Transformateur[1]

PSI - Lycée BellevuePhysique

Conversion de puissance - chap.IIIConversion électromagnétique statique : le transformateur

Conversion de puissance - chap.III

Conversion électromagnétique statique : letransformateur

I Milieu magnétique

I.1. Vecteur aimantation

Les champs magnétiques sont généralement créés par des distributions de courant. Toutefois, certainsmatériaux, comme les aimants par exemple, génèrent un champ magnétique sans toutefois être traverséspar un courant. Ce champ magnétique ne peut être que d’origine microscopique et s’interprète alors commele champ créé par une multitude de dipôles magnétiques à l’échelle atomique ou moléculaire.

Figure 1 – Le moment orbital et le spin des électrons génèrent un moment dipolaire magnétique à l’échellemicroscopique.

Au niveau mésoscopique, dans un volume dτP centré sur un point P , il existe un moment magné-tique d

−→M(P ), proportionnel à dτ et résultant de la somme des moments magnétiques élémentaires

d−→M(P ) =

−→M(P ) dτ

Le vecteur−→M défini comme le moment magnétique par unité de volume est appelé vecteur aiman-

tation et s’exprime en A.m−1 .

Tristan Brunier /36 Année 2011-2012



Figure 2 – Domaine de Weiss dans un matériau férromagnétique et influence de l’intensité du champmagnétique (le champ magnétique imposé est croissant de la gauche vers la droite)

Définition :

Un milieu magnétique est caractérisé son vecteur aimantation−→M défini

comme le moment magnétique par unité de volume :

−→M(P ) =

d−→Mdτ

vecteur aimantation

||−→M(P )|| s’exprime en A.m−1 .

L’orientation des dipôles magnétiques est a priori aléatoire et l’existence d’un moment magné-tique à l’échelle macroscopique implique un ordre particulier : les moments magnétiques doiventêtre majoritairement alignés selon une direction privilégiée.

Remarque

On rappelle que sous l’action d’un champ magnétique, les moment magnétiques tendent à s’ali-gner dans le sens du champ.

Remarque

Définition :

On appelle matériau ferromagnétique un corps qui présente un mo-ment magnétique macroscopique non nul, même en l’absence de champmagnétique.

Ce phénomène s’interprète par l’existence d’interactions entre les moments magnétiques micro-scopiques. Ces interactions conduisent à l’existence de domaines, appelées domaines de Weiss,au sein desquelles le moment magnétique est uniforme est non-nul.

Remarque




Figure 3 – Généralement, l’isotropie des matériaux conduit à un moment magnétique macroscopique nul(gauche). Les champs magnétiques créés spontanément par certains matériaux s’interprètent par l’aligne-ment de dipôles magnétiques microscopiques (droite).

:::::::::

ExempleLes aimants permanents sont des matériaux ferromagnétiques.

Dans un milieu magnétique, chaque moment dipolaire crée lui-même un champ magnétique qui sesuperpose au champ magnétique appliqué. On montre que tout se passe comme si le champ magnétiquesupplémentaire était créé par la superposition :

⋆ d’une distribution volumique de densité volumique de courant −→ a =−→rot(

−→M) ;

⋆ d’une distribution surfacique de densité volumique de courant −→sa =−→M ∧ −→n située à la surface du

matériau magnétique.

Dans un milieu magnétique, le vecteur aimantation−→M est équivalent à une

distribution de courants liés décrits par

⋆ une densité volumique de courant d’aimantation

−→ a =−→rot(

−→M)

⋆ et par une densité surfacique de courant d’aimantation

−→sa =−→M ∧ ~n

où ~n est la normale sortante au matériau.

Propriété




I.2. Équations de Maxwell

Considérons l’équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique

−→rot(

−→B ) = µ0

(

−→ libres +−→ liés + ε0

∂−→E

∂t

)

Avec −→ liés =−→rot(

−→M), l’équation de Maxwell-Ampère devient

−→rot(

−→B − µ0

−→M) = µ0

−→ + µ0ε0∂−→E

∂t

Définition :

Dans un milieu magnétique, on définit le vecteur−→H , appelé excitation

magnétique, par

−→H =

−→B

µ0−−→

M soit−→B = µ0

(−→H +

−→M)

||−→H || a la même dimension que ||−→M || et s’exprime en A.m−1 .

Dans le vide,−→M =

−→0 et

−→B = µ0

−→H .

Remarque

En introduisant l’excitation magnétique, l’équation de Maxwell-Ampère devient

−→rot(

−→H ) = −→ libres + ε0

∂−→E

∂t

Dans un milieu magnétique, les équations de Maxwell doivent tenir compte de la présence de courantd’aimantation. Seule l’équation de Maxwell-Ampère fait intervenir les courants : c’est donc la seule à êtremodifiée. On en déduit

div(−→E ) =

ρ

ε0

−→rot(

−→E ) = −

∂−→B

∂t

div(−→B ) = 0

−→rot(

−→B ) = µ0

(

−→ libres +−→ liés + ε0

∂−→E

∂t

)




Dans un milieu magnétique, les équations de Maxwell s’écrivent

div(−→E ) =

ρ

ε0div(

−→B ) = 0

−→rot(

−→E ) = −

∂−→B

∂t

−→rot(

−→H ) = −→ libres + ε0

∂−→E

∂t

où −→ libres est la densité volumique de courants libres.

Propriété

C’est donc l’excitation magnétique qui est reliée aux courants et non le champ magnétique.

Remarque

Dans le cas des distributions surfaciques, les équations de Maxwell ne sont plus valable et il faitappliquer les relations de passage.

À l’interface entre deux milieux magnétiques, notés 1 et 2, séparés par une interface de normale ~n12

orientée de 1 vers 2, on a

−→B 2(P )−−→

B 1(P ) = µ0 [−→slibres(P ) +−→sliés(P )] ∧ ~n12 avec −→sliés(P ) =

−→M 1 ∧ ~n12 +

−→M2 ∧ ~n21

On en déduit :

⋆ la continuité de la composante normale de−→B (en projetant sur ~n12) ;

⋆ la discontinuité de la composante tangentielle de−→H (en projetant sur un vecteur tangent).

Dans un milieu magnétique, les relations de passage pour le champ magnétiqueet pour l’excitation magnétique à la traversée d’une nappe de courant s’écrivent

B2N −B1N = 0 continuité de la composante normale de−→B

et

−→H 2T −−→

H 1T = −→slibres ∧ ~n12 discontinuité de la composante tangentielle de−→H

où ~n12 est la normale à l’interface séparant les milieux 1 et 2, orientée de 1 vers 2.

