INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

No attribu par la biblioth`que e e

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` THESEpour obtenir le grade de DOCTEUR DE LINP GRENOBLE Spcialit : Gnie Electrique e e e prpare au Laboratoire dElectrotechnique de Grenoble, UMR 5529 e e dans le cadre de lEcole Doctorale Electrotechnique, Electronique, Automatique Tlcommunication, Signal ee

prsente et soutenue publiquement e e par

Louis-Antoine SCHMERBERle 21 dcembre 2006 e

Identication et caractrisation de sources e lectromagntiques. e e Application ` la discrtion des moteurs de a e propulsion navaleDirecteur de th`se : Albert Foggia e Co-encadrant : Laure-Line Rouve JURY M. M. M. Jean-Louis Lacoume, Prsident e Francis Piriou, Rapporteur Thierry Waeckerle, Rapporteur Henocq, Silvestre, Rouve, Foggia, Examinateur Invit e Co-encadrant de th`se e Directeur de th`se e

M. Hugues M. Nicolas M. Laure-Line M. Albert

RemerciementsLes travaux prsents dans ce mmoire de th`se ont t raliss au Laborae e e e ee e e toire de Magntisme du Navire (LMN) et au Laboratoire dElectrotechnique de e Grenoble (LEG). Ces deux laboratoires sont situs dans lEcole Nationale dInge e nieurs Electriciens de Grenoble (ENSIEG) de lInstitut Polytechnique de Grenoble (INPG). Tout dabord je voudrais remercier Messieurs Jean-Louis Coulomb et Yves Brunet, respectivement directeur du LMN et du LEG, pour laccueil quils mont fait au sein de ces laboratoires. Ensuite, je voudrais remercier tous les membres du jury. Monsieur Jean-Louis Lacoume du Laboratoire des Images et Signaux (LIS) de Grenoble pour mavoir fait lhonneur de prsider le Jury. Jai beaucoup e apprci lintrt quil a port ` ce travail et la disponibilit quil ma accord e e ee ea e e lorsque jai rencontr divers probl`mes dchantillonnage spatial. e e e Monsieur Francis Piriou du Laboratoire dElectrotechnique et dElectronique de Puissance de Lille (L2EP) pour avoir accept la tche aride de rapporteur e a ainsi que pour ses commentaires sur ce travail. Monsieur Thierry Waeckerle Ingnieur de recherche chez Imphy Alloys qui e a galement accept cette lourde tche de rapporteur. Nous nous sommes e e a souvent croiss au LMN sans jamais cerner lenrichissement que serait notre e collaboration, dsormais je me tiendrai ` sa disposition pour que ce travail e a ait le plus dapplications possibles, en particulier du ct des matriaux. oe e Monsieur Hugues Henocq ingnieur de recherche au GESMA, pour stre e e galement prt ` la tche dlicate dexaminateur et de relecteur. Jai eu e ee a a e plaisir ` discuter des passages sombres de cette th`se et ` voir lintrt que a e a ee la Marine Nationale portait ` ce travail. a Monsieur Nicolas Silvestre responsable DGA, qui a rpondu ` linvitation du e a LMN et ma fait lhonneur de lire et dassister ` la th`se. a e Madame Laure-Line Rouve pour lencadrement sans gal de cette th`se, la e e patience quotidienne qui lui a permis de partager son bureau avec une tte de e mule pendant plus de trois ans. Ce nest pas la premi`re th`se pour laquelle e e sa prsence a t indispensable et je tiens ` lui rendre lnorme part de travail e ee a e qui est la sienne. Monsieur Albert Foggia pour la direction clairvoyante quil a russie ` donner e a a ` cette th`se et la patience dont il a fait preuve pendant et avant cette th`se. e e Mes remerciements se tournent maintenant vers les personnes qui mont le plus guid au cours de cette th`se : lensemble de personnes ayant mis ` disposition e e a i

leurs travaux et reexions scientiques. Je tiens galement ` remercier Jean-Paul Bongiraud qui narrivera certainement e a jamais ` se dbarrasser de sa tche de gestionnaire du LMN. Heureusement pour a e a lui, lheure de la sparation approche lui ouvrant une nouvelle vie plus musicale e encore. A Gilles Cauet, sans qui mes pas se seraient tourns vers les nano-choses et e qui a russi me faire monter ` bord du navire avant que je natteigne le bout du e a couloir. Jai apprci son encadrement lors de mon DEA ainsi que ce quil ma e e apport pour accomplir ce travail. e Merci galement aux dirents thsards du LMN, Sbastien et Yannick, qui e e e e tour ` tour ont russi ` me supporter quand je venais leur transmettre mon amour a e a de la science, et cest ma joie... Gilles Quemener, qui a propos au LMN le sujet mtaphysique de lorigine de e e notre galaxie en observant la lenteur des neutrons froids. Jesp`re que nos discuse sions autour des harmoniques sphriques porteront leurs fruits et que le Big Bang e et lanti-mati`re nauront bientt plus aucun secret pour lui. e o Gilles David, lautre Gilles, celui avec qui jai eu plaisir ` partager mes repas a quotidiennement et qui restera ` jamais ma rfrence en mati`re dexpert Linux. a ee e A mes amis, Sylvain, Olivier et Philippe avec qui je partage la devise des trois mousquetaires. Aujourdhui je tiens ` les remercier pour leur indfectible soutien a e qui ma guid tout au long de cette th`se. e e Martin Bloedt, minence grise du diagnostic machine et compagnon de corde. e e Je lui dois le semblant de rigueur allemande dont fait preuve cette th`se et mon e utilisation abusive de latex. Jesp`re de tout cur enrichir mon carnet de route de e sommets enneigs, pourquoi pas une sombre face nord de lOberland... e Tous les amis que jaurais peine ` numrer sans en oublier : Vincent, Elwin, ae e Perrine, Elise et Guillaume, Sonia et Laurent, Silvia et Pierre, les musicaux Laurence et Emmanuel sans oublier Gabriel, Monseigneur Dd. e e Arrive enn, ma famille. Je commencerai par mes trois surs, Sophie, Aude et Eudoxie, ainsi les pi`ces rapportes respectives, Jrme, Thierry et Stphane. Sans e e eo e oublier Clara la bien nomme. Mes parents et grand-parents ` qui je dois ce que e a je suis. Michel et Annie, Gael et Maguelone et Mathias. A tous merci pour votre soutien. A toi, Amandine qui supportes le pire.

Table des mati`res eI Mod`le et e dynamiques identication de sources magntoe 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 11 12 12 12 12 13 14 15 15 16 17 17 17 18 18 19 19 20 20 21 22 23 25 25 26 26 27 28 28

1 Mod`les multipolaires harmoniques e 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dtermination des quations locales des champs . . . . . . . . . e e 1.2.1 Equations de Maxwell et relation des matriaux . . . . . e 1.2.2 Lquation de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Solutions harmoniques des champs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Sparation des variables et fonctions propres . . . . . . . e 1.3.1.1 Le potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1.2 Le potentiel vecteur magntique . . . . . . . . . e 1.3.1.3 Sparations des variables . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1.4 Le probl`me de Sturm-Liouville . . . . . . . . . e 1.3.2 Dveloppement harmonique du champ lectromagntique e e e 1.3.2.1 Ecriture des champs en coordonnes polaires . . e 1.3.2.2 Ecriture des champs en coordonnes sphriques e e 1.3.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3.1 Validit du dveloppement . . . . . . . . . . . . e e 1.3.3.2 Dveloppements multipolaires . . . . . . . . . . e 1.3.3.3 Probl`me interne - Probl`me externe . . . . . . e e 1.4 Proprits des dveloppements en srie du champ . . . . . . . . ee e e 1.4.1 La sparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.2 Une criture intressante des champs lectromagntiques e e e e 1.4.3 Proprits des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . ee 1.4.3.1 Orthogonalit des fonctions propres . . . . . . . e 1.4.3.2 Orthonormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3.3 Les fonctions propres, syst`me complet . . . . . e 1.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Identication de sources magntostatiques e 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Approche empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dtermination du mod`le harmonique dune source e e 2.2.1.1 La notion dordre . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.2 Linformation a priori . . . . . . . . . . . 2.2.1.3 Zone de validit du mod`le . . . . . . . . e e iii

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2.3

2.4

2.2.1.4 Proprits des coecients harmoniques . . . . ee 2.2.1.5 Choix du centre de la dcomposition . . . . . e 2.2.1.6 Remarque complmentaire . . . . . . . . . . . e 2.2.2 Identication - Approche empirique . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Proprits des fonctions harmoniques . . . . . ee 2.2.2.2 Mise en oeuvre dun dispositif didentication 2.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probl`me inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1 Probl`me direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1.1 Mod`le harmoniques sphriques . . . . . . . . e e 2.3.1.2 Ecriture matricielle du probl`me direct . . . . e 2.3.2 Inversion et identication . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.1 Quasi-solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.2 Dcomposition en valeurs singuli`res . . . . . e e 2.3.3 Stabilisation et criture optimale . . . . . . . . . . . . e 2.3.3.1 Normalisation des polynmes de Legendre . . o 2.3.3.2 Normalisation sur le support des mesures . . 2.3.3.3 Normalisation itrative des lignes et colonnes e 2.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lidentication applique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.1 Identication dun moteur simul . . . . . . . . . . . . e 2.4.1.1 Stabilisation, inversion et identication . . . . 2.4.1.2 Dtermination de lordre maximum . . . . . . e 2.4.2 Rduction du nombre de capteurs . . . . . . . . . . . . e 2.4.3 Perspectives de lidentication . . . . . . . . . . . . . .

