Transfert de Chaleur Par Rayonment
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UUNNIIVVEERRSSIITTEE AABBDDEELLMMAALLEEKKEESSSSAAAADDIIFFaaccuulltt ddeess SScciieenncceess BB..PP 22112211 TTttoouuaann
UUFFRREEnneerrggttiiqquuee
MMccaanniiqquuee ddeess FFlluuiiddeess eett MMaattrriiaauuxx
FFaaccuulltt ddeess SScciieenncceess TTttoouuaann
Cours de rayonnement thermique
Pr. Abdelaziz MIMET
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Chapitre I : Description des proprits rayonnantes des corps
I.1 Rayonnement Thermique
Le rayonnement thermique constitue lun des trois mcanismes par lesquels de
lnergie calorifique peut schanger entre corps tempratures diffrentes.
Le spectre des radiations lectromagntiques comprend les ondes radio, les micro-ondes,
les rayons X, les rayons gamma et certains rayons cosmiques.
Nous allons tudier uniquement le rayonnement thermique :
qui rsulte de lmission, par tous les corps au dessus de zro absolu, dondes
lectromagntiques, du fait de leur temprature, ou de lagitation molculaire et atomiqueassocie leur nergie interne calorifique.
La temprature joue donc le mme rle que le potentiel lectrique vis--vis dun
dplacement de charges lectriques (courant lectrique).
I.2. Nature du rayonnement thermique :
Deux thories, apparemment inconciliables, ont permis dexpliquer les phnomnes lis au
rayonnement en gnral :
La thorie ondulatoire lectromagntique de Maxwell, complte par Lorentz La thorie corpusculaire de Planck, reprise par Einstein
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On peut dcrire certains phnomnes de rayonnement par la thorie ondulatoire et
dautres par la thorie des quanta, mais aucune de ces thories nexpliquent
compltement toutes les observations exprimentales.
Pour lingnieur, il nest pas important de connatre la nature exacte du rayonnement
thermique. Nous utiliserons surtout la thorie ondulatoire parcequelle est la plus utile
dans les calculs de lingnieur.
Nous associons, une onde lectromagntique de frquence , un photon qui est une
particule de charge et de masse nulles et possdant une nergie E=h
h : constante de Planck valant 6.626 10-34J.S
: frquence en Hz
Lorsquon chauffe un solide, dans les tats de vibration des molcules et atomes
provoquent lmission dondes lectromagntiques distribues dans un domaine de
longueur donde compris entre 0,1 et 100 m.
La propagation de lnergie rayonne par un corps chaud est donc un phnomne
ondulatoire. La propagation se fait sous forme dondes lectromagntiques dont la vitesse
de propagation dans le vide est c = 3.108 m/s.
Le domaine des longueurs donde du rayonnement thermique comprend donc le spectre
visible (0,4 0,8 m), maispratiquement la plus grande partie de lnergie mise se trouve
dans linfrarouge et est donc invisible.
Dans notre cas, on ne sintresse quau transfert thermique par rayonnement. Engnral, tout corps dont sa temprature est suprieure au zro absolu peut jouer le rle
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dune source (met, sans interruption, un rayonnement thermique) et dun rcepteur.
Entre les trois modes de transferts thermiques existent des diffrences
fondamentales :
- le flux chang par rayonnement entre deux corps dpend normment du niveau de
tempratures : en fait, il dpend de la diffrence des tempratures absolues (Kelvin) des
deux corps, leves une puissance 4.
- En conduction et en convection, lchange dpend de la simple diffrence des
tempratures leves la puissance unit (comme en convection naturelle o la puissance
est 1,25).
On peut conclure que le transfert dnergie par rayonnement est particulirement intense
aux tempratures leves (fours, chambre de combustion, tuyre de fuse, ), mme
basse temprature, le rayonnement joue souvent un rle non ngligeable : dans les
radiateurs domestiques eau chaude par exemple (environ 80C).
Autre diffrence importante entre les mcanismes de transfert thermique :
Le rayonnement thermique, contrairement aux deux autres mcanismes, na besoin
daucun autre milieu entre les corps considrs (aucun support matriel solide ou fluide).
I. 3. Le spectre lectromagntique :
La matire met des ondes lectromagntiques sous leffet de diverses
excitations.
Le spectre des ondes lectromagntiques se manifeste sous divers aspects :
hertziennes, lumineuses, thermiques, rayons X, rayons et certains rayons
cosmiques (voir figure).
La vitesse de propagation des ondes lectromagntiques, ou clrit est la
mme que celle de la lumire, soit dans le vide C0=2,998.108
m/s.
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Dans un milieu matriel, la vitesse est infrieure C0, et donne par :n
CC
0 .
Avec n>1 : lindice de rfraction du milieu considr.
Ces ondes sont caractrises, soit par une longueur donde, soit par une
frquence,
Elles sont lies par la relation :
C
.
Il est important de savoir que fondamentalement, une radiation est caractrisepar sa frquence (
0
0C
),
Elle reste constante au cours de rflexion, diffusion, rfraction, c..d au
cours de ses interactions avec la matire, mme lorsquune radiation change de
milieu.
Mais change dans ce dernier cas cause de la variation de la vitesse selon lemilieu (
n
0 ).
0 est la longueur donde dans le vide
n est la longueur donde dans un certain milieu
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I. 4. Le spectre thermique :Nous tudierons ici uniquement le spectre thermique,
Celui qui rsulte de lmission, par tous les corps, au dessus du zro absolu,
dondes lectromagntiques, du fait de leur temprature, qui est due
lagitation molculaire et atomique associe leur nergie interne calorifique.