Relations de passage

Les équations de Maxwell dans un milieu aimanté font intervenir les champs−→B et

−→H qui sont

reliés via le vecteur aimantation−→M . Dans certains cas, il est possible d’introduire une relation

constitutive entre−→B et

−→H .

Remarque

I.3. Théorème d’Ampère et loi de Lenz-Faraday

À partir des équations de Maxwell définies localement, on peut établir des équations de Maxwellintégrales.




a)::::

Loi:::

de:::::::::::::::::

Lenz-Faraday

L’équation de Maxwell-Faraday dans un milieu magnétique prend la même forme que dans le vide carelle ne fait pas intervenir les sources. On a donc

−→rot(

−→E ) = −

∂−→B

∂t

Calculons la circulation du champ électrique−→E le long d’un contour C fixe, fermé et orienté :

∮

C

−→E · −→dℓ =

∫∫

Σ(C)

−→rot(

−→E ) ·

−−→d2S = −

∫∫

Σ(C)

∂−→B

∂t·−−→d2S = −

d

dt

∫∫

Σ(C)

−→B ·

−−→d2S

où Σ(C) est une surface s’appuyant sur le contour C et orientée d’après la règle du tire-bouchon de Maxwell.

Or, la circulation de−→E s’identifie à la force électromotrice e le long du contour. On a donc

e = −dΦ

dt

où Φ est le flux du champ magnétique à travers la surface définie par le contour choisi.

La loi de Lenz-Faraday reste application dans un milieu magnétique :

e = −dΦ

dtavec

e =∮

C

−→E · −→dℓ

Φ =∫∫

Σ(C)

−→B ·

−−→d2S

Propriété

b)::::::::::::

Théorème::::::::::::

d’Ampère

L’équation de Maxwell-ampère étant modifiée, le théorème d’Ampère est lui aussi modifié. En calculantla circulation de l’excitation magnétique sur un contour fermé orienté C, on obtient

∮

C

−→H · −→dℓ =

∫∫

Σ(C)

−→rot(

−→H ) ·

−−→d2S =

∫∫

Σ(C)

−→rot(

−→H ) ·

−−→d2S =

∫∫

Σ(C)

(

−→ + ε0∂−→E

∂t

)

·−−→d2S

où Σ(C) est une surface s’appuyant sur C et dont la normale−−→d2S est orientée d’après l’orientation de C.

On obtient ainsi le théorème d’Ampère généralisé appliqué à un milieu magnétique

∮

C

−→H · −→dℓ = Ienlacée, libre + Ienlacée, déplacement

On s’intéressera essentiellement à des régimes basse fréquence (A.R.Q.S.) de sorte que les courants dedéplacement puissent être négligés.




Dans un milieu magnétique, le théorème d’Ampère dans l’A.R.Q.S. prend la forme∮

C

−→H · −→dℓ = Ienlacée, libre

où l’intensité des courants enlacés libres vaut

Ienlacée, libre =

∫∫

Σ(C)

−→ libres ·−−→d2S

et où C est un contour fermé orienté quelconque, Σ(C) étant une surface s’appuyant

sur C, dont la normale−−→d2S est orientée d’après l’orientation de C.

Propriété

L’étude des symétries et des invariances de la distribution de courant libre s’applique au vec-

teur−→H et non au vecteur

−→B a priori.

Remarque

II Matériaux ferromagnétiques

II.1. Relation constitutive

A priori, les vecteurs−→B et

−→H ne sont pas reliés par une relation simple. En effet, l’aimantation d’un

milieu dépend généralement du champ magnétique ou de l’excitation magnétique de sorte que

−→B = µ0

[−→H −−→

M(−→H )]

La relation entre l’aimantation−→M d’un milieu et l’excitation magnétique

−→H dépend de la structure

microscopique du matériau. Ainsi, dans les aimants, il existe une aimantation rémanente : bien qu’aucuncourant vrai n’existe, c’est-à-dire que l’excitation magnétique est nulle, il existe un champ magnétiquenon-nul.

La relation la plus générale entre les champs−→B et

−→H est une relation matricielle qui s’écrit, au point P :

−→B (P ) =

[

µ(P,−→H )] −→H (P )

où [µ] est la perméabilité du milieu : c’est une matrice dont les éléments dépendent a priori du point M

et de l’excitation magnétique−→H .

Si le milieu est isotrope l’aimantation induite par le champ magnétique est orienté suivant−→B . On en

déduit que−→H =

−→B

µ0−−→

M est colinéaire à−→B . La relation entre

−→B et

−→H devient

−→B (P ) = µ(P,

−→H )

−→H (P )

Si, de plus, le milieu est homogène la perméabilité ne dépend pas du point considéré dans le matériauaimanté. On en déduit −→

B (P ) = µ(−→H )

−→H (P )




Si, de plus, le milieu est linéaire la perméabilité ne dépend pas de l’excitation magnétique et l’on aune simple relation de proportionnalité entre

−→B et

−→H :

−→B (P ) = µ

−→H (P )

La relation constitutive d’un milieu magnétique linéaire, homogène et isotrope,est une simple relation de proportionnalité de sorte que

−→B = µ

−→H = µ0 µr

−→H

où µ = µ0µr est la perméabilité du milieu, µr est la perméabilité relative µr et µ0 =4π.10−7 H.m−1 est la perméabilité du vide.

Propriété

Lorsque le milieu est le vide, l’aimantation est nulle de sorte que

−→H =

−→B

µ0

−−→M =

−→B

µ0

=⇒ −→B = µ0

−→H

On a bien µr = 1 dans le vide.

Remarque

On distingue différents milieux magnétiques :⋆ les milieux diamagnétiques sont tels que µr ≤ 1 : l’aimantation s’oppose au champ magnétique

appliqué ;⋆ les milieux paramagnétiques sont tels que µr & 1 : l’aimantation est relativement faible et

dans le sens du champ magnétique ;⋆ les milieux ferromagnétiques sont tels que µr ≫ 1 : l’aimantation est très importante et

s’accompagne d’effets non-linéaires.

Remarque

Tous les milieux sont diamagnétiques. En effet, sous l’action d’un champ magnétique, les élec-trons se mettent à tourner autour des lignes de champ magnétique. D’après la loi de Lenz, leursmouvements, assimilables à des petites boucles de courant, génèrent un champ qui s’oppose auchamp magnétique appliqué.Un milieu paramagnétique est aussi diamagnétique mais le diamagnétisme est masqué.

