149640702 Les QCM de La Prepa MATHS MPSI PCSI PTSI BCPST Www Livre Technique Com
306
les de la prépa M C Q Une approche différente pour réussir sa Prépa Collection dirigée par Laurent Desmottes Professeur en classes préparatoires Martine Arous-Latanicki Professeur en classes préparatoires Maths Première année MPSI PCSI PTSI BCPST
Transcript of 149640702 Les QCM de La Prepa MATHS MPSI PCSI PTSI BCPST Www Livre Technique Com
-
les
de la prpa
M
C
Q
Une approche diffrente
pour russir sa Prpa
Collection dirige par Laurent Desmottes
Professeur en classes prparatoires
Martine Arous-Latanicki
Professeur en classes prparatoires
Maths
Premireanne
M P S I
P C S I
P T S I
BCPST
-
Composition : IndoLogic
Maquette intrieure : Nicolas Piroux
Maquette de couverture : Nicolas Piroux
www.hachette-education.com
HACHETTE LIVRE 2010, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15
ISBN : 978-2-01-1 -
Tous droits de traduction, de reproduction et
dadaptation rservs pour tous pays.
Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant,
aux termes des articles L. 1224 et L. 1225, dune
part, que les copies ou reproductions strictement
rserves lusage priv du copiste et non destines
une utilisation collective , et, dautre part, que
les analyses et les courtes citations dans un but
dexemple et dillustration, toute reprsentation
ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le
consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou
ayants cause, est illicite .
Cette reprsentation ou reproduction, par quelque
procd que ce soit, sans autorisation de lditeur
ou du Centre franais de lexploitation du droitde
copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaon sanctionne par les
articles 425 et suivants du Code pnal.
81240 7
-
3Introduction
Cet ouvrage sadresse tous les tudiants en 1
re
anne dtudes suprieures
scientiques (classes prparatoires et 1
er
cycle universitaire) dsirant tester loutil
QCM. Ils en dcouvriront les nombreuses vertus .
Par leur caractre ludique, les QCM sont une invitation permanente travailler,
et le faire avec enthousiasme.
Spars en blocs indpendants, les QCM se prtent particulirement des squen-
ces de travail de courte dure ( heure par exemple), propices une concentration
et une efcacit maximales.
Nexigeant pas de rdaction, les QCM renvoient nanmoins la ncessit de
rdiger convenablement un brouillon pour aboutir la solution exacte.
Les QCM confrontent immdiatement ltudiant une valuation sans concession.
Il ny a pas de russite approximative, aucune possibilit de biaiser : cest bon ou
cest faux !
Les QCM, qui ne sont faciles quen apparence, renvoient aux fondamentaux
des programmes, la difficult quil y a finalement matriser parfaitement des
questions de base, et la ncessit de retravailler constamment ces incontourna-
bles. Les QCM ont la vertu de secouer le cocotier.
Les QCM poussent finalement ltudiant se remettre en cause dans ses pratiques,
et sinterroger sur la qualit, le plaisir et la gestion du temps, qui sont les
vritables critres de la russite aux concours.
Une grande partie des sujets proposs dans cet ouvrage reprennent, en les adaptant,
les annales des concours de recrutement de lcole Nationale de lAviation Civile
(ENAC) : concours EPL (lves Pilotes de Ligne) et concours ICNA (Ingnieurs du
Contrle de la Navigation Arienne).
Les questions ont t regroupes en QCM de 3 ou 4 questions, et classes en quatorze
chapitres thmatiques, ce qui permet une utilisation rgulire de louvrage tout au
long de lanne, mesure de lavance du programme.
Chaque question propose 4 possibilits de rponse : A, B, C ou D.
Chaque question comporte exactement zro, une ou deux rponse(s) exacte(s).
chaque question, le candidat a donc le choix entre :
slectionner la seule rponse quil juge bonne parmi A, B, C ou D;
slectionner les deux seules rponses quil juge bonnes parmi A, B, C ou D;
considrer quaucune des rponses proposes nest bonne.
-
4sommaire
Introduction 3
Chapitre 1 : Complexes 7
noncs corrigs
QCM 1 : Relations trigonomtriques 8 15
QCM 2 : Transformation du plan complexe 10 19
QCM 3 : Interprtation gomtrique 12 23
QCM 4 : quations complexes 14 27
Chapitre 2 : Fonctions usuelles 29
QCM 1 : Fonction exponentielle 30 36
QCM 2 : Fonctions trigonomtriques
rciproques 31 39
QCM 3 : Calcul dune somme 32 42
QCM 4 : Fonctions arg 33 45
QCM 5 : Fonction dnie par morceaux 34 46
Chapitre 3 : quations diffrentielles 49
QCM 1 : quation linaire du 1
er
ordre 50 56
QCM 2 : Raccordement 51 59
QCM 3 : quation linaire du 2
nd
ordre 53 62
QCM 4 : Changement de variable 54 66
Chapitre 4 : Gomtrie du plan et de
lespace Courbes Coniques 69
QCM 1 : Courbes paramtres 70 78
QCM 2 : Autour de la cardiode 72 83
QCM 3 : Inverse dune courbe 74 87
QCM 4 : Gomtrie de lespace et coniques 76 91
Chapitre 5 : Applications Structures --- 95
QCM 1 : Injections surjections - bijections 96 103
QCM 2 : Dnombrement 97 106
QCM 3 : Groupes et morphismes 99 107
QCM 4 : Anneaux Corps - Arithmtique 100 111
corrigs
15
19
23
27
29
36
39
42
45
46
49
56
59
62
66
69
78
83
87
91
95
103
106
107
111
-
5Chapitre 6 : Suites relles et complexes 115
noncs corrigs
QCM 1 : Suite rcurrente 116 123
QCM 2 : Relation de comparaison 117 126
QCM 3 : Suites produits 119 130
QCM 4 : Bornes infrieure et suprieure 121 133
Chapitre 7 : Limites Continuit Drivation 135
QCM 1 : Limites et continuit sur un intervalle 136 142
QCM 2 : Drives n
mes
et prolongement
de fonctions 137 145
QCM 3 : Accroissements nis 139 149
QCM 4 : Convexit 140 151
Chapitre 8 : Espaces vectoriels 155
QCM 1 : Sous-espaces vectoriels 156 163
QCM 2 : Applications linaires Noyau
et image 157 167
QCM 3 : Endomorphisme de C
(, ) 159 170
QCM 4 : Endomorphismes solutions dune quation 161 173
Chapitre 9 : Polynmes et fractions
rationnelles 177
QCM 1 : Degr et racines 178 183
QCM 2 : Polynmes scinds 179 187
QCM 3 : Polynmes de Tchebychev 180 190
QCM 4 : Espaces vectoriels et polynmes 182 194
Chapitre 10 : Matrices Dterminants
Systmes 197
QCM 1 : Ensemble de matrices Calcul de puissances 198 205
QCM 2 : Matrices nilpotentes Changement de base 200 208
QCM 3 : Rsolution dun systme 202 211
QCM 4 : Matrice dun endomorphisme 203 214
115
corrigs
123
126
130
133
135
142
145
149
151
155
163
167
170
173
177
183
187
190
194
197
205
208
211
214
-
6Chapitre 11 : Dveloppements limits 217
noncs corrigs
QCM 1 : Prolongement par continuit,
branches innies 218 225
QCM 2 : Drivabilit et quation diffrentielle 220 229
QCM 3 : Courbe paramtre 221 232
QCM 4 : Formule de Taylor-Young 223 236
Chapitre 12 : Intgration 239
QCM 1 : Existence et proprits de lintgrale 240 248
QCM 2 : Intgrale dpendant dun paramtre 242 252
QCM 3 : Intgration et algbre linaire 244 255
QCM 4 : Fonction dnie par une intgrale 245 258
Chapitre 13 : Fonctions deux variables
Intgrales doubles
tude mtrique des courbes 261
QCM 1 : Fonction C
n
- Extremum 262 269
QCM 2 : quation aux drives dordre 2 263 273
QCM 3 : Aires Intgrales doubles 265 277
QCM 4 : tude mtrique des courbes 266 280
Chapitre 14 : Espaces vectoriels euclidiens
Transformations du plan
et de lespace 283
QCM 1 : Produit scalaire et polynmes
orthogonaux 284 291
QCM 2 : Automorphismes orthogonaux de E 286 295
QCM 3 : Isomtries et similitudes du plan 287 299
QCM 4 : Isomtries de lespace 288 301
217
corrigs
225
229
232
236
239
248
252
255
258
261
269
273
277
280
283
291
295
299
301
Chapitre 11 : Dveloppements limits
sommaire
-
7chapitre 1
Complexes
noncs corrigs
QCM 1 : Relations trigonomtriques 8 15
QCM 2 : Application du plan complexe 10 19
QCM 3 : Interprtation gomtrique 12 23
QCM 4 : quations complexes 14 27
corrigs
15
19
23
27
-
8noncs
>
QCM 1 Relations trigonomtriques
(daprs EPL 2008)
Question 1
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?
A
( )
= +
(
(
= + = + : co s 5
(
s 5
(
s 5
(
(
s 5
(
(
16= +16= + 5 5
5
= +
5
= +co= +co= +s c= +s c= + s c = + = +s c= + = + 5 s c 5 = +
5
= +s c= +
5
= + os
B
( )
= +
(
(
: co s 5
(
s 5
(
s 5
(
(
s 5
(
(
16= 16= 5
5 3
5 3
20
5 3
20 20
5 3
20 co= co= s c= s c= s c = = s c= = 20 s c 20
5 3
s c
5 3
5 3
s c
5 3
20
5 3
20 s c
5 3
20 os
5 3
os
5 3
cos
C
cos
10
5 55 5
8
=
5 5+5 5
D
cos cs cs cs cos cos
10
5 55 5 5 5 5 5
8 10 3
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s cs c=s c
5 5 5 5
8 1
8 1
8 1
8 1
8 1
8 1
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
s ccas cs crs c
Question 2 (daprs EPL 2008)
Soit n *. On cherche rsoudre
n
k
k
k
n
( )
=
=
1
2 0cos o est une inconnue
relle.
A Si est solution, alors
n
k
k
n
n
( )
k
( )
k =
=
1
2
2sin
( )
( )
.
