Thermique Hydro@@

Thse de doctorat

Pour obtenir le grade de Docteur de lUniversit de

VALENCIENNES ET DU HAINAUT-CAMBRESIS Spcialit Automatique

Prsente et soutenue par Sabrina, DELROT. Le 04/06/2012, Valenciennes

Ecole doctorale : Sciences Pour lIngnieur (SPI)

Equipe de recherche, Laboratoire : Laboratoire dAutomatique, de Mcanique et dInformatique Industrielles et Humaines (LAMIH)

Dtection d'encrassement dans les changeurs thermiques

par observateurs de type Takagi-Sugeno

JURY

Prsident du jury - Guerra, Thierry Marie. Professeur, Universit de Valenciennes et du Hainaut Cambrsis.

Rapporteurs - Guelton, Kevin. Matre de Confrences HdR, Universit de Reims.

- M'Saad, Mohammed. Professeur, Ecole Nationale Suprieure d'Ingnieurs de CAEN.

Examinateurs - Guerra, Thierry Marie. Professeur, Universit de Valenciennes et du Hainaut Cambrsis.

- Busawon, Krishna. Docteur, Universit de Northumbria.

Directeurs de thse - Dambrine, Michel. Professeur, Universit de Valenciennes et du Hainaut Cambrsis.

- Co-directeur de thse : Delmotte, Franois. Professeur, Universit d'Artois.

Remerciements

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Remerciements

Lors de cette thse j'ai eu l'occasion de rencontrer beaucoup de personnes que je tiens remercier tout particulirement.

Tout d'abord je tiens remercier Kevin Guelton Professeur au CReSTIC ainsi que Mohammed M'Saad Professeur au GREYC qui ont accept de rapporter ma thse. Je remercie galement Thierry-Marie Guerra Professeur et directeur du LAMIH ainsi que Krishna Busawon Professeur l'Universit de Northumbria qui ont accept de faire partie du jury et qui ont particip la problmatique de ma thse. Je remercie bien entendu les membres de l'quipe ASHM du LAMIH dont je fais partie avec tout particulirement mes directeurs de thse, Michel Dambrine et Franois Delmotte sans qui je ne serais pas l pour crire ces mots. Je remercie aussi le pro du mode glissant Mohamed Djemai ainsi que Jimmy Lauber qui s'est HDRis, Sbastien Delprat et son vhicule hybride, Mickael Delfoort le dernier maitre de confrence arriv, Antoine Dequidt qui garde toujours le sourire et Laurent Vermeiren le premier m'avoir fait dcouvrir l'automatique lors de mon cursus universitaire. Passons aux docteurs et doctorants. Commenons par les docteurs, Milka et sa lgendaire bonne humeur et ceux qui sont partis avant moi Elhadi, Hichem et Souad gale elle-mme et le dernier docteur de l'quipe Sami, et les doctorants Doudou, Clment, Viet, Abdelhafidh et bien sr tout ceux que je n'ai pas cit. Je tiens remercier aussi le professeur Sylvain Lalot pour m'avoir fourni les donnes de l'changeur thermique.

Je voudrais rajouter mes "voisins et voisines de bureau" faisant partie de l'quipe de biomcanique qui mettaient de la bonne humeur.

Je tiens pour finir remercier ma famille et mes amis. Tout particulirement mon mari qui

m'a soutenu tout au long de ce travail et notre petit garon Clment qui lui, est arriv en cours de route et a mis de la joie dans ce long parcours. Et je rajoute Pernelle et Sb qui m'ont motiv pour commencer cette thse et me soutenaient rgulirement par mail.

Enfin, je remercie tous ceux que je n'ai pas cits et qui m'ont soutenu ou qui ont contribu la finalit de cette thse.

Sommaire

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Sommaire

NOTATIONS ......................................................................................................................................................... 5 INTRODUCTION GENERALE ......................................................................................................................... 6 CHAPITRE 1. ENCRASSEMENT ET ECHANGEUR THERMIQUE...................................................... 9

1.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................................ 10 1.2 GENERALITES SUR LES ECHANGEURS DE CHALEUR ET ENCRASSEMENT ....................................................... 10

1.2.1 Le principe de fonctionnement............................................................................................................ 10 1.2.2 Diffrents types d'changeurs thermiques .......................................................................................... 11 1.2.3 L'encrassement ................................................................................................................................... 14

1.3 MODELISATION DUN ECHANGEUR THERMIQUE .......................................................................................... 16 1.3.1 Modle avec une section ..................................................................................................................... 17 1.3.2 Modle gnral ................................................................................................................................... 19 1.3.3 Amlioration du modle et prise en compte de lencrassement .......................................................... 20

1.3.3.1 Coefficient de transfert thermique global ..................................................................................................... 20 1.3.3.2 Effet de lencrassement sur les paramtres du modle.................................................................................. 22

1.3.4. Modle de lchangeur retenu ........................................................................................................... 22 1.4 CONCLUSION ............................................................................................................................................... 24

CHAPITRE 2. UN BREF ETAT DE L'ART SUR L'OBSERVATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES ................................................................................................................................................ 26

2.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................................ 27 2.2 OBSERVABILITE .......................................................................................................................................... 27

2.2.1 Dfinitions .......................................................................................................................................... 27 2.2.2 Test dobservabilit locale faible ........................................................................................................ 29

2.3 QUELQUES RAPPELS SUR LES OBSERVATEURS ............................................................................................. 31 2.4 OBSERVATEURS DE TYPE TAKAGI-SUGENO ................................................................................................. 35

2.4.1 Gnralits sur les modles flous de type Takagi-Sugeno .................................................................. 35 2.4.2 Construction d'un modle Takagi-Sugeno .......................................................................................... 37

- Cas d'une seule non-linarit ............................................................................................................................ 37 - Cas gnral ....................................................................................................................................................... 37

2.4.3 Les observateurs de type Takagi-Sugeno avec prmisses mesurables ................................................ 39 2.4.4 Les observateurs de type Takagi-Sugeno avec prmisses non mesurables ......................................... 41 2.4.5 Les observateurs entres inconnues ................................................................................................ 43

2.5 CONCLUSION ............................................................................................................................................... 44

CHAPITRE 3. BATTERIE DOBSERVATEURS ...................................................................................... 45 3.1. INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 46 3.2. PRINCIPE .................................................................................................................................................... 46 3.3. APPLICATION A L'ECHANGEUR THERMIQUE ................................................................................................ 47

3.3.1. Reprsentation sous forme Takagi-Sugeno de lchangeur de chaleur ............................................. 47 3.3.2. Synthse de lobservateur .................................................................................................................. 48 3.3.3. Batterie d'observateurs ...................................................................................................................... 49

3.4 SIMULATIONS .............................................................................................................................................. 50 3.4.1. Batterie de 6 observateurs sur le modle deux sections ................................................................. 51 3.4.2. Batterie de 6 observateurs avec le systme de dimension infinie ...................................................... 55 3.4.3. Variation du nombre d'observateurs ................................................................................................. 59 3.4.4. Facteur d'encrassement ..................................................................................................................... 61

3.5 CONCLUSION ............................................................................................................................................... 63

CHAPITRE 4. LES OBSERVATEURS FLOUS POLYNOMIAUX ......................................................... 64 4.1. INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 65 4.2. OBSERVATEUR FLOU POLYNOMIAL ............................................................................................................ 65

4.2.1. Modle flou polynomial ..................................................................................................................... 65 4.2.2. Polynmes sommes de carrs ............................................................................................................ 66

Sommaire

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4.2.3. Observateur flou polynomial ............................................................................................................. 68 4.2.3.1. Cas dun systme nominal ........................................................................................................................... 68 4.2.3.2. Cas dun systme incertain .......................................................................................................................... 70

4.3. APPLICATION A LECHANGEUR THERMIQUE ............................................................................................... 71 4.3.1. Modle polynomial flou incertain ...................................................................................................... 71 4.3.2. Observateur ....................................................................................................................................... 73 4.3.3. Rsultats ............................................................................................................................................ 73

4.3.3.1 Synthse de lobservateur ............................................................................................................................. 73 4.3.4.3 Simulations ................................................................................................................................................... 74

4.4. CONCLUSION .............................................................................................................................................. 80

CHAPITRE 5. OBSERVATEURS FLOUS TS A ENTREES INCONNUES ........................................... 81 5.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................................ 82 5.2 OBSERVATEUR FLOU DE TYPE TS AVEC PERTURBATIONS ............................................................................ 82

5.2.1 Construction de lobservateur TS avec perturbations ........................................................................ 82 5.2.2 Prise en compte de performance par placement de ples .................................................................. 85 5.2.3 Application lchangeur thermique ................................................................................................. 87

5.3 RESULTATS OBTENUS .................................................................................................................................. 90 5.3.1 Simulation sur le modle deux sections ........................................................................................... 91 5.3.2 Simulation sur le modle de dimension infinie ................................................................................... 95

5.4 CONCLUSION ............................................................................................................................................... 99

CONCLUSION GENERALE .......................................................................................................................... 101 LISTE DES FIGURES ET TABLEAUX ........................................................................................................ 110 RFRENCES PERSONNELLES ................................................................................................................. 113 ANNEXE ............................................................................................................................................................ 114

Notations

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Notations

,h inT Temprature du fluide chaud en entre de l'changeur thermique (C)

,c inT Temprature du fluide froid en entre de l'changeur thermique (C)

,1hT Temprature du fluide chaud de la premire section de l'changeur (C)

,1cT Temprature du fluide froid de la premire section de l'changeur (C)

,2hT Temprature du fluide chaud de la deuxime section de l'changeur (C)

