TOPOLOGIE ET CALCUL DIFFERENTIEL - perso.ens...

Laurent Berger

TOPOLOGIE ET CALCULDIFFERENTIEL

Laurent Berger

UMPA, ENS de Lyon, UMR 5669 du CNRS, Universite de Lyon.

E-mail : [email protected]

Url : http://perso.ens-lyon.fr/laurent.berger/

Septembre - decembre 2012

TOPOLOGIE ET CALCUL DIFFERENTIEL

Laurent Berger

TABLE DES MATIERES

Partie I. Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1. Espaces metriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Connexite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Completude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Topologie generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1. Compacite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Espaces compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Weierstrass et Stone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Le theoreme de Tychonoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1. Le theoreme de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Le dual d’un espace de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Partie II. Calcul differentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Differentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1. Fonctions reglees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Fonctions differentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3. Derivees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4. Differentiation d’integrales et de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5. Derivees superieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Inversion locale et geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1. Inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Le theoreme du rang constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Sous-varietes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6. Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 TABLE DES MATIERES

6.1. Equations differentielles lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2. Equations differentielles non lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A. Appendice : ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.1. Denombrabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.2. L’axiome du choix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

PARTIE I

TOPOLOGIE

CHAPITRE 1

ESPACES TOPOLOGIQUES

1.1. Espaces metriques

La topologie est l’etude du lieu (anciennement : analysis situ). C’est le bon cadre pour

etudier les notions de limite, continuite, etc. Un espace metrique (E, d) est la donnee

d’un ensemble E et d’une application distance d : E × E → R qui satisfait :

1. d(x, y) ≥ 0, et d(x, y) = 0 si et seulement si x = y;

2. d(x, y) = d(y, x);

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (inegalite triangulaire).

Soit (E, d) un espace metrique. Si {xi}i≥1 est une suite de E et si x ∈ E, alors on

dit que xi converge vers x si pour tout ε > 0, il existe N ≥ 1 tel que d(xn, x) < ε quel

que soit n ≥ N . On dit que x est la limite de la suite {xi}i≥1 et cette limite est unique.

Une valeur d’adherence (ou point d’accumulation) de {xi}i≥1 est un x ∈ E tel qu’il existe

une extraction ϕ (une fonction ϕ : Z≥1 → Z≥1 strictement croissante) telle que la suite

{xϕ(i)}i≥1 converge vers x.

La boule ouverte de centre a ∈ E et de rayon r > 0 est B(a, r) = {x ∈ E tels que

d(a, x) < r}. On dit qu’une partie U de E est ouverte si pour tout x ∈ U , il existe r > 0

tel que B(x, r) ⊂ U . L’ensemble des ouverts de E est stable par union quelconque et

intersection finie.

On dit qu’une partie F de E est fermee si E \F est ouverte, ce qui fait que l’ensemble

des fermes de E est stable par intersection quelconque et union finie.

Theoreme 1.1.1. — Si F ⊂ E, alors F est fermee si et seulement si pour toute suite

{xi}i≥1 de F qui converge vers une limite x ∈ E, on a x ∈ F .

Demonstration. — Si F est ferme et {xi}i≥1 est une suite qui converge vers x ∈ E, alors

supposons que x ∈ E \ F qui est ouvert. Il existe donc r > 0 tel que B(x, r) ⊂ E \ F et

donc xn /∈ F si n� 0.

10 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES

Montrons la reciproque : si x ∈ E et si pour tout n ≥ 1, la boule B(x, 1/n) rencontre

F , alors on peut choisir xn ∈ B(x, 1/n) ∩ F et la suite {xn}n≥1 converge vers x ce qui

fait que x ∈ F . Si x ∈ E \ F , il existe donc n� 0 tel que B(x, 1/n) ⊂ E \ F .

Si P ⊂ E, alors l’adherence P de P est l’intersection des fermes de E qui contiennent

P . L’interieur◦P de P est l’union des ouverts de E contenus dans P . La frontiere de P

est ∂P = P \◦P . On dit que P est dense dans E si P = E. On dit que E est separable

s’il contient une partie denombrable et dense.

Un point a de E est dit isole s’il existe r > 0 tel que B(a, r) = {a}. L’espace E est

discret si tous ses points sont isoles. Tout ensemble E peut etre muni de la distance

donnee par d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = 1 si x 6= y, pour laquelle il est discret. On

dit alors que E est muni de la topologie discrete.

1.2. Fonctions continues

Soient (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces metriques. On dit qu’une fonction f : X → Y

est continue en un point x ∈ X si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si dX(x, x′) < δ,

alors dY (f(x), f(x′)) < ε. On dit que f est continue si elle est continue en tout x ∈ X.

Theoreme 1.2.1. — Les proprietes ci-dessous sont equivalentes:

1. f est continue;

2. pour toute suite {xn}n≥1 qui converge vers x, la suite {f(xn)}n≥1 converge vers f(x);

3. pour tout ouvert U de Y , f−1(U) est ouvert dans X;

4. pour tout ferme F de Y , f−1(F ) est ferme dans X.

Demonstration. — (1) implique (2) : soit {xn}n≥1 une suite qui converge vers x, ε > 0

et δ de continuite de f en x. Si d(xn, x) < δ, alors d(f(xn), f(x)) < ε et donc {f(xn)}n≥1converge vers f(x).

(2) implique (3) : si x ∈ f−1(U), montrons qu’il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ f−1(U).

Si ce n’est pas le cas, alors pour tout n, il existe xn ∈ B(x, 1/n)∩ (X \ f−1(U)). La suite

{xn}n≥1 converge vers x et donc {f(xn)}n≥1 converge vers f(x) mais f(xn) ∈ Y \ U qui

est ferme, et donc f(x) /∈ U , contradiction.

(3) implique (1) : si x ∈ X et ε > 0, alors f−1(B(f(x), ε)) est un ouvert qui contient

x. Il existe donc δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ f−1(B(f(x), ε)), ce qui implique f(B(x, δ)) ⊂B(f(x), ε).

(3) et (4) sont equivalents car les fermes sont les complementaires des ouverts.

On dit qu’une fonction f : X → Y est uniformement continue si pour tout ε > 0, il

existe δ > 0 tel que pour tous x, x′ ∈ X verifiant dX(x, x′) < δ, on a dY (f(x), f(x′)) < ε.

1.3. CONNEXITE 11

On dit qu’une fonction continue f : X → Y est un homeomorphisme si f est bijective,

et si f−1 est continue. On dit que f est une isometrie si dY (f(x), f(x′)) = dX(x, x′) quels

que soient x, x′ ∈ X.

Theoreme 1.2.2. — Si (X, d) est un espace metrique, alors il existe un espace vectoriel

norme (E, ‖ · ‖) et une isometrie i : X → E.

Demonstration. — Soit E l’espace des fonctions continues bornees sur X, muni de la

norme ‖f‖X = supx∈X |f(x)|. Si y ∈ X, posons fy(x) = d(x, y). Comme |d(x, y) −d(x, z)| ≤ d(x, y), avec egalite si x = z, on voit que si z ∈ X, alors fy − fz ∈ E et que

‖fy−fz‖X = d(y, z). Si l’on fixe a ∈ X, l’application i : X → E donnee par i(y) = fy−faest donc une isometrie.

1.3. Connexite

On dit qu’un espace metrique (X, d) est connexe si on ne peut pas ecrire X = U ∪ Vou U et V sont deux ouverts non-vides disjoints. Ceci est equivalent a dire que toute

fonction continue f : X → {0, 1} est constante.

Theoreme 1.3.1. — L’intervalle [0; 1] de R est connexe.

Demonstration. — Supposons que [0; 1] = U ∪ V ou U et V sont deux ouverts disjoints

non-vides. Les ensembles U et V sont aussi fermes. Supposons que 0 ∈ U , et soit

v = inf{x ∈ V }. Comme V est ferme, on a v ∈ V et donc v 6= 0. L’ensemble U contient

donc [0; v[ et comme il est lui-meme ferme, v ∈ U ce qui est une contradiction.

Proposition 1.3.2. — Si E est une partie connexe de X, alors E est aussi connexe.

Demonstration. — Si f : E → {0, 1} est continue, alors sa restriction a E est constante

car E est connexe. Comme E est dense dans E, f est aussi constante sur E.

Si a ∈ X, la composante connexe C(a) de a est l’union des parties connexes de X qui

contiennent a.

Theoreme 1.3.3. — Si a ∈ X, la composante connexe de a est connexe et fermee.

Demonstration. — Ecrivons C(a) = ∪P ou P parcourt l’ensemble des parties connexes

de X qui contiennent a. Si f : C(a)→ {0, 1} est continue, alors sa restriction a un tel P

est constante (car P est connexe) et egale a f(a) (car a ∈ P ). Par suite, f est constante

egale a f(a) sur C(a). Enfin, C(a) est fermee par la proposition 1.3.2.


On dit que X est totalement deconnecte si la composante connexe de tout point est

reduite a ce point.

On dit que X est connexe par arcs si pour tous a, b ∈ X, il existe une fonction continue

f : [0; 1]→ X telle que f(0) = a et f(1) = b.

Theoreme 1.3.4. — Si X est connexe par arcs, alors il est connexe.

Demonstration. — Si X = U ∪ V , soit a ∈ U et b ∈ V . Il existe un chemin continu

f : [0; 1] → X tel que f(0) = a et f(1) = b. On a alors [0; 1] = f−1(U) ∪ f−1(V ) ce qui

contredit le theoreme 1.3.1.

La reciproque n’est pas vraie. On dit que X est localement connexe par arcs si pour

tout x ∈ X, il existe un voisinage de X (un ouvert de X qui contient x) qui est connexe

par arcs.

Proposition 1.3.5. — Si X est connexe et localement connexe par arcs, alors X est

connexe par arcs.

Demonstration. — Si a ∈ X, soit G(a) la “composante connexe par arcs” de a, c’est-a-

dire l’ensemble des b ∈ X tels qu’il existe un chemin continu de a a b. Si X est localement

connexe par arcs, alors G(a) est ouvert. L’espace X est reunion disjointe des differentes

composantes connexes par arcs, qui sont ouvertes et disjointes. Si X est connexe, il n’y

a donc qu’une seule composante connexe par arcs, et X est connexe par arcs.

1.4. Completude

Si (E, d) est un espace metrique, on dit qu’une suite {xn}n≥1 est de Cauchy si pour

tout ε > 0, il existe N ≥ 1 tel que si m,n ≥ N , alors d(xm, xn) < ε. Par exemple, si

{xn}n≥1 converge, alors elle est de Cauchy. Dans ce cas, d(xn, x) < ε si n ≥ N .

On dit que E est complet si toute suite de Cauchy admet une limite. Par exemple, Rn

est un espace metrique complet. Si E est complet et si F ⊂ E, alors F est ferme si et

seulement s’il est complet.

Theoreme 1.4.1. — Si (X, d) est un espace metrique, et si E est l’espace des fonctions

continues bornees sur X, muni de la norme ‖f‖X = supx∈X |f(x)|, alors E est complet.

Demonstration. — Soit {fn}n≥1 une suite de Cauchy d’elements de E. Montrons qu’il

existe f ∈ E telle que {fn}n≥1 converge vers f . Si x ∈ X, alors la suite {fn(x)}n≥1 est

de Cauchy et admet donc une limite dans R. On definit une fonction f : X → R par

f(x) = lim fn(x).

1.4. COMPLETUDE 13

Soient ε > 0 et N ≥ 1 tels que ‖fn − fm‖X < ε si m,n ≥ N . On a f(x) − fn(x) =

f(x)− fm(x) + fm(x)− fn(x) et comme fm(x)→ f(x), on trouve que |f(x)− fn(x)| < ε

si n ≥ N . Ceci etant vrai pour tout x ∈ X, on a ‖f − fn‖X < ε si n ≥ N : la suite

{fn}n≥1 converge uniformement vers f . En particulier, f est bornee.

Montrons que f est continue. Si ε > 0, alors il existe N tel que ‖fn − fm‖X < ε si

m,n ≥ N , et si x ∈ X, alors il existe δ > 0 tel que |fN(x)−fN(x′)| < ε si d(x, x′) < δ. On

a alors |f(x)−f(x′)| ≤ |f(x)−fN(x)|+ |fN(x)−fN(x′)|+ |fN(x′)−f(x′)|. Si d(x, x′) < δ,

alors |f(x)− f(x′)| ≤ 3ε, et f est bien continue en x.

Un espace vectoriel norme complet s’appelle un espace de Banach.

Theoreme 1.4.2. — Si (E, d) est un espace metrique complet, et si f : E → E est une

fonction telle qu’il existe 0 ≤ λ < 1 verifiant d(f(x), f(y)) ≤ λ · d(x, y), alors f admet un

unique point fixe dans E.

Demonstration. — Soit x0 ∈ E et xn+1 = f(xn) si n ≥ 0. On a

d(xn+1, xn) = d(f(xn), f(xn−1)) ≤ λd(xn, xn−1) ≤ · · · ≤ λnd(x1, x0).

Par suite, d(xn+m, xn) ≤ λn/(1−λ) · d(x1, x0) et la suite {xn}n≥0 est de Cauchy. Comme

E est complet, elle admet une limite x dans E, qui est un point fixe de f .

Si x et y sont deux points fixes de f , alors d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ λd(x, y) ce qui

fait que d(x, y) = 0 et donc que x = y.

Si (E, d) est un espace metrique, alors on peut le completer en y ajoutant les limites

des suites de Cauchy de E.

Theoreme 1.4.3. — Si (X, d) est un espace metrique, alors il existe un espace metrique

complet (X, d) et une isometrie i : X → X, tels que i(X) est dense dans X.

L’espace X est unique a isometrie pres, et si Y est complet et f : X → Y est une

fonction uniformement continue, alors f se prolonge de maniere unique en une fonction

f : X → Y qui est toujours uniformement continue.

Demonstration. — Il y a deux manieres (au moins) de construire X.

La premiere consiste a poser C = {s = {sn}n≥1 ou s est une suite de Cauchy de X}. On

definit une relation d’equivalence sur C par s ∼ t si d(sn, tn)→ 0, et on pose X = C/ ∼,

avec la distance donnee par d(s, t) = lim d(sn, tn). Il faut alors verifier que (X, d) est bien

un espace metrique complet, ce qui est un peu penible, et que l’application i : X → X

donnee par i(x) = (x, x, . . .) est une isometrie telle que i(X) est dense dans X.

La deuxieme methode consiste a utiliser le theoreme 1.2.2 : il existe une isometrie

i : X → E ou E est l’espace des fonctions continues et bornees sur X. Par le theoreme


1.4.1, l’espace E est complet ce qui fait que si l’on pose X = i(X), alors X est complet.

Par construction, on a une isometrie i : X → X telle que i(X) est dense dans X.

Montrons a present que si f : X → Y est uniformement continue, alors elle se prolonge

a X. Soient x ∈ X la limite d’une suite {xn}n≥1 d’elements de X, et ε > 0. Il existe

δ d’uniforme continuite de f , et si d(xm, xn) < δ, alors d(f(xm), f(xn)) < ε, ce qui fait

que la suite {f(xn)}n≥1 est de Cauchy et admet donc une limite dans Y . On definit

alors f(x) comme cette limite, et on verifie que f : X → Y est bien definie et toujours

uniformement continue.

Enfin, si X1 et X2 sont deux espaces munis d’isometries i1,2 : X → X1,2 d’images denses,

alors i1 se prolonge en une isometrie X2 → X1 dont l’image est dense et complete (car

elle est isometrique a X2) ce qui fait que i1 : X2 → X1 est surjective et donc bijective.

