7/25/2019 TIPE 2016 OUJDA OBAmodle de lotka-volterra

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Interactions proies-prdateurs :modle de lotka-volterra

Plan :

Introduction (interactions proie-prdateur)

Prsentation du modle lotka-volterra :

Historique

hypothses dtudes

Etude nrale

Equation di!rentielle

"solution

#ta$ilit et volution

Etude dun cas particulier :

%imites du modle

&onclusion (amliorations)

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Introduction du thme :

%e thme de 'IPE de cette anne est : oranisation-compleit-dynamique il nous a paru donc que

notre su*et doit traiter le c+t thoriquemathmatique et physique en m,me temps que lecot concret et rel %e modle proies-prdateursde %otka-.olterra runit ses deu aspects tout entant un modle ouvert / lvolution vu ses limiteset les hypothses quils supposent 0 et cest ce qui1ait son intr,t : pouvoir saisir lutilit et les limites

de chaque thorie est essentiel pour se rendrecompte de lvolution de la science et cest ce quenous a permis ce su*et de mieu comprendre

Le modle de lotka-volterra :

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Introduction :

2une manire nrale les modlesmathmatiques constituent des outils de

comprhension du 1onctionnement de systmesnaturels et de prdiction de leurs volutions 3ousnous intresserons ici au traitement de systmesdynamiques continus et dterministes cest-/-direri par des systmes dquations di!rentiellesordinaires &es modles sont essentiellementutiliss dans le cadre dtudes de dynamiques des

populations et des cosystmesEn e!et les o$*ecti1s viss sont de trois ordres :

4 palier / la simplicit des modles / une espce etse rapprocher dune ralit ancre dans uncosystme complee 0 ces modles ofrent unemeilleure balance entre le critre deminimalit de la construction du modle et le

caractre explicati que lon en attend4 raliser une tude qualitative de lvolution dusystme modlis Il sait la plupart du temps dedterminer la sta$ilit de la communaut tudieles conditions hypothtiques deistence dunesta$ilit la sensi$ilit de telles conditions vis-/-visdes paramtres! des conditions initiales de la

compleit du systme &e positionnement soulvedailleurs la question de la validit de la notion desta$ilit 0 doit-on se 1ocaliser sur les pointsparticuliers insensi$les au pertur$ations ouinclure alement une certaine persistance desespces au travers de dynamiques cycliques"voire porter une certaine attention au transcients

(priodes transitives des dynamiques)

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4 permettre une tude quantitative via$le descommunauts tudies Il sait de mettre au pointdes outils daide 5a la estion 0 le caractre

prdicti1 du modle est alors mis / contri$ution2un point de vue $ioloique ces modles sont$ien s6r discuta$les du 1ait des di7cults lies /lo$servation et / la mesure des paramtres dusystme

2autre part ils ne tiennent pas compte ducaractre minemment stochastique des processus$ioloiques8

9quand $ien m,me lintr,t du modlisateur portesur une espce particulire

)-pouvant varier au r des actions anthropiquesde modi;cations de lenvironnement de slectionsinterspci;ques

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%e modle que nous tudions a t proposepar .olterra (et indpendamment par %otka) en9=> dans un ouvrae intitul ?'horie

mathmatique de la lutte pour la vie? qui estpro$a$lement le premier trait d@coloiemathmatique $olterra avait t consulte parle responsable de la pche italienne a %riestequi avait remarqu que& 'uste aprs lapremire (uerre mondiale )priode durantlaquelle la pche avait t nettementrduite* la proportion de requins et autres

prdateurs impropres + la consommation quelon p,chait parmi les poissonsconsommables tait nettement suprieure +ce quelle tait avant-(uerre et + ce quelleredevint ensuite

#pothses dtude :

%e modle concerne deu populations dont lese!ecti1s voluent avec le temps t : les prdateurset les proies notant que les prdateurs senourrissent eclusivement des proies%es hypothses suivantes (invita$lementsimpli;catrices A) sont ncessaires pour cette tude:

$iotope par1ait : Les proies disposent denourriture en quantit illimite& seuls lesprdateurs sopposent + leur croissance et enlabsence de prdateurs la population desproies a une croissance exponentielle)modle malthusien*

reproduction des deu espces est assure )on

considre que chaque nouveau-n est apte +reproduire de nouvelles (nrations*

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le nom$re des prdateurs est limit par le nom$re

des proies )existence des prdateurs dpendde lexistence des proies*

on omet la di!rence entre les individus de chaqueespce )sexe& tat phsique& tat de sant&.*

&e qui nous permet de considrer une seulevaria$le pour reprsente ltat de chaque espce

Dans la suite on considrera :

x : proies

y : prdateurs

/tude (nrale :

Equation difrentielle :

%e nom$re de prdateurs est limite par la quantit

de proies dont ils disposent pour se nourrir et en

la$sence de proies la population des prdateurs aune croissance eponentielle (modle malthusien)(reproduction)

%e nom$re de rencontres entre proies et

prdateurs et a la 1ois proportionnel a (t) et y(t)donc proportionnel au produit (t)y(t)

%e tau de disparition des proies ainsi que le tau

de croissance des prdateurs dues a ces rencontressont lun et lautre proportionnels au nom$re derencontres entre les deu populations

&eci conduit / lquation suivante :

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0ommentaires oraux :

1n obtient un 232%454 6quations difrentielles

0e sstme est 717 LI748I94 )termes en x*

1n ne sait pas le rsoudre

1n peut m,me dmontrer quil na pas de solutionexplicite

5ais que les solutions existent et sont uniques

5ais on sait calculer numriquement les solutionsParticulires )rsolution numrique*

4t on sait en aire une tude ;8LI%8%I$44tude qui permet de dterminer lallure des solutions

4tude qualitative

6eux mthodes sont applicables :

cile au plan mathmatique

! La mthode des isoclines et du portrait de champ

8pproche (raphique& plus intuitive que nous allonsutiliser

Limites du modle :

BC le modle manque-t-il de ralisme D

9 %e nom$re instantan de proies tues est directement

proportionnel au nom$re de proies prsentes %out prdateur estcapable de tuer instantanment un nombre in?ni de proies

2e m,me le nom$re de prdateurs enendrs crot linairementavec la densit des proies Fn prdateur est capa$le de donnernaissance instantanment / un nom$re in;ni de descendants

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%a raction est stJchiomtrique %es rencontres proies-prdateurs se 1ont au hasard La proie n@a pas de structurespatiale& ni sociale Le prdateur n@a aucune strat(ie derecherche Il se dplace au hasard

> %e modle tant continu en temps et en e!ecti1 aucune desdeu populations ne peut a priori sGteindre Les efectis dechacune peuvent devenir in?niment petits