Théorème de Thalès...2015/08/12 · BC: L'avantage de cet énoncé et de cette démonstration...
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9 Théorème de Thalès 33 Leçon n° Niveau De la 3 e au Supérieur Prérequis notions de proportionnalité Références [108], [109], [110], [111], [112], [113] 33.1 Rappels de quatrième 33.1.1 Droites des milieux Théorème 33.1 Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors, elle coupe le troisième côté en son milieu. (MN )//(BC ) A B C M N Théorème 33.2 Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés aalors elle est paral- lèle au troisième côté. Théorème 33.3 Dans les deux configurations précédentes, on a MN = 1 2 BC . 33.1.2 Agrandissement / réduction d’une figure Définition 33.4 Lorsque l’on multiplie par un nombre k> 0 toutes les longueurs d’une figure F , on obtient une figure F qui est : 1. un agrandissement de F si k> 1 ; 2. une réduction de F si 0 <k< 1. Le nombre k est appelé le facteur d’agrandissement ou de réduction. R 33.5 Dans la section précédente, le triangle ABC est un agrandissement de AMN de facteur 2. Propriété 33.6 Dans un agrandissement ou une réduction : — les mesures d’angles sont conservées ; — les droites parallèles restent parallèles ; — les droites perpendiculaires restent perpendiculaires ;
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9Théorème de Thalès33
Leç
on
n°
Niveau De la 3e au SupérieurPrérequis notions de proportionnalité
Références [108], [109], [110], [111], [112], [113]
33.1 Rappels de quatrième33.1.1 Droites des milieux
Théorème 33.1 Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à undeuxième côté alors, elle coupe le troisième côté en son milieu.
(MN)//(BC)
A
B
C
MN
Théorème 33.2 Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés aalors elle est paral-lèle au troisième côté.
Théorème 33.3 Dans les deux configurations précédentes, on a MN = 12BC.
33.1.2 Agrandissement / réduction d’une figureDéfinition 33.4 Lorsque l’on multiplie par un nombre k > 0 toutes les longueurs d’une figure F , onobtient une figure F ′ qui est :
1. un agrandissement de F si k > 1 ;
2. une réduction de F si 0 < k < 1.
Le nombre k est appelé le facteur d’agrandissement ou de réduction.
R 33.5 Dans la section précédente, le triangle ABC est un agrandissement de AMN de facteur 2.
Propriété 33.6 Dans un agrandissement ou une réduction :— les mesures d’angles sont conservées ;— les droites parallèles restent parallèles ;— les droites perpendiculaires restent perpendiculaires ;
10 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
— les aires sont multipliés par k2 ;— les volumes sont multipliés par k3.
33.2 Théorème de Thalès et sa réciproque
33.2.1 Le théorème de Thalès
Théorème 33.7 Étant donné deux droites sécantes coupées toutes deux par deux droites parallèles(de telle façon que l’on ait deux triangles), alors le plus grand triangle est un agrandissement du pluspetit.
Deux configurations possibles :
1.
A
B
C
M
N
2.
A
B
C
M
N
Dv Égalité entre rapport de longueurs
Comme AMN est un agrandissement de ABC alors :— AM est un agrandissement de AB ;— AN est un agrandissement de AC ;— MN est un agrandissement de BC.
Dit d’une autre façon, on peut trouver un nombre k > 1 tel que :— AM = kAB ;— AN = kAC ;— MN = kBC.
On a donc :AM
AB= AN
AC= MN
BC= k.
Dv Résolution type brevet
Si :— (MN)//(BC) ;— les points A,B,M sont alignés ;— les points A,C,N sont alignés.
Alors, je peux appliquer le théorème de Thalès aux triangles ABC et AMN :
AM
AB= AN
AC= MN
BC.
33.3 Exercices et applications 11
33.2.2 Réciproque du théorème de Thalès
Théorème 33.8 Étant doné deux droites sécantes coupées toutes deux par deux droites d et d′ (detelle façon que l’on ait deux triangles). Si le plus grand triangle est un agrandissement du plus petitalors d et d′ sont parallèles.