La deuxieme construction de X montre que si X est un evn, alors X est un espace de

Banach, et que l’application i : X → X est lineaire.

1.5. Topologie generale

Soit X un ensemble; une topologie sur X est un ensemble de parties de X, qu’on appelle

les ouverts de X, qui satisfait aux conditions suivantes :

1. ∅ et X sont ouverts;

2. une intersection finie d’ouverts est ouverte;

3. une reunion quelconque d’ouverts est ouverte.

La donnee d’un ensemble X muni d’une topologie est un espace topologique. Les parties

de X dont le complementaire est ouvert sont dites fermees . Une base d’ouverts est un

ensemble B d’ouverts de X tel que tout ouvert de X est reunion (quelconque) d’elements

de B.

Si X est un espace metrique, et qu’on definit les ouverts au moyen de la distance

comme au §1.1, alors X est un espace topologique. Dans ce cas, une base d’ouverts est

donnee par l’ensemble des boules ouvertes. Si X est un espace topologique et s’il existe

une distance sur X qui donne la topologie de X, alors on dit que cette topologie est

metrisable. Deux distances differentes peuvent bien sur donner la meme topologie sur un

espace.

On dit que X est separe si pour tout x 6= y ∈ X, il existe un voisinage U de x et un

voisinage V de y tels que U ∩V = ∅. Un espace metrique est toujours separe. Si X = R,

disons qu’une partie U de R est ouverte si U est vide ou bien si U est le complementaire

d’un nombre fini de points. On obtient ainsi une topologie sur R, qui n’est pas separee.

C’est un cas particulier de la topologie de Zariski .

1.5. TOPOLOGIE GENERALE 15

Si X et Y sont deux espaces topologiques, et si f : X → Y est une fonction, alors on

dit que f est continue si f−1(U) est un ouvert de X pour tout ouvert U de Y . De meme,

les definitions que l’on a vues et qui ne s’expriment qu’en termes d’ouverts se generalisent

aux espaces topologiques, par exemple les notions de connexite et de connexite par arcs.

La notion de completude est en revanche metrique, ainsi d’ailleurs que la notion de partie

bornee.

Si {xn}n≥1 est une suite d’un espace topologique X, alors on dit qu’elle converge vers

x ∈ X si pour tout voisinage U de x, il existe N tel que xn ∈ U si n ≥ N . On dit alors que

x est une limite de la suite {xn}n≥1. En general, une suite peut admettre plusieurs limites,

contrairement au cas metrique. De meme, la caracterisation sequentielle des fermes est

en generale fausse (il faut remplacer les suites indexees par Z≥1 par des suites indexees

par des ensembles ordonnes filtrants).

Si C est un ensemble de parties de X, la topologie engendree par C est celle pour

laquelle une base d’ouverts est donnee par l’ensemble des intersections finies d’elements

de C. Si X est un ensemble et si on se donne une famille de fonctions {fi : X → Yi}i∈I ,alors considerons l’ensemble des f−1i (Ui) ou Ui est un ouvert de Yi et i ∈ I. La topologie

engendree par ces parties de X est appelee la topologie initiale associee a cette famille :

c’est la topologie de X qui comporte le moins d’ouverts possibles et pour laquelle toutes

les fonctions fi sont continues.

Par exemple, si {Xi}i∈I est une famille d’espaces topologiques, alors la topologie produit

sur X =∏

i∈I Xi est la topologie qui a pour base d’ouverts les parties de X de la forme

Ui1 × · · ·Uik ×∏

i∈I,i 6=ij Xi avec Uj ouvert de Xj. C’est la topologie initiale associee a

la famille des projections {πi : X → Xi}i∈I . Le seul resultat non trivial de topologie

generale que nous verrons dans ce cours est le theoreme de Tychonoff, au §2.4.

CHAPITRE 2

ESPACES COMPACTS

2.1. Compacite

On dit qu’un espace metrique (E, d) est compact si toute suite {xn}n≥1 admet une

valeur d’adherence.

Theoreme 2.1.1. — Un espace metrique (E, d) est compact si et seulement s’il est

complet et si pour tout r > 0, E est l’union d’un nombre fini de boules de rayon r.

Demonstration. — Supposons que toute suite de E admet une valeur d’adherence. Si

{xn}n≥1 est de Cauchy, et x en est une valeur d’adherence, alors x en est la limite;

par suite, E est complet. Soit r > 0 et x1 ∈ E. On construit par recurrence xk+1 ∈E \B(x1, r)∪ . . .∪B(xk, r). Si ce n’est plus possible a l’etape k, c’est que E = B(x1, r)∪. . .∪B(xk, r) et on a termine. Sinon, la suite {xn}n≥1 n’admet pas de valeur d’adherence

car la distance entre deux termes est toujours ≥ r, contradiction.

Montrons a present la reciproque. Soit {xn}n≥1 une suite de E. L’espace E est l’union

d’un nombre fini de boules de rayon 1 et l’une d’elle, notee B1, contient donc une infinite

de termes de la suite. De meme, E est l’union d’un nombre fini de boules de rayon 1/2

et donc il en existe une, notee B2, telle que B1 ∩ B2 contient une infinite de termes de

la suite. On construit ainsi par recurrence une suite de boules Bm de rayon 1/m telles

que B1 ∩ . . . ∩ Bm contient une infinite de termes de la suite. Pour tout m, on choisit

ϕ(m) > ϕ(m− 1) tel que xϕ(m) ∈ B1 ∩ . . . ∩ Bm. La suite {xϕ(m)}m≥1 est de Cauchy, et

comme E est complet, elle admet une limite qui est alors une valeur d’adherence de la

suite de depart.

En particulier, les compacts de Rn sont les parties fermees bornees. En general, les

parties compactes d’un espace complet sont les fermes bornes qui satisfont en plus une

condition d’uniformite (voir par exemple le theoreme 2.2.2 ci-dessous).

1. Si E est compact et si F ⊂ E est fermee, alors F est compacte;

2. Si E et F sont compacts, alors E × F l’est aussi;

18 CHAPITRE 2. ESPACES COMPACTS

3. Si E est compact, alors E est separable;

4. Si E est compact et si f : E → X est continue, alors f(E) est compact;

5. Si E est compact et si f : E → R est continue, alors f admet un maximum sur E.

Theoreme 2.1.2 (Heine). — Si X est compact, alors toute fonction continue f : X →Y est uniformement continue.

Demonstration. — Si ε > 0, on veut montrer qu’il existe δ > 0 de continuite de f valable

pour tout x ∈ X. Si ce n’est pas le cas, alors pour tout n ≥ 1, il existe xn, x′n ∈ X tels que

d(xn, x′n) < 1/n mais d(f(xn), f(x′n)) ≥ ε. Si x est une valeur d’adherence de {xn}n≥1,

alors c’est aussi une valeur d’adherence de {x′n}n≥1, et on trouve que d(f(x), f(x)) ≥ ε,

contradiction.

Theoreme 2.1.3 (Poincare). — Si X est compact et si f : X → Y est une bijection

continue, alors f est un homeomorphisme.

Demonstration. — Par le (4) du theoreme 1.2.1 applique a f−1, il s’agit de montrer que

si F est un ferme de X, alors f(F ) est ferme dans Y . Ceci resulte du fait que d’une part,

F est ferme dans X compact, et donc lui-meme compact, et d’autre part qu’une fonction

continue envoie les compacts sur les compacts.

Si E est un R-espace vectoriel, on dit que deux normes | · |1 et | · |2 sont equivalentes

s’il existe C > 0 tel que | · |1 ≤ C| · |2 et | · |2 ≤ C| · |1. Dans ce cas, l’application identite

(E, | · |1) → (E, | · |2) est un homeomorphisme; si de plus E est complet pour l’une des

normes, alors il l’est aussi pour l’autre.

Theoreme 2.1.4. — Si E est un R-espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les

normes sont equivalentes sur E.

Demonstration. — Choisissons une base {e1, . . . , en} de E et posons ‖∑xiei‖∞ =

sup |xi|. Il suffit de montrer que toute norme ‖ · ‖ est equivalente a ‖ · ‖∞. On a

‖∑xiei‖ ≤

∑|xi|‖ei‖ et donc ‖x‖ ≤ C1‖x‖∞ avec C1 =

∑‖ei‖.

Si B = {x ∈ E tels que ‖x‖∞ = 1}, alors B est compacte. L’application ‖·‖−1 : B → R

est continue et elle admet donc un maximum C2 sur B ce qui fait que ‖x‖∞ ≤ C2‖x‖.Il suffit des lors de prendre C = sup(C1, C2).

En particulier, un R-espace vectoriel de dimension finie est complet pour toute norme.

Si E est un evn et si F est un sous-espace de E de dimension finie, alors la norme de E

induit une norme sur F pour laquelle F est complet, et donc F est ferme dans E.

Lemme 2.1.5. — Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un evn E, et

si y ∈ E, alors il existe z ∈ F tel que ‖y − z‖ = d(y, F ).

2.1. COMPACITE 19

Demonstration. — On a d(y, F ) ≤ ‖y‖ et comme F est ferme dans E, l’intersection de F

avec la boule fermee de centre y et de rayon ‖y‖ est compacte. La fonction x 7→ ‖x− y‖y admet donc un minimum en un point z ∈ F .

Theoreme 2.1.6 (Riesz). — Si E est un evn et si B = {x ∈ E tels que ‖x‖ ≤ 1},alors B est compacte si et seulement si E est de dimension finie.

Demonstration. — On a deja vu que B est compacte si E est de dimension finie, reste a

voir la reciproque. Il existe x1, . . . , xn dans B tels que B ⊂ B(x1, 1/2)∪ . . .∪B(xn, 1/2).

Soit F l’espace vectoriel engendre par x1, . . . , xn et y ∈ E. Montrons que y ∈ F .

Par le lemme 2.1.5, la distance de y a F est atteinte en un point z ∈ F . Si y /∈ F , alors

‖y − z‖ > 0 et par construction des xi, il existe i tel que (y − z)/‖y − z‖ ∈ B(xi, 1/2).

On a alors ‖y − (z + ‖y − z‖xi)‖ < ‖y − z‖/2, et z + ‖y − z‖xi ∈ F , ce qui contredit

le fait que z minimise la distance de y a F . On a donc y ∈ F pour tout y ∈ E et donc

E = F est de dimension finie.

Donnons enfin une autre caracterisation des espaces compacts, c’est le theoreme de

Borel-Lebesgue. Si (E, d) est un espace metrique, alors un recouvrement ouvert de E

est un ensemble {Ui}i∈I d’ouverts de E tels que E = ∪i∈IUi. Un sous-recouvrement de

{Ui}i∈I est un ensemble {Ui}i∈J ou J ⊂ I, qui recouvre toujours E; on dit qu’il est fini si

J est fini. On dit que E a la propriete de l’intersection finie si et seulement si pour toute

famille de fermes {Fi}i∈I telle que l’intersection d’un nombre fini d’entre eux est non vide,

l’intersection de tous les fermes est elle-meme non vide. En passant aux complementaires,

on voit que E a la propriete de l’intersection finie si et seulement si tout recouvrement

ouvert de E admet un sous-recouvrement fini.

Theoreme 2.1.7 (Borel-Lebesgue). — Si (E, d) est un espace metrique, alors E est

compact si et seulement si tout recouvrement ouvert de E a un sous-recouvrement fini.

Demonstration. — Supposons que E est compact, et soit {Ui}i∈I un recouvrement ouvert

de E. Montrons qu’il existe r > 0 (un nombre de Lebesgue du recouvrement) ayant la

propriete que pour tout x ∈ E, il existe i ∈ I tel que B(x, r) ⊂ Ui. Si ce n’est pas le cas,

alors pour tout n il existe xn ∈ E tel que B(xn, 1/n) n’est contenu dans aucun des Ui.

Si x est une valeur d’adherence de la suite {xn}n≥1, alors il existe ε > 0 et i ∈ I tels que

B(x, ε) ⊂ Ui et alors B(xn, 1/n) ⊂ Ui des que d(xn, x) + 1/n < ε, contradiction.

Montrons a present que {Ui}i∈I admet un sous-recouvrement fini. Par le theoreme

2.1.1, E est la reunion d’un nombre fini de boules de rayon r. Chacune est contenue dans

un ouvert du recouvrement, et E est alors recouvert par ce nombre fini d’ouverts.


Montrons maintenant que si E a la propriete de l’intersection finie, alors il est compact.

Si {xn}n≥1 est une suite de E et k ≥ 1, soit Fk l’adherence de {xn}n≥k. L’intersection

d’un nombre fini des Fk est non vide, et il en est donc de meme de ∩k≥1Fk. Or cet

ensemble est precisement l’ensemble des valeurs d’adherence de {xn}n≥1.

2.2. Espaces compacts

Donnons a present quelques exemples d’espaces compacts. On a vu que dans un R-

espace vectoriel norme de dimension finie, les compacts sont les fermes bornes.

L’ensemble de Cantor est un sous-ensemble de [0; 1] construit de la maniere suivante.

On part de C0 = [0; 1] et on construit un ensemble Cn par recurrence : a chaque etape, Cn

est une reunion finie d’intervalles fermes, et on obtient Cn+1 a partir de Cn en remplacant

chaque intervalle [a; b] par [a; (2a + b)/3] ∪ [(a + 2b)/3; b]. L’ensemble de Cantor C est

C = ∩∞n=1Cn. Comme Cn+1 = (1/3 · Cn) ∪ (2/3 + 1/3 · Cn) et C0 = [0; 1], C est aussi

l’ensemble des nombres reels qui peuvent s’ecrire sous la forme∑∞

n=1 an/3n avec an ∈

{0, 2}. Tout element de C s’ecrit alors de maniere unique sous cette forme (par exemple,

on a 1 =∑∞

n=1 2/3n). L’ensemble de Cantor est un espace compact qui a la propriete

d’universalite suivante.

Theoreme 2.2.1. — Si (K, d) est un espace compact, alors il existe une fonction con-

tinue surjective f : C → K.

Demonstration. — Comme K est compact, on peut l’ecrire comme une reunion finie de

parties fermees de diametre ≤ 1. Quitte a rajouter des doublons, on peut supposer

qu’il y a 2n1 parties fermees, qu’on met arbitrairement en bijection avec {0, 1}n1 . On

peut donc ecrire K = ∪S1∈{0,1}n1KS1 . Il existe n2 tel que pour tout S1, le compact KS1

est la reunion de 2n2 parties fermees de diametre ≤ 1/2, de sorte que l’on peut ecrire

KS1 = ∪S2∈{0,1}n2KS1S2 . Par recurrence sur k ≥ 1, on peut donc ecrire K = ∪KS1...Skou

S1 . . . Sk ∈ {0, 1}n1 × · · · × {0, 1}nk et KS1...Skest un ferme de diametre ≤ 1/2k.

Si x ∈ C, alors x =∑∞

n=1 an/3n et a x on peut associer la suite S(x) = {a1/2, a2/2, · · · },

qu’on decoupe en S = S1(x)S2(x) . . ., avec Si(x) de longueur ni. L’intersection des

compacts KS1(x)...Sk(x) est non-vide (car K est compact) et reduite a un point (car le

diametre de KS1...Sktend vers 0); on appelle f(x) ce point.

Si y ∈ K, alors pour tout k, on a KS1...Sk−1= ∪KS1...Sk

et on peut donc construire par

recurrence une suite Sk(y) telle que y ∈ KS1(y)...Sk(y) quel que soit k, ce qui fait que f est

surjective. Enfin si k ≥ 1 et an = a′n pour tout n ≤ n1 + · · · + nk, alors f(x) et f(x′)

appartiennent tous les deux au meme KS1...Sk. En particulier, si |x − x′| < 1/3n1+···+nk ,

alors d(f(x), f(x′)) ≤ 1/2k. Ceci montre que f est continue.

