All Tla Esprit Cours de Soir

8/18/2019 All Tla Esprit Cours de Soir

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Support de Cours Théorie des Langages et des Automates

Préparé par Moez Hammami

Chapitre I Alphabet et langages .............................................................................................. 3

I.1 Définition: Alphabet ......................................................................................................... 3

I.2 Définition: Mot .................................................................................................................3

I.3 Opérations sur les mots ..................................................................................................... 3

I.4 Définition: Langage. ......................................................................................................... 4

Chapitre II Représentation finie des langages......................................................................... 6

II.1 Définition: Langages formels ........................................................................................6

II.2 Expressions régulières .................................................................................................... 6

II.2.1 Exemples Introductifs .............................................................................................. 6

II.2.2 Définition d'une expression régulière...................................................................... 7

II.3 Langages réguliers ........................................................................................................... 8

II.3.1 Théorème (Langages réguliers) ............................................................................. 8

II.3.2 Propriétés des langages réguliers........................................................................... 8

II.4 Exercices.......................................................................................................................... 9

Chapitre III Automates à états finis...................................................................................... 10III.1 Introduction ................................................................................................................. 10

III.2 Définition d'un automate à l'état fini déterministe ...................................................... 10

III.3 Fonctionnement d'un automate à état fini .................................................................... 12

III.3.1 Définition d'une configuration .............................................................................. 12

III.3.2 Définition d'un langage connu par un automate.................................................... 13

III.4 Représentation graphique d'un automate à états fini .................................................... 14

III.5 Exemples de DFA ........................................................................................................ 14

III.6 Automate à état fini complet ....................................................................................... 16

III.7 Automates finis non déterministes (NFA) ................................................................... 17

III.8 Algorithmes de conversion........................................................................................... 18

III.8.1 Algorithme de déterminisation ou transformation NFADFA ........................... 18

III.8.2 Algorithme de transformation d'une expression régulière en un NFA.................. 20

III.8.3 Automate déterministe minimal ............................................................................ 23

III.9 Simulation d'un Automate à états finis non déterministe ............................................. 27

III.10 Lemme de pompage ................................................................................................... 28Chapitre IV Les langages à contexte libre (Context Free Languages).................................. 30


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IV.1 Introduction par un exemple ........................................................................................ 30

IV.2 Définition d'une Grammaire hors contexte .................................................................. 31

IV.3 Définition d'une Dérivation.......................................................................................... 31

IV.3.1 Dérivation gauche ................................................................................................. 31

IV.3.2 Dérivation droite ................................................................................................... 32

IV.4 Arbre syntaxique (Parse Tree) ..................................................................................... 33

IV.5 Grammaires ambiguës.................................................................................................. 34

IV.6 Exemples de grammaires ............................................................................................. 35

IV.7 Classification de chomsky ........................................................................................... 37

IV.7.1 Grammaires contextuelles « context-sensitive » ou de type 1(CG)...................... 37

IV. 7.2 Grammaires non contextuelles « context-free » ou de type 2 (CFG) ................. 38

IV. 7.3 Grammaires Régulières ou de type3 :RG ........................................................... 38IV.8 Classification des langages formels ............................................................................. 39

IV.9 Transformation d'une grammaire régulière à droites en NFA .................................... 39

IV.10 Transformation d'un DFA en grammaire régulière.................................................... 40

Chapitre V Automates à pile (Push Down Automaton, PDA)................................................. 42

V.1 Introduction ................................................................................................................... 42

V.2 Définition d'un automate à pile ..................................................................................... 43

V.3 Définition d'une transition............................................................................................. 44

V.4 Langages reconnus par un PDA.................................................................................... 44

V.5 Définition: langage reconnu par un automate à pile vide.............................................. 45

V.6 Déterminisme ............................................................................................................... 47

V.7 Transformation d'une grammaire hors contexte en PDA.............................................. 49

V.8 Propriétés de clôture ...................................................................................................... 50

V.11 Clôture des langages hors contexte (intersection et complémentation) ...................... 52

Bibliographie ............................................................................................................................ 52


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Chapitre I Alphabet et langages

I.1 Définition: Alphabet

L'alphabet est un ensemble fini de symboles, noté en général par ∑

Exemple 1: l'alphabet latin ∑={a,b,c………,z}

Exemple 2: l'alphabet binaire ∑={0,1}

Exemple 3: ∑={rouge, noir, 0,1,A}

I.2 Définition: Mot

Un mot ou une chaîne est une séquence de symboles pris de l'alphabet.

Exemple 1: ω

1= voiture,ω

2= voyage sont deux mots définis sur {a,b,c………,z}Exemple 2: ω1=00101 ,ω2=101101 sont deux mots définis sur {0,1}

Exemple 3: ω1=rouge0noir ,ω2=10Arouge sont deux mots définis sur {rouge ,noir, 0,1,A}

La taille d'un mot notée |ω| est le nombre de symboles constituant le mot

Exemple 1: |voiture|=7 en considérant l'alphabet {a,b,c………,z}

Exemple 2: |00101|=5 en considérant l'alphabet {0,1}

Exemple 3: |rouge0noir|=3 en considérant l'alphabet {rouge ,noir, 0,1,A}

la chaîne vide notée ε est une chaîne de taille nulle : | ε | = 0.

Sous chaîne: x est une sous chaîne de ω ssi ∃ y, z (chaînes sur l'alphabet) tq ω = yxz.

Préfixe: x est un préfixe de ω ssi ∃ y tq ω=xy

Suffixe: x est un suffixe de ω ssi ∃ y tq ω=yx

Exemple x=voi est un préfixe de voiture car ∃ y= ture tq ω=voiture

x=ture est un suffixe de voiture car ∃ y=voi tq ω=voiture

Facteur: soient u, v, ω, t des mots définis sur Σ tq ω=uvtsi u=ε alors v est dit facteur gauche de ω (ou préfixe)

si t=ε alors v est dit facteur droit (ou suffixe)

si u=t=ε alors ω=εvε ω est donc un facteur de lui même

I.3 Opérations sur les mots

Concaténation: soient u, v deux mots définis sur Σ, tq u=xx2..xn , v= yy2..yn.


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la chaîne ω concaténation de u et v notée ω=u.v = uv = xx2..xnyy2..yn.

Remarque: la concaténation est non commutative

Propriétés: |ω|=|uv|=|u|+|v|

la concaténation est associative :xyz=(xy)z=x(yz).

ε est l'élément neutre pour la concaténation.

Occurrence d'un symbole dans un mot: c'est le nombre d'apparition du symbole dans lemot.

Exemple:

|abbba|b=3

|abbab|b=3

Image (reverse): ω=aabab ωR

=babaa

Exercice

Montrer par récurrence que (ωu)R=uR.ωR ∀k tq |u|=k

Preuve

Base: k=0, (ωx)R=(ωε)R=ωR= εωR= xR.ωR

Hypothèse: on suppose que (ωx)

R

=x

R

.ωR

∀ 0 Σ*={ε, a, b, ab, ba, aa, bb, aaa, bbb, abb, ...}

Définition: un langage est un ensemble de mots appartenant à Σ* et qui vérifient unepropriété donnée => L={ω ∈ Σ*;ω a la propriété P}

Exemple: Σ={a,b}

L={ω ∈ Σ*, |ω|a=|ω|b}


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L={ ε, ab, ba, aabb, baba, ………..}

l'ensemble des palindromes est défini par

L2={ ω ∈ Σ* , ω=ωR }

L2={ε, aba , bab, a,b,……………………}

Propriétés:

∑* est infinie est dénombrable

L=L1 ∪ L2={ω ∈ Σ* tq ω ∈ L1 ou ω ∈L2}

L=L1 ∩ L2={ω ∈ Σ* tq ω ∈ L1 et ω ∈ L2 }

Concaténation: L=L1·L2=L1L2={ω ∈ Σ* tq ∃ x, y tq ω = xy avec x ∈ L1 et y ∈ L2}

Fermeture de Kleene :

L*={ω ∈ Σ* :ω=ω1ω2……………..ωк pour k≥0 et ω1,ω2,…………,ωк ∈ L}C'est à dire que si L est un langage (ensemble de mots) alors L* désigne l'ensemble de toutesles chaînes de longueur finies formées par concaténation de mots de L, où chaque mot peutêtre utilisé de 0 à n fois, et où la chaîne vide est aussi incluse.

Exemple

L={aa,b}

L*={ε, b, aa,bb,aab,baa,bbb,aaaa,aabb,baab,bbaa,bbbb,aaaab,aabaa,aabbb,baaaa,bbaab,bbbaa,bbbbb,...} Remarque:∅*= {ε} ≠ ∅

∅* est la répétition de 0 ou plusieurs fois de ∅

Exercice:

soit Σ = {0,1}

L = { ω ∈ Σ *: ω contient #0 ≠ #1 }

Montrez que L* = Σ *

L* ⊆ Σ * par définition

on a Σ ⊆ L⇒ Σ* ⊆ L*

1 et 2 ⇒ L* = Σ *


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Chapitre II Représentation finie des langages

II.1 Définition: Langages formels

C'est tout sous ensemble de ∑* dont les mots peuvent être définis de deux façonsconformément à:

Définition par propriété: il s'agit d'une modélisation formelle d'une description naturelled'un langage.

