THEORIE DU BIPOTENTIEL

un fil conducteurpour la modélisation

des lois de comportement

Plan de l’exposé

Le bipotentiel

Mécanique du contact

Plasticité des sols

L’écrouissage non linéaire

LOI DE COMPORTEMENT

VARIABLES

PRIMALES

déformations, déplacements, vitesses, incréments,...

x

DUALES

contraintes, forces,...

y

PRODUITSCALAIRE .x ytravail, puissance,...

LOI DE COMPORTEMENT

, . .loi x y VRAI

Loi de normalité univoque :POTENTIEL

Loi de normalité multivoque :SURPOTENTIEL

Loi non associée :BIPOTENTIEL

COUPLE EXTREMAL (x, y)

*( ) ( ) .x y x y

*( )x y loi inverse

( )y x

loi de comportement

loi de normalité multivoqueou de sous-normalité

INEGALITE DE FENCHEL

*( , ) ( ) ( ) .x y x y x y

( )x x convexe

SURPOTENTIEL

MATERIAUX STANDARDS

Matériaux admettantun surpotentiel

Bonnes propriétés dela loi de normalité

Calcul des Variations:existence de fonctionnelles

Analyse limite:théorèmes de bornes

Calcul pas-à-pas:la matrice de rigidité tangenteest symétrique et définie-positive

Contraintehydrostatique

contrainte déviatorique

K

p

surface d’écoulement

PLASTICITE NON ASSOCIEE

FORMULATION DU BIPOTENTIEL:

une fonction de deux variables

LA FORMULATION CLASSIQUE:

)(ffonction de charge:

potentiel plastique (Melan): tel que :)(g )(

gp

deux fonctions d’une variable

0)( f

teCg )(

bBIPOTENTIEL

b BI-CONVEXE

( , ) ( , ) .x y b x y x y

INEGALITEFONDAMENTALE

( , ) ( , )x y b x y

COUPLE EXTREMAL (x, y)

b x y x y( , ) .

x b x yy ( , )Loi inverse

LOI DE SOUS-NORMALITE IMPLICITE

y b x yx ( , )

Loi de comportement

MATERIAU STANDARD

Le bipotentielest séparable

*( , ) ( ) ( )b x y x y

MATERIAU STANDARD IMPLICITE

matériau admettantun bipotentiel

Le bipotentiel

Mécanique du contact

CONTACT UNILATERALA FROTTEMENT SEC

DE COULOMB

rn

un

non contact

contact

0 0

0 0

0 0 0

/

n n

n t n

n t n n

t t t

r u

r r r u

r r r u

tel que u r r

si alors

sinon si et alors

sinonsi et alors et

rt

ut

glissement

adhérence

u

nr pression de contact

tr

force de frottement

n’admet pas de surpotentiel ...

... mais admet un bipotentiel

loi de glissementnon associée

LA LOI DE CONTACT UNILATERALAVEC FROTTEMENT SEC

DE COULOMB

BIPOTENTIEL DE CONTACT bc

0( , ) n t n

c

r u si r K et ub u r

autrement

permet de représenter laloi complète de contactde manière compacte

( , )u b u rr c

r b u ru c ( , )

nr pression de contact

tr force de frottement

r réaction de contact

cône de frottementde Coulomb

K

rn

SCHEMA PREDICTEUR/CORRECTEUR PARPROJECTION SUR LE CONE DE COULOMB

r proj r u u n Kt ,technique

du Lagrangienaugmenté

Predicteur

Correcteur

r u u nt

r proj K ,

K*

nr pression de contact

t

force de frottement

r

r

rglissement

adhérence

non contact

K

cône dual

Absorbeur de chocDe Saxcé & Feng (1998)

polyurethane

rigide

rigide

polyurethane

Problèmes quasi-statique

31400 mkg

mmd 4

3.0

Estimateur de l’erreur en loi de comportement

),(

.),(

rub

rurub

c

c

De Saxcé & J. Fortin (2000)

Compaction isotrope (2470 particules)

Vidange d’un silo (1600 particules)

Vidange d’un silo (1580 particules)