2.3. WEIERSTRASS ET STONE 21

Soit (X, d) un espace metrique compact et E l’espace des fonctions continues f : X →R. On dit qu’une partie P de E est equicontinue si pour tout ε > 0, il existe un δ > 0

de continuite, valable en tout point x ∈ X pour toute fonction f ∈ P .

Theoreme 2.2.2 (Ascoli). — Si (X, d) est un espace metrique compact et E est

l’espace des fonctions continues f : X → R, alors une partie P de E est compacte si et

seulement si elle est fermee, bornee et equicontinue.

Demonstration. — Si P est compacte, alors elle est fermee et bornee. Pour montrer

qu’elle est equicontinue, la preuve est la meme que celle du theoreme de Heine : etant

donne ε > 0, s’il n’existe pas de δ > 0 correspondant, alors pour tout n ≥ 1, il existe

fn ∈ P et xn, x′n ∈ X tels que d(xn, x

′n) < 1/n et |fn(xn) − fn(x′n)| ≥ ε. On peut alors

trouver une extraction ϕ et f ∈ P et x ∈ X tels que fϕ(n) → f et xϕ(n) → x et x′ϕ(n) → x,

ce qui fait que |f(x)− f(x)| ≥ ε en passant a la limite, contradiction.

Montrons a present qu’une partie P fermee, bornee et equicontinue est compacte.

Comme P est fermee dans E qui est complet, P est complete et il suffit par le theoreme

2.1.1 de montrer que pour tout r > 0, P est union d’un nombre fini de boules de rayon r.

Soit ε > 0 et δ > 0 d’equicontinuite pour ε. Comme X est compact, on peut ecrire

X = ∪i∈IB(xi, δ) ou I est un ensemble fini. Comme P est borne, il existe un intervalle

[a; b] de R tel que si f ∈ P et x ∈ X, on a f(x) ∈ [a; b]. On peut alors ecrire P (X) ⊂∪j∈J ]yj − ε; yj + ε[ ou J est un ensemble fini. Si σ : I → J est une application, disons

que f ∈ P est de type σ si f(xi) ∈]yσ(i)− ε; yσ(i) + ε[ (une fonction peut etre de plusieurs

types). Pour chaque σ, choisissons une fonction fσ de type σ s’il en existe une. Si f ∈ Pest de type σ et x ∈ X appartient a B(xi, δ), alors :

|f(x)− fσ(x)| ≤ |f(x)− f(xi)|+ |f(xi)− fσ(xi)|+ |fσ(xi)− fσ(x)| < 4ε,

ce qui fait que P est inclus dans ∪σ:I→JB(fσ, 4ε). Il suffit des lors de prendre ε = r/4.

Il existe plusieurs resultats de ce type. Par exemple, si `1(R) designe l’espace des suites

x = {xn}n≥1 telles que∑

n≥1 |xn| converge, muni de la norme ‖x‖1 =∑

n≥1 |xn|, alors

`1(R) est un espace de Banach, et une partie P de `1(R) est compacte si et seulement

si elle est fermee, bornee et equisommable (pour tout ε > 0, il existe N ≥ 1 tel que∑n≥N |xn| < ε quel que soit x ∈ P ).

2.3. Weierstrass et Stone

Le theoreme de Weierstrass, et sa generalisation le theoreme de Stone concernent

l’approximation des fonctions continues sur un compact.


Theoreme 2.3.1 (Weierstrass). — Si I = [a; b], alors toute fonction continue sur I

est une limite uniforme de fonctions polynomiales.

Demonstration. — Si n ≥ 1, alors (x+ y)n =∑n

k=0

(nk

)xkyn−k. En posant y = 1− x, on

trouve que∑n

k=0

(nk

)xk(1−x)n−k = 1; en derivant deux fois et en rearrangeant les termes,

on trouve que∑n

k=0

(nk

)xk(1− x)n−k(k − nx)2 = nx(1− x).

Pour montrer le theoreme, on se ramene tout de suite au cas ou I = [0; 1]. Soit

f : I → R continue et ε > 0. Comme f est uniformement continue, il existe δ > 0 tel

que si |x− y| < δ, alors |f(x)− f(y)| < ε. L’ensemble {(x, y) ∈ I2 tels que |x− y| ≥ δ}est compact, donc la fonction (x, y) 7→ |f(x) − f(y)|/|x − y|2 y admet un maximum

Kδ. On en deduit que |f(x) − f(y)| < ε + Kδ|x − y|2 quels que soient x, y ∈ I. Si

Bn(x) =∑n

k=0

(nk

)xk(1− x)n−kf(k/n), alors

|Bn(x)− f(x)| =

∣∣∣∣∣n∑k=0

(n

k

)xk(1− x)n−k(f(k/n)− f(x))

∣∣∣∣∣<

n∑k=0

(n

k

)xk(1− x)n−k(ε+Kδ|k/n− x|2)

< ε+Kδ/4n,

puisque x(1− x) ≤ 1/4, et donc il existe N ≥ 1 tel que |Bn(x)− f(x)| < ε si n ≥ N .

Le theoreme de Stone generalise ce resultat a un compact arbitraire. Si (X, d) est un

espace compact et si A est un ensemble de fonctions continues sur X a valeurs dans R,

alors on dit que A est une algebre si A est stable par addition, multiplication, et contient

les fonctions constantes. On dit que A separe les points si pour tous x, y ∈ X, il existe

f ∈ A telle que f(x) 6= f(y).

Theoreme 2.3.2 (Stone). — Si (X, d) est un espace compact et si A est une algebre de

fonctions continues a valeurs dans R qui separe les points, alors toute fonction continue

sur X est une limite uniforme de fonctions appartenant a A.

Demonstration. — Il s’agit de montrer que l’adherence A de A dans l’ensemble C0(X,R)

est C0(X,R) tout entier. Si f ∈ A, alors f(X) est un compact de R et donc inclus

dans un intervalle [a; b]. Par le theoreme de Weierstrass, la fonction x 7→ |x| est limite

uniforme de polynomes sur [a; b], et la fonction |f | appartient donc a A. Si f, g ∈ A, alors

min(f, g) = (f + g)/2− |f + g|/2 et donc min(f, g) et max(f, g) appartiennent a A.

Soit f : X → R une fonction continue et ε > 0. Si x, y ∈ X, alors il existe hx,y ∈ Atelle que hx,y(x) = f(x) et hx,y(y) = f(y). Comme hx,y(y) = f(y), il existe un ouvert Uy

contenant y tel que hx,y(z) < f(z) + ε si z ∈ Uy. En ecrivant X = ∪y∈XUy et en utilisant

le theoreme de Borel-Lebesgue, on trouve n points y1, . . . , yn tels que X = Uy1 ∪ . . .∪Uyn .

2.4. LE THEOREME DE TYCHONOFF 23

Posons hx = min(hx,y1 , . . . , hx,yn). On a alors hx(x) = f(x) et hx(z) < f(z) + ε quel

que soit z ∈ X. Pour tout x ∈ E, il existe a present un ouvert Vx contenant x tel que

hx(z) > f(z) − ε si z ∈ Vx. On utilise de nouveau le theoreme de Borel-Lebsegue pour

trouver x1, . . . , xm tels que X = Vx1∪. . .∪Vxm . Si l’on prend h = max(hx1 , . . . , hxm), alors

f(z)−ε < h(z) < f(z)+ε quel que soit z ∈ X. Ceci montre bien que A = C0(X,R).

On pourra appliquer ce theoreme aux espaces suivants : les polynomes en X1, · · · , Xn

sur [a; b]n ⊂ Rn, les polynomes trigonometriques sur S1 et sur les tores (S1)n.

2.4. Le theoreme de Tychonoff

Rappelons que si {Xi}i∈I est une famille d’espaces topologiques, alors la topologie

produit sur X =∏

i∈I Xi est la topologie qui a pour base d’ouverts les parties de X de la

forme Ui1×· · ·Uik×∏

i∈I,i 6=ij Xi avec Uj ouvert de Xj. C’est la topologie initiale associee

a la famille des projections {πi : X → Xi}i∈I . Le seul resultat non trivial de topologie

generale que nous voyons dans ce cours est le theoreme de Tychonoff .

Theoreme 2.4.1 (Tychonoff). — Si {Xi}i∈I est une famille d’espaces topologiques

compacts, alors∏

i∈I Xi muni de la topologie produit est compact.

Demonstration. — Nous allons montrer que si l’on se donne une famille F de fermes de

X =∏

i∈I Xi qui a la propriete de l’intersection finie, alors l’intersection des elements de

F est non vide. Si F ′ et F ′′ sont deux familles de parties de X qui ont la propriete de

l’intersection finie, alors disons que F ′ ≤ F ′′ si F ′ ⊂ F ′′. Le lemme de Zorn implique

qu’il existe une famille maximale G de parties de X qui a la propriete de l’intersection

finie et qui contient F . En particulier, si G1, G2 ∈ G, alors G1 ∩G2 ∈ G, et si P est une

partie de X telle que P ∩G est non vide pour tout G ∈ G, alors P ∈ G.

Pour tout i ∈ I, la famille de fermes {πi(G)}G∈G a la propriete de l’intersection finie et

contient donc un point xi ∈ Xi. Montrons que x = {xi}i∈I appartient a tout F ∈ F . Soit

J une partie finie de I et U un voisinage de x dans X de la forme U =∏

j∈J Uj×∏

i∈I\J Xi.

Chaque Uj contient xj et donc un point de πj(G), quel que soit G ∈ G par densite. Si

G ∈ G, on en deduit que π−1j (Uj) = Uj ×∏

i 6=j Xj contient un point de G, et donc que

G ∩ π−1j (Uj) est non vide. Par maximalite de G pour la propriete de l’intersection non

vide, on en deduit que π−1j (Uj) ∈ G. Ceci implique que U ∈ G et donc U ∩F est non vide

pour tout F ∈ F . Si F ∈ F est fixe, alors ceci montre que tout voisinage de x rencontre

F et donc que x ∈ F , ce qu’on voulait montrer.

CHAPITRE 3

ESPACES DE BANACH

3.1. Le theoreme de Baire

Le theoreme de Baire est un outil puissant de construction d’elements d’un espace

metrique (comme on le verra sur les applications).

Theoreme 3.1.1 (Baire). — Si (E, d) est un espace metrique complet, et si {Un}n≥1est une famille denombrable d’ouverts denses, alors ∩n≥1Un est dense dans E.

Demonstration. — Rappelons que si {Fn}n≥1 est une famille de fermes emboıtes dont le

diametre tend vers 0, alors ∩n≥1Fn est non vide car E est complet.

Si x ∈ E et ε > 0, montrons que ∩n≥1Un contient un point y tel que d(x, y) < ε.

Comme U1 est dense dans E, il existe x1 ∈ U1 et r1 > 0 tels que B(x1, r1) ⊂ B(x, ε)∩U1.

Si n ≥ 1, alors comme Un+1 est dense dans E, il existe xn+1 ∈ Un+1 et rn/2 ≥ rn+1 > 0

tels que B(xn+1, rn+1) ⊂ B(xn, rn) ∩ Un+1. La suite {B(xn, rn)}n≥1 est une famille de

fermes emboıtes dont le diametre tend vers 0, et son intersection contient donc un point

y, qui verifie alors d(x, y) < ε.

En passant aux complementaires, on trouve qu’une union denombrable de fermes

d’interieur vide est elle-meme d’interieur vide. On appelle Gδ (Gebiet Durchschnitt) une

partie de E qui est une intersection denombrables d’ouverts, et Fσ (Somme de Fermes)

une union denombrable de fermes. Le theoreme de Baire affirme donc que dans un espace

complet, l’ensemble des Gδ denses est stable par intersection denombrable.

Remarque 3.1.2. — Comme le theoreme de Baire s’enonce en termes d’ouverts et de

densite, il est aussi vrai dans des espaces metriques qui ne sont pas complets mais sont

homeomorphes a des espaces metriques complets (un tel espace est dit topologiquement

complet).

26 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH

Baire a montre le theoreme qui porte son nom afin d’etablir (entre autres) le resultat

suivant : une fonction f : [0; 1] → R est une limite simple de fonctions continues si et

seulement si la restriction de f a tout ferme de [0; 1] possede un point de continuite.

Voici un exemple d’application du theoreme de Baire.

Exemple 3.1.3. — Soit E = C0([0; 1],R) et Un = {f ∈ E telles que pour tout x ∈ [0; 1],

il existe y ∈ [0; 1] verifiant |f(y)− f(x)| > n|y − x|}. L’ensemble Un est ouvert et dense

dans E, donc ∩n≥1Un est dense dans E. On en deduit que l’ensemble des fonctions f ∈ Equi ne sont derivables en aucun point contient un Gδ dense de E.

3.2. Espaces de Banach

Les espaces de Banach sont les espaces vectoriels normes complets. Rappelons que

si E et F sont deux espaces de Banach, et si f ∈ L(E,F ), alors f est continue si et

seulement s’il existe C ≥ 0 tel que ‖f(x)‖F ≤ C‖x‖E pour tout x ∈ E. On pose alors

|||f ||| = supx 6=0 ‖f(x)‖F/‖x‖E.

Le theoreme ci-dessous, du a Banach et Steinhaus – mais aussi a Hahn, s’appelle aussi

le “principe de la borne uniforme”.

Theoreme 3.2.1 (de Banach-Steinhaus). — Soit E un espace de Banach, F un

evn, et {fi}i∈I une famille d’applications lineaires continues fi : E → F .

Ou bien il existe M tel que |||fi||| ≤ M pour tout x ∈ E, ou bien il existe un Gδ dense

A de E tel que pour tout x ∈ A, supi∈I ‖fi(x)‖ = +∞.

Demonstration. — Soit Fn = {x ∈ E tels que ‖fi(x)‖ ≤ n pour tout i ∈ I}, qui est un

ferme de E. Si ∪n≥1Fn est d’interieur vide, alors on peut prendre A = E \∪n≥1Fn qui est

un Gδ dense. Sinon, le theoreme de Baire implique que l’un des Fn est d’interieur non

vide, et contient donc une boule de centre a et de rayon r. On a alors ‖fi(a + yr)‖ ≤ n

si ‖y‖ < 1 et donc ‖fi(y)‖ ≤ 2n/r. On peut alors prendre M = 2n/r.

Exemple 3.2.2. — Soit E = F l’espace des fonctions continues f : R→ R periodiques

de periode 2π, et Sn : E → E l’operateur qui a f associe x 7→∑−n≤k≤n f(k)eikx, la

somme partielle de sa serie de Fourier. On a aussi

(Snf)(x) =1

2π

∫ π

−π

sin(n+ 1/2)t

sin(t/2)f(x− t) dt.

Chaque Sn est une application lineaire continue. En prenant

fn(x) =

sin(n+ 1/2)x 0 ≤ x ≤ π(1− 1/(2n+ 1)),

− sin(n+ 1/2)x −π(1− 1/(2n+ 1)) ≤ x ≤ 0,

0 sinon,

3.2. ESPACES DE BANACH 27

on trouve que |(Snfn)(0)| → +∞ alors que ‖fn‖ = 1, et donc que les Sn ne sont pas

uniformement bornes. Le theoreme de Banach-Steinhaus implique alors qu’il existe un

Gδ dense A de E tel que pour tout f ∈ A, on a supn≥1 ‖Sn(f)‖ = +∞.

Theoreme 3.2.3 (de l’application ouverte). — Si E et F sont deux espaces de Ba-

nach, et si f : E → F est une application lineaire continue et surjective, alors il existe

r > 0 tel que f(BE(0, 1)) ⊃ BF (0, r).

