Chapitre 4: Travail-Energie

Chapitre 4: Travail‐EnergieIntroduction

1

Le travail d'une force est l‘énergie fournie par une force lorsque son point d'application se

déplace. Il est responsable de la variation de l’énergie cinétique du système qui subit cette

force.

On note W le travail (en Anglais, travail=work d’où le W).

Les forces sont dues aux interactions entre le mobile considéré et une source de forces. Pour

certaines de ces interactions, on peut définir une énergie d’interaction qui traduit l’importance

de l’interaction en fonction de la distance r séparant le mobile et la source de la force. Cette

énergie d’interaction a le potentiel de se transformer en énergie cinétique d’où le nom

d’énergie potentielle.

Chapitre 4: Travail‐Energie

I Travail d’une force

II Théorème de l’énergie cinétique

III Energie potentielle‐Energie mécanique

IV Equilibre d’un système mécanique

2

Chapitre 4: Travail‐EnergieI TRAVAIL D’UNE FORCE

1) Force constante sur un parcours rectiligne

3

Le travail d’une force constante entre les points A (point initial) et B (point final)

selon la ligne droite séparant A et B est :

steCF =r

A

Fr

B

α αα

Fr

Fr

ABF ⊥r

Si , α=π/2 :

( ) αcosABFAB.FFW BA

rrr==→

AB//Fr

( ) 0FW BA =→

r

Si , α=0 :

( ) AB FFW BA

rr=→

Chapitre 4: Travail‐EnergieI TRAVAIL D’UNE FORCE2) Force quelconque

4

B

A

Fr

Que se passe‐t‐il pour une force quelconque , sur un chemin AB non rectiligne ?

Fr

Fr

( ) ?FW BA =→

r

Fr

Fr


5

B

A

On découpe le chemin AB en éléments de longueur rectilignes ‘infinitésimaux’ (on

approxime la trajectoire par sa tangente. Sur cet élément de longueur, on peut aussi

considérer la force constante

Fr

Fr

M

(s(t))Fr

M’

( ) MOd.FMM'.FFW M'M

rrr==→δ

(Travail élémentaire)

Le travail de A à B de la force est alors la somme de tous les travaux élémentaires

OM dOMOM'MM' =−=

x

O


6

B

A

Le travail de la force (qui dépend de la position) sur la trajectoire (courbe) reliant les

points A et B est alors :

Fr

Fr

M (t)FrM’

Fr

( ) ∫∫ ==→

ABAB

OMd.FWFW BA

rrδ

L’intégrale ci‐dessus n’est pas l’intégrale habituelle, c’est une intégrale curviligne!le long du chemin reliant A à B


7

( ) ∫=→

AB

OMd.FFW BA

rr

L’intégrale est appelée, en mathématiques, circulation du vecteur le long du cheminFr

AB

Remarques :‐) si , le travail est moteur.‐) si , le travail est résistant, c’est le cas des forces de frottement.‐) si la force est constamment perpendiculaire au déplacement ( tension du fil

d’un pendule, réaction normale d’un support ) :

( ) 0FW BA >→

r

( ) 0FW BA <→

r

( ) 0FW BA =→

r


8

( ) ∫=→

AB

OMd.FFW BA

rrComment calculer cette intégrale ?

A une dimension : mouvement rectiligne, l’intégrale correspond à l’intégrale habituelle

Exemple : (avec k=Cste >0) et déplacement de A=Origine (x=0) à B (x=2).i-k x Frr

=

( ) ( )( ) k 2dxxkidx ik xFW2

0

2

0BA −=−=−= ∫∫

=

=→

rrr x

x


9

( ) ∫=→

AB

OMd.FFW BA


A deux dimensions :

‐) en cartésiennes, il faut écrire les composantes de la force sur les vecteurs de

base et : et donc

Et . En se déplaçant de A à B, on parcourt la courbe

y=f(x) donc dy = f’(x) dx que l’on met dans l’expression de δW :

Il suffit de faire alors l’intégrale sur x …comme d’habitude

ir

jr

jFi FF y

rrr+= x jy i OM

rr+= x jdy idx OM d

rr+=

dy Fdx FOM .dFW yx +==r

δ(x)dx f' Fdx FW yx +=δ

Exemple : ; A=(0,0) et B=(1,1) en allant tout droit de A à B. La droite reliant A à B est la droite y=x donc dy=dx donc

jy -kix kFrrr

+−=

( ) 2kxdxxdx)k(xdxydyxdx-k dy-ky -kxdx δW −=+−=+=+=

( ) kxdx-2kdxk x 2FW1

0

1

0BA −==−= ∫ ∫

=

=→

x

x

r


10

( ) ∫=→

AB

OMd.FFW BA


A deux dimensions :

