Equation de la chaleur instationnaire monodimensionnelle: Méthodes des différences finies

I. Résolution de la équation modèle1. Mise en équation du problème

On considère l’équation aux dérivées partielles suivantes:

),(),(),(

2

22 txF

t

txT

t

txT

0t et 10 x

CL: 0),(

0),0(

tLxT

txT0t

CI: )sin()0,( xtxT 10 x

Dans La suíte de l’énoncé, sauf mention contraire, on considérera:

1 , 1L et 0),( txF (source de chaleur volumique)

2. Résolution analytique:Calculez par la méthode de séparation de la variable, la solution exacte de l’équation du problème ci-dessusR :Méthode Analytique de séparation des variables

)()(),( xgtftxT

2

22 )(

)()()(

x

xgtfxg

t

tf

=> cte

xg

xg

tf

tf

)(

)(

)(

)( 2

(1) Ktf

tf

)(

)( => 0)()( tfKtf

(2) Kxg

xg

)(

)(2 => 0)()(2

xgK

xg

On integre (1) et on aura : Ktectf 1)(

Pour trouver la solution de )(xg , on pose 022 K donc

0)()( 2 xgxg .

Équation caractéristique : 022 i et i

donc xixi ececxg 21)(

ou encore )sin()cos()( 32 xcxcxg , donc

)sin()cos(),(22

xBxAetxT t .

CL : 0),0( txT 00),0(22

AetT t 0A

0),( tLxT 0)sin(0),(22

LBetLT t 0)sin( LB 0B solution triviale

0)sin( L nL L

n , alors la solution est

)sin(),(

22

xL

nBetxT

tL

n

Soit la condition initiale

CI : )sin()0,( xtxT On a que 1B , 1 Ln , 1 et en remplaçant :

)sin(),(2

xetxT t

3. Questions théoriques (cf cours):a. Quelle est la nature de cette équation?

R :C’est une équation différentiel de second ordre, à coeficients constants.

b. Représentez la diagramme d’influence/dépendence.

c. On utilisera pour la résolution les schémas de discrétisation centré d’ordre deux en espace et successivement explicite d’ordre 1, implicite d’ordre 1 et Crank-Nicholson (ordre 2) pour la discrétisation en temps.

Selon les résultats du cours, que peut on dire sur la stabilité linéaire des trois discrétisations espaces temps énoncées. Donnez les critères de stabilité s’ils existent.R :Discrétisation explicites : conditionnellement stable

2

12

2

h

tcritère de stabilité

Discretisation implicite : inconditionnellement stableDiscretisation Crank-Nicholson : inconditionnellement stable

d. Redémontrez au moyen de la méthode d’analyse de stabilité linéaire de Von Neumann.R :

Schéma Explicite : nj

nj

nj

nj

nj uuu

h

tuu 112

21 2

Soit la solution exact composé par la solution numerique plus une

perturbation : nj

nj

nj uu

Avec ikmjhnm

nj et )(

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj uuu

h

tuu 11112

211 )(2

Puisque que la solution exact verifie l’équation aux differences finies, on obtient :

hjikmikmjhhjikmnm

ikmjhnm

ikmjhnm eeet

h

tetet )1()1(

2

21 2)()()(

On pose 2

2

h

t et on simplifie par ikmjhe

ikmhikmhnm

nm

nm eettt 2)()()(1

En posant kmh et en utilisant ii ee cos et

1cos2

1

2sin 2

.

Et on trouve que 2

sin41)(

)( 21

t

tnm

nm

La méthode d’analyse propose que si l’amplitude de la perturbation diminue d’une étape à l’autre, l’erreur décroit , et la perturbation finit pour disparaitre.

12

sin41)(

)( 21

t

tG

nm

nm

12

sin41

12

sin41

2

2

22

sin4

02

sin4

2

2

2

1

2sin

02

sin

2

2

2

1

2

12

2

h

tcritère de stabilité

Schéma Implicite : 11

1112

21 2

n

jnj

nj

nj

nj uuu

h

tuu

On introduit les pertubations

hjikmikmjhhjikmnm

ikmjhnm

ikmjhnm eeet

h

tetet )1()1(1

2

21 2)()()(

On pose 2

2

h

t et on simplifie par ikmjhe

ikmhikmhnm

nm eett 21)()( 1

2sin41)()( 21 tt n

mnm avec kmh

1

2sin41

1

)(

)(

2

1

t

tG

nm

nm comme 1

2sin41 2

On a toujours 1GLe schéma implicite est inconditionellement instable.

Schéma Crank-Nicholson :

222211

111

11

2

21

njn

j

nj

njn

j

njn

jnj

uu

uuu

u

h

tuu

Le facteur d’amplification s’ecrit :

1

2sin21

2sin21

)(

)(

2

21

t

tG

nm

nm

Comme 2

sin212

sin21 22 , On a toujours 1G

Le schéma Crank-Nicholson est inconditionellement instable.