Demonstration. — Comme f est surjective, on a F = ∪n≥1f(BE(0, n)) et le theoreme de

Baire implique que l’un des f(BE(0, n)) est d’interieur non vide. Il existe donc y ∈ F

et s > 0 tels que BF (y, s) ⊂ f(BE(0, 1)). Il existe alors une suite {xn}n≥1 de BE(0, 1)

telle que f(xn) → y et si b ∈ B(0, s), alors il existe une suite {x′n}n≥1 de BE(0, 1) telle

que f(x′n) → y + b. La suite {xn − x′n}n≥1 est alors une suite de BE(0, 2) telle que

f(xn − x′n)→ b et donc BF (0, s) ⊂ f(BE(0, 2)).

Si y ∈ B(0, s/2), alors il existe x1 ∈ BE(0, 1) tel que ‖y − f(x1)‖ < s/4. Comme

y − f(x1) ∈ B(0, s/4), il existe x2 ∈ BE(0, 1/2) tel que ‖y − f(x1) − f(x2)‖ < s/8. On

construit ainsi par recurrence une suite {xn}n≥1 telle que xn ∈ BE(0, 21−n) et ‖y−f(x1)−· · · − f(xn)‖ < s/2n+1. La serie

∑n≥1 xn converge vers x ∈ BE(0, 2) tel que y = f(x) et

on peut donc prendre r = s/4.

Corollaire 3.2.4. — Si E et F sont deux espaces de Banach, et si f : E → F est une

application lineaire continue et bijective, alors f−1 : F → E est continue.

Theoreme 3.2.5 (du graphe ferme). — Si E et F sont deux espaces de Banach, et

si f : E → F est une application lineaire, alors f est continue si et seulement si son

graphe est ferme dans E ⊕ F .

Demonstration. — Si f est continue, alors G est le noyau de l’application continue f :

E ⊕ F → F donnee par (x, y) 7→ y − f(x) et est donc ferme dans E ⊕ F .

Montrons donc que si G est ferme dans E⊕F , alors f est continue. Si G est ferme dans

l’espace complet E⊕F , alors il est lui-meme complet et c’est donc un espace de Banach.

L’application π : E ⊕ F → E donnee par (x, y) → x est continue et sa restriction a G

est bijective. Son inverse est continue par le theoreme de l’application ouverte, et donc

f : E → F est continue.

Pour montrer qu’une application lineaire f : E → F est continue, il suffit donc de

verifier que pour toute suite {xn}n≥1 telle qu’il existe x et y verifiant xn → x et f(xn)→ y,

on a y = f(x).


Exemple 3.2.6. — Soit E un sous-espace de C0([a; b],R) ferme pour ‖ · ‖∞ qui ne

contient que des fonctions C1 et soit D : f 7→ f ′. Le graphe de D : E → C0([a; b],R) est

ferme par le theoreme 4.4.3, et D est donc continue.

Il existe alors une constante C > 0 telle que ‖f ′‖ ≤ C‖f‖ et la boule unite fermee

de E est donc equicontinue. Le theoreme d’Ascoli implique qu’elle est compacte, et le

theoreme de Riesz dit alors que E est de dimension finie.

3.3. Le dual d’un espace de Banach

Rappelons qu’une forme lineaire f : E → R est continue si et seulement si elle est

bornee. Le resultat ci-dessous est le theoreme de Hahn-Banach, concernant le prolonge-

ment des formes lineaires continues.

Theoreme 3.3.1. — Si E est un evn, si V est un sous-espace de E et si f : V → R

est une forme lineaire continue sur E, alors f se prolonge en une forme lineaire continue

f : E → R, avec ‖f‖E = ‖f‖V .

Demonstration. — Quitte a multiplier f par un scalaire, on peut supposer que ‖f‖V = 1.

Soit w ∈ E \ V , de telle sorte que tout element de V + Rw s’ecrit sous la forme v + tw

avec t ∈ R. Montrons que l’on peut trouver a ∈ R tel que si l’on pose f(w) = a,

alors f : V + Rw → R ainsi definie est toujours de norme 1. Il faut pour cela que

|f(v)− a| ≤ ‖v − w‖ quel que soit v ∈ V , c’est-a-dire que

a ∈ I(v) = [f(v)− ‖v − w‖; f(v) + ‖v − w‖].

Si v, v′ ∈ V , alors f(v − v′) ≤ ‖v − v′‖ ≤ ‖v − w‖+ ‖v′ − w‖ et donc les intervalles I(v)

ont une intersection non vide quand v parcourt V , ce qui fait que l’on peut etendre f a

V + Rw comme souhaite.

Si E est separable, et si {xn}n≥1 est une sous-suite dense de E, alors posons Vn =

V + Rx1 + · · · + Rxn, de telle sorte que ∪n≥1Vn est dense dans E. Le raisonnement

precedent montre que f s’etend de Vn a Vn+1 et donc a ∪n≥1Vn en une forme lineaire qui

est toujours de norme ≤ 1, ce qui permet de montrer le theoreme en prolongeant par

uniforme continuite. Si E n’est pas separable, on remplace la recurrence par l’utilisation

du lemme de Zorn.

Corollaire 3.3.2. — Si E est un evn et si P est une partie de E, alors un point y ∈ Eappartient a l’adherence de Vect(P ) si et seulement si f(y) = 0 pour toute forme lineaire

continue f : E → R qui est nulle sur P .

Demonstration. — Si f est nulle sur P , alors elle est nulle sur l’adherence de Vect(P ) par

linearite et continuite. Supposons que y n’appartient pas a F , l’adherence de Vect(P ).

3.3. LE DUAL D’UN ESPACE DE BANACH 29

L’espace F est ferme dans F ⊕ Ry, puisqu’il est ferme dans E. La forme lineaire f :

F ⊕Ry → R donnee par f(g + ay) = a est donc continue, et par le theoreme de Hahn-

Banach, elle se prolonge en une forme lineaire continue f : E → R telle que f(y) = 1 et

f est nulle sur P .

Si E est un evn, alors le dual de E est l’espace E∗ des formes lineaires continues

f : E → R. On peut munir cet espace de la norme ‖f‖E∗ = sup‖x‖E=1 |f(x)|, ce qui fait

de E∗ un espace de Banach. Le theoreme de Hahn-Banach implique que E∗ separe les

points de E : si x1 6= x2 ∈ E, alors il existe une forme lineaire continue f : E → R telle

que f(x1) 6= f(x2). Si E est un espace de Banach et x ∈ E, alors f 7→ f(x) est une

forme lineaire sur E∗ et on en deduit une application E → E∗∗. Cette application est une

isometrie par le theoreme de Hahn-Banach. On dit que E est reflexif si cette application

est un isomorphisme. C’est par exemple le cas pour un espace de Hilbert, comme on le

verra au chapitre suivant.

Exemple 3.3.3. — Soit `∞ l’espace des suites bornees a = {an}n≥1, muni de la norme

‖a‖∞ = supn≥1 |an|, soit c0 le sous-espace de `∞ constitue des suites tendant vers 0, et

pour 1 ≤ p < +∞, soit `p l’espace des suites a = {an}n≥1 telles que∑

n≥1 |an|p < +∞,

muni de la norme ‖a‖p = (∑

n≥1 |an|p)1/p.On a alors (c0)∗ = `1, (`p)∗ = `q si 1 ≤ p < +∞ ou 1/p+ 1/q = 1, et (`∞)∗ contient `1

mais est strictement plus gros. Les espaces `p pour 1 < p < +∞ sont donc reflexifs.

Lemme 3.3.4. — Si E est un espace de Banach et si E∗ est separable, alors E est

separable.

Demonstration. — Soit {fn}n≥1 une suite dense de E∗\{0} et xn ∈ E de norme 1 tel que

|fn(xn)| ≥ 1/2 · ‖fn‖. Si f ∈ E∗ est nulle sur {xn}n≥1, alors comme la suite {fn}n≥1 est

dense dans E∗, il existe une extraction ϕ telle que fϕ(n) → f . On a alors f(xϕ(n)) = 0 et

1/2 ·‖fϕ(n)‖ ≤ |fϕ(n)(xϕ(n))| = |(f−fϕ(n))(xϕ(n))| → 0, ce qui fait que f = 0. Le corollaire

3.3.2 implique que E est l’adherence de l’espace vectoriel engendre par {xn}n≥1.Il reste a remarquer qu’un espace vectoriel est separable si et seulement s’il contient

une suite denombrable qui engendre un sous-espace dense.

L’etude du dual E∗ d’un espace de Banach E constitue une partie importante de

l’analyse fonctionnelle. Grace a E∗, on peut definir sur E une topologie dite topologie

faible. C’est la topologie initiale associee a la famille de formes lineaires continues f :

E → R. Une base d’ouverts de E pour la topologie faible est donc donnee par les

ensembles qui sont une intersection finie de parties de E de la forme U(a, b, f) = {x ∈ Etels que a < f(x) < b}, ou a < b et ou f ∈ E∗. Si E est de dimension infinie, alors toute


intersection finie non vide de U(a, b, f) contient des espaces affines de dimension infinie,

et la topologie faible est donc tres differente de la topologie d’evn de E.

Si {xn}n≥1 est une suite de E et x ∈ E, alors on dit que {xn}n≥1 converge faiblement

vers x si {xn}n≥1 converge vers x pour la topologie faible. C’est equivalent a demander

que f(xn)→ f(x) pour tout f ∈ E∗. On note alors xn ⇀ x.

Lemme 3.3.5. — Si xn ⇀ x, alors ‖x‖ ≤ lim inf ‖xn‖.

Demonstration. — Le theoreme de Hahn-Banach nous donne une forme lineaire f ∈ E∗

de norme 1 telle que f(x) = ‖x‖. On a alors ‖x‖ = f(x) = lim f(xn) ≤ lim inf ‖xn‖.

Exemple 3.3.6. — Si E = `p(R) avec 1 < p <∞, et si xn = (0, . . . , 0, 1n, 0, . . .), alors

‖xn‖ = 1 mais xn ⇀ 0.

Theoreme 3.3.7. — Si E est un espace de Banach separable reflexif, alors B = {x ∈ Etels que ‖x‖ ≤ 1} est sequentiellement compacte pour la topologie faible.

Demonstration. — Il s’agit de montrer que si {xn}n≥1 est une suite de B, alors il existe

une extraction ϕ et x ∈ B tels que f(xϕ(n))→ f(x) quel que soit f ∈ E∗. Comme E est

reflexif, la proposition 3.3.4 implique que E∗ est separable. Soit donc {fk}k≥1 une suite

dense de E∗. Il existe une extraction ϕ1 et y1 ∈ R tels que f1(xϕ1(n)) → y1 ∈ R. De

meme, si k ≥ 1, alors il existe une extraction ϕk et yk ∈ R tels que fk(xϕ1◦···◦ϕk(n))→ yk.

Si l’on pose ϕ(n) = ϕ1 ◦ · · · ◦ϕn(n), alors fk(xϕ(n))→ yk quel que soit k ≥ 1. Par densite,

on trouve que si f ∈ E∗, alors la suite {f(xϕ(n))}n≥1 converge vers une limite, notee y(f).

L’application f 7→ y(f) est une forme lineaire de norme ≤ 1 sur E∗, et elle est donc de

la forme f 7→ f(x) pour un unique x ∈ E, verifiant ‖x‖ ≤ 1, puisque (E∗)∗ = E.

Ce resultat de compacite explique l’introduction de la topologie faible, puisqu’en pra-

tique il est commode de disposer d’autant d’espaces compacts que possible.

3.4. Espaces de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace de Banach E, dont la norme provient d’un produit

scalaire 〈·, ·〉, c’est-a-dire que ‖x‖ =√〈x, x〉. Rappelons l’inegalite de Cauchy-Schwarz

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖, et la loi du parallelogramme ‖x− y‖2 + ‖x+ y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).

Proposition 3.4.1 (projection orthogonale). — Si C est une partie convexe fermee

de E, et si x ∈ E \ C, alors il existe un et un seul c ∈ C tel que ‖x− c‖ = d(x,C).

3.4. ESPACES DE HILBERT 31

Demonstration. — Soit m = d(x,C) et soit {cn}n≥1 une suite de points de C tels que

‖x− cn‖ → m. Soit ε > 0 et N ≥ 0 tel que m ≤ ‖x− cn‖ ≤ m + ε si n ≥ N . La loi du

parallelogramme appliquee aux deux vecteurs cn − x et cm − x nous donne

‖cn − cm‖2 ≤ 4(m+ ε)2 − 4

∥∥∥∥x− cn + cm2

∥∥∥∥2 ≤ 8mε+ 4ε2.

La suite {cn}n≥1 est donc de Cauchy et converge vers c ∈ C tel que ‖x− c‖ = m.

Si ‖x− c1‖ = ‖x− c2‖ = m, alors la loi du parallelogramme appliquee a x− c1 et x− c2donne ‖c1 − c2‖2 ≤ 0 et donc c1 = c2.

Cette proposition est en generale fausse dans un espace de Banach qui n’est pas de

Hilbert.

Si P est une partie de E, alors P⊥ = {x ∈ E tels que 〈x, p〉 = 0 pour tout p ∈ P} est

un sous-espace vectoriel ferme de E.

Proposition 3.4.2. — Si V est un sous-espace vectoriel ferme de E, alors E = V ⊕V ⊥.

Demonstration. — Il est clair que V ∩ V ⊥ = {0} et il faut montrer que V + V ⊥ = E. Si

x ∈ E, alors par la proposition 3.4.1, il existe v ∈ V tel que ‖x− v‖ = d(x, V ). Si w ∈ V ,

alors la fonction t 7→ ‖x− (v+ tw)‖2 admet un minimum en t = 0 et donc 〈x− v, w〉 = 0.

On en deduit que x− v ∈ V ⊥ et donc que x = v + (x− v) ∈ V + V ⊥.

Cette proposition montre que tout sous-espace ferme de E admet un supplementaire

ferme. Ce resultat est faux en general dans un espace de Banach; d’ailleurs, un theoreme

de Lindenstrauss et Tzafriri dit que si tout sous-espace ferme d’un espace de Banach

E admet un supplementaire ferme, alors E est isomorphe (mais pas isometrique!) a un

espace de Hilbert.

Si y ∈ E, alors x 7→ 〈x, y〉 est une forme lineaire sur E, et on a donc une application

lineaire E → E∗. Cette application est en fait un isomorphisme.

Theoreme 3.4.3. — Si E est un espace de Hilbert, et si f ∈ E∗, alors il existe y ∈ Etel que f(x) = 〈x, y〉.

Demonstration. — Soit F = ker(f) de telle sorte que F est un sous-espace de codimension

1 de E, et z ∈ F⊥ tel que f(z) = 1. Si l’on pose y = z/‖z‖2 et g(x) = 〈x, y〉, alors

f = g = 0 sur F , et g(z) = 1 = f(z) ce qui fait que f = g sur E = F ⊕ F⊥.

En particulier, un espace de Hilbert est reflexif.

On note prV : E → V la projection orthogonale sur V parallelement a V ⊥. Si V est de

dimension finie et si v1, . . . , vn en est une base orthogonale, alors prV (x) =∑n

i=1〈x, vi〉vi.Une base de Hilbert de E est une famille orthogonale {ei}i∈I qui engendre un sous-

espace vectoriel dense de E. Si E est separable de dimension infinie, alors E admet une


base denombrable, et le procede d’orthonormalisation de Gram-Schmidt implique que E

admet une base de Hilbert denombrable {en}n≥1. Si c’est le cas, soit Vn = Vect(e1, . . . , en)

de telle sorte que ∪n≥1Vn est un sous-espace dense de E. Si x ∈ E, alors d(x, Vn) → 0

et donc prVn(x) → x. On peut donc ecrire x =∑

n≥1〈x, en〉en et l’application x 7→{〈x, en〉}n≥1 est une isometrie entre E et `2(R). Tout espace de Hilbert separable est

donc soit de dimension finie, et isometrique a Rn muni de la norme euclidienne, soit de

dimension infinie et isometrique a `2(R).

