Techniques de prvision Vincent Giard - 1 -TECHNIQUES DE PRVISION

SECTION I PRSENTATION DE LA PROBLMATIQUE PRVISIONNELLE DANS LES CHRONIQUES

Dfinitions chroniques (= sries temporelles = sries chronologiques : srie dobservations (ponc-

tuelles ou agrges) effectues au cours de priodes ou des instants donns et qui sontordonnes selon leurs dates dobservation

Prvisions : utiliser les informations du pass dune (ou plusieurs) chronique(s) pourfournir la valeur la plus probable dune chronique donne pour une ou plusieurs priodes venir

I-1 Redressement pralable des chroniques nettoyage pralable (donnes exceptionnelles, incidents) redressement

ingalit nb de JO (si non intgr dans saisonnalit) : 260 JO mois standard de 260/12= 21,67 JO 15325, pour mois de 20 JO => 15325 21,67

20------------- 16602=

Techniques de prvision Vincent Giard - 2 - si cycles, conversion + complexe

correction : 3750000 x 26/25,375 = 3842365 si trs faibles valeurs : passer sur dcoupage temporel constant. si chronique en valeur (et non en volume) : dflater la srie

Dtermination des standards quotidiens

Jours de la semaine Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Total Moyenne

Chiffre daffaires(Millions de dollars liduriens)

3 5 6 7 11 16 48 8

Conversion en jours standard 3/8 = 0,375 0,625 0,750 0,875 1,375 2,000 6 -

Calcul du nombre mensuel de standards quotidiens

Jours Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Total

Nombre mensuel de

jours

observs 4 5 5 4 4 4 26

standard 4*0,375 = 1,500 3,125 3,750 3,500 5,500 8,000 25,375

Techniques de prvision Vincent Giard - 3 -I-2 Typologie des chroniques composante tendancielle (= trend) / dterministe ou ou

(logistique) ou ...

composante cyclique (= composante saisonnire) : li organisation sociale ; superposi-tion possible de cycles ; seules certaines composantes dun cycle peuvent tre significative(aot) ; volution possible des compsantes cycliques

composante alatoire (= perturbation alatoire)

processus purement alatoire : et , (bruitblanc) / simulation Excel

processus alatoire dont les paramtres varient au cours du temps ;

; ; identification plus difficile

processus stationnaires ; ;

ft ft at b+= ft f0Bat=

ft a b ect+( )=ct

tE t( ) = V t( ) 2= COV t t j+,( ) 0= , j

E t( ) t=V t( ) t2= COV t t j+,( ) 0=

E t( ) = V t( ) 2= COV t t j+,( ) Kj=

Techniques de prvision Vincent Giard - 4 -I-2.1 Combinaison des composantes dune chronique toute combinaisons possibles / mais privilies :

modle additif

modle multiplicatif

modle mixte (Holt et Winters)

principe de conservation des aires

modle additif

modle multiplicatif ; en pratique :

xt ft ct t+ +=xt ft ct t=

xt ft ct( ) t+=

cjj 1=

m

0=

cjj 1=

m

1= cjj 1=

m

m=

Techniques de prvision Vincent Giard - 5 - Illustration ; (incidence additive) ;