,2cT Temprature du fluide froid de la premire section de l'changeur (C)

hm Dbit massique du fluide chaud en entre de l'changeur thermique (kg.s-1)

cm Dbit massique du fluide froid en entre de l'changeur thermique (kg.s-1) *

c Paramtre constant dpendant du systme particulier (s) *

h Paramtre constant dpendant du systme particulier (s) * Paramtre relatif l'encrassement * Paramtre relatif l'encrassement fR Facteur d'encrassement

cA Aire de surface dchange thermique du fluide froid (m)

hA Aire de surface dchange thermique du fluide chaud (m)

cc Capacits thermiques massiques du fluide froid (Jkg-1K-1)

hc Capacits thermiques massiques du fluide chaud (Jkg-1K-1)

hM Masse du fluide chaud dans lchangeur (kg)

cM Masse du fluide froid dans lchangeur (kg) U Coefficient de transfert thermique global (W/m2.K)

hh Coefficient de transfert thermique du cot chaud de l'changeur (W/m2.K)

ch Coefficient de transfert thermique du cot froid de l'changeur (W/m2.K)

Introduction gnrale

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Introduction gnrale

Le phnomne dencrassement dans les changeurs thermiques est un sujet dactualit. En effet, lencrassement rsulte de la boue cause par des suspensions insolubles, de la rouille cause par la corrosion et pour finir d'un dpt (du tartre). Tout ceci, sil est pris temps, peut tre nettoy moindre cot. On ne peut pas se permettre non plus une frquence de nettoyage trop grande, cela augmenterait les cots de production des usines par des pertes de productions dues aux arrts ncessaires au nettoyage ou par une augmentation des cots dentretien. Mais linverse, si on ne prend pas en compte le phnomne dencrassement dans les changeurs thermiques, il y aura une augmentation des pertes nergtiques, une hausse de la consommation de leau, de llectricit et de carburant - ce qui apportera aussi un impact sur lenvironnement d une augmentation de CO. Mais pour des gros changeurs thermiques o laccessibilit est rduite il est difficile de savoir si celui-ci est encrass ou non. En effet, les mthodes utilises le plus couramment pour dtecter l'encrassement reposent sur lutilisation de capteurs spcifiques souvent coteux et ne permettant quune dtection localise, sur la mesure de la variation de masse de lchangeur ou de lefficacit de lchangeur travers le coefficient de transfert ces deux dernires mthodes exigeant des conditions de fonctionnement trs particulires : larrt pour la premire et un fonctionnement en rgime permanent pour la seconde. Ces mthodes se rvlent donc restrictives et coteuses

Do le sujet de la thse qui rentre en jeu et qui consiste dtecter lencrassement dans les changeurs thermiques suffisamment tt pour mettre en place un systme dentretien. Il existe de nombreuses mthodes permettant la dtection de dfauts telles que des techniques de reconnaissances de formes, de classification ou encore des techniques ncessitant un modle du processus. C'est cette dernire mthode que nous allons dvelopper par l'intermdiaire d'observateurs non linaires.

La thse consiste concevoir des techniques de dtection de l'encrassement dans des changeurs thermiques bases sur le dveloppement d'observateurs non linaires. Diffrentes structures dobservateurs seront dfinies afin de pouvoir observer la variation de deux paramtres caractrisant ltat dencrassement partir de la connaissance uniquement des dbits ainsi que des tempratures en entre et en sortie de lchangeur thermique. Par la mme occasion, ces observateurs permettront destimer ltat du systme (tempratures internes de lchangeur).

Introduction gnrale

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Nous verrons dans le premier chapitre le principe de fonctionnement dun changeur thermique ainsi qu'une classification des changeurs de chaleur avec leurs diffrents modes de transfert. Des types dencrassements seront abords ainsi que leurs effets non dsirables. Lchangeur tubulaire contre courant sera modlis afin de pouvoir lutiliser par la suite et rpondre la problmatique.

Le chapitre 2, quant lui, consiste en un tat de l'art des principaux types d'observateurs existants pour des systmes linaires ou non linaires. Pour commencer la notion d'observabilit est aborde dans ce chapitre. Puis un rcapitulatif sur les observateurs est prsent en commenant par les mthodes les plus simples dveloppes dans le cadre des systmes linaires pour continuer vers des mthodes plus complexes applicables aux cas non linaires telles que la prise en compte de perturbations ou d'entres inconnues. Ce chapitre consacre une grande partie aux observateurs de systmes non linaires en passant par un modle de type Takagi-Sugeno qui a une part importante pour cette thse.

Les trois chapitres suivants prsenteront des mthodes pour la dtection dencrassement travers diffrentes mthodes dobservateurs se basant sur un modle de Takagi-Sugeno. Pour ces trois chapitres, des tests de validation par simulation sont raliss. Une premire simulation sera effectue sur le modle simplifi vu au chapitre 1 et une deuxime simulation sera faite partir du modle physique, sous forme de drives partielles, valid exprimentalement.

Le chapitre 3 prsente une premire mthode base sur les observateurs de type Takagi-Sugeno. tant donn que pour notre modle de lchangeur thermique, un observateur classique de type Takagi-Sugeno nest pas possible (d un certain nombre de non-linarits et dinconnues), le problme a t contourn en mettant en uvre une batterie dobservateurs. L'estimation des paramtres relatifs l'encrassement est effectue par interpolation. La mthode de cette batterie d'observateur est dtaille en premire partie. Pour continuer avec l'application de cette mthode adapte au modle de l'changeur thermique. Une troisime partie montrera les rsultats de simulations ainsi que l'influence du nombre d'observateurs dans la batterie.

Un observateur polynomial de type Takagi-Sugeno est cr au chapitre 4. Le principe est le mme quun observateur classique mais toutes les matrices utilises seront polynomiales. Les solveurs de LMIs rencontrant de nombreux problmes numriques, lintrt de travailler avec des polynmes revient simplifier lcriture du modle en rduisant le nombre de non-linarits qui doivent tre dcomposes dans lapproche de dcoupage par secteurs non linaires. Les polynmes positifs sont donc rcrit sous forme de

Introduction gnrale

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somme de carrs (ou SOS pour Sum Of Squares ), ce qui permet de trouver des solutions numriques plus facilement et rduit le conservatisme li lapproche classique par modle de Takagi-Sugeno. De plus, un certain nombre de contraintes peuvent tre ajoutes aux problmes SOS ce qui permet de rajouter toutes les connaissances telles que les bornes. Nous verrons la rsolution de systme non linaire dans le cas certain mais aussi de systme non linaire dans le cas incertain.

Pour finir au chapitre 5, nous avons appliqu une mthode dobservateur de type Takagi-Sugeno en considrant les termes affects par les paramtres d'encrassement comme des entres inconnues Ainsi une approche d'observateurs entres inconnues se basant sur l'emploi d'un modle dynamique de ces entres inconnues est utilise pour reconstruire l'tat ainsi que les perturbations. La mthode de D-stabilit compltera lobservateur afin de pouvoir agir sur les performances dynamiques de lobservateur.

Enfin, pour conclure, nous verrons un tableau comparatif des diffrentes mthodes existantes et celles que nous avons dveloppes dans le cadre de cette thse et terminerons sur quelques perspectives concernant ce projet.

Encrassement et changeur thermique

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Chapitre 1. Encrassement et changeur thermique

1.1 INTRODUCTION ................................................................................................................ 10

1.2 GENERALITES SUR LES ECHANGEURS DE CHALEUR ET ENCRASSEMENT ........................... 10 1.2.1 Le principe de fonctionnement ................................................................................ 10 1.2.2 Diffrents types d'changeurs thermiques ................................................................ 11 1.2.3 L'encrassement ........................................................................................................ 14

1.3 MODELISATION DUN ECHANGEUR THERMIQUE ............................................................... 16 1.3.1 Modle avec une section ......................................................................................... 17 1.3.2 Modle gnral ........................................................................................................ 19 1.3.3 Amlioration du modle et prise en compte de lencrassement .............................. 20

1.3.3.1 Coefficient de transfert thermique global ......................................................... 20 1.3.3.2 Effet de lencrassement sur les paramtres du modles ................................... 22

1.3.4. Modle de lchangeur retenu ................................................................................ 22 1.4 CONCLUSION ................................................................................................................... 24


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1.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons aborder l'changeur thermique et le phnomne d'encrassement. En premier lieu, nous aborderons le dispositif de l'changeur thermique, son principe de fonctionnement et les diffrents changeurs thermiques existants. Nous dtaillerons ensuite le phnomne de l'encrassement et citerons les diffrents aspects indsirables de l'encrassement pour un changeur thermique, ce qui nous amnera l'importance de la dtection d'encrassement dans les changeurs thermiques. La modlisation physique de l'changeur y sera ensuite expose.

1.2 Gnralits sur les changeurs de chaleur et encrassement

1.2.1 Le principe de fonctionnement

Un changeur de chaleur est un dispositif permettant la rcupration de l'nergie thermique d'un fluide par un autre. Le flux thermique traverse la paroi de sparation des diffrents fluides. En effet, la chaleur peut tre caractrise comme un transfert d'nergie d'un systme un autre d une diffrence de temprature (Cengel 2002). Selon la deuxime loi de la thermodynamique, ce transfert d'nergie s'effectue de la temprature la plus importante vers la plus faible. Il s'arrte donc lorsque les deux milieux sont de tempratures identiques. La chaleur peut tre transfre par trois modes diffrents : la conduction, la convection et le rayonnement.

- La conduction est un mode de transfert de chaleur d une diffrence de temprature entre deux milieux en contact. A linverse de la convection il s'effectue sans dplacement global de matire. C'est le transfert d'nergie des particules les plus nergtiques aux particules les moins nergtiques qui leur sont adjacentes. La conduction peut s'effectuer dans les solides, les liquides ou les gaz. La grandeur physique caractrisant le comportement des matriaux lors de ce phnomne est la conductivit thermique. Dans les changeurs thermiques, la conduction apparat principalement dans la paroi sparant les deux fluides. Cette paroi est gnralement mtallique et de faible paisseur, elle a donc une rsistance thermique faible.