Ce rayonnement noccupe quune trs faible portion du spectre des ondeslectromagntiques comprise entre 0,1 et 100 m.
Cette zone est dlimite par les ultraviolets (UV) du ct de courtes longueurs
donde et les infrarouges (IR) du ct de grandes longueurs donde. Dans cette
plage, nos sens sont capables de dtecter la chaleur diffuse.
Le rayon devient perceptible lil (rayonnement thermique visible) dans le domaine
du visible entre 0,4 et 0,8 m.
Tout corps joue le rle de source (met, un rayonnement thermique) et de
rcepteur (le reoit dautres corps).
Pour fixer les ides, lmission dun corps noir 1500C se trouve pratiquement entre
0,6 et 20 m, et est donc presque compltement dans linfrarouge. Quant au rayonnement
solaire (avant de traverser latmosphre terrestre), il est compris (pour environ 99%) entre
0,1 et 4 m, un peu moins de la moiti de lnergie mise se trouve dans le spectre visible,
le maximum ayant lieu pour 0,5 m.
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Le mcanisme complet de lchange thermique par rayonnement est le
suivant :
Une transformation dnergie calorifique en un rayonnementlectromagntique (mission) par le corps-source, qui peut tre un solide,
liquide ou gaz.
Un parcours de rayonnement travers le vide, un milieu transparent(lair), ou semi-transparent (H2O, CO2, ).
Une interaction de ce rayonnement avec des sparateurs opaques, o il seconvertit, en partie et par absorption en nergie calorifique (augmentation
de son nergie interne), ou est rflchi en gardant son caractre dondes
lectromagntiques.
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I.5. Classification des corps du point de vue rayonnement :
I.5.1. Corps diathermane :
Cest un corps qui se laisse au moins partiellement traverser par
lnergie rayonnante : fumes, gaz, verre,
Si pendant sa propagation travers un tel milieu, lnergie
radiante se transforme partiellement en chaleur: on dit quelle est
absorbe. Un tel milieu est appel semi-transparent.
Un corps parfaitement diathermane est travers compltement parle rayonnement, sans absorption, mme partielle.
Le vide parat tre le seul milieu parfaitement diathermane bien quen
pratique, on considre souvent lair sec, ou lair humide sous de faiblespaisseurs.
Chaque particule situe l'intrieur d'un corps diathermane met
de l'nergie radiante. C'est notamment le cas des flammes. On a alors
affaire des phnomnes de volume.
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I.5.2 Corps athermane:
Un milieu est dit athermane sil est opaque tout rayonnement
dans la gamme des du rayonnement thermique.
Comme dans ce cours, on ne considre que lnergie thermique,on peut qualifier une plaque dacier dathermane (bien quelle soit
traverse par les rayons X ou les rayons cosmiques).
En gnral, le transfert de chaleur par rayonnement comprend trois
phases :
- lmission ou transformation dnergie dagitation molculaire en
ondes lectromagntiques (nergie de vibration, rotations, nergielectronique, en nergie des photons).
- La propagation de cette onde lectromagntique dans le diathermaneinterpos.
- Labsorption ou transformation totale ou partielle de londelectromagntique en chaleur (conversion inverse dnergie radiative
en nergie matrielle). Nous allons caractriser les corps vis--vis deces trois phases par diffrentes grandeurs que nous allons dfinir dans
ce cours.
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Rappels : Angles solides :
Un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angleplan. Onle note souvent (omga majuscule)
Au lieu de deux lignes se runissant un sommet, on a besoin
d'une figure tridimensionnelle qui se runit en un point, c'est--
dire un cne.
Les bons exemples de tels objets sont le cne de rvolution ou lapyramide, mais on peut prendre n'importe quel objet form par les
droites passant par un point et s'appuyant sur le contour d'unesurface ferme, quelle que soit sa forme (elle n'est en particulier
pas ncesssairement plane).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anglehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9gahttp://fr.wikipedia.org/wiki/C%C3%B4ne_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Pyramidehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Angle_solide_definition.pnghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pyramidehttp://fr.wikipedia.org/wiki/C%C3%B4ne_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9gahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Angle -
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Un angle se mesure par rapport la longueurCde l'arc sur uncercle de rayon unit (la circonfrence de ce cercle vaut 2) ; sil'on prend un cercle de rayonRquelconque, on prend pour angle
= C/R.
De la mme manire, un angle solide se mesure par rapport
l'aire Sde la surface d'une sphre de rayon unit (l'aire de cette
surface vaut 4 ). Si le rayonR de la sphre est quelconque, on
prend pour mesure = S/R2.
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I.6. Proprits caractrisant lmission dun corps :
On peut classer les grandeurs physiques selon deux critres indpendants :
- soit la composition spectrale du rayonnement : suivant que lon sintresse un intervalle
troit d centr autour dune longueur donde (grandeur monochromatique), ou lensemble du spectre du rayonnement thermique (grandeur totale).
- soit la distribution spatiale (directionnelle) du rayonnement : si on sintresse une
direction particulire, la grandeur sera qualifie de directionnelle, tandis quelle est
hmisphrique lorsqu'elle concerne lensemble des directions de lespace dans lesquelles
un lment de surface peut rayonner ou recevoir du rayonnement.