Exemple L1 = {ensemble des mots définis sur {a,b} de longueur paire}

L1 = {ω ∈ {a,b}* / |ω| = 2n avec n ≥ 0}

Définition récursive : Définition dans laquelle, un langage est défini sur lui même.

Exemple: L2 = {ω ∈∑* / ω = a ou ω = aω1 ; ω1∈L2} = {a,aa,..,aaaa,...}

L3= {ω ∈∑* / ω =ε ou ω = ω1ω2 avec |ω1|= 2 et ω∈L3}

L3 ≡ L1

II.2 Expressions régulières

II.2.1 Exemples Introductifs

Considérons le langage suivant:L4 = { ε, x, xx, xxx, xxxx,...}

Jusque là, on présente cet ensemble comme étant la fermeture d'un autre ensemble plus petit,soit S = {x}

alors L4 = S*

On aurait pu écrire d'une façon plus courte

L4 = {x}*

On représente maintenant l'étoile de fermeture de Kleene appliquée non pas à l'ensemble maisdirectement à la lettre x.

La simple expression x* va être utilisée pour indiquer une séquence quelconque qui peut êtrevide de x. x* = ε ou x ou xx ou xxx...

Donc on peut dire que L4 = langage (x*) puisque x* est n'importe quelle chaîne de x alors L4est l'ensemble de toutes les chaînes possibles de x (incluant ε)

Soit maintenant le langage L = { a, ab, abb, abbb, abbbb...}, on peut résumer ce langage enfrançais par " tous les mots de la forme : un a suivi par un nombre quelconque de b".

On peut noter L = langage (ab*). La signification est claire: c'est un langage dans lequel lesmots sont la concaténation d'un a initial avec un nombre quelconque de b (b*). On peut

appliquer l'étoile de Kleene à toute la chaîne ab si on veut, comme suit :(ab)* = ε ou ab ou abab ou ababab...


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Remarque: Les parenthèses ne sont pas des lettres de l'alphabet de ce langage, alors ellespeuvent être utilisées pour indiquer la factorisation sans accidentellement changer les mots.

Le langage défini par l'expression ab*a est l'ensemble de toutes les chaînes de a et de b qui

ont au moins 2 lettres, qui commencent et finissent par a et qui n'ont que des b ou rien àl'intérieur.

Langage (ab*a) = {aa, aba, abba, abbba, abbbba,...}

Remarque: il serait faux de dire que notre langage est l'ensemble de tous les mots quicommencent et qui finissent par a et qui n'ont que des b (ou rien) entre eux, car cettedescription peut être aussi appliquée au mot a. Notre symbolisme élimine cette ambiguïté.

Exemple: Le langage de l'expression a*b* contient toutes les chaînes de a et de b danslesquelles tous les a's viennent avant tous les b's.

Language (a*b*) = {ε, a, b, aa, ab, bb, aaa, aab, abb, bbb,...}

Remarque: Il est à noter que ba et aba n'appartiennent pas à ce langage et on n'a pas besoindu même nombre de a et de b. On observe aussi que a*b* ≠ (ab)*

Puisque le langage à droite contient abab tandisque celui à gauche ne le contient pas.

Exemple: soit le langage T défini sur l'alphabet ∑ = {a,b,c}

T = {a, c, ab, cb, abb, cbb, abbb, cbbb, abbbb, cbbbb...}

tous les mots de T commencent avec un a ou un c ensuite, ils sont suivis par un nombrequelconque eventuellement nulle de b. symboliquement on peut écrire :

T = langage ((a∪c) b*)

= langage (soit a ou c ensuite quelque b)Exemple: soit L l'ensemble qui contient touts les chaînes de a et de b de longueur 3exactement.

L = {aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb}

L = langage ((a ∪ b) (a ∪ b) (a ∪ b)) alors si on veut représenter L', le langage qui contienttoutes les chaînes de a et de b de n'importe quel longueur L = (a ∪ b)*

II.2.2 Définition d'une expression régulière

Une expression régulière sur un alphabet ∑ est une chaîne de caractères sur l'alphabet ∑ ∪{(,),∪,*, ∅, ε} tel que:

toute lettre de ∑ ∪{∅, ε} est une expression régulière

si r1 et r2 sont deux expressions régulières alors

(r1) est une expression régulière

r1r2 est une expression régulière

r1∪r2 est une expression régulière

r1* est une expression régulière

rien d'autre n'est expression régulière


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Exemple: soit ∑={a,b}

L = {ω∈∑*, ω contient la sous chaîne aa}

ω = aa

aaa

...........................................aa......................................

R = (a ∪ b)* aa (a ∪ b)*

Exemple: soit ∑={a,b}

L = {ω∈∑*, ω ne contient pas 3b consécutifs}

R = (a ∪ ba ∪ bba)* (ε ∪ b ∪ bb)

II.3 Langages réguliers

II.3.1 Théorème (Langages réguliers)

Un langage L est dit régulier si et seulement s'il existe une expression régulière qui le génère.

II.3.2 Propriétés des langages réguliers

Etant donné deux langages réguliers L1 et L2

P1) L1 ∪ L2: définit un langage régulier

P2) L1.L2 est un langage régulier

P3) L1* est un langage régulier

P4) _

1 L est un langage régulier

P5) L1 ∩ L2 =_____

__

21 L L est un langage régulier

Définition Deux expressions régulières α et β sont dites équivalentes ssi L(α) = L(β)

Exemple: a ∪∅ = a

a.∅ = ∅

∅* = {ε}

Exemple: Le langage de tous les mots qui ont au moins 2 a's peut être décrit par l'expression

(a∪b)*a(a∪b)*a(a∪b)*

(quelque a et b au début) (le premier a) (quelque a et b au milieu) (le deuxième a ) (quelque a et b à la fin)

une autre expression peut dénoter le même langageb*ab*a(a ∪ b)*

n'importe quelle chaîne dea et de b

n'importe quelle chaîne dea et de b


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On passe par un nombre arbitraire (éventuellement nulle de b) jusqu'à ce qu'on trouve lepremier a, ensuite encore des b's, ensuite le deuxième a, ensuite on termine par une suitequelconque de a et b.

On peut noter: (a∪b)*a(a∪b)*a(a∪b)* = b*ab*a(a ∪ b)*

II.4 Exercices

Exercice 1: Donner les expressions régulières qui génèrent les langages suivants:

L1 = {ωωωω∈∈∈∈{a,b}*, tel que ωωωω contient exactement bbb}

L2 = {ωωωω∈∈∈∈{a,b}*, tel que ωωωω contient la sous chaîne bbb}

L3 = {ωωωω∈∈∈∈{a,b}*, tel que ωωωω contient seulement 3b, le reste c'est des a's}

L4 = {ωωωω∈∈∈∈{a,b}*, tel que ωωωω contient un nombre de a divisible par 3}

L5 = {ωωωω∈∈∈∈{a,b}*, tel que ωωωω contient un nombre paire de a}

L6= {{ωωωω∈∈∈∈{a,b}*, tel que ωωωω ne contient pas 3b Consécultifs}

L6 = {ω∈{a,b}*, tel que ω contient un nombre impaire de b}

L7 = {ω∈{a,b}*, tel que ω contient la sous chaîne aaa ou la sous chaîne bbb mais pas lesdeux en même temps}

avec:


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Chapitre III Automates à états finis

III.1 IntroductionUn reconnaisseur pour un programme est un programme qui prend en entrée une chaîne x etrépond OUI si x est une chaîne du programme et NON dans le cas contraire.On compile uneexpression régulière en un reconnaisseur en construisant un diagramme de transitionsgénéralisé appelé automate fini. Un automate fini peut être déterministe ou non-déterministe(c.à.d. qu'on peut trouver plus d'une transition sortant d'un état sur le même symbole d'entrée).

III.2 Définition d'un automate à l'état fini déterministe

Un automate à état fini déterministe (DFA) est un modèle mathématique M(k,Σ,δ,s,F):

tel que:k: l'ensemble des états de l'automate

Σ: l'alphabet des symboles d'entrée

δ: une fonction de transition qui fait correspondre à des couples état-symbole des états.

s: est un état qui est distingué comme un état de départ ou état initial.

F: un ensemble d'états distingués comme états d'acceptation, ou états finaux.

Remarque:

δ: fonction : K x Σ → K ; (q,a) =p: Transition de q à p en lisant (reconnaissant ) le symbole a.

Exemple 1:

soient Σ={b, θ}

K={q1, q2, q3, q4}

F={q3}

S={q1}

δ : (b) (θ)

q 1 q2 q4

q 2 q3 q2

q 3 q4 q4

q 4 q4 q4

Cet automate peut être représenté comme suit:

q1 q2

q3q4

b

b

θ

b,θb,θ

θ

q1 q2

q3q4

b

b

θ

b,θb,θ

θ


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Remarque:

Un automate à états fini peut être considéré comme un mécanisme de calcul sans mémoire.

