INTRODUCTIONAUX TRANSFERTSTHERMIQUESCours et exercices corrigsJean-Luc BattagliaProfesseur l'universit Bordeaux 1Andrzej KusiakMatre de confrences l'universit Bordeaux 1Jean-Rodolphe PuiggaliProfesseur l'universit Bordeaux 1et vice-prsident de l'universit Bordeaux 1Illustration de couverture : DeVIce-Fotolia.com Dunod, Paris, 2010ISBN 978-2-10-054828-6TABLEDESMATIRESCHAPITRE1 INTRODUCTION LNERGTIQUE ETAUXTRANSFERTS. . . . . . 11.1 Quelques dnitions ncessaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Le systme tudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 La ncessaire complmentarit entre thermodynamique et thermique. . . . . . 61.2 La notion de temprature et la temprature dun corps. . . . . . . . . . . . 71.2.1 Lquilibre thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Ltalonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Les chaleurs spciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Le premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Le systme et les variables thermodynamiques associes . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Lnergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3 nonc du premier principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.4 Rfrence aux nergies mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Le changement de phase et le diagramme de phase. . . . . . . . . . . . . . . 141.5.1 Diagramme dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Chaleur latente de changement de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Quelques bases sur les diffrents modes de transfert thermique. . . . 161.6.1 Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6.2 Convection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.3 Rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.4 Les principales notations et grandeurs du transfert thermique . . . . . . . . . . . . 171.6.5 Les problmes les plus courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.6 La densit de ux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Quelques lments sur le rgime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.1 Conduction en rgime transitoire : mthode de la capacit thermique. . . . . . 19Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24VTable des matiresCHAPITRE2 CONDUCTION DELACHALEUR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1 La conduction lchelle atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.1 Structure des matriaux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2 quilibre thermique et temprature dans les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.3 Diffusion de la chaleur dans les structures solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Modlisation de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.1 Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2 Conductivit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.3 Lien entre chaleur spcique et conductivit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.4 Expression de la loi de Fourier dans diverses congurations gomtriques . . 422.3 La diffusivit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.1 Rappel sur la capacit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.2 La diffusivit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 quation de diffusion de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Notion de rgime permanent et transitoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Conditions initiales et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.2 Conditions aux limites en thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7 Laccommodation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.1 Nombre de Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.2 Accommodation thermique partielle en gomtrie variable. . . . . . . . . . . . . . 532.8 Transfert de chaleur aux interfaces solide - solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9 Analogie lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.10Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72CHAPITRE3 TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONVECTION. . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.1 Modlisation du transfert de chaleur par convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.2 Couches limites en transfert par convection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2.1 Couche limite hydrodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.2 Couche limite thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96VITable des matires3.2.3 coulement laminaire et turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.3 Bilans de masse, de quantit de mouvement et de chaleur dans lacouche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3.1 Bilan de masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3.2 Bilan de quantit mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.3 Bilan thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 Analyse Dimensionnelle Principe de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.5 Convection Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5.1 Application de lanalyse dimensionnelle en convection force aveccoulement interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5.2 Expressions du coefcient de convection h en convection force . . . . . . . . . 1093.6 Convection naturelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.6.1 Application de lanalyse dimensionnelle en convection naturelle . . . . . . . . . 1143.6.2 Rgime turbulent en convection naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6.3 Expressions du coefcient de convection h en convection naturelle . . . . . . . 1173.7 Mthodologie pour le calcul de transferts par convection en utilisantles corrlations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.8 Convection avec changement de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.8.1 Convection lors de la condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.8.2 Convection lors de lbullition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.9 Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135CHAPITRE4 RAYONNEMENT THERMIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.1 Le processus physique de rayonnement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.1.1 Dmonstration de son existence partir dune exprience . . . . . . . . . . . . . . 1494.1.2 Le spectre lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.1.3 Explication physique simple de linteraction photonatome . . . . . . . . . . . . . 1524.1.4 Les corps noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.1.5 Loi de Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.1.6 Les notions gomtriques essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.2 Grandeurs physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.2.1 Grandeurs lies lmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.2.2 Grandeurs lies au rcepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 DunodLaphotocopienonautoriseestundlitVIITable des matires4.3 Rayonnement des corps noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.3.1 Luminance des corps noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.3.2 Lois de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.3.3 Loi de StefanBoltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.3.4 mission spectrale du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.4 Rayonnement des corps rels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.4.1 missivit des corps rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.4.2 Absorption, rexion et transmission des corps rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.4.3 La loi de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.4.4 Les corps gris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.5 Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185CHAPITRE5 TRANSFERT PARRAYONNEMENT ENTRECORPS . . . . . . . . . . . . . . 1955.1 Dnitions des outils gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.1.1 Facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.1.2 Relation de rciprocit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.1.3 Cas particulier de la cavit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.1.4 Quelques valeurs du facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.2 changes radiatifs entre corps noirs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.2.1 changes entre 2 corps noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.2.2 changes entre corps noirs dans une cavit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.3 changes entre corps gris dans une cavit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.3.1 Expression du ux net chang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.3.2 Inuence dun milieu participatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.3.3 Utilisation de lanalogie lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.3.4 Rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.3.5 Boucliers radiatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.4 Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220VIIIAVANT-PROPOSCetouvragemetenavantlesbasesfondamentalesncessaireslacquisitiondecomptences dans le domaine des transferts de la chaleur et propose des liens et desouvertures vers les disciplines fondamentales qui soutiennent leur comprhension. Ilsadresse des tudiants Bac + 2, Bac + 3.Le chapitre 1 rappelle les notions lmentaires de thermodynamique des systmes.Il y est en particulier prcis la notion de transfert sous forme de chaleur. Les diffrentstypesdetransfertsontalorsabordsdansleschapitressuivants. Letransfertparconduction dans les matriaux solides ou les uides au repos fait lobjet du chapitre 2.Le transfert de chaleur par convection, obligatoirement associ du transfert de masseest dtaill dans le chapitre 3. Enn, le transfert de chaleur par rayonnement fait lobjetdes deux derniers chapitres. Le choix de cette organisation tient nalement bien plusdun contexte historique que dune formulation mathmatique des modles ou bien depr requis la lecture et la comprhension dun chapitre. En effet, chaque chapitrepeut tre pratiquement lu indpendamment des autres. Cependant, nous conseillonsfortement au lecteur de lire en premier lieu le chapitre 1 an de se familiariser avecles notations utilises en thermique ainsi quavec la notion de bilan thermique trsutile pour la suite. Nous avons donc choisi de prsenter chaque type de transfert enfonction de lordre chronologique de sa formulation mathmatique.Le contenu de chaque chapitre constitue