED� 0 ��P�� 9)+ :���!���' 7��������( , , )r zθ�+ ./���� !����:� 7�

. . .rdr dr u rd u dz kθθ= + +�� � �

)34.6(

������� 7��������( , , )r θ ϕ/���� !����:� 7� �+ .

. sin . .rdr dr u r d u rd uθ ϕϕ θ ϕ= + +� � � �

)35.6(

6/����!��� � �����:(énergie mécanique)

������:�>���� A���� .��� � � �� � �" �� �� ����� ����������� �>���� ������� �>���� � ��� ��:

)36.6(

+� $:�*���� (��; C��� �� ����� �&��� ����������� �>����k*������ �

0l l x− =�� &�� �" t���&�� ���� �;D� ( � m��� &�� ���� �v�+ :2 21 1

2 2ME mv kx= +

1; ;p p pr z

E E EF F F

r r zθ θ∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂

1 1; ;sin

p p pr

E E EF F F

r r rθ ϕθ θ ϕ∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂

( , , )M c p M c pE E E E E E x y z= + ⇔ = +

Page 13: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

208

�8� ��� ��� �" :212ME mv mgz= +

�����!��� � ����� �-�! ��� :(principe de la conservation de l’énergie mécanique)

��"� � ��> !� �")���� �� ���4��� .1 (��B�� !3� ���P � ����������� �>���� teC0+++++++1�2 : U M c p E E E= + te= C )37.6 (

8� �� �+�L� �1 .1 :0ME∆ =.��� ��� �� �>���� �L� �<" =�1 ����� �1 ������� �>���� �L�c pE E∆ = ∆.=�1 ����� �1 :���>�� �<" ��������� ���B�� �&���� (��� �)����P � ����������� .

=�> !���1 A���� .��� ����������� �>���� �" �L��� �<" (����� � ��� ��� �" I��� :�)frottW∑:(

)38.7 (M frottE W∆ =∑

��!� ��� �#� *& � ��� ����:(cas d’une particule dans un champ de force élastique)

!�4�� !;�� 9.6 �&�� 8� �� ������ ��������� �&�� ( )m*�&�� C���� 8 �&� *���� (��; � �&���( )kS�" �+� *��� �0( )l.

m

A��� ���� ���� 8��� �� � !� �" .F kx u= −� ��0x l l= −7� l!��

8��� !����� !3� �� �� � �" C�����.������ �� 8��� !����� ��A������ 5�� B����� ���� :

, , . . .B B B

c c B c A xA A A

E E E F dl F dx k x dx∆ = − = = = −∫ ∫ ∫��

)39.6 (2 21 1. .2 2c A B pE k x k x E∆ = − = −∆

�>���� ��P �� � �� , ,��� ����������� :

Page 14: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

209

2 2 2 2 te, ,

1 1 1 1. . . . C2 2 2 2M A M B A A B BE E k x m v k x m v= ⇔ + = + =

5&� �L��8��� � ��� ���"1 )x a= −(�� �>3���� ���� *�B��)0x =(8;��@� ��� �� �� � *�D4� *���.������� ��� ����� ������ �� � 8��� B���

��� ��x a= −�x a= +.!�4�� !;��10.6 ��0 � ������� �>���� (��L� ������C����� )0x l l= −.( ��&;�

��� �� �>���� (��L� ����� ��� !�4�� EP� 5&�.

xO a+a−

ME

XpE

cE

212 .k a

teME C=

pE cE

�� � !� �" �1 � 3� )40.6 (2

c1E ka2

tepE C+ = =

� ��� �>�� !�4 5&� *���� ����� �>�� !�4 5&� �&���� 9 ��P� �� E����O� /.

��� 7.6:��@� ��� ��� ' ��� I��0Av =���&�� '1m g=���� �� A��� �+�> �/� �� !�� �1,25R m=������ 5�� !/�� B��� ' 14Bv ms−=.

)!�4��11.6.((�;1=���� 9)+ !�� > � I��� � =��� ���� ����� 9)+ �1 .)�D�210g ms−=.