B
n
k
k n
k
n
n
( )
k n
( )
k n
(
k n
(
k n
)
=
1
( )
2
( )
2
cos c
( )
s c
( )
k n
( )
k ns ck n
( )
k n
( )
2
( )
s c
( )
2
( )
cos
k n k n
( )
( )
k n
( )
k n k n
( )
k n
(
(
k n
(
k n k n
(
k nk ns ck n k ns ck nk n
( )
k ns ck n
( )
k n k ns ck n
( )
k nk n=k ns ck n=k n k ns ck n=k nk nosk n k nosk n
C Lensemble des solutions est
n
k k
n
k k
k k
k+ + k k+ k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
, ,k k, ,k k+ , ,+ k k+ k k, ,k k+ k k, ,k k, ,k k
, ,
k k
k k, ,k k
k k
, ,
k k
k k, ,k k
k k
, ,
k k
k k
k k
k k, ,k k
k k
k k +, , +k k +k k, ,k k +k k, ,, ,k k, ,k k +, , +k k +k k, ,k k +k k
, ,
+
+, , +
+k k +k k
k k +k k, ,k k
k k +k k
, ,
+
+, , +
+k k +k k
k k +k k, ,k k
k k +k k
, ,
+
+
+
+, , +
+
+k k +k k
k k +k k
k k
k k +k k, ,k k +k k
k k +k k
k k +k k
k k +k k k k k k
k k
k k
k kk k +k k k k +k kk k +k k k k +k k k k
k k k k
k kk k +k k
k k +k k k k
k k +k kk k k kk k
k k k k
k kk k
k k k k
k kk k
k k
k k
k k k k
k k
k kk k +k k k k +k kk k
k k k k
k kk k +k k
k k +k k k k
k k +k kk k
k k
k k
k k k k
k k
k kk k +k k
k k +k k
k k
k k +k k k k +k k
k k +k k
k k +k k
k k +k k, , , ,, , , ,k k, ,k k k k, ,k kk k +k k, ,k k +k k k k, ,k k +k kk k, ,k k k k, ,k kk k
k k, ,k k
k k k k, ,k k
k kk k
k k, ,k k
k k k k, ,k k
k kk k
k k
k k
k k, ,k k
k k
k k k k
k k
k k
k k, ,k k
k k
k k
k kk k +k k, ,k k +k k k k, ,k k +k kk k +k k
k k +k k, ,k k
k k +k k k k +k k
k k +k k, ,k k +k k
k k +k kk k +k k
k k +k k, ,k k
k k +k k k k +k k
k k +k k, ,k k +k k
k k +k kk k +k k
k k +k k
k k
k k +k k, ,k k +k k
k k +k k
k k +k k
k k +k k k k +k k
k k +k k
+k k
k k +k k, ,k k
k k +k k
k k +k k
+k k
2
, ,
2
, ,
.
D Il ny a pas de solution cette quation.
-
chapitre 1 : Complexes
9
noncs
Question 3 (daprs ICNA 1990)
Soient
U h ph V h ph
p
n
p
n
, cos , sin
( )
= +
( ) ( )
= +
( )
= =
0
1
0
1
et
, avec et h rels
non multiples de 2. On note Z = U + iV.
A
Z h e
e
e
i
inh
ih
( )
Z h
( )
Z h
( )
Z hZ h
( )
Z hZ h,
( )
,Z h,Z h
( )
Z h,Z h =
1
1
B
Z h e
nh
h
i
sin
sin
( )
Z h
( )
Z h
( )
Z hZ h
( )
Z hZ h,
( )
,Z h,Z h
( )
Z h,Z h =
2
2
C
U h V h
V h
V hV hV h, ,V h, ,V h, ,V hV h, ,V hV h
( )
U h
( )
U h
( )
U hU h
( )
U hU h, ,
( )
, ,U h, ,U h
( )
U h, ,U h V h= V hV h= V h= V h= V h
V h
V hV h= V h
V h= V h
V h
V h, ,
, ,V h, ,V h
V h, ,V hV h= V h
V h= V hV h= V h
V h= V hV h
V h
V h
V hV h= V h
V h= V h
V h
V h= V h
V h
V h
V h
V h, ,
, ,
, ,
, ,V h, ,V h
V h, ,V h
V h
V h, ,V hV h= V h
V h= V h
V h
V h= V h
2
, ,
2
, ,
D U h
n
h
nh
h
1
2 2
2
cos ss shs shs sin
sin
( )
U h
( )
U hU h0U h
( )
U h0U h,
( )
,U h,U h
( )
U h,U h =
s s
s s
s s
s ss s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s ss s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
2 2
2 2
s s
s ss s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
2 2
2 2
2 2
2 2
s s
s s
s s
s ss s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Question 4 (daprs ICNA 1990)
On pose A h ph B h p ph
p
n
p
n
( ) cos ( ) .=
( )
=
( )
= =
1 1
et sin
A
A h U h
( )
A h
( )
A h = U h= U h
( )
U h
( )
U h h
( )
hU h= U h
( )
U h= U h
( )
,
( )
B
A h U h
( )
A h
( )
A h =
( )
U h
( )
U h h
( )
h
( )
,
( )
C
B h
dA
dh
( )
B h
( )
B h =
( )
h
( )
h
D A h
n
h
h
( )
A h
( )
A h =
sin
sin
2 1n2 1n +2 1+
2
2
2
1
2
-
10
noncs
>
QCM 2 Application du plan complexe
(daprs EPL 2006)
Le plan complexe est rapport un repre orthonorm direct
O u, ,
v
. On consi-
dre une transformation qui tout point m dafxe le nombre complexe non nul z,
associe le point M dafxe le nombre complexe Z vriant lquation :
Z
z
z
=
+
2
2
1
(H)
Question 1
On note z = r.e
i
la forme trigonomtrique du complexe z.
A Z na pas toujours de forme trigonomtrique.
B La forme trigonomtrique de Z scrit
1
2
2
r
e
i
.
C La forme trigonomtrique de Z scrit 1
1
2
2
r
e
i
.
D La forme trigonomtrique de Z scrit
1
1
2
2
+
r
e
i
.
Question 2
La partie relle de Z scrit :
A
1
2
2
r
( )
cos
B
1
1
2
2
+
( )
r
cos
La partie imaginaire de Z scrit :
C sin(2) D
( )
1
2
2
r
sin
-
chapitre 1 : Complexes
11
noncs
Question 3
Soit Z un complexe, distinct de 1, reprsent sous forme cartsienne par le
nombre X + iY, o X et Y sont deux nombres rels. Pour un tel Z, on note z = x + iy
un complexe solution, sil en existe, de lquation (H). On a ncessairement :
A X 1 et Y 0 B
x y
X
X Y
2 2
x y
2 2
x y
2
X Y
2
X Y
2
1
1X Y1X Y
+ =x y+ =x y
2 2
+ =
2 2
x y
2 2
x y+ =x y
2 2
x y
X YX Y
( )
X Y
)
X YX Y+X Y
C
x y
X
X Y
2 2
x y
2 2
x y
2
X Y
2
X Y
2
1
1X Y1X Y
=x y =x y
X YX Y
( )
X Y
)
X YX Y+X Y
D
2
1
2
2
xy
Y
X Y
2
X Y
2
X Y1X Y1
=
X YX Y
( )
X Y
)
X YX Y+X Y
Question 4
Soit Z un complexe non nul, distinct de 1, de forme trigonomtrique Re
i
. Pour
un tel Z, on note z = re
i
un complexe solution, sil en existe, de lquation (H).
On a ncessairement :
A R 1 ou 0 B R 1 et 2k, o k
C r
R R
2
2
R R
2
R R
1
1 2R R1 2R R
=
R R+ R RR R1 2R R+ R R1 2R Rcos
D
r
R R
2
2
R R
2
R R
1
1 2R R1 2R R
=
R R+ R RR R1 2R R+ R R1 2R Rcos
Question 5
On suppose dans cette question que le point m dafxe le nombre complexe non
nul z dcrit la demi-droite D dorigine O, prive de O, de vecteur directeur
e
tel que langle u e
, soit gal /4. Le point M dafxe le nombre complexe Z
vriant lquation (H) dcrit alors :
A une demi-droite. B le demi-axe O u,O u,O u
O u
O u
.
C le demi-axe
O v,O v,O vO vO v
O v
O v
.
D le cercle de centre O et rayon 2.
-
12
noncs
Question 6
Pour n *, on considre lquation (E
n
) :
z
z
n
2
2
1
1
+
= .
A Si z
0
est une solution de (E
n
), z
0
et z
0
sont solutions de (E
n
).
B (E
n
) a n racines distinctes.
C (E
n
) a 2n racines distinctes.
D
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
2
4 2
sin
k
n
e ke ke k
e k
e k
e k
e k
4 2
e k
4 2
/e k/
i +i +
k
e k
n
e k
k k
{ }{ }
...
{ }
... , -
{ }
, -1 2
{ }
1 2 3
{ }
3, , ,
{ }
, , ,, , ,, , ,1 2, , ,1 2
{ }
1 2, , ,1 2 3, , ,3
{ }
3, , ,33 n
{ }
n, -n, -
{ }
, -n, -1
{ }
111 1
{ }
11 1
est lensemble des
solutions de (E
n
).
>
QCM 3 Interprtation gomtrique
(daprs EPL 1994)
Dans le plan complexe , on considre la fonction :
f
i z i
z i
: z z =
+
2 4
Question 1
On note D lensemble de dnition de f. On peut dire que f est :
A dnie sur D = \{i}.
B lapplication nulle.
C une bijection de D sur lui-mme.
D involutive ( f o f = Id ).
-
chapitre 1 : Complexes
13
noncs
Question 2
Soient M le point dafxe z, M le point dafxe z , A le point dafxe i, B le point
dafxe 4 2i et O le point dafxe 0.