Remarque




La perméabilité relative des milieux paramagnétiques et ferromagnétiques dépend de la tempé-rature. Pour les ferromagnétique, µr est de la forme

µr ∝1

T − Tc

pour T < Tc

où T est la température du matériau et Tc une température critique, appelée température de Cu-rie. Pour T > Tc, le caractère ferromagnétique disparaît et µr → 1. On peut ainsi désaimanterun aimant en le chauffant !

Remarque

II.2. Grandeur électrique et circuit magnétique torique

::::::::

ExerciceConsidérons un circuit électrique constitué d’un enroulement régulier de N spires parcourues par un courant

d’intensité I et bobinées autour d’un noyau ferromagnétique torique de périmètre moyen ℓ, de section S et

d’axe (Oz). On supposera la section du tore très petite à l’échelle de son rayon.

Trouver une relation entre l’intensité du courant qui traverse le circuit et la tension aux bornes du bobinage.

Figure 4 – Circuit magnétique torique.

Étude des symétries Soit un point M quelconque. Le plan passant par M et contenant l’axe (Oz)

est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Le vecteur−→H est un vecteur polaire : il est donc

orthogonal, au point M , à tout plan de symétrie passant par M . Le vecteur excitation magnétique estdonc orthoradial. En coordonnées cylindriques :

−→H (M) = H(M) ~uθ

Étude des invariances La distribution de courant est invariante par rotation autour de l’axe (Oz).On en déduit que les composantes de

−→H ne dépendent pas de θ. Finalement, on obtient

−→H (M) = H(r, z) ~uθ




Appliquons le théorème d’Ampère à un cercle C orienté par ~uz et de rayon r

∫

C

−→H · −→dℓ = Ilibre, enlacée avec

{

Ilibre, enlacée = NI∫

C

−→H · −→dℓ =

∫ 2π

0H(r, z) ~uθ · (rdθ ~uθ) = 2πr H(r, z)

On en déduit, en négligeant la section du tore

H =NI

ℓ

Par ailleurs, l’équation de Maxwell-Faraday étant vérifiée, le flux Φ du champ magnétique à travers lecircuit et la force électromotrice e aux bornes du bobinage sont reliées par la relation de Lenz-Faraday

e = −dΦ

dt

On peut légitimement supposé que−→B et

−→H sont colinéaire dans le milieu magnétique (l’aimantation

−→M

s’oriente dans le sens de−→H ). Dans ces conditions, on obtient

Φ =

∫

N spires

−→B ·

−−→d2S = NBS

où S est la section du tore. On en déduit

e = −NSdB

dt

Afin de relier e et i, il faut connaître la relation entre−→B et

−→H . Cette relation est généralement

complexe et dépend du matériau étudié.

Remarque

II.3. Étude expérimentale d’un matériau ferromagnétique

La relation entre−→B et

−→H dans un milieu magnétique peut être étudiée expérimentalement à l’aide du

montage ci-dessous.

• Mesure de l’excitation magnétique H

On rappelle que le théorème d’Ampère permet d’obtenir :

Hℓ = N1i1 +N2i2

où ℓ est la longueur moyenne du circuit magnétique.En choisissant N1 ≫ N2 et une amplitude I2,max faible (grande résistance d’entrée pour le montage

pseudo-intégrateur), on obtient :Hℓ ≃ N1i1

La tension lue sur la voie X de l’oscilloscope correspondant à −ri1, celle-ci est proportionnelle àl’excitation magnétique :

VX = −rL

N1H




X

Yu

1 u2

Figure 5 – Montage permettant de mesurer expérimentalement le cycle d’hystérésis B = f(H).

• Mesure du champ magnétique B

La tension aux bornes de l’enroulement secondaire est :

u2 = N2SdB

dt

où S est la section du circuit magnétique. Sous réserve que la fréquence utilisée soit suffisamment élevée

pour que le montage à amplificateur opérationnel puisse être assimilé à un intégrateur (ω ≫1

R′C), la

sortie de l’intégrateur est alors une fonction affine du champ magnétique B :

VY = −1

RC

∫

u2dt = −1

RCN2SB + V0

Appliquons une tension e sinusoïdale aux bornes du bobinage et utilisons un matériau ferromagnétique.La figure 6 représente la tension aux bornes de la bobine et le courant qui la traverse en fonction du temps.

Figure 6 – Représentation de la tension aux bornes d’un circuit bobiné sur un matériau ferromagnétiqueet parcouru par un courant d’intensité i. Si la tension e est sinusoïdale, le courant ne l’est pas : le matériauferromagnétique introduit des non-linéarités.

Bien que la tension soit sinusoïdale, le courant n’est pas sinusoïdal. Or e et B d’une part et i et H

d’autre part sont reliés par une relation linéaire. On en déduit que la relation entre−→B et

−→H n’est pas une

relation linéaire.




En utilisant le mode XY de l’oscilloscope, on peut représenter VY en fonction de VX . Cette courbecorrespond, à des coefficients de proportionnalité près, à la courbe B = B(H).

II.4. Cycle d’hystérésis

a):::::::::::::

Description::::

du:::::::

cycle:::::::::::::::

d’hystérésis

Le montage précédent (voir figure 5) appliqué à un matériau ferromagnétique permet d’obtenir lacourbe 7.

On constate que les valeurs prises par le champ magnétique dépendent du sens de variation de l’exci-tation magnétique. On parle de phénomène d’hystérésis et la relation entre B et H est représentée surun cycle d’hystérésis (voir figure 7).

0 H

BB sat

Br

Hc

pente µ0

Figure 7 – Relation entre B et H dans un milieu ferromagnétique.

La courbe B = B(H) d’un matériau ferromagnétique décrit un cycle d’hystérésis.Un matériau ferromagnétique est non-linéaire.

Propriété

On constate que pour des valeurs élevées de l’excitation magnétique, B est une fonction affine de Hde pente µ0. On a donc

B = µ0H + cste pour |H| grand

Par définition de l’excitation magnétique B = µ0(H+M), on voit que pour une excitation magnétiqued’intensité élevée

M = ±Msat pour |H| grand

où Msat = cste est une aimantation de saturation. L’aimantation est constante et maximale pour desvaleurs élevées de l’excitation magnétique.

On trace alors un cycle d’hystérésis donnant M en fonction de H en utilisant la relation

−→M =

−→B

µ0−−→

H

Le cycle d’hystérésis M = f(H) est représenté sur la figure 8.