1.
A
B
C
M
N
2.
A
B
C
M
N
Pour vérifier que AMN est un agrandissement de ABC, il faut montrer qu’il existe un nombre ktel que :
— AM = kAB ;— AN = kAC ;— MN = kBC.
R 33.9 On peut montrer que dans la configuration où nous sommes, il suffit de montrer qu’il existe un nombre ktel que AM = kAB, AN = kAC pour conclure que AMN est un agrandissement de ABC.
DvRédaction type brevet — Si AMAB = ANAC
— Si les points A,B,M et les points A,C,N sont alignés dans le même ordrealors on peut appliquer la réciproque du théorème de Thalès et conclure que (MN)//(BC).
33.3 Exercices et applications
33.3.1 Une longueur constante
Soit ABCD un rectangle. On construit le point E sur le segment [AB] et F sur le segment [CD]tel que (EF )//(BC).
Soit Z ∈ [DA]. Le segmenet [ZB] coupe le segment [EF ] en un point M et le segment [ZC]coupe le segment [EF ] en un point N .
Montrer que MN = cst.
A B
CD
E
F
Z
M
N
12 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
33.3.2 Découper un segment de longueur donné en n segments de même longueur
A C
D
E
F
G
H
B
33.3.3 Construire à la règle et au compas une fractionOn considère un axe tel que OI = 1. Construire M tel que OM = a
b .
Dv
O I A
B
C
M
On place A tel que OA = a×OI .Soit C un point de d′. On place B tel que OB = bOC.La droite parallèle à (AB) couple l’axe en M tel que
OM
OA= OC
OB= 1b.
D’oùOM = 1
bOA = a
bOI = a
b.
33.4 Démonstration du théorème de Thalès33.4.1 Une démonstration due à Euclide
Dv
• Démonstration —
33.4 Démonstration du théorème de Thalès 13
A
BC
MN
D
F
I J
On considère les triangles AMN et BNA. On a : 2A(AMN) = AM ·NI et 2A(BNA) =AB · IN donc on a :
AM
AB= A(AMN)A(BNA) .
De plus, 2A(AMN) = AN ·MJ et 2A(CMA) = AC ·MJ donc
AN
AC= A(AMN)A(CMA) .
Maintenant, montrons que A(BNA) = A(CMA). Ceci revient à montrer que A(MFB) =A(CFN) : (MN) et (BC) sont parallèles donc on en déduire queA(BNM) = A(CMN) :même base et même hauteur. Or :
A(BNM) = A(BMF ) +A(FMN) et A(CMN) = A(CFN) +A(FMN),
ce qui démontre l’égalité.Ainsi, comme A(BNA) = A(CMA), on a alors :
AM
AB= A(AMN)A(BNA) = A(AMN)
A(CMA) = AN
AC.