- La convection s'effectue par un dplacement de matire dans le milieu. C'est le transfert d'nergie entre une surface solide et un liquide ou un gaz adjacent. C'est le mode le


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plus important pour les changeurs de chaleur mais aussi le plus difficile estimer, il dpend du type de fluide, des vitesses et du type de l'changeur.

- Le rayonnement est un transfert d'nergie sous forme d'ondes lectromagntiques rsultant des changements dans les configurations lectroniques des atomes ou des molcules. Au niveau des changeurs thermiques, c'est le moins prpondrant des modes de transfert thermique, nanmoins il n'est pas ngligeable lors de certaines applications telle qu'une chaudire avec brleur. Les changeurs thermiques sont utiliss dans un grand nombre d'applications. Voici une petite liste o l'on peut trouver ces changeurs de chaleur : systme air conditionn d'un habitat, radiateurs de voiture, planchers chauffants, chaudires, distillerie, rchauffement dune piscine, centrale thermique... Le fait davoir une paroi qui spare les fluides permet ceux-ci de ne pas se mlanger et, ainsi, lun des fluides pourra, suivant lapplication, subir un changement d'tat (condensation, vaporisation, bullition). Les changeurs permettent aussi de rchauffer ou refroidir un liquide ou un gaz lorsque cette opration ne peut seffectuer directement (par exemple : l'eau d'un circuit de refroidissement d'une centrale nuclaire).

1.2.2 Diffrents types d'changeurs thermiques

On peut classifier les changeurs thermiques selon le sens de lcoulement des fluides. On distingue alors les changeurs

- courants parallles : les deux fluides circulent paralllement et vont dans le mme sens (Figure 1-1)

- contre-courants : les deux fluides circulent paralllement mais vont dans le sens oppos (Figure 1-2).

- courants croiss : les deux fluides circulent perpendiculairement. - tte d'pingle : un des fluides fait demi-tour dans un conduit plus large tandis que le

deuxime le traverse. On peut considrer que cela correspond un courant parallle sur une moiti de la distance de l'changeur et sur l'autre moiti un contre-courant.

- contact direct ou mlange : les deux fluides sont mis en contact, (tour de refroidissement, par exemple).

On peut galement les classer selon leurs gomtries :


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- Echangeurs tubes : cet changeur tant le plus simple, il est compos d'un tube l'intrieur d'un autre tube o des fluides traversent les deux tubes. Les deux types de dplacement courant parallle ou contre-courant existent. (cf. Figure 1-1 et Figure 1-2).

Figure 1-1 : Echangeur tube courant parallle (Cengel 2002)

Figure 1-2 : Echangeur tube contre courant (Cengel 2002)

- Echangeurs compacts : ces changeurs sont habituellement courants croiss, les mouvements des deux fluides sont perpendiculaires l'un l'autre. Nous en retrouvons dans les radiateurs de voitures (cf. Figure 1-3).

Figure 1-3 : Echangeur compact courant crois (Cengel 2006)

- Echangeurs faisceau tubulaire : l'changeur est constitu d'un faisceau de tubes, se trouvant l'intrieur d'une carcasse (l'changeur est aussi appel tubes et calandre ou par lexpression anglaise shell-and-tube . L'un des fluides circule l'intrieur des tubes et l'autre dans la carcasse, autour des tubes. A l'intrieur de la carcasse sont rajouts des chicanes afin d'influencer l'coulement du fluide dans la carcasse. Cela permet d'amliorer le transfert de chaleur et de maintenir un espacement uniforme entre les tubes (cf Figure 1-4).

Chapitre 1 : Encrassement et changeur thermique

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Figure 1-4 : Echangeur faisceau tubulaire (Guo, Xu et al. 2009)

- changeurs plaques : ceux sont des changeurs composs d'un nombre variant de plaques disposes les unes cot des autres et spares par un espace. Les fluides chauds et froids circulent en passages alterns, chaque fluide froid est entour par deux fluides chauds et inversement. Du fait de leur compacit, ces changeurs permettent une grande surface d'change dans un volume limit (cf. Figure 1-5).

Figure 1-5 : Echangeur plaques (Lund 1998)

Il existe encore bien d'autres types d'changeurs thermiques, certains comportent des caractristiques communes ceux dcrits prcdemment, tels que les changeurs serpentins, les changeurs double enveloppe, les changeurs spirales, les changeur surface racle, les changeurs en graphite (changeurs bloc), les arorfrigrants ou tours de refroidissement, les changeurs ailettes, les rgnrateurs, (Fraas 1989; Schou, Deans et al. 1997; Mabit, Loisel et al. 2004; Shao, Yang et al. 2009).


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1.2.3 L'encrassement

Les transferts thermiques dans les changeurs thermiques sont favorables au dveloppement de phnomnes d'encrassement dans les liquides et sur les parois thermiques. Ils se traduisent par laccumulation dlments solides indsirables sur les surfaces dchange (Bell and Mueller 2001; Cengel 2002). Il existe diffrents types dencrassement comme, par exemple, lencrassement particulaire d aux particules telles des oxydes et hydroxydes de fer transports par les fluides en milieu industriel, la corrosion, lentartrage, lencrassement biologique d aux algues ou champignons, (Marvillet, Bontemps et al. 1995). Cette couche reprsente une rsistance additionnelle au transfert thermique. Le produit de cette rsistance thermique par la surface dchange thermique est appel facteur d'encrassement. Le facteur d'encrassement pour un nouvel changeur thermique sera gal 0 et augmentera avec le temps lorsque les dpts solides saccumuleront sur les parois de l'changeur, et ce, jusquau nettoyage de lchangeur. L'encrassement s'accentuera d'autant plus si la temprature augmente et la vitesse des fluides diminue. Il existe des tables donnant des valeurs reprsentatives du facteur dencrassement recommandes par la TEMA (Tubular Exchanger Manufacturers Association) pouvant servir au dimensionnement des changeurs (cf. (TEMA 1988) par exemple). La plupart de ces valeurs ont un ordre de grandeur de 10-4 m2.C/W, ce qui correspond la rsistance thermique dune couche de calcaire de 0,2 mm dpaisseur et dun mtre carr de surface.

Lencrassement des changeurs thermiques induit un certain nombre deffets indsirables ayant un cot conomique ou environnemental non ngligeable, ainsi :

- Lencrassement diminuant le coefficient de transfert thermique, le cot pour obtenir un coefficient de transfert thermique voulu augmente.

- Lencrassement peut provoquer un cart de temprature suprieur la normale et ainsi augmenter les consommations nergtiques. Ceci peut aussi engendrer des pannes des quipements (surchauffe des compresseurs).

- Les cots dentretien sont plus levs afin de supprimer les dpts dencrassement avec des produits chimiques et des dispositifs antisalissure ou mcanique ou encore le remplacement des quipements corrods.

- Les cots de consommation deau, dlectricit et de carburant augmentent pour compenser les effets de l'encrassement.

- Des pertes de production lies aux arrts d'exploitation planifis ou non causs par

l'encrassement entranent une augmentation des cots dexploitation.


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- Lencrassement apporte aussi un risque environnemental. En effet, dans la rfrence (T.Casanueva-Robles and Bott 2005), il est montr que, lorsquil y a de lencrassement, pour compenser la perte defficacit des changeurs, la production est active entrainant ainsi une augmentation de lmission de dioxyde de carbone. Ainsi,

lexistence dun bio-film microbien dune paisseur de 300m dans les condenseurs

dune station thermique au charbon de 550MW peut entrainer une production supplmentaire de 970 kg par heure de dioxyde de carbone.

Les consquences de lencrassement sont donc nombreuses et il savre indispensable de lutter contre ce phnomne. En effet, diffrentes mthodes existent afin de limiter lencrassement des changeurs. On peut citer, titre dexemple, le traitement des fluides (filtrage, traitement chimique, ) ou galement le nettoyage des parois pendant les phases de fonctionnement par procd mcanique (brossage, injection de boules en caoutchouc spongieux, ) ou par traitement chimique (dtartrant, ), cf. (Marvillet, Bontemps et al. 1995; Kuppan 2000). Ces mthodes ne font que ralentir lencrassement et un nettoyage complet des installations reste indispensable. Cela ncessite bien souvent larrt complet de la production entrainant un cot non ngligeable. Afin de rduire ces cots de maintenance, il est intressant de pouvoir dtecter en temps rel ltat dencrassement des dispositifs. Les mthodes classiques de dtection sont bases sur le pesage de lchangeur ou dune de ses parties, sur lexamen du coefficient dchange thermique ou de lefficacit, sur lobservation simultane des chutes de pression et du taux de dbit massique, sur la mesure de la variation de temprature en entre et en sortie dun des deux fluides, sur lutilisation doutils de mesure ultrasons ou lectriques (Jonsson, Lalot et al. 2007). Aucune de ces solutions nest parfaite et toutes exigent des conditions demploi particulires. Ainsi, la premire ncessite larrt de fonctionnement du processus, les trois suivantes ncessite un fonctionnement en rgime stationnaire (les dbits massiques des fluides ne doivent pas trop varier). De mme, outre leurs cots, lutilisation de capteurs ne constitue quune solution locale, lefficacit dpendant fortement de leur placement.