0 H

MMsat

-Msat

Mr

Hc 0 H

MMsat

-Msat

Mr

Hc

b)a)

ouNS

ouNS

Figure 8 – Cycle d’hystérésis M = M(H) de différents matériaux ferromagnétiques. À gauche : cycled’hystérésis étroit (ferromagnétique doux). À droite : cycle d’hystérésis large (ferromagnétique dur).

Définition :

Un matériau ferromagnétique est caractérisé par un cycle d’hystérésisreprésentant l’aimantation M en fonction de l’excitation magnétique H.

1. On appelle aimantation rémanente la valeur positive Mr de Mlorsque l’excitation s’annule.

2. On appelle excitation coercitive (ou champ coercitif) la valeur Hc

de H pour laquelle l’aimantation M s’annule par valeurs croissantes.

3. Lorsque l’excitation magnétique atteint des valeurs élevées, l’aiman-tation atteint un maximum caractérisé par une aimantation de sa-turation ±Msat.

Lorsqu’un matériau ferromagnétique qui a subi une saturation est placé dans les conditions où

l’excitation extérieure−→H est nulle, le vecteur aimantation M peut prendre les valeurs ±Mr selon

l’évolution antérieure. On retrouve la notion de fonction mémoire décrite en électronique a.

a. Voir le montage de comparateur à hystérésis.

Remarque

La taille du cycle d’hystérésis dépend de l’amplitude de l’excitation et de la nature du matériau ferro-magnétique.




Définition :

On distingue différents types de matériaux ferromagnétiques :

⋆ les matériaux ferromagnétiques doux ont un cycle d’hystérésis étroit.Le champ coercitif est faible (inférieur à 100 A.m−1 .) ;

⋆ les matériaux ferromagnétiques durs ont un cycle d’hystérésis large. Lechamp coercitif est alors élevé (supérieur à 1 000 A.m−1 )

Figure 9 – Comparaisons des cycles d’hystérésis de matériaux ferromagnétiques dur et doux.

Dans un milieu ferromagnétique doux et à condition quel’aimantation ne soit pas saturée, on pourra utiliser l’approximation linéaire :

−→B = µ0 µr

−→H

avec µr ≈ cste.

Approximation linéaire




Figure 10 – Quelques ordres de grandeurs des excitations coercitive et des champs rémanents (le champmagnétique rémanent est le champ magnétique correspondant à l’aimantation rémantente).

b):::::::::::::::::

Interprétation:::::::::::::::::

microscopique

Le phénomène d’hystérésis s’interprète au niveau microscopique par l’existence de domaines, appelésdomaines de Weiss.La dimension caractéristique de ces domaines est de l’ordre de grandeur de la portée des interactions entreles moments magnétiques du matériau. Au sein de ces domaines, l’aimantation est quasi-uniforme mêmeen l’absence de champ magnétique extérieur.

Figure 11 –

Les interactions à moyenne portée des moments magnétiques entre eux peuvent conduire à leur aligne-ment. Il peut donc exister une aimantation rémanente, c’est-à-dire une aimantation pour une excitationmagnétique nulle.

Pour annuler l’aimantation, il faut donc appliquer une excitation magnétique opposée à l’aimantation.On comprend l’existence de l’excitation coercitive.

Enfin, pour des valeurs élevées de l’excitation magnétique, tous les moments dipolaires sont alignés etl’aimantation atteint un maximum. On comprend alors l’existence d’une saturation pour l’aimantation.

La figure 12 résume le comportement des dipôles magnétiques en fonction du point représentatif sur lecycle d’hystérésis.

II.5. Application : stockage sur bande magnétique

Certains ferrites de cuivre et de manganèse (ferroxcube) présentent des caractéristiques particulièrementintéressantes. En effet leur cycle d’hystérésis est quasiment rectangulaire (voir figure 13).

De tels matériaux peuvent être employés pour stocker de l’information sous forme de données binaires("0" ou "1") définies par la valeur de l’aimantation dans les différents domaines magnétiques.

C’est sur ce principe que fonctionne le stockage de l’information sur bandes magnétiques. L’applicationd’un champ d’excitation magnétique permet d’écrire sur la bande magnétique. La détection du champ




Figure 12 – Orientation des dipôles magnétiques en fonction du point représentatif sur le cycle d’hysté-résis. L’aimantation est ici notée J .

Figure 13 – Le cycle d’hystérésis de certains matériaux ferromagnétiques durs se rapproche d’un cycled’hystérésis idéal ç deux niveaux 0 et 1.




magnétique créé par l’aimantation permet la lecture des données 1.

a)

b)

c)

domaine magnétique

d'aimantation M

qq µm

Figure 14 – Supports magnétiques de stockage d’information : a) cassette audio et b) bande magnétique.c) Enregistrement des données sous forme binaire sur une bande magnétique grâce à l’orientation duvecteur aimantation.

II.6. Application aux aimants permanents

a):::::::::

Courbe:::

de:::::::::::

première:::::::::::::::

aimantation

Une fois conçu un matériau ferromagnétique, l’orientation de ses moments magnétiques est aléatoire :l’aimantation est donc nulle et l’excitation magnétique est nulle.

Afin de fabriquer un aimant permanent, il faut donc faire en sorte que tous les dipôles magnétiquessoient alignés. On place alors un bobinage autour du matériau magnétique et on applique un courant demanière à soumettre le matériau à une excitation magnétique croissante. En augmentant progressivementl’intensité du courant, l’excitation magnétique augmente et l’aimantation augmente jusqu’à la saturationdu matériau. La courbe M = f(H) obtenue est appelée courbe de première aimantation.

0 H

M

Msat

saturation de

l'aimantation

zone pratiquement

linéaire

Figure 15 – Courbe de première aimantation.

1. Le stockage de données sur les disques durs actuels fonctionne sur un principe proche, mais nécessitant une technologie

plus perfectionnées et reposant sur l’existence d’une magnétorésistance géante au niveau de la bande magnétique. C’est ce

principe qui a d’ailleurs valu le prix Nobel de physique au français Albert Fert en 2007.




Une fois la saturation obtenue, on ramène le courant à 0 : l’excitation magnétique s’annule et le milieuconserve son aimantation rémanente.

Les aimants ne peuvent être fabriqués qu’à partir de matériaux ferromagnétiques durs sinon ilsseraient désaimantés au voisinage de faibles courants.

Remarque

Figure 16 – Les aimants sont fabriqués à partir de matériaux ferromagnétiques durs.

b)::::::::::::::::::

Désaimantation

Avec le temps, les aimants se désaimantent : l’aimantation peut diminuer de quelques % par an pourles moins bons aimants ou quelques % par millénaire pour les meilleurs matériaux.