Page 15: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

210

A

B

CR

m ( ) ( ) 0p pE A E C= =O

���:����������� �>���� ��P �� 1 � 6��� :�7������� 8��9 *&:2 11

20 0 5M B BE mv mgR v ms−∆ = ⇒ − = ⇒ =

3��������� ��� 4 �� ��1 ��&� ������ � 4�� �1 �:'B Bv v> �V� �� �)+

(����� � ���.�7������ �����:M frottE W∆ =∑*�&�� :

' 2 312 4.5 10 0M frott B frottE W mv mgR W J−∆ = = − ⇒ = − × <∑ ∑

������ *#&��� ::2�:(oscillateur harmonique simple)

������:�B��� !� ��� �� � 8��� �&�� !� �+ ����� ��"����� B ���� .? ���� 0� ��� �B��� ���� )(����� :� !;� (��;� .? 0 �.

������ ��&��P��� �� ������ ���� � �� ��:20 . 0x xω+ =��

!�4�� �� �+ �� ����� 9)�� 8���� ! �� �1 ��� :cos( )x a tω ϕ= +

�::2� ����:(énergie de l’oscillateur)

!�4�� !;��12.6 )�(���� ���� )*��� � �����:� 8� � �����l.(����

�&���� m��&�; ' �����&� P������ �T

����&� .����� !�� ����� ���� �� 6�4� !�;��T��" ���� 5&� . ��� *&�� �1 ��� 8� ��

�� � !� .������ �� ���� ��"?� =����� ������� �>��&� � ��� )�D�O.!�1 �� ����B&� ,����� �����θ:

( ) ( ) (1 cos )pE mgz mg OH mg CO CH mgl θ= = = − = −

�+ ��&� ������ ��@� �� ���� ���� :.v l uθθ=� ��

Page 16: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

211

����12.6ا

Z

O

αθ

H m

P�

T�

C

l

z 0zN

)ب(

Z

O

αθ

H m

P�

T�

ru�

uθ�

C

l

z

)ا(

E���&� ����������� �>���� ,� �H� ������)�>��&� !�?� !������� 5�� �� �1 : ()41.6 (2 21(1 cos )

2te

M p cE E E mgl ml Cθ θ= + = − + =�

�� ����� 8��)41.6(5&� 2ml'8;���20

gl

ω =�5&� ����������� �>���� ���� O�/������� !�4�� :

)42.6 (2 202 (1 cos ) Kθ ω θ+ − =�

7� 2

2. teCKml

=��@� ��:� ��4�� 9 � (��; .��)�1 �)� 3;�"0 0θ =�!�1 ��

0θ α=!�4�� , � ��� �� 9)+ �" '11.6),(:2 2

0

2 2

10 ( )2

1(cos cos )2

M p cE E E mg z z ml

mgl ml

θ

θ α θ

∆ = ⇒−∆ = ∆ ⇒ − − =

− − =

��

��

�� ����� �<" ��4�� 9)+ !;� �"�)42.6(O�/� :)43.6 (2 2

02 (cos cos ) 0θ ω α θ+ − =�

������ ����� :(équation du mouvement)

�� �� �� �������;�� �� �� �� ��&��P� �� ��� �+ .6���4�� ���&� !/ � ������ �� �����)43.6 (��B&� ������:

)44.6 (20 sin 0θ ω θ+ =��

Page 17: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

212

�(�B�B�+� !�1 ����� ���;<)( )sin 10radθ θ θ⇐ ° ≥�(O�/� �� ����� �<":

)45.6 (20 0θ ω θ+ =��

�+ �� ����� 9)�� 8���� ! ��:)46.6 (cos( )tθ α ω ϕ= +

����� ����� ����� �� �� �1 .10ω�+� �:

)47.6 (0

2 2 lTg

π πω

= =

�� ����� 5�� !�/��� ������)44.6 (I� ��� ����> �� �>3���P T ma+ =� � �I�) �

������ 9)+ ���<�.���� 5 ���� 5&� ���?�:20sin sin 0mg mlθ θ θ ω θ− = ⇒ + =�� ��

���� �� 3� -���� !�;��� �)+ �� �:5��?� �� �� �� ��&��P� �� ��� -���� �� ( )E�� �&��� (�� ���?� 9)�" '

����;�� �� �� �� ��&��P��� (0 �����( )DI� ��� ����> �� ��� ���� �.�" !��� �1 ��� �� 9)+( )E(0 ���&� !�?� !������ �+ ( )D).1( )D5��?� (���4��� �+

�� ���&�( )E.( ����� '��� ���� ��� �� �" �� )43.6(�� ���&� !�?� !������ �+ )44.6.(

7/�<7� ���� 0��:(collision de particules)

������ �� � �-�!=:(conservation de la quantité de mouvement)

��� ����� (��L� �+/��� (�� 5&� (1� �)� �� / (�&� ���1 �&�� �� !��� � !�> �� ' ���� &�� ��� �>���� � �� �� ���� �" ! ��� 7 � 7� ' �� /�� �� ��

/����� �&���.