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29 29 30 31 31 32 33 34 34 34 35 36 36 37 38 38 39 41 42 43 43 44 45 46 47 49 49 50 50 51 52 52 52 53 54 54 54 55 56 57 57 59 60 61 63

3 Identication de sources magntodynamiques e 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ecriture des mod`les magntodynamiques . . . . . . . . . . . . . e e 3.2.1 Solutions gnrales dynamiques des quations de Maxwell . e e e 3.2.1.1 Dtermination du mod`le . . . . . . . . . . . . . e e 3.2.1.2 Param`tres du mod`le - Ordre . . . . . . . . . . e e 3.2.2 Principe de lidentication magntodynamique . . . . . . . e 3.2.2.1 Extraction des frquences caractristiques . . . . e e 3.2.2.2 Dcomposition spatiale . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.3 Types de sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.1 Les sources pulsantes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.2 Les sources tournantes . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.3 Les sources tournantes et pulsantes . . . . . . . . 3.3 Mise en uvre de lidentication magntodynamique . . . . . . . e 3.3.1 Extraction frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1.1 Identication des frquences caractristiques . . . e e 3.3.1.2 Extraction frquentielle . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.2 Identication spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Extrapolation de la signature lectromagntique . . . . . . e e 3.4 Analyse et identication de sources dynamiques . . . . . . . . . .

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3.4.1 3.4.2

3.5

Analyse prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Analyse des coecients harmoniques . . . . . . . . . . . 3.4.2.1 Proprits des coecients harmoniques . . . . . ee 3.4.2.2 Coecients dune source pulsante . . . . . . . . 3.4.2.3 Coecients dune source tournante . . . . . . . 3.4.2.4 Coecients dune source tournante et pulsante 3.4.2.5 Bilan des dirents types de sources . . . . . . e 3.4.3 Classication en types de sources . . . . . . . . . . . . . 3.4.3.1 Sparation des sources tournantes . . . . . . . . e 3.4.3.2 Algorithme de classication . . . . . . . . . . . Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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63 65 65 66 67 68 68 69 69 70 71

4 Complments statistiques ` lidentication magntique e a e 73 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.2 Notions de statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.2.1 Loi normale et syst`me linaire . . . . . . . . . . . 75 e e 4.1.2.2 Thorie de la dcision . . . . . . . . . . . . . . . . 79 e e 4.1.3 Linversion Baysienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 e 4.1.3.1 Linformation comme densit de probabilit . . . . 81 e e 4.1.3.2 Thor`me de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 e e 4.1.3.3 Intrt - Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ee 4.2 Estimateur de maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.1 Ecriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.2 Proprits - Optimalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ee e 4.2.3 Indicateurs de qualit de lestimateur . . . . . . . . . . . . . 87 e 4.2.3.1 Oprateur de rsolution - performance a priori . . . 88 e e 4.2.3.2 Rsidus de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 e 4.2.4 Exemple dapplication des indicateurs de qualit . . . . . . . 89 e 4.2.4.1 Stabilisation par minimisation de la variance des param`tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 e 4.2.4.2 Vrication a priori de la qualit de lestimation . . 90 e e 4.2.4.3 Rsidus de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 e 4.2.4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Estimateurs Baysiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 e 4.3.1 Maximum a posteriori (MAP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.1.1 Linformation a priori . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.1.2 Ecriture et proprits de lestimateur . . . . . . . . 95 ee 4.3.1.3 Oprateur de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . 95 e e 4.3.1.4 Rsidus des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 e 4.3.1.5 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.2 Complments sur lestimation baysienne . . . . . . . . . . . 98 e e 4.3.2.1 Lestimateur de moyenne a posteriori (MMSE) . . 99 4.3.2.2 Calcul de lestimateur - Mthodes numriques . . . 99 e e 4.3.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

II Analyse harmonique et dimensionnement de blindages magntiques e 1035 Ecacit dun blindage passif e 5.1 Introduction au blindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Origine des phnom`nes dattnuation . . . . . . . . . . e e e 5.1.1.1 Le ferromagntisme . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.1.2 Les Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . 5.1.1.3 Hypoth`ses et cadre de ltude . . . . . . . . . e e 5.1.2 Interprtations empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.2.1 Interprtation dipolaire - multipolaire . . . . . e 5.1.2.2 Formulations lmentaires . . . . . . . . . . . . ee 5.1.3 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3.2 Lecacit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.3.3 Leet de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Mthode harmonique de calcul de blindage . . . . . . . . . . . . e 5.2.1 Mthode matricielle de calcul de blindage . . . . . . . . . e 5.2.1.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.2 Ecriture matricielle des relations de passage . . 5.2.1.3 Rsolution et proprits de la solution . . . . . e ee 5.2.2 Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5.2.2.1 Ecriture ` tout ordre . . . . . . . . . . . . . . . a 5.2.2.2 Blindages multicouches . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.3.1 Cas statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.1 Ecacit maximale . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.3.1.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . 5.3.1.3 Pente ` lorigine . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.3.1.4 Aperu graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . c 5.3.2 Cas dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2.1 Attnuation dynamique - Module et Argument e 5.3.2.2 Reprsentation Ordre-frquence de lattnuation e e e 5.3.3 Blindage multicouches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.1 Eet de la multiplication de couches . . . . . . 5.3.3.2 Dimensionnement optimal . . . . . . . . . . . . 5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 107 108 108 112 113 113 114 116 118 118 119 120 121 121 121 122 125 126 126 127 128 129 130 130 131 131 132 133 133 135 136 137 138 141 141 142 142 143 145 146

6 Eet de forme dun blindage 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Calcul numrique de la matrice de blindage harmonique . . . . . . . e 6.2.1 Convergence des sries de fonctions propres . . . . . . . . . e 6.2.1.1 Ecriture des sources dans les direntes zones e conditions de passage . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1.2 Ecriture du syst`me matriciel . . . . . . . . . . . . e 6.2.1.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

6.4

6.2.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Orthonormalisation des fonctions harmoniques . . . . . . . . 6.2.2.1 Processus dorthonormalisation . . . . . . . . . . . 6.2.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.3 Conclusions - Perspectives . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Base canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.1 Identication de la base canonique . . . . . . . . . 6.2.3.2 Projection sur la surface . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.3 Ecriture matricielle du probl`me sur la base canoe nique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.4 Rsolution-Intert . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2.3.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2.5 Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Calcul du blindage dynamique obtenu ` laide dune gaine a innie en aluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1.1 Description du probl`me . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.1.2 Dtermination de lordre N du dveloppement . . . e e 6.3.1.3 Rsolution - Validation . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.1.4 Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.2 Application au calcul de champ dun moteur . . . . . . . . . 6.3.2.1 Description du probl`me . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.2.2 Ecriture du syst`me matriciel harmonique . . . . . e 6.3.2.3 Optimisation - rsolution . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.2.4 Rsultats - Performances . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.2.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148 148 148 151 152 153 153 154 154 155 156 157 159 160 161 161 161 162 163 163 164 165 166 168 169 169

III

Application et Conclusions

171173 173 173 174 175 175 175 176 176 177 178 182 182

7 Identication magntodynamique de moteur disco e de 7.1 Description de lexprience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.1.1 La source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Lenvironnement magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.1.3 Les moyens de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Lidentication magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.2.1 La qute dinformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.2.1.1 Les aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1.2 Modulation du champ des aimants par leet de forme de la culasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1.3 Le champ magntique terrestre . . . . . . . . . . . e 7.2.2 Placement des capteurs didentication . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Identication des coecients harmoniques . . . . . . . . . . 7.2.3.1 Hirarchie du mod`le - Intrt du placement . . . . e e ee

7.3

7.4

7.2.3.2 Estimation hirarchique baysienne . e e 7.2.3.3 Rsultats de lidentication statique e 7.2.3.4 Analyse des rsultats . . . . . . . . . e Lidentication magntodynamique . . . . . . . . . . e 7.3.1 Analyse de la situation . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.1 Mise en uvre . . . . . . . . . . . . Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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182 183 186 187 187 187 190

A Rsolution de lquation de diusion par la mthode des variables e e e spares e e 195 A.1 Dnition des rep`res polaires et sphriques . . . . . . . . . . . . . 195 e e e A.2 Rsolution de lquation de diusion en coordonnes polaires . . . . 196 e e e A.2.1 Lquation de Laplace en coordonnes polaires . . . . . . . . 196 e e A.2.2 Lquation de diusion en coordonnes polaires . . . . . . . 197 e e A.2.3 Ecriture de la solution gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . 199 e e A.3 Rsolution de lquation de diusion en coordonnes sphriques . . 201 e e e e A.3.1 Lquation de Laplace en coordonnes sphriques . . . . . . 201 e e e A.3.2 Lquation de diusion en coordonnes sphriques . . . . . . 202 e e e A.3.3 Remarque fondamentale ` propos des critures dynamiques . 204 a e B Probl`mes inverses, qutes dinformations e e B.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.1 Le probl`me direct . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.2 Le probl`me inverse . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.3 Les probl`mes bien/mal poss . . . . . . . . . . e e B.1.4 Dnition algbrique . . . . . . . . . . . . . . . e e B.1.5 Quasi-solution dun probl`me inverse . . . . . . e B.1.6 Probl`mes conditionnellement bien-poss . . . . e e B.2 Inversion sans information . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 La dcomposition en valeurs singuli`res . . . . . e e B.2.2 Analyse du probl`me inverse . . . . . . . . . . . e B.2.3 La pseudo inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.4 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.5 Rgularisation par troncature . . . . . . . . . . e B.3 Inversion et informations a priori . . . . . . . . . . . . B.3.1 Les Informations a priori . . . . . . . . . . . . . B.3.2 La rgularisation au sens de Tikhonov . . . . . e B.3.2.1 Choix de la fonctionnelle stabilisatrice B.3.2.2 Choix du param`tre de rgularisation . e e B.3.3 Approche stochastique des probl`mes inverses . e B.3.3.1 Linformation comme probabilit . . . e B.3.3.2 Linversion Baysienne . . . . . . . . . e B.3.3.3 Ecriture du probl`me inverse Baysien e e B.3.3.4 Interprtation de linversion bayesienne e 207 207 207 208 208 208 210 210 211 212 212 213 214 215 216 217 217 219 220 221 221 222 223 224

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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C Bo ` outils mathmatiques te a e 225 C.1 Gnralisation de lcriture harmonique - Application au blindage e e e sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 e C.1.1 Ecriture de la matrice dun blindage monocouche . . . . . . 226 Bibliographie 226

Table des gures1.1 2.1Lorthonormalisation permet lidentication sur un support quelconque.