Rem : le qualificatif total ou hmisphrique est facultatif.
I.6.1. Grandeurs relatives aux surfaces mettant un rayonnement :
I.6.1.1. Flux total dnergie mis par une source :
Un corps port une certaine temprature convertit son nergie interne (nergie
microscopique) en rayonnement thermique.
Le flux total nergtique mis par un corps de surface S est l'ensemble de toute
lnergie rayonne par cette surface, par unit de temps. On envisage donc toutes les
directions d'missions possibles, tous les points de la surface et toutes les longueurs d'onde.
Le flux total s'exprime comme une puissance en Watt.
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I. 6.1.2. Emittance totale :
Cest le flux total mis par unit de temps et de surface de la source. On considre la
puissance dmise par un lment de surface dS dans lensemble des directions o il peut
rayonner.
Lmittance M est dfinie par :dS
d
S0S
limM
(W/m2)
: le flux nergtique rayonn parS dans toutes les directions.
La limite deS
lorsque S0 est donc le flux de chaleur rayonne par unit de surface
en un point P ou densit de flux de chaleur.
I.6.1.3. Luminance :
Nous allons maintenant dfinir une grandeur permettant de caractriser commentvarie dans lespace le rayonnement mis par une surface solide : soit
Pour tudier la rpartition de lnergie radiante mise par une surface, en fonction de la
direction, on est conduit la notion de luminance : cest le flux total mis en un point o de
la surface dans une direction ox rapport lunit de surface normale ox et dans un angle
solide unitaire, dirig suivant ox.
cosdSd
d
cosS
ox
0S,lim
'S
ox
0'
S,
limL ox2
ox
(W/sr.m2).
Rem : Langle solide dest la surface intercepte, sur une sphre de rayon unit, par une
dS
dS'
S
xLox
Iox
n
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surface conique dont le sommet est plac au centre de cette sphre.
Lexprience montre que la luminance dpend de :
- la nature du matriau constituant le corps- ltat de surface de la source- la temprature de la source- la direction ox considre- les dimensions de la surface- la longueur dondeOn constate en effet, par exemple, qu la mme temprature et dans la mmedirection lacier poli met plus que laluminium poli, quun mtal oxyd met plus que le
mtal poli la mme temprature, que les matriaux mettent dautant plus que leur
temprature est plus leve.
I.6.1.4. Intensit dune source :
Lintensit dune source de surface dS dans une direction donne est la puissancemise, dans une direction, par unit dangle solide centr sur cette direction :
cosdSLd
dox
0
limI oxox
ox
(W/sr).
I.6.1.5. Rpartition spectrale de lnergie rayonne :
Toutes les proprits prcdentes se rapportent un rayonnement total, quelque soit
sa rpartition spectrale. Il peut tre utile de caractriser lnergie mise par un corps dans
un intervalle lmentaire de longueur donde (, +d).
Soit , le flux monochromatique mis par la longueur donde est gale
d
)(davec
0 d)(
- La luminance monochromatique :
dcosdSd
)(d
cosS
)(limL
0S 0
0
dS
dR1
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Comme2
112
D
cosdSd
2
21212
2
D
dSdScoscosd
Lclairement de dS1 sera donc :2
2212
1
2
D
dScoscosL
dS
dE
I.6.2.3. Loi de Lambert :
Pour certains corps, quon appelle lambertiens , la luminance une temprature
donne, est la mme dans toutes les directions x. On dit quils mettent de faon isotrope
ou diffuse.
Dans ce cas, Lox=L : la loi de Lambert exprime que la luminance, quelque soit les valeurs
de et T, est indpendante des angles dmission.
Donc : dS
I
cosdS
IL
onox
(dans la direction On normale la surface).
I.6.2.4. Relation entre mittance et luminance dans le cas dune mission diffuse
(ou isotrope) :
Considrons un point sur lhmisphre, et donc une direction, qui est dfini par des
angles et .
d
N
R
RdS
2
dS1
r
0 2
0 /2
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La surface diffrentielle dS2dans lespace, travers laquelle passe un flux mis par dS1,
sous-entend un angle solide d partir dun point de dS1, on a : dS2 = r.d.R.d =
r2.sin.d.d
Le flux mis par dS1 (de luminance L), dans langle solide d, vaut : d =
L().dS1.cos.d = L().dS1.cos.sin.d.d / 22r
dSd
Lmittance de dS1 sera :
2
020hmisphre
ddsincos),(Ld),(LM
Pour les corps lambertiens, la luminance est indpendante de la direction (L()= L)
2
0
22
020
L)(sind2
1L2ddsincosdLM
De mme, pour les grandeurs monochromatiques : LM
IV. Lois du rayonnement du corps noir :
IV. 1. Dfinition du corps noir :
Le corps noir est une surface idal, qui absorbe tout rayonnement quil reoit. On
peut raliser assez parfaitement un corps noir en prenant une cavit recevant le
rayonnement par un petit orifice (ouverture perce dans sa paroi).
En effet, tout rayonnement pntrant dans la cavit par cet orifice ne pourra ressortir
quaprs avoir subit un nombre plus ou moins importatnts de rflxions sur les parois
intrieures. A chaque rflxion, il y a une absorption partielle.
Lorifice de la cavit joue le rle dun absorbeur quasi-parfait.