Montrons maintenant la deuxième égalité en considérant le parallélogrammeMNCD : d’aprèsce que l’on vient de démontrer, en se plaçant dans le triangle ABC, on a BM
BA = BDBC , d’où :
BA−MA
BA= BC −DC
BC⇔ AM
AB= DC
BC= MN
BC
car MNCD est un parallélogramme. On a ainsi démontré l’implication directe.Réciproque : elle utilise le sens direct.Soit le point E de d tel que (NE) est parallèle à (BC), alors A, E et B sont alignés dans lemême ordre que A, N et C et donc on peut appliquer le sens direct :
AE
AB= AN
AC= AM
AB
d’après l’hypothèse. Donc : AEAB = AM
AB d’où AE = AM , les points étant tous alignés dans lemême ordre, il vient que E = M donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles. •
33.4.2 Preuve purement vectorielle
14 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
Dv
• Démonstration — Il faut se poser la question de la validité d’une démonstration vectorielledu théorème de Thalès. En effet, la géométrie vectorielle s’appuis souvent sur une défini-tion géométrique des vecteurs, définition dans laquelle le théorème de Thalès joue un rôleprépondérant quand il s’agit d’affirmer que k( #»u + #»v ) = k #»u + k #»v .Mais on peut toutefois s’intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justifi-cation grâce aux opérations vectorielles. Ce qui pourrait permettre de généraliser le théorèmede Thalès à tout espace affine euclidien associé à un espace vectoriel.Dire que D est sur (AB), c’est écrire qu’il existe un réel x tel que
# »
AD = x# »
AB.De même, dire que E est sur (AC), c’est écrire qu’il existe un réel y tel que
# »
AE = y# »
AC.Enfin, dire que les droites (ED) et (BC) sont parallèles, c’est écrire qu’il existe un réel t telque
# »
DE = t# »
BC.Les égalités précédentes et la relation de Chasles permettent d’écrire que :
y# »
AC = # »
AE
y( # »
AB + # »
BC) = # »
AD + # »
DE
y# »
AB + y# »
BC = x# »
AB + t# »
BC.
L’écriture suivant les vecteurs# »
AB et# »
BC se doit être unique car ces vecteurs ne sont pascolinéaires. Donc y = x et y = t. On obtient donc les trois égalités :
# »
AD = x# »
AB,# »
AE = x# »
AC et# »
DE = x# »
BC.
L’avantage de cet énoncé et de cette démonstration est que cela n’oblige pas à traiter lesdifférents cas de configuration évoqués plus haut. •
33.5 D’autres théorèmes de géométrie en rapport avec le théorèmede Thalès
33.5.1 Dans le planSoit E un espace affine de dimension 2 et
#»
E son espace vectoriel associé.
Théorème 33.10 Soit ∆1, ∆2, ∆3 trois droites distinctes telles que ∆1 soit parallèle à ∆2, ellescoupent ∆ et ∆′, deux droites distinctes, en A, B, C et A′, B′ et C ′.
Alors ∆1 est parallèle à ∆3 si et seulement si :{ # »
A′C ′ = k# »
A′B′# »
AC = k# »
AB
avec k ∈ R∗.
Dv
• Démonstration —
33.5 D’autres théorèmes de géométrie en rapport avec le théorème de Thalès 15
⇐# »
CC ′ = # »
CA+# »
AA′ +# »
A′C ′
= k# »
BA+# »
AA′ + k# »
A′B′
= k# »
BA+# »
AA′ + k(# »
A′A+# »
AB′)
= k( # »
BA+# »
AB′) + (1− k)# »
AA′
= (k + l)# »
BB′
car ∆1//∆2.⇒ Il existe k ∈ R tel que
# »
AC = k# »
AB et il existe k′ ∈ R tel que# »
A′C ′ = k′ # »
A′B′. Montrerque k = k′.
# »
A′C ′ = k′ # »
A′B′
# »
A′A+ # »
AC +# »
CC ′ = k′(# »
A′A+ # »
AB +# »
BB′)
(1− k)# »
AA′ = k# »
B′B +# »
CC ′ = (k′ − k) # »
AB.
Or ∆1//∆2//∆3 donc il existe λ ∈ R tel que
(1− k)# »
AA′ + k# »
B′B +# »
CC ′ = λ# »
AA′.
D’où :(k′ − k) # »
AB − λ # »
AA′ = 0.
Or# »
AB et# »
AA′ ne sont pas colinéaires, ( # »
AB,# »
AA′) est un système libre, d’où k′ − k = 0 etλ = 0. •
Dv Autre preuve par les projections
• Démonstration —
⇒ ∆1, ∆2 et ∆3 sont parallèles. Ces trois espaces affines sont dirigé par un même sous-espace vectoriel de
#»
E noté#»
H . On considère p, la projection sur ∆′ parallèlement à#»
H . Ona :
p(A) = A′ ; p(B) = B′ ; p(C) = C ′.