Si lon pose Z = z i et Z = z i, alors :
A
Z Z i = 3 4 3 4
B
Z Z = = 5
C
arg , (mod )Z Zg ,Z Zg ,g ,AMg , AM g , g ,AM AMg ,AMg , g ,AMg , AM AM g , g , g , g ,
(
g ,
(
g ,
)
g ,
)
g ,
)
g , g ,
)
g , g ,g ,=g ,
(
g ,
(
g ,
(
g , g ,
(
g , g ,
)
2
D
arg arg (mod )Z Zg aZ Zg argZ Zrg C
ste
(
g a
(
g a
)
g a
)
g aZ Z
)
Z Zg aZ Zg a
)
g aZ Zg ag aZ Zg a+g aZ Zg a
(
Z Z
(
Z Z
)
= 2
Question 3
Si M dcrit le cercle de centre A et de rayon 5, alors M est situ sur :
A la mdiatrice du segment [OA]. B le cercle de diamtre [OA].
Si M dcrit une droite passant par A, sauf le point A, alors M est situ sur :
C le cercle de diamtre [AB]. D une droite passant par A.
Question 4
Si M dcrit le cercle de centre O et de rayon 1, alors M dcrit :
A le cercle de diamtre [AB].
B la mdiatrice du segment [AB].
Si M dcrit laxe des rels, alors M dcrit :
C une droite passant par B, sauf le point B.
D le cercle de diamtre [AB], sauf le point B.
-
14
noncs
>
QCM 4 quations complexes
(daprs EPL 1991 et 1992)
Question 1
Dans , on considre les quations :
z z
2
2 1 0 + = (1)
z z
2
2 1 0 + = (2)
A (1) est quation du 2
nd
degr et admet donc deux racines,
distinctes ou non.
B si z
0
est une solution de (1), alors z
0
est une solution de (2).
C si z
0
est solution de (1), alors z
0
est solution de lquation
du 4
e
degr :
z z z
4 2
z z
4 2
z z2 8z z2 8z z
4 2
2 8
4 2
5 0z z+ z z
4 2
+
4 2
z z
4 2
z z+ z z
4 2
z z2 8+ 2 8z z2 8z z+ z z2 8z z
4 2
2 8
4 2
+
4 2
2 8
4 2
z z
4 2
z z2 8z z
4 2
z z+ z z2 8z z
4 2
z z + =5 0+ =5 0 (3)
D (1) et (2) ont au moins une solution diffrente.
Question 2
Pour lquation (3) :
A 1 nest pas une racine.
B on peut mettre en facteur (z 1)
2
dans le membre de gauche.
C les racines sont toutes relles.
D il y a trois racines distinctes.
Question 3
Les valeurs suivantes sont racines de lquation (1) :
A 1 B 1 + i
C 1 2i D 1
-
15
>
QCM 1 Relations trigonomtriques
Question 1 : rponses B et C
Pour la valeur particulire = 0, lquation de lassertion A scrit :
cos cos cos5 0s c5 0s c16s c16s c 0 5 0
5
5 05 0s c5 0s cs c5 0s c
(
s c
(
s c
)
s c
)
s cs c=s c
( )
0 5
)
0 50 5+0 5
( )
, soit 1 = 16 + 5.
La rponse A est fausse.
Formule de Moivre
, , n n
:
cos s s s s s s s s s s s
+ s s s s+s s s s
( )
( )
( )
= =
( )
)
s s s s
)
s s s s + s s s s+s s s s
(
(
)
i eini ein i e s s s si es s s sin ini ein in
)
i e
)
=i e=
( )
i e
( )
s se ns se ncoe ncos se ns s
e n
= =e n= = s s
(
s se ns s
(
s si n i n i nini nin i n s s s si ns s s sin ini nin in
(
i n
(
(
i n
(
n
i e
n
i e
( )
i
( )
n
n
i n i n
e n
i n
e n
Soit le complexe :
z iz iz iz i=z i
((
z i
(
z i
)) (( ))
z icoz iz icoz iz is sz iz is sz iz is sz iz is sz iz i
(
z is sz i
(
z iz i
(
z is sz i
(
z i5 5z i5 5z i5 5z i5 5z i
)
5 5
)
z i
)
z i5 5z i
)
z i
(
5 5
(
z is sz i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i in5 5in
)
) (
(
z is sz i z is sz is s s sz is sz i z is sz iz i
)
z is sz i
)
z i z is sz i
)
z i5 5 5 55 5 5 55 5 5 55 5 5 5z i5 5z i z i5 5z iz i5 5z i z i5 5z iz i
)
z i5 5z i
)
z i z i
)
z i5 5z i
)
z iz i+z i5 5z i+z i z i+z i5 5z i+z i
(
5 5
(
(
5 5
((
5 5
(
(
5 5
(
s s5 5s s s s5 5s ss s5 5s s s s5 5s sz is sz i5 5z is sz i z i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i z is sz i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i z i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i z is sz i5 5z is sz iz i
)
z is sz i
)
z i5 5z is sz i
)
z i z i
)
z is sz i
)
z i5 5z i
)
z is sz i
)
z iz i
)
z is sz i
)
z i5 5z i
)
z is sz i
)
z i z i
)
z is sz i
)
z i5 5z i
)
z is sz i
)
z iz i+z is sz i+z i5 5z is sz i+z i z i+z is sz i+z i5 5z i+z is sz i+z iz i+z is sz i+z i5 5z i+z is sz i+z i z i+z is sz i+z i5 5z i+z is sz i+z i in5 5in in5 5inin5 5in in5 5in
laide du binme de Newton, en saidant du triangle de Pascal, on obtient :
z iz i= +z i
(
z i
(
z iz i= +z i
(
z i= +z i
)
= +z icoz iz i= +z icoz i= +z iz is sz iz i= +z is sz i= +z i in co= +co= +s c= +s c= + sin c sin z i z iz i= +z i z i= +z is s s sz is sz i z is sz iz i= +z is sz i= +z i z is sz i= +z i in in s c s cis ci is ci= +s c= + = +s c= + os os n c n cos os
5
5 4
= +
5 4
= += +s c= +
5 4
= +s c= +
5 4
= + = +
5 4
= + = +s c s c
5 4
s c s c= +s c= + = +s c= +
5 4
= + = +s c= +
3 2
si
3 2
sin
3 2
n
3 2
5 1si5 1sin c5 1n c 5 1 s c s c5 1s c s cis ci is ci5 1i is ci os os5 1os os 5 1 n c n c5 1n c n cn c n c5 1 n c
5 4
5 1
5 4
i
5 4
i5 1i
5 4
i
5 4
5 1
5 4
i i
5 4
i i5 1i
5 4
i is c s c
5 4
s c s c5 1s c
5 4
s c s cis ci is ci
5 4
i is ci5 1is ci is ci
5 4
is ci is ci os os
5 4
os os5 1os
5 4
os os 0 0 n c n c0n c n c
+10 +10 + 5
2 3 4 5
i i +i i + +i i+5i i5
2 3
i i
2 3
+
2 3
+i i +
2 3
+
4 5
i i
4 5
+
4 5
+i i+
4 5
+i icoi i +i i +co +i i +i is si i +i i +s s +i i + +
2 3
+i i +
2 3
+s s +i i +
2 3
+
2 3
i i
2 3
in
2 3
i i
2 3
i icoi ii is si ii iini i si
4 5
si
4 5
n
4 5
n
4 5
i i i i +i i + +i i +
2 3
i i
2 3
2 3
i i
2 3
+
2 3
+i i +
2 3
+ +i i +
2 3
+i is si i i is si i +i i +s s +i i + +s s +i i + +
2 3
+i i +
2 3
+s s +i i +
2 3
+ +
2 3
+i i +
2 3
+s s +
2 3
+i i +
2 3
+ +i i +in +i i + +in +i i +
2 3
i i
2 3
in
2 3
i i
2 3
2 3
in
2 3
i i
2 3
+
2 3
+i i +
2 3
+in +i i +
2 3
+ +
2 3
+i i +
2 3
+in +
2 3
+i i +
2 3
+ i i i i
4 5
i i
4 5
4 5
i i
4 5
i is si i i is si ii iini i i iini i
cos c cos s cos s5 1s c5 1s c5 10 5co0 5cos s0 5s sin0 5in0 5
5 3
5 1
5 3
5 10 5
5 3
0 5co0 5co
5 3
co0 5cos s0 5s s
5 3
s s0 5s s
2 4
co
2 4
cos s
2 4
s sin
2 4
in0 5
2 4
0 5 s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s cos5 1os os5 1os5 1
5 3
5 1 5 1
5 3
5 1 s s s s0 5 0 5s s0 5s s s s0 5s sin0 5in in0 5in0 5
2 4
0 5 0 5
2 4
0 5 s s s sin in
2 4
2 4
s s
2 4
s s s s
2 4
s sin
2 4
in in
2 4
in
(
s c
(
s c
)
5 1
)
5 1
)
s c s c
)
s c s c5 1 5 1
)
5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c
)
s c s c5 1s c5 1= 5 1s c s c= s c s c5 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s c
(
5 1
(
5 15 1 5 1
(
5 1 5 1
(
(
)
5 1
)
5 1
)
s c s c
)
s c s c5 1 5 1
)
5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c
)
s c s c5 1s c5 1= 5 15 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s cos5 1os os5 1os= os os5 1os 0 5+0 50 5
2 4
0 5+0 5
2 4
0 5s c s ce zs c s cs c5 1s c s c5 1s ce zs c s c5 1s cs c s ce zs c s cs c5 1s c s c5 1s ce zs c s c5 1s cs c s c
(
s c s ce zs c
(
s c s cs c5 1s c s c5 1s c
(
s c s c5 1s ce zs c5 1s c s c5 1s c
(
s c5 1s c s c5 1s c
cos c cos c cos c5 1s c5 1s c 0 1co0 1cos c0 1s c 5 1co5 1cos c5 1s c
5 3
5 1
5 3
5 10 1
5 3
0 1co0 1co
5 3
co0 1cos c0 1s c
5 3
s c0 1s c
2 2
5 1
2 2
5 1
2
s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s cos5 1os os5 1os5 1
5 3
5 1 5 1
5 3
5 1 s c s c5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c s c s c0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c 5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1 s c s cs c5 1s c s c5 1s c
(
s c
(
s c
)
5 1
)
5 1
)
)
s c s c
)
s c s c5 1 5 1
)
5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c
)
s c s c5 1s c5 1= 5 15 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s cos5 1os os5 1os= os os5 1os
( )
0 1
( )
0 1
2 2
( )
2 2
( )
s c s c
( )
s c s cos os
( )
os os0 1 0 1
( )
0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c
