12pt

Transformée de Laplace

I- Dé�nitions et Propriétés :Dé�nition I - 1 : Soit F une fonction dé�nie sur R�+

On appelle la transformée de Laplace de F , et on note L(F (t)) la fonction f(s) dé�niepar :

L(F )(s) = f(s) =

Z 1

0

e�stF (t)dt:

Remarque : La transformée de Laplace de F existe si et seulement si :R10e�stF (t)dt

converge.

Dé�nition I-2 : On dit que F est une fonction d�ordre exponentiel sur[A;1[ si etseulement si :

9M > 0; 8t > A: jF (t)j < M e t:

Exemple :� f(t) = tP est d�ordre exponentiel 1 sur [2;1[� f(t) = e

pt est d�ordre exponentiel 1 sur [1;1[

� f(t) = et2n�est pas d�ordre exponentiel car

���et2� t��� �!t7�!1

1

Théorème I - 1 : Conditions su¢ santes d�existenceSoit F tel que : 8A > 0;8>><>>:

F est continue par morceaux sur [0; A]

F d0ordre exponentiel sur [A;1[

alors,L(F )(s) existe;8 s > :

Preuve : L(F )(s) =R10e�stF (t)dt =

R A0e�stF (t)dt+

R1Ae�stF (t)dt

* F étant continue par morceaux sur [0; A] : on a :R A0e�stF (t)dt existe.

���R1Ae�stF (t)dt

�� � R1Ae�st jF (t)j dt �

R1Ae�st:e tM dt

= MR1Ae( �s)tdt

=M

� s

hlimt7�!1

e( �s)t � e( �s)Ai

= Me( �s)A

s� <M

s� :

- Conclusion L(F )(s) existe bien.

1

Propriété I - 2 : Soit F;G 2 fonctions dont les transformées de Laplace existent. Alorsa) 8a; b L(a F + bG)(s) = aL(F )(s) + bL(G)(s)b) si L(F )(s) = f(s) alors L(eatF )(s) = f(s+ a)c) si L(F )(s) = f(s) alors L(F (at))(s) = 1

af(s

a) pour a > 0:

Preuve : à titre d�exercice.

Propriété I - 3 : Si L(F )(s) = f(s) alors1) L(tnF (t)(s) = (�1)n f (n)(s)2) L(F (t)

t)(s) =

R1sf(x)dx si lim

t7�!0+F (t)

texiste

Preuve :1) Par récurrence :� n = 1

f(s) =R10e�stF (t)dt =) f 0(s) =

R10e�st (�t)F (t)dt = �L(tF (t))(s):

� supposons le résultat vraie pour n et montrons le pour n+ 1:

(�1)n f (n)(s) =R10e�st tnF (t)dt =) (�1)n f (n+1) (s) = �

R10e�sttn+1F (t)dt

=) (�1)n+1 f (n+1) (s) = L(tn+1F (t))(s)

2) L(F (t)t)(s) =

R10e�st

F (t)

tdt:

Pour que cette intégrale converge, il faut que : limt7�!0+

F (t)

texiste.

D�autre part,R1sf(x)dx =

R1s(R10e�xtF (t)dt)dx =

R10F (t) (

R1se�xtdx)dt

=R10F (t)

�e�xt

�t

�1s

=R10

F (t)te�stdt:

Théorème : I - 4 :Soit F; f deux fonctions tel que L(F )(s) = f(s):Soit n 2 N. Si 9 A > 0; tel que :* F; F 0; ::; F (n�1) continues sur [0; A] et d�ordre exponentiel sur [A;1[* F (n) continue par morceaux sur [0; A]

Alors

L(F (n))(s) = snf(s)� sn�1 F (0)� sn�2F 0(0)::::sF (n�2)(0)� F (n�1)(0):

2

Preuve : n = 1 : Montrons que L(F 0)(s) = sf(s)� F (0)

sf(s) = sR10e�stF (t)dt = s

��e�st

�s F (t)�10

+R10

e�st

sF 0(t)dt

�= F (0)� lim

t7�!1e�stF (t) +

R10e�stF 0(t)dt

= F (0)� limt7�!1

e�stF (t) + L(F 0(t))(s)

Or, limt7�!1

e�stF (t) = 0; donc sf(s) = F (0) + L(F 0(t))(s):

n = 2 : Montrons que L(F 00)(s) = s2f(s)� s F (0)� F 0(0)

f(s) =R10e�stF (t)dt =

�e�st

�s F (t)�10

+1

s

R10e�stF 0(t)dt

=F (0)

s+1

s

R10e�stF 0(t)dt:

Donc

sf(s)� F (0) =R10e�stF 0(t)dt =

he�st

�s F0(t)i10+R10

e�st

sF 00(t)dt

=F 0(0)

s+1

sL(F 00(t))(s):

d�où : L(F 00)(s) = s2f(s)� sF (0)� F 0(0):

n! n+ 1 :supposons L(F (n))(s) = snf(s)� sn�1F (0)� sn�2F 0(0)::::� sF (n�2) (0) � F (n+1)(0)

L(F (n+1))(s) =R10e�stF (n+1)(t)dt =

�e�stF (n)(t)

�10+ s

R10e�stF (n)(t)dt

= �F (n)(0) + s L(F (n))(s);

d�où le résultat.