Mot connu par un automate:

Formellement, on définit la fonction δ*(e, u) qui nous dit dans quel état on arrive en partant

de l'état e et on analysant la chaîne u.-si u est la chaîne vide δ*(e, ε)=e

-si u commence par le symbole t suivi de la sous-chaîne ω:

δ*=(e, tω)=δ*(δ(e,t),ω)

une chaîne u est acceptée par l'automate M dont l'état initial est q 0 si δ*(q0, u) appartient auxétat finaux de M.

Exemple 2:

Soit l'automate M de l'exemple 1

Est ce que ε est reconnu par l'automate?

δ*(q1, ε)=q1 ∉ F donc ε n'est pas reconnu par M

Est ce que ω1 =bθθb est reconnue par l'automate ?

δ*=(q1,b θ θ b)=δ*(δ(q1, b),θθb)

= δ*( q2,θθb)

= δ*(δ(q2,θ),θb)= δ*(q2,θb)

= δ*(δ(q2,θ), b)

= δ*(q2, b)

= δ*(δ(q2,b), ε)

= δ*(q3,ε)

=q3 ∈ F donc ωı= bθθb est reconnu par M.

Est ce que ω2= θbθb est reconnu par l'automate?

δ*(q1, θbθb)=δ*(δ(q1, θ), bθb)

= δ*( q4, bθb)

= δ*(δ(q4,b),θb)

= δ*(q4,θb)

= δ*(δ(q4,θ), b)

= δ*(q4, b)

=δ* (δ(q4,b),ε)

=δ*(q4,ε)=q4 ∉ F donc ω2=θbθb n'est pas reconnu par M

état initial


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III.3 Fonctionnement d'un automate à état fini

III.3.1 Définition d'une configuration

Une configuration est un triplet(x,q,v) avec x, v ∈ Σ* et q ∈ K où:

x: désigne la sous-chaîne du mot déjà traitée

q: est l'état courant

v: désigne la sous chaîne du mot restante à traiter

Remarque: le mot est xv

Exemple:

δ*=(q1,bθb)=δ*(q2,θb) car δ(q1,b)=q2

(b, q2, θ b )

Remarque: généralement on travaille avec seulement l'état courant, et le restant à lire:

γі=(q, v)

Configuration successeur:

Soit γі(x, qі, v)

γј(x', q ј , v') est une configuration successeur de γi

ssi

- pour v=ε , γ j=γi on dit que γi n'a pas de configuration successeur

-pour v=av"

x'=xa

q j=δ(qi,a)v'=v"

configuration initiale:

notée γ0=(ε, q0,ω) avec q0: état initial;

ω: le mot à reconnaître

Configuration initiale d'acceptation:

γf=(ω, qF, ε) avec qF ∈ F; ω est le mot à reconnaître .

Configuration finale de non acceptation: γf = (ω,qF,ε) avec qF ∉ F

La configuration

déjà lu état courant restant à lire

état courant restant à lire


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Configuration successeur après n transitions

Notation:

γ n

M γ'

γ' est la configuration successeur de γ après n étapes de transition

ssi

-γ'=γ pour n=0

-∃ γ" / γ γ" et γ'' n-1 γ' pour n≠0

Notation:

configuration successive d'un nombrequelconque d'états de transition

γ *

M

γ' ssi ∃ k tq γ k

M

γ'

III.3.2 Définition d'un langage connu par un automate

Notation L(M)

Soit M: Automate a état fini { Σ, K, q0, δ, F}

Le langage connu(accepté) par M est noté L(M) est l'ensemble

L(A)={ω ∈ Σ*/(ε, q0, ω) *

M

(ω, qF, ε ) avec qF ∈ F}

Exemple:

M=( K, Σ, δ, s, F) avec Σ={a, b}

K={q0, q1}

s=q0;F={q0}

δ a b

q0 q0 q1

q1 q1 q0

(q0,ababa) (q0,baba)

(q1,aba)

(q1,ba)

(q0,a)

(q0,ε)


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q0 est un état d'acceptation ⇒ ω = ababa est accepté par M.

(q0, aba) (q0,ba) (q1, a) (q1, ε)

q1 ∉ F⇒ ω1 = aba n'est pas accepté.

III.4 Représentation graphique d'un automate à états fini

Remarque

un automate à états fini déterministe (DFA) est un cas particulier d'automate à états fini danslequel:

Aucun état n'a de ε-transition, c'est à dire de transition sur l'entrée ε etPour chaque état q et chaque symbole d'entrée a, il y'a au plus un arc étiqueté a qui quitte q

III.5 Exemples de DFA

L(M) = { ω ∈ {a,b}*: ω contient un nombre pair de b} (a*ba*ba*)*

L = Σ* = (a∪b)* = (a*∪b*)*

q état

a

transition sur le symbole a

q0 état initial

état final ou d'acceptation

q0 q1

b

b

aa

remarque: q0 est à la fois état initial etétat final

q0

b

a

qF


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L = { ω∈{a,b}* / ω ne contient pas la sous chaîne bbb}

R = (a∪ba∪bba)* (ε∪b∪bb)

L = {ω∈{a,b}*, ω = bbb} = {bbb}

L= {ω∈{a,b}*, ω contient un nombre pair de a et un nombre paire de b}

remarque: Il suffit de changer la place del'état d'acceptation pour obtenir:

a impaire, b paire: q1

a impaire, b impaire: q2

a paire, b impaire: q3

Σ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

L = {ω∈ Σ*: ω divisible par 3} : la somme des chiffres est divisible par 3

a

q0 q1 q2 q3

a

b b

a

a,b

état mort

q0 q1 q2 q3 b b b

q4

a a a a

a,b

q0

q3

q1

q2

a

a

a

a

b b b b

a paire,b paire a impaire,b paire

a paire,b impaire

a impaire,b impaire


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C accepte les mots du langage L(C) décrit par: 1*0

III.7 Automates finis non déterministes (NFA)

Un automate fini non déterministe est un modèle Mathématique qui consiste en (K, Σ, δ, S, F)

K : ensemble des états

Σ : Alphabetδ: relation de transition

S : état initial

F : ensemble des états finaux

Le même caractère peut étiqueter deux transitions ou plus en sortie d’un même état et les arcspeuvent- être étiquetés par ε.

Exemple : la figure suivante représente le graphe de transition pour un NFA qui reconnaît lelangage (a∪b)* abb

On voit bien qu'en sortie de l’état 0, on a deux arcs étiquetés a.

Remarque 1 : Dans un automate fini non déterministe (NFA) il peut y avoir le choix entreplusieurs chemins lors de la lecture d’un mot.

Pour qu’un mot soit accepté, il suffit que ses lettres étiquettent un chemin d’un état initial à unétat final (même s’il y’en a d’autres ne menant pas à un état final, ou bien s’arrêtant en coursde route)

Remarque 2 : un DFA est un NFA particulier

q0

q1

q21

0,1

0

0,1q0

q1

q21

0,1

0

0,1

q0 q1 q2 q3

a

b

a b bq0 q1 q2 q3

a

b

a b b

NFADFA

NFADFA


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III.8 Algorithmes de conversion

III.8.1 Algorithme de déterminisation ou transformation NFADFA

Théorème : Pour chaque automate fini non déterministe correspond un automate fini

déterministe qui lui est équivalent.Ou

Si un langage est reconnu par un automate, alors il est également reconnu par un automatefini déterministe.

Algorithme NFADFA

Soit A= (K, Σ, δ, q0, F,) un NFA, on construit l’automate B= (K’, Σ, δ’, q’0, F’), K’sera alorsun sous ensemble de P(K) l’ensemble des parties de K.

δ’ø

q’0 {q0} ∪ {q∈ K tel que (q0,ε,q) ∈ δ } (ε-fermeture(q0))K’K’∪ q’0

pour tout q’ ∈ K’ non encore considéré faire

Pour tout a ∈ Σ faire

q " {y∈ K tel que ∃ x ∈q' tq (x,ε,y) ∈ δ } (Transiter(q',a))

Si q "≠ Ø alors

q " {q"} ∪ {z∈ K tel que ∃ y ∈q" tq (y,ε,z) ∈ δ } (ε-fermeture(q"))

δ’

δ’∪ {(q’, a, q")}K’K’∪ {q"}

F’{q’ tel que q’∩F≠Ø}

Exercice : Construire le DFA pour le NFA suivant.

Dans l’algorithme de détermination

ε-fermeture (q) : Ensemble des états de l’NFA accessibles depuis un état q de l’NFA par desε-Transitions uniquement (sous lecture).

ε- fermeture (T) : Ensemble des états de l’NFA accessibles depuis un état q∈T

0 1

2

4

3

5

6 7 8 9 10εεεε εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

a

b

a b b0 1

2

4

3

5

6 7 8 9 10εεεε εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

a

b

a b b


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19

Transiter(T,a): Ensemble des états de l'NFA vers lequel il existe une transition sur le symbolea à partir d'un état q ∈ T.