Toutefois, il est possible de désaimanter un aimant. Pour revenir à l’état dans lequel l’aimantation estnulle en l’absence d’excitation extérieure, on fait décrire au système des cycles d’amplitude de plus en pluspetite, en diminuant progressivement l’amplitude de l’excitation sinusoïdale appliquée.

0

H

M

Figure 17 – Principe de la désaimantation d’un aimant permanent. Les cycles décrits sont de plus enplus petits.




II.7. Canalisation des lignes de champ

Considérons un milieu ferromagnétique de très grande perméabilité relative µr ≫ 1. On cherche àdécrire la forme des lignes de champs à l’interface entre le milieu magnétique (milieu 1) et l’air (milieu 2).

Les relations de passage s’écrivent{

B2N = B1N continuité de la composante normale de−→B

H2T −H1T = µ0−→slibres ∧ ~n12 discontinuité de la composante tangentielle de

−→H

où ~n12 est le vecteur unitaire normale à l’interface orienté du milieu 1 (milieu ferromagnétique) vers lemilieu 2 (l’air).

En l’absence de courants libres −→slibres =−→0 , la composante tangentielle de l’excitation magnétique est

également continue. En supposant que l’approximation linéaire est valable, on a

B2N = B1N

B2T

µ2=

B1T

µ1

Notons θ1 et θ2 les angles que font les lignes de champ avec la normale à l’interface, respectivementdans le matériau et dans l’air de sorte que

tan θi =BiT

BiN

En faisant le rapport des équations de discontinuité, on obtient

tan θ2

µ2=

tan θ1

µ1

Or, dans le matériau ferromagnétique µ1 = µ0µr ≫ µ0 tandis que dans l’air µ2 ≈ µ0. On en déduit

tan θ1

tan θ2=

µ1

µ2

≫ 1

On en déduit que θ2 ≪ θ1 : les lignes de champ à l’extérieur du matériau sont quasiment normales àla surface tandis que les lignes de champ dans le milieu ferromagnétique sont quasiment tangentes à lasurface. Des exemples de lignes de champ sont représentés sur la figure 19.

air

ferromagnétique

champ magnétique normal dans

l'air au voisinage de l'interface

champ magnétique quelconque

dans le matériau ferromagnétique

Figure 18 – "Refraction des lignes de champ magnétique au niveau d’une interface entre un milieuferromagnétique et l’air.

On constate que le matériau ferromagnétique "canalise" les lignes de champ magnétique.




Un matériau ferromagnétique canalise les lignes de champ magnétique.

Propriété

On pourra donc considérer qu’une section de matériau ferromagnétique est un tube de champ.

Remarque

a)b)

c) d)

Figure 19 – Canalisation des lignes de champ magnétique par un matériau ferromagnétique.

III Transformateur parfait

III.1. Description

Un transformateur est composé d’un circuit primaire et d’un circuit secondaire. Ces deux circuits sontenroulés autour d’un matériau ferromagnétique comme le montre la figure ci-dessus. Les circuits primaireet secondaire comportent respectivement N1 et N2 enroulements.




Définition :

Un transformateur est constitué de deux bobinages enroulés autourd’un matériau ferromagnétique.On appelle enroulement primaire le bobinage relié à l’alimentation.On appelle enroulement secondaire le bobinage relié à la charge d’utili-sation.

Figure 20 – Un transformateur réalise un couplage par induction électromagnétique entre un circuitélectrique primaire et un circuit électrique secondaire par l’intermédiaire d’un circuit magnétique.

Les enroulements primaire et secondaire sont isolés l’un de l’autre d’un point de vue électrique.Un transformateur permet d’isoler le circuit d’alimentation du circuit d’utilisation.

Remarque

Figure 21 – Schéma conventionnel d’un transformateur parfait.




Par convention, les points sur les schémas désignent les bornes homologues : le circuit magné-tique étant orienté de manière arbitraire, on oriente le courant dans les spires de telle sorte queleur normale orientée (−→n 1 et −→n 2 sur la figure précédente) soit dans le même sens que le circuitmagnétique. Les bornes homologues sont alors la borne du primaire et celle du secondaire paroù rentre un courant positif avec la convention d’orientation définie sur la figure.

Remarque

Définition :

On appelle transformateur parfait le modèle du transformateur danslequel :

1. tout le flux magnétique est contenu dans le matériau ferromagné-tique (pas de fuites magnétiques) ;

2. la résistance des bobinages est nulle ;

3. la perméabilité relative est infinie : µr → ∞.

On modélise un transformateur parfait par le schéma ci-dessous.

Figure 22 – Représentation conventionnelle d’un transformateur parfait.

III.2. Équations de fonctionnement

a)::::::::::::::::::

Transformateur:::

et::::::::::::

induction::::

de::::::::::::

Neumann

Appelons u1 et u2 les tensions aux bornes des bobinages primaire et secondaire respectivement et i1et i2 les intensités des courants dans les circuits primaire et secondaire.

La loi des mailles appliquée au circuit primaire conduit à

u1 = r1 i1 − e1 avec e1 = −dΦ1

dt

où r1 est la résistance du bobinage primaire et e1 est la f.e.m. d’induction induite par la variation du fluxmagnétique à travers l’enroulement primaire.




De la même manière, au secondaire

u2 = r2i2 − e2 avec e2 = −dΦ2

dt

i1 i2

u1 e1 u2e2

Figure 23 – Schéma électrique équivalent au transformateur.

Si les flux Φ1 et Φ2 qui traversent les circuits primaire et secondaire sont constants alors

u1 = r1i1 et u2 = r2i2

Tout se passe comme s’il n’y avait pas de transformateur.

Le fonctionnement d’un transformateur repose sur le phénomène d’induction deNeumann.Le transformateur ne fonctionne donc pas avec des signaux continus.

Propriété

Supposons que toutes les lignes de champ magnétique soient canalisées par le matériau ferromagnétique.Le milieu magnétique est assimilable à un tube de champ et le flux ϕc à travers sa section est une constante.

