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Objectifs
Ecoulements internes et calcule de h et de temperature
Objectifs
I Mettre en evidence les differences entre ecoulements externes et internes
I Calcul de h local et moyen
I Calcul de temperature locale et moyenne
I Calcul de concentration de masse locale et moyenne
Adil Ridha (Universite de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 1 / 28
Ecoulements interns Ecoulements interns
Ecoulement interne - ecoulement confine par des surfaces
I Ecoulement dans des tubes cylindriques, conduits, canal ferme.
I A l’encontre d’ecoulement externes, les ecoulements internes se differencient par :I Le developpement de la couche limite est assujetti aux surfaces delimitant l’espace de l’ecoulement.I Les grandeurs caracteristiques : vitesse/temperature/concentration sont des grandeurs moyennes,
vitesse moyenne um/ temperature moyenne Tm/ concentration moyenne CA,m. Il ne s’agit pas alorsde U∞, T∞, CA,∞.
I Dans la region d’entree (0 < x ≤ `e) : les profils de u,T ,CA sans dimensions, varient avec x .
I Pour l’ecoulement etabli : les profils sans dimensions ne varient plus avec x .
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Ecoulements interns Les couches limites
Les ecoulement internes conduisent aux couches limites differentes
I Trois couches limites :1. Couche limite hydrodynamique.2. Couche limite thermique.3. Couche limite de concentration.
I Chaque couche limite se distingue par une longueur d’entree, `e .
I Comportements differents de l’ecoulement, transfert thermique et de transfert de masse pourles couches limites en developpement ou dans l’etat entierement etabli.
I Ils existent des correlations differentes pour la region d’entree et pour la region d’etatentierement etabli. Verifiez donc la zone dans laquelle le probleme est a resoudre.
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Ecoulements interns Longueur d’entree hydrodynamique
Longueur d’entree hydrodynamique, `e - (I), pensez aux couches limites !
I On se refere a la longueur d’entree des qu’il y a une region de couche limite endeveloppement : on a besoin de `e pour determiner la correlation a utiliser.
I `e depend du regime de l’ecoulement : laminaire ou turbulent.
I Le nombre critique de Reynolds pour la transition a la turbulence pour un conduit cylindriquede section circulaire :
ReD,c ≈ 2300
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Ecoulements interns Longueur d’entree hydrodynamique
Longueur d’entree hydrodynamique, `e - (II)
I Longueur d’entree laminaire avec une vitesse uniforme a l’entree :
`e = 0, 05D ReD .
I Longueur d’entree turbulente : `e = 10D.
I Il s’agit d’une longueur approximativement independante de Re.I Le pre - facteur varie effectivement de 10 a 60 , mais ici nous l’avons pose egale 10.
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Ecoulements interns Parametres de calcul
parametres importantes intervenant dans le calcul
I Le nombre de Reynolds : ReD =umD
ν=ρumD
µ
I Debit massique : m =
Zρu(r , x)dAc
Rappel : on utilise le symbole n pourle debit massique en transfert de masse
I Debit massique (incompressible) :
m =
Zρu(r , x)dAc = ρumAc
I Vitesse moyenne :
um =m
ρAc=
1
Ac
Zu(r , x)dAc
I Remarque : Pour des ecoulements en regime permanent avec des sections droites (Ac ) uniformes, lavitesse moyenne um ne depend plus des x , ni pour les ecoulements en developpement ni pour lesecoulements etablis.
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Ecoulements interns Parametres de calcul
Calcul de la vitesse moyenne
I Il nous faut les grandeurs Ac , dAc et u(r ,m).I Pour des tubes de section circulaires
I Sections droites : dAc = 2π rdr , Ac = πD2/4. (c’est evident mon cher Watson)
I Profil de vitesse ( toujours ecoulement etabli) :I En considerant le bilan de la quantite de mouvement dans un volume elementaire de controleI En considerant les equations de Navier-Stokes pour d’ecoulements unidirectionnels.
I Le calcul s’avere difficile pour l’ecoulement dans les regions de la longueur d’entree.I On peut se referer aux livres specialises ou effectuer le calcul numerique par des logiciels appropries.
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Ecoulements interns Profil de vitesse
Profil de vitesse en ecoulements entierement etablis
I Tubes circulaires :
I Vitesse moyenne : um = −r2o
8µ
dp
dx, (voir notes de cours de dynamiques des fluides reels)
I Vitesse moyenne calculee a partir de debit massique : quelque soit la forme de la section droite (Ac ),on peut determiner um sans connaissant le gradient de pression :
um =m
ρAc
I Profil de vitesse :u(r)
um= 2
"1−
„r
ro
«2#
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Ecoulements interns Perte de charge
Gradient de pression, frottement parietal et perte de charge
I Ecoulement visqueux =⇒ frottement visqueux =⇒ perte de charge.