Dans l’exemple:

ε- fermeture (0) = {0, 1, 2, 4,7}

Transiter({0,1,2,4,7},a} = {3,8}

ε- fermeture ({3,8})= {1, 2, 3, 4, 6, 7,8}

Avant de voir le premier symbole d’entrée, N peut appartenir à n’importe lesquels des états del’ensemble ε-fermeture(0) ou 0 est l’état de départ de N donc il peut-être dans T={0,1,2,4,7}c’est l’état de départ du DFA.

Supposons que a est le prochain symbole d’entrée. Quand il voit a, N peut passer dans l’undes états de l’ensemble Transiter (T, a)=Transiter ({0, 1, 2, 4,7}, a)= {3,8}

Quand on autorise des ε-transitions, N peut-être dans l’un des états ε-

fermeture(Transiter(T,a)), après avoir lu le a, ε-fermeture({3,8})={1,2,3,4,6,7,8}Appliquons l’algorithme sur notre exemple

Etat de départ= ε- fermeture (0)=A= {0, 1, 2, 4,7}

L’alphabet des symboles d’entrée est ici {a, b}. Donc on marque A comme considéré et oncalcule ε-fermeture (Transiter(A,a))= ε-fermeture({3,8})={1,2,3,4,6,7,8}=B

⇒ Dtran[A,a]=B.

On fait la même chose avec b, ε-fermeture (Transiter(A,b))=ε-fermeture ({5})={1,2,4,5,6,7}⇒

Dtran (A,b)=C={1 ,2 ,4 ,5 ,6 ,7}.Nous continuons ce processus avec les ensembles actuellement non marqués B et C on atteintfinalement le point ou tous les ensembles qui sont des états du DFA sont marqués.

Les cinq différents ensembles que nous construisons réellement sont :

A= {0, 1, 2, 4,7}

B= {1, 2, 3, 4, 6, 7,8}

C= {1, 2, 4, 5,6 ,7}

D= {1, 2, 4, 5, 6, 7,9}E= {1, 2, 4, 5, 6, 7,10}

L’état A est l’état de départ et l’état E est l’unique état d’acceptation car il contient un étatd’acceptation du NFA (10)


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21

2) Pour a ∈ ∑ construire le NFA

Ici encore, i est un nouvel état de départ et f un nouvel état d’acceptation.

3) Supposons que N(s) et N (t) soient les NFA pour les expressions régulières s et t.

a) pour l’expression régulière S ∪ T, construire le NFA composé suivant : N (s∪t)

Remarque : Les états de départ et d’acceptation de N(s) et N(t) ne sont pas les états de départet d’acceptation de N(s∪t).

Remarque : tout chemin depuis i vers f doit traverser soit N(s), soit N(t) exclusivement, onvoit donc que l’automate composé reconnaît L(s) ∪ L(t)

b) pour l’expression st , construire l’NFA composé N(st) :

L’état de départ de N(s) devient l’état de départ du NFA composé et l’état d’acceptation deN(s) est fusionné avec l’état de départ de N (t).

Toutes les transitions depuis l’état de départ de N (t) deviennent des transitions depuis l’étatd’acceptation de N(s). Le nouvel état fusionné perd son statut d’état de départ oud’acceptation dans le NFA composé.

c) pour l’expression régulière S*, construire le NFA composé N(S*) .

i f

N(S)

N(t)

ε

ε

ε

ε

i f

N(S)

N(t)

ε

ε

ε

ε

i f N(t)N(S)i f N(t)N(S)

i f ε ε

ε

ε

i f ε ε

ε

ε

i f ai f a


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Ici i est un nouvel état de départ et f un nouvel état d’acceptation. Dans le NFA composé, onpeut aller de i à f directement en suivant un arc étiqueté ε qui représente que ε appartient à(L(s))*, ou bien on peut aller de i à f en traversant N(s) une ou plusieurs fois.

d) Pour l’expression régulière (s), utiliser N(s) lui-même comme NFA. Remarque Chaque fois qu’on construit un nouvel état, on lui donne un nom distinct. Ainsi ilne peut y avoir deux états dans deux sous automates qui aient le même nom, même si lemême symbole apparaît plusieurs fois dans r, on crée, pour chaque instance de ce symbole, unNFA séparé avec ses propres états.

Exemple: soit r = (a∪b) * abb la figure suivante représente un arbre syntaxique pour r.

Pour le composant r1, le premier a, on construit le NFA

Pour r2 on construit

On peut maintenant combiner N(r1) et N(r2) on utilisant la règle de l’union pour obtenirr1 ∪ r2

Le NFA pour (r4) est le même que celui pour r3

Le NFA pour (r4)* est alors

r10

r11

r9

r7

r5

r3

r1 r2∪

a b

r4

( )

*r6

a

r8

b

b

r10

r11

r9

r7

r5

r3

r1 r2∪

a b

r4

( )

*r6

a

r8

b

b

2 3a2 3a

4 5b4 5b

2 3a

4 5b1 6

ε

ε

ε

ε

2 3a

4 5b1 6

ε

ε

ε

ε


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Lq(a)= {w Є ∑* , δ*(q, w) ∈ F }.

Lq(a) est le langage reconnu par un automate dont l’état initial serait q et qui aurait F commeensemble d’état finaux.

L(A)=Lq0(A).

Théorème :

Chaque langage régulier est reconnu par un unique automate déterministe minimal

Problème :

Soit A un automate fini déterministe complet dont chaque état est accessible depuis l’étatinitial. Construire un DFA minimal qui reconnaisse le même langage que A.

Idée : Fusionner les états équivalents

En pratique l’algorithme est fondé sur un principe de séparation des états.

Remarque DFA complet :

Chaque état a une translation sur chaque symbole de ∑, Si ce n’était pas le cas, nous pourrionsintroduire un nouvel « état mort » d avec des transitions depuis d vers d sur tout les symboles,ainsi qu’une transition depuis l’état e vers d sur le symbole a s’il n’avait pas déjà de transitionde e sur a.

Définition : Equivalence d’états

Étant donné A un DFA, deux états p et q sont équivalents (on note p ≈q) si Lp(A)=Lq(A).

Ainsi (p≈q) ⇔ (pour tout mot w de∑*,

δ*(p,w) ∈ F et δ*(q,w) ∈ F

ou

δ*(p,w)∉ F et δ*(q,w) ∉ F )

Exemple :


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0≈1 ? – non car δ(0,b) ∉ F et δ(1,b) ∈ F

3≈6 ? – oui car 3 ∈ F et 6 ∈ F et w ∈ ∑*, δ*(3, aw) ∈ F et δ*(6, aw) ∈ F

Et

δ*(3, bw) ∈ F et δ*(6, bw) ∈ F

Propriété : la relation ≈ est une relation d’équivalence. En effet, elle est réflexive,symétrique et transitive

Notation : Si q est un état, on note [q] sa classe d’équivalence. c.a.d l’ensemble des états quilui sont équivalents.

Définition :

Soit le DFA A= (∑, Q, δ, q0, F), l’automate minimal associé à A est : Amin= (∑, Q’, δ, [q0], F’)

Tel que

Q’= {[q], q ∈ Q}

F’= {[f], f ∈ F}

δ’= {([q],a,[q])tels que ∃ p’ ∈ [p], ∃q’ ∈ [q] (p’,a,q’) ∈ δ}

Propriétés :

Amin reconnaît le même langage que A.

Pour tout DFA B tel que L(B)=L(A), le nombre d’états de B est supérieur ou égal à celui deAmin.

Tous les automates minimaux C tel que L(C)=L(A), sont identiques à un renommage de leursétats prés : on peut parler d’unicité.

Algorithme de minimisation :(raffinements successifs)

Itération i=0 (construire deux classes d’équivalence : les états d’acceptation F et les états denon acceptation Q-F)

p ≈0 q ssi (p ∈ F et q ∈ F ) ou (p∉ F et q∉ F)

Itération i>0

p≈iq ssi

p≈i-1qEt

Pour tout a ∈ ∑ : δ (p, a) ≈i-1 δ (q, a)

Arrêt de l’algorithme : quand ≈i est identique à ≈i-1

Supprimer tous les états morts et ceux non accessibles depuis l’état de départ.

Exemple : Construction des classes d’équivalences

Soit A (∑, Q, δ, q0, F) tel que ∑= {a, b}, Q= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, q0=1, F= {3, 6}

Et δ définie par


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III.9 Simulation d'un Automate à états finis non déterministe

Algorithme

Données : un NFA N construit par la construction de Thompson, et une chaîne d’entrée x. Onsuppose que x est terminée par un caractère de fin de fichier fdf. N a un état de départ e 0 et unensemble d’états d’acceptation F.

Résultats : la réponse « oui » si N accepte x ; « non » dans le cas contraire.