4. Discrétisation:En utilisant une discrétisation uniforme de l’intervalle [0,L] :

dxixxi )1(1 avec Ni ..1 où 1

N

Ldx , N représente le nombre

de point de discrétisation, écrivez les équations discrètes par les trois méthodes de discrétisation énoncées en 3.c.

R :

Schéma Explicite :

2112

1 2

h

TTT

t

TT ni

ni

ni

ni

ni

2

2

h

tr

nininini txrTtxTrtxrTtxT ,,21,, 111

nnnn rTTrrTT 3211

2 21

nnnn rTTrrTT 4321

3 21

...

nN

nN

nN

nN rTTrrTT 12

11 21

Schéma Implicite :

2

11

1112

1 2

h

TTT

t

TT ni

ni

ni

ni

ni

2

2

h

tr

111111 ,,,21, nininini txTtxrTtxTrtxrT

nnnn TrTTrrT 21

31

21

1 21

nnnn TrTTrrT 31

41

31

2 21

...

nN

nN

nN

nN TrTTrrT 1

111

12 21

Schéma Crank-Nicholson :

ni

ni

ni

ni

ni

ni

nj

nj TTTTTT

ht

TT11

11

1112

21

222

2

2

h

tr

nininininini txTr

txTrtxTr

txTr

txTrtxTr

,2

,1,2

,2

,1,2 1111111

nnnnnn Tr

TrTr

Tr

TrTr

3211

31

21

1 21

221

2

nnnnnn Tr

TrTr

Tr

TrTr

4321

41

31

2 21

221

2

...

nN

nN

nN

nN

nN

nN T

rTrT

rT

rTrT

r

21

221

2 1211

112

5. Traitement des conditions aux limites :a. Condition type Dirichlet :

Exprimez les conditions aux limites CL sous la forme discrète avec la discrétisation uniforme précédente.R:Dans les conditions aux limites du type Dirichlet on assume

cteTT N 1

Schéma explicite

inn CTT

11

1

nni

n rTTrrCT 321

2 21

...

fn

Nn

Nn

N rCTrrTT 12

11 21

fn

Nn

N CTT 1

Schéma implicite

inn CTT

11

1

nnni TrTTrrC 2

13

1221

...

nNf

nN

nN TrCTrrT 1

11

12 21

fn

Nn

N CTT 1

Schéma Crank Nicholson

inn CTT

11

1

nni

nn Tr

TrrCTr

Tr 321

31

2 21

21

...

fn

Nn

Nn

Nn

N rCTrTr

TrTr

12

11

12 1

21

2

fn

Nn

N CTT 1

A quelle équation du système algébrique, ces CL viennent elles se substituer ?R :Elles viennent se substituer à la prémiére équation(i=2) et la dernière équation (i=N-1).

b. Condition de type Neumann : Soient les conditions aux limites suivantes :

x

txT ),0( et

x

tLxT ),(

Grâce aux schémas décentrés en space â l’ordre deux, discrétisez les conditions aux limites précpedentes toujours avec une discrétisation uniforme.R :

CL Neumann decentrées ordre 2 :

1x

T

)(02

22

)(02

32

22

2

32

22

1

hx

Th

x

ThTT

hx

Th

x

ThTT

iiii

iiii

h

TTT

x

Th

x

ThTTT iii

iiiii 2

34)(0234 213

21

par exemple pour i=1,

h

TTT

x

T

2

34 132

1

Exemple : Application au schéma explicite (éq. i=2)

nnnn

n rTTrhTT

rT 32321

2 2123

4

CL Neumann centre d’ordre 2: on utilise des noeuds virtuels, on crée le noeud i=0

1x

T

)(02

)(02

32

22

1

32

22

1

hx

Th

x

ThTT

hx

Th

x

ThTT

iiii

iiii

h

TT

x

T

x

ThTT ii

iiii 2

2 1111

par exemple pour i=1, hTT

h

TT

x

T2

2 2002

1

Exemple : Application au schéma explicite (éq. i=1)

nnnn rTTrrTT 2101

1 21 où hTT 220

6. Ecriture sous forme matricielle :a. Pour le schéma explicite en temps; montrer que les système algébrique

avec les conditions aux limites peut s’écrire sous la forme :

BATT nn 1

où 1nT est le vecteur des inconnues ),( 1ni txT , au point de

discrétisation xi et à instant tn+1 .R :En connaissant les systèmes algebriques pour le schèma explicite pour chaque i de 2 à N-1

00...021 143211

2 n

Nnnnnn TTrTTrrTT

00...0210 154321

3 n

Nnnnnn TTrTTrrTT

...

nN

nN

nN

nnN rTTrrTTT 122

11 21...00

Alors, on peut monter la matrice BATT nn 1

N

n

N

N

i

nn

N

N

i

rT

rT

T

T

T

T

T

rr

rrr

rrr

rrr

rr

T

T

T

T

T

0

0

0

2100

210

0210

021

0021 1

1

2

3

2

1

1

2

3

2

b. Pour les schémas implicite en temps et de Crank-Nicholson; montrer que le système algébrique avec les conditions aux limites peut s’ecrire sous la forme :