I Pour choisir une pompe/un ventilateur ou un compresseur approprie dans une applicationindustrielle, on doit determiner/estimer d’abord (dp/dx).
I Pour determiner la perte de charge, determiner le coefficient de frottement Cf (ou lecoefficient de Darcy ou de Moody f ) :
f ≡ −(dp/dx)D
12ρu2
m
= 4Cf .
I Chercher f du diagramme de Moody.I Ou le calculer de correlations :
I Ecoulement laminaire : f = 64/ReD
I Ecoulement turbulent :
(f = 0, 316Re
−1/4D ReD . 2× 104
f = 0, 184Re−1/5D ReD & 2× 104
I Alors, la perte de charge : ∆p = −Z p2
p1
dp = fρu2
m
2D
Z x2
x1
dx = fρu2
m
2D(x2 − x1)
ou f est obtenu des formules precedentes ou du digramme de Moody.
I Puissance requise de pompe : P = ∆p × debit volumique = ∆p × (m/ρ)
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Ecoulements interns Perte de charge
Remarque important sur le calcul de um
Dans le cas d’ecoulement turbulent ou um n’est pasconnue a priori, le calcul de la perte charge requiert un
procedure iteratif (ou de calcul de racines sous scilab) carf depend de um.
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Ecoulements interns Diagramme du Moody
Diagramme du Moody
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Couche limite thermique
Couche limite thermique
ℓe,t
ϕs
Conditions a la surface
Figure (couche limite dans un conduit circulaire) basee sur
Tparoi > Tfluide entrant avec : T∗ =Ts(x)− T (x , r)
Ts(x)− Tm(x)
I T varie avec x meme dans la region entierement etablie, Tfluide tend toujours d’approcherTparoi
I A l’encontre de T , la temperature sans dimension (T∗) reste constante dans la regionentierement etablie.
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Couche limite thermique La longueur d’entree thermique
Longueur d’entree thermique, `e,t - (I), pensez aux couches limites thermiques !
I Les correlations sont differentes pour la region d’entree et pour les regions entierementetablies.
I Determiner la correlation requiert la longueur d’entree `e,t .
I `e,t depend du regime de l’ecoulement : laminaire ou turbulent.
I Le nombre critique de Reynolds pour la transition a la turbulence est :
ReD,c ≈ 2300
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Couche limite thermique La longueur d’entree thermique
La longueur d’entree thermique - (II)
I Longueur d’entree laminaire : en admettant une vitesse uniforme a l’entree , l’on obtient :
`e,t = 0, 05D ReDPr .
II Longueur d’entree turbulente : `e,t = 10D.
I Il s’agit d’une longueur independante de Re et Pr .I On obtient la meme longueur que pour la couche limite hydrodynamique.
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Couche limite thermique Flux thermique local et temperature
Flux thermique local et temperature moyenne
I Le flux thermique local est une fonction des x :
ϕ(x) = h (Ts(x)− Tm(x))
I Temperature moyenne est obtenue de :
Tm =1
mcp
Zρu cp TdAc
u et Tsont des vitesse et temperatures locales
I La surface elementaire dAc de section droite est obtenue de la geometrie du probleme.
I calcul de Tm requiert u(x , r) et T (x , r)I Comment calculer T :
I Soit par un bilan d’energie dans un volume elementaire de controle sous forme d’un anneau.I Soit par la resolution de l’equation d’energie.
I Ces deux methodes sont difficiles dans la region d’entree.
I Mais conduisent a une solution analytique dans la region entierement etablie.
I Remarque : Pour calculer Tm il est suffisant d’effectuer un bilan d’energie a travers unesection droite toute entiere.
I Remarque : Comment calculer Tm est presente dans l’annexe suivant
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Couche limite thermique Flux thermique local et temperature
Bilan d’energie sur une section toute entiere - seule la valeur moyenne Tm est relevant
Hypotheses - ecoulement presque incompressibledΦconv = dΦparoi
I Dissipation et generation interne del’energie sont tous les deux negligeables.
I Conduction thermique axiale au sein defluide est negligeable par rapport al’advection thermique - une hypothesejustifiee pour un grand nombre de Peclet,PeD = umD/α.
I Pas de forces exterieures.
I Fluide incompressible, cv = cp .
I Proprietes constantes (moyennees).
I Energie interne massique : e
Bilan de l’energie applique au vol. de controle
I Premier principe applique au volume decontrole :
d(me)(x + dx)− d(me)(x)| {z }variation de l’energie interne
= +dΦparoi
I Il vient :d(me)
dxdx = dΦparoi = dΦconv
I Soit : mde
dxdx = dΦconv
I Ou : dΦconv = ϕ(x)Pdx = mcpdTm
I Pour tout le tube :
Φconv = mcp (Tm,s − Tm,e) .