(incidence x) ,

tModle 1 Modle 2 modle 3

1 102,10 5 8,27 107,10 1,049 107,10 1,086 115,37 116,34 115,37

2 104,40 2 0,22 102,40 0,981 102,42 0,998 102,18 102,19 102,20

3 106,90 4 8,10 102,90 0,963 102,94 1,084 111,00 111,63 111,04

4 109,60 1 20,97 110,60 1,009 110,59 1,233 131,57 136,39 131,56

5 112,50 5 3,31 117,50 1,049 118,01 1,034 120,81 121,98 121,32

6 115,60 2 11,22 113,60 0,981 113,40 0,894 102,38 101,37 102,18

7 118,90 4 7,29 114,90 0,963 114,50 0,930 107,61 106,45 107,21

8 122,40 1 7,55 123,40 1,009 123,50 1,078 130,95 133,19 131,05

9 126,10 5 0,05 131,10 1,049 132,28 1,001 131,15 132,35 132,33

10 130,00 2 14,33 128,00 0,981 127,53 0,866 113,67 110,50 113,20

11 134,10 4 1,61 130,10 0,963 129,14 1,016 131,71 131,23 130,75

12 138,40 1 2,95 139,40 1,009 139,65 1,030 142,35 143,83 142,60

ft 100 2t 0 1t2,+ += c1t + 5 ; -2 ; -4 ; +1{ }=c2t 1,049 ; 0,981 ; 0,963 ; 1,009{ }= L 1t( ) N 0 10,( )= 2t e1t 100=

ft c1t 1t ft c1t+ c2t ft c2t 2tft c1t 1t+ + ft c2t 2t ft c2t( ) 1t+

Techniques de prvision Vincent Giard - 6 -I-3 Dtection de la saisonnalit Exemple chronique trimestrielle

Graphique superpos : voir classeur Excel pour chronique mensuelle

Anne T1 T2 T3 T42003 132 98 127 1202004 165 126 157 1452005 201 154 192 1812006 246 187 224 213

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

100

150

200

250

T1 T2 T3 T4

2003

2004

2005

2006

Techniques de prvision Vincent Giard - 7 - Coefficient de corrlation. utilisation de la formule classique du coefficient de corrlation :o X et Y correspondent la

mme srie avec un dcalage dun nombre de priode gal au nombre de priode par an (ici 4)

. ici on parlera de coefficient dautocorrlation dordre 4 Gnralisation pour un dcalage k positif quelconque (k vaiant de 1 8) : correlogramme

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Ct 132 98 127 120 165 126 157 145 201 154 192 181 246 187 224 213

Yt 132 98 127 120 165 126 157 145 201 154 192 181

Xt 165 126 157 145 201 154 192 181 246 187 224 213Coefficient de

corrlation0,9948

Anne 2003 Anne 2004 Anne 2005 Anne 2006

-1,0000

-0,5000

0,0000

0,5000

1,0000

1 2 3 4 5 6 7 8

k Rho(k)1 0,54242 0,84103 0,43404 0,99485 0,30216 0,74707 0,10348 0,9918

Techniques de prvision Vincent Giard - 8 -. exemple sur chronique mensuelle du classeur

1,0

0,60,4

0,20,4

0,8

0,20

1,0

0,6

0,8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26Dcalage k

Coefficient dautocorrlation dordre k Borne infrieure Borne suprieure

Techniques de prvision Vincent Giard - 9 - Remarques

. amlioration de prcision par la mthode de Quenouille :

. Interprtation

. bruit blanc

sinon (formule de Barlett),

approxim par

k 2rk rk rk+

2--------------=

L rjn)( N1

n j--------- , 1

n------- =

V rjn( ) 1n--- i2 i j i j+ 4i j i j+ 2i2 j+ +{ }

+

V rjn)( 1

n--- 1 2 i2

i 1=

+

Techniques de prvision Vincent Giard - 10 -I-4 Techniques de prvision

I-4.1 Typologie des techniques de prvision modles explicatifs modles autoprojectifs (poursuite des tendances du pass CT)

modles explicatifs

modles autoprojectifs

- quation unique (utilisation de la rgression multiple)- quations simultanes (modles conomtriques)

- moyennes mobiles- lissage exponentiel- filtre diffrence

- moindres carrs- Box et Jenkins et ses prolongements - analyse spectrale

sur historique rcent

sur historique

(filtres linaires)

complet

Techniques de prvision Vincent Giard - 11 -I-4.2 Critres de choix dune technique de prvision cot du traitement type de chronique finalit du traitement (horizon de projection)

SECTION II LES FILTRES LINAIRES

II-1 La notion de filtre

Dfinition

Choix dun filtre linaire li :

. hypothses sur les composantes certaines et

. objectif du filtre : , ,

yt ai xt r i+i 1=

s

=dcalage

coefficients de pondrationnombre de termes conscutifs de la chronique initiale

ytxt Filtre

ft ct

ft ct

xt k+

)