Définition :

En l’absence de fuites magnétiques, le matériau ferromagnétique estun tube de champ magnétique.On appelle flux commun ϕc le flux magnétique à travers une section ma-tériau.

b)::::::::::

Relation:::::::

entre::::

les::::::::::

tensions

Appliquons la loi des mailles aux circuits primaire et secondaire

u1 = r1i1 −dΦ1

dtet u2 = r2i2 −

dΦ2

dtavec

{

Φ1 = N1ϕc

Φ2 = N2 ϕc

D’où, en négligeant la résistance des bobinages

u1 = −N1

dϕc

dtet u2 = −N2

dϕc

dt




soit

u1 =N1

N2u2

Afin d’obtenir ce résultat, nous avons utilisé les hypothèses suivantes :⋆ résistance des bobinages négligeables ;⋆ absence de fuites magnétiques.

Remarque

c)::::::::::

Relation:::::::

entre::::

les::::::::::

courants

Appliquons le théorème d’Ampère le long d’une ligne de champ C du vecteur excitation magnétique−→H .

En notant ℓ la longueur de la ligne de champ∮

C

−→H · −→dℓ =

∮

C

H dℓ = Hℓ = N1i1 +N2i2

Mais le champ magnétique doit rester fini dans le matériau et

−→B = µ

−→H avec µ → ∞

On en déduit −→H ≈ 0 dans le matériau

D’oùN1i1 +N2i2 = 0

Afin d’obtenir ce résultat, on a utilisé l’hypothèse µr → ∞.

Remarque

d)::::::

Bilan

Définition :

Un transformateur est caractérisé par son rapport de transformation

m =N2

N1

où N1 et N2 sont les nombres de spires des enroulements primaire etsecondaire respectivement.




Un transformateur parfait vérifie

u2

u1=

N2

N1= m transformateur parfait de tension

i2

i1= −

N1

N2

= −1

mtransformateur parfait d’intensité

Propriété

III.3. Bilan énergétique

La puissance apportée au primaire par le générateur vaut

P1 = u1i1

où u1 et i1 sont orientées en convention générateur.

La puissance reçue par une charge reliée au secondaire vaut

P2 = −u2i2

où u2 et i2 sont orientées en convention générateur.Pour un transformateur parfait

u2 = mu1

i2 = −i1

m

=⇒ u2i2 = −u1i1 soit P2 = P1

Un transformateur parfait est caractérisé par un rendement de 100% :

η =P2

P1= 1

La puissance électrique reçue au secondaire est égale à la puissance électrique fournieau primaire.

Propriété

III.4. Impédance ramenée

Considérons le montage de la figure 24 et cherchons à décrire le fonctionnement du transformateur vudepuis la source (vu du primaire) et vu depuis la charge (vue du secondaire).

Les équations de fonctionnement s’écrivent, pour un transformateur parfait :

{

E = R1i1 + u1

u2 = −Rci2avec

u2 = mu1

i2 = −1

mi1




Figure 24 –

a):::::::::::::

Impédance::::::::::

ramenée::::

au:::::::::::

primaire

Exprimons u1 en fonction de Rc et de i1 :

u1 =1

mu2 = −

1

mRc i2 = +

1

m2Rc i1

On en déduit l’équation de fonctionnement

E = R1i1 + u1 soit E =

(

R1 +Rc

m2

)

i1

Tout se passe comme si la charge au secondaire était vue depuis la source comme une impédance diviséepar m2, comme l’indique le schéma 25.

Figure 25 –

Une impédance Z2 situé dans le circuit secondaire est équivalente, du point devue du primaire, à une impédance

Z1 =Z2

m2

On parle d’impédance ramenée au primaire.

Propriété

b):::::::::::::

Impédance:::::::::::

ramenée:::

au:::::::::::::

secondaire

Cherchons maintenant à décrire le circuit du primaire tel qu’il est vu par la charge Rc. Autrement dit,cherchons une équation liant E à i2 et u2.

On a

E = R1i1 + u1 = −R1mi2 +u2

msoit mE +m2R1 = u2




Le dipôle équivalent à la source et à la résistance R1 vus du secondaire est un générateur de f.e.mmE et de résistance interne m2R1. Le montage, vu du secondaire, est donc équivalent à celui de la figureci-dessous.

i1

u cmE Rc

m R12

Figure 26 – Montage équivalent vu du secondaire.

Les équations du transformateur parfait étant linéaire, ces résultats sont généralisables au régimevariable en considérant des impédances.

Remarque

Considérons un transformateur parfait.Un générateur de f.e.m. E1 et d’impédance interne Z1 alimentant le circuit primaireest équivalent, du point de vue du circuit secondaire, à un générateur :⋆ de f.e.m. E2 = mE1 ;⋆ d’impédance Z2 = m2 Z2

où m est le rapport de transformation. On parle d’impédance et de source ramenéesau secondaire.

Propriété

On passe d’une impédance ramenée au primaire à une impédance ramenée au secondaire enéchange m en 1/m.

Remarque

III.5. Application : adaptation d’impédance

Reprenons l’exemple précédent et intéressons-nous à la puissance Pc transmise à la charge :

Pc =u2c

Rc

=1

Rc

(

Rc

Rc +m2R1mE

)2

=Rc

(Rc +m2R1)2 m

2E2

Cherchons quelle est la valeur de m qui permet de transmettre une puissance maximale à la charge :

dPdm

= E2 Rc

2m (Rc +m2R1)− 4m3R1

(Rc +m2R1)3




Le maximum est obtenu pour :

dPdm

= 0 soit Rc +m2R1 = 2m2R1 et m =

√

Rc

R1

Un rapport de transformation bien choisi permet donc de réaliser l’adaptation d’impédance de la chargeet du générateur. La présence du transformateur conduira à une amélioration de la puissace transmise parrapport au montage simple dans lequel Rc est en série avec R1.

L’adaptation d’impédance avec un transformateur n’est réalisable qu’en régime variable !

Remarque

III.6. Applications : isolement de deux circuits

Les transformateurs peuvent être utilisés pour la sécurité des personnes dans les installations domes-tiques (par exemple pour les prises de courant dans les salles de bains). En effet, le transformateur permetde découpler les potentiels aux bornes d’une prise et le potentiel de la terre.

Figure 27 – Au secondaire, une personne peut entrer en contact avec les points A et B sans dangerpuisque les circuits A-terre et B-terre sont des circuits ouverts. Le transformateur d’isolement permetd’assurer la sécurité des personnes.

Dans le même ordre d’idée, certaines précautions doivent être prises lorsqu’on utilise un alternostat (ouautotransformateur). En effet, un alternostat permet d’obtenir une tension en sortie inférieure à la tensiond’alimentation. Toutefois, même s’il existe une faible tension entre les bornes de sortie d’un alternostat, ilpeut exister une grande différence de potentiel entre un des fils en sortie de l’alternostat et la terre. Il faudratoujours utiliser un transformateur d’isolement dans un montage électrique contenant un alternostat.