Une autre classe de mthodes repose sur une modlisation du processus et de lutilisation de techniques destimation en temps rel des paramtres ou des variables dtat du modle retenu. Diffrentes mthodes de diagnostic, de classification ou dobservation sont possibles afin de dtecter l'encrassement. Ainsi, lutilisation de modles type boite noire tels que les rseaux de neurones a t propose dans (Lalot, Palsson et al. 2007) ; la rfrence


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(Jonsson, Lalot et al. 2007) est base quant elle sur la modlisation physique du processus et de lemploi dun filtre de Kalman tendu. Cette technique ncessite un modle que nous allons dcouvrir et utiliser dans la suite de ce mmoire afin de pouvoir construire des observateurs permettant de dtecter lencrassement.

1.3 Modlisation dun changeur thermique

Nous considrons ici un changeur tubulaire avec une circulation contre-courant des deux fluides et reprsent sur la Figure 1-6. Dans l'changeur, un transfert thermique s'effectue entre un liquide chaud et un liquide froid sans contact entre ces deux liquides qui circulent le long d'une paroi de sparation mtallique. Le liquide des deux fluides pour notre changeur est de leau.

flux eau chaude

flux eau froide

Figure 1-6 : Reprsentation du systme rel : changeur thermique

Nous reprenons ici la modlisation de lchangeur propose dans (Jonsson 1990; Jonsson, Lalot et al. 2007). Il ncessite les hypothses suivantes :

le transfert thermique vers lenvironnement extrieur est ngligeable ;

les phnomnes de conduction thermique dans la paroi mtallique et dans les fluides sont ngligs ;

les capacits thermiques massiques sont constantes ;

les deux fluides sont supposs incompressibles.

hT

cT

,,h in hT m

,,c in cT m


17

Lchangeur est dcompos en un nombre N de sections supposes identiques. Les tempratures des fluides chaud et froid seront supposes uniformes dans chaque section. Elles seront indexes dans le sens du fluide (cf. Figure 1-7).

Figure 1-7 : Reprsentation dun demi-changeur avec N cellules

Par la suite, les indices et h c seront employs pour reprsenter, respectivement, les proprits des fluides chaud et froid (hot, cold). Les notations suivantes seront utilises :

, ,, c in h inT T : tempratures des fluides en entre de l'changeur ;

, , 1, c i h N iT T + : tempratures des fluides dans la i-me section ;

,out ,out, c hT T : tempratures des fluides en sortie de l'changeur (et donc *,out *,N=T T ) ;

hm , cm : dbits massiques ;

hA et cA : aires des surfaces dchange thermique ;

cc et hc : capacits thermiques massiques ;

hM et cM : masses des fluides dans lchangeur ;

U le coefficient de transfert thermique global. Nous commencerons par le cas dune cellule lmentaire (N = 1), le cas gnral correspondant lassociation en srie de N cellules lmentaires.

1.3.1 Modle avec une section

Le bilan nergtique scrit

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,1, ,1

,1, ,1

hh h h h h in h h

c

c c c c c in c c

dT tM c m t c T t T t A U t T t

dtdT t

M c m t c T t T t A U t T tdt

=

= +

(1.1)

,c inT

,h inT ,h NT

,1cT

,1hT ,h jT

,c iT ,c NT ,c outT

,h outT


18

o ( ) ( )hA U t T t et ( ) ( )cA U t T t reprsentent le transfert d'nergie entre les sections chaudes et froides. La quantit ( )T t reprsente la diffrence moyenne de temprature entre le fluide chaud et le fluide froid. Il existe dans la littrature diffrentes dfinitions de ( )T t :

la plus simple consiste en la diffrence des tempratures dans chaque section :

( ) ( ) ( ),1 ,1h cTDT t T t T t = , (1.2)

la diffrence de tempratures arithmtique moyenne:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,1 , ,1[ ] [ ]2 2

h in h c in cAMTD

T t T t T t T tT t

+ + = , (1.3)

et enfin la diffrence de tempratures logarithmique moyenne :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ),1 ,1 , ,

,1 ,1 , ,lnh c h in c in

LMTDh c h in c in

T t T t T t T tT t

T t T t T t T t

=

(1.4)

Cette dernire se justifie dans le cadre dun rgime stationnaire obtenu pour des dbits massiques des fluides constants. Daprs (Jonsson 1990), la premire expression conduit des valeurs trop faibles de ( )T t ce qui entrane soit une surestimation du coefficient de transfert thermique global via une mthode didentification, soit une mauvaise prcision du modle en

rgime statique en utilisant des valeurs tabules des paramtres. Les deux dernires expressions sont dune prcision quivalente. Du fait de sa simplicit, lexpression (1.3) de

( )T t sera utilise par la suite. Le modle (1.1) peut tre reformul en introduisant le vecteur de paramtres suivant : [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Th ct t t t t = (1.5) o :

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,h c h c

h ch h c c h c

A U t A U t M Mt t t t

m t c m t c m t m t = = = =

(1.6)

Les paramtres ( ) ( ),t t sont sans dimension et correspondent au nombre dunits de transfert lorsque la valeur minimale de ( )c cm t c

et ( )h hm t c est atteinte. Les paramtres ( ) ( ) et h ct t sont homognes au temps. Sous lhypothse (1.3), le modle prcdent peut

scrire sous la forme de la reprsentation d'tat dun systme linaire paramtres variants :

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

,1 ,,1

,1 ,,1

( ) ( )h h inhc c inc

T t T tT tA t B t

T t T tT t

= +

(1.7)


19

avec

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

1 / 2 1 / 22 2( ) , ( ) .

1 / 2 1 / 22 2

h h h h

h c h c

t tt t

t t t tA t B t

t tt t

t t t t

+

= =

+

Il est noter que le mme modle serait obtenu dans le cas dun coulement courant

parallle.

1.3.2 Modle gnral

Le cas gnral sobtient en associant en srie N cellules lmentaires. En notant*, *

/NA A N=

l'aire de la surface dchange thermique,*, *

/NM M N= la masse du fluide * pour chaque

section, il vient le modle gnral sous forme d'un systme dquations diffrentielles :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 1 ,, , 1 ,, , 1 , ,

, , 1 ,, 1 ,, , 1 , ,

2 2

2 2

c j c jh i h i h ih N h h h h i h i h N

c j c j c jh i h ic N c c c c j c j c N

T t T tdT t T t T tM c m t c T t T t A U t

dt

dT t T t T tT t T tM c m t c T t T t A U t

dt

+ + =

+ + = +

(1.8) avec 1j N i= + et la convention

*,0 *,inT T= (pour * { , }h c ). Ces indices varient de 0 n avec 0 reprsentant la temprature dentre et n la temprature de sortie.

On peut reformuler ce systme sous forme matricielle. Pour cela, notons

[ ] [ ] [ ]1 2( )T

T T TNX t x x x = avec [ ] , , 1 () )( ( )h i c N ii

Tx t T Tt t+ = , ( ) ( ) /N t t N = ainsi que

( )( ) ( )( )1 1 00 0B t B t

=

et ( )( ) ( )( )2 0 00 1B t B t

=

(1.9)

Notons que 1B est dduite de B en remplaant sa deuxime colonne par un vecteur nul,

tandis que 2B sobtient en remplaant la premire colonne. Une reprsentation dtat du

systme scrit alors :


20

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2 1

1,in

,in2

21

,out

,out

0 0

00 0

00 0

0 0 0 1 00 1 0 0 0

N N N

N Nh

c

N

NN N

h

c

A t B t B tB t A t

TX X

TB t

B tB t A t

Ty X

T

= +

= =

(1.10)

Remarque : lorsque N , on obtient le modle de dimension infinie dcrit par les quations drives partielles :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,

, ,

, ,

, ,

h hh h h h h h c h

c c

c c c c c c h c

dT t x T t xA c A c v PU t T t x T t x

dt xdT t x T t x

A c A c v PU t T t x T t xdt x

+ =

+ =

(1.11)

et ( ) ( ), ,

,0 ; ,0c c in h h inT t T T t T= =

o : hP et cP : primtres thermiques, hA et cA : aires de la section traverse par chacun des flux, v la vitesse du flux la densit

1.3.3 Amlioration du modle et prise en compte de lencrassement

1.3.3.1 Coefficient de transfert thermique global

Le coefficient de transfert thermique global correspond la mise en srie des rsistances

thermiques associes aux deux phnomnes de convection fluide/paroi. Il est donc dfini par la relation :

( ), , ,

1 1 1h N h h N c c NU t A h A h A

= + (1.12)

Il a t montr dans (Jonsson and Palsson 1994) que la prise en compte de la dpendance du coefficient de transfert global vis--vis des dbits massiques permet damliorer

significativement la prcision du modle.

partir de la formule empirique de Dittus-Boelter (cf. (Cengel 2002) p 441), il est possible de dduire lexpression des coefficients de transfert thermique :

( ) ( ) { }* * * , * ,yh t K m t c h= (1.13)


21

avec cK , hK et y constants. Lcoulement tant turbulent, la valeur de lexposant y pourra

tre prise gale 0,8.

En substituant (1.13) dans (1.12), nous pouvons crire :

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ),,

, , , ,

yc N h c h cc N h c

y yh N h c N c h N h h c N c c

A K K m t m tA h t h tU t

A h t A h t A K m t A K m t= =

+ +

(1.14)

De plus, en posant ,,

h N h

c N c

Ke

AA K

= , il vient

( ) ( ) ( )( )( ) ( )y

c hh y y

c h

m t m tU t K

m t e m t=

+

(1.15)

Considrons des valeurs de rfrences (constantes) *hm et *cm pour les dbits massiques des fluides chaud et froid. Pour ces dbits massiques, le coefficient de transfert thermique global

vaut :

( )* **

* *

y

c hh y y

c h

m mU K

m e m=

+

(1.16)

Nous pouvons ainsi rcrire les paramtres (1.6) sous la forme suivante :

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

**

,* *

* *

*

,* *

*

**

,* *

* *

*

,* *

*

avec

avec

avec

avec .

h Nh

h h h

h Nhh h h

h h

c Nc

c c c

c Ncc c c

c c

A UU tmt

m t U m cMm

tm t m

A UU tmt

m t U m cMm

tm t m

= =

= =

= =

= =

(1.17)

Ce modle peut encore tre amlior en prenant en compte linfluence de la temprature sur

les coefficients de transfert thermique. Cependant, lexprience (cf. (Jonsson and Palsson 1994)) montre que, du fait de laugmentation du nombre de paramtres identifier, le gain en prcision nest pas aussi significatif que celui obtenu en prenant en compte seulement linfluence des dbits massiques et, par consquent, ne justifie pas forcment lutilisation de ce modle plus complexe.