Méthode : appliquer l’algorithme suivant à la chaîne d’entrée x.E :=ε-fermeture ({e0}) ;C :=carsuiv () ;Tant que C≠fdf faire

DébutE :=ε-fermeture (transiter (E,C)) ;C :=carsuiv () ;

Fin

Si E∩F≠ alorsRetourner « oui »Sinon

Retourner « non »

Exemple soit le NFA ci-dessous essayons de le simuler sur la chaîne x1=ababb et x2=abba

Pour x2 initialement E=ε-fermeture ({0}))= {0, 1, 2, 4,7}

C :=a

E :=ε-fermeture (transiter (E,a)) = ε-fermeture({3,8}) = {3,6,1,2,4,8} = {1,2,3,4,6,7,8}

C :=b

E :=ε-fermeture (transiter (E, b)) = ε-fermeture ({5,9}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7,9}

C :=a

E :=ε-fermeture (transiter (E,a)) = ε-fermeture({3,8}) = {1,2,3,4,6,7,8}

C :=b


C :=b



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C :=fdf ⇒ Arrêt

E∩F= {10} donc retourner « oui »

Pour x2=abba

Initialement E=ε-fermeture ({0}))= {0, 1, 2, 4,7}

C :=a

E :=ε-fermeture (transiter (E, a)) = ε-fermeture ({3,8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7,8}

C :=b


C :=b


C :=a

E :=ε-fermeture (transiter (E, a)) = ε-fermeture ({3,8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7,8}C :=fdf ⇒ Arrêt

E∩F=∅ donc retourner « non »

III.10 Lemme de pompage

Ce lemme sert à démontrer qu'un langage est non régulier

Principe de Diricklet ou Pigeonhole principale

M un automate avec n états {q0, ……., qn-1}

ω=ω1...ωp une chaîne de longueur p>n

alors la succession de transitions qui mène à un état final qF en acceptant ω passe forcémentdeux fois ou plus par le même état (disons qr).

Exemple :

ω=ω1 ω2……….ωr…….ωs……..ωk

q0 q1....……......qr……..qr……...qf

Il y a donc un circuit de qr à qr dans l'automate.

Remarque:

qf qr q0

circuit


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Si M accepte ω, M accepte aussi toutes les chaînes de la forme:ω1…..ωr(ωr+1….ωs)*ωs+……ωp

Lemme de Pompage

Si L est un langage régulier infini, il existe un entier n ≥ 1 tel que:

Pour tout mot ω de L de longueur ≥ n, il existe une factorisation de ω en xvy telle que0 < |v| ≤ n

∀ i ≥ 0, xviy ∈ L

Preuve:

Soit A=(Q, Σ, δ, q0, F), un automate à états fini à n états tel que L=L(A)

Prenons un mot ω ∈ L de langueur Lg≥n: ω=σ1σ2…….σ lg

On sait que δ*(q0, σ1σ2…….σlg) ∈ F

La lecture de ω dans A passe forcement deux fois par le même état q de QIl existe donc deux indices i≤ lg et j≤ lg (i


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Donc la chaîne xvvy contiendra deux copies de la séquence ab mais chaque mot de L contientune seule fois la séquence ab. Donc xvvy ne peut pas être un mot de b, ce qui prouve que lelemme de pompage ne peut pas être appliqué à L et par suite L n'est pas régulier.

Théorème de pompage

Soit L un langage régulier infini reconnu par un automate fini à N étatAlors pour tout ω ∈ L, |ω|>N , ∃ x, v, y tq v≠ε et |xv| ≤ N

Tel que

ω=xvy et ∀ n ≥ 0 xvⁿy ∈ L

Exemple

On va montrer que le langage des palindromes n'est pas régulier.

Considérons un automate acceptant ce langage, supposons qu'il est a m états.

Soit le palindrome ω=am+3bam+3, ce mot doit être accepté par cet automate puisque c'est un

palindrome.Puisque |ω|>m , selon le théorème, on peut subdiviser ω en trois parties x, v, y et puisque |xv|doit être ≤ m, ils doivent contenir uniquement des a's parce que les m premières lettres de ω sont des a's.

Donc quand on forme le mot xvvy, nous sommes en train d'ajouter plus de a's à la partiefrontale de ω mais nous n'ajoutons pas de a's à la partie arrière de ω qui contiendra toujoursles a's de y dont le nombre reste fixé à m+3 (dans l'exemple)

On peut donc conclure que la chaîne xvvy n'est pas un palindrome parce qu'elle aura la forme

a Plus que m+3 b am+3

Mais le théorème de pompage dis que ce mot doit appartenir à Palindrome ce qui impliqueque Palindrome n'est pas régulier.

Chapitre IV Les langages à contexte libre (Context Free Languages)

IV.1 Introduction par un exemple

Soit le langage L décrit par l'expression régulière suivante: a(a*∪ b*)b

Un mot ω peut avoir la forme a bbb...b b ou a aaa...a b

On peut dire que ω a la forme aMb, il reste à décrire M

S → aMb

M → A M peut être une suite de a ou une suite de b

M → B

A → aA décrit récursivement une suite de a


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A → ε

B → bB décrit récursivement une suite de b

B → ε

IV.2 Définition d'une Grammaire hors contexte

une grammaire G est un quadruplet (V,∑,R,S) où:

• V est un ensemble fini de symboles terminaux et n on terminaux: (alphabet globale)

• ∑ est l'alphabet des symboles terminaux

• V-∑ ensemble des non terminaux

• S: Axiome (start symbol), toute dérivation commence par S.

• R: règles de production. R ⊆( V-∑)×V*

Dans l'exemple de l'introduction:V = {S,M,A,B,a,b}.

∑={a,b} ensemble des terminaux.

V-∑={S,M,A,B} ensemble des non terminaux.

S = Axiome, R={ S → aMb, M → A, M → B, A → aA, A → ε, B → bB, B → ε}

IV.3 Définition d'une Dérivation

ϕ se dérive directement en ψ et on note: ϕ → ψ s'il existe une suite de mots ω0, ω1,.., ωn de

V* tels que:

ϕ = ω0

ψ = ωn

∀ i, 0≤ i


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R contient une production X → W

ϕ se dérive le plus à gauche en ψ et on note ϕ*

g⇒ψ s'il existe une suite de mots ω0, ω1,.., ωn de

V* tels que: ϕ = ω0, ψ = ωn et ∀ i, 0≤ i


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Dérivation gauche

Eg⇒T

g⇒T*F

g⇒F*F formes sententielles

g⇒x1*F non terminales

g⇒x1*(E)

g⇒x1*(E+T)

g⇒x1*(T+T)

g⇒x1*(F+T)

g⇒x1*(x2+T)

g⇒x1*(x2+F)

g⇒x1*(x2+x1) forme sententielle

terminale

Dérivation droitePour la dérivation droite, c'est le nonterminal le plus à droite qui est dérivé àchaque étapeE

d

⇒T

d ⇒T*F

d ⇒T*(E)

d ⇒T*(E+T)

d ⇒T*(E+F)

d ⇒T*(E+x1)

d ⇒T*(T+x1)

d ⇒T*(F+x1)

d ⇒T*(x2+x1)

d ⇒F*(x2+x1)

d ⇒x1*(x2+x1)

IV.4 Arbre syntaxique (Parse Tree)

soit une grammaire G(V, ∑,R,S), un arbre syntaxique pour un mot ω engendré par G est unarbre dont:

• La racine est étiquetée par l'axiome S

• Les feuilles sont étiquetées par ∑∪{ε}

• Les nœuds internes le sont par des éléments de V-∑

• Un nœud interne étiqueté B a des fils, de gauche à droite, étiquetés α1,α2,..,αn s'il existeune production de R: B → α1α2..αn

• ω est formé de la concaténation des feuilles lues dans un parcours suffixe (profondeurd'abord, gauche droite)


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Exemple: arbre syntaxique pour x1*(x2+x1)

IV.5 Grammaires ambiguës

• Une grammaire G est dite ambiguë s'il existe un mot ω ∈ ∑* possédant plus qu'un arbresyntaxique.

• Une grammaire G est dite ambiguë s'il existe un mot ω ∈ ∑* ayant plus d'une dérivationgauche

• Une grammaire G est dite ambiguë s'il existe un mot ω ∈ ∑* ayant plus d'une dérivationdroite

Exemple:

G(V, ∑,R,E)∑={x1,x2,+,*,(,)}

V-∑= {E} et R définit par:E → E+EE →E*EE → (E)E → x1E → x2

soit ω= x1+x1*x2

Cette grammaire est ambiguë car la chaîne ω a plus d'une dérivation gauche. en effet:

Eg⇒ E+E

g⇒ x1+E

g⇒ x1 +E*E

g⇒ x1+x1*E

g⇒ x1+x1*x2

Eg⇒ E*E

g⇒ E+E*E

g⇒ x1+E*E

g⇒ x1+x1*E

g⇒ x1+x1*x2

de même on peut trouver deux dérivations droites

E

T

T * F

F ( E )

x1 E + T

T F

F x1

x2


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IV.6 Exemples de grammaires

soit G1(V, ∑, R, S) avec ∑= {a}, V-∑={S} et

R définit par

S → aS

S → ε

G1 représente langage (a*)soit G2(V, ∑, R, S) avec ∑= {a}, V-∑={S} et

R définit par

S → SS

S → a

S → ε

G2 représente aussi le langage (a*)

soit G3(V, ∑, R, S) avec ∑= {a}, V-∑={S,A} et

R définit par

S → AA

A → AAA on enlève A, on ajoute 3A donc on est en train de rajouter 2A

S → a

voici une dérivation:

Sg⇒ AA

g⇒AAAA

g⇒ AAAAAA

g⇒ aAAAAA

g⇒ aaAAAA

g⇒ aaaAAA

g⇒ aaaaAA

g⇒

aaaaaAg

⇒ aaaaaa

Le langage reconnu est aa(aa)*.