des connaissances de base en thermiquetelle quelle est enseigne dans les lires Universitaires. Il ny a donc pas de surpriseici. Toutefois, an dapporter des clairages supplmentaires et de contextualiser lesdmarches, nous avons tent de prciser chaque fois que cela tait possible la naturephysique des phnomnes aux diffrentes chelles dobservation : du microscopiqueau macroscopique. Ceci apporte une certaine originalit louvrage, lexpos tenantcompte du fait que les lecteurs ne sont pas tous familiers des nombreux domaines dela physique (mcanique quantique, mcanique statistique, thermodynamique). Nousavons donc essay de nous restreindre un expos pdagogique, bas sur lobservationet le sens logique.Chaque chapitre est accompagn de quelques exercices corrigs. Ces exercices sontcenss couvrir lensemble des connaissances thoriques dveloppes dans le cours.Bien entendu, le lecteur pourra trouver dans dautres livres un nombre plus importantdexercices qui lui permettront de sassurer de la bonne comprhension du prsentcours.DunodLaphotocopienonautoriseestundlitIX1INTRODUCTIONLNERGTIQUEETAUXTRANSFERTSPLAN1.1 Quelques dnitions ncessaires1.2 La notion de temprature et la temprature dun corps1.3 Les chaleurs spciques1.4 Le premier principe de la thermodynamique1.5 Le changement de phase et le diagramme de phase1.6 Quelques bases sur les dirents modes de transfert thermique1.7 Quelques lments sur le rgime transitoireExercicesSolutions des exercicesOBJECTIFS Poser quelques dnitions et des liens entre thermodynamique et thermiqueau travers des phnomnes de transfert de chaleur. Avoir quelques pistes pour construire une analyse nergtique.1.1QUELQUESDFINITIONSNCESSAIRES1.1.1 Le systme tudiLa thermodynamique, comme toute autre branche de la physique, met en cause dansses principes des proprits attaches la matire et leur volution au cours du temps.Ceci sappliquant nimporte quel systme matriel il convient alors de le situer.La description thermodynamique dun systme a donc comme premier impratif deprciser deux rgions : le systme tudi et ce qui lui est extrieur (son environnement).On dnit alors la frontire surface ferme de lespace et la nature des changes entrele systme et son environnement au travers de cette frontire. Ainsi, les systmesthermodynamiques sont classs en trois catgories que distinguent les changes aveclextrieur : les systmes isols nchangent ni matire ni aucune forme dnergie ;1Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transferts les systmes ferms changent de lnergie, mais pas de matire ; les systmes ouverts changent matire et nergie.Exemple de systme isol : le vase DewarLe vase de Dewar est unverre conupour fournir une trs bonne isolationthermique. Ce vase doit son nomauphysicien cossais James Dewar. Ce vasese prsente sous la forme dune bouteilleenverreouenmtal,endoublecouche.Ilpeuttrevucommedeuxbouteillesparoi mince imbriques lune dans lautre.Lespacetroitentrecesdeuxbouteillesestpresqueentirement dpourvudair,le quasi-vide empche les changesde chaleur. La surface intrieure de labouteille externe et la surface externedelabouteilleintrieure, ontunenduitrchissantmtallique(delargentparexemple) pour empcher la chaleur dtretransmise par rayonnement.Exemple de systme ferm : la bouilloireLes bouilloires traditionnelles sont desrcipients mtalliques destines treposes sur une gazinire ou sur uneplaque lectrique ande rchauer leliquide contenu. Les bouilloires lec-triques sont munies dune rsistancechauante, gnralement immerge, quiseprsentesouslaformeduntubeenanneau Dans les deux cas, le liquideresteconnaurcipient, il nyapasde transfert de masse mais seulementunapportdechaleurpartransfertdelachaleur.Exemple de systme ouvert : lchangeurUnchangeurtubulairepeut treconsi-dr comme lchangeur de chaleurle plus simple : il consiste en2tubesconcentriques. Unuidecirculedansletubeinternealorsquelesecondpassedans lespace entre les 2 tubes.Unchangeurailettesconsisteenunconduit cylindriqueourectangulairesur21.1. Quelques dnitions ncessaireslequel est x des lames mtalliques de direntes formes. Le uide de refroidisse-ment est en gnral lair ambiant. La chaleur est transfre du uide chaud circulantdans le conduit principal aux lames mtalliques par conduction thermique, qui serefroidissent au contact de lair. On utilise par exemple ce type dinstallation pourrefroidir les moteurs de voiture.Un systme complexe pourra tre dcompos en sous-systmes plus simples et ilconviendra de prciser la nature des ux changs entre les sous-systmes lmen-taires. On dnit le ux comme la quantit de chaleur transporte par unit de temps.Lnergie sexprimant en Joules, le ux sexprime donc en Watts.systmesous-systme 1sous-systme 2environnement frontireschange d'nergiechange de masseFigure 1.1 Le systme thermodynamique et son environnement1.1.2 LnergieLnergie, force en action que lon fournit un systme matriel pour le transformer,se rencontre sous diffrentes formes : nergie mcanique (potentielle : celle que pos-sde un corps en fonction de sa position ou cintique : celle que possde un corpsen fonction de sa vitesse), nergie chimique (molculaire par liaisons entre atomes,de mlange par interaction entre molcules, dinterphases), nergie lectrique (parsparation de particules charges de signe oppos), nergie magntique (par mouve-ment de particules charges), nergie rayonnante (acclration de particules charges),nergie nuclaire (interaction entre nuclons au sein dun noyau), nergie thermique(agitation dsordonne des molcules, cest une forme dgrade de lnergie). Il existede nombreuses possibilits de transformations ou de conversions avec des rendementsassocis entre les diverses formes dnergie. Par exemple, dans un moteur combus-tion interne la combustion du carburant avec loxygne de lair (nergie chimique) DunodLaphotocopienonautoriseestundlit3Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsva produire une augmentation de la temprature des gaz de combustion (nergie ther-mique) quivontsubir uneaugmentation de pression et uneexpansion volumique(nergie mcanique).ENCART1.1 James Prescott JouleJames Prescott Joule (24 dcembre 1818, Salford, prs de Manchester, Angleterre 11 octobre 1889, Sale) est un physicien (et brasseur) britannique.Son tude sur la nature de la chaleur et sa dcouverte de la relation avec le travailmcanique lont conduit la thorie de la conservation de lnergie (la premireloi de la thermodynamique). Il a galement nonc une relation entre le courantlectriquetraversantunersistanceetlachaleurdissipeparcelle-ci,appeleau XXIe sicle la loi de Joule. Enn il a travaill avec Lord Kelvin pour dvelopperlchelle absolue de temprature et a tudi la magntostriction. En 1850, il devientmembre de la Royal Society. En 1852, il est laurat de la Royal Medal et, en 1870,il reoit la mdaille Copley. Dans le systme international, lunit du travail porteson nom : le joule.Lnergie thermique, ou chaleur, est note Q, les autres formes seront notes W, enparticulier lnergie mcanique.En sintressant plus particulirement lnergie thermique des actions volontairesou involontaires sont exerces sur cette nergie : transport : cest le dplacement dans lespace dune quantit dnergie. Par exemple,on dispose dune quantit deau chaude en un lieu que lon dplace travers unrseau de conduites pour lamener dans un autre lieu an dassurer un moyen dechauffe. stockage : cest le dplacement dans le temps dune quantit dnergie. Par exemple,la quantit deau chaude prcdente est obtenue par chauffage de nuit au moyendun thermoplongeur lectrique et elle est utilise de jour. transfert : cest le passage dune quantit dnergie dun milieu matriel (solide,liquide ou gazeux) un autre milieu matriel. Notre eau chaude, par lintermdiairedu radiateur (changeur de chaleur), transfre son nergie lair environnant. conversion : cest le passage dune forme dnergie une autre. Par exemple latransformation de lnergie lectrique en nergie thermique par lintermdiaire deleffet Joule dans la rsistance du thermoplongeur.Exemple de conversion Nuclaire Thermique lectrique : la centraleNuclaire.La dirence essentielle entre une centrale nuclaire et une centrale thermique clas-sique est matrialise par le remplacement dun ensemble de chaudires consom-mant des combustibles fossiles par un racteur nuclaire. Pour rcuprer de lnergiemcanique partir de chaleur, il est ncessaire de disposer dune source chaude etdune source froide. Pour un racteur de type REP (Racteur Eau sous Pression), lasource chaude est fournie par leau du circuit primaire, la temprature moyenne de41.1. Quelques dnitions ncessaires306C (286C en entre et 323C en sortie, temprature de sortie variant selonla puissance de la tranche). La source froide est fournie par leau dun euve ou dela mer, ou bien de lair ambiant par vaporation dans des tours arorfrigrantes.Ainsi, une tranche nuclaire de type REP comporte trois circuits deau importantsindpendants : Le circuit primaire qui se situe dans une enceinte de connement. Il est constitu,suivant le type de tranche, de 3 ou 4 gnrateurs de vapeur associs respectivement une pompe (par Gnration de Vapeur), un pressuriseur assurant le maintien de lapression du circuit (155 bar) puis dun racteur intgrant des grappes de contrle etle combustible. Il vhicule, en circuit ferm, de leau liquide qui extrait les caloriesdu combustible pour les transporter aux gnrateurs de vapeur (rle de caloporteur).Leau du circuit primaire a aussi comme utilit la modration des neutrons (rle demodrateur) issus de la ssion nuclaire. La thermalisation des neutrons les ralentitpour interagir avec les atomes duranium 235 et dclencher la ssion de leur noyau.Par ailleurs, leau procure un eet stabilisateur au racteur: si la raction semballait,la temprature du combustible et de leau augmenterait. Cela provoquerait dunepart, une absorption des neutrons par le combustible (eet combustible) et dautreparunemodrationmoindredeleau(eetmodrateur). Lecumul decesdeuxeets est dit "eet puissance" : laugmentation de ce terme provoque ltouementde la raction delle-mme, cest un eet auto - stabilisant. Le circuit deau secondaire est un circuit ferm, qui se dcompose en deux parties.Entre le condenseur et les gnrateurs de vapeur, leau reste sous forme liquide :cestlalimentationdesgnrateursdevapeur ;despompespermettentdleverla pression de cette eau, et des changeurs de chaleur en lvent la temprature(60 bar et 220C). Cetteeausevaporisedans3ou4gnrateursdevapeur(suivant le type de tranche ; 900 ou 1 300 / 1 450 MW) et les tuyauteries de vapeuralimentent successivement les tages de la turbine disposs sur une mme lignedarbre. La vapeur acquiert une grande vitesse lors de sa dtente permettant ainsidentraner les rouesaubages de laturbine.Celle-ciest compose