22

1.3.3.2 Effet de lencrassement sur les paramtres du modle

La modlisation prcise du phnomne dencrassement est dlicate. Elle dpend du type dencrassement et fait lobjet de nombreux travaux de recherche actuels (Mller-Steinhagen, Malayeri et al. 2009). Lorsque lencrassement est prsent, la rsistance thermique de la paroi augmente et conduit

une diminution du coefficient de transfert thermique global. Cette augmentation de la

rsistance thermique est mesure au travers du facteur dencrassement fR dfini par (Cengel 2002) :

( ), , , ,

1 1 1.

f

h N h h N c c N h N

RU t A h A h A A

= + + (1.18)

Le coefficient thermique global U dpend donc de ltat dencrassement de lchangeur, mais

aussi des dbits massiques. Nous avons donc choisi dans cette thse de caractriser

lencrassement travers lvolution des paramtres * et * . Ce choix a galement t fait dans les travaux (Jonsson, Lalot et al. 2007; Lalot, Palsson et al. 2007) et nous permettra donc de comparer les rsultats de nos approches avec les leurs.

1.3.4. Modle de lchangeur retenu

Dans le cadre du projet DESURENEIR (DEtection et SURveillance de l'ENcrassement dans les Echangeurs de chaleur Isols ou en Rseau) du programme interdisciplinaire Energie du CNRS, nous avons retenu comme banc dessai un changeur tubulaire contre courant. Le fluide considr est de leau en phase liquide. Les dimensions du tube en acier inoxydable

sparant les deux fluides sont de 14 mm pour le diamtre intrieur et de 18 mm pour son diamtre extrieur. Le diamtre intrieur du tube extrieur est de 26 mm. Pour finir la longueur de l'changeur de chaleur est de 11 m. Au moment de lcriture de ce mmoire, le procd exprimental navait pas encore t

disponible. Nous travaillerons donc avec des donnes issues dune modlisation fine du procd et base sur lutilisation dun logiciel CFD professionnel (Fluent de Ansys) et fournies par M. Lalot, professeur lUVHC et membre du laboratoire TEMPO. Ces donnes ont t galement utilises dans des travaux antrieurs de certains membres du projet DESURENEIR (Jonsson, Lalot et al. 2007; Lalot, Palsson et al. 2007), ceci nous permettant ainsi deffectuer un bilan comparatif de mthodes destimation en ligne de lencrassement.


23

Pour la modlisation, il a t montr (Jonsson 1990) que, pour ce type dchangeur de dimension relativement modeste, il est suffisant deffectuer une discrtisation en deux

sections du procd (Figure 1-8).

Figure 1-8 : changeur thermique avec 2 sections

En utilisant les rsultats des paragraphes prcdents, le modle du systme peut tre crit sous la forme suivante :

( ) ( ), ,x A u x B uy Cx

= +=

(1.19)

avec :

l'tat du systme x dfini par :

( ),1 ,2 ,1 ,2 ,Th h c cx T T T T= (1.20) les variables d'entres correspondant aux tempratures dentres ainsi qu'au dbits des

fluides chaud et froid :

, ,

T

h in c in h cu T T m m = (1.21)

le vecteur des mesures au sein duquel on supposera que, outre les entres prcdentes,

seules les tempratures en sortie sont mesures,

,2 ,2T

h cy T T =

le vecteur de paramtres relatif lencrassement ( )t donn par :

* *, = (1.22)

les matrices du systme dfinies par :

,c inT

,h inT

,2cT ,1cT

,1hT ,2hT


24

( )

* * *

* * * * *

* * *

* * * * * * *

* * *

* * * * *

* * *

* * * * * * *

02 2 2

02 2 2

,

02 2 2

02 2 2

hU U U

h h h h h

h hU U U

h h h h h h h

cU U U

c c c c c

c cU U U

c c c c c c c

m

m

m m

m mA u

m

m

m m

m m

=

,

( )

*

* * *

*

*

*

* * *

*

*

02

02 0 1 0 0

, ,

0 0 0 10

2

02

hU

h h h

Uh

cU

c c c

Uc

m

m

B u Cm

m

= =

o ( ) ( )( )( )( )

* *

** *

( , )y y y

c hh cU U c h y y y

c hh c

m emU t m mm m

U m emm m

+= = =

+

. Les autres paramtres sont dfinis

comme au paragraphe 1.3.3.

Nous prendrons dans les chapitres suivants les valeurs suivantes : * 10,1083 .hm kg s

= ; * 10,1803 .cm kg s

=

;

* 7, 7392h s =

; * 8, 3502c s = ;

1,11e = ; 0,8y = .

1.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons prsent diffrents types dchangeurs thermiques, ainsi que leur principe de fonctionnement. Nous avons numr les problmes environnementaux ou

conomiques qui peuvent tre engendrs par lencrassement dans les changeurs de chaleur. La dtection de l'encrassement est un problme actuel et faisant lobjet de nombreuses recherches. Dans ce mmoire, nous voulons traiter la dtection en temps rel et ainsi pouvoir


25

estimer son volution au court du temps. Pour cela, le modle dun changeur thermique tubulaire a t considr dans ce chapitre et sera utilis tout au long de ce mmoire.

Nous avons pu voir dans ce modle que l'encrassement est li deux paramtres principaux. Des mthodes permettant de les estimer seront proposes dans les chapitres suivants. Celles-ci

seront bases sur la reconstruction dtat et utiliseront des observateurs non linaires. Nous allons prsenter dans le chapitre suivant un tat de l'art sur la thorie de lobservation.

Chapitre 2 : Un bref tat de l'art sur l'observation des systmes dynamiques

26

Chapitre 2. Un bref tat de l'art sur

l'observation des systmes dynamiques

2.1 INTRODUCTION ................................................................................................................ 27

2.2 OBSERVABILITE ............................................................................................................... 27

2.2.1 Dfinitions ............................................................................................................... 27 2.2.2 Test dobservabilit locale faible ............................................................................ 29

2.3 QUELQUES RAPPELS SUR LES OBSERVATEURS ................................................................. 31 2.4 OBSERVATEURS DE TYPE TAKAGI-SUGENO ..................................................................... 35

2.4.1 Gnralits sur les modles flous de type Takagi-Sugeno ...................................... 35 2.4.2 Construction d'un modle Takagi-Sugeno .............................................................. 37

- Cas d'une seule non-linarit ................................................................................. 37 - Cas gnral ............................................................................................................. 37

2.4.3 Les observateurs de type Takagi-Sugeno avec prmisses mesurables .................... 39 2.4.4 Les observateurs de type Takagi-Sugeno avec prmisses non mesurables ............. 41 2.4.5 Les observateurs entres inconnues ..................................................................... 43

2.5 CONCLUSION ................................................................................................................... 44


27

2.1 Introduction

Il existe de nombreuses mthodes ddies la dtection de dfauts. Certaines utilisent des techniques de reconnaissance de formes, de classification, , dautres ncessitent la

connaissance dun modle du processus ou du signal (cf. (Isermann 2006)). Dans cette thse, nous nous plaons plus particulirement dans le cadre de cette deuxime classe de mthodes

et avons choisi pour la dtection de lencrassement destimer en ligne les paramtres et dfinis au premier chapitre cette identification se fera laide dobservateurs non linaire

que nous allons dvelopper dans les chapitres suivants. Lorsque l'tat d'un systme n'est pas entirement mesurable, on peut arriver - sous certaines

conditions dites d'observabilit - le reconstruire partir des entres et sorties connues par l'intermdiaire d'un observateur. Preuve de limportance pratique et thorique, ainsi que de la

complexit du sujet, la littrature sur le domaine est abondante. Aussi, sans viser lexhaustivit, ce chapitre fait un rcapitulatif des principaux types dobservateurs existant. Il

est dcompos en trois parties principales. La premire partie aborde la proprit dobservabilit des systmes. La deuxime partie, quant elle, prsente diffrents types

dobservateurs en commenant par le cadre plus simple des systmes linaires, puis celui des systmes non linaires. La troisime et dernire section de ce chapitre est ddie la synthse

d'observateurs de systmes non linaires reprsents par un modle de type Takagi-Sugeno qui est lobjet principal des travaux de cette thse. Aprs avoir dfini ce type de modles non linaires, nous rappelons comment obtenir un modle sous cette forme partir de la reprsentation dtat usuelle dun systme non linaire. Enfin, nous prsentons quelques

rsultats concernant la synthse dobservateurs utilisant ce formalisme.

2.2 Observabilit

2.2.1 Dfinitions

Prenons un systme sous la forme suivante :

( )( )

,x f x uy h x

=

=

(2.1)


28

o ( ) nx t X , ( ) mu t et ( ) py t . Les entres u admissibles seront des fonctions mesurables bornes valeur dans un ensemble m . Les applications f et h seront supposes suffisamment drivables afin de garantir lexistence et lunicit de solutions

dfinies sur . Nous noterons 0( , , )x t x u et 0( , , )y t x u ltat et la sortie du systme (2.1) pour une entre ( )u t et une condition initiale 0x . La proprit dobservabilit correspond la possibilit de pouvoir reconstruire ltat ( )x t du systme (2.1) partir de l'observation des entres et sorties du systme sur un horizon de temps fini. Pour une entre donne, la solution ( )x t est dfinie de manire unique par son tat initial. Ce fait essentiel a conduit (Hermann and Krener 1977) aux dfinitions suivantes (cf. aussi (Bornard, Celle-Couenne et al. 1993) et (Besanon 2007)).