Soit k ∈ R tel que# »
AC = k# »
AB (existe car A, B et C sont alignés). On a :
# »
A′C ′ =# »
p(A)p(C)= #»p ( # »
AC)
= #»p (k # »
AB) = k #»p ( # »
AB) = k# »
A′B′
où #»p est l’application linéaire associée à p.
⇐ On suppose qu’il existe k ∈ R tel que# »
AC = k# »
AB et# »
A′C ′ = k# »
A′B′. Soti D′ un pointde ∆′ tel que (CD′)//∆1. On peut applique Thalès :
{# »
AC = k# »
AB# »
A′D′ = k# »
A′B′.
16 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
D’où# »
A′D′ =# »
A′C ′, c’est-à-dire C ′ = D′. •
Corollaire 33.11 Le théorème de Thalès peut donc s’exprimer uniquement en affine. Avec les hy-pothèses du théorème :
∆2//∆3 ⇔AC
AB= A′C ′
A′B′.
Théorème 33.12 — Théorème de Ménélaus. Soit ABC un triangle et A′ ∈ (BC), B′ ∈ (AC) etC ′ ∈ (AB).
C ′A
C ′B= B′C
B′A= A′B
A′C= 1⇔ A′, B′, C ′ alignés.
A
B
CB′
A′
C′
Dv
• Démonstration —⇐ On considère d la droite parallèle à (C ′B′) passant par B. On note D = d ∩ (AC) (D
est la projection de B sur (AC) parallèlement à (C ′B′)) ?
A
B
CB′
A′
C′
D
On applique deux fois le théorème de Thalès :— dans ABD et AC ′B′ ;— dans CBD et CB′A′.
⇒ On utilise le premier sens.On note D = (B′C ′) ∩ (BC). D’après le premier sens :
C ′A
C ′B× DB
DC× B′C
B′A= 1.
Or, par hypothèse :C ′A
C ′B× A′B
A′C× B′C
B′A= 1,
33.5 D’autres théorèmes de géométrie en rapport avec le théorème de Thalès 17
d’oùDB
DC= A′B
A′C,
c’est-à-dire qu’il existe k ∈ R tel que :{
# »
DB = k# »
DC# »
A′B = k# »
A′C
d’où# »
DA′ = k# »
DA′, c’est-à-dire D = A′ (k 6= 1) sinon B = C.•
Dv Preuve par les projections
• Démonstration —⇐ Soit ∆ non parallèle à (C ′B′). On considère δ, α, β, γ les projetés respectives de C ′,A, B, C sur ∆ parallèle à (C ′B′).
∆
A
B
CB′
A′
C′
δ
α
β
γ
On note p cette projection.
# »
δα =# »
p(C ′)p(A) = #»p (# »
C ′A).
Soit k ∈ R tel que# »
C ′A = k# »
C ′B, alors :
#»p (# »
C ′A) = k #»p (# »
C ′B) = k# »
δβ.
D’où :δα
δβ= C ′A
C ′B.
De même :B′C
B′A= δγ
δαet
A′B
A′C= δβ
δγ.
Finalement :C ′A
C ′B× B′C
B′A× A′B
A′C= 1.
⇒ On note δ le projeté de B′ et C ′. On note δ′ le projeté de A′. On montre que δ = δ′, etdonc que B′, C ′ et A′ sont alignés.
18 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
On a :
C ′A
C ′B× B′C
B′A× A′B
A′C= 1
d’où :δα
δβ× δγ
δα× δ′β
δ′γ= 1
c’est-à-dire :δγ
δβ= δ′γ
δ′β
et donc δ = δ′.•
Théorème 33.13 — Théorème de Pappus. Soient deux droites d et d′ ; trois points A, B et C de d ;trois points A′, B′ et C ′ de d′. On note P , Q et R les intersections respectives de (AB′) et (A′B),de (B′C) et (BC ′), et de (AC ′) et (A′C). Alors les points P , Q et R sont alignés.