Figure 28 – Il faut utiliser un transformateur d’isolement si le montage contient un alternostat afin delimiter les risques électriques.




On pourra également être conduit à utiliser un transformateur d’isolement pour pouvoir faire desmesures dans un circuit. En effet, les relevés de caractéristiques posent parfois des problèmes de masseconduisant à court-circuiter le circuit entre la masse de l’oscilloscope et celle du générateur. On utilisealors un transformateur d’isolement afin de découpler les masses des deux appareils.

a) b)

m

E

i

E R

diode

masse de

l'oscilloscope

masse du

générateur

Voie X

Voie Y

ui

R

diode

masse de

l'oscilloscope

Voie Y

u

Voie X

masse du

générateur

Figure 29 – Tracé de la caractéristique d’une diode. a) Sans transformateur, la mesure est impossible carla diode est nécessairement court-circuitée. b) Mesure avec un transformateur d’isolement.

Un transformateur permet de découpler les masses des circuits primaire et secon-daire.

Propriété

III.7. Application au transport de l’électricité

Considérons une installation électrique, assimilable à une impédance Z alimentée par une ligne EDF.On note U et I la tension et l’intensité du courant au niveau de l’installation.

En régime sinusoïdal permanent, la tension U et l’intensité I sont de la forme

U(t) = Ueff

√2 cos(ωt) et I(t) = Ieff

√2 cos(ωt− ϕ) avec

Ueff

Ieff= |Z|

ϕ = arg(Z)

la puissance consommée par cette installation vaut, en convention récepteur

P = U(t)I(t) = 2Ueff Ieff cos(ωt) cos(ωt− ϕ) = 2 Ueff Ieffcos(ϕ) + cos(2ωt− ϕ)

2

En valeur moyenne, la puissance consommée vaut donc

〈P〉 = UeffIeff cos(ϕ)

Mais le courant I(t) est débité dans les lignes EDF. Notons r la résistance des câbles qui transportentl’électricité et supposons l’intensité uniforme sur l’ensemble de la ligne (A.R.Q.S.). Dans ces conditions, lapuissance dissipée par effet Joule dans la ligne vaut

PJ = rI2(t)

soit, en valeur moyenne〈PJ〉 = r I2eff




En remplaçant Ieff par son expression en fonction de la puissance consommée au bout de la ligne, on a

〈PJ〉 = r〈P〉2

U2eff cos2(ϕ)

La résistance des câbles r, la puissance moyenne 〈P〉 consommée par la charge et l’impédance Z dela charge étant fixées, on voit que la puissance dissipée par effet Joule est d’autant plus faible que U estélevé. On aura donc tout intérêt à transporter l’électricité à haute tension en utilisant un transformateurau niveau de l’utilisateur pour abaisser la tension et la rabaisser à 220 V.

De la même manière, les transformateurs permettent d’alimenter des appareils sous une tension de 12ou 24 V à partir d’une tension de 220 V.

a) b)

c) d)

Figure 30 – Exemples de transformateurs : a) Transformateur monophasé, b) Adaptateur 220V/12V, c)Transformateur 20 000 V/220 V, d) Transformateur 400 000V/20 000 V.

IV Transformateur réel

IV.1. Courant magnétisant

Dans la réalité, bien que la perméabilité des matériaux ferromagnétiques soit élevée (µr ≈ 1000), il n’estpas exact de la considérer infinie. Par conséquent, dans le matériau ferromagnétique, le vecteur excitationmagnétique n’est pas tout-à-fait nul

−→B = µ0 µr

−→H =⇒ −→

H =

−→B

µ0 µr

6= −→0

Ainsi, le long d’une ligne de champ C de longueur ℓ

∮

C

−→H · −→dℓ = Hℓ = N1i1 +N2i2 6= 0




Définition :

Notons i1 et i2 les intensités dans les bobinages primaire et secondaire.On appelle courant magnétisant im l’intensité du courant dans le primaireen l’absence de courant dans le secondaire créant la même excitationmagnétique que i1 et i2

∮

C

−→H · −→dℓ = N1i1 +N2i2 = N1im

La relation entre les courants peut se ramener à la relation pour les transformateurs parfaits

N1(i1 − im) +N2i2 = 0 ⇐⇒ i2 = −i1 − im

m

Tout se passe comme si le transformateur parfait équivalent voyait une intensité i1 − im au primaire etune tension u1 non modifiée.

Lorsque i2 = 0, on a i1 = im. La tension au primaire vaut alors

u1 = −e1 =dΦ1

dtavec Φ1 = Lmim

où Lm est une inductance équivalente.

La prise en compte du courant magnétisant peut se traduire par l’ajout d’unebobine d’inductance Lm en parallèle au primaire sur le modèle du transformateurparfait.

Propriété

i1 i2

u1 u2

mim

Lm

i - i1 m

Figure 31 – Prise en compte du courant magnétisant du transformateur.

Cette inductance Lm dépend de i car le matériau n’est pas linéaire : la relation entre e1 = −dΦ1

dtet i1 ne peut pas être linéaire.

Remarque




IV.2. Inductances de fuite et résistance des bobinages

Les fils utilisés pour le bobinage présentent nécessairement une résistance r1 au primaire et r2 ausecondaire.

De plus, dans un transformateur réel, il faut tenir compte de la présence de fuites magnétiques. Eneffet, certaines lignes de champ traversent un seul des enroulements sans traverser l’autre. Il apparaît alorspour chacun des enroulements un flux qui n’est pas commun de sorte que

{

Φ1 = N1ϕc + Φ1f

Φ2 = N2ϕc + Φ2f

avec

{

Φ1f = L1f i1

Φ2f = L2f i2

où L1f et L2f sont des inductances équivalentes qui se placeraient en série avec les résistances des bobinages.

Le schéma ci-dessous permet de rajouter ces deux effets dans la modélisation du transformateur réel.

i1 i2

u1 u2

m

Lm

Lf 1 r1 Lf 2r2

Figure 32 – Prise en compte du courant magnétisant, des résistances des enroulements, et des fuitesmagnétiques du transformateur réel.

Les fuites magnétiques dans un transformateur réel peuvent être modélisées pardes inductances de fuite Lf1 et Lf2 placées respectivement en série au primaire etau secondaire d’un transformateur parfait.