( )
s c s c0 1s c
2 2
2 2
( )
2 2
2 2
s c s cs c s c
( )
s cs c s c + 5 1+ 5 1co5 1co+ co5 1cos c5 1s c+ s c5 1s c
2 2
+
2 2
5 1
2 2
5 1+ 5 1
2 2
5 1co5 1co
2 2
co5 1co+ co
2 2
co5 1cos c5 1s c
2 2
s c5 1s c+ s c
2 2
s c5 1s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1+ 5 1 5 1
2 2
5 1s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c
2 2
s c5 1s c+ s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c5 1s c
2 2
s c5 1s c
( )
2 2
( )
2 2
5 1
2 2
5 1
( )
5 1
2 2
5 1
( )
s c s c
( )
s c s cos os
( )
os oss c5 1s c s c5 1s c
( )
s c s c5 1s c
2 2
2 2
( )
2 2
2 2
s c
2 2
s c s c
2 2
s c
( )
s c s c
2 2
s cos
2 2
os os
2 2
os
( )
os os
2 2
os5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1
( )
5 1 5 1
2 2
5 1s c s c+ s c s c
( )
s c+ s c s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c
( )
s c5 1s c s c5 1s c+ s c5 1s c s c5 1s c
2 2
2 2
+
2 2
2 2
( )
2 2
+
2 2
2 2
s c
2 2
s c s c
2 2
s c+ s c s c
2 2
s c
( )
s c
2 2
s c s c
2 2
s c+ s c
2 2
s c s c
2 2
s c5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1+ 5 1 5 1
2 2
5 1
( )
5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1+ 5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c
2 2
s c5 1s c+ s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c5 1s c
2 2
s c5 1s c
( )
s c5 1s c
2 2
s c5 1s c 5 1s c
2 2
s c5 1s c+ s c
2 2
s c5 1s c s c5 1s c
2 2
5 1s c
cos c cos c cos c5 1s c5 1s c 0 1co0 1cos c0 1s c 5 1co5 1cos c5 1s c
5 3
5 1
5 3
5 10 1
5 3
0 1co0 1co
5 3
co0 1cos c0 1s c
5 3
s c0 1s c
2 2
5 1
2 2
5 1 s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s cos5 1os os5 1os s c s c5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c5 1
5 3
5 1 5 1
5 3
5 1 s c s c0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c s c s cs c5 1s c s c5 1s c5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1
(
s c
(
s c
)
5 1
)
5 1
)
)
s c s c
)
s c s c5 1 5 1
)
5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c
)
s c s c5 1s c5 1= 5 15 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s cos5 1os os5 1os= os os5 1os
( )
0 1
( )
0 1
( )
2 2
( )
2 2
( )
s c s c
( )
s c s cos os
( )
os os0 1 0 1
( )
0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c
( )
s c s c0 1s c
2 2
2 2
( )
2 2
2 2
s c s cs c s c
( )
s cs c s c + 5 1+ 5 1co5 1co+ co5 1cos c5 1s c+ s c5 1s c
2 2
+
2 2
5 1
2 2
5 1+ 5 1
2 2
5 1co5 1co
2 2
co5 1co+ co
2 2
co5 1cos c5 1s c
2 2
s c5 1s c+ s c
2 2
s c5 1s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1+ 5 1 5 1
2 2
5 1s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c
2 2
s c5 1s c+ s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c5 1s c
2 2
s c5 1s c
( )
co
( )
cos
( )
s
2 2
( )
2 2
5 1
2 2
5 1
( )
5 1
2 2
5 1 2
2 2
2
( )
2
2 2
2
4
( )
4
( )
s c s c
( )
s c s cos os
( )
os oss c5 1s c s c5 1s c
( )
s c s c5 1s cs c2s c s c2s c
( )
s c s c2s c
2 2
2 2
( )
2 2
2 2
s c
2 2
s c s c
2 2
s c
( )
s c s c
2 2
s cos
2 2
os os
2 2
os
( )
os os
2 2
os5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1
( )
5 1 5 1
2 2
5 1 2
2 2
2 2
2 2
2
( )
2 2
2 2
2s c2s c
2 2
s c2s c s c
2 2
s c2s c
( )
s c2s c
2 2
s c2s c s c2s c
2 2
s c2s c
( )
s c s c+ s c s c
( )
s c+ s c s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c
( )
s c5 1s c s c5 1s c+ s c5 1s c s c5 1s c
2 2
2 2
+
2 2
2 2
( )
2 2
+
2 2
2 2
s c
2 2
s c s c
2 2
s c+ s c s c
2 2
s c
( )
s c
2 2
s c s c
2 2
s c+ s c
2 2
s c s c
2 2
s c5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1+ 5 1 5 1
2 2
5 1
( )
5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1+ 5 1
2 2
5 1 5 1
2 2
5 1s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c
2 2
s c5 1s c+ s c5 1s c
2 2
s c5 1s c s c5 1s c
2 2
s c5 1s c
( )
s c5 1s c
2 2
s c5 1s c 5 1s c
2 2
s c5 1s c+ s c
2 2
s c5 1s c s c5 1s c
2 2
5 1s c +
( )
+
cos c cos c5 1s c5 1s c6 20 5co0 5cos c0 5s c
5 3
6 2
5 3
6 20 5
5 3
0 5co0 5co
5 3
co0 5cos c0 5s c
5 3
s c0 5s c s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c6 2 6 2s c6 2s c s c6 2s cos6 2os os6 2os6 2
5 3
6 2 6 2
5 3
6 2 s c s cos os0 5 0 5s c0 5s c s c0 5s c
(
s c
(
s c
)
5 1
)
5 1
)
s c s c
)
s c s c5 1 5 1
)
5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c
)
s c s c5 1s c6 2= 6 2s c s c= s c s cs c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s c6 2 6 2= 6 2 6 2s c6 2s c s c6 2s c= s c s c6 2s cos6 2os os6 2os= os os6 2os 0 5 0 5+0 5 0 5s c0 5s c s c0 5s c+s c s c0 5s c
La rponse B est bonne.
Pour
=
10
, la relation prcdente scrit :
cos cs cos cos cs cos
2
0 1s c0 1s c
0 1
6s c6s c
6
10
20
10
5s c5s c
5
10
5 3
co
5 3
cos c
5 3
s c
5 3
5 3
5 3
5 3
20
5 3
20
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s cs c= =s cs c0 1s c= =s c0 1s c
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c+s c+s c
cos cs cos cos
10
16s c16s c
16
10
20
10
5 0
4 2
co
4 2
cos
4 2
s20
4 2
20
4 2
4 2
4 2
4 2
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
4 2
+
s c
s c
5 0
5 0
5 0
5 05 0
5 0
5 0
5 0
5 0=5 0
Pour la valeur particulire
N
O
N
QCM 1 Relations trigonomtriques
corrigs
-
corrigs
16
soit, puisque
cos
10
0
, et en posant
x =
cos
2
10
:
16 20 5 0
2
x x20x x20
2
x x
2
+20 +20x x +x x20x x20 +20x x20 5 0=5 0
= = = >b a =b a =c =c =
2
b a
2
b ab a4b a =b a =4 =b a = 400 320 =320 = 80 0
donc lquation admet 2 racines relles
distinctes :
x xx x
1 2
x x
1 2
x x
5 55 5
8
1 2
8
1 2
5 55 5
8
x x=x xx x
1 2
x x=x x
1 2
x x
5 55 5
=
5 5+5 5
etx xetx xx x
1 2
x xetx x
1 2
x x
cos ,s , cos
10
s ,
10
s ,0s ,0s ,
0
10
5 55 5
8
s ,
s ,
s ,
s ,s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,
s ,>s ,>s ,
=
5 55 5
donc
donc
:
Or
0
10 6 10 6
0 866<
0 6
0 6
0 6
0 6
0 6
0 6
donc cos cs c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
>s c> os , ...
et cos
10
5 55 5
8
=
5 5+5 5
La rponse C est bonne et la rponse D est fausse.
Question 2 : aucune rponse nest bonne
n
k
n
k
k
n
k
n
( )
k
( )
k
=
= =
n
n
k
kk
( )
( )
k
( )
k
k
( )
k =
=
si
n
cos
2
1 1
k
1 1
k
k1 1k
1 1
1 1
= =1 1= =
k
= =
k
1 1
k
= =
k
k= =k1 1k= =k
= =
1 1
= =
= =
1 1
= =
1 21 2
( )
1 2
( )
co1 2cos1 2s
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
222
1
2
1 1
2
1 1
2
da r s
n
k
1 1
k
1 1
n
k
k
n
k1 1k1 1
n
nul
1 1
1 1
1 1
1 1
( )
2
( )
2k
( )
k
= =1 1= =1 1
2
1 1
2
= =
2
1 1
2
1 1
k
1 1= =1 1
k
1 11 1k1 1= =1 1k1 11 1
1 1= =1 1
1 11 1
1 1= =1 1
1 1
1
1
2
2
n
n
k
k
cos
( )
( )
pa rpa r lhypotllhypotl h seh sh s
En utilisant le dveloppement du binme de Newton, on obtient :
n
k
n
k
k
n
k
n
n
( )
k
( )
k =
= =
donc
donc
n
n
k
k
n
n
n
n
= +
= +
(
(
= +
(
= +
= +
(
= +
)
)
=
=
0
1 1
= +
= +1 1= +
= +
2
2 1
n
2 1
n
2 1
2
2
1
sin
( )
( )
La rponse A est fausse.
Pour la valeur particulire = 0, lquation de lassertion B scrit :
soit encore
n
k
k
n
n
n
n
=
=
=
1
1
2
2 1
n
2 1
n
=2 1 =
1
2
La rponse B est fausse.
Pour la valeur particulire
N
O
N
-
17
corrigs
chapitre 1 : Complexes
= 0 nest pas solution de lquation rsoudre, puisque, si n * :
n
k
n
k
k
n
k
n
n
=
= =
n
n
k
kk
(
( )
)
=
=
co
s 0
(
(
s 0
(
(
2 1
n
2 1
n
= 2 1= 0
1 1
k
1 1
k
k1 1k
1 1
1 1
= =1 1= =
k
= =
k
1 1
k
= =
k
k= =k1 1k= =k
= =
1 1
= =
= =
1 1
= =
Or, = 0 appartient lensemble des solutions proposes, puisque,
pour k = 1, scrit :
n
k k
n n n
+ =+ = = = 0
La rponse C est fausse.