Dv
• Démonstration —
A
B
C
A′ OB′ C′P QR
J
L
K
On suppose que (A′B) et (B′C) sont sécantes en J , (B′C) et (AC ′) en L, (AC ′) en K.Les trois points ainsi définis sont alors distincts et non alignés et définissent le triangle JKL.— la droite (AC) intersecte les trois côtés du triangle en A, B et C— la droite (A′C ′) intersecte les trois côtés du triangle en A′, B′, C ′
— la droite (BC ′) intersecte les trois côtés du triangle en B, Q,C ′
— la droite (A′C) intersecte les trois côtés du triangle en A′, P , C— la droite (AB′) intersecte les trois côtés du triangle A, R et B′.
33.5 D’autres théorèmes de géométrie en rapport avec le théorème de Thalès 19
D’après Ménélaüs, ces alignements se traduisent par les égalités suivantes :
AK
AL× BJ
BK× CL
CJ= 1
A′J
A′K× B′L
B′J× C ′K
C ′L= 1
BK
BJ× QJ
QL× C ′L
C ′K= 1
A′K
A′J× PL
PK× CJ
CL= 1
AL
AK× RK
RJ× B′J
B′L= 1
En multipliant membre à membre ces cinq égalités, il reste après simplification :
QJ
QL× PL
PK× RK
RJ
ce qui prouve d’après la réciproque de Ménélaüs l’alignement des trois points P , Q et R. •
Théorème 33.14 — Théorème de Desargues, réciproque. Soient deux triangles ABC et A′B′C ′ telsque les droites (AA′), (BB′) et (CC ′) sont parallèles ou concourantes alors les droites (AB) et(A′B′) sont parallèles, de même pour (BC) et (B′C ′) et pour (AC) et (A′C ′)
Dv
• Démonstration —
Première configuration : Dans le cas où les droites (AA′), (BB′) et (CC ′) sont parallèles,
O
A
CB
C′
A′
B′
appelons O le point d’intersection des trois droites. On applique le théorème de Thalèsdans le triangle OAC, on a alors :
OA
OA′ = OB
OB′ etOA
OA′ = OC
OC ′ .
Donc :OB
OB′ = OC
OC ′ .
et en appliquant la réciproque de Thalès, on en déduit que (BC) est parallèle à (B′C ′).
20 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
Seconde configuration : Les droites (AA′), (BB′) et (CC ′) sont parallèles.
A
A′
B
C
C′
B′
On reconnait deux parallélogrammes AA′C ′C et AA′B′B ayant un côté commun, lesdeux autres côtés parallèles définissent alors un parallélogramme.
•
Théorème 33.15 — Théorème de Desargues, réciproque. Soient deux triangles ABC et A′B′C ′ telsque les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles, de même pour (BC) et (B′C ′) et pour (AC) et(A′C ′). Alors les drotes (AA′), (BB′) et (CC ′) sont parallèles ou concourantes.
Dv
• Démonstration — La réciproque se déduit du sens direct par une méthode dite de « fausseposition » en distinguant deux cas suivant que deux droites parmi les 3 en jeu (disons (AA′)et (BB′) sont sécantes ou parallèles.— Si (AA′) et (BB′) sont sécantes, on note O le point d’intersection de (AA′) et (BB′) et
M tel que (A′M)//(AC) : les conditions du sens direct du théorème de Desargues sontréalisées, avec, M à la place de C ′ donc (MB′)//(CB). Or il n’existe qu’un seul pointsitué d’une part sur la parallèle à (AC) menée par A′, d’autre part sur la parallèle à (BC)menée par B′ et ce point est C ′. Donc M et C ′ snt confondus et les points O, C et C ′
sont alignés.— analogue au premier cas.