���� 1p��2p�!�> ������� �� �� ����� � 8� �/0�'

1p��'2p� �� �� �� �����

!�4��13.6

'2p�

'1p�

2p�

1p�

�++++5�67ا�:+++++9م

+++++++;�9+++++�1

Page 18: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

213

� �/0�8.���B�� �&���� .�� ������ (��;D��� ���&���� ���) �������� ���1m�2m7 �

���� 8 /�� �1 !��� �)� � ��L/ � � S�P�� �� � � ����� �" .��P � ��� �� �>���� � �� �� ���� �<" ���B�� �&���� �1 ������ .����� ����:

)48.6(' '1 2 1 2 0p p p p Cte p+ = + = ⇒∆ =

�� � � � �

)49.6(' '1 1 2 2 1 1 2 2. . . .m v m v m v m v+ = +� � � �

$������ �� *���%� >���� ��.$� � 0�<�:(choc élastique)

���� (��� �)� ��� ������ ��� 8 /�� ���� ��&��� ��� �� �>cE�&��&� 8 �/��� 2��;1 ���P �.8 /�� �� �� �� 0 �������� .

� 8 /�� !�> ��� �� �>���� 5�� ��B� )�WcE� �W'cE� 8 /�� ��

�>3��� �)��2

2cpEm

=����� ���� :)50.6(' 0c c cE E E= ⇔∆ =

)51.6(2 2 '2 ' 21 2 1 2

1 2 1 22 2 2 2p p p pm m m m

+ = +

)52.6(2 2 ' 2 ' 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1. . . .2 2 2 2

m v m v m v m v+ = +

7���� �� * ��� >���� �� .������ � $)51.6 (�)52.6 (��� $���&��0��<���� �#��� ��A� B�.

��� .68:���&�� �P�)>800g��� ��"1 8���� �� 6"� I �� 11ms−���� �" + ,�/��

*�&��800g.� ��/� ��� 6"� ,�/��� � ��� I �� 6"?� �30− °.�/8� �/:� �� �P�)��� �� � 4 � ��� .,/8� �/:� �� � ��� �� � 4 .

�����:�/��� 4 ,� � �P�)��� �� ��� � � :!�4�� ��1)14.6(

Page 19: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

214

2 '2 21 1

2 ' 2 21 21 1 2

1 2

2 2 2p p p

p p pm m mm m m

= +⇒ = +

= =

7&;��� �)�OAB@�> 8⇐!���� A3�?� .B���� :90 60α β α+ = °⇒ = °' '

' 11 11

1 1

cos 0.50p v v msp v

α −= = ⇒ =

1p�

'1p�

2p�

1p�α

30β = − °O

A

B

,/� ��� �� � 4 ,� :1

1 1

cos( 30 ) 0.87mv v v msmv v

−− ° = = ⇒ =

�$��� 0�<�:(choc mou)

��� �� �F ������ ��� 8 /�� ���� �&�� ������ 8� �/0� �� �� �� �)� �������� EP� ���� O�/�" � ��.

��� �� 9)+ �" :(��� �)�1p��2p�� 8 /�� !�> ���&/P�� ������� �� �� ����� (���'p���� �� ������&� �� �� ��������� ������ 8 /�� �� :

(53.6) '1 2 0p p p Cte p+ = = ⇒∆ =

�� � � �

)54.6 (2 2 '21 2

1 2 1 22 2 2( )p p pm m m m

+ =+

)55.6 (2 2 '21 1 2 2 1 2

1 1 1. . ( )2 2 2

m v m v m m v+ = +

��� 9.6:���&�� ���� I ��5kg��� 120ms−���&�� ���� �� �� ��� 8 �/�� 6kg��� I �� (��� 115ms−.���� 8� �/0� ��� �)�:�/N �&��&� �� �� ���� �� ,/8� �/0� �� �������� �� , 1.