I Loi de Newton appliquee localement :dΦconv = h(Pdx) (Ts(x)− Tm(x))
I D’ou :dTm
dx=
P
mcph (Ts(x)− Tm(x))
I P : perimetre du conduit.
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Couche limite thermique Calcul de Tm
Calcul de Tm
Uniforme temperature de surface, Ts constante
I Rappel de l’equation de Tm(x) :dTm
dx=
P
mcph (Ts(x)− Tm(x))
I h est la valeur locale de coefficient de transfert thermique par convection.
I Il vient en integrant l’eq. de Tm :
Tm(x) = Ts − (Ts − Tm,e) exp
»−
Px
mcph
–
I La valeur moyenne h sur l’intervalle [0, x] est donnee par : h =1
x
Z x
0hdx
Uniforme flux a la surface, ϕconv = ϕs = constant
I Rappel de l’equation de Tm(x) :dTm
dx=
P
mcph (Ts(x)− Tm(x)) =
P
mcpϕs
I Il vient en integrant l’eq. de Tm :
Tm(x) = Tm,e +Pϕs
mcpx
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Couche limite thermique Calcul de Tm
Variation de la temperature moyenne
O
T
∆Ts
∆T
e=
Ts,e
−T
m,e
Tm(x)
Tm(x)
Ts(x)
Ts(x)
Flux ϕs constant
(Ts(x) − Tm(x))
(Ts(x) − Tm(x))
Region d’entree
Ts constante
Region entierement etablie
Tm(x) = Ts − (Ts − Tm,e) exp
[− Px
mcp
h
]Tm(x) = Tm,e +
Pϕs
mcp
x
x
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Region thermiquement etablie
Region entierement etablie thermiquement
I Pour le probleme hydrodynamique (en region etablie) u(r , x) ≡ u(r).
I Pour le probleme thermique, l’echange de chaleur est present le long du conduit ce quiimplique que T = T (r , x)
I Mais un profil relatif de temperature ne changeant pas avec x peut etre obtenu :
∂
∂x
»Ts(x)− T (r , x)
Ts(x)− Tm(x)
–ree,t
= 0, ree,t ≡ region entierement etablie thermiquement (∗)
I Une telle condition peut se realiser soit pour un flux uniforme, ϕs , ou soit pour unetemperature uniforme a la surface, Ts .
I Derivatives du ce rapport de temperatures par rapport a r est aussi independant de x :
∂
∂r
„Ts(x)− T (r , x)
Ts(x)− Tm(x)
«˛r=ro
=− ∂T/∂r |r=ro
Ts(x)− Tm(x)6= f (x)
I Loi de Fourrier : ϕs = −λ∂T
∂y
˛y=0
= −λ∂T
∂r
˛r=ro
I Loi de Newton de refroidissement : ϕs = h(Ts − Tm)
I Alors, l’eq. (*) implique :h
λ6= f (x)
I Conclusion : dans une region d’ecoulement entierement etablie, avec proprietes constantes,le coefficient local de transfert thermique est constant, c-a-d, independant des x .
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Region thermiquement etablie
Variation le long du tube de coefficient de transfert thermique
OO x
h
xree,t
hree,t
I h est constant dans la region entierement etablie thermiquement.
I Le nombre de Nusselt est aussi constant, Nu =hD
λ.
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Correlations Correlation dans la region d’entree
Correlations - region d’entree
Ecoulement laminaire, temperature constante a la surface
I La correlation de Hausen : NuD =hD
λ= 3, 66 +
0, 0668(D/L)ReDPr
1 + 0, 04 [(D/L)ReDPr ]2/3
presuppose une longueur d’entree ce qui rendre son application non pratique.
I Cette difficulte est surmontee par la correlation de Sieder et Tate :
NuD = 1, 86
„ReDPr
L/D
«1/3 „ µ
µs
«0,14
,
2664Ts = constante
0, 48 < Pr < 1.67× 104
0, 0044 <
„µ
µs
«< 9, 75
3775I Elle est recommandee par Whitaker pour
„ReDPr
L/D
«1/3 „ µ
µs
«0,14
& 2.
I Pour des valeurs inferieures a cette limite, on utilise
NuD = 3, 66 Ts = constante
valable dans la region entierement etablie thermiquement.
I Toutes les proprietes, sauf µs , sont a evaluer a la temperature moyenne
Tm =1
2(Tm,e + Tm,s)
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Correlations Correlation dans la region d’entree
Correlations (I) - Ecoulement turbulent dans des tubes circulaires
I Correlation de Dittus–Boelter :
NuD = 0, 023Re4/5D Prn,
2666664n = 0, 4 si Ts > Tm
n = 0, 3 si Ts < Tm
0, 7 ≤ Pr ≤ 160
ReD ≥ 104
L
D& 10
3777775Correlations - Ecoulement turbulent dans des tubes circulaires
I Correlation a utiliser pour une difference de temperature (Ts − Tm) moderement petite.