deplusieursDunodLaphotocopienonautoriseestundlit5Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertstages spars et comportant chacun de nombreuses roues de diamtre dirent.Dabord, la vapeur subit une premire dtente dans un corps haute pression (HP ; de55 11 bar) puis, elle est rcupre, sche et surchaue pour subir une secondedtente dans les corps basse pression, (BP ; de 11 0,05 bar). On utilise les corpsBP dans le but daugmenter le rendement du cycle thermo - hydraulique. La sortie dudernier tage de la turbine donne directement sur le condenseur, un changeur dechaleur dont la pression est maintenue aux environs de 50 mbar absolu (vide) parla temprature de leau du circuit de refroidissement (selon la courbe de saturationdeleau).Despompesvideextraientlesgazincondensablesenphasegazdumlange (principalement loxygne et lazote). Leau condense dans cet appareil estrutilise pour ralimenter des gnrateurs de vapeur. Le circuit de refroidissementassurelerefroidissementducondenseur.Leauestrefroidieparuncourantdairdansunetourarorfrigrantedounepetitepartie(1,5 %) deleauschappeenvapeurenformedepanacheblanc. Leauderefroidissementpeutaussi trechange directement avec un euve ou la mer. Lnergie mcanique produite parla turbine sert entraner lalternateur qui la convertit en nergie lectrique, celle-citant vacue par le rseau lectrique.1.1.3 La ncessaire complmentarit entre thermodynamique etthermiqueLa thermodynamique classique tudie lvolution nergtique des systmes passantdun tat dquilibre donn un autre. Ce qui compte en premier lieu cest ce quunsystme peut absorber ou restituer, donc les variations de son nergie. Ces variationssont directement lies aux ux surfaciques qui oprent sur la frontire ou au travers.Cest ce que la thermodynamique dnie par les changes entre le systme et lext-rieur. Elle permet en outre dtablir des relations entre les phnomnes caloriqueset mcaniques. Si elle quantie les quantits dnergie mises en jeu dans lvolutiondun systme, elle ne donne aucune indication sur les mcanismes et la dynamique deces changes.ENCART1.2 James WattJames Watt est n le 19 janvier 1736 Greenock en cosse. En 1764, un professeurdeluniversitlui donnerparerunemachinevapeurdemodlerduitdetype atmosphrique. En eectuant la rparation, il sinterroge sur la possibilit derduire les pertes dnergie an de multiplier les utilisations de la machine. Il pense ajouter un condenseur et une pompe eau an daugmenter la puissance touten limitant le gaspillage de vapeur et de combustible. Il poursuit ses travaux sur lavaporisation de leau et, en 1769, il fait breveter les premiers perfectionnementsquil apportelamachinevapeur.Ilmeurten1819.Sonnomestdsormaisassocilunitdemesuredelapuissancencessaireunemachinepoureectuer un travail donn en une seconde.61.2. La notion de temprature et la temprature dun corpsPrenons le cas dune machine frigorique. Lapproche thermodynamique consiste dterminer le rendement de la machine et dnir les valeurs des grandeurs thermody-namiques (pression, temprature ...) pour que ce rendement soit optimal. Lapprochethermiquesintresseauxmcanismesdetransfertdelachaleurandamliorerla structure des lments pour obtenir les conditions de fonctionnement optimalesdnies par la thermodynamique.Convention de signeLes formes dnergie apparaissent lorsquil y a interaction entre un systme ther-modynamique et son environnement dans une volution vers un tat dquilibre.Lorsquune force extrieure agit sur un systme thermodynamique, si la projec-tion du dplacement sur la direction de la force est dans la mme directionque la force, le travail de la force est positif ; le travail est reu par le systmethermodynamique faisant ainsi augmenter son nergie.Onnoteraquedetouttempslhommeacherchpallierauxfaiblessesdesonnergiemusculaireet sesbesoinsenchaleur. Lanaturenemet pasnotredisposition, sousuneformeprtelemploi, touteslesvaritsdnergiesquenous utilisons au quotidien. Les nergies que nous utilisons, et qui sont qualiesde"nales", sontobtenuespartirdessourcesdisponiblesdanslanature, quisontqualiesde"primaires".Cessourcesprimairespeuventavoiruncaractrerenouvelable ou non.1.2LANOTIONDETEMPRATUREETLATEMPRATUREDUNCORPSLa notion de temprature drive des sensations de froid et de chaud que donne letoucher, il sagit donc dune notion trs subjective. Il faut donc dnir une grandeur(la temprature) dont lvolution produit diffrents phnomnes tels que des varia-tions de longueur ou de volume. La temprature est une grandeur reprable et nonmesurable (lgalit et la comparaison entre deux tempratures ont un sens ; on nepeut dnir dopration partir de la temprature du type additivit). On repre alorsla temprature en mesurant leffet produit par sa variation sur le corps tudi. Cest leprincipe du thermomtre : la variation de la hauteur de mercure est relie la varia-tion de temprature correspondante. Le thermomtre ainsi form doit permettre dednir la temprature dautres corps. Ceci est possible grce la notion fondamentaledquilibre thermique.1.2.1 Lquilibre thermiqueLorsquelonplacedeuxobjets, lunchaud, lautrefroid, dansuneenceintequinchangepasaveclemilieuextrieur(onadoncaffaireunsystmeisol),lecorps chaud se refroidit tandis que le corps froid se rchauffe et ce jusqu un tat DunodLaphotocopienonautoriseestundlit7Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsdquilibre pour lequel les tempratures des deux corps sgalisent. Si lun est unthermomtre, on a ainsi dtermin la temprature de lautre corps. Les tempraturesdes deux corps ntant pas gales, un ux de chaleur apparat qui persiste jusquaumoment o le systme atteint lquilibre thermique.1.2.2 LtalonnageSi lon veut que la temprature mesure soit indpendante du thermomtre utilis, ilfaut alors dnir des points de rfrence, dits points xes. On gradue le thermomtreen fonction de ces points, la loi construite sur les points xes constitue alors lchellede temprature de ce thermomtre.Ces points xes sont dnis par des conditions thermodynamiques connues corres-pondant des changements de phase. Un changement de phase se produit, dans desconditions de pression donnes une temprature bien dnie (par exemple, le pointdbullition de leau pression atmosphrique T = 100C, et le point de fusion T= 0C). Suivant les points xes choisis, on dnit diffrentes chelles de temprature.La temprature se mesure : en degrs Celsius (C), chelle datant de 1742, en degrs Fahrenheit (F), en degrs Kelvin (K), qui elle date de 1852.Les chelles Celsius et Fahrenheit sont empiriques alors que lchelle Kelvin estabsolue. Cette dernire se dduit du deuxime principe de la thermodynamique. Latemprature la plus basse possible correspond donc au zro absolu 0 K. Les relationsliant ces diffrentes chelles sont :TK= TC + 273,15TC=59 (TF 32)Relation entre la structure dun corps et sa tempratureAu niveau microscopique, lensemble des molcules est anim dun mouvementincessant et dsordonn, mouvement qui entrane des chocs entre les molcules.CestcequonappellelemouvementBrownienouagitationmolculaire.Latemprature dun corps est lie ce phnomne et elle est dautant plus leveque lagitation molculaire est importante.1.3LESCHALEURSSPCIFIQUESLquilibre thermique qui se ralise entre deux corps de tempratures diffrentes estd un change de chaleur entre ces deux corps. Le sens commun permet de constaterque la temprature nale dpend non seulement des tempratures initiales mais ausside la masse des deux corps en contact ainsi que de leur nature.81.3. Les chaleurs spciquesLtude exprimentale de la mise en quilibre thermique de deux corps de masse m1et m2 et de natures diffrentes, montre que la temprature dquilibre de lensemblenest pas la moyenne de leurs tempratures initiales T1 et T2, mme sils ont la mmemasse. On constate que tout se passe comme si chaque corps disposait au dpart duncapital thermique qui, rapport sa masse, tait proportionnel sa temprature. Lescoefcients de proportionnalits C1 et C2 dpendent de la nature du corps. Commelachaleurperdueparlecorpschaudest gagneparlecorpsfroidonobtient latemprature dquilibre :T=m1C1T1 + m2C2T2m1C1 + m2C2(1.1)Ainsi, de faon plus gnrale, on exprimera la quantit de chaleur Q absorbe oucde par un corps de masse m dont la temprature volue de Tini (temprature initiale) Tn (temprature nale) par :Q= m C(Tn Tini) (1.2)La chaleur spcique C, caractrise la nature du corps. Cest la quantit de chaleurquil faut fournir lunit de masse pour lever sa temprature de 1 K. La chaleurspcique sexprime donc en J kg 1K 1. Le produit m C est la capacit caloriqueet sexprime en J K 1.Ainsi la capacit calorique dun corps est le rapport de la chaleur absorbe DQ laccroissement de temprature rsultantDT. La notion de chaleur spcique segnralise toute volution thermique pourvu quelle ait lieu dans des conditionsparfaitement dnies et reproductibles. On peut modier la temprature en maintenantle corps volume constant ou pression constante. Les chaleurs spciques corres-pondantes sont notes Cv (volution isochore) et Cp(volution isobare). On retiendraque pour les solides et les liquides Cv Cp.Rappelonsquenthermodynamique, laconventiondesigneconsistednircomme positive toute quantit dnergie gagne par le systme tudi. Si Tini > Tn, Q < 0, il y a perte de chaleur pour le systme tudi. Si Tini < Tn, Q > 0, il y a gain de chaleur pour le systme tudi.Dans le cas dune variation innitsimale, en tenant compte du fait que la chaleurmassique peut varier avec la temprature, on crit laccroissement de chaleur sous laforme :dQ= m CpdT soit Q= m_TnTiniCp dT (1.3)Si on ne raisonne plus en termes de masse mais de dbit massique m(exprimen kg s 1), la quantit de chaleur sera exprime par unit de temps. Cest alors ladisponibilit instantane de lnergie qui est prcise et on sera donc amen dans cecas exprimer le ux (en Watts) lie la variation de temprature sous la forme :df= m CpdT soit f= m_TnTiniCp dT (1.4)DunodLaphotocopienonautoriseestundlit9Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsSi lon considre un systme isol cest--dire ne pouvant pas changer dnergieavec le milieu extrieur, on a :

Q= 0 ou