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Ltude du rayonnement dune surface quelconque prsente un aspect assez
complexe puisque ce rayonnement dpend de plusieurs paramtres rarement indpendants
les uns des autres. Pour simplifier le problme, on utilise une mthode analogue celle
utilise pour ltude des gaz rels, o on commence par tablir les proprits dun gaz
standard ou idal : gaz parfait.
De mme, ici le rayonnement dune surface quelconque sera compar celui dune
surface standard, ou un corps talon corps noir , dont les proprits doivent tre tablies
en premier, et les autres vont tre caractriss par les diffrences entre les proprits et
celles du corps noir.
IV. 2. Energie mise par le corps noir :
Le rayonnement lectromagntique absorb par louverture du corps noir est mis par
les parois internes puis rabsorb jusqu absorption totale. A lquilibre (lenceinte se
trouve une temprature constante T), la quantit dnergie mise par unit de temps est
gale la quantit absorbe.
Cette enceinte de temprature T est le sige dondes lectromagntiques, qui sont
quivalentes une assemble de photons obissant la statistique de Bose-Einstein (le spin
est entier).
A une onde de frquence , on associe des photons dnergie =h, h tant la
constante de Planck.
Cherchons lnergie des photons dont la frquence est comprise entre et +d.
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Le nombre de photons ayant une nergie comprise entre et +d
est :
d)(gtat
particulesdenombre
detentretats'dnombretat
particulesdenombredN
On montre que la dgnrescence
dCh
V8d)(g
33
2
Or, le nombre moyen de particules par tat est :kT
1/
1e
1ni
, do
d
)1e(Ch
V8
1e
d)(gdN
33
2
En remplaant par h, on trouve le nombre de particules correspondant une frquence
comprise entre et +d :
d
)1e(C
V8dN
h3
2
Ainsi, lnergie des photons sera :1e
d
C
Vh8dN.d
3
3
IV. 3. Loi de Planck : mittance monochromatique du corps noir :
La loi de Planck permet de calculer lnergie mise par un corps noir en fonction de
la longueur donde considre et de la temprature de la surface.
Ainsi, lmittance monochromatique dans le vide est, dans lintervalle d, :
1e
d
C
h8dMh3
0
3
, or
0C
dCd 20
MCM
20
Do
)1e(
hC8
)1e(C
CCh8
M0hC
5
0
h30
2
0
3
30
Ainsi :1e
.C
MT
C
51
2
avec 01 hC4C , et K
hCC
0
2
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utilisable que pour les rayonnements de grandes longueurs donde telles que les
ondes radio, par contre elle nest pratiquement pas utilisable dans les rayonnements
thermiques.
IV. 3. 2. Formule simplifie de Wien :
Pour de faibles longueurs donde
1
T
C2 , on obtient : TC
51
2
eCM
Lerreur introduite par lemploi de cette formule est infrieure 1% pour T 3000
m.K.
Remarque : formule valable pour le visible, employ surtout en pyromtrie optique.
IV. 3. 3. Loi de dplacement de Wien :
Cette loi relie la temprature T la longueur donde m pour la quelle la
courbe de Planck passe par un maximum. 0M
si = m
En rsolvant cette quation avec la variable T, on trouvera : K.m8,2897T.m :
1re
loi de Wien.
Ce qui montre que m se dplace vers les courtes lorsque la temprature slve.
a. Tamb = 290 K m = 10 mb. T = 2900 K m = 1 mc. Tsoleil = 6000 K m = 0,48 m
Lmittance 55
8,2897C
51
T T.BT.
e
)8,2897(CM
2m
IV. 3. 4. Loi de Stefan-Boltzmann :
Cette loi sintresse lmittance totale en fonction de la temprature, en intgrant la
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loi de Planck, on obtient :
d
)1e(
C2dMM
0
T
C
5
1
0 2
dx
1e
x
C
C2M
0 x
3
42
1
/
T
Cx
2
44
42
1T.
15C
C2M
avec la constante de Stefan : 428
42
51 K.m/W10.67,5C15
C2
.
IV. 3. 5. Energie mise dans un intervalle de longueur donde :
Dans les calculs dchange thermiques, il est souvent ncessaire de connatre
lnergie mise dans une bande de longueur donde bien dtermine 21, :
2
1
2
1
21dM
T
1
dM
dM
F0
4
0
0
0
Que lon peut crire sous la forme :
12
12 0
0
40
0
400dM
T
1dM
T
1FF
Ou bien :
T
0 5
0T
0 5
0
T0T012
12)T(d
T
M1)T(d
T
M1FF
Les valeurs de T0F sont donnes dans la littrature.
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Exemple : pour un corps noir : 956,0FF T5,0T5 mm
95,6% du rayonnement du corps noir est mis entre 0,5 m et 5 m
Autre exemple : pour le soleil : 46,0FF 8,04,0
46% de lnergie solaire est rayonne dans le visible.
V. Le rayonnement des corps rels :
V. 1. Emissions des corps rels :
V. 1. 1. Emissivit :
Lvaluation des proprits des corps rels se fait par rapport celle du corps noir
plac dans les mmes conditions de temprature et de longueur donde, laide des
coefficients appels missivits, totales ou monochromatiques, hmisphriques ou
directionnelles.