22 27 30 31 33

Domaines dinuence des ordres dune source quelconque () en fonction de la distance au centre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Exemple dune source dcentre par rapport au centre de la dcomposie e e tion multipolaire : le cble dcentr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e e 2.3 Dveloppement harmonique et surface limite. . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Source () et dispositif de capteurs qui ralisent un chantillonnage spatial. e e 2.5 Dispositions de 26 capteurs triaxiaux sur un cube darte gale ` 2m e e a entourant une source () dont nous dsirons faire une identication en e harmoniques sphriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6 Conditionnement du syst`me linaire aux cours de la normalisation ite e e rative des colonnes et lignes de F. Chaque itration est reprsente par e e e deux points : le premier est le conditionnement apr`s normalisation des e colonnes et le second apr`s normalisation des lignes. . . . . . . . . . . . e 2.7 Moteur ` aimants permanents de rayon extrieur Rext =20cm possdant a e e 4 ples, 12 encoches statoriques. Nous chercherons ` identier ce moteur o a a ` partir de mesures simules sur un cercle C de rayon R0 =26cm . . . . . e 2.8 Composantes Bx de linduction magntique obtenus par la mthode des e e lments nis (FEM), par une identication sans normalisation (Id1 ), ee puis par une identication stabilise (Id2 ) ` lordre N=50. . . . . . . . . e a 2.9 Inuence relative des n premiers coecients harmoniques par rapport au module de linduction mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.10 Inuence Inf des premiers coecients harmoniques jusqu` lordre a N=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Exemple dinterpolation de linduction magntique identie ` laide de e e a 3 capteurs (graphique du haut) et dextrapolation du potentiel vecteur sur un cercle plac deux fois plus loin (graphique du bas). . . . . . . . e

39

42

43

44 46 46

47

3.1

3.2

3.3

Mesure de linduction magntique Bx et sa FFT sur un capteur de rfe ee rence. La transforme de Fourier (FFT) fait appara un certain nombre e tre de raies aux frquences fc caractristiques de la source. . . . . . . . . . e e Reprsentation de la composante Bx de linduction magntique pour tous e e les capteurs au cours du temps (gauche) - Reprsentation de la transfore me de Fourier (FFT) pour chacune de ces mesures (droite). . . . . . . e Algorithme didentication des frquences caractristiques . . . . . . . . e e

57

58 58

xi

3.4

3.5

3.6 4.1 4.2

Comparaison entre linduction mesure Bx et identie BxId sur le cape e teur de rfrence C1 , du point de vue de la FTT (gauche) et du signal ee temporel (droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprsentations temps-espace des variations de linduction dune source e dordre 1 (terme a1,1 ) pulsant ` 6Hz (gure gauche) et dordre 2 (terme a a2,2 ) tournant ` 3Hz (droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Algorithme de classication des coecients identis en fonction du type e de source. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi normale centre et intervalles de conance (gauche). Lois gaussiennes e gnralises pour n=1,2 et 4 (droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e Reprsentation des densits de probabilit dun probl`me dinterpolation e e e e linaire (gure de gauche) ` laide dune seule mesure (gure centrale) et e a de plusieurs mesures bruites (gure de droite). Ltoile correspond ` la e e a solution de rfrence, cest-`-dire la droite que devrait suivre thoriqueee a e ment la mesure, la croix correspond au couple de param`tres (a,b) que e nous avons choisi en fonction de la mesure et correspondant ` une droite a respective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprsentation des densits de probabilit dun probl`me inverse dintere e e e polation linaire (gure de gauche) ` laide des mesures 1 (gure centrale) e a et des mesures 2 (gure de droite). Ltoile correspond ` la solution de re a e frence, cest-`-dire la droite que devrait suivre thoriquement la mesure, e a e la croix correspond au couple de param`tres (a,b) que nous avons choisi e en fonction de la mesure et correspondant ` une droite respective. Les a mesures 3 sont obtenues en retirant un point aberrant, en consquence la e variance de la densit de probabilit est plus petite (voir gure de droite). e e Exemples de densits de probabilits gaussiennes particuli`res. - (A) La e e e distribution de Dirac - (B) une loi normale centre - (C) Loi uniforme e sur un intervalle [a,b] appele galement fonction porte. . . . . . . . . . e e Illustration de lintrt de linformation a priori sur le probl`me dinteree e polation linaire. La mesure 1 ne permet pas de dnir le couple (a,b) : le e e syst`me est sous-dtermin ce qui se traduit par une distribution de proe e e babilit de variance innie (voir gure centrale). Par dfaut nous faisons e e le choix de la solution de norme minimale (croix blanche) qui conduit ` a une erreur destimation : voir droite 1. Lapport dinformation a priori sur b compl`te notre connaissance des param`tres et permet de dtermie e e ner une estimation correcte (carr). La densit a posteriori p(C|Y) a une e e variance nie (voir gure de droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Illustration de la stabilisation du syst`me linaire F par normalisation et e e pondration itrative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e La diagonale de loprateur de rsolution R donne une mesure a priori de e e lerreur destimation. Lorsque le syst`me est bien conditionn et de rang e e plein, cet oprateur est proche de la matrice identit. Sinon, il donne une e e indication de la qualit des param`tres estims. Par exemple, avec seulee e e ment les 4 capteurs suprieurs du cube, nous remarquons que certains e param`tres seront errons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e

62

64 70 77

78

4.3

80

4.4

82

4.5

85 90

4.6 4.7

91

4.8

Variance des rsidus de mesures estims sur les capteurs en fonction de e e lordre de la source identie. Les points de forte variance sont ceux les e plus loin de la source (sommets du cube mtrologique). Nous remarquons e que plus lordre de la source est lev et plus la variance des rsidus de e e e mesures est faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La diagonale de loprateur de rsolution R relative ` lestimateur du e e a MAP. La gure de gauche montre la qualit de rsolution sans informae e tion a priori. La gure de droite montre la qualit de rsolution avec e e intervention de linformation a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . normale de x. - (2). - Fonction de densit a posteriori pp utilisant un a e priori non linaire : lesprance, le maximum et la mdiane sont distincts e e e et correspondent ` des estimateurs baysiens dirents. . . . . . . . . . a e e

92

4.9

96

4.10 (1). - Fonction de vraisemblance px correspondant ` une distribution a

98

4.11 Illustration de lintrt de lestimateur du MMSE - Avec un seul point eede mesure et une information a priori faible (a appartient ` lintervalle a [.5 ;2]). Nous calculons lestimateur (voir carr sur la gure centrale), ce e calcul passe par lintgration de la densit de probabilit a posteriori e e e qui est possible grce ` un chantillonnage de p(C|Y) obtenu par un a a e algorithme MCMC (voir gure de droite)). . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1

g. A : Courbe de premi`re aimantation. - g. B : Aspect schmatique e e des transformations des domaines de Weiss correspondant au processus daimantation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Cycle dhystrsis M(H). Ms et Hs sont les valeurs crtes de laimantation ee e et du champ dexcitation H, Mr laimantation rmanente et Hc le champ e coercitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Courbe anhystrtique B(H) dun matriau magntique doux (FeSi) ee e e

5.2

5.3 5.4 5.5

. . 111

Courants de Foucault induits dans une tle conductrice par la variation o du champ dune source de moment dipolaire M . . . . . . . . . . . . . 112 (a) : Reprsentation de laimantation dune tle de permabilit relae o e e tive r > 1 sous laction dun champ externe H - (b) : Reprsentation e dipolaire de laimantation dun blindage sphrique entourant une source e dipolaire statique Ms - (c) : Reprsentation multipolaire de laimantation e relative ` une source dordre n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 a (a) : Reprsentation des courants de Foucault et de la source dipolaire e induite par les variations dun champ externe sur une tle en aluminium. o - (b) : Reprsentation dipolaire des sources induites par les variations e dun diple inclus dans un blindage sphrique. . . . . . . . . . . . . . . 115 o e (a) : Blindage sphrique de permabilit plong dans un champ unie e e e forme H0 parall`le ` laxe z - (b) : Interprtation de laimantation ` laide e a e a de diples : un champ H1 se superpose ` H0 ` lintrieur du blindage o a a e crant ainsi leet de blindage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 e

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10 5.11

5.12

5.13 5.14 5.15

5.16

Attnuation S dun blindage sphrique en fonction du rapport de ses e e rayons interne et externe et de sa permabilit relative r = /0 . Quelle e e que soit lpaisseur du blindage il est dautant plus ecace que sa permae e bilit est grande. Il existe cependant une attnuation limite pour chaque e e blindage, qui ne dpend que du choix du matriau et qui est dtermine e e e e par la valeur de S quand lpaisseur est innie. . . . . . . . . . . . . . e Division de lespace en trois zones pour les deux types de probl`mes : (a) e (1) ) est ` lintrieur du blindage et (b) interne si la externe si la source (S a e source (S (2) ) est ` lextrieur du blindage. . . . . . . . . . . . . . . . . a e Reprsentation des conditions de passage du champ magntique en un e e point P de la fronti`re sparant deux milieux. . . . . . . . . . . . . . . e e Comportement de Sn en fonction, soit uniquement de lpaisseur du bline dage (gauche), soit uniquement de sa permabilit (droite). Le rayon R1 e e interne du blindage vaut 50cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Module de lattnuation en fonction de la frquence et de lordre des e e termes la source blinde. La gure de gauche reprsente ce module pour e e un blindage de rayons R1 =300mm et R2 =305mm en Aluminium. La gure de droite reprsente le module de lecacit pour ce mme blindage e e e en Acier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprsentation ordre-frquence de lecacit n dun blindage sphrique e e e e en acier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trois blindages monocouche et multicouche compris entre les mmes e rayons R1 =300mm et R2 =315mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) : Reprsentation de lattnuation de blindages multicouche en fonction e e de lordre de la source ` blinder. - (b) : Reprsentation de lattnuation a e e de blindages multicouche pour une source dordre n=4 en fonction de la permabilit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Attnuation en fonction de lpaisseur de lentrefer dun blindage ` 2 e e a couches en acier pour dirents ordres faibles. . . . . . . . . . . . . . . e