)(1 nn TBAT

où 1nT est le vecteur des inconnues ),( 1ni txT , au point de

discrétisation xi et à instant tn+1 .R :Schéma Implicite :En connaissant les systèmes algebriques pour le schèma implicite pour chaque i de 2 à N-1

nnN

nnnn TTTrTTrrT 211

14

13

12

11 00...021

nnN

nnnn TTTrTTrrT 311

15

14

13

12 00...0210

...

nN

nN

nN

nN

nN

n TrTTrrTTT 111

112

13

12 210...00

Alors, on peut monter la matrice CTAT nn 1

N

n

N

N

i

n

N

N

i

rT

rT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

rr

rrr

rrr

rrr

rr

0

0

0

2100

210

0210

021

0021 1

1

2

3

2

1

1

2

3

2

Schéma Crank-Nicholson :En connaissant les systèmes algebriques pour le schèma implicite pour chaque i de 2 à N-1

nN

nnnnN

nnn TTTr

TrrTTTTr

Tr 1432111

14

13

12 0...0

210...0

21

nN

nnnnnN

nnnn TTTr

TrTr

TTTr

TrTr

1543211

15

14

13

12 0...0

21

20...0

21

2

...

nn

Nn

Nn

Nnn

Nn

Nn

Nn rTTrT

rTTTrT

rTT

1232

11

12

13

12 1

20...01

20...0

Alors, on peut monter la matrice CTBAT nn )(1

N

n

N

N

i

n

n

N

N

i

rT

rT

T

T

T

T

T

rr

rr

r

rr

r

rr

r

rr

T

T

T

T

T

rr

rr

r

rr

r

rr

r

rr

0

0

0

12

00

21

20

02

12

0

02

12

002

1

12

00

21

20

02

12

0

02

12

002

1

1

1

2

3

2

1

1

2

3

2

7. Implementation MATLAB :Implémentez les trois méthodes au moyen de MATLAB. On rappelle que T¹ est le vecteur des valeurs correspondente à la CL et le système linéaire peut être rèsolu par les commandes MATLAB classique(\).R :Pièces jointes.Methodes_numeriques_s1_schema_expliciteMethodes_numeriques_s1_schema_impliciteMethodes_numeriques_s1_schema_Crank_N

8. Validation :Comparez, à un instant jugé pertinent, les solutions obtenues numériquement par les méthodes des différences finies avec la solution analytique obtenue en 2.R :Schèma ExplicitePour t=0.1s

Pour t=0.1s

Pour t=0.1s

9. Étude de la précision spatiale et temporelle : On appliquera systématiquement cette approche aux trois discrétisations.a. En fixant les pas de temps à de très petites valeurs et en choisissant un

nombre de points de discrétisation croissant, représentez l’erreur de

discrétisation ),(),( txTtxTh en fonction de dx dans un graph

loglog.R :Erreur_schema_explicite_fonction_dx.mErreur_schema_implicite_fonction_dx.mErreur_schema_crank_N.m

Schéma expliteGraph log-log

Graph erreur par N

Schéma impliciteGraph log-log

Graph erreur par N

Schéma Crank-NicholsonGraph log-log

Graph erreur par N

b. En fixant le pas d’espace de petite valeur et en choisissant un intervalle de discrétisation en temps dt de plus en plus petit, représentez l’erreur

de discrétisation ),(),( txTtxTh en fonction de dt dans um graphe

log-log.R :Schéma explicite

Schéma Implicite

Schéma Crank Nicholson

Erreur_schema_explicite_fonction_dt.mErreur_schema_implicite_fonction_dt.mErreur_schema_Crank_N_fonction_dt.m

II. Application : Mise en contact de deux barreaux :On considère deux barres métalliques de longueur identique L :

A l’instant 0t , l’une d’elle a une température uniforme T1 et la seconde à

la température T2 infériere à T1. À l’instant 0t les deux barres sont mises

en contact pour former une seule barre de longueur 2L. On considérera que les deux nouvelles extrémités sont soumises à une condition de flux de chaleur nul (adiabatique).

1. Traduisez l’énoncé en terme mathématique, en particulier pour les conditions aux limites et résoudre le problème grâce aux programmes de la partie I.R :Pièces jointes:Mise_en_contact_centrees.mMise_en_contact_decentrees.m

2. Représentez les solutions obtenues à quatre instants représentatifs de l’evolution de la solution. Donnez une interprétation simple du phénomène physique modélisé par les équations en jeu.

Problème avec CL Neumann décentréeTemperature barreaux 1=120 Temperature barreaux 2=180

Problème avec CL Neumann centréeTemperature barreaux 1=120 Temperature barreaux 2=180