Ainsi, les mittances totales et monochromatiques dune surface seront fournies par
les relations :
00 MM;MM .
Avec : missivit totale hmisphrique0L
L
4
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
dM
T1
dM1
dM
dL
dL
dL
-
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26
et ox : missivit totale directionnelle :4
0
0,ox
4
0
0,ox
0
0
0,ox
ox
T
dM
T
dL
dL
dL
L
L
* Pour un corps gris, est indpendante de :
et ox,ox
* Pour un corps mission diffuse :
ox et ox,
* Pour un corps gris et diffusant :
ox,
V. 1. 2. Absorptivit, rflectivit, transmittivit, monochromatiques :
Une surface quelconque, ne rayonnant pas en gnral comme un corps noir,
nabsorbe donc pas la totalit du rayonnement quelle reoit.
Soit une surface S recevant un flux i monochromatique de longueur, ainsi :
- une partie )( ia est absorbe- une partie )( ir est rflchie spculairement- une partie ( )i est rflchie dune faon diffuse, cd renvoye dans toutes les
directions, ainsi la partie rflchie globale est i avec )( .
- Lnergie restante )( it pntre dans le corps en gardant sa forme dnergieradiante et en suivant les lois de rfraction : cest le flux transmis.
-
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Chacun des facteurs et, est fonction de :
- la nature chimique du corps- ltat de la surface- la longueur donde- la temprature de la surface- langle dincidenceEntre ces facteurs existe la relation suivante : 1
Si 0;1 : la surface est dite parfaitement rflchissante pour la longueur
donde .
Si 0;1 : la surface est dite parfaitement transparente
Si0;1
: la surface est dite parfaitement absorbante
Le flux incident total :
d0
ii
d0
ir ;
d0
ia ;
d0
it
d
d
0i
0i
i
a ;
d
d
0i
0i
;
d
d
0i
0i
V. 2. Proprits radiatives des corps rels :
-
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V. 2. 1. Loi de Kirchoff :
Cette loi exprime lide quun corps met autant dnergie quil absorbe, ce qui
relie les coefficients dmission et dabsorption.
Considrons un corps enferm dans une enceinte impermable aux
rayonnements, la temprature T :
A lquilibre, tout le systme est la temprature uniforme T.
Donc, le flux capt par dS (suivant une direction px, et la longueur donde ) est
gale celui quil met dans les mmes conditions. Ainsi :
ddcosdSLddcosdSLd 0,pxmis,
Le flux absorb est :
ddcosdSLd 0,pxabsorb,
Lgalit donne : ,px,px
En gnral, labsorptivit totale et lmissivit totale sont diffrentes, sauf pour:
-
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29
* un corps gris : comme et
* un corps noir : comme 1 pour tout 1
Lmissivit et labsorptivit des matriaux sont calculs partir de leurs proprits
optiques et lectriques (thorie lectro-magntique de Maxwell).
V. 2. 1. 1. Effet de Serre :
L'effet de serre repose sur le fait que certains matriaux ont des proprits trs
diffrentes dans deux domaines spectraux diffrents. C'est notamment le cas des
matriaux utiliss pour les vitres (verre, plexiglas, polycarbonate...) qui sont
transparents au rayonnement solaire (transmittivit leve), mais qui absorbent le
rayonnement infrarouge, cause de la faible transmittivit (et donc des hautes
rflctivits et absorptivits).
Prenons une plaque noire dont la face arrire est isole thermiquement, on ne
considre que les changes radiatifs (les changes par convection et conduction sont
supposs ngligeables).
(a) : si la plaque est seule, elle reoit et absorbe le rayonnement solaire. Cette
puissance absorbe vaut 100 dans une unit arbitraire. A l'quilibre thermique, les
puissances reues et perdues par la plaque sont gales, et la puissance du
rayonnement infrarouge mis par la plaque vaut galement 100 dans nos units. (Tsolei
-
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30
= 6000 Km= 0,6 m) ; (Tplaque = 300 Km= 10 m).
(b) : on recouvre la plaque par une vitre parfaitement transparente au rayonnement
solaire et parfaitement opaque au rayonnement infrarouge lointain. A l'quilibre
thermique, le systme "vitre-plaque" perd comme prcdemment autant d'nergie
qu'il en gagne. La seule diffrence est que maintenant c'est la vitre qui a mis le
rayonnement infrarouge l'extrieur.
(c) : regardons maintenant les changes l'intrieur du systme "vitre-plaque". Si la
vitre met 100 vers l'extrieur, par raison de symtrie elle met galement 100 vers la
plaque. Celle ci reoit donc en plus du rayonnement solaire le rayonement infrarouge
mis par la vitre. A l'quilibre thermique, la plaque doit perdre par rayonnement
infrarouge autant d'nergie qu'elle en gagne, c'est dire 200 dans nos units. On peut
vrifier que la vitre est alors aussi en quilibre : elle reoit 200 et met 200 (100 vers
l'extrieur, 100 vers la plaque).
Ainsi un observateur qui regarde de loin n'est pas capable de savoir si notre
plaque est recouverte ou non par une vitre car dans les deux cas il reoit un mme
rayonnement infrarouge.
La situation de la plaque est trs diffrente puisque dans le cas a, elle met 100
alors que dans le cas b, elle met 200. Et cette mission plus importante se fait via
une augmentation de la temprature de la plaque.
Sur Terre, les constituants qui interviennent dans l'effet de serre naturel sont la
vapeur d'eau, le dioxyde de carbone, mthane...
Le rayonnement solaire, essentiellement visible, est rflchie 30% par
l'atmosphre et le sol, 20% de ce rayonnement solaire est absorb par l'ozone et la
-
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vapeur d'eau. Il reste alors 50% du rayonnement solaire, qui est absorb par la surface
puis rmis sous forme de rayonnement infrarouge. Certains auteurs parlent de
rayonnement infrarouge tellurique.