Page 20: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

215

�����:�/1134.5 . .kg m s−,/112.23 .m s−

8/�! ��� ����� 7��!�! �%��! :(discussion des courbes d’énergie potentielle)

!�4�� 5&� ��&;�15.6 ���� �� � 1 �� ��� �" ��P�� �� �� )8���� 6"� 8��.(����� � 4 ���� ,���F�!�4�� 5&� :

pdEF

dx= −

�1 �FpdEdx

5� ���� !�� !;�� ( )pE x.� � ��B�� 5� ���� ���� �� ����� ���� !����!P?� � � ����� � �/>���� 5� ���� ���� �� ���� ���� � 5&�?� � � ����� .�

�+ ����� �<" �)F�)!��&� ����� ����4� ���� ���� �+ �(����� �1 ���� ����

�� ������ � � ����� � ����� ���� � � ��B�� ������� �>���� ���� �� ���� � � �/>���� ������� �>���� ����.!�4�� 5&� ��� �� 9)+ �� ��15.6���"1 8��� !�4�� !P1 6����� �.

( )pE x

xO

(1)(2)

(3)

(4)

pE

A B

C D F G

HI

K

MEpE

cE

1M

2M

3M

'A 'B-++++>?ا�A/++++++++�ر

-++++>?B++++++++AAا�

-++++>?B++++++++AAا�

-++++>?ا�A/++++++++�ر

Page 21: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

216

�4�� �"��� �)� ����� �� �� ���� :0c M pE E E= − >.���"?� (�������� !;���P&��� (0� �" ����������� �>����.

�4��' �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)1(5� ���� ���� .)��( )pE x

������ �"A�B.���&/�P�� ��� B��� ������Ax�Bx�F ���� �1 �F U���� 5&� �����B�� 5&� �A�? 0c M pE E E= − <!� �� �)+� .

���!��� �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)2(5� ���� ���� .)��( )pE x�" ���� ��1, , ,C D F G.�&� ��B�B�+0� �� &� ������� ������� I��+��� :��� ���&/�P��Cx�Dx���&/�P�� ���� 'Fx�GxB�B�+0� ������ 0 ������ �1 �F U

�&� ,�� *�? =�1 5�� ����� �� BP��� ����� 0 � ��������� = � �" 0� ��> �� �������DF!� �� �)+ �)��� �� �>���� ������� 9)+ �" �?

����0c M pE E E= − <(*��� ��� �����B�� ����� �� �� 7� ��������� :���$� ���.

������� �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)3.(�� 8�� �� �� �������� �,H I.

������ �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)4.(� ��B�B�+� �� 8� �� �� �� !���� ������K����� 0 �� 5��.

�$:��� >,� :(positions d’équilibre) ���� �� 0pdE

dx=��� �0F =��� ��L/1 �1 �����1 ���� ������� �>���� �<"

������ �"3 2 1M , M , M.�+ ������� 9)+$:�� >,� .�$��� C��( )pE x���;<� :

�#�� $:��� )�" ��� '3�&> ������ (� � �)�3 1M , M��> �<" ��� �1 ����� '���B��� ���� 5�� �����: ���&� ;V� .(

�$��� C��( )pE x�� �� :�#�� ��9 B� )�� $:��� )������ (� � �)� �" ��� '3�&>2M���� �� �+ ���: ���&� ;V� ��> �<" '���B���.(

Page 22: Travail Energie Cours

Travail et énergie و ا����� ا��

A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST

217

�������, , , , , , ,A B C D F G H I�>���� ����� 5�� .�1 ������ �>��� ������ 9)+ �"���� 9���� �� �L�.

9/� &�� ��;� ��#�)$� � $ �#�% ��;� ��((forces ne dérivant pas d’un potentiel)

"��"� � �F =�> I��+ ������� �.!�;� I��� :� ��>I�) 5&� .I��� :�" ��&L� ���� ��� �� 5� ������ I&���� 6&��� *&�� � !����0� ��@� E���� �>0B�:�

�� ����� � ��� �� E�� !���� �<")30.6 (� ��/ �F.6&��� ���� ���� �� E����� .)�� � �@����� �" I��� T� ������ �?� I�)� �

����� �� !��� �+ ����� ����. �� �X �" ��"� � �F =��� � ��"� � =��� ����� ���� �1 ����� ����.

��� �:�>D� *& �#�� � ���:��&�;� ����� ��"P

���> � ���� �� 6�4��� ���� �� ���4� �L�� I��� :�.

�$� � E�!� *&:A��:� ���� ����� ������.F kx i= −� ���"� � �+ �

�>0B�:� I��� :� ���� I�)� ���� �'F Cv= −� ��1 ��&� ��"� � �L��

���?� 9)+ !�� :2' ' . . ' . . 0W F dr C x dx W C x dt= = − ⇒ = − <

� � � �

���� P� �� �)+ � �&���� �� �>���� Y��� (����� :� �1 �+ ������ ��4:� !�� ����� .