I Correlation de Sieder et Tate (recommandee) :
NuD = 0, 027Re4/5D Pr1/3
„µ
µs
«0,14
,
26640, 7 < Pr < 1.67× 104
ReD & 104
L
D& 10
3775I Toutes les proprietes, sauf µs , sont a evaluer a la temperature Tm.
I Les deux precedentes correlations s’appliquent pour des conditions de constante temperaturede surface Ts et constant flux thermique ϕs .
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Correlations Correlation dans la region d’entree
Correlations (II) - Ecoulement turbulent dans des tubes circulaire
Correlation plus recentes
I Correlation de Petukhov, Kirilov, et Popov :
NuD =(f /8)ReDPr
1, 07 + 12, 7(f /8)1/2`Pr2/3 − 1
´ , »0, 5 < Pr < 2000
104 < ReD < 5× 106
–
I Le facteur de frottement f est determine du diagramme de Moody, ou pour des tubes lissesde :
f = (1, 82 log10 ReD − 1, 64)−2
I Correlation de Gnielinski :
NuD =(f /8) (ReD − 1000) Pr
1 + 12, 7(f /8)1/2`Pr2/3 − 1
´ , »0, 5 < Pr < 2000
2300 < ReD < 5× 106
–
I Pour des tubes lisses, utiliser : f = (0, 79 ln ReD − 1, 64)−2
I Toutes les proprietes sont a evaluer a la temperature Tm.
I Les deux precedentes correlations s’appliquent pour des conditions de constante temperaturede surface Ts et constant flux thermique ϕs .
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Correlations Metals liquides
Correlations (III) - Metals liquides en ecoulements turbulent entierement etabli
I Flux constant ϕs , correlation de Skupinski, :
NuD = 4, 82 + 0, 0185Pe0,827D ,
24 ϕs = constant, Pe = RePr
3, 6× 103 < ReD < 9, 05× 105
102 < PeD < 104
35I Temperature constante a la surface Ts , correlation de Seban et Shimazki :
NuD = 5, 0 + 0, 025Pe0,8D , Ts = constante, PeD > 100
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Correlations Tubes non circulaires
Tubes non circulaires, diametre hydraulique Dh = 4Ac/P
Le nombre de Nusselt pour des tubes non circulaires, ecoulement laminaire entierement etabli
(Flux uniforme, ϕs) (Temperature uniforme, Ts)
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Correlations Tube annulus
Espace annulaire entre des tubes concentriques : “Anneux”
Echange thermique entre deux fluides
I Surface interieure :
ϕs = hi (Ts,i − Tm)
I Surface exterieure :
ϕs = ho (Ts,o − Tm)
Nombres de Nusselt differents
I Nui ≡hiDh
λ
I Nuo ≡hoDh
λI Avec, le diametre hydraulique :
Dh =4×
ˆ(π/4)
`D2
o − D2i
´˜πDi + πDo
= Do − Di
I Nombres de Nusselt Nui et Nuo , pour unecoulement laminaire entierement etabli dansl’anneux avec l’une des surfaces isoleeadiabatiquement et l’autre a une temperatureconstante.
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Correlations Tube annulus
Ecoulement laminaire entierement etabli avec flux thermiques
Nui =Nuii
1− (ϕo/ϕi )θ∗i
Nuo =Nuoo
1− (ϕi/ϕo)θ∗o
Coefficients d’influence (Nuii ,Nuoo , θ∗i , θ∗o ) pour un ecoulement
entierement etabli dans l’espace du tube anneux circulaire avecflux thermiques uniformes aux surfaces interieure et exterieure
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Correlations Transfert de masse
Transfert de masse dans des tubes circulaires
I De la meme maniere utilisant la temperature moyenne Tm, on utilise ici la masse volumiquemoyenne :
ρA,m =2
umr2o
Z ro
0uρArdr
I Par analogie, couche limite de concentration entierement etablie existe quand
∂
∂x
»ρA,s(x)− ρA(r , x)
ρA,s(x)− ρA,m(x)
–ree,c
= 0
I Le flux de masse de l’espece A :
n′′A,s = hm`ρA,s − ρA,m
´I La valeur de hm est obtenue de correlation appropriee faisant intervenir le nombre de
Sherwood ShD , defini par
ShD =hmD
DAB
I En utilisant l’analogie entre le transfert de chaleur et le transfert de masse, la correlationappropriee peut etre deduite simplement en remplacant NuD par ShD et Pr par Sc.
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