‐) en polaires, les vecteurs et remplacent les vecteurs et :

donc , , ,

Et . Une méthode est de considérer qu’en se

déplaçant de A à B, on parcourt la courbe r=f(θ) donc dr = f’(θ) dθ que l’on met dans

l’expression de δW :

Il suffit de faire alors l’intégrale sur θ …comme d’habitude

ir

jr

θθuFu FF rrrrr

+= rur OM r= θ

θ u dtdru

dtdrv

dtOM d

rrrr

+==

dr Fdr FOM .dFW r θδ θ+==r

( ) ( ) d f F d ' f FW yr θθθθδ +=

rur θur

θθ u dr udr dt vOM d rrrr

+==

Exemple : A=(0,0) et B=(1,1) (en cartésiennes!) en allant tout droit de A à B. Si on traduit ceci en polaires, le point B correspond à et . En allant de A à B, l’angle θ reste constant donc dθ=0.

ru -F rrk=

2=r 4/πθ =

0kdr dr Fdr FW r +−=+= θδ θ2-k kdrW

2

0

=−= ∫=

=

r

r

!

DIF

FICIL

E

Chapitre 4: Travail‐EnergieI TRAVAIL D’UNE FORCE

3) Puissance

11

La puissance moyenne de la force sur le chemin (non nécessairement rectiligne) reliant A, atteint à l’instant tA, et B, atteint à l’instant tB, est :

Fr

AB

( ) ( )AB

BAmoy B,A tt

FWFP−

= →→

rr

La puissance instantanée de la force est :Fr

( ) v . FdtOM d . F

dtδWFP rrrr

===

Chapitre 4: Travail‐EnergieII Théorème de l’énergie cinétique

12

Soit la résultante de toutes les forces que subit un point matériel de masse m sur le

chemin (non nécessairement rectiligne).

Théorème de l’énergie cinétique :

Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel soumis à

une force , entre un point A et un point B de sa trajectoire, est égal au travail de sur

l’arc de trajectoire .

Fr

AB

Fr

( ) ( ) ( )FWAEBE BAcc

r→=−

AB

Fr

2c mv

21E = est l’énergie cinétique du point matériel

Chapitre 4: Travail‐EnergieIII Energie potentielle‐Energie mécanique

1) Force à circulation conservative

13

Parmi toutes les forces, leur travail peut dépendre du chemin parcouru ou non.

Une force est dite conservative (ou bien à circulation conservative) si :

‐) elle ne dépend que de la position

‐) le travail de cette force entre deux points A et B quelconques ne dépend que

de A et B et non du chemin suivi entre A et B.

Fr

Forces nécessairement non conservatives :

‐) frottements fluides

‐) force magnétique

‐) frottements solides (sur un plan incliné)

v-k F rr=

Bv qFrrr

∧=

Comment savoir qu’une force, , ne dépendant que de la position, est conservative ?Il y a deux méthodes (au choix!) :

‐) on utilise la méthode des dérivées croisées‐) il existe une fonction U, qui dépend de la position, telle que :



14

Fr

Ugrad -F =r

La méthode des dérivées croisées :en cartésiennes, . Pour que la force soit à circulation conservative,

il faut :jFi FF y

rrr+= x

xyxF

yyxF yx

∂

∂=

∂∂ ),(),(

Exemples : jy k ik x F1

rrr−−=

0)(),(=

∂−∂

=∂

∂ykx

yyxFx

0)(),(=

∂−∂

=∂

∂

xky

xyxFy

Donc est conservative1Fr

j k xiy k F 22

rrr−−=

kyky

yyxFx −=

∂−∂

=∂

∂ )(),(

kxxkx

xyxFy 2)(),( 2

−=∂−∂

=∂

∂Donc est non‐conservative2F

r



15

en cartésiennes, . Pour que la force soit à circulation conservative,il faut trouver U(x,y) telle que :

jFi FF y

rrr+= x

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=∂

∂

−=∂

∂

yxFy

yxU

yxFx

yxU

y

x

,,

,,

Exemples : jy k ik x F1

rrr−−=

Ugrad -F =r ?

?( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂

∂

=∂

∂

kyy

yxU

kxx

yxU

,

, ( ) f(y)k x21yx,U 2 +=

( ) ky(y)' fyx,U==

∂∂

ysteCy += 2ky

21)(f

( ) steC++= 22 yk 21k x

21yx,U

La constante est définie par les conditions initiales et souvent telle queU soit nul à l’infini ou en O


2) Energie potentielle

16

Une force, , ne dépendant que de la position, dérive d’une énergie potentielle Ep,

si on peut écrire :

Avec

Fr

pE grad -F =r

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂

∂

∂=

zzy,x,E

,y

zy,x,E,

xzy,x,E

E grad pppp

en cartésiennes

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂

∂

∂=

zz,r,E

,z,r,E

r1,

rz,r,E

E grad pppp

θθθθ en cylindriques

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂

∂

∂=

φφθ

φθφθφθ ,r,E

sin r1,

,r,Er1,

r,r,E

E grad pppp en sphériques



17

Physiquement, que représente le gradient ? Le gradient mesure l’importance de lavariation de la quantité considérée en fonction de la position

Gradient de températureGradient de pression

Les flèches précisent le vecteur gradient de la quantité considérée. Plus les flèches sontlongues, plus la quantité varie sur une petite distance. Les vecteurs gradients sont orientésperpendiculairement aux lignes ‘iso‐quantités’ (isobare, isotherme) et dirigées de la valeurla plus élevée vers la valeur la plus basse



18

Physiquement, que représente le gradient ? Le gradient mesure l’importance de lavariation de la quantité considérée en fonction de la position

Lignes isohypses (même altitude)avec ‘gradient’ de couleur

Chaque ligne isohypse correspond à la même altitude et donc la même distance du centre de la Terre c’est‐à‐dire à une même intensité de la force de gravitation.

u r

MmG -F 2

rr=

? E grad -F p=r

OUI : ( ) r

MmG -E =rp

Au voisinage de la Terre, on écrit : k g mg mFrrr

==

? E grad -F p=r

OUI : ( ) z g mE =zp

COHERENCE ????

Oui, tant que z<< rayon de la Terre



19

Force Energie potentielle

Gravitation

Gravitation (au voisinage de la surface de la Terre)

Raideur d’un ressort

Force électrique

Force électrique

Force de pression dans un fluide

u r

MmG -F 2

rr=

rMmG -E =p

g mFrr

= z g mEp =

ik x-Frr

=2

p k x21E =

u rQq

41 F 2

0

rr

πε=

rQq

41 E

0πε=p

E qFrr

= V qEp = (Potentiel électrique)

g ρFrr

−= PEp = (Pression)



20

Comment calculer facilement le travail d’une force conservative ? pE grad -F =r

pp dEOM .dE gradOM .dFW −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=−== dz

zE

dyy

Edx

xE pppr

δ

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−===→

AB

B

Appp

AB

BEAEdEpBA dE-WFW δr


3) Energie mécanique

21

On considère un système mécanique soumis uniquement à des forces conservatives ou à des forces ne travaillant pas. On note Ep, l’énergie potentielle totale correspondant à toutes les forces conservatives.

L’énergie mécanique totale du système est définie par :

pcm EEE +=

En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, dans un référentiel galiléen, pour unsystème soumis uniquement à des forces conservatives et à des forces ne travaillantpas, l’énergie mécanique totale est conservée. L’équation obtenue s’appellel’intégrale première du mouvement :

steC==+ EEE pc



22

steCE ==+ pc EEA quoi sert l ’intégrale première du mouvement ?

On avait déjà la relation fondamentale de la dynamique (RFD)…

Il est souvent beaucoup plus facile d’utiliser la conservation de l’énergie mécanique

que la RFD. Cependant, il est souvent difficile de déterminer la constante E.

La RFD sert à établir l’équation du mouvement. En intégrant l’équation différentielle

obtenue, on peut déterminer la position en fonction du temps. Dire que l’énergie

mécanique totale est conservée (ou constante) permet de dire que :

Ce qui donnera la même équation du mouvement que la RFD

dtpd

dtvd ma m F

rrrr

===

( )0

EE pc =+

=dt

ddt

dEm



23

Comment varie l’énergie mécanique si il y a des frottements?