•
Théorème 33.16 — Théorème de Ceva. Étant donnés un triangle ABC et trois points A′, B′ et C ′
appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et (AB) ; les droites (AA′), (BB′) et (CC ′)sont concourantes ou parallèles si et seulement si :
A′C
A′B× B′A
B′C× C ′B
C ′A= −1.
Dv
• Démonstration — On peut déduire le théorème de Ceva de celui de Menelaüs. Si les troisdroites se coupent en G, la droite (CC ′) coupe les côtés du triangle ABA′ en C, G et C ′.
33.5 D’autres théorèmes de géométrie en rapport avec le théorème de Thalès 21
A
B
C
A′B′
G
C′
Par le théorème de Menelaüs, on a :
C ′A
C ′B× CB
CA′ ×GA′
GA= 1.
De même, la droite (BB′) coupe les côtés du triangle ACA′ en B, G et B′. et donc :
GA
GA′ ×BA′
BC× B′C
B′A= 1.
Le produit membre à membre donne :
A′B
A′C× B′C
B′A× C ′A
C ′B= −1
après calculs.Réciproquement, si
A′B
A′C× B′C
B′A× C ′A
C ′B= −1.
Si les droites (AA′), (BB′), (CC ′) ne sont pas parallèles alors deux d’entre elles sont concou-rantes en un point G, par exemple les droites (AA′) et (BB′).
A
B CA′
B′G
C′′
La droite (CG) coupe alors la droite (AB) en un pointC ′′. En effet, si ces deux droites étaientparallèles, on aurait avec Thalès que :
AB
GC= A′B
A′Cainsi que
AB
CG=(−ABGC
)= B′A
B′C
soit A′BA′C
= −B′AB′C
.
En remplaçant dans l’hypothèse on trouve que C′AC′B
= 1 soit A = B ce qui est absurde.
22 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
(CG) et (AB) sont bien concourantes en un point C ′′. Le théorème de Ceva en sens directentraîne que
A′B
A′C× B′C
B′A× C ′′A
C ′′B= −1
et donc par hpothèse, on trouve que C′′AC′′B
= C′AC′B
soit C ′ = C ′′.
Les droites (AA′), (BB′), (CC ′) sont bien concourantes en un point G. •
33.5.2 Dans l’espaceOn considère la figure suivante :
Théorème 33.17 — Théorème de Thalès dans l’espace. Si les plans (P1), (P2) et (P3) sont parallèlesalors :
AB
AC= A′B′
A′C ′.
Dv
• Démonstration — On considère la parallèle àD passant parA′ puis on applique le théorèmede Thalès deux fois. •
Théorème 33.18 — Première réciproque du thm de Thalès dans l’espace. Soient A, B et C troispoints d’une droite D et A′, B′, C ′ trois points d’une droite D′, on suppose que ces 6 points sontdeux à deux distincts. Alors si AB
AC= A′B′
A′C′ alors les droites (AA′), (BB′) et (CC ′) sont parallèles àun même plan.
33.6 Un exercice d’application 23
Dv
• Démonstration — On introduit les plans parallèles PA, PB et PC passant respectivementpar A, B et C et de vecteurs
# »
AA′ et# »
BB′. PA contient# »
AA′, PB contient# »
BB′ et PC coupeD′ en un point C ′′. Le théorème de Thalès (sens direct) entraîne que :
AB
AC= A′B′
A′C ′′ .
Or, par hypothèse, on a : AB
AC= A′B′
A′C′ donc C ′′ = C ′.
Le plan PC contient donc# »
CC ′ et ainsi (AA′), (BB′) et (CC ′) sont parallèles à un mêmeplan (car les trois plans étaient supposés parallèles. •
Théorème 33.19 — Seconde réciproque du thm de Thalès dans l’espace. Soient D, D′ et D′′ troisdroites distinctes. Trois plans distincts PA, PB et PC coupentD respectivement enA,B,C, coupentD′ respectivement en A′, B′, C ′ distincts et coupent D′′ respectivement en A′′, B′′, C ′′ distincts. Onsuppose que C, C ′ et C ′′ ne sont pas alignés.