L'atmosphre terrestre absorbe alors 95% de ce rayonnement infrarouge tellurique (50% par
la vapeur d'eau, 25% par le dioxyde de carbone, le reste par le mthane, l'ozone (qui a une bande
d'absorption centre 11,4 m), les nuages..., puis rmet toujours dans l'infrarouge un
rayonnement contribuant l'chauffement du sol.
Cet effet de serre est important car il permet la temprature de surface de la Terre d'tre
environ 30C plus lev que si l'atmosphre n'tait pas prsente. On estime que la vapeur d'eau est
responsable d'un effet de serre naturel de + 20C alors que le C0 2 contribue une lvation de la
temprature d'quilibre la surface de la Terre de + 10C.
Actuellement, les hommes, de par leurs activits, augmentent notablement la concentration
des gaz effet de serre, ce qui fait craindre un rchauffement significatif de la temprature moyenne
de notre plante.
VI. Echanges radiatifs entre surfaces spares par un milieu parfaitement transparent :
VI. 1. Echanges entre surfaces noires :
Considrons deux lments de surfaces diffrentielles dS1, la temprature uniforme T1, et
dS2 la temprature uniforme T2, spars par la distance r.
Le flux quittant dS1 et incident sur dS2scrit :
111
0
11110112dSdS dcosdSM
dcosdSLdd 21
-
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avec2
221
r
cosdSd
, do
2
212101
12r
coscosdSdSMd
en intgrant :21
S S 2
2101
S S1212SS dSdS
r
coscosMd
1 21 221
: Cest le flux mis par
S1, qui atteint S2.
VI. 1. 1. Facteurs de forme :
On appelle facteur de forme21 SS
F
la fraction du flux quittant la surface S1 (dans toutes les
directions), qui tombe sur la surface S2 : 21S S 2
21
1
12SS dSdS
r
coscos
S
1FF
1 221
Tel que : 1210112 FSM , de mme 212
0221 FSM
Avec F21: fraction dnergie misepar S2 qui atteint S1.
Or21212121
S S 2
21FSFSdSdS
r
coscos
1 2
: relation de rciprocit.
Lutilit des facteurs de forme facilite normment le calcul pour des gomtries complexes, surtout
la relation de rciprocit qui est particulirement importante.
VI. 1. 1. 1. Rgle daddition et principe de fermeture :
Si on subdivise une surface totalement ferme (four, pice dhabitation, ) en diffrentes
parties numrotes S1, S2, , Sn, de faon que lon puisse attribuer chacune une temprature
uniforme et une proprit rayonnante (, ou ), on aura :
- pour la ime surface Si : Fi-1 + Fi-2 + ..+ Fi-n = 1, car :
1FFFn
1j
ij
n
1j
iji
n
1j
iji
n
1j
iji
(rgle daddition pour une enceinte)
Fiiest la surface de forme de lchange de S i avec elle-mme, il est nul si la surface est non
concave, mais dans le cas d'une surface concave, une partie de cette surface peut "voir" une partie
d'elle-mme (cd une telle surface intercepte une partie de son propre flux mis de sorte que le
facteur de forme correspondant n'est pas nul.
Application : Calculer les facteurs de forme existant dans un four sphrique S2 au centre duquel on
-
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33
place une sphre S1 On suppose que les changes sont diffus.
VI. 1. 2. Principe de dcomposition :
Considrons deux surfaces diffuses S1 et S2, si une surface S1 est dcompose
gomtriquement en deux surfaces S3 et S4, alors : 1-2= (3+4)-2 = 3-2 + 4-2, qui peut scrire :
S1 F12 M1 = S3 F32 M2 + S4 F42 M4
Comme M1 = M3 = M4 S1 F12 = S3 F32 + S4 F42, en appliquant la relation de rciprocit Si Fij = Sj
Fji
On trouve : F21 = F23 + F24.
Lintrt de la dcomposition est de combiner les facteurs de forme et faciliter le calcul.
VI. 1. 3. Flux net chang :
Le flux net est le flux perdu par chaque surface par suite des changes thermiques pour
quelle garde sa temprature uniforme.
Soit 12net le flux net chang par rayonnement entre deux surfaces noires S1 et S2 = 12 - 21.
12: perte dnergie thermique pour S1
21: gain dnergie thermique pour S1
)MM(FSFSMFSM 02
01121212
02121
01net12
)TT(FS42
41121
VI. 1. 4. Cas de plusieurs surfaces noires :
Soit k le flux fourni la surface Sk par une source extrieure pour la maintenir la
temprature uniforme Tk, cest aussi le flux net perdu par Sk.
Le flux mis par Sk est Sk Tk4
, le flux reu par Sk partir dune surface Sj est Tj4
SjFj-k. Le bilan
nergtique donne :
-
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34
n
1j
kjk4
jk4
k
n
1j
jkj4
jk4
knet,k FSTSTFSTST daprs la relation de rciprocit.
Comme
n
1j
kj4
jk
n
1j
kjk4
knet,k
n
1j
kj FTSFST1F
kj
n
1j
4j
4kk FTTS
VI. 1. 5. Cas de gomtries simples :
Dans le cas dun grand nombre de gomtries simples (> 5), lexpression
21S S 2
21
1
12 dSdS
r
coscos
S
1F
1 2
peut tre interprte analytiquement, les paramtres gomtriques
sont souvent ramens un nombre minimum en utilisant des nombres sans dimensions. En gnral, on
procde une intgration numrique, les surfaces pouvant tre discrtises selon une mthode aux
lments finis.