Indiscernabilit : Soit U un sous-ensemble de n . Deux tats initiaux 0 0 et x x de U

sont dits indiscernables sur U si, pour toute entre admissible ,u et pour tout instant

0t tel que les tats 0( , , )x t x u et 0( , , )x t x u restent dans U , alors les sorties 0( , , )y t x u et

0( , , )y t x u sont identiques. Nous noterons ( )UI x lensemble des tats indiscernables sur U de .x

Observabilit : Le systme (2.1) est dit observable en 0x si ( ) { }0 0XI x x= et sil n'existe aucune paire indiscernable sur lespace dtat X , cest--dire, ( ) { }XI x x= pour tout x X

; il est dit localement observable en 0x si, pour tout voisinage ouvert U de 0x ,

( ) { }0 0UI x x= ; il est dit localement observable sil est localement observable en tout point 0x de X.

Observabilit faible : Le systme (2.1) est dit faiblement observable en 0x si, dans un voisinage de 0x , il nexiste pas d'tat indiscernable de 0x ; il est dit faiblement observable sil est faiblement observable en tout point 0x de X.

Observabilit locale faible : Le systme (2.1) est dit localement faiblement observable en 0x s'il existe un voisinage U de x tel que, pour tout voisinage V de 0x contenu dans U,

on a ( ) { }0 0VI x x= ; il est dit localement faiblement observable sil est faiblement localement observable en tout point 0x de X.


29

Remarquons que, dans les dfinitions prcdentes, le choix de lentre permettant de discerner

deux tats initiaux peut dpendre de ces tats initiaux, ceci conduit la notion dentre

universelle (Bornard, Celle-Couenne et al. 1993) et la nouvelle notion dobservabilit dite uniforme.

Entre universelle : une entre u est universelle sur [ ]0,T si pour tout couple d'tats initiaux 0 0x x , il existe [ ]0,t T tel que ( )( ) ( )( )0 0, , , ,y t x u t y t x u t . Une entre non universelle est dite singulire.

Observabilit uniforme : le systme (2.1) est dit uniformment observable si toute entre admissible est universelle.

2.2.2 Test dobservabilit locale faible

Lobservabilit est une proprit difficile analyser dans le cas des systmes non linaires du

fait quelle dpend de lentre applique. Cependant, pour la proprit dobservabilit locale

faible, il existe un critre analytique appel condition du rang et bas sur la dtermination de

la dimension dun sous-espace vectoriel de fonctions particulier nomm lespace

dobservation.

Dfinition (Espace dobservation) : Lespace dobservation O du systme (2.1) est le plus

petit -espace vectoriel de fonctions dfinies sur X valeurs relles contenant les fonctions

1h , , ph (fonctions composantes de h ) et ferm pour la drivation de Lie par rapport tous

les champs de vecteurs de la forme ( ) ( , )uf x f x u= o u est une entre constante valeur dans .

On notera galement dO lespace des diffrentielles des fonctions dans O et dO(x) lespace

des vecteurs obtenus en valuant les lments de dO en x. On a alors le rsultat suivant :

Thorme (Hermann and Krener 1977) : Si dim dO(x0) = n, alors, le systme (2.1) est

faiblement localement observable en 0x .


30

- Cas particulier des systmes linaires stationnaires Dans le cas des systmes linaires de reprsentation dtat

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu ty t Cx t Du t

= +

= +

(2.2)

o , , et A B C D sont des matrices de tailles appropries, en appliquant le critre prcdent, on

montre que le systme est faiblement localement observable si et seulement si

1

.

n

CCA

rang n

CA

=

(2.3)

Remarquons que pour cette classe de systmes, la proprit dobservabilit faible locale est

quivalente celle dobservabilit. La condition (2.3) est appele critre dobservabilit de Kalman.

- Application au modle de lchangeur thermique Reprenons le modle de lchangeur thermique vu au chapitre 1 et mettons le sous la forme

suivante afin de vrifier son observabilit.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

,1 , ,1 ,2 ,1 ,1 ,

,

1 ,

2 ,1 ,2 ,2 ,1 ,1 ,

,1 , ,1 ,2 ,1 ,1 ,

,2 ,1 ,2 ,2 ,1 ,1 ,

2

2 ,2

h h h in h h c c h h in

h h h h h h c h c in

c c c in c c h c h c in

c c c c c c c h in

h

h

c

T u T T c T T T T

T u T T c T T T T

T u T T c T T T T

T u T T c T

y Ty T

T T T

= + +

= + + +

=

=

+ +

=

= + +

+

(2.4)

Avec

* * * *

* *

,

,

2 2

h ch c

h h c c

U Uh c

h c

m mu u

m m

c c

= =

= =

Cherchons la matrice dobservabilit en prenant ( )111

212

dhdh

rang O rangdhdh

=

.

Nous avons


31

( )

( )( ) ( ),1 ,2 ,1 ,2

,

1 1 1 11

1 2 3 4

1 1 1 111

1

2 2 2 22

1 ,2 ,

1

2

2

,

3

,1 ,1

4

0 1 0 0

0h h hf gu f gu f gu f gu

h h c c

f gu h

h h

h h h c h c inh

L L L LT T T

h h h hdhx x x x

h h h hdh u c u c

T

L u T T c T T

c

h

h h h hdhx x

T T

x x

+ + + +

+

= =

= = =

=

+ +

+

( )

( )( ) ( ),1 ,2 ,1 ,2

,1 ,2 ,2 ,1 ,1

2 2 2 211

2 ,

0 0 0 1

0f gu f gu f gu f gu c ch h c c

f gu c c c c c h

c c c

c h in

L L L Lh h h hdh c u c u c

T T T T

L u T T c T T T Th

+ + + +

+

=

= =

+ +

= +

(2.5)

Ainsi la matrice dobservabilit est de la forme suivante :

0 1 0 00

0 0 0 10

h h h h h

c c c c c

u c u c cO

c u c u c

=

(2.6)

Nous pouvons facilement voir que lorsque les paramtres de et sont fixs une certaine valeur (priode clean de l'changeur thermique), il existe au moins une entre u universelle o l'on obtient la matrice dobservabilit de rang 4. Ce qui permet de dire que lorsque le

modle de l'changeur est dans la priode d'encrassement ( et varient), il existera aussi une entre u o l'on obtiendra la matrice dobservabilit de rang 4. On peut quand mme voir

que pour certaines valeurs ce modle admet aussi des entres singulires.

Nous pouvons ainsi conclure d'aprs les dfinitions d'observabilit que le systme est

localement faiblement observable.

2.3 Quelques rappels sur les observateurs

Un observateur ou reconstructeur d'tat est un systme dynamique permettant de reconstruire

en temps rel l'tat courant d'un systme partir de ses entres et sorties. Ceci est illustr

travers la figure suivante o le vecteur d'tat estim est not x .


32

On souhaite en gnral les caractristiques suivantes :

- la convergence asymptotique de ( )x t vers ( )x t (globalement ou localement) :

( ) ( )lim 0t

x t x t

=

- une estimation exacte lorsque l'initialisation est identique :

( ) ( ) ( ) ( ) si 0 0 alors 0,x x t x t x t= = Ces caractristiques sont celles d'un observateur asymptotique.

La dynamique de lobservateur est en gnral fixe de la faon suivante :

( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( ) ( ( ))f x u y f x u G t u y y t h x t= + (2.7)

o le gain dobservation ( , , ) G t u y est dtermin afin dassurer la convergence de l'tat estim vers ltat rel.

- Cas des systmes linaires : Lorsque le systme est linaire et stationnaire, il est possible de choisir un gain dobservation

constant ( , , )G t u y K= conduisant un observateur dit de Luenberger. Si le systme est observable, le gain K peut tre rgl de faon avoir une convergence exponentielle avec un

taux de convergence arbitraire. (Luenberger 1964; Bonnans and Rouchon 2003). Dans le cas des systmes linaires non stationnaires, il existe, sous certaines conditions dobservabilit,

des observateurs asymptotiques de type Kalman o le gain dobservation est obtenu en

rsolvant en ligne des quations diffrentielles de type Riccati ou Lyapunov (Besanon 2007).

Figure 2-1 Reprsentation d'un observateur

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

,x t f x t u ty t h x t

=

=

x

y

u

Systme

Observateur

( ) ( ) ( ) ( )( ) , ,x t f x t u t y t=


33

Le cas des systmes non linaires est bien sur plus complexe. Il n'existe pas lheure actuelle

de mthode universelle de synthse dobservateurs pouvant tre applique tous les modles

non linaires et garantissant la convergence vers zro de lerreur dobservation. Par contre,

diffrents auteurs ont mis en vidence des structures de modles pour lesquelles, moyennant

certaines conditions, des observateurs asymptotiques peuvent leur tre associes.

- Filtre de Kalman tendu Le filtre de Kalman tendu est une extension directe du filtre de Kalman classique aux cas des

systmes non linaires : il est bas sur la structure (2.7) o le gain dobservation se calcule en appliquant les techniques du filtre de Kalman classique en remplaant le systme non linaire

par son linaris tangent valu le long de la trajectoire estime. Il est trs utilis en pratique, bien que la convergence de l'observateur ne soit prouve que localement ou pour des

structures spcifiques (Besanon 2007). Dans le cadre de la dtection d'encrassement dans les changeurs thermique, les auteurs de

(Jonsson, Lalot et al. 2007) ont utilis le filtre de Kalman tendu dans un cadre stochastique. Cette mthode ncessite un grand nombre d'essais lors de la partie apprentissage pour que le

filtre de Kalman tendu fonctionne.