118

122 123

132

134 135 136

137 138

6.1

6.2

6.3 6.4

Contours de forme circulaire S1 (a) et de forme carre S2 (b) correspone dant ` deux objets ferromagntiques plongs dans un champ magntique a e e e quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Reprsentation dun cube de 20cm darte et de permabilit relative e e e e r =1000. Nous valuons la qualit du calcul harmonique en comparant e e linduction calcule ` une simulation FEM du probl`me sur un chemin e a e de validation. - Les deux gures ` droite reprsentent respectivement a e linduction magntique suivant x et suivant y calcules harmoniquement e e a ` lordre 20 et 50 et la rfrence donne par la mthode des lments nis. 146 ee e e ee Termes diagonaux de la matrice de covariance des rsidus du calcul de e laimantation dun cube. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Induction magntique suivant x (gauche) et suivant y (droite) cr par e ee un cube aimant. Il sagit de comparer une induction magntique de re e e frence simule (FEM) avec le rsultat du calcul harmonique orthonorm e e e e jusqu` lordre 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 a

6.5

6.6 6.7

6.8

6.9 6.10

6.11

6.12

6.13

Induction suivant x (gauche) et suivant y (droite) cr par un cube aiee mant. Il sagit de comparer une induction de rfrence simule (FEM) e ee e avec le rsultat du calcul harmonique sur la base canonique ` lordre 12. e a Surface circulaire conforme ` une surface quelconque Cs . . . . . . . . . . a Exemple de probl`mes pour lesquelles la mthode de calcul harmonique e e est gnralisable. (a) : probl`me ` deux surfaces comme un blindage moe e e a nocouche - (b) Probl`me ` trois surfaces, quatres zones comme un moe a teur : rotor-entrefer-stator-milieu extrieur. . . . . . . . . . . . . . . . e Blindage carr darte interne R1 et externe R2 en aluminium. Validae e tion du calcul harmonique ` lordre N = 17 du blindage relatif ` deux a a conducteurs parcourus par un courant I=10A de frquence f =5Hz. . . . e Gomtrie simplie dun moteur comportant 4 zones dlimites par 3 e e e e e surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a). Discrtisation du rotor - (b). Dcomposition de la surface en srie e e e trigonomtrique ` lordre N = 12 - (c). Dcomposition de srie de la e a e e surface ` lordre N = 7 : apparition des phnom`nes de Gibbs. . . . . . a e e Variances des rsidus de calcul de trois probl`me dirents : (a). Discre e e e tisation initiale (28 points) ` lordre N = 12 - (b). Amlioration de la a e discrtisation (30 points) ` lordre N = 12 - (c). Discrtisation initiale ` e a e a lordre N = 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) - Discrtisation du moteur sur la priode dtude et chemin de valie e e dation dans lentrefer. Comparaisons de linduction magntique suivant e x (b) et suivant y (c) entre la mthode des lments nis et la mthode e ee e harmonique ` lordre 5 et 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a - Discrtisation du moteur sur la priode dtude et chemin de validae e e tion ` lextrieur de la machine. Comparaisons de linduction magntique a e e suivant x (b) et suivant y (c) entre la mthode des lments nis et la e ee mthode harmonique ` lordre 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a (a). Photo du moteur disco identi. - (b). Reprsentation gomtrique de e e e e des aimants des deux rotors, de la culasse et des pieds du moteur. . . . . Simulation dune source dordre n = 4 contenue dans une culasse. (a) : Inuence des coecients harmoniques sur un cercle de rayon Rext de 55cm - (b) : induction magntique radiale sur ce cercle - (c) : induction e magntique orthoradiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Simulation de laimantation de la culasse du moteur dans le champ terrestre. (a) : Inuence des coecients harmoniques sur un cercle de rayon Rext de 55cm - (b) : Induction magntique radiale sur ce cercle - (c) : e Induction magntique orthoradiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Oprateurs de rsolution relatifs aux 15 coecients harmoniques princie e paux lors dune identication ` lordre 5.- (a) : Oprateur de rsolution a e e correspondant aux positions initiales des capteurs.- (b) : Oprateur de e rsolution correspondant aux positions relles optimises. . . . . . . . . e e e Visualisation densemble du moteur, des 5 capteurs didentication et des 4 capteurs de validation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 158

160

162 164

166

167

168

169

7.1 7.2

174

177

7.3

178

7.4

180 181

7.5

7.6

Inuence des 35 coecients harmoniques identis ` lordre 5 ` laide des e a a 5 capteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Comparaison des trois composantes de linduction magntique sur les e capteurs de validation. Lerreur relative est infrieure ` 10 % pour un e a 2) a une erreur importante qui est mod`le dordre N = 5. Seul C7 (N e due ` sa proximit de la source et surtout au fait quil est ` lintrieur a e a e des mesures didentication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Comparaison des trois composantes de linduction magntique pour un e mod`le ` lordre N = 3 sur les capteurs de validation. Lerreur relative e a est tr`s importante signe de repliement. . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.9 Comparaison des trois composantes statiques de linduction magntique e sur les capteurs de validation, dans le cas dun moteur aliment ` 2Hz. ea Erreur relative entre le mod`le et la mesure. . . . . . . . . . . . . . . e 7.10 Comparaison des trois composantes statiques de linduction magntique e extrapoles dans le temps sur le capteur C6 de validation, dans le cas e dun moteur aliment ` 2Hz. Il sagit de la superposition du statique, de ea la frquence dalimentation et de la frquence de rotation. . . . . . . . e e

185

185

186

188

191

A.1 Reprsentation des syst`mes de coordonnes polaires et sphriques . . . 195 e e e e B.1 Espaces de Hilbert des param`tres du mod`le M et des mesures D. 209 e e + B.2 Sous-espace vectoriel M restriction de M du point de vue de la pseudo inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 B.3 La rgularisation de Tikhonov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 e

Liste des tableaux2.1Rang et conditionnement de lidentication sans normalisation des fonctions harmoniques (A), avec (B), avec normalisation des colonnes (C), avec normalisation itrative des lignes et colonnes de F (D). . . . . . . . 40 e Rang et conditionnement de lidentication sans orthonormalisation (A) et avec (B) ` lordre 50. Rang et conditionnement de lidentication sans a orthonormalisation (C) et avec (D) apr`s rduction du nombre de capteurs. 44 e e Param`tres des trois sources S1 , S2 et S3 qui composent (). est la e vitesse de rotation des sources autour de laxe z, est la pulsation de la source et le dphasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Frquences caractristiques de la source (). . . . . . . . . . . . . . . . e e Coecients harmoniques identis aux frquences caractristiques de e e e (). La justication des valeurs de ces coecients est donne au pae ragraphe 3.4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

3.1

3.2 3.3

56 59

61

6.1

6.2 6.3 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Coecients harmoniques du probl`me externe dans la zone 2 relatifs ` e a la raction dun cube dans un champ source uniforme. Seuls les termes e correspondant ` la modulation du champ source par la forme du cube a sont prsents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 e Description du probl`me de blindage de deux conducteurs innis par la e gaine en aluminium de la gure (6.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Param`tres relatifs au calcul harmonique du moteur . . . . . . . . . . . 165 e Caractristiques du moteur disco ` aimants permanents. . . . . . . . e de a Les 15 coecients harmoniques reprsentatifs du moteur statique dans e le champ terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positions des capteurs dans le rfrentiel du centre du moteur. . . . . . ee Valeurs des coecients de la dcomposition harmonique du moteur ` e a lordre N = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs des coecients de la dcomposition harmonique du moteur ` e a lordre N=2 pour le mod`le hirarchique (Valeur Hier.) et pour une idene e tication normale ` lordre 2 ` laide des capteurs C1 , C2 et C5 (Valeur a a Norm.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positions des capteurs de validation dans le rfrentiel du centre du moee teur (Fig.7.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs des coecients de la dcomposition harmonique statique du moe teur ` lordre N = 2 lors de son fonctionnement ` 2Hz. . . . . . . . . . a a

174 179 180 183

183 184 188

7.6 7.7

xvii

7.8

Coecients harmoniques identis aux frquences caractristiques du e e e moteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Notations ,f , 0 , r , 0 n A B H E M D I, If Inf N F C, C0 , C Bmes W, Wc , Wl , W S, Sn , Smax n G, Gn f , fe , fc j i k, kf n m {an , bn } {an,m , bn,m } {.} vitesse de rotation potentiel scalaire magntique e paisseur de peau e permittivit, permittivit du vide e e permabilit, permabilit relative, permabilit du vide e e e e e e conductivit e pulsation ecacit dun blindage passif respectivement ` lordre n e a potentiel vecteur magntique e induction magntique e champ magntique e champ lectrique e aimantation magntique e polarisation lectrique e courant lectrique, courant de Foucault e Inuence magntique dun terme harmonique e ordre maximum dune source multipolaire matrice du probl`me direct harmonique e vecteur des coecients harmoniques vecteur des mesures dinduction magntique e matrices de pondrations stabilisatrices e Attnuation dun blindage e Matrice de ltrage dun blindage frquence, frquence dchantillonnage, frquence caractristique e e e e e racine carr complexe de -1 e densit volumique de courant e nombre donde complexe indexation de lordre dune source multipolaire indexation des termes dune source dun ordre n coecients harmoniques polaires coecients harmoniques sphriques e partie relle dun nombre complexe e xix

{.} E{.} var{.} N {.} 2 {.} x p(x) q(x) I (.) K (.) m Pn (.) Qm (.) n m Yn (.) (.) < u|v > uv i,j Ft F1 F+ (r, , z) (er , e , ez ) (r, , ) (er , e , e ) MAP MCMC MMSE MV FEM FMM MLI

partie imaginaire dun nombre complexe esprance mathmatique e e variance loi normale distribution du 2 valeur estime de x e les densits de probabilit p et q de x sont quivalentes e e e fonction de Bessel modie de premi`re esp`ce e e e fonction de Bessel modie de seconde esp`ce e e polynme de Legendre de premi`re esp`ce o e e polynme de Legendre de seconde esp`ce o e Harmonique sphrique dordre n et de terme m e fonction gamma produit scalaire de u et v produit vectoriel de u et v fonction de kronecker : vaut 1 lorsque i=j, sinon 0 matrice transpose de F e matrice carre inverse de F e matrice inverse gnralise de F e e e syst`me de coordonnes cylindrique e e vecteurs de base du rep`re cylindrique e syst`me de coordonnes sphriques e e e vecteurs de base du rep`re sphrique e e Maximum A Posteriori Markov Chain Monte Carlo Minimum Mean Square Error Maximum de Vraisemblance Finite Element Method Fast Multipole Method Modulation de Largeur dImpulsions