Pour un nombre de surfaces ( 5), on peut appliquer les relations signales auparavant ou faire une
analogie lectrique.
VI. 1. 5. 1. Relations de rciprocit particulires :
a) rectangles diagonalement opposs sur deux plans perpendiculaires ayant une arte commune :
b) deux paires de rectangles opposs faisant partie de plans parallles :
c) quatre paires de rectangles opposs appartement des plans parallles :
A1F1-2 = A3F3-4
A1F1-4 = A2F2-3
-
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35
d) rectangles perpendiculaires opposs diagonalement :
e) rectangles parallles opposs diagonalement :
VI. 1. 5. 2. Catalogues de facteurs de forme :
Plusieurs gomtries simples ont t tudies pour donner les facteurs de forme, soit sous forme
dquations, ou dabaques, ou logiciel (programme informatique).
Nous donnerons ici quelques rsultats parmi les plus importants :
A3F3-6 = A2F2-7 = A1F1-8 = A4F4-5
A1F1-3 = A3F3-1
A1F1-9 = A3F3-7 = A9F9-1 = A7F7-3
-
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36
a) une surface S1 et un rectangle S2 situ dans un plan parallle :
a
cCet
a
bBavec
C1
Barctg
C1
C
B1
Carctg
B1
B
2
1F
222212
a) une surface S1 et un rectangle S2 situ dans un plan perpendiculaire :
a
cCet
a
bBavec
C1
Barctg
C1
1Barctg21F
2212
c) deux rectangles parallles laplomb lun de lautre :
-
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37
d) deux rectangles perpendiculaires possdant une arte commune :
VI. 1. 6. Analogie lectrique :
On peut reprsenter le relation exprimant le flux net chang entre deux surfaces noires par une
relation concernant un rseau lectrique entre deux nuds de potentiels V1 et V2, spars par une
rsistance R12.
)VV(
R
1I)MM(FS 21
1212
02
01121net12
, dont le schma reprsentatif est le suivant :
-
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38
VI. 1. 7. Conclusions :
En gnral, on considre toujours quune enceinte noire est remplie (dans le cas simple) par un
milieu parfaitement diathermane. En pratique, on peut distinguer :
- une ou plusieurs surfaces solides temprature plus leve et qui servent de source de chaleur.
Exemple : des rsistances parcourues par un courant lectrique, des panneaux chauffs par circulation
deau chaude ou de vapeur.
- une ou plusieurs surfaces solides temprature faible et qui servent de puits de chaleur.
- des surfaces qui sont flux net nul, cd qui, au total, ne gagnent ni ne perdent de chaleur par
rayonnement (une porte rfractaire isolante dun four).
Dans tous les cas, on aura affaire une enceinte, tant donn que toute surface peut tre considre
comme tant entour par une enveloppe constitu dautres surfaces solides ou mme douvertures
(fentres), ainsi on peut tudier toutes les changes thermiques en jeu entre la surface considre et le
reste de lenceinte.
Pour ce faire, on subdivise lenceinte en un nombre suffisant de surfaces (chacune de temprature
uniforme et de proprit rayonnante). Une ouverture sera considre, pour le rayonnement intrieur,
comme un plan-source (laissant pntrer le rayonnement provenant de lextrieur).
- chaque fentre, on attribuera une temprature quivalente de corps noir correspondant au rayonnement
pntrant par la fentre.
- si le rayonnement est nul ou ngligeable, on considrera que la fentre comme un corps noir
temprature nulle, qui absorbe toutes les radiations voulant sortir de lenceinte.
VI. 2. Echanges dans une enceinte compose de surfaces diffuses grises spares par un milieu
parfaitement diathermane :
Considrons une enceinte divise en n surfaces telles que :
-
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39
- les surfaces sont opaques (+ = 1)
- les proprits radiatives sont celles des surfaces grises diffuses ( = = 1- ) sont uniformes de mme
que la temprature (indpendants de , et les mmes en tout point de la surface).
- les surfaces mettent et rflchissent de faon isotrope (la mme selon toutes les directions).
VI. 2. 1. Radiosit :
Pour une surface opaque quelconque S soumise un clairement E (provenant de toutes les
directions de lhmisphre). Une partie de cet clairement E est absorbe (transforme en chaleur), le
reste E est rflchi.
On appelle radiosit J de la surface S, le flux radiatif par unit de surface qui quitte la surface S :
E)1(TEME)1(MEMJ 40
- pour une surface noire : 0MJ
- pour une surface opaque : E)1(MJ11;0 0
Le flux net perdu par la surface S = flux misflux absorb :
S)EJ(S)E)1(M(S)EM(net ou bien )EM(SS)EM(00
net
En introduisant la radiation J : )JM(1
S 0net
Si on considre que lenceinte est constitue de n surfaces S i, le flux incident sur Si sera :
n
1j
jiji
n
1j
jjij
n
1j
jii JFSJFS
Or la radiosit pour la surface Si est :
n
1j
jiji0ii
n
1j
jiji0iii
JF)1(MJFMJ
-
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40
0ii
n
1j
jijii MJF)1(J
En introduisant le symbole de Kronecker ij : 4ii0iij
ijiij TMJjF)1( : quation utilise
dans le cas o la temprature T i est connue.