Observateur dynamique de lerreur linaire La synthse dun observateur peut tre particulirement simplifie si le systme possde

une structure adapte, ainsi, pour tout systme scrivant sous la forme

( ),x Ax y uy Cx

= +

=

(2.8)

o la paire de matrices (A,C) est observable, il est ais de voir quen utilisant un observateur de Luenberger de gain K, la dynamique de lerreur dobservation peut s'crire sous la forme

( )e A KC e= (2.9) Le gain de lobservateur peut alors tre calcul en utilisant les techniques du linaire.

Lexistence dun changement de variable permettant de passer dune reprsentation gnrale

(2.1) la forme (2.8) a t tudie par plusieurs auteurs (Bestle et Zeit, 1983), (Krener et Isidori, 1983). Si des conditions ncessaires et suffisantes de lexistence de ce changement de variables sont disponibles (Krener et Respondek, 1985), cette mthode est cependant difficile


34

utiliser en pratique, car elle ncessite la rsolution dquations aux drives partielles et la

rsolution de systmes dquations non linaires (Zeitz, 1987).

Observateur de Thau-Luenberger Il est aussi possible dutiliser un observateur de Luenberger gain constant pour reconstruire

ltat dun systme non linaire. Ainsi, dans les travaux (Thau, 1973), (Kou, Elliott et al. 1975), les auteurs considrent les systmes de la classe (2.1) scrivant sous la forme :

( ),,

x Ax x uy Cx

= +

=

(2.10)

o la paire de matrices (A,C) est observable et la fonction est uniformment lipschitzienne en x . Si la constante de Lipschitz de cette fonction nest pas trop grande, alors il est possible

de dterminer un observateur pour le systme (2.10) de la forme ( ) ( ) , .x Ax x u K y y= + + (2.11) On pourra galement se rfrer aux publications (Levine 2009), (Robertsson 1999) pour plus de dtails concernant cette technique.

- Observateurs grand gain Il existe de nombreux travaux concernant une classe particulire de systmes (2.8) dits structure triangulaire. Dans le cas mono-sortie, ces systmes peuvent scrire sous la forme :

( )( )

( )( ) ( )

1 2 1 1

2 3 2 1 2

1 1 1 1

,

, ,

, , ,

,

n n n n

n n n

x x g x ux x g x x u

x x g x x ux f x g x u

+ + =

+ +

(2.12)

avec 1y x= . Il est possible de trouver (Gauthier, Hammouri et al. 1992) une famille de gains dobservateur K paramtre par un scalaire telle que lobservateur (2.7) associ est exponentiellement convergeant si ce paramtre est choisi suffisamment grand. De plus, le taux de convergence exponentielle peut tre choisi arbitrairement. Un tel observateur est dit

grand gain. Des extensions aux cas multi-sortie existent (Busawon, Farza et al. 1996; Farza, Busawon et al. 1998). Notons que cette structure triangulaire a aussi t exploite pour la synthse dobservateurs modes glissants (cf. (Barbot, Boukhobza et al. 1996; Boukhobza, Djemai et al. 2003; Floquet and Barbot 2007).


35

- Observateurs adaptatifs Les techniques prcdentes ncessitent la connaissance du modle du systme pour pouvoir

reconstruire ltat. Lorsque certains paramtres du modle sont inconnus, il est parfois

possible destimer simultanment leurs valeurs ainsi que ltat avec un observateur dit

adaptatif. Une solution simple consiste considrer un systme augment obtenu en ajoutant aux variables dtat les paramtres et dutiliser les techniques dobservation prcdentes. La

synthse dun observateur adaptif est aussi simplifie si le systme est mis sous une forme

adquate comme, par exemple, la forme observateur adaptatif propos dans (Besancon 2000) et (Landau and Besanon-Voda 2001).

Les techniques prsentes ci-dessus ncessitent la mise en forme du systme sous une

structure particulire. Lobjectif vis dans le cadre de cette thse est de dgager une mthodologie de dtection de lencrassement pouvant tre utilise pour diffrents types

dchangeurs de chaleur, voire mme des rseaux dchangeurs. La synthse dobservateurs

base sur la reprsentation de Takagi-Sugeno est applicable sans modification profonde du

systme. Elle semble donc particulirement intressante dans le cadre de notre projet. Cest pour ces raisons que nous allons traiter la section suivante la prsentation de cette mthode.

2.4 Observateurs de type Takagi-Sugeno

2.4.1 Gnralits sur les modles flous de type Takagi-Sugeno

La logique floue est extrmement utilise dans les domaines de l'automatique et de l'industrie.

En effet, elle peut tre applique dans diffrentes disciplines telles que la gestion de base de

donnes, le traitement du signal, la commande de systmes automatiques, etc. Mais elle

s'applique surtout dans le domaine suivant : la conception de rgulateurs pour des procds

difficilement modlisables ou des procds modlisables (voir par exemple (Guelton 2003; Mansouri 2005; Lendek 2009)). Un modle flou de type Takagi-Sugeno est une description dun systme sous la forme

suivante (Takagi and Sugeno 1985; Morre 2001; Tanaka and Wang 2001) :


36

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 et : Si est ... et est alors i i

i p p

i i

i

R z t F z t F

x t A x t B u ty t C x t= +

=

(2.13)

o ( ) 1( ) ( ) Tpz t z t z t = est le vecteur des prmisses, ipF sont les sous-ensembles flous du modle, les vecteurs x, u et y reprsentent les variables dtat, dentre et de sortie du

systme.

Chaque rgle iR est pondre par un poids ( )( )iw z t qui dpend des degrs dappartenance des ( )jz t aux ijF , nots ( )( )ij jF z t . Le connecteur "et" reliant les prmisses est choisi comme produit conduisant lexpression

( )( ) ( )( )1

, 1, 2,...,p

ii j j

jw z t F z t i r

=

= = (2.14) avec ( )( ), 0it w z t Les sorties finales des modles flous sont alors calcules comme suit :

( )( )( ) ( ) ( ){ }

( )( )( )( ) ( ) ( ){ }1

1

1

r

i i i ri

i i iri

ii

w z t A x t B u tx t h z t A x t B u t

w z t

=

=

=

+

= = +

(2.15)

( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )1

1

1

r

i i ri

i iri

ii

w z t C x ty t h z t C x t

w z t

=

=

=

= =

(2.16)

Avec ( )( ) ( )( )( )( )

1

ii r

ii

w z th z t

w z t=

=

qui vrifie la proprit de somme convexe suivante :

( )( ) ( )( )1

1 et 0 pour tout r

i ii

h z t h z t t=

= (2.17)

Ces modles peuvent tre obtenus de diffrentes faons : soit directement par identification

(cf. Takagi et Sugeno 1985, Gasso 2000), soit partir dun modle non linaire classique. Dans ce dernier cas, le modle Takagi-Sugeno peut tre obtenu par approximation des

quations du modle non linaire (par exemple, partir de linarisations du modle en diffrents points de fonctionnement approche multi-modle) ou au contraire dcrire


37

exactement le modle non linaire. Cest cette dernire approche que nous allons dvelopper

ci-dessous.

2.4.2 Construction d'un modle Takagi-Sugeno

Nous prsentons ci-dessous lapproche par secteurs non linaires propose par (Tanaka and Wang 2001) permettant de passer dun modle non linaire affine en la commande un modle Takagi-Sugeno.

- Cas d'une seule non-linarit

Nous allons voir un exemple de modle Takagi-Sugeno (Morre 2001) avec une seule non-linarit appele ici m

( ) ( )( ) ( ) ( )x t m x t x t u t= + (2.18) La non-linarit m est suppose borne sur un domaine D donn, nous noterons m son

minimum et m son maximum.

Posons :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 et 1m m xh x h x h xm m

= =

(2.19)

On peut remarquer que, par construction, ( )1h x et ( )2h x sont telles que :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

) 0 et 0, ) 1, )

i h x h x xii h x h x xiii m x h x m h x m

+ = = +

D

D (2.20)

Le systme (2.18) peut tre rcrit sous la forme :

( ) ( )( )21

i i ii

x t h x a x b u=

= + (2.21)

o 1 2 1 2, et 1a m a m b b= = = =

Nous avons deux fonctions linaires interconnectes par les fonctions non-linaires

ih . Ce

modle constitue une reprsentation exacte du modle initial dans le domaine D.

- Cas gnral

Considrons un modle non linaire :


38

( ) ( )( )

x A x x G x uy C x x

= +

=

(2.22)

avec ( ) ( ) ( ), ,n p mx t y t u t . Supposons que les matrices A(.) , G(.) et H( .) peuvent se dcomposer sous la forme

0 0 01 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q q q

i i i i i ii i i

A x A A z x G x G G z x C x C C z x= = =

= + = + = +

o les ( )iz x sont des fonctions de x valeurs relles reprsentant les non-linarits du modle. On suppose ces fonctions bornes dans un domaine D et on note iz et iz leur

maximum et minimum sur D. En utilisant les rsultats prcdents, il existe des fonctions

positives ( )ji iz pour { }1, ,i r , { }0,1j telles que :

0 1

0 1

( ) ( )( ) ( ) 1.

i i i i i i i

i i i i

z z z z z

z z

= +

+ = (2.23)

Soit k un nombre entier compris entre 1 et 2qr = , alors la dcomposition en binaire de 1k

peut scrire sous la forme : 11 2 12 2r

qk k k k

= + ++ (avec {0,1}ik ). Posons

1(( )) ikk i i

i qh zz

= .