Remarque : Si dans le théorème précèdent , F (i) n�est pas continue en 0, mais limt7�!0+

F (i)(t) =

F (i)(0+) existe , on remplacera : F (i)(0) par F (i)(0+):

Exemple : Montrer que L(sin(wt))(s) = w

s2 + w2; puis en déduire L(cos(wt))(s):

� L(sin(wt))(s) =R10e�st sin(wt)dt = Im(

R10e�st+iwtdt)

or,

3

R10e(�st+iw)tdt =

1

�s+ iw

hlimt7�!1

e(�st+iw)t � 1i=

1

s� iw

=s+ iw

s2 + w2

Ainsi L(sin(wt))(s) = Im( s+ iws2 + w2

) =w

s2 + w2:

* Posons F (t) = sin(wt): On a :

L(F 0)(s) = L(w cos(wt))(s) = sf(s)� F (0) = sw

s2 + w2� 0 = s2w

s2 + w2:

Donc L(cos(wt))(s) = s

s2 + w2:

Théorème I - 5 :Soit F une fonction d�ordre exponentiel et soit f(s) = L(F )(s):Alors :

L(H(t� t0):F (t� t0))(s) = e�st0f(s)

où H est la fonction de Heaviside.

Preuve :L(H(t� t0) F (t� t0))(s) =

R10H(t� t0)F (t� t0)e�stdt =

R1t0F (t� t0)e�stdt

=R1t0F (t� t0)e�st(t�t0)e�st0dt

= e�st0R1t0F (t� t0)e�st(t�t0)dt

= e�st0R10F (t)e�stdt = e�st0f(s)

Application : Soit F la fonction dé�nie par :

F (t) =

�sin t t � 20 t < 2

Calculons L(F )(s):F (t) = H(t� 2) sin t = H(t� 2) sin(t� 2 + 2)

= H(t� 2): (sin(t� 2) cos 2 + cos(t� 2) sin 2)

= cos 2:H(t� 2) sin(t� 2) + sin 2:H(t� 2) cos(t� 2)Donc,

f(s) = L(F )(s) = cos 2:L(H(t� 2) sin(t� 2)) + sin 2:L(H(t� 2) cos(t� 2)):Soit g(s) = L(sin t)(s) et Soit h(s) = L(cos t)(s):

4

Donc

L(H(t� 2) sin(t� 2))(s) = e�2sg(s); L(H(t� 2) cos(t� 2))(s) = e�2sh(s)Or

g(s) =1

s2 + 1; h(s) =

s

s2 + 1:

Donc

L(g)(s) = cos 2: e�2s

s2 + 1+ sin 2:

s:e�2s

s2 + 1:

Théorème I - 6 : Comportement asymptotique.Soit f(s) = L(F )(s)

1) Si F continue par morceaux et d�ordre exponentiel alors lims,!1

f(s) = 0

2) Si F 0 continue par morceaux et d�ordre exponentiel, alorsi) lim

t,!0F (t) = lim

s,!1sf(s)

ii) limt,!1

F (t) = lims,!0

sf(s)

Preuve :1) f(s) =

R10e�stF (t)dt =

R A0e�stF (t)dt+

R1Ae�stF (t)dt

F étant continue par morceaux, donc maxt2[0;A]

(F (t)) =M existe.

Donc,����Z A

0

e�stF (t)dt

���� � Z A

0

e�st jF (t)j dt =MZ A

0

e�stdt =M

s

�e�st

�0A=M

s(1� e�sA) �! 0

s 7�!1

D�autre part, F est d�ordre exponentiel donc����Z 1

A

e�stF (t)dt

���� �M 0Z 1

A

e(�s+ )tdt =M 0

�s+ �e(�s+ )t

�1A�! 0s 7�!1

En conclusion : f(s) =R10e�stF (t)dt �! 0

s 7�!1:

2) L(F 0)(s) = sf(s)� F (0+)d�après le théorème I-4. Donc,

sf(s)� L(F 0)(s) = F (0+)i)

jL(F 0)(s)j =��R10e�stF 0(t)dt

�� ����R A0 e�stF 0(t)dt���+ ��R1A e�stF 0(t)dt

��� M

R A0e�stdt+M 0 R1

Ae�stdt

= Ms(1� e�sA) + M 0

se�sA �! 0

s 7�!1

5

d�où lims,!1

sf(s) = F (0+) = limt,!0

F (t):

ii) On a : L(F 0)(s) = sf(s)� F (0+): Orlims,!0

L(F 0)(s) = lims,!0

R10e�stF 0(t)dt = lim

s,!0limA,!1

R A0e�stF 0(t)dt

= limA,!1

�lims,!0

R A0e�stF 0(t)dt

�orR A0e�stF 0(t)dt = [e�stF (t)]

A0 + s

R A0e�stF (t)dt

= e�sAF (A)� F (0+) + sR A0e�stF (t)dt:

Or���R A0 e�stF (t)dt��� �M R A

0e�st =

M

s(1� e�sA)):

Ainsilims,!0

R A0e�stF 0(t)dt = F (A)� F (0+) + 0 = F (A)� F (0+);

ce qui donne �nalement : limA,!1

�lims,!0

R A0e�stF 0(t)dt

�= lim

A,!1F (A)� F (0+):

Ainsi, lims,!0

L(F 0)(s) = limA,!1

F (A)� F (0+) ce qui donne

lims,!0

sf(s)�F (0+) = limA,!1

F (A)�F (0+) i.e., limA,!1

F (A) = lims,!0

sf(s) ou encore limt,!1

F (t) =

lims,!0

sf(s):

Théorème I - 7 : Soit F continue par morceau et d�ordre exponentiel :

si f(s) = L(F )(s) alors L(R t0F (u)du)(s) =

f(s)

s; 8s > :

Preuve : Soit G(t) =R t0F (u)du: On a :

L(R t0F (u)du)(s) =

R10e�stG(t)dt

=

�e�stG(t)

�s

�10

+1

s

R10e�stG0(t)dt

=�1s

limt,!1

e�stG(t) +f(s)

sor lim

t,!1e�stG(t) = 0 car

jG(t)j �Z t

0

jF (u)j dt � t e t et limt,!1

e�st(t e t) = limt,!1

te( �s)t = 0 pour < s:

Donc, L(R t0F (u)du)(s) =

f(s)

s:

6

II - Transformée de Laplace inverse.Dé�nition II - 1 :Soit F une fonction dont la transformée de Laplace f = L(F ) existe:F est appelé la transformée de Laplace inverse de f et on écrit F = L�1(f):

Remarque :Soit F;G deux fonctions tel que F (t) = G(t) p.p alors f(s) = g(s)Ainsi L�1(f) 6= L�1(g); ce qui signi�e que l�unicité de la transformée inverse n�est pas

assurée.Ainsi : L�1(f) = F+ G où G est une fonction p.p nulle et on a l�unicité de la transformée

inverse si on enlève les fonctions nulles p.p.

Théorème II - 1 : Linéarité.L�opérateur L�1 est linéaire.

Preuve : Montrons que L�1(af + bg) = aL�1(f) + bL�1(g)Soit F = L�1(f); G = L�1(g)On a : af + bg = aL(F ) + b L(G) = L(aF + bG)On appliquant L�1 on trouve : aF + bG = L�1(af + bg):

Théorème II - 2 : Soit F = L�1(f) alors1) L�1(f(s� a))(t) = eatF (t)

2) L�1(e�asf(s))(t) =�F (t� a) t > a

0 t < a

3) L�1(f(as))(t) = 1

aF (t

a); a > 0:

Preuve :1) L(eatF (t))(s) =

R10e�st eatF (t)dt =

R10e�(sa)tF (t)dt = f(s� a):

En appliquant la transformée inverse, on trouve le résultat

2) Soit G(t) =�F (t� a) t > a

0 t < aOn a :L(G)(s) =

R10e�stG(t)dt =

R1ae�stF (t� a)dt

=R10e�s(t+a)F (t) dt = e�sa

R10e�stF (t)dt

= e�saf(s):Ainsi,G(t) = L�1(e�asf(s))(t):3) L(1

aF (t

a))(s) =

R10

1

ae�stF ( t

a)dt:

On poset

a= y: Ainsi,

7

L(1aF (t

a))(s) =

1

a

R10e�sayF (y)ady =

R10e�sayF (y)dy = f(as):

Donc L�1(f(as))(t) = 1

aF (t

a):

Théorème II - 3 : Transformée inverse de dérivés et d�intégrales.si L�1(f) = F; alors

1) L�1(f (n))(t) = (�1)n tnF (t)

2) L�1(R1sf(u)du)(t) =

F (t)

tPreuve :1) L((�1)n tnF (t))(s) =

R10(�1)n tnF (t) e�st dt = f (n)(s); d�où le résultat.