Exercice:

soit ∑={a,b}

L = {ω∈∑*, ω contient 2n a, n >=1}

1) Donnez G = (V,∑,R,S) tq L(G) = L

2) Donnez une dérivation gauche de la chaîne ω= abaababa ∈ L.

3) Montrer que L(G) = L.

E

* E

E

E + E

E * E

E

E + E

x1 x1

x2

x1 x2

x1 ≠


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Réponse:

1)S → AA

A → bA génère récursivement une suite de b à gaucheA → Ab génère récursivement une suite de b à droiteA → AAAA → a

2) ω = bbaababaS

g⇒ AA

g⇒bAA

g⇒bbAA

g⇒bbaA

g⇒bbaAAA

g⇒bbaAbAA

g⇒bbaabAA

g⇒bbaabaA

g⇒bbaababA

g⇒bbaababa

3) Montrons que L(G) = L, Il faut montrer que L(G) ⊆ L et L ⊆ L(G)

L = {ω∈∑*, ω possède la propriété P}

L(G) ⊆ L ssi ∀ ω∈L(G), ω possède la propriété P.

Démonstration L(G) ⊆⊆⊆⊆ L

Au lieu de démontrer que seules les formes sententielles terminales sont dans L, on va

démontrer que toute forme sententielle ou pas est dans L. (contient un nombre pair de a ouA).

Par récurrence sur la longueur de la dérivation

base k = 1 S⇒ AA contient bien un nombre paire de A ou a

hypothèse: On suppose que toute dérivation de longueur k, k ∈ [1..n] possède un nombrepair de A ou a.

Recurrence:

Prenons une dérivation de longueur n+1

S⇒ω0 ⇒ ω1⇒...⇒ωn ⇒ ωn+1


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37

Dans la dérivation directe ωn ⇒ ωn+1 on passe à travers une règle qui ne change pas laparité, en effet

A → bA ne change pas le nombre de A + a

A → Ab ne change pas le nombre de A + a

A → AAA ajoute 2A donc preserve la parité des A+a

A → a ne change pas le nombre de A + a

Donc l'hypothèse est aussi vraie à l'ordre n+1. Donc toute forme sententielle a un nombrepaire de a ou A, or la forme sententielle terminale ne contient que des terminaux (0A)donc elle contient forcement un nombre paire de a. Donc ∀ ω ∈ L(G), ω possède 2n a.

Démonstration L ⊆⊆⊆⊆ L(G)

soit ω ∈ L, ω = bm1 a bm2 a... bm2n-1 a bm2n a bm2n+1

Voici une dérivation de S en w

S → AA 1 fois AA

A → AAA (n-1) fois AA....A (2n A)

A → bA m1 fois bm1AA...A

A → a 1 fois bm1aA...A

A → bAA → a

2n-1 fois

bm1abm2a....bm2n-1aA

A → bA m2n fois bm1abm2a....bm2n-1aA bm2nA

A → Ab m2n+1 fois bm1abm2a....bm2n-1aA bm2nAbm2n+1

A → a 1 fois b

m1

ab

m2

a....b

m2n-1

aA b

m2n

ab

m2n+1

IV.7 Classification de chomsky

Chomsky a établi une classification des langages par types de grammaires. Il a ainsi établiquatre types de grammaires: type0, type1, type2 et type3. Selon Chomsky toute grammairegénérant un langage formel est de type 0. Pour définir les autres types de grammaires, ilintroduit des restrictions de plus en plus sévères sur les règles de production.

IV.7.1 Grammaires contextuelles « context-sensitive » ou de type 1(CG)

Une grammaire est contextuelle si toute règle de production :


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α→β

α peut s’écrire θ A Γ

β Peut s’écrire θ’Ψ Γ ’

Avec θ, Γ , θ’, Γ ’ dans V* (suite de terminaux ou non terminaux)

A dans Vn (non terminal)

Ψ Dans V* (suite non vide de terminaux ou non terminaux)

On voit que le symbole A de Vn qui se trouve dans α précédé par θ et suivi par Γ (dans lecontexte θ et Γ ) peut être substitué par Ψ et précédé par θ’ et suivi par Γ ’ (d’où le nom«contextuelle»).

Exemple:

aB→ab

B est substitué par b que si elle est précédée par a.

IV. 7.2 Grammaires non contextuelles « context-free » ou de type 2 (CFG)

Les productions dans ce cas sont de même forme que les CG mais avec une nouvellecontrainte telle que :

θ = Γ = ε et θ’ = Γ ’ = ε

Ainsi toutes les productions sont de la forme :

A→ β

Avec A ∈ Vn (non terminal)

et B ∈V* (suite non vide de terminaux et de non terminaux )

Le symbole A de Vn est substitué par β sans restriction de contexte

Exemple : Soit G une grammaire définie par :

G= {Vn ,Vt ,P,S}

Avec Vn = {S ,A,B} et Vt={a,b}

P : S→ aB|bA

A→ a|aS|bAA

B→b|bS|aBB

G est une grammaire hors contexte; toutes les productions de G ont un seul élément deVn à gauche.

IV. 7.3 Grammaires Régulières ou de type3 :RG

C'est une grammaire Hors contexte, on impose en plus la contrainte suivante :

toutes les productions sont de la forme : A→ β

avec β = a ou β =aB ou β =ε


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avec a dans Vt et B dans Vn

Exemple : Soit G une grammaire définie par:

G={Vn, Vt, P, S}

avec Vn= {S,A ,B} et Vt={0,1}

Les productions de P sont:

S →0A | 1B | 0

A → 0A | 0S |1B

B →1B|1 | 0

Toutes les productions ont un élément de Vn à gauche et un élément de Vt suivi ou non parun élément de Vn à droite. Donc c’est une grammaire régulière.

IV.8 Classification des langages formels

• Un langage contextuel ou de type 1 est un langage généré par une grammaire contextuelle.

• Un langage non contextuel ou de type 2 est un langage généré par une grammaire noncontextuelle.

• Un langage régulier ou de type 3 est un langage généré par une grammaire régulière .

Soient F0,F1,F2,F3 les familles de langages de types 0 ,type1,type2 et type3 respectives alorsF3 ⊂ F2 ⊂ F1 ⊂ F0

IV.9 Transformation d'une grammaire régulière à droites en NFA

Soit G=(N,T ,P,S) une grammaire régulières à droite , on peut construire un automate finiA=(Σ,Q,δ,q0,F) qui accepte les mots engendrés par G:

• Pour toutes les productions B→α de P ,on ajoute un nouveau symbole non terminal X eton remplace ces productions par B→αX et X→ε

• L’ensemble des états Q de l’automate est celui des non-terminaux N∪{X}(à unrenommage près)

• L’alphabet Σ est égale à l’ensemble T des terminaux.

• L’état q0 correspond à l’axiome A de la grammaire.

• Pour toute production B→αC de P, il existe la flèche (B, α ,C) dans δ(au renommageprès)

• Pour toute production B→ε de P, l’état correspondant B est final dans A.


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40

Exemple

G=(N ,T ,P,A) une grammaire régulière àdroite

N={A,B,axiome A}

T={a,b,c}P{A→aA

A→bB

A→c (devient A→CX et X→ε)

B→bB

B→a(devient B→aX)

B→ε

E :a*bb*(a ∪ ε) ∪ (a*C)A=(Σ,Q,δ, q0=A, F)

Σ={a,b,c},φ={A,B,X},F{B,X}

L(G) = L(A)

IV.10 Transformation d'un DFA en grammaire régulière

Théorème:

Un langage est régulier si et seulement si il existe une grammaire régulière qui engendre les

mots de L.Soit un automate fini donné A=(Σ,Q,δ, q 0,F)

G=(N,T,P,A)est une grammaire régulière qui engendre les mots de L(A) si :

• L’ensemble des non terminaux N est celui des états Q de l’automate (à un renommageprès)

• L’ensemble des terminaux T égale à Σ .

• L’axiome A de la grammaire correspond à l’état q0.