Techniques de prvision Vincent Giard - 12 -. impact de sur performance du filtre et sur s

. arbitrage certain / alatoire illustration

. hypothses sur les composantes certaines : linaire & inexistant

. objectif du filtre : estimer

. Filtre 1 : s = 3, r = 2, a1 = a2 = a3 = 1/3

. Filtre 2: s = 5, r = 3, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 1/5

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012 14 16 18 20 22 24 26 28 30

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012 14 16 18 20 22 24 26 28 30

1er filtre 14 16 18 20 22 24 26 28

t

ft ct

xt

ft ft

yt13---xt 2 1+

13---xt 2 2+

13---xt 2 3++ +=

yt13--- xt 1 xt xt 1++ +( )=

xtyt

Techniques de prvision Vincent Giard - 13 -

. Introduction dalas

. Conclusion : longueur influe sur prcison de lestimation mais perte

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012 14 16 18 20 22 24 26 28 30

2e filtre 16 18 20 22 24 26

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012,00 14,00 16,00 18,00 20,00 22,00 24,00 26,00 28,00 30,00

1,65 0,04 1,62 4,19 0,66 2,24 1,46 1,51 0,01 2,87

= + 13,65 13,96 17,62 22,19 20,66 19,76 22,54 27,51 28,01 27,13

1er filtre - 15,08 17,92 20,16 20,87 20,99 23,27 26,02 27,55 -

2e filtre - - 17,62 18,84 20,55 22,53 23,70 24,99 - -

yt 0 2 xt 2 xt 1 xt xt 1+ xt 2++ + + +( ),=

xtyt

ftt

xt ft tytyt

Techniques de prvision Vincent Giard - 14 -II-2 Les moyennes mobiles

II-2.1 Les mthodes empiriquesCaractris par galit des ai

II-2.1.1 Les filtres empiriques orients vers lestimation de la composante tendancielle(moyennes mobiles centres)

Moyenne mobile centre en labsence de composante saisonnire

yt1

2n 1+------------- xt n 1 i+

i 1=

2n 1+

12n 1+-------------- xt i+i n=

i +n=

= =

Techniques de prvision Vincent Giard - 15 - Moyenne mobile centre avec composante saisonnire

nombre impair de priodes et modle additif (principe de conservation des aires) =

nombre pair de priodes

. Trimestriel

ft yt

yt18--- xt 2 xt 2++( ) 14--- xt 1 xt xt 1++ +( )+=

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Xt 132 98 127 120 165 126 157 145 201 154 192 181 246 187 224 213

Yt - - 123,38 131,00 138,25 145,13 152,75 160,75 168,63 177,50 187,63 197,38 205,50 213,50 - -

Anne 2003 Anne 2004 Anne 2005 Anne 2006

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Techniques de prvision Vincent Giard - 16 -. 12 mois : yt124------ xt 6 xt 6++( ) 112------ xt 5 xt 4 xt xt 4+ xt 5++ + + + + +( )+=

300

400

500

600

700

800

900

1000 Moyenne mobile centreVentes observes

Priode

Janv

ier

1994

Janv

ier

1996

Janv

ier

1995

Janv

ier

1997

Janv

ier

1998

Janv

ier

1999

Janv

ier

2000

Techniques de prvision Vincent Giard - 17 - Estimation de la composante saisonnire partir de la moyenne mobile centre modle additif

.

. mdiane prfrable / correction effectuer sur les mdianes en application du principe

de conservation des aires

modle multiplicatif mixte

.