Introduction gnrale e eLa magie du magntisme, rigoureusement scientique, rside dans lextrae e ordinaire particularit quil a dembrasser des ordres de grandeur inniment petits e et grands. La dnition la plus frquente quon lui trouve se rsume par laction des e e e aimants sur les matriaux ferromagntiques : le champ magntique est la susceptie e e bilit qua une source magntique dexercer une force sur un autre corps. Principe e e quillustre le champ magntique terrestre lorsquil oriente laiguille aimante dune e e boussole vers le nord. Si la mati`re aimante fut ` lorigine du magntisme, lape e a e parition de llectricit engendra une autre source de champ magntique lie au e e e e passage dun courant lectrique dans un conducteur. D`s lors, linteraction de la e e mati`re aimante et des courants na cess de porter ses fruits dans des domaines e e e multiples et varis. e Le moteur lectrique est, sans nul doute, lapplication la plus courante de line teraction entre ces deux sources de champ magntique. Au cours du dernier si`cle, e e llectrotechnique a port le dveloppement du moteur lectrique dans dinnome e e e brables domaines de sorte quil se dcline dsormais sur lchelle allant du microe e e moteur au super-alternateur. Si le rendement des moteurs lectriques justie ` lui e a seul leur essor, llectrotechnique na pas cess de chercher des moyens techniques e e pour amliorer leurs performances en contrlant au mieux les champs magntiques e o e internes. Cependant, une faible proportion des champs magntiques ncessaires au e e fonctionnement des moteurs se propage ` lextrieur. Ces champs de fuites ont a e peu dinuence sur les caractristiques lectrotechniques, mais sont au coeur mme e e e de la discrtion magntique des moteurs. En particulier pour les moteurs de forte e e puissance dont lemploi est ncessaire dans le domaine de la propulsion navale, e les champs de fuites rayonns peuvent atteindre des niveaux prjudiciables qui e e permettent la dtection ` distance des btiments de la Marine Nationale. e a a

Historique du magntisme du navire eUn navire dont la coque est en acier, matriau ferromagntique par excellence, e e canalise et dforme les lignes de champ localement. Le fonctionnement des mines e magntiques repose sur la dtection des dformations du champ magntique tere e e e restre appeles anomalies. Si lapparition des mines magntiques date de la n de la e e premi`re guerre mondiale, elles caus`rent dnormes dgts dans la otte allie au e e e e a e dbut de la seconde guerre mondiale. Le risque quelles reprsentaient poussa alors e e toutes les marines ` se proccuper de la protection des navires. La Marine Natioa e nale franaise t appel ` Louis Nel qui eut lide de compenser laimantation des c a e e 1

coques des btiments induite par le champ terrestre en utilisant une aimantation a permanente oppose communique ` laide de circuits lectriques [Ne91]. En 1947, e e a e e la Marine Nationale et Monsieur Nel fond`rent le Laboratoire de Magntisme du e e e Navire (LMN) dans lequel furent dimensionns sur des maquettes ` lchelle les e a e syst`mes de compensation active des btiments de la Marine de 1947 ` 1986. Ces e a a tudes de discrtion magntique ne reprsentent cependant quun seul aspect des e e e e exigences des guerres modernes o` les ma u tres mots sont furtivit et performance. e En eet, dans bien des domaines lis aux btiments, comme lacoustique, la re a e sistance des matriaux ou la propulsion, ` limpratif de performance est venu se e a e greer celui de la furtivit. e

Problmatique eNous venons dexposer bri`vement lhistoire du magntisme du navire ce qui e e nous permet de prsenter la problmatique ` laquelle va rpondre cette th`se : la e e a e e discrtion magntique des moteurs de propulsion navale. Il sagit dune des pi`ces e e e les plus complexes du grand puzzle quest le magntisme du navire. Contrairement e aux tudes statiques dans lesquelles le LMN est expert, elle ncessite une approche e e dirente qui doit englober dune part la comprhension du fonctionnement des e e machines lectriques, mais surtout les phnom`nes basses frquences lis aux vae e e e e riations du champ magntique dans la machine, la coque du navire et le milieu e marin. La vulnrabilit des btiments de la Marine Nationale doit tre rduite ` son e e a e e a plus strict minimum an de prserver la prsence et lecacit de la Marine non e e e seulement sur le territoire franais mais aussi dans toutes rgions du monde nc e e cessitant une intervention militaire ou humanitaire. Or, les mesures des anomalies lectromagntiques peuvent indiquer la prsence dun btiment : cest le principe de e e e a dtection des mines magntiques. Il est donc impratif pour la survie des quipages e e e e de rduire le niveau de ces anomalies an quelles ne puissent plus tre dtectes. e e e e La discrtion lectromagntique des moteurs de propulsion est un lment essentiel e e e ee dans la rduction de ces anomalies. Elle a pris aujourdhui une importance capitale e avec le dveloppement du navire tout lectrique (NTE). En eet, depuis une de e e cennie le projet de la Marine Nationale est de remplacer la propulsion classique par une propulsion lectrique sur tous les btiments modernes. Il est donc impratif e a e daccompagner cette modernit dun fort potentiel en termes de furtivit et dime e munit qui passe ncessairement par la discrtion lectromagntique du bateau et e e e e e des organes de son rseau lectrique. e e

ObjectifsPour rpondre ` cette problmatique nous distinguons deux objectifs qui sont e a e lidentication magntodynamique dune part et le dimensionnement de blindage e dautre part. Le but de lidentication magntodynamique est de trouver un mod`le des e e champs lectriques et magntiques rayonns par un moteur qui permette de le cae e e ractriser ` partir de mesures faites dans son voisinage, il sagit dune dmarche de e a e

type probl`me inverse. Ce mod`le doit prendre en compte les caractristiques du e e e milieu marin et, en particulier, la conductivit de leau. En eet, les variations des e champs magntiques induisent des champs lectriques et des courants de Foucault e e qui se propagent dans le milieu, orant des moyens de dtection supplmentaires. e e Le but de lidentication magntodynamique est double : dune part elle foure nit une criture des champs lectromagntiques qui permet leur extrapolation et, e e e dautre part, elle permet de caractriser une source. Lenjeu de lidentication est e alors galement double : elle permet de calculer des champs ` grandes distances e a et de mettre en oeuvre une stratgie de discrtion, mais aussi de caractriser un e e e moteur, ce qui sav`re tre un outil prcieux pour diagnostiquer les causes de son e e e indiscrtion. e Les blindages magntiques permettent la rduction des signatures magntiques e e e en encerclant la source de matriaux ferromagntiques qui canalisent les lignes de e e champ ou ` laide de conducteurs parcourus par des courants lectriques. Le dia e mensionnement de blindages que nous proposons passe par la distinction de ses deux eets : leet dattnuation et leet de forme. Le calcul de leet dattnuae e tion permet le dimensionnement dun blindage adapt au moteur en valuant son e e ecacit. Le calcul de leet de forme permet dvaluer linuence de la forme dun e e blindage. Cependant, le calcul de blindage que nous proposons ne se limite pas a ` la rduction de la source. Il est une mthode de simulation des champs base e e e sur les relations de passage sur une surface et de ce fait peut se gnraliser ` des e e a probl`mes plus complexes comme le calcul du rayonnement du moteur lui-mme. e e

Itinraire eCette th`se ne se limite pas ` la rduction des champs lectromagntiques dun e a e e e moteur de propulsion Navale. En eet, nous proposons une approche plus gnrale e e qui assure lidentication de sources lectromagntiques quelconques et la rduce e e tion de leur signature. Cette gnralisation repose sur les proprits des mod`les e e ee e harmoniques qui permettent lcriture dune source lectromagntique dynamique e e e dans un milieu conducteur. Nous proposons de distinguer trois parties ` cette tude : a e 1. La premi`re partie est consacre ` la dnition de lidentication magntoe e a e e dynamique. Nous commenons par rappeler les quations locales des champs c e lectromagntiques dans un milieu conducteur et proposons une criture ge e e e nrale de leurs solutions sous la forme de sries de fonctions harmoniques. e e Nous prsentons ensuite lidentication magntostatique, rsolution dun syse e e t`me linaire, que nous gnralisons ` des sources dynamiques. Pour nir, e e e e a nous proposons une approche statistique qui optimise lidentication grce ` a a des outils de diagnostic des syst`mes linaires et lintervention dinformation e e a priori. 2. La seconde partie propose le dimensionnement de blindages utilisant les proprits des dveloppements en sries prcdents. Cette dmarche prolonge ee e e e e e lutilit des mod`les harmoniques en proposant un dimensionnement adapt e e e a ` une source identie. Nous sommes ainsi capables de rduire la signature e e

lectromagntique dune source que nous avons identie. Enn nous expoe e e sons une mthode puissante et originale de calcul harmonique des relations e de passage sur une fronti`re qui permet la simulation de probl`mes lectroe e e magntiques. Nous montrons dans cette partie que cette mthode de calcul e e est utile ` lidentication car elle fournit linformation a priori ncessaire ` a e a lapproche statistique. 3. La troisi`me partie propose lapplication de lidentication magntodynae e mique ` un moteur disco a de, maquette dun moteur de propulsion navale. Il sagit dune synth`se des deux parties prcdentes. Lidentication mae e e gntodynamique puisant linformation dont elle a besoin dans les outils de e diagnostic des syst`mes linaires prsents en premi`re partie et le calcul du e e e e e probl`me direct ` laide de la mthode harmonique de simulation propose e a e e en seconde partie. Nous verrons quavec un nombre limit de capteurs, nous e sommes capables de dnir un mod`le magntodynamique prcis du rayone e e e nement du moteur dans lair, ce qui nous permettra dextrapoler sa signature frquentielle et de diagnostiquer lorigine de son indiscrtion. e e