Daprs la formule de Moivre :
n
kk
k e
n
k
k
n
( )
k e
( )
k ek e= k e
=
cos c
( )
s c
( )
k e
( )
k es ck e
( )
k e2 2k e2 2k e
( )
2 2
( )
k e
( )
k e2 2k e
( )
k ek e= k e2 2k e= k e
( )
s c
( )
2 2
( )
s c
( )
k e
( )
k es ck e
( )
k e2 2k es ck e
( )
k e
1
( )
( )
s c s ck es ck e k es ck ek e
( )
k es ck e
( )
k e k es ck e
( )
k ek e= k es ck e= k e k es ck e= k e2 2 2 2k e2 2k e k e2 2k ek e
( )
k e2 2k e
( )
k e k e2 2k e
( )
k ek e= k e2 2k e= k e k e2 2k e= k es c2 2s c s c2 2s ck es ck e2 2k es ck e k e2 2k es ck ek e
( )
k es ck e
( )
k e2 2k es ck e
( )
k e k e
( )
k es ck e
( )
k e2 2k e
( )
k es ck e
( )
k ek e= k es ck e= k e2 2k es ck e= k e k e= k es ck e= k e2 2k e= k es ck e= k e
kkk
n
i
k
k
n
n
k
e
= =
k
= =
k
= =
= =
k= =k
k i
k i
( )
( )
k i
( )
k i
k i
( )
k i
n
n
k
k
k i+k i
k i+k i
( )
( )
k
( )
k
k
( )
k
si
sin
n2 2
2 2
( )
2 2
( )
( )
2 2
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
2
( )
( )
2
( )
( )
( )
( )
( )
k i
( )
k i k i
( )
k i
k i k i
( )
k i
k
k
k
k
s c s c
s c s c
k
s c
k
k
s c
k
k
k
s c
k
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c
s c s c
s c
s c
s c
s c
s c
os os
os os2 2 2 2
2 2 2 2
( )
2 2
( )
( )
2 2
( )
( )
( )
2 2
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
s c2 2s c s c2 2s c
s c s c2 2s c
k
s c
k
2 2
k
s c
k
k
2 2
k
s c
k
k
s c
k
2 2
k
s c
k
k
s c
k
2 2
k
s c
k
s c
2 2
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c2 2s c 2 2s c
s c2 2s c s c2 2s c
s c
2 2s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
s c
2 2
s c
os2 2os os2 2os
os os2 2os
( )
( )
( )
( )
e
e
2 2
2 22 2 2 2
2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c
s c s c2 2s c
s c s c
s c s cs c2 2s c s c2 2s c
s c s c2 2s cs c2 2s c s c2 2s c
s c s c2 2s c2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c
s c s c2 2s c
s c2 2s c s c2 2s c
s c2 2s c s c2 2s c
s c s c
s c s c
s c
s c s cs c2 2s c s c2 2s c
s c s c2 2s c
s c2 2s c s c2 2s c
s c2 2s c s c2 2s c
= =
= =
=
( )
= =
= =
1= =1= =
2
1
n
k
k e e e e e e
k
n
i
e e
i
e e
n
in i i
( )
k e
( )
k ek e= k e e e+e e
( )
e e
)
e e
e e
e e
e e
e ee e
e e
e e
e ee e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e ee e
e e
e e
e e
e e
e e
e ee e= e e +
=
cos 2
( )
s 2
( )
e e1 1e ee e
)
e e1 1e e
)
e ee ee e1 1e ee e
1
2
e e
2
e e
( )
( )
k e
( )
k ek e
( )
k e
e e
e e
in in
e e
in
e e
e e
in
e e
e e
e e
e e
e e
n
n
+
+e e+e e
e e+e e
)
)
e e
e e
e e
e ee e
e e
e e
e e
e e
e e
e e=
= e e= e e
e e= e e1 1
1 1e e1 1e e
e e1 1e e
n
1 1
n
n
1 1
n
)
1 1
)
)
1 1
)
e e
)
e e1 1e e
)
e e
e e1 1e e
)
e e
e
e
i i i i
e
i i
e
e
i i
e+
+
i i
+
i i i i
+
i ii ii i i ii i
(((
e e
(
e e
(
e e
(
e e
)
=
( )
n
n n
( )
n n
( )
1
2 12 1
n n
2 1
n n
( )
n n
( )
2 1
( )
n n
( )
co2 1co2 1
n n
2 1
n n
co
n n
2 1
n n
s c
( )
s c
( )( )
n
( )
s c
( )
n
( )
2 1s c2 1
( )
2 1
( )
s c
( )
2 1
( )
n n
2 1
n n
s c
n n
2 1
n n
( )
n n
( )
2 1
( )
n n
( )
s c
( )
2 1
( )
n n
( )( )
n
( )
2 1
( )
n
( )
s c
( )
2 1
( )
n
( )( )
n n
( )
n
( )
n n
( )
2 1
( )
n
( )
n n
( )
s c
( )
n n
( )
n
( )
n n
( )
2 1
( )
n n
( )
n
( )
n n
( )
( )
( )
2 1 2 1
n n
2 1
n n
n n
2 1
n n
( )
n n
( )
2 1
( )
n n
( )
( )
2 1
( )
n n
( )
s c s c
( )
s c
( )
( )
s c
( )
2 1s c2 1 2 1s c2 1
( )
2 1
( )
s c
( )
2 1
( )
( )
s c
( )
2 1
( )
n n
2 1
n n
s c
n n
2 1
n n
n n
s c
n n
2 1
n n
( )
n n
( )
2 1
( )
n n
( )
s c
( )
2 1
( )
n n
( )
( )
n n
( )
2 1
( )
n n
( )
s c
( )
n n
( )
2 1
( )
n n
( )
os os2 1os2 1 2 1os2 1
n n
2 1
n n
os
n n
2 1
n n
n n
os
n n
2 1
n n
ce qui revient rsoudre lquation :
cos cs cns c
n
n
s c s cos os
n
n
s c s c
(
s c
(
s c
)
)
s c s c
)
s c s c =
1
2
Penser factoriser e
2i q
1 par e
i q
pour faire apparatre cos q ou sin q.
Pour n *, on dnit f sur par : f n
n
f n( )f ns cos f n f nf n( )f n f n( )f nf ncof n f ncof ns c s cf ns cf n f ns cf n f n f n=f n f n
(
f n
(
f nf n f n
(
f n f nf ns cf n f ns cf n
(
f n f ns cf n
)
s c
)
s c
On a :
f ff f
n
n n
f f
n n
f f
n
n n
n
f f( )f ff f0 1f ff f( )f f0 1f f( )f f
1
f f
1
f f
2 2
f f
2 2
f f
n n
2 2
n n
f f
n n
f f
2 2
f f
n n
f f 0
1
2
n n
2
n n
f f= >f ff f0 1f f= >f f0 1f f
n n
n n
2 2
2 2
n n
2 2
n n
n n
2 2
n n
n n
n n
n n
n nn n
2 2
n n
n n
2 2
n n
n n
n n
2 2
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
=
-
corrigs
18
Question 3 : rponses A et D
Z h h e e
p
n
i ph
p
n
i
i pi p
, c , c
( )
Z h
( )
Z h
( )
Z h Z h
( )
Z h Z h, c
( )
, cZ h, cZ h
( )
Z h, cZ h , c
( )
, c Z h Z h, cZ h Z h
( )
Z h, cZ h Z h = +, c= +, c , c = + , c
= =h e= =h e
i p
= =
i p
= =p= =p= =
i p+i p
(
i p
(
i p
= =
(
= =
i p
= =
i p
(
i p
= =
i p
)
= =
)
= =
h e
h e
i p
i ph e
h e
, c
, c , c
, c os
os i psii p
i psii p= +
= + = +
= + , c= +, c
, c= +, c , c = + , c
= + , c os= +os
os= +os os = + os
= + os
( )
( )
ph
( )
ph
ph
( )
ph
( )
( )
= +
( )
= +
= +
( )
= + = +
( )
= +
( )
= + i p+ +i p
i p+ +i p+ +
+ +i p+ +i p
i p+ +i pi psii p+ +i psii p
i p+ +i psii pi pni p+ +i pni p
i p+ +i pni p
, c
, c , c
, c = +
= +, c= +, c
, c= +, c , c = + , c
= + , c
( )
( )
i p
( )
i p
i p
( )
i ph e
( )
h e
h e
( )
h ei pi p
( )
i pi p
i p
( )
i pi pi p+ +i p
( )
i p+ +i p
i p
( )
i p+ +i pi pi p+ +i pi p
( )
i p+ +i pi p
i pi p+ +i pi p
( )
i pi p+ +i pi p
, c, c
, c, c , c , c
, c = += +
= += +, c= +, c, c= +, c
, c, c= +, c , c = + , c = + , c
, c = + , c , c = + , c
, c
, c
, c
, c
, c, c
, c, c
, c
, c, c , c , c
, c
, c , c
, c , c = += +
= += +
= +
= += +, c= +, c, c= +, c
, c, c= +, c
, c= +, c, c= +, c
, c= +, c, c= +, c , c = + , c = + , c
, c = + , c , c = + , c
, c = + , c , c = + , c
= + , c , c = +, c
h eh e
h eh e
h e
h e
h e
h e
h eh e
h eh e
h e
h eh eh e= =h e
h e= =h e
0= =0= =
1
0
1
e
iph
p
n
=
0
1
Il apparat la somme des n premiers termes dune suite gomtrique de pre-
mier terme gal 1 et de raison e
ih
. Or h 2k, donc e
ih
1 et :
Z h e
e
e
i
inh
ih
=
( )
Z h
( )
Z h =
( )
=Z h =Z h
( )
Z h =Z h,
( )
, =, =
( )
=, =Z h =Z h,Z h =Z h
( )
Z h,Z h =Z h
1
1
La rponse A est bonne.