f= 0 (1.5)La quantit totale de chaleur est conserve lorsquil sagit dun phnomne pure-ment calorique.1.4LEPREMIERPRINCIPEDELATHERMODYNAMIQUEDans les phnomnes purement mcaniques, on a conservation de lnergie mcanique.Demme, danslesphnomnespurementcaloriques, ilyaconservationdelachaleur. Dans des phnomnes plus gnraux o sont mis en jeu travail mcanique Wet chaleur Q, il y a conservation de lnergie totale mais chaque forme dnergie nestpas conservative elle seule. Ds le dbut duXIXesicle il tait bien acquis quenfournissant du travail un systme, par exemple en comprimant un gaz, on pouvaitenretirerlachaleur.Defaonrciproque,enchauffantcegazonpeutenretirerdutravail.Cetteconversionrciproqueposaitalorsleproblmedelquivalenceentrechaleuret travail. Desexpriencesonconduit retenirunevaleurpourlerapport W/Q = 426,8 kg m kcal 1et ce rapport xe lquivalence entre la calorie etle Joule. titre dexemple, considrons un patin de frein sur une jante de bicyclette. Cest unsystme mcanique dans lequel il existe des forces de frottement. Lors du freinage, ily a dissipation dnergie sous forme calorique lie au travail des forces de frottement.On dit quil y a dgradation dnergie mcanique et cration de chaleur. Il convientde noter que dans la ralit cette conversion se fait avec une certaine efcacit. Cetteefcacit est gale 100 % si lon considre que le phnomne est rversible.La chaleur est une forme dnergieLa quantit de chaleur (Q) est mesure dans le Systme International en Joules(J).Lacalorieestlaquantitdechaleurquifaitpasserde14,5C15,5Cla temprature dun gramme deau (sous une pression de 1 015 hPa) ; 1 calorie= 4,184 Joules.1.4.1 Le systme et les variables thermodynamiques associesConsidrons un systme thermodynamique qui volue sufsamment lentement duntat initial (ini) vers un tat nal (n). Alors tous les tats intermdiaires peuventtre considrs comme des tats dquilibre. Par consquent, on connat chaqueinstant les variables thermodynamiques du systme partir dquations dtat. Cesont les relations mathmatiques liant les variables dtat du systme. Dans le cadrede lhypothse de dpart, la transformation subie par le systme est rversible et lechemin inverse, cest--dire lvolution qui consisterait retourner ltat initial, est101.4. Le premier principe de la thermodynamiqueralisable. Dans le cas contraire, on dira que la transformation est irrversible. Enpratique, les processus thermodynamiques rels sont irrversibles et lhypothse derversibilit constitue donc une approximation.Les formes dnergie sexpriment partir des variables extensives et intensives. Ilconvient de noter que toute variation dnergie sexprime comme le produit dunevariable intensive par la variation dune variable extensive.Les variables dtatCe sont les grandeurs physiques qui ont une inuence signicative sur le com-portement du systme comme par exemple la temprature (T), la pression (P), lepotentiel chimique (mi) etc....Ces variables dtat peuvent tre des variables :extensives : fonctionsdelextensiondusystme(masse, volume, entropie,quantit de chaleur...) ;intensives : indpendantesdelataille(extension)decesystme(pression,temprature, potentiel chimique...).Dans un systme thermodynamique dcompos en sous-systmes, la valeur prisepar une variable dtat extensive est la somme des valeurs prises par cette variabledans chacun des sous-systmes.On dira dun systme quil est dans un tat dquilibre thermodynamique lorsqueles valeurs des variables dtat qui le caractrise sont indpendantes du temps.1.4.2 Lnergie interneLnergie interne dun systme, qui traduit lagitation des particules et lnergie lieaux forces dinteractions entre elles, ne dpend que de ltat du systme. Cest doncune fonction dtat, elle retrouve la mme valeur au bout dun cycle thermodynamique.Lavariationdnergiedusystme,quivoluedeltat(ini)ltat(n)scrit :DU= U2U1 et ce quel que soit le chemin suivi pour passer de (ini) (n).Lnergie interne est une grandeur extensive. Ainsi, lnergie interne dun systmeconstitudensous-systmesdnergieinterneDU =U2 U1estdonnepar :dU= dQ + dW.1.4.3 nonc du premier principeOn considre un systme ferm et au repos. Il est en contact avec le milieu extrieur eteffectue une transformation au cours de laquelle il est soumis des forces extrieures(par exemple des forces de pression) agissant sur sa frontire. Par action mcaniqueces forces donnent lieu un travail lmentaire dW. Le systme change avec le milieuextrieur, au travers de cette mme frontire, une quantit de chaleur dQ. Le premierprincipe de la thermodynamique traduit le principe de conservation de lnergie. Lavariation dnergie interne dU, diffrentielle totale de la fonction dtat U pour une DunodLaphotocopienonautoriseestundlit11Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertstransformation innitsimale du systme, sexprime par :dU= dQ + dW (1.6)Au cours dune volution du systme entre deux tats parfaitement dnis (1) et(2), la variation totale dnergie interne vaut alors :DU=_21dU=_21dQ +_21dW(1.7)Soit en dveloppant :U2U1=Q12 + W12(1.8)Il sagit dune somme algbrique. La quantit de chaleurQ12est positive silsagit dun gain dnergie pour le systme. Dans le cas contraire, elle est ngative. Ilen est de mme pour le travail W12. Q12 et W12 ne sont pas des fonctions dtatet leur valeur respective dpend des tats intermdiaires atteints au cours du cycle dela transformation de (1) (2) ; elles dpendent du parcours suivi.On peut noter quelques situations remarquables : le systme, aprs une succession de transformations, revient ltat initial et doncU2U1= 0 puisque U2= U1 ; le systme est isol alors : Q12= 0et W12= 0 do DU= 0 ; le systme est adiabatique cest dire impermable la chaleur :Q12= 0 soit DU= W12.1.4.4 Rfrence aux nergies mcaniquesCalculons le travail des forces extrieures agissant sur un systme dans le cas o ilsagit de forces de pression. Ces forces agissent linterface frontire du systme avecle milieu extrieur. Le milieu extrieur exerce en tout point de la frontire du systmeune force pressante dirige de lextrieur vers lintrieur du volume sur lequel ellesexerce.SiPextestlapressionextrieuresexerantaupointM,laforcepressantedfexerce par le milieu extrieur sur llment daire da du systme scrit :df = Pext da = Pext dan(1.9)On est la normale extrieure da au point M. la suite dune dilatation oudune compression, llment dase dplace de dl . Le travail lmentaire des forcespressantes extrieures dans ce dplacement sera dW= df.dl ou encore :dW= Pext dan .dln(1.10)121.4. Le premier principe de la thermodynamiquesystmefrontireenvironnementMd fnextPdaFigure 1.2 Efforts de pression sur la frontire du systmeLe dplacement dl produit une variation de volume dV= dan .dln . Lexpres-sion du travail est donne par :dW= Pext dV soit W12= _V2V1Pext dV (1.11)La reprsentation graphique de Pext(V) montre que W12 reprsente, au signe prs,laire hachure sur la gure 1.3. Cette illustration conrme que la valeur de W dpenddes tats intermdiaires (P,V) pour passer de ltat (1) ltat (2).PV21Figure 1.3 Processus thermodynamique rversible entre les tats 1 et 2Il convient de noter que pour : une transformation isobare (P = cte): W12= Pext(V2 V1) une transformation isochore (V = cte): W12= 0On sintresse tout dabord lvolution de la quantit de chaleur Q lors dunetransformation isochore :dQv= m CvdT (1.12) DunodLaphotocopienonautoriseestundlit13Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsLa variation dnergie interne est alors : dU=dQv Pe dV =dQv, puisquedV=0. Ainsi dU= mCvdT.On suit maintenant lvolution de la quantit de chaleur Q lors dune transformationisobare : dQp= mCpdT.Lnergie interne scrit alors sous la forme :dU= dQp PedV dQv= dU + PedV,ord(PV)= PdV+ VdP= PdVpuisquedP= 0lorsquelvolutionseffectue pression constante. Alors : dQv= dU + d(PextV)= d(U + PextV)= d H.La fonction H = U + PextV est une fonction dtat appele enthalpie. Lenthalpiecorrespond la quantit de chaleur change au cours dune volution pressionconstante et ne dpend que de ltat initial et de ltat nal.1.5LECHANGEMENTDEPHASEETLEDIAGRAMMEDEPHASEUn corps peut se prsenter sous diffrents tats ou phases en fonction des conditionsde pression et de temprature auxquelles il est soumis : ltat solide, ltat liquideet ltat gazeux. Il y a changement de phase lorsque le systme passe dune phase lautre cest dire change dtat physique. La gure 1.4 prsente les principauxchangements de phase. titre dillustration si P = Patm, leau est liquide entre 0C et 100C, au del100C il y a vaporisation et leau existe sous forme de vapeur deau. En dessous de0C il y a solidication et leau existe sous forme de glace.solide liquidegazfusion vaporisationsublimationsolidification liqufactioncondensation l'tat solideFigure 1.4 Dnomination des principaux changements de phase141.5. Le changement de phase et le diagramme de phase1.5.1 Diagramme dquilibreUn changement de phase pour un corps pur ne peut se produire, pour une pressiondonne, qu une seule et unique temprature. Ceci peut tre reprsent dans lespaceP(T) en fonction des changements de phase tudis. Ltat dun systme est dnitpar un couple de valeur (P, T). En fonction de la position du point reprsentatif de cettat dans le diagramme dquilibre, il est possible de connatre la phase dans laquellese trouve le systme.PTGVglacevapeur d'eaueau liquideC1 atm0C 100C 0,01CFigure 1.5 Reprsentation des courbes dquilibre pour leauLorigine arbitraire choisie pour leau liquide correspond une enthalpie nulle aupoint G. Lenthalpie Hg de la vapeur deau reprsente sur le diagramme par le point Vest la variation denthalpie entre G et V. Pendant le changement de phase, la pression etla temprature restent constantes tant que le changement de phase nest pas totalementtermin cest dire tant quil y a coexistence de deux phases. Les points reprsentatifsdun changement de phase sont ceux qui se trouvent sur les courbes dquilibre.1.5.2 Chaleur latente de changement de phaseTout changement de phase saccompagne dune absorption dnergie ou au contrairedune restitution dnergie. Par exemple, la vaporisation de leau pression atmosph-rique ncessite un apport dnergie par chauffage.Au cours du changement de phase, la quantit de chaleur fournie (ou cde) nese traduit pas par une variation de temprature puisque cette nergie sert rompre(ou rtablir) les liaisons intermolculaires. Ceci explique que la temprature resteconstante et que la quantit de chaleur mise en jeu soit appele chaleur latente ( invi-sible ) par opposition la quantit de chaleur sensible (cest dire visible ) quiest accompagne dune variation de temprature.Un changement de phase seffectuant toujours pression constante, la quantitdnergieassociecechangement dephaseest caractrisepar unevariationdenthalpie. DunodLaphotocopienonautoriseestundlit15Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsSoitDh la chaleur latente de changement de phase, il sagit de lnergie spci-que, donc en J kg-1, associe au changement de phase. Cest une caractristiquedu systme tudi et du changement de phase subi, do : DH=Qp= mL. Danscette relation m est la masse qui change effectivement dtat. Par exemple, la cha-leur latente dvaporation de leau (passage de leau liquide leau vapeur) vaut :2,46106J kg 1, et la chaleur de latente de fusion (passage de la glace leauliquide) vaut : 0,33 106J kg 1.Au cours dune volution plus gnrale, un systme initialement dans la phase (1) la temprature Tini est chauff pour atteindre la temprature Tn dans une autre phase(2). La quantit de chaleur fournie au cours de cette transformation est :DQ= DQ1+ DH + DQ2 DQ= m