. mdiane prfrable / correction effectuer sur les mdianes en application du principe

de conservation des aires

xt ft ct t+ += xt ft ct t+= E ct t+( ) E ct( ) E t( )+ ct 0+ ct= = =

cjj 1=

m

0=

xt ft ct t+= xtft---- ct

tft---+ = E ct

tft---+ ct 0+ ct= =

cjj 1=

m

m=

Techniques de prvision Vincent Giard - 18 - Application

Anne T1 T2 T3 T4 Anne T1 T2 T3 T4

2003 132 98 127 120 2003 - - 123,38 131

2004 165 126 157 145 2004 138,250 145,125 152,750 160,750

2005 201 154 192 181 2005 168,625 177,500 187,625 197,375

2006 246 187 224 213 2006 205,500 213,500 - -

Anne T1 T2 T3 T4 Anne T1 T2 T3 T4

2003 3,625 -11,000 2003 1,029 0,916

2004 26,750 -19,125 4,250 -15,750 2004 1,193 0,868 1,028 0,902

2005 32,375 -23,500 4,375 -16,375 2005 1,192 0,868 1,023 0,917

2006 40,500 -26,500 2006 1,197 0,876

Moyenne 33,208 -23,042 4,083 -14,375 Somme Moyenne 1,194 0,871 1,027 0,912 Somme

Mdiane 32,375 -23,500 4,250 -15,750 -2,625 Mdiane 1,193 0,868 1,028 0,916 4,006

CS estim 33,0313 -22,84 4,90625 -15,0938 0,000 CS estim 1,192 0,867 1,026 0,915 4,000

Xt - Yt

Trimestre

Srie brute Xt

Xt / Yt

Trimestre

Trimestre Trimestre

Moyenne mobile Yt - estimation de la composante tendancielle

33,0313=32,375-(-2,625)/41,192=1,193x4/4,006

Application du principe de conservation des aires

Modle additif Modle multiplicatif

Techniques de prvision Vincent Giard - 19 - Choix entre modle multiplicatif et modle additif : analyse de lvolution de et :ici le modle multiplicatif simpose

xt ft xt ft

-50

-30

-10

10

30

50

2003 2004 2005 2006

T1 T2 T3 T4

0,75

0,85

0,95

1,05

1,15

1,25

2003 2004 2005 2006

T1 T2 T3 T4

Modle additif Modle multiplicatif

Techniques de prvision Vincent Giard - 20 -II-2.1.2 Filtres empiriques pour lestimation prvisionnelle de la composante tendancielle

On se contentera ici de faire une rgression linaire sur (Q sur quelle partie de ?)

Exemple quation de rgression sur toutes les estimations : Yt = 8,288 * t + 96,33

ft ft

ft

t est (Ft)Yt Ct Prvision

1 - 1,1918331432 - 0,8670117163 123,375 1,0263963234 131,000 0,914758818

5 138,250 1,1918331436 145,125 0,8670117167 152,750 1,0263963238 160,750 0,914758818

9 168,625 1,19183314310 177,500 0,86701171611 187,625 1,02639632312 197,375 0,914758818

13 205,500 1,19183314314 213,500 0,86701171615 1,02639632316 0,914758818

17 237,229 1,191833143 282,7418 245,517 0,867011716 212,8719 253,806 1,026396323 260,5120 262,094 0,914758818 239,75

ab

Yt = 8,28802 * t + 96,33304

Rgression sur estimation de ft8,28802447696,33304196

Coefficients saisonniers

Prvisions de ft

Techniques de prvision Vincent Giard - 21 -III Lissage exponentiel

III-1 Lissage exponentiel simple (absence dvolution tendancielle et de saisonnalit)

Formule de dfinition sur chronique de t + 1 termes

Remarques affecte lintgralit de la chronique usage : estimation tendance ( = b)

somme des coefficients de pondration = 1 poids dune information dans le calcul de : dautant + faible que information ancienne

xt ft t+ b t+= = xt k+ yt=

yt 1 ( )ixt i 1 ( )tx0+i 0=

t 1

=

ft

yt

Techniques de prvision Vincent Giard - 22 -0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

1 ( )ii 0=

n 1

1 1 ( )t=

Techniques de prvision Vincent Giard - 23 - Formule de calcul

t

0 10 - - 10,0001 9 7,000 2,700 9,7002 11 6,790 3,300 10,0903 12 7,063 3,600 10,6634 9 7,464 2,700 10,1645 10 7,115 3,000 10,1156 8 7,080 2,400 9,480 ... ...