On a alors ) 0(kh z , 2

11

q

kk

h=

= et 0 11 2 :

( ) ,q

i

j ji i k k k

k i k k jh

=

= + =

Dfinissons alors les matrices 01

((1 ,) )r

k i i i i ii

A A k z k z A=

= + + et de mme pour les matrices

kB , kC , il vient alors lcriture du systme sous la forme de Takagi-Sugeno :

2

1

2

1

( )( )

( )

q

q

k k kk

k kk

x h z A x B u

y h z C x

=

=

= +

=

(2.24)

Remarques :

Lorsque le modle non linaire initial possde q non-linarits, alors le modle de

Takagi-Sugeno possde 2qr = rgles.

La dcomposition du systme quasi-linaire (2.17) nest pas unique. Dans la mthode dcrite ci-dessus, les variables de prmisses ( )z t dpendent

uniquement de ltat. On peut considrer de la mme manire le cas o elles

dpendent aussi de lentre, de signaux exognes,


39

Pour simplifier lcriture du systme, nous introduisons la convention suivante :

la combinaison convexe ( )1

r

i ii

h z X=

sera note .zX Le modle de Takagi-Sugeno

(2.24) scrit alors sous la forme condense

z z

z

x A x B uy C x

= +

=

(2.25)

2.4.3 Les observateurs de type Takagi-Sugeno avec prmisses

mesurables

Une structure d'observateur de type Takagi-Sugeno (Tanaka and Wang 2001) pour un modle (2.24) est reprsent par le schma suivant :

En entre de l'observateur, nous avons la commande et la sortie du modle et en sortie

de l'observateur nous obtenons une estimation de l'tat.

Les observateurs basiques de type Takagi-Sugeno sont dfinis comme suit :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

1

1

r

i i i ii

r

i ii

x t h z t A x t B u t K y t y t

y t h z t C x t

=

=

= + +

=

(2.26)

o ( )x t reprsente le vecteur d'tat reconstruit et les iK sont les gains de l'observateur.

Pour assurer la convergence de lobservateur flou (2.26), on considre lerreur destimation du vecteur dtat donne par :

( ) ( ) ( )e t x t x t= (2.27)

u

y

x ( ) ( ) ( )

z z zx A x B u K y y= + +

Figure 2-2 : Schma dun observateur


40

Tenant compte du modle TS (2.24) et de lobservateur (2.26), la dynamique de lerreur destimation est donne par lquation suivante :

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 1

r r

i i i i i i ii i

e t h z t A x B u h z t A x t B u t K y t y t= =

= + + + (2.28)

et si on admet que z z= , (cas o z est mesurable), on peut simplifier l'expression prcdente :

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1

r r

i j i i ji j

e t h z t h z t A K C e t= =

= (2.29)

Le but est alors de dterminer les valeurs des gains iK permettant dassurer la

convergence vers zro de la dynamique de lerreur destimation.

Pour cela, considrons la fonction quadratique de Lyapunov candidate dfinie positive

( ) TV e e Pe= (2.30) Pour que e converge asymptotiquement vers 0, il nous suffit que sa drive soit dfinie

ngative ainsi que la matrice symtrique P .

( ) 0T TV e e Pe e Pe= +


41

sont vrifies alors l'quilibre 0e = de (2.29) est asymptotiquement stable. Si cet ensemble de LMI est ralisable, alors il est possible d'obtenir les valeurs des matrices

et iP N , et donc les gains matriciels iK de l'observateur par la relation : 1

i iK P N

= .

Remarques : Dans le cas o la fonction de sortie est linaire (cas o toutes les matrices iC sont gales une matrice C ) , alors les conditions (2.36) se rduisent aux r LMIs suivantes : { }0, 1,2, ,T T Ti i i iA P PA C N N C i r+ < (2.37) Nous pouvons aussi remarquer qu'en utilisant le systme tendu du modle de l'changeur

thermique (2.4) c'est--dire en utilisant le modle suivant :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

,1 , ,1 ,2 ,1 ,1 ,

,2 ,1 ,2 ,2 ,1 ,1 ,

,1 , ,1 ,2 ,1 ,1 ,

,2 ,1

1 ,2

2 ,

,2 ,2 ,1 ,1 ,

00

h h h in h c c h h in

h h h h h c h c in

c c c in c h c h c in

c

h

c c c c c h h in

h

c

c

h

c

T u T T c T T T T

T u T T c T T T T

T u T T c T T T T

T u T T c T

y T

T

y T

T T

= + +

= + + +

= + +

= + +

=

=

+

=

=

2

(2.38)

Ce modle non linaire fait intervenir des produits de variables non mesures.

Il n'est donc pas possible d'en dduire un modle flou prmisses mesurables.

2.4.4 Les observateurs de type Takagi-Sugeno avec prmisses non

mesurables

Nous venons de voir qu'il est facile de trouver un observateur convergeant lorsque les

prmisses sont mesurables. Diffrents auteurs ((Bergsten 2001), (Bergsten, Palm et al. 2001), (Ichalal, Marx et al. 2010), (Ichalal, Marx et al. 2008), (Guerra, Kruszewski et al. 2006), (Tseng, Chen et al. 2009), (Lendek, Lauber et al. 2010) ont travaill sur le problme de la synthse dun observateur TS lorsque les prmisses ne sont pas mesurables. Il est plus

complexe dassurer la convergence de l'observateur dans ce cas, des solutions ont t

proposes par Tanaka et ses collaborateurs ((Tanaka and Wang 1997), (Tanaka, Ikeda et al. 1998)) au prix dun conservatisme important. Pour trouver des conditions moins pessimistes,


42

il faut ajouter certaines conditions supplmentaires telles que des conditions de Lipschitz sur certaines des non-linarits.

Soit le modle TS suivant

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

1

1

r

i i iir

i ii

x t h A x t B u t

y t h C x t=

=

= +

=

(2.39)

Considrons un observateur de la forme

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

1

r

i i i iix t h z t A x t B u t K y t y t

y t Cx t=

= + +

=

(2.40)

Contrairement au cas des prmisses mesurables, la dynamique de l'erreur d'estimation n'est

plus simplifiable :

( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 1

r r

i i i i i i ii i

e t h z t A x B u h z t A x t B u t K y t y t= =

= + + + (2.41)

Dans (Bergsten 2001), les auteurs dcident de rcrire cette dynamique sous la forme :

( ) ( )( )( ) ( ) ( )1

, ,

r

i i ii

e t h z t A K C e t x x u=

= + + (2.42)

avec ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1

, ,

r

i i i ii

x x u h z t h z t A x B u=

= + .

On suppose que ( ), ,z z u vrifie sur le domaine considr la condition Lipschitz suivante : ( ) , ,x x u x x . En utilisant une fonction de Lyapunov quadratique, il est alors possible de trouver des gains

assurant la convergence de lobservateur sous rserve de lexistence de solutions vrifiant les

contraintes LMIs suivantes : il existe des matrices 0TP P= > , 0TQ Q= > et iN telles que les ingalits suivantes soient vraies.

{ }2

, 1, ,

0

T T Ti i i iA P PA C N N C Q i rQ P

P I

+ <

+


43

Une autre technique consiste voir le terme ( ), ,z z u comme une perturbation et les gains de lobservateur sont calculs partir de lapproche L2 permettant de rduire linfluence de ce

terme sur lerreur destimation. On assure alors, non plus la convergence vers 0 de lerreur

destimation, mais lexistence dune borne sur sa norme.

Les approches dveloppes ci-dessus ont t donnes dans le cas de modles nominaux, mais

il est possible sans modification majeure de prendre en compte des incertitudes paramtriques structures ou non, on peut, titre dexemple, consulter les rfrences ((Akhenak, Chadli et al. 2004; Chadli and Hajjaji 2006; Ichalal, Marx et al. 2008)).

2.4.5 Les observateurs entres inconnues

De nombreuses tudes ont t ralises ces dernires annes sur les observateurs entres

inconnues (Akhenak, Chadli et al. 2004; Marx, Koenig et al. 2007; Ichalal, Marx et al. 2008; Lendek, Lauber et al. 2010). Ces observateurs connaissent un succs certain du fait de leur application la dtection des dfauts (cf., dans le cadre linaire, (Maquin and Ragot 2000)). Deux types dapproches sont utiliss dans le cadre dune modlisation du systme sous forme

de Takagi-Sugeno. La premire suppose que lentre inconnue possde une structure

particulire, savoir, satisfait une quation dynamique autonome comme par exemple une

entre polynomiale ((Guelton, Delprat et al. 2008), (Lendek, Lauber et al. 2010)). Lide consiste alors dfinir un systme augment (systme non linaire + dynamique de lentre inconnue) et dutiliser les rsultats prsents ci-dessus pour la synthse de lobservateur. La deuxime approche tend aux cas des modles de Takagi-Sugeno la mthode de (Darouach, Zasadzinski et al. 1994) valable pour les systmes linaires stationnaires. Considrons un systme dcrit sous la forme suivante :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1

r

i i i ii

x t h z t A x t B u t E d t

y t Cx t Gd t=

= + +

= +

(2.44)

o ( )d t reprsente le vecteur des entres inconnues. La structure de lobservateur est choisie sous la forme suivante (on suppose les prmisses mesurables) :

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1( )

r

i i i ii

z t h z t N z G u L y

x t z t Hy t=

= + +

=


44

Si les relations suivantes sont vrifies :

0

i i i

i i

i i

i i i

P I HCHGN PA K CPB GPE K GL K N H

= +

=

=

=

=

=

(2.45)

alors, la dynamique de lerreur dobservation dtat est donne par :

1( ) ( ( )) ( )

r

i i

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