C1(Tsat Tini) + m DhTsat + m C2(Tn Tsat)(1.13)Tsat est la temprature de saturation cest--dire la temprature laquelle lieu lechangement de phase pour la pression impose.Si lonsintresseleautitrableimbibant unmatriau, il peut exister untatdeleaudit eaulie qui estadsorbesuretdanslesparoisdelastructuregrce aux proprits hydrophiles de leurs constituants et qui confre au matriauun caractre hygroscopique. Il faut alors ajouter lnergie dite de dsorption (hb),nergie ncessaire pour librer les molcules deau lie du squelette solide avant deles rendre libres et aptes svaporer. Cette nergie napparat que dans le domainehygroscopique et ne devient signicative au regard de lnergie dvaporation (hvap)que pour de trs faibles teneurs en eau.1.6QUELQUESBASESSURLESDIFFRENTSMODESDETRANSFERTTHERMIQUEIci on va sintresser la cintique qui fait que les deux corps mis en prsence danslenceinte isole, et qui nous ont permis dillustrer la notion dquilibre thermique,changent de la chaleur jusqu la disparition de la diffrence de temprature initiale.Les changes thermiques sont de trois types et sont dcrits par des lois phnomno-logiques, cest dire dduites de constatations exprimentales.1.6.1 ConductionLa conduction rsulte de chocs lchelle molculaire et atomique. Elle va donctre trs lie la structure et lorganisation du matriau. Elle peut avoir lieu dans lessolides et dans une moindre mesure dans les uides, plus dans les liquides que dansles gaz. Cest un phnomne trs analogue la conduction de llectricit. Il sagitdun transfert dnergie petite chelle, dans un corps localement au repos. On parlerade conducteur ou disolant de la chaleur. Elle est dcrite par la loi de Fourier (1807).161.6. Quelques bases sur les diffrents modes de transfert thermique1.6.2 ConvectionCest un transfert qui rsulte dun mouvement densemble du matriau le supportant.La convection a donc lieu dans les uides (gaz ou liquides). Elle est souvent carac-tristique de lchange la frontire entre un solide et un uide et est donc trs lie lcoulement uide mais aussi aux gomtries dchange et aux tats de surface siun solide intervient. Il convient de distinguer la convection force dans laquelle leuide est mis en mouvement par un apport dnergie mcanique extrieur (pompe,ventilateur, ...) de la convection naturelle dans laquelle le uide prend, en son sein,lnergie ncessaire au mouvement (variation de masse volumique associe unevariation de temprature par exemple). De faon macroscopique elle est dcrite par laloi de Newton (1701).1.6.3 RayonnementLa matire met des ondes lectromagntiques (mission qui se produit en surfacepour les solides et les liquides opaques, dans tout le volume pour les gaz ou liquidestransparents). Ces ondes dpendent de la temprature. Il sagit dune onde lectro-magntique et qui donc ne ncessite aucun support matriel pour se propager. Outrele rayonnement thermique dont la bande de longueur donde va de lultra violet linfrarouge long, le thermicien peut sintresser des ondes comme les micro-ondeset leur gnration dans le volume. Ce mode de transfert est dcrit par la loi de Stefan(1879).1.6.4 Les principales notations et grandeurs du transfertthermiqueLes principales notations du transfert thermique sont proposes dans le tableau ci-aprs. Certaines de ces grandeurs ont dj t rencontres dans les paragraphes prc-dents, dautres apparaissent. Toutes seront reprises dans les chapitres suivants.Tableau 1.1 Principales grandeurs de thermiqueT temprature unit dusageC, mais unit SI Kt temps secondeQ chaleur (nergie) unit SI J, mais aussi kcal, th(thermie), kWh, Btuf =Q/t puissance thermique, ux W, (J s1)w = f/A densit de uxIl convient de noter ici que A estlaire de la surface dchange enconvection et dsigne la section depassage du ux en conductionW m2Il faut ajouter quelques grandeurs qui apparatront au fur et mesure de lanalyseet de la mise en place des phnomnes thermiques : DunodLaphotocopienonautoriseestundlit17Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transferts La conductivit thermique, qui indique laptitude du matriau conduire la cha-leur ( rapprocher de la conductivit lectrique) :l dQdtdALDT(1.14)Dans cette relation L est la dimension caractristique de lchange par conductionpour laquelle lcart de temprature est DT. Lunit de la conductivit thermique estalors W m 1K 1. La diffusivit thermique caractrise laptitude au dplacement danslespace mais surtout dans le temps de la chaleur. Cette grandeur est rapprocher desdeux autres diffusivits que lon rencontre lorsque sur un problme de thermique vientse greffer un problme massique, diffusivit matrielle, ou un problme dcoulement,diffusivit mcanique ou viscosit dynamique. La diffusivit thermique est dniepar :a=lrCp(1.15)r est la masse volumique du matriau. Lunit des diffusivits est m2s 1. Mme sidans cet ouvrage le rgime transitoire nest pas pleinement abord il est important depouvoir valuer les temps dtablissement de tel ou tel phnomne physique. De plus ce stade, notons que pour caractriser les changes thermiques des temps courts ilest fait usage de leffusivit thermique E=_l rCp.Le coefcient dchange thermique est caractristique du transfert aux frontiresentre un solide et un uide. On parle de coefcient dchange convectif, mais aussi decoefcient global prenant en compte le transfert radiatif. Il est dni par :h dQdtdA1DT(1.16)DT est lcart de temprature sous lequel lchange a lieu. Lunit dans le systmeSI de h est W m 2K 1.1.6.5 Les problmes les plus courantsLe thermicien cherchera rsoudre deux types de problmes :1) Pour un ux f donn, quel est le champ de temprature dans le systme tudi (parexemple la temprature dune pice dans un four) ?2) temprature connue T, quel est le ux ncessaire injecter dans le systme (parexemple le chauffage dun local) ?1.6.6 La densit de uxSoit un lment de surface dV, orient par la normalen , df est le ux dun vecteur wau travers de la surface lmentaire dV :df=w ndV= wcos a dV (1.17)181.7. Quelques lments sur le rgime transitoireo cosa dV reprsente la surface utile.aMndjFigure 1.6 La densit de ux de chaleurwwest la densit locale de ux de chaleur au point M. Ce vecteur caractrise, enchaque point du milieu, la direction, le sens et lintensit du ux de chaleur.1.7QUELQUESLMENTSSURLERGIMETRANSITOIRELe contenu de cet ouvrage est centr sur les tudes en rgime permanent, ce paragraphepermet quelques ouvertures vers les problmes qui apparaissent lorsque le paramtre temps est introduit.1.7.1 Conduction en rgime transitoire : mthode de la capacitthermiqueSoit considrer un solide de petite dimension que lon va immerger dans un grandvolume deau. On note V le volume du solide tel que V = L3. Le solide est linstantinitial la temprature Ti. On fait lhypothse que, compte tenu des diverses caract-ristiques du solide sa temprature est et demeurera uniforme tout au long du processus.Il ny a pas de gradient thermique dans le matriau solide. linstant initial (t = 0), lesolide est tremp et au cours du temps sa temprature T dcrot. Cette dcroissanceest due au transfert par convection linterface solide-liquide.Le bilan thermique sur le solide conduit :dQdt= dfs= r V CpdTdt(1.18)Cette relation dcrit la perte de chaleur du solide dans lintervalle de temps dt. Danscette relation r et Cp sont respectivement la masse volumique et la chaleur spciquedu solide. Du cot uide, le ux acquis scrit :dff= hA (T T) (1.19)DunodLaphotocopienonautoriseestundlit19Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsCette relation indique que lon a retenu une description linaire des changes etsurtout que lon est capable de dnir une temprature de rfrence T qui demeureconstante (il faudra analyser posteriori cette hypothse). Dans cette relation A estlaire de la surface dchange quoffre le solide au uide et h le coefcient globaldchange.On a alors pour le systme isol solide-uide :dfs + dff= 0 (1.20)En effectuant le changement de variable u(t )= T T, cette relation devient :du (t )dt= h Ar V Cpu (t ) (1.21)Avec u(0)= Ti T= uion a alors :uui=T TTi T= exp_h Ar V Cpt_(1.22)Ceci permet de dnir la constante de temps caractrisant la transition entre rgimetransitoire et permanent :t=r V Cph A(1.23)Quel est le domaine de validit de notre rsultat ? Pour que T soit considre constante, il faut que le uide ait une capacit ther-mique beaucoup plus grande que celle du solide. Pour que la temprature soit uniforme dans le solide, il faut que le volume de solidesoit petit et que sa conductivit soit grande.On dnit (cela sera prcis plus rigoureusement au chapitre 2) le nombre de Biotcomme Bi =h L/l. De mme, la quantit Fo=atL2reprsente lchelle de tempsadimensionnelle et est dnomme nombre de Fourier (rappelons que a est la diffusivitthermique dnie plus haut). Ainsi lvolution de la temprature du solide, donnepar la relation 1.22, scrit de manire quivalente :uui= exp (Bi Fo) (1.24)20ExercicesExercices1.1 Mesures calorimtriquesDans un calorimtre contenant de leau une temprature initiale Tei, est immerg unserpentin parcouru par un uide. Ce uide entre une temprature constante T3 et sort la temprature T4. Le serpentin est sufsamment long pour que cette tempratureT4 devienne gale la temprature Te de leau du calorimtre suppose homogne34Figure 1.7 Calorimtre avec serpentinLes mesures comportent les deux phases suivantes :Phase I : Leau du calorimtre tant initialement Tei, le serpentin est parcouru parde lhuile de chaleur massique C1 connue, de faon dterminer les caractristiquesde fonctionnement du calorimtre.Phase II : Leau du calorimtre tant initialement Tei le serpentin est parcouru parde lhydrogne dont la chaleur massique Ch est dterminer. Au bout du temps th onnote la temprature Th4 de lhydrogne la sortie du serpentin.HypothsesLes pressions de lhuile et de lhydrogne dans le serpentin sont constantes.Le calorimtre est parfaitement calorifug.Les variations dnergies cintique et potentielle sont ngligeables.Les capacits caloriques de lenceinte du calorimtre et du serpentin sont ngliges.Les chaleurs spciques de leau et de lhuile sont constantes.Lhydrogne est assimilable un gaz parfait.DonnesTemprature initiale de leau Tei = 15C DunodLaphotocopienonautoriseestundlit21Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsChaleur spcique de leau Ce = 4,18 kJ K 1kg 1Masse de leau me = 0,4 kgPhase ITemprature de lhuile lentre du serpentin T13 = 80CChaleur spcique de lhuile : C1 = 1,65 kJ K 1kg 1Masse de lhuile qui passe dans le serpentin m1 = 0,1 kgDbit-masse de lhuile ml= 103kg s1Phase IITemprature de lhydrogne lentre du serpentin Th3 = 80CTemprature de lhydrogne la sortie du serpentin : Th4 = 52CTemps dimmersion du serpentin rempli dhydrogne : th = 50 sDbit-masse de lhydrogne : mh= 2 103kg s1a) tudier lvolution de la temprature Te de leau du calorimtre en