2) L(F (t)t)(s) =

R10e�st

F (t)

tdt =

R1sf(x)dx (voir propriété I - 3).

D�oùF (t)

t= L�1(

R1sf(x)dx)(t):

Théorème II - 4 : Supposons 8i 2 f0; :::; ng F (i) continue par mourceaux et d�ordreexponentiel, et que F (i)(0) = 0: Alors :

L�1(snf(s))(t) = F (n)(t):

Preuve : i = 0 L�1(f)(t) = F (t)i = 1

sf(s) = sR10e�stF (t)dt = s

�e�stF (t)

�s

�10

+R10e�stF 0(t)dt

= F (0) + L(F 0)(s)

= L(F 0)(s) car F (0) = 0:

Donc sf(s) = L(F 0)(s) ou encore L�1(sf(s))(t) = F 0(t):i �! i+ 1

L�1(sif(s))(t) = F (i)(t) =) sif(s) = L(F (i))(s) =Z 1

0

e�stF (i)(t) dt:

Ainsi,

si+1f(s) = sR10e�stF (i)(t) dt = s

�he�st

�s F(i)(t)

i10+ 1

s

R10e�stF (i)(t) dt

�=

R10e�stF (i)(t) dt = L(F (i+1)) (s);

d�où le résultat.

8

Théorème II - 5 : Supposons que F est continue par morceaux et d�ordre exponentiel : Alors

L�1(f(s)s) =

Z t

0

F (u)du:

Preuve : Posons G(t) =R t0F (u)dt

L(R t0F (u)du)(s) = L(G)(s) =

R10e�stG(t) dt =

�e�st

�s G(t)�10

+1

s

R10e�stF (t) dt:

Or, limt!0

e�stG(t) = 0 car G(0) = 0

limt!1

e�stG(t) = 0 car F continue par morceaux et d�ordre exponentiel.

Donc,

L(R t0F (u)du)(s) =

1

sL(F (t))(s) = f(s)

s; ce qui donne,

R t0F (u)du = L�1(f(s)

s)(t):

Dé�nition : Produit de convolution :

(F �G) (t) =Z t

0

F (u)G(t� u)du

Théorème II - 6 :Soit F = L�1(f); G = L�1(g): Alors,

L�1(f � g) = F �G

ou encoreL(F )� L(G) = L(F �G)

Preuve :L(F �G)(s) = L(

R t0F (u)G(t� u)du)(s) =

R10e�st(

R t0F (u)G(t� u)du)dt

=R10

R t0e�stF (u)G(t� u)du dt

=R10(R1ue�stF (u)G(t� u)du) dtR1

0F (u)(

R1ue�stG(t� u)dt) du

=R10F (u)(

R10e�s(u+v)G(v)dv) du

=R10F (u) e�sudu�

R10e�svG(v)dv = f(s)� g(s)

d�où le résultat.

Application : * Calculons L�1( s

(s2 + 1)) sachant que :

L(cos t) = s

s2 + 1; L(sin t) = 1

s2 + 1:

9

Soit f(s) =s

s2 + 1; g(s) =

1

s2 + 1:

L�1( s

(s2 + 1)2)(t) = L�1(f � g)(t) = F (t) �G(t) = cos t � sin t:

(cos � sin)(t) =R t0cos(u) sin(t� u)du =

1

2

R t0(sin(t) + sin(t� 2u)) du

=t sin(t)

2+1

4[cos(t� 2u)]t0

=t sin(t)

2:

Ainsi,

L�1( s

(s2 + 1)2)(t) =

t sin(t)

2:

* Calculons L�1( 1

(s3(s2 + 1)) sachant que :

L(t2) = 2

s3;L(sin t) = 1

s2 + 1:

Soit f(s) =s

s2 + 1; g(s) =

1

s2 + 1:

L�1( 1

s3(s2 + 1))(t) = L�1( 1

s3� 1

s2 + 1)(t) = L�1(f � g)(t) = F (t) �G(t) = t2

2� sin t:

Or,t2 � sin t =

R t0u2 sin(t� u)du = [u2 cos(t� u)]t0 � 2

R t0u cos(t� u)du

= t2 cos(0) + 2 [u sin(t� u)]t0 � 2R t0sin(t� u)du

= t2 � 2 [cos(t� u)]t0 = t2 � 2 + 2 cos t:Ainsi,

L�1( 1

s3(s2 + 1))(t) =

t2

2� sin t = cos t� 1 + t

2

2:

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