Si cest le flux qui est connu, le flux net perdu par unit de surface est :
n
1j
jijij
n
1j
jijiinet J)F(JFJ systme linaire de n quations n inconnues Jj quon doit
rsoudre pour obtenir les tempratures laide de lquation : )JT(
1i
4i
i
iinet
VI. 2. 2. Reprsentation analogique :
Lexpression du flux rayonn par une surface (grise et diffusante) est :
)VV(R
1I)JM(
1
S21
iii
0i
i
iiinet
O iI reprsente le courant traversant une rsistance iR sous une diffrence de potentiel )VV( 21 . La
rsistanceii
ii
S
1R
est appele rsistance de surface.
Lorsquil y a change entre deux surfaces Si et Sj, le flux net quittant Si et incident sur Sj est :
iji
jiijijijjijiijiinet
FS
1
)JJ()JJ(FSJFSJFS
;
ijiFS
1est appele rsistance gomtrique (ou
rsistance spatiale)
jijFS
1est appele rsistance gomtrique (ou
rsistance spatiale)
-
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41
Considrons maintenant le rseau complet dune enceinte compose de deux surfaces grises diffuses. Le
flux net perdu par Si, est en valeur absolue, le mme que jnet :
jnet
jj
j
ijiii
i
0j
0i
inetij
S
1
FS
1
S
1
MM
Dans le cas des changes mutuels entre trois surfaces grises et diffusantes, le schma analogue
serait comme suit :
Dans le schma, nous aurons affaire :
- 3 rsistances de surfaces (une pour chaque surface)
- 3 rsistances gomtriques : une entre chacune des surfaces prises deux deux (pour n surfaces, cela
ferait n (n-1)/2 rsistances gomtriques)
- 3 nuds reprsentant les mittances des corps noirs
- 3 nuds reprsentant les radiosits
Si les tempratures sont donnes, on dduit 01
M , 02
M et 03
M , et on applique la lois des nuds de Kirchoff
aux nuds J1, J2 et J3 (la somme algbrique des courants arrivant un nud est nulle) :
0
FS
1
JJ
FS
1
JJ
S
1
JM
131
13
121
12
11
1
10
1
-
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42
0
FS
1
JJ
FS
1
JJ
S
1
JM
232
13
121
21
22
2
20
2
0
FS
1
JJ
FS
1
JJ
S
1
JM
232
32
131
31
33
3
30
3
On obtient un systme de 3 quations 3 inconnues J1, J2 et J3. Lquation )JM(1
Si
0i
i
iiinet
fournit les flux nets perdus. Les premiers termes de chacune de ces quations reprsentent les flux nets
perdus par la surface Si et les deux autres termes reprsentent les changes nets entre surfaces prises deux
deux.
* Si la surface S3 est noire ou trs grande par rapport aux autres, la rsistance33
3
S
1
est nulle : J3 se
comporte comme un nud potentiel fixe dtermin par la temprature T3.
On a affaire deux quations deux inconnues. Lapplication de la loi de Kirchoff aux nuds J 1 et J2
donne :
0
FS
1
JM
FS
1
JJ
S
1
JM
131
10
3
121
12
11
1
10
1
0
FS
1
JM
FS
1
JJ
S
1
JM
232
20
3
121
21
22
2
20
2
Ce qui permet de trouver J1 et J2.
* Si la surface S3 est rfractaire : J3 se comporte comme un nud potentiel flottant dpendant de la
-
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43
temprature des autres surfaces. : pas de source connecte au nud 03
M .
On note que la rsistance
121
FS
1est en parallle avec les rsistances
131
FS
1et
232
FS
1prises en srie.
Le flux net perdu par S1 (ou S2au signe prs) sobtient en combinant les deux rsistances en parallle, en
une seule RC, et en appliquant la loi dOhm entre0
1M et 0
2M , on aura :
R
)MM(S02
011
1
Avec C22
2
11
1R
S
1
S
1R
;--- et
232131121
C
FS
1
FS
1
1
FS
1
1
R
1
232131
2313212
2
2
2
1
1
1
02
011
1
FSFS
FFSF
11
S
S1
)MM(S
Une fois 1 connue (ou 2= - 1), on peut dduire J1 et J2 par 2
22
2
0
22
11
1
10
11
S
1
MJ
S
1
JM
, ainsi J3
peut se calculer par :
0
FS
1
JJ
FS
1
JJ
232
32
131
31
, et T3 par :43
0
33TMJ
VI. 3. Coefficient dchange thermique par rayonnement :
VI. 3. 1. Rgime stationnaire :
Pour faire une tude comparative du transfert thermique par conduction rayonnement et convection,
et prendre en considration les conditions aux limites sur la surface S1, on introduit un coefficient
dchange par rayonnement, tel que :
)TT(FS)TT(Sh 424
1121211r12
Avec :21
42
4112
211
12r
TT
)TT(F
)TT(Sh
en W/m
2.K.
J3
-
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VI. 3. 2. Rgime instationnaire :
Nous avons suppos jusqu prsent que les systmes taient stationnaires (la temprature restait
constante dans le temps), mais en ralit, lnergie interne des corps varie avec le temps, ainsi que les
proprits radiatives des surfaces, dans ce cas, on dfinit le nombre de Biot par :k
L.hB
ri
O L est la longueur caractristique du corps (volume/surface dchange) en m
et k la conductivit du corps considr en W/m.K.