Z h e
e e e
e e e
e
i
i
nh
i
nh
i
nh
i
h
i
h
i
h
i
( )
Z h
( )
Z h
( )
Z hZ h
( )
Z hZ h,
( )
,Z h,Z h
( )
Z h,Z h =
e e
e ee e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e ee e
e e
e e
e e
e e
e e
=
2 2
e e
2 2
e e
2 2
e e
2 2
e e
2 2
e e
e e
2 2
e e
e ee e
e e
2 2
e e
e e
2 2
e e
e e
e e
e e
2 2
e e
e e
e e
2
2 2
e e
2 2
e e
2 2
e e
2 2
e e
2 2
e e
e e
2 2
e e
e ee e
e e
2 2
e e
e e
2 2
e e
e e
e e
e e
2 2
e e
e e
e e
2
+++
( )
n hn h
)
n h
)
nh
h
n h1n h
2
2
2
sin
sin
La rponse B est fausse.
U h
p
n
p
n
, c , c sin
sin
( )
U h
( )
U h
( )
U h U h
( )
U h U h, c
( )
, cU h, cU h
( )
U h, cU h , c
( )
, c U h U h, cU h U h
( )
U h, cU h U h = +, c= +, c , c = + , c = = = si= sin= n
( )
ph
( )
ph
( )
+
( )
+
=
=
= = = si= sin= n
= =p= =p= =
n n
, c
, c , c
, c os
os = +
= + = +
= + , c= +, c
, c= +, c , c = + , c
= + , c os= +os
os= +os os = + os
= + os
( )
( )
ph
( )
ph
ph
( )
ph
( )
( )
= +
( )
= +
= +
( )
= + = +
( )
= +
( )
= + =
=
0= =0= =
1 1
0
1
2
2
phpphp V h
p
n
=
=
= V h= V hV h= V hV hV h
V h
V hV h= V h
V h= V h
V h
V hV h= V h
V h= V hV h= V h
V h= V hV h
V h
V h
V hV h= V h
V h= V h
V h
V h= V h
V h
V h
V h
V hV h= V h
V h= V h
V h
V h= V h
=
=
=
0
1
2
V h
V hV hV h,V h,V h
La rponse C est fausse.
Daprs lassertion A :
U h Z h
nh
h
i
n h
0 0Z h0 0Z h
2
2
n h1n h
2
, ,, ,0 0, ,0 0
sin
sin
( )
U h
( )
U h0 0
( )
0 0U h0 0U h
( )
U h0 0U h, ,
( )
, ,U h, ,U h
( )
U h, ,U h0 0, ,0 0
( )
0 0, ,0 0U h0 0U h, ,U h0 0U h
( )
U h, ,U h0 0U h = 0 0= 0 0, ,= , ,0 0, ,0 0= 0 0, ,0 0
( )
Z h
( )
Z hZ h0 0Z h
( )
Z h0 0Z h, ,
( )
, ,0 00 0, ,, ,
, ,
, ,0 00 0
0 00 0, ,, ,
, ,, ,
n hn h
( )
n h
)
n h
e =0 0e =0 0Z h0 0Z he =Z h0 0Z h, ,e =, ,Z h, ,Z he =Z h, ,Z h0 0, ,0 0e =0 0, ,0 0Z h0 0Z h, ,Z h0 0Z he =Z h, ,Z h0 0Z h, ,e =, ,0 0, ,0 0e =0 0, ,0 0
( )
e =
( )
Z h
( )
Z he =Z h
( )
Z hZ h0 0Z h
( )
Z h0 0Z he =Z h
( )
Z h0 0Z hZ h, ,Z h
( )
Z h, ,Z he =Z h
( )
Z h, ,Z hZ h0 0Z h, ,Z h0 0Z h
( )
Z h, ,Z h0 0Z he =Z h0 0Z h, ,Z h0 0Z h
( )
Z h0 0Z h, ,Z h0 0Z h0 00 0e =0 00 0, ,, ,e =, ,, ,0 0, ,0 00 0, ,0 0e =0 00 0, ,0 00 00 0
0 00 0e =0 0
0 00 0, ,, ,
, ,, ,e =, ,
, ,, ,0 0, ,0 00 0, ,0 0
0 00 0, ,0 0e =0 0, ,0 00 0, ,0 0
0 0, ,0 00 0, ,0 0
e =
e =
e
2
e
=
cos ss ss s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
in
sin
n
hs shs s
nh
h
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
La rponse D est bonne.
Question 4 : rponses B et D
A h h p h h U h
p
n
p
n n
q
( )A h( )A h s cos h hcoh hh hsh h= = +h p= +h p= +s c= +s cos= +os
(
h p
(
h p
)
= += +
= += +
= += + h hh h
h h
h h
h hh h
h hh hh h= +h hh hcoh h= +h hcoh hh hsh h= +h hsh hh h= +h h
( )
h h
( )
h h ph
( )
ph= +
( )
= +h h= +h h
( )
h h= +h h =
= = =
co
cos c
s c
( )
( )
ph
( )
ph
ph
( )
phs c
( )
s c
s c
( )
s cphs cph
( )
phs cph
ph
( )
phs cph = +
= +s c= +s c
s c= +s c
h h
h h
h h
h hh h= +h h
h h= +h h
1 1p1 1p= =1 1= =p= =p1 1p= =p
1
1
0
( )
U h
( )
U h,,,
( )
,,,h
( )
h
(en posant q = p 1).
La rponse A est fausse et la rponse B est bonne.
-
19
corrigs
chapitre 1 : Complexes
dA
dh
h p B h
p
n
( )h p( )h psin (B hn (B hn ( )h p= h p
( )
ph
( )
ph
( )
ph
( )
phn (
( )
n (phn (ph
( )
phn (phn (= n (
=
h p
h p
1
La rponse C est fausse.
Daprs les assertions 4-B et 3-A :
A h U h h e Z h( )A h( )A h , ,h e, ,h e Z h, ,Z h=
( )
U h
( )
U h h e
( )
h e, ,
( )
, ,h e, ,h e
( )
h e, ,h eh e= h eh e, ,h e= h e, ,h e
( )
Z h
( )
Z h h
( )
h, ,
( )
, ,Z h, ,Z h
( )
Z h, ,Z h, ,, ,
, ,
, ,
, ,, ,
, ,, ,
A h e e
nh
h
n
i
n h
( )A h( )A h
sin
sin
cos
=
e e
e e
e e
e ee e
e e
e e
e e
=
n h+n h
( )
n h
)
n hn h1n h
2
2
2
+++
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
h
nh
h
sin
sin
En utilisant la transformation
cos s sin sina bs sa bs sina bina bs sa bs s
(
s s
(
s s
)
a b
)
a bs sa bs s
)
s sa bs s
( )
a b
( )
a b = += +si= +sin s= +n s
( )
n s
( )
n sa b
( )
a bn sa bn s
( )
n sa bn s= +
( )
= +n s= +n s
( )
n s= +n sa b= +a b
( )
a b= +a bn sa bn s= +n sa bn s
( )
n s= +n sa bn s n s n sin in
( )
a b
( )
a b
( )
a b a b
( )
a b a b= += +
= += +
= += +
1
2
, on
obtient : A h
n
h
h
( )
A h
( )
A h =
sin
sin
2 1n2 1n +2 1+
2
2
2
1
2
La rponse D est bonne.
>
QCM 2 Application du plan complexe
Question 1 : rponse A
Forme trigonomtrique dun complexe
Tout nombre complexe Z non nul peut tre mis sous la forme
trigonomtrique :
Z ZZ Z e
i Z
Z Z=Z Z .
i Zari Zg(i Zg(i Z )
Ici, Z peut tre nul, si z = i. Donc Z na pas toujours de forme
trigonomtrique.
La rponse A est bonne.
Z
r e
r e r e r
e
i
i i
i
=
+
= +
i i
= +
i i
= +
2 2
r e
2 2
r e
i2 2i
2 2
r e
2 2
r e
i i2 2i i2 2i i2 2i i 2
2
1
1= +1= +
i i
= +
i i
1
i i
= +
i i
1
1= +1= +
1r e.r e
. .r e. .r e r e. .r e
r e
r e
i i i i
r e
i i
r e
r e
i i
r e
i i
= +
i i i i
= +
i i2 2 2 2i i2 2i i i i2 2i i
r e
i i
r e
2 2
r e
i i
r e
r e
2 2
r e
i i
r e
i i
= +
i i
1
i i
= +
i i i i
1
i i
= +
i i
Les rponses B et C sont fausses.
N
O
N
-
corrigs
20
Lexpression D est bonne, mais nest pas une forme trigonomtrique.
La rponse D est fausse.
Lexpression B est la seule qui soit une forme trigonomtrique mais ce
nest pas la bonne !