Premi`re partie e Mod`le et identication de e sources magntodynamiques e

5

IntroductionLa premi`re partie de cette th`se est consacre ` la dnition de lidentication e e e a e de sources magntodynamiques. Le principe de cette identication est de dtere e miner un mod`le qui permette dextrapoler la signature lectromagntique dune e e e source ` partir de mesures faites dans son voisinage. a Lapplication principale de cette th`se tant la discrtion magntique des moe e e e teurs de propulsion navale, nous ferons en sorte que lidentication magntodynae mique soit possible dans des milieux dont les proprits sont identiques ` celles du ee a milieu marin dans lequel se propage la signature de ces moteurs. An de proposer une identication magntodynamique optimale nous avons e dcoup cette partie en quatre chapitres qui prsentent tour ` tour les mod`les de e e e a e sources harmoniques, lidentication magntodynamique et enn des complments e e statistiques essentiels qui assurent la qualit de la mthode. Ces quatre chapitres e e suivent la dmarche suivante : e Dans le premier chapitre, nous rappelons les quations locales qui rgissent les e e champs lectriques et magntiques dans lair et les milieux conducteurs. Puis nous e e proposons des solutions gnrales adaptes aux sources dynamiques sous la forme e e e de sries de fonctions harmoniques. Nous dnissons prcisment les proprits e e e e ee de ces fonctions qui vont permettre lidentication magntique dune source aussi e complexe quun moteur. Ce chapitre a encore pour but de prsenter les proprits e ee des fonctions harmoniques qui vont servir au calcul harmonique de blindage que nous proposons dans la seconde partie de ce manuscrit. Dans le second chapitre, nous prsentons les limites de lidentication ` laide e a des mod`les harmoniques. En particulier le nombre de mesures ncessaires, leur plae e cement et lobtention du mod`le. Dans ce chapitre, nous traitons uniquement de e lidentication statique. Nous proposons dcrire lidentication comme la rsolue e tion dun syst`me linaire couramment appel probl`me inverse. Nous montrerons e e e e encore des outils lmentaires qui vont permettre doptimiser cette identication. ee Lidentication sera enn applique ` un moteur ` aimants permanents en coe a a ordonnes polaires, ce qui illustrera les proprits de lidentication et ses deux e ee principales applications qui sont lextrapolation de signature et le diagnostic. Dans le troisi`me chapitre, nous allons gnraliser lidentication statique ` des e e e a sources magntiques contenues dans des milieux conducteurs. Cette identication e va permettre lextrapolation des champs magntiques et lectriques lis ` la source e e e a et aux proprits du milieu. Nous allons encore un peu plus loin en proposant une ee application de lidentication magntodynamique comme un outil de diagnostic. e Il sagit en eet dune analyse des champs lectromagntiques rayonns par une e e e 7

8

0.

source qui permet de distinguer les lments dune source sur une double chelle ee e spatiale et frquentielle. e Dans le quatri`me chapitre, nous prsentons une approche statistique de lidene e tication magntique. Nous cherchons ` franchir les limites de lidentication en e a particulier le manque de mesures qui rend le syst`me linaire sous-dtermin. Pour e e e e surmonter cet obstacle nous aurons recours ` des estimateurs baysiens qui exa e ploitent linformation a priori sur une source pour complter linformation appore te par des mesures. La description statistique de lidentication apporte des outils e essentiels qui permettent encore de diagnostiquer ltat de la solution et de garantir e sa robustesse. La lecture de cette premi`re partie est ncessaire ` la comprhension du cale e a e cul de blindage harmonique que nous proposons ultrieurement dans cette th`se. e e Elle prsente la mise en place de lidentication magntique ` laide dun mod`le e e a e harmonique dont la globalit permet lconomie de mesures grce ` lintervention e e a a dinformations a priori. Il est ainsi possible dextrapoler la signature magntique ou e lectrique dune source aux proprits du milieu. Un point doit encore tre clair e ee e e e a ` propos de lorigine et de la nature de linformation a priori. Cest pourquoi, la deuxi`me partie de ce manuscrit propose une rponse par le biais de considrations e e e gomtriques qui permettent le calcul de leet de forme dun blindage. e e

Chapitre 1 Mod`les multipolaires e harmoniquesSommaire1.1 1.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtermination des quations locales des champs . . . . e e 1.2.1 Equations de Maxwell et relation des matriaux . . . . e 1.2.2 Lquation de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Solutions harmoniques des champs . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Sparation des variables et fonctions propres . . . . . . e 1.3.2 Dveloppement harmonique du champ lectromagntique e e e 1.3.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Proprits des dveloppements en srie du champ . . e e e e 1.4.1 La sparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.2 Une criture intressante des champs lectromagntiques e e e e 1.4.3 Proprits des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . ee 1.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 10 11 12 12 15 17 18 19 19 20 23

1.1

Introduction

Dans ce premier chapitre, nous cherchons un mod`le de sources de champs e lectromagntiques qui permet non seulement lidentication magntodynamique e e e de ces derni`res, mais aussi llaboration de leur discrtion lectromagntique. Bien e e e e e que lapplication principale de cette th`se soit la discrtion magntique des moteurs e e e de propulsion navale, nous nous sommes rapidement aperus que le choix dun c mod`le gnral tendrait considrablement le champ dapplication de cette tude. e e e e e e La problmatique de ce chapitre consiste donc ` dnir un mod`le de source et ` e a e e a cibler ses proprits essentielles pour en faire lusage le plus intelligent et le plus ee vaste possible. La dynamique des champs magntiques de fuites rayonns par un moteur e e lectrique de propulsion navale implique le dveloppement de champs lectroe e e magntiques dans le milieu marin, mais aussi dans la carcasse conductrice du e 9

10

` 1. Modeles multipolaires harmoniques

moteur. La premi`re tape de llaboration dun mod`le consiste ` dterminer e e e e a e clairement les quations direntielles qui rsument le comportement local des e e e champs lectromagntiques en fonction des frquences et des caractristiques du e e e e milieu. Puis vient une seconde tape, plus calculatoire qui consiste ` rsoudre ces e a e quations direntielles an dobtenir un mod`le gnral. Les deux premi`res pare e e e e e ties de ce chapitre porteront donc respectivement sur les deux tapes susdites et e aboutissent ` lcriture gnrale du dveloppement multipolaire harmonique dune a e e e e source quelconque de champ lectromagntique. Enn, dans une derni`re partie e e e nous distinguerons les proprits des dveloppements harmoniques qui font lintee e e rt de ce mod`le, puisquelles sont autant doutils danalyse et de caractrisation e e e des champ lectromagntiques rayonns et a fortiori de la source elle-mme. e e e e

1.21.2.1

Dtermination des quations locales du e e champ lectromagntique e e Equations de Maxwell et relation des matriaux e

Dans un milieu dpourvu de charges lectriques1 , caractris par sa permabilit e e e e e e magntique (), sa conductivit () et sa permittivit ( ) lectriques, le compore e e e tement des champs lectromagntiques rpond aux quations de Maxwell et aux e e e e relations relatives au matriau qui constitue ce milieu. Les quations de Maxwell e e snoncent : e B div B = 0 rotE = t (1.1) D rotH = i + div D = 0 t Nous ferons lhypoth`se que le milieu est homog`ne, isotrope et quil suit de plus e e une loi daimantation et de polarisation linaires. Il en rsulte alors les relations e e relatives au matriau : e D = E i=E B =H (1.2) Les hypoth`ses prcdentes sont fortes et nous montrerons leurs limites au cours e e e de cette tude, en particulier celles qui sont lies ` la loi daimantation (hystrsis) e e a ee mais aussi celles qui proviennent de linhomognit du milieu. Prenons par exemple e e e le milieu marin. La conductivit de leau dpend de son degr de salinit, qui lui e e e e mme dpend de la pression. Lhypoth`se dhomognit nest donc pas recevable e e e e e e et les relations (1.2) prcdentes ne seront valables que localement ce qui entra e e ne une validit restreinte du dveloppement harmonique. e e A partir des relations (1.1) et (1.2) nous dmontrons facilement que toutes les e grandeurs lectromagntiques (A,B,E et i) rpondent ` lquation direntielle e e e a e e appele quation donde : e e X 2X X =0 t t21

(1.3)

comprendre des charges lectriques statiques, il peut y avoir des courants lectriques e e

1.2. Dtermination des quations locales des champs e e

11

Comme nous cherchons des solutions dynamiques nous crirons la grandeur lece e tromagntique X ` laide des nombres complexes sous la forme : e a X = ejt (1.4)

Avec cette convention dcriture lquation direntielle reprsentant le come e e e portement local des champs lectromagntiques scrit sous forme complexe : e e e j + 2 = 0I II

(1.5)

1.2.2

Lquation de diusion e

Nous allons dmontrer maintenant que, dans le cadre de nos applications, le e terme reprsentant les phnom`nes de dplacement est ngligeable devant celui qui e e e e e reprsente les phnom`nes induits. Autrement dit, nous pouvons ngliger le terme e e e e (II) devant (I) dans lquation direntielle (1.5) prcdente. e e e e Avant toute chose commenons par expliciter le rapport entre les courants de c dplacement et les courants de Foucault : e r= 2 f 2 = j (1.6)

Dans le domaine des frquences qui nous intressent (f= 20

(R0 , )d = a0 ln(R0 )2

1 < (R0 , )| cos n >= 0 2

n (R0 , ) cos nd = an R0

(1.34)

< (R0 , )| sin n >=

1 0

n (R0 , ) sin nd = bn R0

Cet exemple montre quil est possible, ` partir de lcriture ou de la mesure a e dune grandeur lectromagntique, de trouver simplement sa dcomposition en se e e e rie sur un contour C et par l` mme de dnir une criture en srie des champs leca e e e e e tromagntiques. Ce sont les proprits dorthogonalit sur C des fonctions propres e ee e qui permettent lidentication dune source sous la forme dune srie harmonique e ou de mod`le quivalent multipolaire. e e 1.4.3.2 Orthonormalisation

Nous venons de mettre en vidence la proprit dorthogonalit des fonctions e ee e propres sur des contours particuliers C, nous verrons encore dans la suite de cette tude limportance des proprits algbriques non seulement pour lidentication e ee e dune source magntique mais aussi dans le calcul des blindages. Admettons que e nous cherchions la solution unique dun probl`me externe ou interne ` partir de e a la donne de conditions aux limites sur un contour quelconque Cs (voir gure.1.1). e Lorthogonalit sur le contour C0 permet par exemple de dnir tous les coecients e e