Le système mécanique est soumis à des forces conservatives, à des forces ne travaillant pas et à des forces non‐conservatives de résultante . On note Ep, l’énergie potentielle totale correspondant à toutes les forces conservatives.

En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, on obtient que

( ) ( ) ( ) 0fWAEBE BAmm <=− →

r

fr

Où passe cette énergie qui disparait??? Dans le cas des frottements, elle se transforme en chaleur…. Cf cours thermodynamique

Chapitre 3: DynamiqueIII Energie potentielle‐Energie mécanique


24

On considère un mobile de masse m sur un plan incliné faisant un angle α avec l’horizontale. A l’instant t=0, ce mobile possède une vitesse nulle et se trouve à une hauteur h de l’extrémité du plan incliné. Déterminer la vitesse du mobile au bout de la pente inclinée. On négligera les frottements.

α

h

t=0 Rr

Pr

PFD : a mRPrrr

=+A

x’

y’

Très compliqué (cf chapitre 3)!

La réaction du support ne travaille pas ☺Le poids dérive de l’énergie potentielle Ep = m g z. On peut donc appliquer le théorème de l’énergie cinétique ou la conservation de l’énergie totale

B

En A : Ec(A)=0, Ep(A)=mgh

En B : Ec(B)=???, Ep(B)=0Donc, Ec(B)+0=0+mgh, et donc gh vm

21 2

B m= 2ghvB =

Chapitre 4: Travail‐EnergieIV Equilibre d’un système mécanique

1) Equilibre et stabilité

25

Un système mécanique est à l’équilibre dans un référentiel R si sa vitesse est nulle dans

ce référentiel.

Par conséquent, l’accélération est aussi nulle et donc dans un référentiel galiléen, la

résultante des forces est nulle.

Un équilibre est stable si la résultante des forces auxquelles il est soumis lorsqu’il est

écarté légèrement de sa position d’équilibre, tend à la ramener vers sa position

d’équilibre.


2) Equilibre d’un point soumis à une force conservative

26

On considère un système dont les propriétés ne dépendent que d’une seule variable x

et qu’il est soumis à une force conservative.

A l’équilibre au point x=x0, et donc , c’est‐à‐dire que x0 est un

extremum de la fonction Ep(x).

i dx

dEE grad -F p

p

rr−==

( ) 0xF 0

rr= ( ) 0x

dxdE

0p =

Ep(x)

x

Puits de potentiel Barrière de potentiel

0


2) Equilibre d’un point soumis à une force conservative

27

( ) dx

dEF p−=x

Ep(x)

x

Puits de potentiel Barrière de potentiel

0

Ep(x) Ep(x)

x x

0 dx

Ed2p

2

> 0 dx

Ed2p

2

<STABLE INSTABLE

Une force est dite conservative (ou bien à circulation conservative) si :

‐) elle ne dépend que de la position

‐) le travail de cette force entre deux points A et B quelconques ne dépend que

de A et B et non du chemin suivi entre A et B.

Chapitre 4: Travail‐EnergieIV RESUME

28

( ) ∫∫ ==→

ABAB

OMd.FWFW BA

rrδ

le long du chemin reliant A à BTravail d’une force entre A et B :

Théorème de l’énergie cinétique :

Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel soumis à

une force , entre un point A et un point B de sa trajectoire, est égal au travail de sur

l’arc de trajectoire :

Fr

( ) ( ) ( )FWAEBE BAcc

r→=−AB

Fr

Fr

Pour le savoir, il y a deux méthodes :‐) on utilise la méthode des dérivées croisées‐) il existe une fonction U, qui dépend de la position, telle que : Ugrad -F =

r

Chapitre 4: Travail‐EnergieIV RESUME

29

Dans un référentiel galiléen, pour un système soumis uniquement à des forcesconservatives et à des forces ne travaillant pas, l’énergie mécanique totale est conservée :

Cette équation est l’intégrale première du mouvement.

steC=+= pcm EEE

Si le système mécanique est soumis également à des forces non‐conservatives derésultante , ( ) ( ) ( ) 0fWAEBE BAmm <=− →

rfr

Un système mécanique est à l’équilibre dans un référentiel R si sa vitesse est nulle dans

ce référentiel. Il est stable si la résultante des forces auxquelles il est soumis, tend à la

ramener vers sa position d’équilibre, ceci impose 0 dx

Ed2p

2

>

Chapitre 4: Travail-Energie

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