Question 2 : rponses B et D
Daprs la question prcdente, Z scrit :
Z
r
e
r
i
i
= +
= +
( ) ( )
= +
1= +1= +
1
1= +1= +
1
2 2i2 2i
( )
2 2
( ) ( )
2 2
( )
1= +1= +
2
2
2
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2i2 2i i2 2i
( )
2 2
( )
( )
2 2
( )
+ 2 2+ + 2 2+ i+ i2 2i+ i i2 2i+ i
( )
2 2
( )
( )
2 2
( )
+
( )
+ 2 2+
( )
+ + 2 2+
( )
+ cos s
( )
s s
( )
( )
s s
( )
( )
2 2
( )
s s
( )
2 2
( )
s s i is si i
( )
( )
s s
( )
( )
2 2 2 2s s2 2 2 2
( )
2 2
( )
( )
2 2
( )
s s
( )
( )
2 2
( )
+ 2 2+ + 2 2+ s s+ + 2 2+ i+ i2 2i+ i i2 2i+ is si+ i2 2i+ i i+ i2 2i+ i2 2in2 22 2 2 2in2 2 2 2+ 2 2+ + 2 2+ in+ + 2 2+
111 1
2 2
r
i
r
2 2
r
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
2
( )
2
2 2
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
2
( )
2co
2 2
co
2 2
s s
2 2
s s
2 2
( )
s s
( )
2
( )
2s s2
( )
2
2 2
( )
2 2
s s
2 2
( )
2 2
2
2 2
2
( )
2
2 2
2s s2
( )
2
2 2
2 in
1
1
i i
( )
( )
2 2
2 22 2
( )
2 2
2 2
( )
2 22 2
2 2
2 2
2 22 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
( )
2
( )
2 2
( )
2s s s ss s s s
2 2
s s
2 2
2 2
s s
2 2
s s s s
2 2
s s
2 2
2 2
s s
2 2
is si is si
2 2
i
2 2
s s
2 2
i
2 2
2 2
s s
2 2
i
2 2
( )
s s
( )
( )
s s
( )
2 2
( )
2 2
s s
2 2
( )
2 2
2 2
s s
2 2
( )
2 2
s s s s
s s
s s
s s
s s
2 2
2 2
s s
2 2
2 2
2 2
s s
2 2
2 2
s s
s s
s s
s s
s s
s s
2 2
2 2
2 2
2 2
s s
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
s s
2 2
2 2
2 2
2 2
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
in in
= +
( )
=
( )
e Z =e Z =
r
=m Z =
r
( ) =( ) =e Z( )e Z =e Z =( ) =e Z = cos (
(
s (
( )
s (
)
=s ( = =m Z =s ( =m Z =) s =) s =
) s
) s
) s
) s
) s
) s
in1
1
s (2s (
1
) s
1
) s 2
2 2
2 2
2 2
(
2 2
( )
2 2
)
=
2 2
=
2 2
2 2
r
2 2
r
co
2 2
cos (
2 2
s (
(
s (
(
2 2
(
s (
( )
s (
)
2 2
)
s (
)
=s ( =
2 2
=s ( =) s
2 2
) s =) s =
2 2
=) s =
) s
2 2
) s
) s
2 2
) s
s (2s (
2 2
s (2s ( = =
(
(
=m Z = =m Z =s ( s (
)
s (
)
)
s (
)
=s ( = =s ( = =m Z =s ( =m Z = =s ( =m Z =) s ) s) s ) s) s ) s =) s = =) s = ) s ) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
) s
in in) s
1
) s ) s
1
) s 2 2 =
2 2
= =
2 2
= =m Z =
2 2
=m Z = =
2 2
=m Z =s (
2 2
s ( s (
2 2
s (
)
s (
)
2 2
)
s (
)
)
2 2
)
s (
)
=s ( =
2 2
=s ( = =
2 2
=s ( = =m Z =s ( =m Z =
2 2
=s ( =m Z = =m Z =s ( =m Z =
2 2
=m Z =s ( =m Z =) s
2 2
) s ) s
2 2
) s =) s =
2 2
=) s = =
2 2
=) s =
) s
2 2
) s
2 2
) s
) s
2 2
) s
) s
2 2
) s
s (ets ( s (ets (s (
2 2
s (ets (
2 2
s ( s (ets (
2 2
s (
Les rponses A et C sont fausses, les rponses B et D sont bonnes.
Question 3 : rponses C et D
Logique
Soient P et Q deux propositions logiques.
La ngation de P et Q est non P ou non Q .
Z XZ X etetet YYY= Z X= Z X = =et= =et Y= =Y1 11 1Z X1 1Z XZ X1 1Z XZ X= Z X1 1Z X= Z X = =1 1= = 00Z X= Z X1 1Z X= Z XZ X1 1Z X
Z X Y Z X Z X Y Y1 1Z X1 1Z XZ X Z X1 1Z X Z X 1 1 0Z X Z X1 1Z X Z XZ X1 1Z X ou
La rponse A est fausse.
Z H z
Z
Z H Z H =
1Z H1Z HZ H Z H1Z H Z H
1
1
2
doncZ HdoncZ H donc Z H Z HdoncZ H Z H ( )Z H( )Z H ( ) Z H Z H( )Z H Z H
(1)
Or, lquation (1) scrit :
X iY
( )
x i
( )
x iy
( )
yx i+x i
( )
x i+x i =
+ X i+ X iY+ Y
2
1
1
x y ixy
X iY X iY
X Y
2 2
x y
2 2
x y
2
X Y
2
X Y
2
2
X i1X i
1 1Y X1 1Y X
X i1X i
+x y +x y
2 2
+
2 2
x y
2 2
x y +x y
2 2
x y =
X i X iX i1X i X i1X i
( )
X i
( )
X i1 1
( )
1 1X i1 1X i
( )
X i1 1X iY X1 1Y X
( )
Y X1 1Y XX i +X i
( )
X i +X iX i1 1X i +X i1 1X i
( )
X i +X i1 1X i
( )
iY
( )
iY1 1
( )
1 1Y X1 1Y X
( )
Y X1 1Y X
( )
1 1 1 1
( )
1 1 1 1
=
X i X iX i1X i X i1X i
( )
X Y
( )
X Y1
( )
1X Y1X Y
( )
X Y1X YX YX Y
( )
X YX YX Y+X Y
Lexpression D est bonne, mais nest pas une forme trigonomtrique. Lexpression D est bonne, mais nest pas une forme trigonomtrique.
N
O
N
Z X
Z X
N
O
N
-
21
corrigs
chapitre 1 : Complexes
soit nalement, en identiant membre membre les parties relles dune
part, et les parties imaginaires dautre part :
x y
X
X Y
xy
Y
X Y
2 2
x y
2 2
x y
2
X Y
2
X Y
2
2
X Y
2
X Y
2
1
1X Y1X Y
2
1X Y1X Y
=x y =x y
X YX Y
( )
X Y
)
X YX Y+X Y
=
X YX Y
( )
X Y
)
X YX Y+X Y
et
La rponse B est fausse, les rponses C et D sont bonnes.
Question 4 : rponse D
Z et k k= Z e= Z e= =Z e= =Z et k= =t k1 1Z e1 1Z eZ e= Z e1 1Z e= Z et k2t kZ e= Z e1 1Z e= Z eZ e1 1Z eZ eR Z eZ e= =Z eZ e1 1Z eR Z e1 1Z eZ e= =Z e1 1Z e= =Z eZ et kt k t k t kt k= =t k t k= =t kt k2t k t k2t k t k t k t k t kt k2t k t k ( )k( )k ( )( )( )
Z k k Z k Z k Z k Z kZ k1 1Z kZ k Z k1 1Z k Z kZ k2Z kZ k Z k1 1Z k Z kZ k1 1Z kZ kR Z kZ k Z kZ k1 1Z kR Z k1 1Z kZ k Z k1 1Z k Z kZ k Z k ou Z k Z k Z k Z k Z k Z k Z k Z kZ k2Z k Z k2Z k ( )k( )k ( )( )( )
Lassertion A nexclut pas le cas o, par exemple :
, ,
( )
R
( )
R, ,
( )
, ,
( )
, ,, ,
( )
, ,, ,=
(
, ,
(
, ,
)
1 2, ,1 2, ,
Or :
Z R e e
i i
e e
i i
e e= =Z R= =Z R e e= =e e. .e e. .e e
e e
e e
i i i i
e e
i i
e e
e e
i i
e ee e= =e e
e e= =e e1 1e e1 1e e =1 1=e e. .e e1 1e e. .e e
1 1
e e
e e1 1e e
e e
i i i i
1 1
i i i i
e e
i i
e e
e e
i i
e e1 1e e
e e
i i
e e
2 2
1 1
2
1 1
. La rponse A est fausse.
Lassertion B recense bien lensemble des valeurs de . En revanche,
elle est trop restrictive par la prsence du et . Ainsi, le cas o, par
exemple :
/ , , , ,
( )
R
( )
R, ,
( )
, ,
( )
, , , ,
( )
, , , , =
(
(
, , , ,
(
, , , ,
)
1 2/1 2/ 1 2 , , , ,1 2, , , ,
ne doit pas tre exclu puisque :
Z R e e i
i i
e e
i i
e e= =Z R= =Z R e e= =e e = i= i. .e e. .e e
/
e e
e e
i i i i
e e
i i
e e
e e
i i
e ee e= =e e
e e= =e e1 1e e1 1e e i1 1i= 1 1= i= i1 1i= ie e. .e e1 1e e. .e e
/
1 1
/
1 1
e e
e e1 1e e
e e
i i i i
1 1
i i i i
e e
i i
e e
e e
i i
e e1 1e e
e e
i i
e e
2
1 1
2
1 1
La rponse B est fausse.
Daprs lquation (1) tablie la question 3 :
z
Z
2
1
1
=
soit encore :
r zr z
Z
R e
R i R
i
2 22 2
r z
2 2
r zr z
2 2
r z
1
1
1
1
1
R i1R i
= == =r z= =r zr z= =r z
=
=
R i +R iR i1R i +R i1R i
R e.R e
R i.cR iR iosR i .sin
R i R i R RR i +R i R i +R iR i1R i +R i1R i R i +R i1R i .s .sin in
et nalement :
r
R R
2
2
R R
2
R R
1
1 2R R1 2R R
=
R R+ R RR R1 2R R+ R R1 2R Rcos
La rponse C est fausse et la rponse D est bonne.
N
O
N
-
corrigs
22
Question 5 : rponse A
Daprs lnonc :
z r
i
= z r= z r e r= e r. .= . .= e r= e r. .e r= e r= . .= e r= e r. .e r= e re r= e ravece r= e re r= e r. .e r= e ravece r. .e r= e r
4
=
4
= e r= e r
4
e r= e r 0. .0. .
Daprs lassertion A de la question 1, si Z vrie lquation (H), Z scrit :
Z
r
e
r
e
i
r
i
i
= +
= +
=
1= +1= +
1
1= +1= +
1
1= 1=
2
2
2
2
2
La partie relle de Z est donc gale 1, et sa partie imaginaire
1
2
r
dcrit
*
quand r dcrit
+
*
. Autrement dit :
le point M dafxe Z dcrit la demi-droite A v,A v,A vA v-A v
, prive du point A
dafxe 1.
La rponse A est bonne, les rponses B, C et D sont fausses.
Question 6 : rponses A et D
Notons
( )( )z( )
z
z
n
=
+
2
2
1
.
z
0
solution de (E
n
) quivaut (z
0
) = 1.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
z z z z
( )
z z
( )
( )
z z
( )
= z z =
( )
z z
( )
0 0
0 0
( )
0 0
( )
( )
0 0
( )
( )
0 0
( )
z z
0 0
z z z z
0 0
z z
( )
z z
( )
0 0
z z
( )
= z z =
0 0
z z =
( )
z z
( )
0 0
( )
z z
( )
0 0
0 0
( )
0 0
( )
( )
0 0
( )
(
0 0
(
1 1=1 1=, e , e
( )
, e
( )
( )
, e
( )
)
, e
)
z z, ez z z z , e z z
( )
z z
( )
, e
( )
z z
( )
( )
z z
( )
, e z z
( )
= z z = , e z z =
(
z z
(
, e
(
z z
(
0 0
, e
0 0
0 0
, e
0 0
( )
0 0
( )
, e
0 0
( )
(
0 0
(
, e
(
0 0
(
z z
0 0
z z, ez z
0 0
z z z z
0 0
z z , e
0 0
z z
( )
z z
( )
0 0
z z
( )
, e
( )
z z
( )
0 0
( )
z z
( )
= z z =
0 0
z z = , e = z z =
0 0
= z z =
(
z z
(
0 0
(
z z
(
, e
(
0 0
(
z z
(
t
Donc, si z
0
est solution de (E
n
), z
0
et z
0
le sont galement.
La rponse A est bonne.
Prenons linconnue auxiliaire :
Z
z
z
=
+
2
2
1
Z
z
z
Z
n
( )
E
( )
E
n
( )
n
=
+
=
(H)
(2)
2
2
1
1
Rsolvons (H) :
( )( )H ( )
( )
( )
z Z z Z
( )
z Z
( )
( )
z Z
( )
2
z Z
2
z Z z Z
2
z Z 1 1
( )
1 1
( )
=1 1=
Si Z = 1, on obtient 0 = 1 : pas de solution en z.
Si
Z H z
Z
Z H Z H =
1Z H1Z HZ H Z H1Z H Z H
1
1
2
: (Z H: (Z H : ( Z H Z H: (Z H Z H ) )
Or
1
1
0
Z
donc (H) admet deux racines non nulles opposes.
-
23
corrigs
chapitre 1 : Complexes
Les solutions de (2) sont les racines n
mes
de lunit :
Z e k
i
k
n
= Z e= Z e
n
=
n
{ }
=
{ }{ }{ }
... , n-
{ }{ }
1
{ }
2
{ }
0 1
{ }{ }
0 1
{ }{ }
2 3
{ }
/ ,k/ ,k= / ,= k= k/ ,k= k
{ }
/ ,
{ }
= / ,=
{ }
0 1
{ }
/ ,
{ }
0 1
{ }{ }
, , ,
{ }{ }
, , ,
{ }{ }
, , ,
{ }{ }
2 3
{ }
, , ,
{ }
2 3
{ }{ }
2 3
{ }
, , ,
{ }
2 3
{ }
Pour k = 0 : Z = 1 ne convient pas.
Donc (E
n
) est quivalent :
z
e
e
e e
e
i
k
n
i
k
n
i
k
n
i
k
n
e e
n
e e
i
k
n
i
k
n
2
2
1
1
2
=
=
e ee e
=
=
i
i
k k
sin
eee
k
n
k
i
k
n
+ + +i +i
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
{ }{ }{ }
... ,
{ }{ }
-1
{ }
k k
2
2
{ }
1 2
{ }{ }
3
{ }
sin
//
{ }
, , ,
{ }{ }
, , ,
{ }{ }
1 2
{ }
, , ,
{ }
1 2
{ }{ }
3
{ }
, , ,
{ }
3
{ }{ }
3
{ }
, , ,
{ }
3
{ }{ }
n
{ }
(E
n
) a donc (2n 2) racines. Les rponses B et C sont fausses.
1 1 0 00 01 1 1 1
-
corrigs
24
f zf z i ii i( )( )f z( )f zf z( )f z = i i= i i =i i= i ii i4 34 3i i4 3i ii i4 3i i =4 3 = 00
: impossible. Donc f est une application de D
dans D.
Soit z D. On cherche z D tel que z = f (z).
z f z z i i z i z f z f z z z z= z f= z f z z= z z = z f z f= z f z f z z z z= z z z z
( )
z z
( )
z z i i
( )
i i
( )
= i i= i i z i= z i( ) ( ) z z z z( )z z z z= ( )= z z= z z( )z z= z z = ( ) = z z z z= z z z z( )z z= z z z zz z= z zz zz zzz zz z z zzz z z z z i2 4z iz i+z i2 4z i+z i
z f z z i i z i z f z f z z z z z iz i= z f= z f z z= z z = z f z f= z f z f z z z z= z z z z
( )
z z
( )
z z i i
( )
i i
( )
z z z z
( )
z z z z
( )
= i i= i i z i= z i( ) ( ) z z z z( )z z z z= ( )= z z= z z( )z z= z z = ( ) = z z z z= z z z z( )z z= z z z zz z= z zz zz zzz zz z z zzz z z z z i2 4z iz i+z i2 4z i+z i
Or z i, donc :
z f
i z i
z i
z fz fz f
z iz i
= z f= z f
+
z iz i
=z f =z f( )z( )z= ( )= z= z( )z= z ( )z( )z( )= z = =
2 4 +2 4 +
Donc z est solution unique dans D. Par consquent, f est bijective, et f
1
= f.
De plus :
f o f = Id
D
Les rponses C et D sont bonnes.
Question 2 : rponses B et D
On a, pour
i z i
z i
, :
( )
z z
( )
z z, :
( )
, :z z, :z z
( )
z z, :z z
( )
=, : =, : =
+
z iz i
D =D =, : =, :D, : =, : = D =
2
2
=
2
= =
2
=
2 4 +2 4 +
z =z = = z =
Calculons Z Z :
Z Z
i z i
z i
i i =
( )
z i
( )
z i
( )
z i z i
( )
z i z i=
( )
= z i= z i
( )
z i= z i
( )
z i
( )
z i
( )
z i z i
( )
z i z iz iz i
( )
z iz i =
( )
z i
( )
z i=
( )
= z i= z i
( )
z i= z i
+
z iz i
i i
i i
i i
i ii i
i i
i i
i ii i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i ii i
i i
i i
i i
i i
i i
i ii i= i i
2 4 +2 4 +
i i3 4i ii i+i i3 4i i+i i
La rponse A est fausse.
Z Z i = = + = =
( )
=
( )
= + = + =3 4 +3 4 + 3 4
( )
3 4
( )
+ =3 4+ = 9 1+ =9 1+ =6 26 2+ =6 2+ = 5 5=5 5=
2
3 4
2
3 4
2
+ =
2
+ =
La rponse B est bonne.
Angle entre deux vecteurs et argument dun complexe
Si e
1
est le vecteur directeur de laxe Ox, et si M est le point dafxe z :
arg( ) ,z e) ,z e) ,OM OM) ,z e) ,=) ,z e) ,
) ,
) ,) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,
) ,) ,z e) ,
) ,z e) ,) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,
) ,z e) ,
) ,
) ,
) ,
) ,) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,
) ,z e) ,
) ,
) ,
) ,
) ,) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,
) ,z e) ,) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,
) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,z e) ,
) ,z e) ,
1
) ,
1
) ,
Soient trois points A, B, C, avec C distinct de A et B, dafxes respectives a,
b et c :
CA CB
c b
c a
, aCB, aCB rg (mod )
, a
, a
, a
, a, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a, a=, a
c bc b
c ac a
2
-
25
corrigs
chapitre 1 : Complexes
AM AM
z i
z i
Z
Z
Z Z, aAM, aAM rg arg a
Z
g a
Z
rg arZ ZarZ ZgZ ZgZ Z, a, a
z i z i Z Z
Z ZZ Z
, a
, a
, a
, a, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a, a
, a
, a
, a
, a
, a
, a, a=, a
z iz i
z iz i
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g a
g ag a=g a
( )
Z Z
)
Z Z
) (
Z Z
(
Z Z
( )
Z ZZ ZarZ ZZ ZgZ ZZ Zg argg ag a=arg ag a
g ag a
g ag a
g ag a
g a
g a
g ag a
g a
g a
g ag a
g ag a
g ag a
g ag a
g a
g a
g ag a
g a
g a
g ag a=g a
(
Z Z
)
Z ZZ ZZ ZZ Z
(
Z Z
)
(mod )2
La rponse C est fausse.
Z Z i = +3 4 +3 4 + , donc :
arg arg arg arg (mod )Z ZarZ Zarg aZ Zg ag arg g a g arg rg Z Z Z ZarZ Zar arZ Zarg aZ Zg a g aZ Zg a
( )
g a
( )
g aZ Z
( )
Z Zg aZ Zg a
( )
g aZ Zg ag a
( )
g ag a
( )
g a
( )
g a g a
( )
g a g ag a=g a
( )
Z Z
( )
Z Z
( )
( )
Z Z Z Z
( )
Z Z Z ZZ Z+Z ZZ Z Z Z+Z Z Z Z
( )
g a
( )
g ag aZ Zg a
( )
g aZ Zg a
( )
g a g a
( )
g a g aZ Z Z Z
( )
Z Z Z Zg aZ Zg a g aZ Zg a
( )
g a g aZ Zg a= g a= g arg= rg
( )
i
( )
i=
( )
=
( )
3 4
( )
+
( )
+3 4+
( )
+ 2
La rponse D est bonne.
Question 3 : rponse D
Si M dcrit le cercle de centre A et de rayon 5, on a :
AM z i Z= = z i= z i = == == == =Z= =Z 5
Donc, daprs lassertion B de la question prcdente :
AM z i Z
Z Z
Z
z i z i
= = z i= z i = == == == =Z= =Z = == =
5
5
1
Cela signie que M est situ sur le cercle de centre A et rayon 1, dont [OA]
reprsente un rayon et non un diamtre.
Les rponses A et B sont fausses.
Si M dcrit une droite passant par A, sauf le point A, alors le vecteur
AM
garde une direction constante :
e AM Z
1
e A
1
e A
e A
e A M ZM Z, ae A, ae AM Z, aM ZM ZM Z, aM ZM ZrgM ZrgM Z (mod )
M Z
M ZM Z, aM Z
M Z, aM Z
, a
, aM Z, aM Z
M Z, aM ZM Z, aM Z
M Z, aM Z
M Z
M Z, aM Z
M Z
M Z
M Z
M ZM Z, aM Z
M Z, aM Z
M Z
M Z, aM Z
, a
, a
, a