Propriété

La relation entre les tensions est alors de la forme

e2 = me1 soit u2 −(

r2i2 + Lf2

di2

dt

)

= m

[

u1 −(

r1i1 + Lf1

di1

dt

)]

où e1 et e2 sont respectivement les f.e.m. aux bornes des bobinages primaire et secondaire du transformateurparfait équivalent.

V Bilan énergétique

V.1. Pertes fer

Considérons un transformateur alimenté au primaire par une tension u1 et un courant d’intensité i1,le secondaire étant en circuit ouvert. Le circuit magnétique est supposé torique de section S petite et depérimètre moyen ℓ.

L’application du théorème d’Ampère le long d’une ligne de courant C de longueur ℓ fournit∮ −→

H · −→dℓ = Hℓ = N1i1 = N1im car i2 = 0




L’intensité dans le circuit primaire est donc faible, égale à l’intensité du courant magnétisant.

L’intensité i1 étant faible et i2 = 0, les pertes par effet Joule sont négligeables. On en déduit que toutela puissance apportée au circuit primaire est dissipée dans la carcasse ferromagnétique.

Or cette puissance vautP1 = u1i1

L’application de la loi de Lenz-Faraday conduit à l’expression de la tension u1 au primaire

u1 = −e1 =dΦ

dt= N1S

dB

dt

On en déduit

P1 = u1i1 = −e1i1 =dΦ

dt

Hℓ

N1=

dB

dt

HℓN1 S

N1= Hℓ S

dB

dt

Mais Sℓ = V est le volume du matériau ferromagnétique de sorte que

P1 = V HdB

dt

La puissance moyenne reçue par le matériau ferromagnétique sur une période T , c’est-à-dire sur uncycle d’hystérésis, vaut

〈Pfer〉 =V

T

∫ T

0

HdB

dtdt =

V

T

∫

cycle

H dB

L’intégrale représente alors l’aire du cycle.

La puissance moyenne dissipée par un matériau ferromagnétique vaut

〈Pfer〉 = V × f ×∫

cycle

H dB

où⋆ V est le volume du matériau ;⋆ f est la fréquence ;⋆ l’intégrale

∫

cycleH dB représente l’aire du cycle d’hystérésis.

On parle de pertes fer.

Propriété

L’aire du cycle d’hystérésis dépend de la fréquence : l’aire est d’autant plus grande que la fré-quence est élevée.

Remarque

Les pertes fer sont dues à deux phénomènes :

Les pertes par hystérésis les sources doivent fournir de la puissance afin d’orienter les moments ma-gnétiques du matériau. Ces pertes sont proportionnelles ) la fréquence. Ces pertes sont d’autant plusfaibles que le matériau a un cycle d’hystérésis étroit, c’est-à-dire que le matériau est doux.




Les pertes par par courant de Foucault le matériau ferromagnétique est soumis à un flux du champmagnétique variable. Il est donc le siège d’une f.e.m. d’induction qui induit des courants de Foucaultdans le matériau. Ces courants de Foucault conduisent à une dissipation par effet Joule dans lematériau. Ces pertes sont proportionnelles au carré de la fréquence. Afin de limiter ces pertes, onutilise des matériaux feuilletés ou des ferrites qui sont des isolants électriques.

Les pertes fer se décomposent en :

⋆ pertes par hystérésis : proportionnelles à la fréquence f et à l’aire du cycled’hystérésis décrit de manière quasi-statique. Pour limiter ces pertes, on utilisedes ferromagnétiques doux dont l’aire du cycle d’hystérésis est faible.

⋆ pertes par courant de Foucault : proportionnelles à f 2. On limite ces pertes enutilisant comme matériau ferromagnétique des ferrites (isolants électriques) oudes matériaux feuilletés.

Propriété

Expérimentalement, les pertes fer sont déterminées en mettant le secondaire en circuit ouvert.

Remarque

V.2. Pertes cuivre

Définition :

La puissance dissipée par effet Joule dans les bobinages correspond auxpertes cuivre

Pcuivre = r1i21 + r2i

22

Les pertes cuivres sont obtenues en mettant le secondaire en court circuit.Dans ces conditions e2 = 0 = e1 et seule la dissipation par effet Joule intervient.

La puissance totale dissipée par un transformateur est constituée des pertes feret des pertes cuivre.

Propriété




V.3. Fonctionnement nominal et rendement

Dans un transformateur réel, le théorème d’Ampère permet d’écrire, le long d’une ligne de courant∮

C

−→H · −→dℓ = N1 i1 +N2 i2 = N1im

où im est le courant magnétisant.

On en déduit

i2 = −N1

N2(i1 − im)

La relation i2 = −i1

mn’est applicable que si im est négligeable, c’est-à-dire si i1 et i2 sont suffisamment

grands tandis que N1/N2 n’est pas trop grand.On retrouve alors la relation du transformateur parfait.

Pour que les intensités soient élevées, il suffit que l’intensité dans le secondaire soit élevée, cequi est le cas si l’impédance de charge est faible.

Remarque

Un transformateur se comporte comme un transformateur parfait d’intensitélorsque les courants au primaire et au secondaire sont forts.

Propriété

Les tensions au primaire u1 et au secondaire u2 dans un transformateur réel sont reliées par la relation

u1 = r1i1 + Lf1

di1

dt+N1

dϕc

dtet u2 = r2i2 + Lf2

di2

dt+N2

dϕc

dt

où ϕc est le flux magnétique commun à l’intérieur du matériau ferromagnétique.Si les intensités sont faibles (circuit secondaire alimentant une charge de grande impédance) et à basse

fréquence, on retrouve la relation du transformateur parfait avec les tensions u1 et u2

u2 = mu1

Un transformateur se comporte comme un transformateur parfait de tensionlorsque les courants au primaire et au secondaire sont faibles.

Propriété

Le transformateur fonctionne de façon optimale lorsque⋆ le courant dans le secondaire est assez fort pour supposer que

i2

i1= −

1

m

⋆ le courant dans le secondaire est assez faible pour supposer que

v2

v1= m

On parle alors de fonctionnement nominal.

Propriété




Appliquons une tension u1 au primaire et notons i1 l’intensité au primaire. Notons également u2 et i2 latension et l’intensité au secondaire. On choisissant une convention générateur au primaire et au secondaire,on définit le rendement du transformateur par

η =P2

P1avec

{

P1 = u1i1

P2 = −u2i2

Lorsque le transformateur fonctionne en régime nominal, son rendement est maxi-mal.

Propriété

On a nécessairementP1 = P2 + Pfer + Pcuivre

Remarque


Transformateur[1]

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