• Pour tout élément (q,6,q’) de δ il existe la production q → 6q’ dans P(au renommage près)

• Pour tout f ∈ F il existe la production f → ε dans P(au renommage près)

Exemple :

A=(Σ,Q,δ, q0=A,F)

Σ={a,b},Q={A,B,C,D},F={D}

G=(V,Σ,R ,A)

V- Σ ={A,B,C,D},axiome A

Σ ={a,b}

B

XA

aa b

b

c

B

XA

aa b

b

c

A

B

C

D

b

b

b

a

a

a

a,b

A

B

C

D

b

b

b

a

a

a

a,b


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41

R={A→aCA→bBB→aDB→bAC→aD

C→bBD→aDD→bDD→ε}

L (G) = L (A)


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Chapitre V Automates à pile (Push Down Automaton, PDA)

V.1 IntroductionPar analogie avec les expressions régulières qui engendrent les langages réguliers, lesgrammaires hors contextes engendrent les langages hors contexte. Aussi par analogie avecautomates à états finis qui reconnaissent les langages réguliers, les automates à pilereconnaissent les langages hors contextes.

Exemple: Utilisation d'un automate à pile

L'automate à pile va tenter de lire le mot aaabbb pour vérifier s'il appartient ou pas à L = {ω ∈ {a,b}*, ω = anbn n ≥ 0} qui n'est pas régulier sinon on aurait utilisé un DFA.

Le PDA enpile un X à la lecture d'un a et dès la lecture du premier b il commence à dépiler à

la rencontre de chaque b. Il accepte le mot quand la pile devient vide.a a a b b b

Pile

X

empiler X à la lecture d'un a

a a a b b b

Pile

X

X


a a a b b b

Pile

X

X

X

PDA

PDA

PDA


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43


a a a b b b

Pile

X

X

dépiler X à la lecture d'un b

a a a b b b

Pile

X

dépiler X à la lecture d'un b

a a a b b b

Pile vide

dépiler X à la lecture d'un b. Le mot est accepté par pile vide

Pourquoi un automate à pile

• Les automates finis n'ont pas d'autres mémoires que leurs états.

• Ils ne savent donc pas compter au-delà de leur nombre d'états.

• Une pile procure une mémoire additionnelle non bornée.

• Le nombre de symboles utilisés dans la pile est fini.

• La pile vide peut être un critère d'acceptation des mots.

V.2 Définition d'un automate à pile

Un automate à pile non déterministe est un septuple (Q, ∑,Γ ,δ,q0, z, F) où:

PDA

PDA

PDA


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44

• Q : ensemble fini d'états

• ∑ : alphabet fini des symboles d'entrée

• Γ : alphabet fini des symboles de pile

• δ : ensemble des règles de transition

• q0 : état initial

• z : symbole de pile vide

• F : ensemble des états d'acceptation

V.3 Définition d'une transition

• Une règle de transition (q, σ, γ→q',χ) considère:

• L'état courant q de l'automate

• Le caractère lu σ sur le ruban (ou peut être ε)• Le symbole γ de sommet de pile (ou peut être z ou ε)

• une règle de transition indique :

• Le prochain état q' de l'automate

• La suite de symboles χ à empiler à la place du sommet de la pile ou dans la pile vide

• La relation de transition δ est l'ensemble des règles de transition vues comme desquintuples δ ⊆ (Q × (∑ ∪{ε}) × (Γ ∪ {ε})) × (Q × Γ *)

(q, σ, γ→q',χ): on est à l'état q avec γ en sommet de pile, on peut lire σ du restant à lire,remplacer γ par χ et transiter à l'état q'.

V.4 Langages reconnus par un PDA

Définitions: soit A(Q, ∑,Γ ,δ,q0, z, F) un PDA

1. On appelle configuration initiale d'un PDA, le triplet (q0, ω,z), avec ω la chaîne àreconnaître par le PDA.

2. On appelle configuration finale d'un PDA, le triplet (qF, ε, α) avec qF ∈F et α ∈ Γ *.

3. Une configuration est un triplet (q:état courant , x:restant à lire,λ:contenu de la pile).

Remarques:

• si α = ε, la pile est vide.

• La succession des configurations se fait à travers δ, noté .

• Le langage reconnu par un PDA est l'ensemble des mots lus à partir de la configurationinitiale jusqu'à l'obtention d'une configuration finale.

Formellement

L(A) = {ω∈∑*/ (q0, ω,z) * (qF, ε, α) avec qF ∈ F et α ∈ Γ *}


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Remarque:

Pour la configuration finale d'un PDA, le contenu de la pile importe peu. Cependant, un casparticulier est de considérer une configuration finale où la pile serait alors vide. L'automateest dit alors automate à pile vide.

V.5 Définition: langage reconnu par un automate à pile vide

On dit qu'un langage est reconnu par un automate à pile vide, si lorsqu'on parcourt tous sesmots (à partir de la configuration initiale), on obtient une pile vide et un état d'acceptation.

Lε (A) = { ω∈∑*/ (q0, ω, z) * (qF, ε, ε) avec qF ∈ F}.

Exemple1: soit le langage à contexte libre L ={anbn, n ≥ 0}.

Déterminons le PDA qui reconnaît L. Le principe étant d'empiler X à chaque rencontre d'un a,

et de dépiler un X au fur et à mesure de la lecture des b: A est doncA (Q,∑,Γ ,δ,q0, #, F)

Q = {q0,q1,q2,q3}; ∑= {a,b}; Γ = {X,#}; F = {q3}; δ définie par

1 δ(q0,a,#) = (q1,X#) On a empilé X et on se déplace à q1 qui va faire une boucled'empilement.

2 δ(q1,a,X) = (q1,XX)

3 δ(q1,b,X) = (q2,ε) On dépile X et on se déplace à q2 qui va avoir une bouclede dépilement

4 δ(q2,b,X) = (q2, ε) dépilement successif de tous les X5 δ(q2,ε,#) = (q3,#) état final q3 atteint

Remarque: si n= 0 (ε∈L), il faut donc ajouter l'instruction δ(q0,ε,#) = (q3,#)

faisons tourner l'automate sur quelques mots a) a2b2 b) a2b c)ab2

a)

état restant à lire contenu de la pile transition utilisée

q0 aabb # 1

q1 abb X# 2

q1 bb XX# 3

q2 b X# 4

q2 ε # 5

q3 ε #

Autre représentation

(q0,aabb, #) (q1,abb,X#) (q1, bb,XX#) (q2,b,X#) (q2, ε, #) (q3, ε, #)


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on a (q0, a2b2, #) * (q3, ε, #) donc le mot est lu on est arrivé à un état d'acceptation donc a

2b2 ∈L(A)..

b) (q0, aab,#) (q1, ab, X#) (q1, b, XX#) (q2, ε, X#) il n y'a pas de transition pour laconfiguration dont l'état courant est q2, le mot est lu et il y a un X en sommet de la pile; Bienque le mot soit lu, la configuration finale n'est pas obtenue, Donc aab ∉ L(A).

c) (q0, abb, #) (q1,ab,X#) (q2,b,#) il n'existe pas de transition quand l'automate est en q2,il reste un b à lire et # en sommet de pile, il y a donc blocage et abb ∉ L.

Remarque: si on veut un PDA à pile vide, il faut ajouter la transition δ(q2, ε,#) = (q3, ε)

Notation

(qi, ε, γ )→(qj, η)

sans tenir compte du restant à lire (ne pas avancer dans le ruban)

(qi, σ,ε)→(qj, X) empiler X quel que soit le contenu de la pile.

sans tenir compte de la pile

Exemple:

(p, ε, a) (q, ε) dépiler a ∀ le restant à lire et aller à q

(p, ε, ε) (q,a) empiler a ∀ le contenu de la pile et ∀ le restant à lire (sans avancer dans leruban)

Exemple: soit ∑= {a,b} et L = {ωcωR : ω ∈ ∑*}

a b c b a

empiler a empiler b aller à l'état dedépilement

dépiler b dépiler a

A (Q,∑,Γ ,δ,q0, #, F)

1 (q0,a, #) (q1,a#) Q= {q0,q1,q2}, Γ = ∑, F = q2

2 (q0,b,#) (q1,b#)

3 (q1,a, ε) (q1, a) empiler a ∀ la tête de la pile


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4 (q1,b, ε) (q1,b) empiler b ∀ la tête de la pile

5 (q1, c, ε) (q2, ε) aller à q2 ∀ la tête de la pile

6 (q2,a,a) (q2, ε) dépiler a si je rencontre a sur la bande et que le symboleen sommet de pile est a.

7 (q2,b,b) (q2, ε) dépiler b si je rencontre b sur la bande et que le symboleen sommet de pile est b.

8 (q2, ε, #) (q2, ε)

ω ∈ abbcbba

état restant à lire contenu pile Transition utilisée

q0 abbcbba # 1

q1 bbcbba a# 4

q1 bcbba ba# 4

q1 cbba bba# 5

q2 bba bba# 7

q2 ba ba# 7

q2 a a# 6

q2 # 8

q2 Mot accepté par pile vide

Remarque : Un NFA M= {Q, ∑, δ, s, F) est la même chose qu'un PDA M'(Q,∑,Γ ,δ',s, null,F) avec δ'= ((p,u, ε) (q, ε) tel que (p,u,q) ∈ δ} c'est à dire un PDA dont la pile n'est pasutilisée.

Equivalence: Tout langage hors contexte reconnu par un PDA avec le mode de

reconnaissance sur pile vide est également reconnu par un automate à pile acceptant sur étatfinal et vice-versa.

V.6 Déterminisme

un automate à pile est déterministe (PDA déterministe) si:

• pour un état q donné

• pour un symbole d'entrée σ donné

• pour un symbole de pile γ donné

Il existe une et une seule transition partant de (q, σ,γ )

q0 q1

a,ε→ab,ε→b

a,a→εb,b→εε,#→ε

c,ε→ε


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ceci correspond bien au fait de ne pas avoir le choix quant-à la transition à appliquer

Théorème

Il existe des langages non contextuels qui ne sont pas reconnus par un automate à piledéterministe.

Exemple:

Le langage { ωωR , ω ∈ ∑*} n'est pas reconnu par un PDA déterministe.

M (Q,∑,Γ ,δ,s, null, F)

1 (s, a, ε) (s,a) empiler a ∀ le symbole en sommet de pile à larencontre de a dans la bande

2 (s, b, ε) (s,b) empiler b ∀ le symbole en sommet de pile à larencontre de b dans la bande

3 (s, ε,ε) (f, ε) passer à l'état f ∀ le symbole en sommet de

pile et ∀ le symbole rencontré sur la banded'entrée

4 (f,a,a) (f, ε)

5 (f,b,b) (f, ε)

Définitions

• 2 chaînes sont dites persistantes si l'une est un préfixe de l'autre

• 2 transitions (p1, µ1, β1) (q1, γ 1)

(p2, µ2, β2) (q2, γ 2) sont dites compatibles si

p1= p2

µ1 et µ2 sont persistantes

β1 et β2 sont persistantes

Théorème:

un PDA est déterministe s'il ne contient aucune transition compatible

Exemple 1

∑= {a,b}

L = {ωcωR, ω∈ ∑*}M (Q,∑,Γ ,δ,s, null, F)

δ :

(s,a,a) (s,a) le même état de départ mais a n'est pas préfixe de b ni b de c ni a de c

(s,b, ε) (s,b)

(s,c,ε) (f,ε)

(f,a,a) (f, ε) même état de départ mais a n'est pas préfixe de b

(f,b,b) (f, ε)


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Il n y a pas de transitions compatibles donc le PDA est déterministe.

Exemple 2: L = {ωωR, ω∈ ∑*}

δ :

(s,a, ε) (s,a) 3 transitions compatibles ε préfixe de a et de b, ε préfixe de ε

(s,b, ε) (s,b)

(s, ε,ε) (f,ε)

(f,a,a) (f, ε) transitions non compatibles

(f,b,b) (f, ε)

V.7 Transformation d'une grammaire hors contexte en PDA

Théorème: Pour toute grammaire hors contexte, il existe un automate à pile vide A tel queL(G) = L(A)

L'idée consiste à commencer par empiler l'axiome, ensuite, à chaque symbole de la chaîned'entrée, on remplace la partie gauche de la production concernée par le reste de la partiedroite.

Algorithme:

L: langage engendré par G = (V, ∑, R, S), il s'agit de trouver A (Q,∑,Γ ,δ,q0, #, F) tel que L(G)= L(A).

∑ = ∑ de la grammaire

Γ = V ∪ {#}

Q = {q0, q1}

F = q1

δ définie par:

1) δ(q0, ε, #) = (q1, S#) on empile l'axiome ∀ la chaîne d'entrée2) si (A → α) ∈ R alors δ(q1, ε, A)= (q1, α)

3) δ(q1, σ, σ) = (q1, ε) ∀ σ ∈ ∑

4) δ(q1, ε, #) = (q1, ε)

Exemple:

soit L = {anbn, n ≥1}

L est engendré par G = (V,∑

, R, S) avec V = {a,b,S};∑

= {a,b},et R définit par S → aSb|ab


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Le PDA à pile vide qui reconnaît L(G) est:

A (Q,∑,Γ ,δ,q0, z, F) avec ∑ ={a,b}; Γ ={a,b,S,#}, z = #, Q={q0,q1}; F={q1} et δ définie par:

δ(q0, ε, #) = (q1, S#) [F1]

δ(q1, ε, S) = (q1, aSb) [F2]

δ(q1, ε, S) = (q1, ab)

δ(q1, a, a) = (q1, ε) [F3]

δ(q1, b, b) = (q1, ε)

δ(q1, ε, #) = (q1, ε) [F4]

Faisons tourner l'automate sur a2b2

(q0,aabb, #) (q1, aabb, S#) (q1, aabb, aSb#) (q1, abb, Sb#) (q1, abb, abb#) (q1, bb,bb#) (q1, b, b#) (q1, ε, #) (q1, ε, ε)

V.8 Propriétés de clôture

La classe des langages hors contexte est close pour l’union

Preuve par construction:

• Soient G1 = (N1, T1, R1, S1) et G2 = (N2, T2, R2, S2) engendrant respectivement L1 et L2

• Construisons G pour engendrer L1 ∪ L2

G = (N1 ∪ N2 ∪ {S},

T1 ∪ T2,

S,

R1 ∪ R2 ∪ {S S1 | S2 })

En s’assurant au préalable que N1 ∩ N2 = Ø et S ∉ N1∪ N2 sinon renommage.

La classe des langages algébriques est close par concaténation

Preuve par construction

• Soient G1 = (N1, T1, R1, S1) et G2 = (N2, T2, R2, S2) engendrant respectivement L1 et L2

• Construisons G pour engendrer L = L1L2

G = (N1 ∪ N2 ∪ {S}, T1 ∪ T2, S, R1 ∪ R2 ∪ {S S1S2})

En s’assurant au préalable que N1 ∩ N2 = Ø et S ∉ N1∪ N2


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La classe des langages algébriques est close pour l’opération « étoile de Kleene »

Preuve par construction

• G = (N, T, R, S) engendrant le langage L

• Construisons G’ pour engendrer L* :

G’ = (N ∪ {A}, T, axiome A, P ∪ {A ε | SA}

On s’assure au préalable que A ∉ N

Exemple

Question : construire une grammaire pour L = {a i b j ck, i=j, ou j=k}

Réponse :

L est l’union de deux langages = L1 ∪ L2

Avec L1 : {ai b j ck , i=j, k ≥ 0}

L2 : {ai b j ck , i ≥ 0, j=k}

• Concernant L1 :{ai b j ck, i=j, k ≥ 0} est la concaténation de L1’= {a

i b j, i=j}

L1’’= {ck, k ≥ 0}

• Concernant L2 :{ai b j ck, i ≥ 0, j=k} est la concaténation de L2’= {a

i, i ≥ 0}

L2’’= {b j ck, j=k}

• Les langages {ck, k ≥ 0}, respectivement {ai, i ≥ 0} sont étoile de {c}, respectivement {a}.

• Construisons maintenant la grammaire pour L.

{ai

b j

, i=j}: • S1 ε | a S1 b{ck, k ≥ 0}: •S2 ε | c S2

L1 = {ai b j ck, i=j, k ≥ 0}

• S1 ε | a S1 b

• S2 ε | c S2

• SL1 S1 S2 /*concaténation

L2 = {ai b j ck, i ≥ 0, j=k}

• S3 ε | a S3

• S4 ε | b S4 c

• SL2 S3 S4 /*concaténation

L = {ai b j ck, i=j, ou j=k} est engendré par

G = (N, T, R, S)

N = {S1, S2, S3, S4, SL1, SL2, S}


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T = {a, b}

P = {S1 ε | a S1 b; S2 ε | c S2; SL1 S1 S2; S3 ε | a S3;

S4 ε | b S4 c; SL2 S3 S4; SSL1 | SL2}

V.11 Clôture des langages hors contexte (intersection et complémentation)

• La classe des langages hors contexte n’est pas close par intersection.

Contre exemple :

Comme on l’a montré par lemme de Pompage, le langage

L = {ai b j ck, i ≥ 0} n’est pas hors contexte.

Or L = L1 ∩ L2 avec L1 et L2 les deux langages hors contexte ;L1 = {a

i b j ck, i = j} /*concaténation de ai b j et ck

L2 = {ai b j ck, j = k} /*concaténation de ai et b j ck

• La classe des langages hors contexte n’est close par complémentation.

Preuve :

Si cette classe était à la fois close par union et complémentation, elle seraitforcément close par intersection, car L1 ∩ L2 = 21 L L ∪ on vient de voir qu’elle n’est pasclose (intersection).

Théorème:

L'intersection d'un langage hors contexte et d'un langage régulier est un langage horscontexte.

Bibliographie

1. D. Cohen, "Introduction to computer Theory", Edition wiley, 1996.

2. J. E. Hopcropft, J. Ullman, "Introduction to Automata Theory, languages andcomputation, Edition Addison-Wesley 1979.

3. H.R. Lewis, C.H. Papadimitriou, "Elements of The Theory of computation", EditionPrentice Hall, 1998.


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