fonction dutemps t.b) Pour la phase I, calculer la temprature nale Tef de leau du calorimtre aprs lepassage dune masse m1 dhuile.c) Aurait-onobtenulammetempraturenaledeleausi,aulieudutiliserleserpentin, on avait vers la masse m1 dhuile directement dans leau du calorimtre.d) Pour la phase II, calculer la chaleur spcique isobare Ch de lhydrogne.1.2 vaporationFigure 1.8 Rcipient contenant de leauUnrcipientdontlesparoissontimpermableslachaleurcontientinitialementune masse m0 = 20 g deau liquide de capacit thermique Cp = 4 185 J kg 1K 1 la22Exercicestemprature T0 = 345 K. La vapeur forme au cours de lvaporation est vacue grce une pompe. La chaleur de vaporisation de leau dans lintervalle de tempratureconsidr dans ce problme est :L = A B T avec B = 2,9 103J kg 1K 1.a) Quelle est la quantit de chaleur ncessaire pour vaporiser une masse Dm deauliquide ?b) Le systme tant thermiquement isol, cette quantit de chaleur est puise dans lamasse m deau liquide restante. Quobserve-t-on ?c) En considrant maintenant lvaporation dune quantit innitsimale dm deau,crivez le bilan nergtique de lvaporation.d) Lorsque la fraction deau vaporise est 10 %, on mesure que la temprature deleau liquide est 284 K. En dduire le coefcient A.e) Le processus continue jusqu ce que leau liquide atteigne la temprature de 0C.Quelle masse deau sest alors vaporis ?f) Leau liquide se met alors geler. Quelle est la masse de glace obtenue lorsquetoute leau liquide a disparu ? On ngligera la sublimation de la glace et on donnela chaleur de fusion de la glace Lf = 335 kJ kg 1.Dans une autre exprience, la masse m0 = 20 g deau liquide de capacit thermiqueCp = 4 185 J kg 1K 1 la temprature T0 = 345 K est place dans une ampoule elle-mme situe dans un calorimtre de valeur en eau totale me = 1 kg. Lampoule estmise en communication avec un rcipient vide. La vaporisation de leau de lampouleprovoque un refroidissement.g) Dterminer la temprature nale T1 lintrieur du calorimtre.1.3 tude comparative dchangeursOn considre un changeur simple constitu de deux tubes rectilignes et concentriquesde longueur L. Le tube intrieur (1) un rayon R1. Le tube extrieur (2), de rayon R2,est constitu dun matriau suppos isolant thermique parfait. Le tube (1) est parcourupar un uide caloporteur qui transmet, par unit de temps, une quantit totale Q dechaleur un second uide circulant dans lespace annulaire compris entre les deuxtubes.a) Analyser qualitativement le problme en envisageant successivement le cas dunchangeur coulement co-courant (coulement des deux uides dans le mmesens) puis dun changeur coulement contre-courant (coulement des uidesen sens opposs) et reprsenter lallure des prols de temprature T1(x) et T2(x)sur une mme gure.Le ux de chaleur chang entre deux uides de tempratures respectives T1 etT2, circulant de part et dautre dune paroi, peut sexprimer par:f= hS(T1 T2)o h est le coefcient global dchange entre les deux uides (par lintermdiairede la paroi) et S la surface dchange de la paroi. DunodLaphotocopienonautoriseestundlit23Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsb) Montrer, en effectuant le bilan thermique sur une longueur dx de lchangeur, et ensupposant constantes toutes les proprits physiques des corps en prsence ainsique le coefcient dchange global, que lcart de temprature DT(x) = T1(x) T2(x) entre les tempratures moyennes de mlange labscisse x varie selon la loiexponentielle:DT(x)= DT(0) exp(Kx)avec K, constante dnir.c) En dduire que le ux total chang entre les deux uides est de la forme:f= h S DT o DT=DT(L) DT(0)ln_DT (L) /DT (0)d) Application numrique: calculer la surface dchange ncessaire un changeurde chaleur constitu de tubes minces de 25 mm de diamtre et destin refroi-dir 25 000 kg h 1dune solution dalcool thylique (Cp = 0,91 kcal kg 1 C 1)de 66C 40C avec un dbit deau de 22 500 kg h 1dont la temprature lentre de lchangeur est 10C. On prendra un coefcient dchange globalde 500 kcal h 1m 2 C 1et on considrera les deux cas dcoulements, co-courant et contre-courant.Lefcacit dun changeur est dnie comme le rapport du ux rel changentre les deux uides au ux maximum changeable.e) Discuter la notion de ux maximum changeable puis dnir son expression.En dduire lefcacit de lchangeur tudi.Solutions des exercices1.1 a) Variation de la quantit de chaleur de leau pendant le temps dt:dqe= meCe (Te (t + dt ) Te (t ))= meCedTe (t )Variation de la quantit de chaleur du uide pendant le temps dt :dql= mlCl (Te (t ) Tl3)= mlCl (Te (t ) Tl3) dtLe systme tant isol, on a :

dqi= 0 ml dt Cl (Te (t ) Tl3)= meCedTe (t ) ml dt Cl (Te (t ) Tl3)= meCed (Te (t ) Tl3)24Solutions des exercicesd (Te (t ) Tl3)Te (t ) Tl3= ml Clme CedtOn intgre entre 0 et t :ln_Te (t ) Tl3Tei Tl3_= ml Clme CetTe (t )= exp_ ml Clme Cet_(Tei Tl3) + Tl3b) ml= 0,1 kg dhuile avec le dbit massique ml= 103kg s1, donc le temps est :t = ml/ ml, et la temprature :Te (t )= exp_ ml Clme Ceml ml_(Tei Tl3) + Tl3Application numrique :Tef= exp_1,65 0,10,4 4,18_(15 80) + 80= 21,11Cc) ml Cl (Tef Tl3)= meCe(Tef Tei)Tef=ml Cl Tl3 + meCe Teiml Cl + meCeApplication numrique : Tef= 20,84C.d) Th4= exp_ mh Chme Ceth_(Tei Th3) + Th3ln_Th4 Th3Tei Th3_= mh Chme CethCh= ln_Th4 Th3Tei Th3__me Ce mh th_Application numrique : Ch= 14,08 kJ kg1K11.2 a) Q = Dm L.b) La quantit de chaleur ncessaire est fournit par la masse m deau liquide quirefroidit de DT, tel que : Q = m CpDT. DunodLaphotocopienonautoriseestundlit25Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsc) Enconsidrantunevaporationdunequantitinnitsimaledeaudm, ona,daprs a) et b) : dq = dm L = mCp dT.dmm=CpdTLOr L = A BT donc :dmm=CpdTA BTd) On intgre lquation diffrentielle prcdente entre m0 et m :_mm0dmm= Cp_TT0dTA BT_mm0dmm= CpB_TT0BdTA BTln_ mm0_= CpBln_ A BTA BT0_La fraction deau vaporise se dnie comme :x=m0mm0Donc :mm0= 1 xln (1 x)= CpBln_ A BTA BT0_(1 x)BCp=_ A BTA BT0_A_(1 x)BCp1_=B_T0 (1 x)BCp T_A=B_T0 (1 x)BCp T_ _(1 x)BCp1_1Application numrique : pour x = 1/10 et T = 284 K, A = 3,33 106J kg 1.e) T = 273 K, x= 1 _A B TA BT0_CpBApplicationnumrique :x= 0,119,onalamassem1deauliquidem1=(1 0,119)m0 et la masse deau vaporise m0 ml = 2,38 g.26Solutions des exercicesf) Soit m2 la masse nale de glace, et m3 la masse nale deau vapore :m1 = m2+m3.Quantit de chaleur produite par la solidication 0C : Q = m2 Lf.Quantit de chaleur requise pour la vaporisation 0C : Q = m3 L.On crit donc : m2 Lf = m3 L et m3 = m1 m2, ceci revient : m2 Lf = (m1 m2)L.m2=m1LLf + L= 15,5 gg) La vaporisation dune masse dm de liquide saccompagne de labsorption dunequantit de chaleur Ldm, ce qui provoque un abaissement de la temprature ducalorimtre. Le bilan calorique scrit :L dm = me Cp dT ou encore : dm = me Cp dT /(A-BT)On intgre entre m0 et 0 :_0m0dm= meCp_T1T0dTA B Tm0=meCpBln_A B T1A B T0_Cette relation permet de dterminer la temprature nale T1 la n de lvapora-tion totale de la masse m deau :exp_m0BmeCp_=A B T1A B ToA B T1= (A BT0)exp_m0BmeCp_T1=AB (A BT0)Bexp_m0BmeCp_Application numrique : T1 = 334 K = 61C1.3 a)TTx xT(x)Entre fluide 2Entre fluide 1Sortie fluide 1et fluide 2Sortie fluide 1Entre fluide 2Entre fluide 1Sortie fluide 2changeur co-courantchangeur contre courantT(x)Dans le cas idal,T(L)=0 Dans le cas idal,T(0)=0DunodLaphotocopienonautoriseestundlit27Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsb) changeur co-courant :dq1 = quantit de chaleur cde par le uide 1 entre x et x + dxdq1 = m1 Cp1 dT1, dq1 < 0dq2 = quantit de chaleur reue par le uide 2 entre x et x + dxdq2 = m2 Cp2 dT2, dq2 > 0On a dq1 = - dq2 =-dq (dq : chaleur change entre x et x + dx)dT1=dqm1Cp1et dT2=dqm2Cp2dT1dT2= dq_1m1Cp1+1m2Cp2_Donc :d (DT (x))= d (T1 T2)= dq_1m1Cp1+1m2Cp2_On sait aussi que le ux de chaleur chang par les deux uides sexprime ainsi :f= hS(T1 T2)On considre donc : dq = df= h dS (T1-T2)Do :d (T1 T2)= h dS (T1 T2)_1m1Cp1+1m2Cp2_et S = 2 p R1 dx, on a ainsi :d (T1 T2)= h 2pR1dx (T1 T2)_1m1Cp1+1m2Cp2_Donc :d (T1 T2)T1 T2= h 2pR1_1m1Cp1+1m2Cp2_dxOn intgre lexpression prcdente entre 0 et x et il vient :_ln (DT (x))x0= Kx, avec K= h 2pR1_1m1Cp1+1m2Cp2_Do : ln (DT (x)) ln (DT (0))= KxDT (x)= DT (0) exp (Kx)28Solutions des exerciceschangeur contre-courant :La dmonstration est la mme mis part que : dq1 = dq2 = -dqOn a toujours : DT (x)= DT (0) exp (Kc x) avec :Kc= h 2pR1_1m1Cp11m2Cp2_c) Le ux lmentaire chang est : dq(x) = h dS DT(x)On intgre entre 0 et L, en dveloppant dS = 2 p R1 dxf=_Lodq(x)= 2pR1h_LoDT(x)dxf= 2pR1 h_1Kexp (Kx)_L0DT (0)f=2pR1 hKDT (0) (1 exp (KL))f=S hKLDT (0) (1 exp (KL))Et comme :DT (L)DT (0)= exp (KL)Soit :ln DT (L)DT (0) = KLOn obtient nalement :f= hSDT(L) DT(0)ln (DT(L)/DT(0))d) changeur co-courant :(2) Alcool(1) Eau66 C10 C40 C?0 LdT = T(x + dx) T(x)f1= m1Cp1dT1= m1Cp1 (Ts1 Te1) DT(L) = 40 - ?f2= m2Cp2dT2= m2Cp2 (Ts2 Te2) DT(0) = 56Cet f1= f2 m1Cp1 (Ts110) = m2Cp2 (40 66)DunodLaphotocopienonautoriseestundlit29Chapitre 1Introduction lnergtique et aux transfertsDo :Ts1= m2Cp2 (40 66) m1Cp1+ 10Application numrique : Ts1 = 36,3C et DT(L) = 3,7COn sait que :f= hSDT(L) DT(0)ln(DT(L)/DT(0))DT (L) DT (0)ln_DT (0) /DT (0) =3,7 56ln_3,7/56_= 19,25CEt donc :S= m2 Cp2(40 66)500 19,25= 61,5 m2changeur contre-courant :40 C66 C(2) Alcool(1) Eau 10 C?0Lf1= m1 Cp1 dT1= m1 Cp1(Ts1 Te1) DT(L) = 66 - ?f2= m2 Cp2 dT2= m2 Cp2(Te2 Ts2) DT(0) = 30CEt f1=f2Do :Ts1= m2 Cp2(40 66) m1 Cp1+ 10Application numrique : Ts1 = 36,3C et DT(L) = 29,7CEt donc :S= m2 Cp2(40 66)500 29,85= 39,63 m2Lchangeur contre-courant est donc plus efcace puisque la surface nces-saire pour raliser le transfert de chaleur est infrieure celle ncessaire dans lecas dun changeur co-courant.e) Flux maximal changeable : On considre quun des uides subit la variationmaximale de temprature autorise, soit Te1 Te2. Cette variation est ncessai-rement subie par le uide de plus petite capacit calorique (mCp)min. Le uxthorique maximal changeable est donc :fth=_ m Cp_min (Te1 Te2)Efcacit :E=ffth= m1 Cp1(Te1 Ts1)_ m Cp_min (Te1 Te2)= m2 Cp2 (Ts2 Te2)_ m Cp_min (Te1 Te2)Application numrique : E = 47 %302CONDUCTIONDELACHALEURPLAN2.1 La conduction lchelle atomique2.2 Modlisation de la diusion2.3 La diusivit thermique2.4 quation de diusion de la chaleur2.5 Notion de rgime permanent et transitoire2.6 Conditions initiales et conditions aux limites2.7 Laccommodation thermique2.8 Transfert de chaleur aux interfaces solide - solide2.9 Analogie lectrique2.10RfrencesExercicesSolutions des exercicesOBJECTIFS Dnir le ux de chaleur par conduction dans les solides Prciser les proprits macroscopiques caractristiques de la conduction tablir lquation de diusion de la chaleur Dnir les conditions aux limites Modliser le transfert de chaleur aux interfaces solides Utiliser la mthode danalogie lectrique pour rsoudre des