22

` 1. Modeles multipolaires harmoniques

de la solution particuli`re du probl`me. Mais nous voyons que cette solution nest e e pas mathmatiquement acceptable dans lespace entre Cs et C0 , bien que nous e connaissions une criture gnrale de la solution valable (voir gure.1.1). e e e

C0

S

o

Cs

Fig. 1.1 Lorthonormalisation permet lidentication sur un support quelconque. Il est nanmoins possible dtendre la solution ` cet espace ` condition de e e a a conna des conditions aux limites sur Cs . Admettons que nous connaissions le tre probl`me de Dirichlet qui est la donne dune fonction (P ) en tout point P de e e Cs . A lextrieur de ce contour, en tout point M, nous connaissons galement la e e solution gnrale de lquation de diusion sous la forme dune srie de fonctions e e e e propres (de terme gnral n ). En particulier quand le point M vient en P sur les e e limites du domaine : (P ) =n

An n (P )

(1.35)

Malheureusement ces fonctions ne permettent plus la dtermination des coefe cients An dans le domaine dtude du fait de la dpendance des trois variables e e spatiales (une des familles de fonctions propres nest pas orthogonale, gnralement e e la variable r). Cest pourquoi, pour permettre la dtermination des coecients ` e a partir de nous tendons la proprit dorthogonalit des fonctions harmoniques en e ee e procdant ` une orthonormalisation sur la surface [Dur66] [Leg96]. Nous dnissons e a e a ` partir des fonctions propres solutions n une famille de fonctions orthonormales {n } sur la surface telles que :

M : (M ) =n

Cn n (M )

et n : Cn =Cs

(P ) n (P )dl

(1.36)

A laide des fonctions orthonormes sur le contour Cs , nous pouvons donc de e terminer la solution particuli`re relative aux conditions limites en tout point M du e domaine. 1.4.3.3 Les fonctions propres, syst`me complet e

Si lorthogonalit des fonctions harmoniques sur un contour particulier C0 pere met lidentication dune solution unique ` partir des conditions aux limites sur a ce contour, lorsquil est quelconque lidentication passe ncessairement par un e

1.5. Conclusions

23

processus dorthonormalisation qui sav`re calculatoire. Pour permettre ` moindre e a cot lidentication du champ sur un contour quelconque Cs , il faut alors sappuyer u sur une autre particularit des familles de fonctions propres fk : elles forment des e syst`mes complets dans lespace des fonctions continues par morceaux sur Cs . Le e champ magntique, lectrique ou le potentiel vecteur sont des fonctions continues e e ou continues par morceaux sur un contour Cs quelconque contenu dans un mme e milieu. Des conditions de Dirichlet sur Cs peuvent donc scrire comme une fonce tion m continue par morceaux. Or les fonctions propres solutions de lquation de e diusion forment un syst`me complet [Hob31] [Dur66], cest-`-dire que pour tout e a m dni sur un contour Cs il est possible dcrire : e e

m (u) =k=1

Ak fk (u)

u Cs

(1.37)

et surtout :N N 2

=Cs

m (u) k=1

Ak fk (u) du 0 qd N

(1.38)

Autrement dit, quelle que soit lcriture des conditions de Dirichlet (ou Neue mann) sur un contour Cs , il existe toujours une famille unique de coecients Ak aux sens des moindres carrs qui permet dcrire ces conditions ` laide dune srie e e a e de fonctions propres (1.37). Cette proprit des familles de fonctions propres est essentielle et nous permetee tra didentier les coecients ` laide dune inversion aux sens des moindres carres a e sur un contour quelconque. Cependant il est ` noter que si cette mthode est moins a e calculatoire, elle est extrmement contrainte par la vitesse de convergence de N sur e Cs . En particulier si le contour est anguleux (carr, dents rotoriques), la fonction e m (qui est continue par morceaux) aura alors des points anguleux ou pire des discontinuits. Dans ce cas la convergence de N sera particuli`rement lente et la e e reprsentativit de m ` laide dune srie de fonctions propres ne sera valide que e e a e si la somme est innie12 . Prenons par exemple lcriture des solutions de lquation de diusion en coe e ordonnes polaires. Elles scrivent ` laide de sries de Fourier qui permettent e e a e une reprsentation dune fonction continue par morceaux priodique sur lintere e valle [0, 2] mais font galement appara des phnom`nes de Gibbs lorsque la e tre e e fonction poss`de une discontinuit. e e

1.5

Conclusions

La rsolution de lquation de diusion ` variables spares permet dcrire la e e a e e e solution de cette quation direntielle ` laide dune srie de fonctions propres. e e a e Lcriture de lunique solution des champs lectromagntiques est possible par idene e e tication de tous les coecients sur un contour C, ce qui est permis grce aux a12

Dans ce cas lerreur aura forcement converg e

24

` 1. Modeles multipolaires harmoniques

proprits dorthogonalits des fonctions propres. Il est galement possible didenee e e tier une criture des champs lectromagntiques sur un contour quelconque en e e e exploitant le fait que les fonctions propres forment un syst`me complet sur lese pace vectoriel norm des fonctions continues par morceaux sur C. Cette proprit e ee permet lidentication de la solution particuli`re au sens des moindres carrs sur e e un contour quelconque. Cependant, selon le contour C la convergence dune se rie de fonctions propres vers les conditions de Dirichlet peut tre un phnom`ne e e e extrmement lent. e Dans ce chapitre nous avons montr lorigine et les proprits des dveloppee ee e ments en srie des champs lectromagntiques. Nous avons insist sur les proprits e e e e ee algbriques des solutions qui permettent de dterminer une solution unique en fonce e tion des conditions aux limites. En particulier les critures des probl`mes internes e e et externes ressortent et fournissent lcriture dun mod`le sous la forme dun de e e veloppement multipolaire. En explicitant les proprits algbriques des fonctions ee e propres de lquation de diusion nous montrons quil est toujours possible de e dterminer une famille de coecients ` partir de conditions aux limites. Lidene a tication magntique que nous allons proposer dans le chapitre suivant consiste e a ` identier ces coecients ` partir dun nombre limit de mesures. Comme nous a e verrons, le probl`me soulev est celui de la dtermination du nombre de mesures e e e en fonctions de lordre du dveloppement. En eet, mathmatiquement il existe e e toujours une srie innie de fonctions propres solution mais en pratique nous chere cherons un dveloppement limit adapt ` la source et aux nombres de capteurs e e ea magntiques et lectriques disponibles. e e

Chapitre 2 Identication de sources magntostatiques eSommaire2.1 2.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approche empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dtermination du mod`le harmonique dune source e e 2.2.2 Identication - Approche empirique . . . . . . . . 2.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Probl`me inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1 Probl`me direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.2 Inversion et identication . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Stabilisation et criture optimale . . . . . . . . . . e 2.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Lidentication applique . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.1 Identication dun moteur simul . . . . . . . . . . e 2.4.2 Rduction du nombre de capteurs . . . . . . . . . e 2.4.3 Perspectives de lidentication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 26 31 33 34 34 36 38 42 43 43 46 47

2.1

Introduction

Le chapitre prcdent prsentait les mod`les harmoniques des champs. En pare e e e ticulier, nous insistions sur les proprits des fonctions harmoniques lies ` la spaee e a e ration des variables qui introduisent la notion dordre ncessaire ` la caractrisation e a e dune source. Etablir la dcomposition harmonique dune source sapparente ` identier les e a termes harmoniques qui la caractrisent. Nous pouvons d`s ` prsent sentir la duae e a e lit intrins`que de lidentication : dune part elle fournit une criture des champs e e e lectromagntiques qui permet leur extrapolation et, dautre part elle permet de e e caractriser une source. Lenjeu de lidentication est alors galement double : elle e e 25

26

2. Identification de sources magnetostatiques

permet le calcul des champs ` grandes distances et la mise en oeuvre dune strata e gie de discrtion (blindage magntique), mais aussi de caractriser une source, ce e e e qui sav`re tre un outil prcieux de diagnostic. e e e Si le mcanisme de lidentication est assez simple ` apprhender1 , sa mise en e a e uvre soul`ve un grand nombre de questions concernant la source, le mod`le et la e e mesure. An de cibler ces interrogations et dy apporter des rponses concr`tes nous e e allons prsenter lidentication en suivant une dmarche progressive qui partira e e dune approche analytique simple pour aboutir ` lcriture dun syst`me linaire et a e e e a ` sa rsolution. Le but de cette dmarche est de nous familiariser avec lcriture et e e e la rsolution de lidentication ainsi quaux probl`mes sous-jacents qui pourraient e e tre ngligs. e e e Pour cette raison ce chapitre est divis en deux parties. La premi`re prsente une e e e approche empirique de lidentication tout en brossant les prcautions ncessaires e e pour dnir un mod`le correct et adapt de source. La seconde partie prsente e e e e lidentication comme un probl`me inverse et fait ressortir des outils qui vont e permettre son criture optimale. Enn, riches de lanalyse et de lexpertise que e nous aurons acquise, nous pourrons enn conclure en montrant les perspectives de lidentication magntostatique mais aussi ses limites ` laide dun exemple e a didactique.

2.2

Approche empirique

Par souci de clart, nous proposons dans un premier temps dtudier lidentie e cation magntostatique dune source () en coordonnes polaires (Fig.2.1), bien e e que ce syst`me de coordonnes ne soit pas adapt ` la reprsentation de sources e e ea e de dimensions nies.