Si ABAC
= A′B′
A′C′ = A′′B′′
A′′C′′ et si PA est parallèle à PB alors PC est parallèle à PA et à PB .
Dv
• Démonstration — Soit P le plan passant par C est parallèle à PA et à PB . Il coupe D′ enQ et D′′ en R de sorte qu’on puisse utilise le théorème de Thalès (sens direct) aux trois plansparallèles PA, PB et P . On obtient l’égalité :
AB
AC= A′B′
A′Q= A′′B′′
A′′R
ce qui entraîne avec les hypothèses que Q = C ′ et R = C ′′ et ainsi P = PC .Les plans PA, PB et PC sont parallèles. •
33.6 Un exercice d’application� Exercice 33.20 SoitABCDA′B′C ′d′ un parallélépipède rectangle de l’espace, le rectangleA′B′C ′D′
étant le translaté du rectangle ABCD par le vecteur# »
AA′. Montrer que (A′BD) et (B′D′C) sont pa-rallèles.
Ces deux plans coupent respectivement la grande diagonale (AC ′) en I et J . En utilisant le théo-rème de Thalès dans l’espace, montrer que I et J sont situés au 1/3 et au 2/3 de [AC ′]. �
Dv
• Solution — En utilisant le fait qu’on travaille avec des rectangles, il est facile de montrerque (BCD)//(B′C ′D′). On considère la figure suivante (les pointsA′′ (resp.B′′, C ′′ etD′′)s’obtiennent en faisant une symétrie centrale du pointA (resp.B,C etD) par rapport au point
24 Leçon n°33 • Théorème de Thalès
A′ (resp. B′, C ′ et D′).
A B
CD
B′
C′
A′
D′
B′′
C′′
A′′
D′′
I
J
Pour les mêmes raisons, (D′′C ′B′′)//(B′D′C)//(A′BD). On note I ′ le point d’intersectionentre (A′DB) et (AD′). On constate que I ′ est le centre du rectangle AA′D′D donc AD′
AI′ =2.Le théorème de Thalès nous donne :
AJ
AI= AD′
AI ′ = 2⇒ AJ = 2AI.
Il reste à montrer que AI = 13AC
′.On note I ′′ le point d’intersection entre (A′DB) et (AD′′). Le théorème de Thalès nousdonne : AC′
AI= AD′′
AI′′ . On se place dans le repère (A, # »
AB,# »
AD,# »
AA′). En fait, I ′′ appartient àla droite (A′D) et à la droite (AD′′). On a :
A(0; 0; 0) ; A′(0; 0; 1) ; D(0; 1; 0) ; B′′(0; 1; 2) ;# »
A′D(0; 1;−1) ;# »
AD′′(0; 1; 2)
(A′D) :
x = 0y = λ
z = 1− λ, λ ∈ R (33.1)
(AD′′) :
x = 0y = µ
z = 2µ, µ ∈ R (33.2)
On tire de (33.1) que x = 0 et y + z = 1 et de (33.2) que z = 2y.Ainsi x = 0, 3y = 1 soit y = 1
3 et donc z = 23 . On a ainsi :
I ′′(0, 13 ,
23 )⇒ # »
AI ′′ = 13
# »
AD′′.
Alors AD′′
AI′′ = 3. Comme AC′
AI= AD′′
AI′′ , on en déduit AC′
AI= 3 soit AI = 1
3AC′.
Conclusion : AI = 13AC et AJ = 2AC ′. •
Bibliographie
[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.
[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.
[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne.net/graphes-ancien/coloration/sommets.html
[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_accompagnement.pdf.
[5] E. SIGWARD & al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.
[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité. http://mathadoctes.free.fr/TES/graphe/f4_graphe.PDF
[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://bacamaths.net.
[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :http://www.math.univ-montp2.fr/
[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/~duvalp
[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL : http://bacamaths.net.