problmes 1D2.1LACONDUCTIONLCHELLEATOMIQUE2.1.1 Structure des matriaux solidesCommechacunlesaitlamatireestconstituedatomes(ions)etdemolcules.Lorsque le matriau est conducteur de llectricit, comme pour les mtaux et dansune moindre mesure les semi-conducteurs, il y a en plus des lectrons libres. Dansle cas contraire le matriau est isolant lectriquement. Dans les matriaux solidesles ions sorganisent sous la forme de rseaux de congurations gomtriques trsdiverses. Lorsque cette organisation est ordonne sur plusieurs centaines ou milliers de31Chapitre 2Conduction de la chaleurdistances inter - atomiques le rseau est dit cristallin. Lorsque, au contraire, cet ordrenapparat que sur de trs petites distances (une ou deux distances inter atomiques)alors le matriau est quali damorphe. Ces deux types de structures sont reprsentssur la gure 2.1.Figure2.1 Exempledematriaucristallin(imagedegauche)etamorphe(image de droite)Des appareils trs perfectionns dobservation de la cristallographie des matriauxpermettent de visualiser la structure lchelle atomique comme nous pouvons le voirsur deux exemples prsents sur la gure 2.2.Figure 2.2 Particule de plomb de structure cristalline enrobe dans de loxydede silicium amorphe (gauche) et dpt doxyde de silicium amorphe dpos sursubstrat de silicium cristallin (droite).Danslesdeuxcasondevinebienlesionset leur arrangement pour lastructurecristalline. Ces deux images ont t obtenues par HRTEM (Microscopie lectronique Transmission Haute Rsolution).322.1. La conduction lchelle atomique2.1.2 quilibre thermique et temprature dans les solidesOn considrequunmatriau est lquilibre thermiquesi ltat dexcitation desparticules qui le compose est uniforme. Cet tat dexcitation est mesur par lnergiecintique des particules. En considrant un nombre sufsant de particules, on dnitune grandeur mesurable qui est la temprature. Il serait possible de ddier un ouvrageentier la dnition de la temprature dans les solides. En effet, cette dnition a bienvolu notamment au cours desXIXeetXXesicles, au travers de la dcouverte de lathermodynamique tout dabord, puis de la physique statistique dont Boltzmann estcertainement un des personnages central (voir encart plus loin) et quantique (Planck,Bohr pour ne citer queux). lchelle microscopique les physiciens de la thermody-namique statistique ont montr que la notion de temprature est lie des grandeurscaractristiques telles que le libre parcours moyen ou bien encore le temps de relaxa-tion que ce soit pour un gaz dlectrons libres ou bien pour un rseau cristallin. Pourun lectron libre prsent dans le matriau, le libre parcours moyen est la distance quilva parcourir avant de rentrer en contact avec un ion du rseau cristallin ou bien avecun autre lectron. Le temps de relaxation est alors le temps que met llectron pourparcourir le libre parcours moyen. La notion de libre parcours moyen na absolumentpas le mme sens pour les ions du rseau cristallin. En effet, la mobilit de lion restelimite la distance avec ses voisins immdiats, du moins tant que le matriau restesolide. On dnit donc le libre parcours moyen associ la vibration gnre par lamobilit des ions. Ce libre parcours moyen va alors correspondre une dimensioncaractristique o 2 ou plusieurs ondes de vibrations vont se combiner pour en formerde nouvelles. Ceci conduit dnir le phonon comme le quantum dnergie corres-pondant londe de vibration. Ce quantum a exactement la mme signication que lephoton pour les ondes lectromagntiques.ENCART2.1 Ludwig BoltzmannLudwigBoltzmannobtientsondoctoratlUniversitdeVienneen1866,avecunethsesurlathoriecintiquedesgaz. En1869, il obtient unechairedephysique thorique Graz, o il reste pendant quatre ans. En 1873, il accepte unechaire de mathmatiques Vienne, mais revient Graz trois ans plus tard, cettefois pour enseigner la physique exprimentale. Il devient membre tranger de laRoyal Society en 1899. Il entretient des changes, parfois vifs, avec les physicienscontemporains propos de ses travaux, cela laecte particulirement et entranedes crises de dpression qui le conduisent une premire tentative de suicide Leipzig, puis une seconde Duino, prs de Trieste, qui lui sera fatale. Boltzmannmeurt avant mme davoir vu ses ides simposer.Donc, retenons qu temprature uniforme toutes les particules constituant le solide(lectrons, ions, molcules) sont en mouvement autour dune position dquilibreque lon dnit par la temprature idale du 0 Kelvin. cette temprature, les ionsdu rseau seraient immobiles lemplacement exact des nuds du rseau cristallin.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit33Chapitre 2Conduction de la chaleurCette temprature nest pas accessible, elle reprsente un comportement asympto-tique. De nos jours il est possible datteindre exprimentalement des tempraturescryogniques de lordre du 1/1 000 de Kelvin. Si le matriau baigne dans un uidedont la temprature est suprieure 0 K alors les particules solides commenceront avoir un mouvement doscillation autour de leurs positions dquilibre. Lorsque cettetemprature reste trs faible (< 10 K) on constate que les vibrations engendres par lamobilit des particules se propagent dans tout le rseau cristallin sans jamais interfrerentre elles. Par contre, lorsque la temprature augmente, on commence observerdes phnomnes de collisions entre particules comme cela est reprsent sur lagure 2.3. Le terme de collision est parlant dun point de vue de sa reprsentationmcanique mais il ne rete pas les phnomnes rels. En effet, il serait plus rigoureuxde parler, comme nous lavons dailleurs fait prcdemment, de recombinaison desvibrations engendres par le mouvement oscillant des particules.Figure 2.3 La monte en temprature dans un matriau lchelle microsco-pique se traduit par des phnomnes de collisions de nature diverse.Plus la temprature est leve et plus ces collisions sont nombreuses. Les collisionsentre ions du rseau cristallin contribuent diuser la chaleur au sein du matriau.Si des lectrons libres sont prsents dans le matriau, les collisions peuvent avoir lieuentre 2 lectrons e-e (la probabilit davoir plus de deux lectrons mis en jeu dansune mme collision tant quasi nulle). Elles peuvent aussi avoir lieu entre lectrons etions du rseau cristallin e-i . Enn on peut avoir des collisions entre les lectrons etles dfauts du rseau cristallin e-d ou bien encore avec les frontires du systme(interfaces) e-s .ENCART2.2 William ThomsonWilliamThomson, connuaussi souslenomdelordKelvin, est lundesplusclbres physiciens britanniques duXIXesicle. Parce que ses intrts scientiques342.1. La conduction lchelle atomiquetaient trs divers, il participa activement au progrs des diverses branches de laphysiquethoriqueetappliquequimarquasiprofondmentsonpoque.Sesinterventions rptes et ecaces au sujet des dnitions des units lectriques etdes chelles thermomtriques sont caractristiques du second, dont limportanceest capitale.2.1.3 Diffusion de la chaleur dans les structures solidesLorsque lon chauffe un matriau solide, les ions les plus proches de la source dechaleur se mettent vibrer de faon intense et communiquent ces vibrations aux ionsvoisins par le biais du rseau, que celui-ci soit cristallin ou amorphe. Ces vibrationsont pour consquence la production de chaleur et sa diffusion dans le matriau. Cettat dexcitation est fonction de lintensit de la source de chaleur. Le phnomne depropagation des ondes lchelle microscopique est observable sous la forme dunphnomne de diffusion de chaleur lchelle macroscopique. Ce phnomne de diffu-sion de la chaleur est souvent appel conduction de la chaleur et on verra plus loin quelanalogie lectrique donne une lgitimit vidente cette terminologie. On associe cette diffusion un ux de chaleurf, qui reprsente la quantit dnergie thermiquetransporte par unit de temps. Le ux de chaleur est donc comparable une puissanceet il sexprime en Watts. Le phnomne dont nous venons de parler est reprsentsurlagure 2.4demanireschmatique.Cettereprsentation simplie endeuxdimensions met bien en vidence le lien entre le phnomne de diffusion lchellemacroscopique et le phnomne de vibration des atomes lchelle microscopique.On voit donc que la notion de conduction thermique est obligatoirement associe lexistence dun gradient de temprature. Cela veut donc dire que la chaleur nediffuse entre deux points de lespace, lintrieur du matriau, que si la tempraturedecesdeuxpointsestdiffrente.Etbienentendu,anderespecterlesprincipesfondamentaux de la thermodynamique et plus particulirement du second (entropie),la chaleur diffuse dans la direction de la temprature la plus haute vers la tempraturela plus basse.Existence de la conductionLe transfert de la chaleur par conduction dans un matriau solide (ou un uide aurepos) napparat que si lon gnre une perturbation thermique en un point dumatriau.Il en ressort que la diffusion est inexistante dans un matriau temprature uni-forme et ceci quel que soit le niveau de temprature. lchelle atomique, la conduction provient de la recombinaison des ondes devibrations gnres par loscillation des ions du rseau cristallin autour de leurposition dquilibre.Lorsque le matriau contient des lectrons libres en grande quantit (mtaux), laconduction est essentiellement lie aux collisions entre lectrons.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit35Chapitre 2Conduction de la chaleurquilibreHors quilibreZone d'agitationtrs intenseZone de faibleagitationposition d'quilibre des atomesdans un rseau cristallinExcitation thermiqueSens de diffusionde la chaleurTTFigure 2.4 Description schmatique du phnomne de diffusion en 2D.Limage du haut reprsente le rseau cristallin solide lquilibre une tempratureuniforme. Les atomes oscillent autour des positions des nuds du rseau correspon-dantlatemprature0 K.lquilibre,il nexistepasdephnomnedediusion.Sur limage du bas on approche une source de chaleur dune frontire du rseau. Lesatomes situs au plus proche de la source voient leur nergie saccrotre fortement etdonc la mobilit autour de la position dquilibre est forte. Cette vibration se propageaux atomes voisins et dnie le sens de diusion de la chaleur.Les physiciens aiment souvent reprsenter la propagation des ondes de vibrationsdes particules dans le matriau en les liant par des raideurs. Nous donnons un exemplede cette reprsentation pour une chane unidirectionnelle sur la gure 2.5. Cette repr-sentation permet dimager le transfert dnergie cintique, et donc de chaleur, duneparticule une autre lchelle microscopique. Notons nanmoins que cette reprsen-tation exclut la participation des lectrons libres dans les mtaux.362.2. Modlisation de la diffusionFigure 2.5 Le transfert unidirectionnel de la chaleur dans un matriau isolantlchellemicroscopiquepeuttrereprsentsouslaformederaideursliantchaque atome.Ce schma est surtout utile pour calculer la chaleur spcique des solides. En effet,cette quantit ne dpend que du rseau cristallin que ce soit pour les matriaux isolants,semi-conducteurs ou bien les mtaux. Ceci revient dire que les lectrons libres dansles mtaux nont pas dinuence signicative sur la valeur de la chaleur spcique.Par contre, la conductivit thermique des mtaux est essentiellement lie la prsencede ces lectrons libres.2.2MODLISATIONDELADIFFUSION2.2.1 Loi de FourierLe transfert de chaleur par diffusion a t pour la premire fois aborde par J. Fourier,dans son Trait analytique de la chaleur o il introduit aussi ses fameuses dcomposi-tions en srie.ENCART2.3 Joseph FourierN en 1768, Joseph Fourier se rvle trs tt dou pour les lettres et les sciences.Maiscest ltudedesmathmatiquesqui provoquechezlui enthousiasmeetpassion. En 1789, il viendra Paris, devant lacadmie, lire son premier mmoiresur les quations algbriques. Joseph Fourier va ensuite enseigner Auxerre puis lcole polytechnique de Paris. Il participera lexpdition dgypte et sera charg son retour en France, dcrire la prface historique de louvrage, qui regroupelensembledesobservationsfaitesaucoursdelexpdition.Cesten1802queFourierestnommPrfetdelIsre.En1826,ilentrelAcadmieFranaiseet,malgrsamaladie,travaillerainlassablementjusqulandesavie,le17Mai1830.