2.2.1

Dtermination du mod`le harmonique dune source e e

En coordonnes polaires, le potentiel vecteur cr par une source magntostae ee e tique scrit (voir Annexe A.2.3) : e

A(r, ) =

[a0 + b0 ln(r)] +n=1

[an cos(n) + bn sin(n)] rn

ez

(2.1)

il vient alors lexpression de linduction magntique : e

n [an sin(n) + bn cos(n)] r(n+1) B(r, ) = b0 n [+an cos(n) + bn sin(n)] r(n+1) + r n=1n=1

(2.2)

il sagit de dterminer lcriture harmonique dune source magntique ` partir de mesures e e e a eectues dans son voisinage e

1

2.2. Approche empirique

27

Identier une source revient ` dterminer lensemble des coecients {an , bn } a e qui permettent une bonne reprsentation du champ magntique cr par celle-ci. e e ee Cest pourquoi la premi`re tape de lidentication consiste ` dterminer le nombre e e a e dinconnues que nous cherchons. Lcriture (2.2) est une excellente reprsentation e e de linduction magntique en tout point de lespace mais elle ncessite une innit e e e de coecients. A partir de linformation disponible par quelques capteurs nous ne pouvons pas dterminer la valeur de tous les coecients et pour ce faire nous e devons limiter les sries (2.1) et (2.2) ` leurs termes les plus signicatifs. e a 2.2.1.1 La notion dordre

Les proprits des mod`les harmoniques que nous avons voques dans le chaee e e e pitre prcdent vont heureusement dans le sens dun dveloppement limit des e e e e sries prcdentes (voir 1.4.1). En particulier la notion dordre lie ` la dcroise e e e a e sance de chaque terme joue un rle majeur. En eet, lobservation de (2.2) ou (2.1) o montre clairement que certains termes ont une dcroissance plus forte en fonction e de la distance au centre de la dcomposition. Il existe donc une distance ` partir e a de laquelle chacun de ces termes devient ngligeable vis-`-vis du reste de la srie. e a e Cette srie peut alors tre limite aux termes non ngligeables en fonction de la dise e e e tance ` laquelle nous situons nos observations. Nous pouvons alors parler de source a dordre N, lordre tant lindice N du dernier terme de la srie non ngligeable (voir e e e Fig.2.1).

Ordre 1

Ordre 5

Ordre 4

Fig. 2.1 Domaines dinuence des ordres dune source quelconque () en fonction dela distance au centre.

Cependant, la dtermination de lordre maximum nest pas base sur lunique e e dcroissance des termes et le bruit de la mesure intervient fortement. En eet, en e plus du bruit magntique ambiant, la mesure magntique est toujours entache e e e du bruit des capteurs qui fait partie de leurs spcications. Alors, la limitation e dune source ` un ordre N nest pas uniquement justie par le fait que les termes a e suprieurs ` N sont ngligeables, mais surtout parce quils sont partiellement noys e a e e dans le bruit de la mesure.

Ordre 2

Ordre 3

28 2.2.1.2

2. Identification de sources magnetostatiques Linformation a priori

Linformation a priori joue un rle central dans notre tude. En plus de la do e e croissance naturelle des termes qui dnit lordre de la source, elle apporte e une connaissance qui permet de ngliger des termes supplmentaires dans le de e e veloppement limit de linduction magntique (2.2). Par exemple, si la source est e e priodique de priode P, il est vident que seuls les termes de priode multiple de e e e e P vont avoir un rle dans lcriture de linduction. En utilisant cette information o e nous divisons par P le nombre de coecients {an , bn } ` identier. a La dicult de linformation a priori, mme simple comme les priodicits ou les e e e e symtries, est quelle nest pas rigoureusement exacte ou, dans le cadre de lidentie cation dune source inconnue, quelle nest pas disponible. Prenons lexemple dun moteur, ` p paires de ples. Il poss`de des priodicits relatives ` ce nombre de a o e e e a ples qui devraient permettre de limiter le nombre dinconnues. Mais la ralit est o e e toute autre et les dissymtries dues aux dfauts dusures ou de fabrication peuvent e e tre contradictoires avec linformation a priori. Nous devons donc utiliser linfore mation avec intelligence pour ne pas contraindre lidentication ` lerreur. Nous a rentrerons plus en dtail sur lemploi de linformation a priori au cours du chae pitre 4. Pour lheure, nous supposerons ne possder aucune information a priori, ce e qui va nous permettre de mettre en place lidentication magntostatique la plus e gnrale possible. e e 2.2.1.3 Zone de validit du mod`le e e

Notre but est dobtenir un mod`le sous forme dun dveloppement limit de e e e (2.2) qui soit reprsentatif de linduction magntique. La notion dordre, qui est e e toujours vrie quelle que soit la source, va nous permettre de limiter le dvelope e e pement de (2.2) de sorte que le nombre de coecients ` dterminer soit ni. Ainsi, a e linduction magntique dune source dordre N scrira : e eN

n [an sin(n) + bn cos(n)] r(n+1) B(r, ) = b0 n [+an cos(n) + bn sin(n)] r(n+1) + r n=1 En coordonnes polaires, par exemple, le nombre de coecients {an , bn } ` idene a tier est 2N+1. Lordre N de la source variant avec la distance au centre (Fig.2.1), plus lobservation est loigne du centre et moins le nombre de coecients ncese e e saires pour caractriser linduction de cette source sera important. Naturellement e nous venons ` penser que plus nous sommes loin et plus il est facile didentier une a source. Mais ce raisonnement a principalement deux limites. La premi`re est lie e e au rapport signal sur bruit : plus nous sommes loin de la source et moins le signal de la source est important par rapport au bruit, donc plus une erreur didentication est possible. La seconde est lie ` lapplication que nous dsirons : si nous e a e cherchons a extrapoler la signature de la source au loin pour garantir sa discrtion, ` e alors le raisonnement est acceptable. Par contre, si nous cherchons ` caractriser la a en=1 N

(2.3)

2.2. Approche empirique

29

source pour des applications de prcision (diagnostic) ou obtenir un mod`le prcis ` e e e a proximit pour garantir la discrtion ` courte distance, alors le raisonnement nest e e a pas acceptable et nous devons chercher une source dordre N lev. An dviter e e e toute confusion possible prcisons que lorsquun mod`le est dtermin ` lordre N, e e e ea il nest reprsentatif de linduction magntique qu` lextrieur de la zone o` les e e a e u termes dordre suprieur sont ngligeables (voir Fig.2.1). e e 2.2.1.4 Proprits des coecients harmoniques e e

Les coecients harmoniques sont les inconnues ` identier ` partir de la mesure. a a Ils poss`dent quelques proprits remarquables [Leg96] : e ee Les coecients interviennent dans lcriture de toutes les grandeurs lectroe e magntiques, puisquelles sont toutes obtenues ` partir du potentiel vecteur e a (voir 1.3.1). Lidentication de ces coecients est donc possible en regroupant dirents types de mesures magntiques (champ, gradient) et lectriques e e e (champ, potentiel lectrique). e Ils sont intrins`ques ` la source et au choix du centre de la dcomposition, e a e cest-`-dire quils sont indpendants de la mesure. Quel que soit le jeu de a e mesures disponibles des grandeurs lectromagntiques de la source, les coe e ecients harmoniques obtenus doivent tre identiques et indpendants des e e conditions de mesures ou des grandeurs mesures. e Les champs lectriques, les potentiels vecteurs ou les champs magntiques e e sont linairement dpendants des coecients. Il est donc tr`s simple de cale e e culer ces coecients ` partir des mesures. a Les proprits des coecients harmoniques sont telles que deux identications ee a ` des ordres dirents N1 et N2 doivent donner des coecients communs identiques e (les coecients ne dpendent que de la source). e 2.2.1.5 Choix du centre de la dcomposition e

Le choix du centre de la dcomposition est primordial. Il dtermine la valeur de e e lensemble des coecients. Cest pourquoi nous avons spci dans les proprits e e ee de ces coecients quils taient intrins`ques ` la source et au choix du centre de e e a la dcomposition. Illustrons ce propos ` laide dun exemple simple : le conducteur e a inni dcentr. e e Prenons un cble lectrique de rayon a parcouru par un courant lectrique a e e damplitude I (Fig.2.2.(1)). Si le centre de la dcomposition est confondu avec le e centre du cble, alors en tout point P tel que r > a nous pouvons crire le potentiel a e vecteur magntique ` une constante pr`s : e a e A(r, ) = 0 I ln(r) + C ste 2 ez (2.4)

Si maintenant, ce mme cble est dcentr de b par rapport au centre e a e e (Fig.2.2.(2)), le potentiel vecteur magntique en tout point P dni ` partir du e e a

30

2. Identification de sources magnetostatiques

centre O de la dcomposition scrira [Dur66] : e e A(r, ) = 1 0 I ln(r) 2 n n=1

b r

n

cos(n) + C ste

ez

(2.5)

Cette expression du potentiel vecteur montre tr`s clairement la formation e dordres suprieurs. Limportance de ces ordres dpend du rapport (b/r) : plus e e b sera grand et plus le cble sera une source dordre leve. a e ey y

P

P

rO

rx O

x

(1)a

(2)b

Fig. 2.2 Exemple dune source dcentre par rapport au centre de la dcomposition e e emultipolaire : le cble dcentr. a e e

Nous pouvons donc tirer un enseignement simple de cet exemple : Le choix du centre de la dcomposition est un point crucial qui dtermine lordre de la source e e et par l`-mme le nombre de coecients ` dterminer. Ainsi, toute identication a e a e doit tre prcde de loptimisation du centre de la dcomposition [Sco03]. Dans e e e e e la plupart des cas didentication que nous traiterons, nous choisirons leur centre gomtrique. En particulier pour des moteurs qui poss`dent une gomtrie lie ` e e e e e e a leur fonctionnement, lhypoth`se a priori la plus raisonnable consiste ` choisir leur e a centre gomtrique. Pour des sources inconnues, nous ferons preuve dun degr e e e supplmentaire danalyse qui consiste ` vrier a posteriori la validit de notre e a e e hypoth`se a priori : cest le principe de linfrence baysienne que nous traiterons e e e ultrieurement. e 2.2.1.6 Remarque complmentaire e

Les sries harmoniques de types (2.1) sont souvent obtenues ` partir e a dun dveloppement limit de 1/r dans le syst`me de coordonnes considr e e e e ee [Hob31][Sal82][Leg96]. De ce fait, le dveloppement harmonique nest valable qu` e a lextrieur dune surface relative au rep`re (cercle, sph`re, ellipse,. . .) et adhrent ` e e e e a la source (sph`re englobant la source). Lapproche que nous avons choisie, qui est e