[11] M. LENZEN, Leçon no 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formuledu binôme. Applications., 2011, URL : http://www.capes-de-maths.com/index.php?page=leconsNEW
[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL : http://tehessin.tuxfamily.org
[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL : http://bacamaths.net
[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/
[15] L. LUBRANO & al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.
[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL : http://bacamaths.net.
[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.
[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www.lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme.pdf
[19] Loi uniforme sur [a; b], IREM de Toulouse. URL : http://www.irem.ups-tlse.fr/spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf
[20] P. TAQUET & al., Mathématiques, BTS Groupement A, Hachette Technique, 2010.
26 BIBLIOGRAPHIE
[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/~suquet/Polys/IS.pdf.
[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL : http://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf
[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no 503, 2013. URL : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm
[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem.univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/marche-aleatoire.pdf.
[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/proba/marchesZ.pdf
[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.
[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/actualites/M_toulouse2.html
[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/stats_desc_poly.pdf
[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL : http://jellevy.yellis.net.
[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www.xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.
[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.
[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL : http://bacamaths.net.
[33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL : http://alainguichet.mathematex.net/ecs-touchard/wiki.
[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) auThéorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.
[35] R. BARRA & al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.
[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.
[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et deconfiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_nouveau_programme2012.pdf
[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmesde mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012.http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_confiance_sti2d-stl_1_.pdf
[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http://mathematiques.daval.free.fr
[40] Chapitre 9 : Estimations, Lycée Rostand de Mantes.
BIBLIOGRAPHIE 27
[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.
[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.
[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http://www.parfenoff.org
[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.URL : http://tanopah.com.
[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www.mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf
[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL : http://megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html
[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien.herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.
[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.
[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL : http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf
[50] J.-P. BELTRAMONE & al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.
[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.
[52] B. BERTINELI & Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.
[53] G. TENENBAUM & M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.
[54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL : xmaths.free.fr
[55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.
[56] M. LENZEN, Leçon no 14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf
[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.
[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques, 2006-2007.
[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/math_sp
[60] G. BONTEMPS & al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.
[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL : http://bacamaths.net.
[62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://tehessin.tuxfamily.org
[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/21ganal.pdf.
[64] Contributeurs de Wikipédia, Base orthormale, Wikipédia.
28 BIBLIOGRAPHIE
[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/coorgeo.pdf.
[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL : http://bacamaths.net.
[67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007. http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf
[68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.
[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia.
[70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.
[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013. http://perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf.
[72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Montde Marsan. http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.
[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.
[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf
[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF
[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb.fr.
[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois.schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_pourcentage.pdf
[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.
[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf
[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/bacgestion/int_simp.PDF
[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone.voila.net/Brevet/syst.3.html
[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES. http://mathweb.fr.
[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah.jo.free.fr/seconde/regionalpha.php
[84] Programmation linéaire, http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf
[85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),Programme 1999, Didier.
[86] N. NGUYEN & al., Maths MPSI, Ellipses, 2e édition, 2010.
BIBLIOGRAPHIE 29
[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL : http://serge.mehl.free.fr/anx/dtes_p.html
[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www.parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_Droites_secantes.pdf
[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/geometrie/droites2012.pdf.
[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf
[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL : http://pierrelux.net/documents/cours/2/espace.pdf
[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf
[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.
[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e 3e, Playermath. URL : http://www.playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.
[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL : http://epsilon.2000.free.fr/4C/4C-02.pdf
[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia.
[97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.
[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http://math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_cartesiennes.pdf
[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL : http://www.hexomaths.fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf
[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.
[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.
[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.
[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.
[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www.xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf
[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/produitscalaire.pdf
[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf
[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015. http://www.ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf
[108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/cours/3_Thales_C.pdf.
30 BIBLIOGRAPHIE
[109] Propriété de Thalès, 3e. URL : http://melusine.eu.org
[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.com.
[111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.
[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.
[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.URL : http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf