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit37Chapitre 2Conduction de la chaleurLa relation de Fourier est phnomnologique, cest--dire issue de rsultats expri-mentaux. En effet, le lien entre les phnomnes microscopiques et macroscopiques,que nous avons vu prcdemment, na pu tre modlis que grce aux outils de lamcanique statistique et quantique. Or, si ces outils nexistaient pas encore lpoquede Fourier, il est bien vident que le phnomne de diffusion lchelle macrosco-pique tait observable et que comme il tait alors possible de mesurer une temprature,rien nempchait de proposer une relation issue de ces mesures. Pour bien comprendrela signication de cette relation, reportons-nous la gure 2.6. Sur cette gure estreprsent un matriau homogne et isotrope sous la forme dun tube suppos par-faitement isol sa priphrie. On note S la section du tube et l sa longueur. Lestempratures aux deux extrmits du tube, notes T1 etT2, sont imposes et constantesau cours du temps. Un ux de chaleur apparat dans la direction des hautes tempra-tures vers les basses tempratures. Les lignes de ux sont dnies comme les lignesperpendiculaires aux isothermes dans le tube. On notex le vecteur tangent aux lignesde ux. Comme le tube est parfaitement isol sur sa priphrie, aucune ligne de uxne sort du tube et donc le ux est constant tout le long du tube. J. Fourier obtientexprimentalement que lorsque les tempratures sont stabilises dans le temps (rgimestationnaire), il existe une relation liant le ux lcart de temprature entre lentreet la sortie sous la forme :f= l ST1 T2lx(2.1)Figure 2.6 Tube de ux de chaleur.Lorsque lon fait tendre la longueur l vers 0, on trouve lexpression du ux deconduction sous la forme diffrentielle :f= l SdTdxx(2.2)En gnralisant la relation une conguration tridimensionnelle, on obtient :f= l ST(2.3)Loprateur=_/x,/y,/z_dsigne le vecteur gradient. On dnit ladensit de ux comme le rapport du ux la section de passage : w=fS= lT(2.4)382.2. Modlisation de la diffusionLa relation 2.4 montre bien que les lignes de ux sont perpendiculaires aux iso-thermes.2.2.2 Conductivit thermiqueLa relation 2.4 montre qu lchelle macroscopique l est le paramtre intrinsqueau matriau qui lie le gradient de temprature au ux de chaleur. Il caractrise lapropension dun matriau conduire la chaleur il sexprime en W m 1K 1. Lorsquunmatriau laisse facilement diffuser la chaleur on dit quil est conducteur. Cest le casnotamment des mtaux dont la conductivit thermique est leve. linverse, unmatriau tel que lair au repos soppose au transfert de chaleur et est donc appelisolant. Dans ce cas la conductivit thermique est faible.Andexerunordredide,nousavonsreportdansletableau 2.1quelquesvaleurs de la conductivit thermique de matriaux temprature ambiante (20C).Tableau 2.1 Quelques valeurs de conductivit de mtaux tempratureambiante (20C). La conductivit thermique des matriaux peut varier trs signicativement en fonc-tion de la temprature comme on peut le voir sur le graphe de la gure 2.7. On voitquaux trs basses tempratures (de 1 10 K) la conductivit est trs grande, ellevarie sur 3 ordres de grandeurs. La conductivit diminue lorsque la temprature aug-mente (de 10 100 K) et devient peu prs constante pour les hautes tempratures(> 100 K). Nanmoins, ce comportement est propre aux structures cristallines ; pourles matriaux amorphes la conductivit reste faible mais trs basse temprature.La conductivit thermique suit globalement la conductivit lectrique. Pour simpli-er, un matriau qui est isolant du point de vue lectrique lest aussi gnralement du DunodLaphotocopienonautoriseestundlit39Chapitre 2Conduction de la chaleur101001000100001000001 10 100 1000 10000Conducivit thermique (W/m/K)Temprature(K)AuAlCuPbNiMgFeFigure2.7 Variationdelaconductivitthermiquedecertainsmtauxenfonction de la tempratureTableau 2.2 Valeurs calcules du rapportl /s T pour plusieurs matriauxmtalliques.Mtal [W m-1 K-1] [-1]L0 [V2 K-2] Mtal [W m-1K-1] [-1]L0 [V2 K-2]Ag 436 1,47 2,34 Pr 12,8 65 3,1Al 237 2,43 2,10 Pt 71,9(280 K ) 9,82 2,59Au 318 2,03 2,39 Pu 5,2 (298 K ) 130 2,48Ba 23,3 29,8 2,55 Rb 55,8 11,3 2,3Be 230 2,8 2,36 Re 49 16,9 3,05Cr 95,7(280 K ) 11,8 4,11 Rh 153 (280 K ) 4,35 2,46Fe 80,2 (280 K ) 8,64 2,57 Ru 110(280 K ) 6,7 2,72Ir 149(277 K ) 4,7 2,57 Sb 18,2 43 2,87K 98,5 6,2 2,24 Sc 21,8 44 4,3La 14(291 K ) 59 2,9 Sm 13,4 (291 K ) 90 4,3Li 65 8,5 2,05 Sn 64 10,6 2,48Lu 16,2(291 K ) 50 3,3 Sr 51,9 11 2,18Mg 153 (301 K ) 4,5 2,29 Ta 57,7(280 K ) 12,1 2,56Mn (\alpha) 7,8 (291 K ) 137 4 Tb 10,4 (291 K ) 110 4,25Mo 143 4,88 2,56 Tc 51(300 K ) 16,7 3,4Na 142 4,29 2,23 Th 49,3 13,9 2,56Nb 51,8 (280 K ) 13,3 2,53 Ti 22,3 40 3,25Nd 16,5 (291 K ) 58 3,7 Tl 50,6 15 2,8Ni 93 (280 K ) 6,24 2,19 W 183(280 K ) 4,85 3,27Os 87 (323 K ) 8,3 2,7 Y 15,9(291 K ) 52 2,9Pb 35,5 19,2 2,5 Zn 114,5 (283 K ) 5,5 2,31Pd 71,7 9,74 2,57 Zr 20,5 (323 K ) 39 3,4402.2. Modlisation de la diffusionpoint de vue thermique et inversement. Ainsi pour les mtaux une relation utile et trsable lie la conductivit lectrique s (en 1/ohm) la conductivit thermique l, cestla loi de WiedmannFranz qui snonce sous la forme :lsT= L0= 2,44 108WVK2(2.5)DanscetterelationL0dsignelenombredeLorentz. Nousreportonsdansletableau 2.2 les valeurs du rapportl/sTpour une grande quantit des mtaux. Onconstate une assez bonne adquation dans lensemble avec la relation 2.5.La conductivit thermique est un paramtre mesurable par de nombreuses mthodes.Les mthodes les plus connues sont celles de la plaque chaude garde (rgime perma-nent), du plan chaud, du l chaud et du disque chaud (rgime transitoire). Il nexistemalheureusementpasderelationaussisimplepourlesmatriauxisolantsoulessemi-conducteurs.Mthode du l chaudLe principe de la mthode du l chaud est lesuivant :ondisposeunlrsistifsurlaxedunchantilloncylindriquedegrandelon-gueur et dextension radiale suppose innie.Lchantillon, initialement isotherme, est sou-mis un chelon de ux, dlivr sous formedeffet Joule par le l rsistif. Si le l est sup-pos inniment long et de rayon ngligeable,le transfert est radial et la conductivit ther-mique peut tre identie partir de lvolu-tion de la temprature du l aux temps longs :T0 (t )=f4pl Lln t + Co L est la longueur du l, f est le ux de chaleur gal la puissance lectrique fournie au l rsistif et C est une constante. En traantlvolution de la temprature mesure en fonction du logarithme du temps on a lecoefcient de proportionnalit et donc la conductivit thermique du matriau. Laconductivit des matriaux caractriss avec ce dispositif doit tre comprise entre0,1 et 10 W m 1K 1pour esprer une prcision meilleure que 5 %.2.2.3 Lien entre chaleur spcique et conductivit thermiqueLa chaleur spcique des solides et leur conductivit thermique sont lies. Rien danscecoursnepermetdendonnerunedmonstrationcompltecarilfaudraitalorsintroduire les outils mathmatiques de mcanique statistique et quantique. Nous nouscontenterons donc den donner la dnition :l=13 lv Cv(2.6)DunodLaphotocopienonautoriseestundlit41Chapitre 2Conduction de la chaleurNous retrouvons dans cette dnition la quantit l qui dsigne le libre parcoursmoyen des particules et que nous avions introduite prcdemment. Dans cette relationv dsigne la vitesse du son dans le matriau. Cette dnition a bien un sens au regardde ce que nous avons dit vis--vis la modlisation des liaisons entre particules avecdes raideurs sur la gure 2.5. Nous pouvons aussi exprimer la relation entre l et Cven utilisant le temps de relaxation qui est li au libre parcours moyen par : t= l/v.Ainsi la relation 2.6 scrit aussi :l=13 t v2Cv(2.7)Onvoitnanmoinsquecesdeuxrelationsapportentpeudaidevis--visdeladtermination de la conductivit dun solide partir de sa chaleur spcique tantdonn quelles font intervenir deux quantits inconnues, savoir l et t.2.2.4 Expression de la loi de Fourier dans diverses congurationsgomtriquesDans le systme de coordonnes cartsiennes, la relation de Fourier scrit :w= l_Txx +Tyy +Tzz_(2.8)Figure 2.8 Conductivit orthotrope dun matriau composite tissDans de nombreux cas rencontrs dans la nature ou bien parmi les objets fabriquspar lhomme, la conductivit nest plus isotrope mais orthotrope, voire anisotrope.Dans le cas orthotrope (matriaux composites par exemple tel que celui reprsentsurlagure 2.8oubienencorelematriaubrreprsentsurlagure 2.9), larelation 2.3 devient :w= _lxTxx + lyTyy + lzTzz_(2.9)422.3. La diffusivit thermiqueFigure 2.9 Conductivit orthotrope dun matriau brOn dnit deux directions privilgies pour la conductivit (longitudinale et radiale).Cette relation dnit donc trois composantes du ux, chacune tant dpendantedune valeur particulire de la conductivit. Dans le cas de matriaux anisotropes, ondnit le tenseur symtrique de conductivit :l=__lxxlxylxzlyylyzsym lzz__(2.10)Les 3 composantes de la densit de ux sont alors :wx= lxxTx lxyTy lxzTzwy= lxyTx lyyTy lyzTzwz= lxzTx lyzTy lzzTz(2.11)2.3LADIFFUSIVITTHERMIQUE2.3.1 Rappel sur la capacit thermiqueOn considre une trs petite masse m de matriau donc la chaleur spcique pres-sion constante est Cp. Cette capacit reprsente la quantit dnergie (en joule) quilfaudrait fournir 1 kg de matriau pour augmenter sa temprature de 1 K. Ds lors,comme cela est reprsent sur la gure 2.10, le ux de chaleur fournir pour augmen-ter sa temprature de la valeur DTdurant lintervalle de temps Dt est :f=QDt=m CpDTDt(2.12)DunodLaphotocopienon