On est loin d’avoir une telle classification des espaces de Banach!

PARTIE II

CALCUL DIFFERENTIEL

CHAPITRE 4

DIFFERENTIELLES

4.1. Fonctions reglees

Soit [a; b] un intervalle de R, et F un R-espace vectoriel de dimension finie muni

d’une norme ‖ · ‖. On dit qu’une fonction f : [a; b] → F est en escaliers s’il existe une

subdivision a = a0 < a1 < · · · < an = b telle que f est constante sur chaque intervalle

ouvert ]ai; ai+1[. Une fonction en escaliers est en particulier bornee. Si f et g sont deux

fonctions en escaliers, alors il existe une subdivision pour laquelle f ± g (et fg si F = R)

sont en escaliers. On dit qu’une fonction f : [a; b]→ F est reglee si elle est limite uniforme

de fonctions en escaliers. Notons R([a; b], F ) l’espace des fonctions reglees sur [a; b], muni

de la norme sup et R0([a; b], F ) le sous-espace des fonctions en escaliers sur [a; b], de telle

sorte que R([a; b], F ) = R0([a; b], F ).

Theoreme 4.1.1. — Les fonctions continues f : [a; b]→ F sont reglees.

Demonstration. — Montrons que si f est continue et ε > 0, alors il existe une fonction en

escaliers g : [a; b]→ F telle que ‖f−g‖[a;b] < ε. Comme [a; b] est compact, la fonction f est

uniformement continue par le theoreme de Heine. Il existe donc δ > 0 tel que si |x−y| < δ,

alors ‖f(x) − f(y)‖ < ε. Choisissons une subdivision a = a0 < a1 < · · · < an = b telle

que |ai+1− ai| < δ, et posons g(x) = f(ai) si x ∈ [ai; ai+1[ (ainsi que g(b) = b). On a bien

‖g(x)− f(x)‖ < ε quel que soit x ∈ [a; b].

Si f : [a; b] → F est une fonction en escaliers, on definit I(f) =∑n−1

i=0 (ai+1 − ai)vi

ou vi est la valeur de f sur ]ai; ai+1[. L’application lineaire I : R0([a; b], F ) → F est

uniformement continue, car ‖I(f)‖ ≤ (b − a)‖f‖[a;b], et se prolonge donc par uniforme

continuite a R([a; b], F ).

Plutot que I(f), on note∫ baf l’integrale ainsi definie de la fonction reglee f .

36 CHAPITRE 4. DIFFERENTIELLES

4.2. Fonctions differentiables

Soient E et F deux R-espaces vectoriels normes de dimension finie. Si U est un ouvert

de E et si f : U → F est une fonction, alors on dit que f est differentiable en un point

a ∈ U s’il existe une application lineaire g : E → F telle que

f(a+ h) = f(a) + g(h) + o(‖h‖).

Une telle fonction g est alors unique, car si (g1 − g2)(h) = o(‖h‖), alors g1 = g2. Si f

est differentiable en a, alors elle est continue en a. L’application g ∈ L(E,F ) s’appelle la

differentielle de f en a et est notee dfa (ou encore f ′(a) ou Df(a)).

Par exemple, si f : E → F est lineaire, alors f est differentiable en tout a ∈ E, et

dfa = f .

Remarque 4.2.1. — Si E est un espace euclidien muni d’un produit scalaire 〈·, ·〉, alors

toute forme lineaire sur E est de la forme x 7→ 〈v, x〉 pour un v ∈ E. Si f : U → R est

differentiable en a, alors il existe un unique vecteur ∇f(a) tel que dfa(h) = 〈∇f(a), h〉.Le vecteur ∇f(a) s’appelle le gradient de f en a.

Revenons au cas general.

1. Si f et g sont differentiables en a ∈ U , alors f + g aussi et d(f + g)a = dfa + dga;

2. Si f : U → F1 et g : U → F2 sont differentiables en a ∈ U , et si B : F1 × F2 → F

est une application bilineaire, alors x 7→ B(f(x), g(x)) est differentiable en a et

dB(f, g)a(h) = B(dfa(h), g(a)) +B(f(a), dga(h));

3. Si f : U → F et g : V → G sont differentiables en a ∈ U et en f(a) ∈ V ,

ou V est un ouvert de F qui contient f(U), alors g ◦ f est differentiable en a et

d(g ◦ f)a = dgf(a) ◦ dfa.

Si f : U → R est une fonction, on dit que f admet un maximum local en a ∈ U s’il

existe r > 0 tel que f(y) ≤ f(a) pour tout y ∈ B(a, r). On dit que f admet un extremum

local en a si f admet un maximum local ou un minimum local en a.

Theoreme 4.2.2. — Si f : U → R admet un extremum local en un point a ∈ U ou elle

est differentiable, alors dfa = 0.

Demonstration. — Supposons que f a un maximum en a. Si v ∈ E, alors t−1(f(a+ tv)−f(a)) = dfa(v) + o(1) et donc dfa(v) ≤ 0 quel que soit v ∈ E, ce qui implique dfa = 0.

On dit que f : U → F est de classe C1 si f est differentiable en tout point de U et

si la fonction a 7→ dfa de U → L(E,F ) est continue. Par exemple, si f : [a; b] → F est

continue, alors l’application g : x 7→∫ xaf est C1 sur ]a; b[, et g′(x) = f(x) si x ∈]a; b[.

4.3. DERIVEES PARTIELLES 37

Proposition 4.2.3. — Si f : [a; b] → F est continue, et differentiable avec dfx = 0 en

tout x ∈]a; b[, alors f est constante.

Demonstration. — En choisissant une base de F , on se ramene au cas F = R. Si c ∈]a; b],

alors la fonction h(x) = f(x) − (f(c) − f(a))/(c − a) · (x − a) a les memes valeurs en

a et c. Elle admet donc un extremum local en un point d ∈]a; c[ ce qui fait que par le

theoreme 4.2.2, h′(d) = 0 et donc f(c) = f(a).

Corollaire 4.2.4. — Si f : [a; b]→ F est une fonction continue, et C1 sur ]a; b[, alors

f(x) = f(a) +∫ xaf ′(t) dt.

Demonstration. — Si l’on pose g(x) = f(a)+∫ xaf ′(t) dt, alors g est une fonction C1 dont

la differentielle est egale a celle de f , et on conclut par la proposition 4.2.3.

Theoreme 4.2.5. — Si f : U → F est une application de classe C1, et si x, y ∈ U sont

tels que [x; y] ⊂ U , alors f(y) = f(x) +∫ 1

0dfx+t(y−x)(y − x) dt.

Demonstration. — Posons g(t) = f(x + t(y − x)) de telle sorte que g est C1 sur [0; 1].

On a alors g(1)− g(0) =∫ 1

0g′(t) dt et g′(t) = dfx+t(y−x)(y − x).

Corollaire 4.2.6. — Si |||dfz||| ≤ M pour tout z ∈ [x; y], alors ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M‖y −x‖.

4.3. Derivees partielles

Si l’on choisit une base e1, . . . , en de E, alors tout vecteur v ∈ E s’ecrit v = x1(v)e1 +

· · ·+ xn(v)en ou les xi sont les fonctions “coordonnees”. Si f : U → R est differentiable

en a, alors fk : t 7→ f(a + tek) est une fonction fk :] − r; r[→ R qui est differentiable en

t = 0. On note ∂f/∂xk(a) = dfa(ek) la derivee de fk en t = 0, de sorte que

dfa(y1e1 + · · ·+ ynen) =n∑k=1

yk∂f

∂xk(a).

Les reels ∂f/∂xk(a) sont les derivees partielles de f en a. On prendra garde au

fait qu’une fonction f telle que ∂f/∂xk(a) existe pour tout k n’est pas necessairement

differentiable en a.

Theoreme 4.3.1. — Une fonction f : U → R est C1 si et seulement si toutes ses

derivees partielles ∂f/∂xk existent et sont des fonctions continues.

Demonstration. — Si f est C1, alors ∂f/∂xk(a) = dfa(ek) et l’assertion est evidente.


Montrons la reciproque pour n = 2, afin d’alleger les notations. Soit a ∈ U et h ∈ E,

que l’on ecrit h = h1e1 + h2e2. Par le theoreme 4.2.5, on a

f(a+ h1e1 + h2e2) = f(a+ h1e1) +

∫ 1

0

∂f

∂x2(a+ h1e1 + th2e2)h2 dt

= f(a) +

∫ 1

0

∂f

∂x1(a+ uh1e1)h1 du+

∫ 1

0

∂f

∂x2(a+ h1e1 + th2e2)h2 dt,

et donc f(a+ h1e1 + h2e2)− f(a)− h1∂f/∂x1(a)− h2∂f/∂x2(a) est majore par∫ 1

0

∣∣∣∣ ∂f∂x1 (a+ uh1e1)−∂f

∂x1(a)

∣∣∣∣h1 du+

∫ 1

0

∣∣∣∣ ∂f∂x2 (a+ h1e1 + th2e2)−∂f

∂x2(a)

∣∣∣∣h2 dt.On conclut en utilisant la continuite des derivees partielles.

Si f : U → F est differentiable en a et si l’on choisit en plus une base f1, . . . , fm de

F , alors f = (f1, . . . , fm) et la matrice de dfa dans les bases e1, . . . , en et f1, . . . , fm est

la matrice a m lignes et n colonnes donnee par (∂fj/∂xk)j,k. Dans le cas particulier ou

E = F , la matrice de dfa dans la base e1, . . . , en est la matrice Jacobienne de f en a.

Son determinant ne depend pas de la base, et intervient par exemple dans la formule de

changement de variable pour les integrales multiples (si ϕ : U → V est une bijection C1

entre deux ouverts, et si f est une fonction integrable sur V , alors∫Vf =

∫Uf◦ϕ·|det dϕ|).

On peut generaliser un peu la notion de derivee partielle. Si U = U1 × · · · ×Un est un

ouvert de E1 ⊕ · · · ⊕ En, si f : U → F est une fonction, et si x = (x1, . . . , xn) ∈ U , alors

on note difx l’application lineaire Ui → F qui est la differentielle de xi 7→ f(x1, . . . , xn).

L’analogue du theoreme 4.3.1 est alors vrai : f est C1 si et seulement si dif existe et

est continue pour tout i. Dans ce cas, dfx(v1, . . . , vn) =∑n

i=1 difx(vi).

4.4. Differentiation d’integrales et de suites

Une classe importante d’exemples de fonctions differentiables est fournie par les

integrales a parametres . Soit I = [a; b] un intervalle de R, U un ouvert de E et

f : I×U → F une fonction continue. On definit alors g : U → F par g(x) =∫ baf(t, x) dt.

Lemme 4.4.1. — La fonction g : U → F est continue.

Demonstration. — Soit x ∈ U et V un voisinage de x dont l’adherence est compacte et

contenue dans U . La restriction de f a I×V est alors uniformement continue, et si ε > 0,

alors il existe δ > 0 tel que si t1, t2 ∈ I et x1, x2 ∈ U verifient |t1−t2|+‖x1−x2‖ < δ, alors

‖f(t1, x1)−f(t2, x2)‖ < ε. On a alors ‖g(x1)−g(x2)‖ ≤∫ ba‖f(t, x1)−f(t, x2)‖ dt ≤ (b−a)ε

si ‖x1 − x2‖ < δ.

4.5. DERIVEES SUPERIEURES 39

Theoreme 4.4.2. — Soit I = [a; b] un intervalle de R, U un ouvert de E et f : I×U →F une fonction continue telle que dEf : I × U → L(E,F ) existe et est continue.

Si on definit g : U → F par g(x) =∫ baf(t, x) dt, alors g est C1 sur U et on a

dgx =∫ badEf(t,x) dt.

Demonstration. — Posons λx =∫ badEf(t,x) dt de sorte que x 7→ λx est une fonction

continue de U dans L(E,F ) par le lemme 4.4.1.

Soit x ∈ U et V un voisinage de x dont l’adherence est compacte et contenue dans

U . La restriction de dEf a I × V est alors uniformement continue, et donc si ε > 0,

alors il existe δ > 0 tel que |||dEf(t,x) − dEf(t,x′)||| < ε si ‖x− x′‖ < δ. On a f(t, x + h) =

f(t, x) +∫ 1

0dEf(t,x+uh)(h) du ce qui fait que

g(x+ h) = g(x) + λx(h) +

∫ b

a

∫ 1

0

(dEf(t,x+uh) − dEf(t,x))(h) du dt,

et donc que ‖g(x+ h)− g(x)− λx(h)‖ < (b− a)ε‖h‖ des que ‖h‖ < δ.

Theoreme 4.4.3. — Si {fn}n≥1 est une suite de fonctions fn : U → F de classe C1,

qui converge simplement vers f : U → F , et si {dfn}n≥1 converge uniformement vers une

fonction g : U → L(E,F ), alors f est C1 et df = g.

Demonstration. — Soit x ∈ U et r > 0 tels que B(x, r) ⊂ U . Si ‖h‖ < r, alors fn(x+h) =

fn(x) +∫ 1

0d(fn)x+th(h) dt. En faisant tendre n vers l’infini, on trouve que f(x + h) =

f(x) +∫ 1

0g(x+ th)(h) dt, et donc que f(x+ h)− f(x)− g(x)(h) = o(‖h‖). La fonction f

est donc differentiable en x et dfx = g(x). Ceci implique que f est differentiable sur U et

que df = g. Enfin, la fonction g est une limite uniforme de fonctions continues, et donc

elle-meme continue.

4.5. Derivees superieures

Si l’on note L2(E,F ) l’espace des applications bilineaires E×E → F , alors il existe un

isomorphisme L2(E,F ) = L(E,L(E,F )). Il est donne par B 7→ [v 7→ B(v, ·)], l’inverse

etant donne par f 7→ [(v, w) 7→ f(v)(w)].

Si f : U → F est une fonction C1, alors a 7→ dfa est une fonction continue U → L(E,F ).

On dit que f est C2 si cette fonction est C1, et on note d2fa ∈ L(E,L(E,F )) la derivee

seconde de f en a. Grace a l’isomorphisme rappele ci-dessus, on voit plutot d2fa comme

un element de L2(E,F ), c’est-a-dire une forme bilineaire sur E.

Theoreme 4.5.1 (Schwarz). — Si f : U → F est une fonction C2 et a ∈ U , alors la

forme bilineaire d2fa est symetrique.


Demonstration. — On applique le theoreme 4.2.5 a repetition. Si v, w ∈ E, alors on a

f(a + v + w) = f(a + v) +∫ 1

0dfa+v+tw(w) dt et f(a + w) = f(a) +

∫ 1

0dfa+tw(w) dt. De

meme, on a dfa+v+tw(w) = dfa+tw(w) +∫ 1

0d2fa+uv+tw(w)(v) du, de sorte que :

f(a+ v + w)− f(a+ v)− f(a+ w) + f(a) =

∫ 1

0

∫ 1

0

d2fa+uv+tw(w)(v) du dt.

Soit ε > 0. Comme f est C2, il existe δ > 0 tel que ‖d2fa − d2fb‖ < ε si ‖a − b‖ < δ

et donc ∥∥∥∥f(a+ v + w)− f(a+ v)− f(a+ w) + f(a)

‖v‖ · ‖w‖− d2fa(

w

‖w‖,v

‖v‖)

∥∥∥∥ < ε,

des que v et w sont suffisamment petits.

Comme le terme de gauche est symetrique en v et w, il en est de meme pour

d2fa(w/‖w‖, v/‖v‖) ce qui fait que la forme bilineaire d2fa est symetrique.

Traduit en termes de derivees partielles, ce theoreme dit que ∂2f/∂xi∂xj = ∂2f/∂xj∂xi.

Si f : U → R est une fonction C2 et a ∈ U , alors d2fa est une forme quadratique. Sa

matrice (d2fa(ei, ej))i,j dans une base de E est la matrice Hessienne de f en a.

Theoreme 4.5.2. — Soit f : U → R une fonction C2 et a ∈ U tel que dfa = 0. Si d2fa

est definie positive, alors f admet un minimum local strict en a.

Demonstration. — Une double application du theoreme 4.2.5 montre que

f(a+ h) = f(a) +

∫ 1

0

∫ 1

0

d2fa+tuh(h, h)t dt du.

Comme f est C2, il existe ε > 0 tel que la forme d2fa+v est > 0 pour ‖v‖ ≤ ε et alors

f(a+ h) > f(a) si ‖h‖ ≤ ε et h 6= 0.

On definit par recurrence sur n ≥ 2 la notion de fonction de classe Cn. Si f : U → F

est une fonction, on dit que f est Cn si f est C1 et si sa differentielle dfa est Cn−1. Dans

ce cas, la derivee nieme de f en a est une forme multilineaire dnfa ∈ Ln(E,F ), qui est

symetrique par le theoreme de Schwarz. L’analogue du theoreme 4.3.1 est alors vrai :

une fonction f : U → R est Cn si et seulement si toutes ses derivees partielles d’ordre

≤ n existent et sont des fonctions continues. Une fonction est dite de classe C∞ si elle

est Cn pour tout n ≥ 1.

Theoreme 4.5.3 (Formule de Taylor). — Si f : U → F est une fonction Cn et si

a ∈ U et h ∈ E sont tels que [a; a+ h] ⊂ U , alors

f(a+ h) = f(a) + dfa(h) +1

2!d2fa(h, h) + · · ·+

+1

(n− 1)!dn−1fa(h, . . . , h) +

∫ 1

0

(1− t)n−1

(n− 1)!dnfa+th(h, . . . , h) dt.

4.5. DERIVEES SUPERIEURES 41

Demonstration. — Si n = 1, on trouve que f(a+h) = f(a)+∫ 1

0dfa+th(h) dt, ce qui est le

theoreme 4.2.5. Si l’on suppose que le theoreme est vrai a l’ordre n, alors une integration

par parties donne∫ 1

0

(1− t)n−1

(n− 1)!dnfa+th(h, . . . , h) dt =

− (1− t)n

n!dnfa+th(h, . . . , h)

∣∣∣∣10

+

∫ 1

0

(1− t)n

n!dn+1fa+th(h, . . . , h) dt,

ce qui montre la formule a l’ordre n+ 1.

Toutes les formules de Taylor “avec reste” sont des consequences de celle-ci. On trouve

par exemple que si f est Cn et |||dnfx||| ≤M pour tout x ∈ [a; a+ h], alors∥∥∥∥ f(a+ h)− f(a)− dfa(h)− 1

2!d2fa(h, h)− · · · − 1

(n− 1)!dn−1fa(h, . . . , h)

∥∥∥∥ ≤ ‖h‖nn!M.

Le lemme de Hadamard est un autre resultat qui permet d’ecrire une fonction comme

une partie principale et un reste.

Theoreme 4.5.4 (lemme de Hadamard). — Si f : U ⊂ Rn → R est une fonction

Ck et a ∈ U , alors il existe des fonctions f1, . . . , fn : U → R de classe Ck−1 telles que

f(x) = f(a) + (x1 − a1)f1(x) + · · ·+ (xn − an)fn(x).

Demonstration. — Si g(t) = f(a+ t(x−a)), alors g′(t) =∑n

j=1(xj−aj)djf(a+ t(x−a))

et f(x) − f(a) = g(1) − g(0) =∫ 1

0g′(t)dt. On a f(x) = f(a) + (x1 − a1)f1(x) + · · · +

(xn − an)fn(x) avec fj(x) =∫ 1

0djf(a+ t(x− a)), et la fonction fj est de classe Ck−1 par

le theoreme 4.4.2.

Notons que les fonctions fi ne sont pas uniques. Quand n = 1, on trouve que si f est

Cn, alors la fonction (f(x)− f(a))/(x− a) se prolonge en x = a en une fonction Cn−1.

CHAPITRE 5

INVERSION LOCALE ET GEOMETRIE

5.1. Inversion locale

On s’interesse desormais aux propriete locales des fonctions. On dit qu’une fonction

f : U → F de classe C1 est un C1-diffeomorphisme sur U si f(U) est un ouvert et

s’il existe g : f(U) → U de classe C1 telle que g ◦ f = Id. On dit que f est un C1-

diffeomorphisme local en x ∈ U s’il existe un voisinage V de x dans U sur lequel f est

un C1-diffeomorphisme. Dans ce cas, dgf(x) ◦ dfx = Id et donc dfx est inversible.

Theoreme 5.1.1 (inversion locale). — Si U est un ouvert, si f : U → F est C1 et

si dfx0 est inversible en un point x0 ∈ U , alors f est un C1-diffeomorphisme local en x0.

Demonstration. — Quitte a remplacer f par df−1x0 ◦ f , on peut supposer que F = E et

que dfx0 = Id. De plus, quitte a faire des translations au depart et a l’arrivee, on peut

supposer que x0 = 0 et que f(x0) = 0.

On peut ecrire f(x) = x+α(x) ou α est definie sur U et verifie dα0 = 0. Si 0 < λ < 1,

alors il existe r > 0 tel que B(0, r) ⊂ U et |||dαx||| ≤ λ pour tout x ∈ B(0, r), ce qui fait

que ‖α(x1)− α(x2)‖ ≤ λ‖x1 − x2‖ si x1, x2 ∈ B(0, r).

Commencons par construire un inverse local g de f . Fixons y ∈ B(0, r(1 − λ)) et

construisons g(y). Si x ∈ B(0, r), alors ‖y − α(x)‖ < r(1 − λ) + λr < r et on definit

une application β : B(0, r) → B(0, r) par β(x) = y − α(x). Cette application verifie

‖β(x1)− β(x2)‖ ≤ λ‖x1 − x2‖. Le theoreme du point fixe (theoreme 1.4.2) implique que

β admet un unique point fixe dans B(0, r), que l’on note g(y). On a y − α(g(y)) = g(y)

et donc f(g(y)) = y. Par ailleurs, ‖β(x)‖ < r et donc g(y) ∈ B(0, r). On a ainsi defini

une fonction g : B(0, r(1− λ))→ B(0, r) telle que f(g(y)) = y.

Si l’on pose V = g(B(0, r(1− λ))), alors V = f−1(B(0, r(1− λ)))∩B(0, r) et V est un

voisinage de 0 et f : V → B(0, r(1− λ)) est une bijection continue d’inverse g.

Si x1 = g(y1) et x2 = g(y2), alors

‖x1 − x2‖ ≤ ‖α(x1)− α(x2)‖+ ‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ λ‖x1 − x2‖+ ‖y1 − y2‖,

44 CHAPITRE 5. INVERSION LOCALE ET GEOMETRIE

et donc ‖g(y1)−g(y2)‖ ≤ 1/(1−λ) ·‖y1−y2‖. La fonction g est donc continue, puisqu’elle

est lipschitzienne de constante 1/(1− λ).

Montrons finalement que g : B(0, r(1 − λ)) → B(0, r) est differentiable en tout point

y = f(x) ∈ B(0, r(1 − λ)), de differentielle dgy = df−1x , ce qui implique que g est C1.

Comme f est differentiable en x, on peut ecrire f(x + h) = f(x) + dfx(h) + η(h) avec

η(h) = o(‖h‖). En appliquant g, on trouve que g(y + dfx(h) + η(h)) = x + h. Comme g

est lipschitzienne de constante 1/(1−λ), on a ‖g(y+ dfx(h))− x− h‖ ≤ 1/(1−λ)‖η(h)‖ce qui montre que g(y + k)− g(y)− df−1x (k) = o(‖k‖) et donc que g est differentiable en

y, de differentielle dgy = df−1x .

Ce theoreme est important, car il montre comment une propriete ponctuelle de f

(“la differentielle est inversible”) se propage en une propriete locale. Il est a la base de

l’utilisation du calcul differentiel en geometrie.

Exemple 5.1.2. — Soit E = Rn et F = Rn−1[T ] l’espace des polynomes de degre

≤ n − 1. Si x = (x1, . . . , xn) ∈ E, alors Px(T ) =∏n

i=1(T − xi) = T n + Qx(T ) avec

Qx(T ) ∈ F . On definit une fonction f : E → F par f(x) = Qx(T ). Cette application

est C∞ car elle est polynomiale, et difx = −∏

j 6=i(T − xj). Si les xi sont deux a deux

distincts, alors les n vecteurs P (T )/(T − xi) sont lineairement independants, et f est un

C∞-diffeomorphisme local en x par le theoreme 5.1.1. On en deduit qu’au voisinage de

Px, les racines de P sont des fonctions C∞ des coefficients.

Le theoreme d’inversion locale admet le corollaire suivant.

Corollaire 5.1.3. — Si f : U → F est une fonction C1, injective, et telle que dfx

est inversible pour tout x ∈ U , alors f(U) est ouvert dans F et f : U → f(U) est un

C1-diffeomorphisme.

Demonstration. — Le theoreme 5.1.1 implique que pour tout x ∈ U , il existe un voisinage

Ux de x dans U tel que f(Ux) est ouvert, ce qui montre que f(U) est ouvert. Comme

f : U → f(U) est bijective, elle admet un inverse g : f(U)→ U , qui est C1 par le meme

theoreme.

Exemple 5.1.4. — Soit E = Mn(R) et f : E → E la fonction f(M) = M2. On a

dfM(H) = MH + HM et donc dfM est inversible si Sp(M) ∩ Sp(−M) = ∅. Soit G

l’espace des matrices symetriques et U l’ouvert de G constitue des matrices symetriques

definies positives. La fonction f : U → U est une bijection C∞ et le corollaire 5.1.3

implique que f : U → U est un C∞-diffeomorphisme, d’inverse note√·. Si M ∈ GLn(R),

on peut alors ecrire M = US avec S =√tMM et U = MS−1. La decomposition polaire

se fait donc de maniere C∞ sur GLn(R).

5.2. LE THEOREME DU RANG CONSTANT 45

Un autre corollaire du theoreme d’inversion locale est le theoreme des fonctions im-

plicites.

Theoreme 5.1.5 (fonctions implicites). — Soit U et V deux ouverts de E et F et

soit f : U × V → G une fonction Ck.

Si (a, b) ∈ U × V est tel que f(a, b) = 0 et si dFf(a,b) : F → G est inversible, alors

il existe un voisinage ouvert Ua de a et une fonction g : Ua → V de classe Ck telle que

g(a) = b et f(x, g(x)) = 0 si x ∈ Ua.De plus, il existe un voisinage W de (a, b) dans U × V tel que si f(x, y) = 0 avec

(x, y) ∈ W , alors y = g(x).

Demonstration. — Si ϕ : E ⊕ F → E ⊕G est donnee par ϕ(x, y) = (x, f(x, y)), alors

Mat(dϕ(x,y)) =

(Id 0

dEf(x,y) dFf(x,y)

),

et donc dϕ(a,b) est inversible. Le theoreme d’inversion locale implique alors qu’il existe

un voisinage W de (a, b) dans E⊕F tel que ϕ(W ) est ouvert dans E⊕G et une fonction

ψ : ϕ(W )→ W de classe Ck telle que ψ ◦ ϕ = Id, c’est-a-dire que ψ(x, f(x, y)) = (x, y).

Quitte a retrecir W , on peut supposer que ϕ(W ) = Ua×Vb. On definit g : Ua → F par

ψ(x, 0) = (x, g(x)). La fonction g est bien Ck et on a (x, 0) = ϕ(x, g(x)) = (x, f(x, g(x))),

ce qui fait que f(x, g(x)) = 0. Si (x, y) ∈ W est tel que f(x, y) = 0, alors ϕ(x, y) = (x, 0)

et donc (x, y) = ψ(x, 0) = (x, g(x)), ce qui fait que y = g(x).

5.2. Le theoreme du rang constant

Soit f : U → F une fonction Ck et p ∈ U . On cherche a quelle condition f est locale-

ment equivalente a sa partie affine en p, c’est-a-dire qu’il existe deux diffeomorphismes

locaux ϕE et ψF tels que ψF ◦ f ◦ ϕ−1E (x) = f(p) + dfp(x− p).Si l’on differentie l’equation f(x) = ψ−1F (f(p) + dfp(ϕE(x) − p)), on trouve que dfx =

(dψ−1F )f(p)+dfp(ϕE(x)−p) ◦ (dfp)ϕE(x) ◦ (dϕE)x. La differentielle dfx est donc equivalente a dfp

ce qui fait que le rang de dfx est constant pour x appartenant a un voisinage de p. Le

theoreme du rang constant dit que cette condition necessaire est aussi suffisante.

Theoreme 5.2.1 (du rang constant). — Soit f : U → F une fonction Ck telle que

le rang de dfx est constant sur U , et p ∈ U . Il existe alors deux diffeomorphismes locaux

ϕE et ψF de classe Ck, avec ϕE(p) = p et ψF (f(p)) = f(p), tels que ψF ◦ f ◦ ϕ−1E (x) =

f(p) + dfp(x− p).


Demonstration. — On peut supposer que p = 0 et que f(p) = 0. Comme df0 est de rang

r, on peut ecrire E = A ⊕ B et F = A′ ⊕ C avec A et A′ de dimension r, de sorte que

df0 = ( i 00 0 ) ou i : A→ A′ est inversible (on a donc B = ker(df0) et A′ = im(df0)).

Selon cette decomposition, on peut ecrire f(a, b) = (i ◦ fA(a, b), fC(a, b)) ou fA est a

valeurs dans A et fC est a valeurs dans C (et on a pour memoire df0(a, b) = (i(a), 0)).

Soit ϕE : U ⊂ A⊕B → A⊕B donne par ϕE : (a, b) 7→ (fA(a, b), b). On a

(dϕE)0 =

((dAfA)0 (dBfA)0

0 IdB

)= IdE,

et donc par le theoreme d’inversion locale, ϕE est un Ck-diffeomorphisme local en 0 : on

a ϕE : U0 → ϕE(U0). On a ϕ−1E (a, b) = (x, b) avec fA(x, b) = a et donc f ◦ ϕ−1E (a, b) =

(i(a), g(a, b)) ou g : ϕE(U0) ⊂ A⊕B → C est une fonction Ck, et

d(f ◦ ϕ−1E )(a,b) =

(i 0

dAg(a,b) dBg(a,b)

).

Comme d(f ◦ ϕ−1E )(a,b) est de rang r, on a dBg(a,b) = 0 et donc g ne depend que de a sur

un voisinage de 0 (on peut supposer que ϕE(U0) = X0 × Y0 avec Y0 connexe).

Soit ψF : i(X0)⊕ C → A′ ⊕ C donne par ψF : (a′, c) 7→ (a′, g ◦ i−1(a′)− c). On a

(dψF )0 =

(IdA′ 0

dAg ◦ i−1 − IdC

),

et donc par le theoreme d’inversion locale, ψF est un diffeomorphisme local de classe Ck

autour de 0. On a alors ψF ◦ f ◦ ϕ−1E (a, b) = ψF (i(a), g(a)) = (i(a), 0) = df0(a, b).

Si u ∈ L(E,F ), alors u est injective si et seulement s’il existe v ∈ L(F,E) telle que

vu = IdE, et u est surjective si et seulement s’il existe v ∈ L(F,E) telle que uv = IdF .

Par ailleurs, l’ensemble des applications injectives et l’ensemble des applications sur-

jectives sont deux ouverts de L(E,F ).

Corollaire 5.2.2. — Soit f : U → F de classe Ck et p ∈ U .

1. (submersions) si dfp est surjective, alors il existe un voisinage V ⊂ U de p dans E

et un Ck-diffeomorphisme g : V → E tel que f ◦ g(x) = f(p) + dfp(x− p) si x ∈ V ;

2. (immersions) si dfp est injective, alors il existe un voisinage V de f(p) dans F et

un Ck-diffeomorphisme g : V → F tels que g ◦ f(x) = f(p) + dfp(x− p).

Demonstration. — Si dfp est surjective, alors dfx est surjective dans un voisinage de p et le

theoreme du rang constant implique que l’on peut ecrire ψF ◦f◦ϕ−1E (x) = f(p)+dfp(x−p).De plus, dans les notations de la demonstration du theoreme, on a C = 0 et donc ψF = Id

ce qui fait que f ◦ g(x) = f(p) + dfp(x− p) avec g = ϕ−1E .

Le cas des immersions demande de reprendre la demonstration du theoreme du rang

constant, mais ne pose pas de probleme particulier.

5.3. SOUS-VARIETES DE Rn 47

5.3. Sous-varietes de Rn

Une sous-variete Ck de E est une partie M de E telle que pour tout p ∈ M , il existe

un voisinage U de p dans E et un diffeomorphisme ϕp : U → E de classe Ck tel que

ϕp(U ∩M) est un ouvert d’un sous-espace vectoriel F de E. Quitte a remplacer U par

un voisinage plus petit, on peut alors supposer que ϕp(U ∩M) = ϕp(U) ∩ F .

La dimension de M en p est alors la dimension de l’espace F ci-dessus. Cette dimension

est localement constante sur M .

Theoreme 5.3.1. — Si M ⊂ E, alors M est une sous-variete Ck de E si et seulement

si pour tout p ∈ M , il existe un voisinage U de p dans E, un evn G, et une submersion

f : U → G de classe Ck telle que U ∩M = f−1(0).

Demonstration. — Si M est une sous-variete Ck de E, et p, U , ϕp et F sont tels que

ϕp(U ∩M) = ϕp(U) ∩ F , alors il suffit de prendre f = π ◦ ϕp ou π est un projecteur de

noyau F et d’image G.

Si l’on a une submersion f : U → G, alors par le corollaire 5.2.2, il existe un diffeo-

morphisme g d’un voisinage V de p dans U tel que f ◦ g(x) = dfp(x − p). On a donc

f(x) = 0 si et seulement si g−1(x) ∈ p + ker dfp et donc ϕp(g(V ) ∩M) est un ouvert de

ker dfp si ϕp(x) = g−1(x)− p.

En d’autres termes, les sous-varietes de E sont les zeros de systemes non degeneres

d’equations. On montre de meme que M est une sous-variete Ck de E si et seulement si

M est localement en tout point l’image d’une immersion a valeurs dans E.

Exemple 5.3.2. — 1. Un ouvert de E, ou un sous-espace affine de E, est une sous-

variete C∞ de E. Si E = A⊕B et si f : A→ B est une fonction Ck, alors le graphe

de f est une sous-variete Ck de E, de dimension dimA.

2. La sphere Sn−1 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn tels que x21 + · · ·+x2n = 1} est une sous-variete

C∞ de Rn de dimension n−1. Le groupe orthogonal O(n,R) = {M ∈Mn(R) telles

que tMM = Id} est une sous-variete C∞ de Mn(R) de dimension n(n− 1)/2.

3. Enfin, M = {(x, y) ∈ R2 tels que xy = 0} n’est pas une sous-variete de R2, car

aucun voisinage de (0, 0) dans M n’est homeomorphe a un ouvert d’un evn.

Theoreme 5.3.3. — Si f : U → F est une fonction Ck et si le rang de dfx est constant

au voisinage de tout x ∈ f−1(0), alors M = f−1(0) est une sous-variete Ck de E.

Demonstration. — Si p ∈M , alors dans un voisinage V de p on peut ecrire f = ψ−1F ◦(x 7→f(p) + dfp(x− p)) ◦ ϕE par le theoreme du rang constant et ϕp(V ∩ f−1(0)) est alors un

ouvert de ker dfp si ϕp(x) = ϕE(x)− p.


Si M est une sous-variete de E et si p ∈ M , alors l’espace tangent a M en p est le

sous-espace vectoriel TpM de E donne par d(ϕ−1p )ϕp(p)(F ) si ϕp(M ∩U) est un ouvert de

F . Cette definition ne depend pas des choix de ϕp et de F . Notons que le “veritable”

espace affine qui est tangent a M en p est plutot p+ TpM .

Proposition 5.3.4. — Si M est localement donnee par une equation f = 0 avec f :

U → G de rang constant, alors TpM = ker dfp.

Demonstration. — Le theoreme du rang constant montre que l’on peut ecrire f = ψ−1G ◦dfp◦ϕp avec ϕp(x) = ϕE(x)−p. Il existe alors un voisinage V de p tel que ϕp(f

−1(0)∩V ) est

un ouvert de ker dfp et donc TpM = d(ϕp)−1ϕp(p)

(ker dfp). En differentiant f = ψ−1G ◦dfp ◦ϕpon trouve dfp = d(ψ−1G )0◦dfp◦d(ϕp)p ce qui implique que d(ϕp)

−1ϕp(p)

(ker dfp) = ker dfp.

Theoreme 5.3.5. — Soit M une sous-variete de E, U un voisinage de M et α : U → R

une fonction C1. Si p ∈M est un extremum local de α|M , alors dαp est nulle sur TpM .

Demonstration. — Soit V un voisinage de p et ϕp : V → E un diffeomorphisme tel que

ϕp(V ∩M) = ϕp(V )∩F . La fonction α ◦ϕ−1p est definie sur l’ouvert ϕp(V )∩F de F et y

admet un extremum local en ϕp(p). On en deduit que d(α ◦ ϕ−1p )ϕp(p) = 0 sur F et donc

que dαp est nulle sur d(ϕ−1p )ϕp(p)(F ) = TpM .

CHAPITRE 6

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

6.1. Equations differentielles lineaires

Une equation differentielle lineaire est une equation de la forme x′(t) = A(t)x(t) ou

A : I → Mn(R) est continue sur un intervalle ouvert I de R, et ou on cherche une solution

x : I → Rn de classe C1 verifiant la condition initiale x(t0) = x0 ou t0 ∈ I. Les equations

differentielles du type y(n) + an−1(t)y(n−1) + · · ·+ a1(t)y

′ + a0(t)y = 0 se ramenent au cas

precedent en posant x = t(y, y′, · · · , y(n−1)).Une resolvante est une fonction R : I → Mn(R) de classe C1 telle que R(t0) = Id et

R′(t) = A(t)R(t). S’il existe une resolvante et si x(t0) ∈ Rn, alors x(t) = R(t)x(t0) est

une solution de l’equation x′(t) = A(t)x(t) verifiant la condition initiale x(t0) = x0.

Theoreme 6.1.1. — Si I est un intervalle ouvert de R et t0 ∈ I et si A : I → Mn(R)

est continue, alors il existe une et une seule resolvante R : I → Mn(R) de classe C1 telle

que R(t0) = Id et R′(t) = A(t)R(t).

Demonstration. — L’equation est equivalente a demander que R est continue et verifie

R(t) = Id +∫ tt0A(s)R(s)ds. On definit une suite de fonctions Rm : I → Mn(R) par

R0(t) = Id et Rm+1(t) = Id +∫ tt0A(s)Rm(s)ds. Soit J un intervalle compact de I, et

‖ ·‖J la norme definie par ‖M‖J = sups∈J |||M(s)|||. On pose Sm(t) = Rm+1(t)−Rm(t), de

sorte que Sm+1(t) =∫ tt0A(s)Sm(s)ds. Ceci implique que |||S1(t)||| ≤ ‖A‖J · ‖S0‖J · |t− t0|,

puis que

|||S2(t)||| ≤∣∣∣∣∫ t

t0

|||A(s)||| · ‖A‖J · ‖S0‖J · |s− t0| ds∣∣∣∣ ≤ ‖A‖2J · |t− t0|22!

· ‖S0‖J ,

et par recurrence que

|||Sm(t)||| ≤ ‖A‖mJ · |t− t0|m

m!· ‖S0‖J .

La suite {Rn}n≥1 est donc une suite de Cauchy pour la norme ‖ · ‖J , et converge donc

vers une fonction R : J → Mn(R) qui satisfait l’equation R(t) = Id +∫ tt0A(s)R(s)ds.

50 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Si R1 et R2 sont deux solutions de cette equation, alors on pose U(t) = R1(t)− R2(t)

de sorte que U(t) =∫ tt0A(s)U(s)ds et les calculs ci-dessus impliquent que ‖U‖J = 0 et

donc que R1 = R2. En ecrivant I comme reunion croissante de sous-intervalles compacts,

on termine la demonstration du theoreme.

Remarque 6.1.2. — En dimension 1, la resolvante associee a a(t) est donnee par R(t) =

exp∫ tt0a(s) ds. On ne peut pas generaliser cette formule en dimension plus grande, car

les {A(s)}s∈I ne commutent pas necessairement entre eux.

Si u ∈ I, notons Ru la resolvante telle que Ru(u) = Id.

Lemme 6.1.3. — Si t, u, w ∈ I, alors Ru(t) = Rw(t)Ru(w).

Demonstration. — Fixons u et w et posons S(t) = Ru(t)−Rw(t)Ru(w). On a S(w) = 0

et S ′(t) = A(t)S(t) ce qui fait que S(t) = 0 pour tout t. Ceci implique le lemme.

En posant t = u, on trouve que Ru(w) est inversible quels que soient u,w ∈ I.

Nous pouvons a present montrer l’existence et l’unicite de solutions a une equation

differentielle lineaire non homogene x′(t) = A(t)x(t) + b(t) avec x(t0) = x0 fixe. Soit Rt0

la resolvante associee a A(t) et posons x(t) = Rt0(t)y(t). L’equation se traduit alors en

y′(t) = Rt0(t)−1b(t) et donc sa solution est donnee par

x(t) = Rt0(t) ·(∫ t

t0

Rt0(s)−1b(s) ds+ x0

).

Voici quelques resultats concernant la perturbation d’equations differentielles lineaires.

Lemme 6.1.4 (de Gronwall). — Soit I = [t0; t0 + T ], C > 0 et u, v : I → R≥0 deux

fonctions. Si u(t) ≤ C +∫ tt0uv pour tout t ∈ I, alors u(t) ≤ C exp

∫ tt0v pour tout t ∈ I.

Demonstration. — Si w(t) = C +∫ tt0uv, alors d/dt(w(t) exp(−

∫ tt0v)) ≤ 0, et donc

w(t) exp(−∫ tt0v) ≤ w(t0) = C.

Si A = 0, alors les solutions de l’equation x′(t) = A(t)x(t) sont constantes. Le theoreme

ci-dessous decrit ce qui se passe si l’on perturbe legerement cette situation.

Theoreme 6.1.5. — Si A : I → Mn(R) est telle que∫∞t0|||A(s)||| ds converge, alors la

resolvante associee a A admet une limite quand t→ +∞.

Demonstration. — Comme R(t) = Id +∫ tt0A(s)R(s) ds, on a

|||R(t)||| ≤ 1 +

∫ t

t0

|||A(s)||| · |||R(s)||| ds,

et le lemme de Gronwall donne |||R(t)||| ≤ exp∫ tt0|||A(s)||| ds ≤ K si K = exp

∫∞t0|||A(s)||| ds.

6.2. EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON LINEAIRES 51

Soit ε > 0 et tε tel que si t1, t2 ≥ tε, alors∫ t2t1|||A(s)||| ds ≤ ε. On a |||R(t2) − R(t1)||| ≤∫ t2

t1K|||A(s)||| ds ≤ Kε et donc R(t) admet une limite quand t→ +∞.

Voici un exemple d’application; rappelons que les solutions de x′′(t) + x(t) = 0 sont

toutes de la forme x(t) = a cos(t) + b sin(t).

Corollaire 6.1.6. — Si q : [0; +∞[→ R est telle que∫∞0|q| converge, alors les solutions

de x′′(t)+x(t)(1+ q(t)) = 0 sont de la forme x(t) = a cos(t)+ b sin(t)+α(t) ou α(t)→ 0.

Demonstration. — Posons y = ( xx′ ) de sorte que l’on a y′(t) = (D+Q)y avec D = ( 0 1

−1 0 )

et Q =(

0 0−q 0

), et soit z(t) = exp(−tD)y(t). On a z′(t) = exp(−tD)Q exp(tD) · z(t) et

le theoreme 6.1.5 applique a A(t) = exp(−tD)Q exp(tD) implique que z(t) admet une

limite quand t→∞, ce qui montre le corollaire.

Terminons par un resultat concernant le cas ou A : R→ Mn(R) est periodique.

Theoreme 6.1.7 (de Floquet). — Si A : R→ Mn(R) est periodique de periode λ >

0, alors il existe une fonction P : R → Mn(R) periodique de periode λ et une matrice

F ∈ Mn(C) telles que R0(t) = P (t) exp(tF ).

Demonstration. — La matrice S(t) = R(t + λ)R(λ)−1 verifie S(0) = Id et S ′(t) =

A(t)S(t) ce qui fait que S(t) = R(t) et donc R(t+λ) = R(t)R(λ). Comme l’exponentielle

exp : Mn(C) → GLn(C) est surjective, il existe F ∈ Mn(C) telle que R(λ) = exp(λF ).

Un petit calcul montre alors que t 7→ R(t) exp(−tF ) est periodique de periode λ.

6.2. Equations differentielles non lineaires

Soit E un evn de dimension finie, U un ouvert de E, I un intervalle ouvert de R et

f : I × U → E une fonction continue. On s’interesse aux equations differentielles non

lineaires de la forme x′(t) = f(t, x(t)), la solution recherchee etant x : I → U . Dans le

cas particulier ou f(t, x) = A(t) · x, on retrouve les equations differentielles lineaires.

Soit (t0, x0) ∈ I × U ; une solution locale de l’equation differentielle, ayant (t0, x0)

pour conditions initiales, est (J, x) ou J ⊂ I est un intervalle ouvert qui contient t0 et

x : J → U est une fonction de classe C1 telle que x(t0) = x0 et x′(t) = f(t, x(t)).

Nous allons voir qu’une telle solution locale existe toujours.

Remarque 6.2.1. — Contrairement au cas lineaire, on ne peut pas forcement prendre

I = J , et on n’a pas necessairement unicite de la solution.

1. L’equation x′ = x2, avec comme condition initiale x(0) = 1, admet pour solution

x′(t) = 1/(1− t) qui n’est definie que sur ]−∞; 1[;

52 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFERENTIELLES

2. L’equation x′ =√|x|, avec comme condition initiale x(0) = 0, admet pour solution

la fonction xc definie par xc(t) = 0 pour t ≤ c et xc(t) = (t− c)2/4 pour t ≥ c, ceci

quel que soit c ≥ 0.

On dit que f est Lipschitzienne par rapport a la deuxieme variable s’il existe K ≥ 0

tel que pour tout t ∈ I et x1, x2 ∈ U , on a ‖f(t, x1)− f(t, x2)‖ ≤ K‖x1 − x2‖. C’est par

exemple le cas si f est de classe C1.

Theoreme 6.2.2 (de Cauchy-Lipschitz, cas local). — Si f est Lipschitzienne par

rapport a la deuxieme variable, et si (t0, x0) ∈ I × U , alors il existe une solution locale

(J, x) de l’equation x′(t) = f(t, x(t)) ayant (t0, x0) ∈ I × U comme condition initiale.

Si (J1, x1) et (J2, x2) sont deux telles solutions locales, alors x1 = x2 sur J1 ∩ J2.

Demonstration. — Choisissons r, h, K et M telles que :

1. B(x0, r) ⊂ U ;

2. [t0 − h; t0 + h] ⊂ I;

3. f est K-Lipschitz par rapport a la deuxieme variable sur [t0 − h; t0 + h]×B(x0, r);

4. f est bornee par M sur [t0 − h; t0 + h]×B(x0, r);

5. h < min(1/K, r/M).

Soit F l’espace des fonctions continues x : [t0−h; t0+h]→ B(x0, r) telles que x(t0) = x0,

muni de la distance d(x, y) = supt∈[t0−h;t0+h] ‖x(t)− y(t)‖. Si x ∈ F , soit Tx : [t0−h; t0 +

h]→ E la fonction definie par Tx(t) = x0 +∫ tt0f(s, x(s)) ds.

On a ‖Tx(t)− x0‖ ≤ ‖∫ tt0f(s, x(s)) ds‖ ≤ hM < r et donc Tx ∈ F . Par ailleurs,

‖Tx(t)− Ty(t)‖ ≤∫ t

t0

‖f(s, x(s))− f(s, y(s))‖ ds ≤ hK · d(x, y),

et donc T : F → F est une application contractante. Comme F est un espace complet, le

theoreme du point fixe nous dit que T admet un point fixe x, qui satisfait alors l’equation

x(t) = x0 +∫ tt0f(s, x(s)) ds. On en deduit que (J, x) est une solution locale de l’equation,

avec J =]t0 − h; t0 + h[.

Si (J1, x1) et (J2, x2) sont deux solutions locales, alors l’ensemble des t ∈ J1∩J2 tels que

x1(t) = x2(t) est un ferme de J1 ∩ J2 et il suffit de montrer que c’en est aussi un ouvert.

Soit t ∈ J1 ∩ J2 tel que x1(t) = x2(t). La fonction f est Lipschitzienne par rapport a la

deuxieme variable, de constante K. On a (x1 − x2)(s) =∫ stf(r, x1(r))− f(r, x2(r)) dr et

le lemme de Gronwall applique a u(s) = ‖x1(s)− x2(s)‖ avec v(s) = K et C = 0 montre

que u(s) = 0. L’ensemble des t ∈ J1 ∩ J2 tels que x1(t) = x2(t) est donc bien un ouvert

de J1 ∩ J2.

6.2. EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON LINEAIRES 53

Montrons a present l’existence de solutions locales a l’equation differentielle x(t0) = x0

et x′(t) = f(t, x(t)) ou l’on suppose simplement que f est continue (et pas necessairement

Lipschitzienne par rapport a la deuxieme variable).

Lemme 6.2.3. — Si f : [a; b]×B(x, r)→ E est une fonction continue bornee par M et

si ε > 0, alors il existe g : [a; b]×B(x, r)→ E, Lipschitzienne par rapport a la deuxieme

variable et bornee par M , telle que ‖f − g‖ < ε.

Demonstration. — On peut en fait prendre g de classe C1, par exemple en passant en

coordonnees et en utilisant le theoreme de Stone-Weierstrass : les fonctions g : [a; b] ×B(x, r) → R de classe C1 separent les points et sont donc denses dans l’espace des

fonctions continues. Si ‖f −g‖ < ε/2, alors g est bornee par M + ε/2 et il suffit d’ajuster

g pour que ‖g‖ ≤M et ‖f − g‖ ≤ ε.

Theoreme 6.2.4 (de Peano). — Si f est continue, et si (t0, x0) ∈ I × U , alors il

existe une solution locale (J, x) de l’equation x′(t) = f(t, x(t)), ayant (t0, x0) ∈ I × U

comme condition initiale.

Demonstration. — Supposons tout d’abord que f est K-Lipschitzienne par rapport a la

deuxieme variable. Nous reprenons la demonstration du theoreme de Cauchy-Lipschitz

en la modifiant pour enlever la dependance en K. Fixons r et M tels que B(x0, r) ⊂ U

et f est bornee par M sur I ×B(x0, r) (quitte a retrecir I) et [t0 − r/M ; t0 + r/M ] ⊂ I,

et posons h = r/M . On definit F et T comme avant; le fait que hM ≤ r implique que

T (F ) ⊂ F . L’operateur T n’est plus necessairement contractant, mais on a (comme dans

la preuve du theoreme 6.1.1)

‖T nx(t)− T ny(t)‖ ≤ (hK)n

n!· d(x, y),

et il existe donc n � 0 tel que T n est contractant, et admet alors un unique point fixe

x ∈ F . Comme T n(Tx) = Tx, on a Tx = x par unicite. Ceci montre que l’on peut

trouver une solution locale a l’equation differentielle, sur un intervalle dont la longueur

2r/M ne depend pas de la constante de Lipschitz de f .

Passons a present au cas d’une fonction continue. Pour tout n ≥ 1, soit fn : I×U → E

une fonction Lipschitzienne par rapport a la deuxieme variable, bornee par M , et telle

que ‖fn − f‖ < 1/n. Soit xn ∈ F une solution locale de x′n(t) = fn(t, xn(t)) telle que

xn(t0) = x0. On a xn(t) = x0 +∫ tt0fn(s, xn(s)) ds et donc xn est Lipschitzienne de

constante M . L’ensemble des fonctions de F qui sont Lipschitziennes de constante M est

compact par le theoreme d’Ascoli, et il existe donc x ∈ F qui est une valeur d’adherence

de la suite {xn}n≥1. Cette fonction x est alors une solution de l’equation differentielle,

puisqu’elle satisfait x(t) = x0 +∫ tt0f(s, x(s)) ds par passage a la limite.

APPENDICE A

APPENDICE : ENSEMBLES

A.1. Denombrabilite

Si E est un ensemble, alors E est fini s’il est en bijection avec ∅ ou {1, 2, . . . , n} pour un

entier n ≥ 1. Le cardinal de E est alors 0 ou n respectivement. Si E est infini, alors on dit

que E est denombrable s’il est en bijection avec Z≥1 = {1, 2, . . .}, c’est-a-dire si l’on peut

ecrire E = {e1, e2, . . .}. Par exemple, Z est denombrable, via la fonction f : Z → Z≥1

donnee par f(0) = 1, f(n) = 2n et f(−n) = 2n+1 pour n ≥ 1. Cette definition n’est pas

vide, car il existe des ensembles infinis qui ne sont pas denombrables, comme le montre

le resultat suivant (ici P(E) denote l’ensemble des parties de E).

Theoreme A.1.1 (Cantor). — Si E est un ensemble, alors il n’existe pas de fonction

surjective f : E → P(E).

Demonstration. — Soit A l’ensemble des x ∈ E tels que x /∈ f(x). Comme f est surjec-

tive, il existe a ∈ A tel que f(a) = A. Si a ∈ A, alors a /∈ f(a) = A et si a /∈ A, alors

a ∈ f(a) = A. Dans les deux cas, on a une contradiction.

Comme corollaire, on trouve par exemple que P(Z≥1) n’est pas denombrable. On peut

montrer que R est en bijection avec P(Z≥1) et n’est donc pas non plus denombrable.

Voici quelques exemples de resultats de denombrabilite.

1. Si E est denombrable, et si F ⊂ E, alors F est fini ou denombrable;

2. Si E et F sont finis ou denombrables, alors il en est de meme pour E × F ;

3. Si E est denombrable, et si f : E → F est surjective, alors F est fini ou denombrable;

4. Si E est un ensemble, et si Ei ⊂ E en est une partie denombrable pour i = 1, 2, . . .,

alors ∪i≥1Ei est denombrable.

Si E et F sont deux ensembles, on dit qu’ils ont meme cardinal s’il existe une bijection

entre E et F . Le cardinal de Z≥1 est note ℵ0 et le cardinal de P(Z≥1) est note ℵ1.

56 APPENDICE A. APPENDICE : ENSEMBLES

A.2. L’axiome du choix

L’axiome du choix dit que si I est un ensemble et si {Ei}i∈I est une collection d’ensem-

bles non vides, alors le produit∏

i∈I Ei est non-vide, c’est-a-dire que l’on peut choisir une

suite (indexee par I) {xi}i∈I telle que xi ∈ Ei. Cela a l’air evident, mais c’est un axiome,

c’est-a-dire que c’est une proposition logiquement independante des autres axiomes de la

theorie des ensembles, comme le postulat d’Euclide est un axiome de la geometrie.

On ne peut donc qu’accepter ou refuser l’axiome du choix. De nos jours, la plupart

des mathematiciens choisissent de l’accepter, ne serait-ce que parce que c’est un outil

puissant qui permet de montrer facilement l’existence de certains objets. En pratique,

on peut souvent s’en passer.

Plutot que l’axiome du choix, on utilise generalement un enonce qui en resulte, le lemme

de Zorn. Soit E un ensemble ordonne, c’est-a-dire un ensemble muni d’une relation ≤telle que :

1. x ≤ x pour tout x;

2. si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z;

3. si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y.

On ne demande pas de pouvoir comparer tous les elements de E. On dit qu’une partie

P de E est totalement ordonnee si pour tous x, y ∈ P on a x ≤ y ou y ≤ x. Si P est

une partie de E, alors un majorant de P est un element y ∈ E tel que p ≤ y pour tout

p ∈ P . On dit que l’ensemble ordonne E est inductif si toute partie non vide totalement

ordonnee admet un majorant. Enfin, un element maximal m de E est un element de E

tel que si x ∈ E verifie x ≥ m, alors x = m.

Le lemme de Zorn est l’enonce suivant : tout ensemble ordonne inductif non vide

admet un element maximal. L’axiome du choix implique le lemme de Zorn mais la

demonstration n’est pas tres eclairante (elle se trouve par exemple dans le livre de Lang).

Grace au lemme de Zorn, on peut montrer de nombreux resultats d’existence d’objets

tres generaux. En voici quelques exemples.

Proposition. — Tout espace vectoriel V admet une base.

Demonstration. — Soit E l’ensemble des familles libres d’elements de V , ordonne par

l’inclusion. C’est un ensemble ordonne inductif : si {Fi}i∈I est un ensemble totalement

ordonne de familles libres de E, alors ∪i∈IFi est libre et est donc un majorant des Fi.

Il existe donc une famille F maximale pour l’inclusion. Soit W le sous-espace de V

engendre par F . Si W 6= V , alors on pourrait rajouter a F un element de V \W ce qui

contredirait la maximalite de F .

A.2. L’AXIOME DU CHOIX 57

Proposition. — Si A et B sont deux ensembles, alors soit il existe une injection de A

dans B, soit il existe une injection de B dans A.

Demonstration. — Considerons les triplets (X, Y, f), ou X est un sous-ensemble de A,

Y est un sous-ensemble de B, et f : X → Y est une bijection. On dit que (X1, Y1, f1) ≤(X2, Y2, f2) si X1 ⊂ X2 et Y1 ⊂ Y2 et f2 |X1= f1. L’ensemble des triplets, muni de cet

ordre, est ordonne inductif : si {(Xi, Yi, fi)}i∈I est un ensemble totalement ordonne de

triplets, alors on pose X = ∪i∈IXi et Y = ∪i∈IYi, avec la fonction f evidente. Le triplet

(X, Y, f) est un majorant des {(Xi, Yi, fi)}.Il existe donc un triplet (X, Y, f) maximal pour l’inclusion, et on verifie que dans ce

cas, soit X = A et A s’injecte dans B, soit Y = B et alors B s’injecte dans A via f−1.

Proposition. — Tout anneau A admet un ideal maximal.

Demonstration. — Soit E l’ensemble des ideaux de A distincts de A. C’est un ensemble

ordonne par la relation I ≤ J si et seulement si I ⊂ J . Si P est une partie totalement

ordonnee de E, alors ∪I∈P I est un ideal de A qui contient tous les ideaux de P , qui est

distinct de A (1 n’appartient a aucun des ideaux I ∈ P et donc a leur union non plus) et

qui est donc un majorant de P . L’ensemble des ideaux de A distincts de A est donc un

ensemble ordonne inductif, et par le lemme de Zorn, il admet un element maximal qui

est alors un ideal maximal de A.

INDEX

adherence, 10algebre de fonctions, 22axiome du choix, 56base

d’ouverts, 14de Hilbert, 31

bouleouverte, 9

completion, 13composante connexe, 11convergence faible, 30C1-diffeomorphisme, 43dense, 10derivee

partielle, 37seconde, 39

differentielle, 36dimension, 47discret, 10distance, 9ensemble

denombrable, 55de Cantor, 20

equation differentiellelineaire, 49non lineaire, 51

equicontinue, 21espace

compact, 17complet, 12connexe, 11connexe par arcs, 12de Banach, 13de Hilbert, 30dual, 29localement connexe par arcs, 12metrique, 9reflexif, 29

separe, 14separable, 10tangent, 48topologique, 14topologiquement complet, 25totalement deconnecte, 12

extraction, 9extremum local, 36ferme, 9fonction

continue, 10de classe C1, 36de classe Cn, 40differentiable, 36en escaliers, 35reglee, 35uniformement continue, 10

formulede Taylor, 40

frontiere, 10gradient, 36homeomorphisme, 11immersion, 46integrale

a parametres, 38des fonctions reglees, 35

interieur, 10isometrie, 11lemme

de Gronwall, 50de Hadamard, 41de Zorn, 56

limite, 9loi du parallelogramme, 30matrice

Hessienne, 40Jacobienne, 38

maximum local, 36

60 INDEX

nombre de Lebesgue, 19normes

equivalentes, 18ouvert, 9partie

fermee, 14ouverte, 14

pointd’accumulation, 9isole, 10

propriete de l’intersection finie, 19recouvrement ouvert, 19resolvante, 49separer les points, 22sous-recouvrement, 19sous-variete, 47subdivision, 35submersion, 46suite

convergente, 9de Cauchy, 12equisommable, 21

theoremed’Ascoli, 21d’inversion locale, 43de Baire, 25de Banach-Steinhaus, 26

de Borel-Lebesgue, 19de Cantor, 55de Cauchy-Lipschitz, 52de Floquet, 51de Hahn-Banach, 28de Heine, 18de l’application ouverte, 27de Peano, 53de Poincare, 18de Riesz, 19de Schwarz, 39de Stone, 22de Tychonoff, 23de Weierstrass, 22des fonctions implicites, 45du graphe ferme, 27du rang constant, 45

topologie, 9, 14de Zariski, 14discrete, 10engendree, 15initiale, 15metrisable, 14produit, 15

valeur d’adherence, 9voisinage, 12

BIBLIOGRAPHIE

[Dem89] M. Demazure – “Catastrophes et bifurcations”

[Lan93] S. Lang – “Real and functional analysis”

[GT96] S. Gonnord & N. Tosel – “Topologie et analyse fonctionnelle”

[GT98] S. Gonnord & N. Tosel – “Calcul differentiel”

[Rud87] W. Rudin – “Real and complex analysis”

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