yt xt 1 ( )xt+ xt xt( ) xt+= =

xt 1 ( )yt 1 xt yt

Techniques de prvision Vincent Giard - 24 -III-2 Lissage exponentiel double (volution tendancielle linaire / absence de saisonnalit)t xt yt xt yt zt

Chr

oniq

ue u

tilis

e

1 12 12,00 - - - -

2 14 12,60 1,40 12,60 12,60

3 16 13,62 2,38 12,91 14,33 0,31

4 18 14,93 3,07 13,51 16,35 0,61

5 20 16,45 3,55 14,40 18,51 0,88

6 22 18,12 3,88 15,51 20,72 1,12

7 24 19,88 4,12 16,82 22,94 1,31

8 26 21,72 4,28 18,29 25,14 1,47

9 28 23,60 4,40 19,88 27,32 1,59

10 30 25,52 4,48 21,58 29,47 1,69

11 32 27,47 4,53 23,34 31,59 1,77

12 34 29,43 4,57 25,17 33,68 1,82

13 36 31,40 4,60 27,04 35,76 1,87

14 38 33,38 4,62 28,94 37,82 1,90

15 40 35,36 4,64 30,87 39,86 1,93

16 42 37,36 4,64 32,81 41,90 1,95

17 44 39,35 4,65 34,77 43,92 1,96

18 46 41,34 4,66 36,75 45,94 1,97

19 48 43,34 4,66 38,72 47,96 1,98

20 50 45,34 4,66 40,71 49,97 1,98

Pr

visi

ons

faite

s en

t =

20

21 51,95

22 53,94

23 55,92

24 57,91

25 59,89

xt

a yt zt( ) 1 -----------=

xt k+ xt k a+ yt yt zt( ) 1 k 1 -----------+ += =

Techniques de prvision Vincent Giard - 25 -III-3 Lissage exponentiel avec volution tendancielle et saisonnalit (Modle de Holt etWinters)

ici 12 mois

xt h+ mt h rt+= ct h++xt h+ mt h rt+( )= ct h+

(modle additif)

(modle multiplicatif)

, si le modle est additif

, quel que soit le modle

, si le modle est additif

, si le modle est multiplicatif

mt xt ct 12( ) 1 ( ) mt 1 rt 1+( )+= xt ct 12( ) 1 ( ) mt 1 rt 1+( )+=

ct xt mt( ) 1 ( )ct 12+= xt mt( ) 1 ( )ct 12+=

= mt mt 1( ) 1 ( )rt 1+

, si le modle est multiplicatif

rt

{

{

Techniques de prvision Vincent Giard - 26 - reste le problme de linitialisation ; r121

12------ xt

t 13=

24

xtt 1=

12

= m12 112------ xtt 1=

12

=

t1 126,5

m12

ft m12 t 6,5( )r12+= r12

Techniques de prvisionSection I Prsentation de la problmatique prvisionnelle dans les chroniquesI-1 Redressement pralable des chroniquesDtermination des standards quotidiensCalcul du nombre mensuel de standards quotidiens

I-2 Typologie des chroniquesI-2.1 Combinaison des composantes dune chronique

I-3 Dtection de la saisonnalitI-4 Techniques de prvisionI-4.1 Typologie des techniques de prvisionI-4.2 Critres de choix dune technique de prvision

Section II Les filtres linairesII-1 La notion de filtreII-2 Les moyennes mobilesII-2.1 Les mthodes empiriquesII-2.1.1 Les filtres empiriques orients vers lestimation de la composante tendancielle (moyennes mobiles centres)II-2.1.2 Filtres empiriques pour lestimation prvisionnelle de la composante tendancielle

III Lissage exponentielIII-1 Lissage exponentiel simple (absence dvolution tendancielle et de saisonnalit)III-2 Lissage exponentiel double (volution tendancielle linaire / absence de saisonnalit)III-3 Lissage exponentiel avec volution tendancielle et saisonnalit (Modle de Holt et Winters)

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