GTheme : Construire et valider un modele de

comportementTP/PSIE

• materiel mise en oeuvre : MAXPID ;• logiciel mise en oeuvre : EMP/IMH, Python, Scilab/Xcos ;• objectifs principaux du TP :

- construire et renseigner un modele causal de la commande asservieen position du bras ;

- modeliser le comportement dynamique du moteur electrique MCC,

- identifier experimentalement le couple de frottement sec et visqueuxainsi que l’inertie equivalente ramenee sur l’axe moteur ;

- identifier et justifier les ecarts entre resultats experimentaux etresultats numeriques.

Presentation du systeme etudie

La chaıne fonctionnelle MaxPid represente la motorisation du deplacement angulaire d’un axe de robot.Ce mouvement est obtenu a l’aide d’un moteur a courant continu qui entraıne en rotation une vis de

pas (en mm). Cette derniere est en liaison avec le bras par l’intermediaire d’une noix (ecrou). Une rotationde la vis ✓m provoque ainsi une rotation ✓ du bras par rapport au bati (0). On notera que le bras (3)supporte une charge (composee de 2 masses additionnelles mad = 0, 650 kg que l’on considerera commeponctuelle.

B La presentation du contexte de d’utilisation du bras Maxpid est disponible dans l’Environnement Mul-timedia Pedagogique EMP, rubrique ⌧ LE CONTEXTE �.B La presentation des di↵erents composants du bras Maxpid est disponible dans l’Environnement Mul-timedia Pedagogique EMP, rubrique ⌧ LES CONSTITUANTS �.

interruptionmesure

Figure 1 – vue generale du bras Maxpid en position verticale

1

ACTIVITE N�1 proceder a un essai experimental representatif

Question 1 : Proceder a un essai dans les conditions suivantes :• lancer le logiciel d’interface du Maxpid [IHM Mapxid] (icone bureau/IHM 306) puis dans lafenetre principle ⌧ MENU �, selectionner l’interrupteur ⌧ Connexion � puis sur [Etablir connexion].(on doit obtenir la fenetre principale donnee dans le document-ressource). Selectionner ensuite[Asservissement] et (re)placer la chaıne MaxPID en position verticale (si elle ne l’est pas deja) ;

• installer (si ce n’est pas deja le cas) 2 masses additionnelles en bout de bras (B ! !) ;

• cliquer alors sur l’icone et regler le correcteur PID ainsi : Kp = 200, Ki = Kd = 0 ;

• cliquer ensuite sur l’icone [Sollicitations et Acquisitions] puis sur . La fenetre suivantes’ouvre :

• regler la position souhaitee (ici 45�) puis cliquer sur [Echelon de position]. Tracer l’evolutiontemporelle de l’angle du bras ✓(t) par rapport au bati, de la vitesse moteur !m ainsi que du courantmoteur im. Sur la reponse temporelle ✓ = f(t), identifier la valeur initiale, finale la presence d’undepassement...). Le systeme est-il precis ?

Question 2 : Reprendre le meme essai placant delicatement le MaxPid en position horizontale (cada plat) (B si besoin faire appel a l’examinateur). Retracer la courbe ✓ = fct(t). Relever les pointscaracteristiques. Comparer les resultats des 2 essais en particulier pour le critere de precision en regimestationnaire. Quelle justification pouvez-vous donner ?

Question 3 :

a) decrire la chaıne fonctionnelle du bras MaxPid. Formaliser cette structure a l’aide d’un schemafonctionnel (chaıne d’energie et chaıne d’information par exemple). Preciser les flux transitantsentre les di↵erents blocs ;

b) identifier le type de capteur utilise pour mesurer la rotation du bras (3) par rapport au bati (0) ?Est-ce un capteur absolu ou relatif ? Ou se situe-t-il ? Est-ce le seul capteur present sur ce systeme ?

c) calculer la resolution (en pts/�) du capteur. La commande du MaxPid etant de type numerique, ilexiste un Convertisseur Analogique-Numerique 12 bits permettant d’obtenir un nombre entier ucrepresentant l’image de la tension analogique issue du potentiometre. Ce qui donne le schema deprincipe suivant :

potentiometrerotatif

✓ (en �)CAN

uc (en pts)

B La documentation constructeur du potentiometre rotatif est fournie sur le document-ressource(B Ve = 5 V ).

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En document-ressource est fourni un modele 2D du systeme de transformation de mouvement ainsiqu’un trace de la relation geometrique ✓ = f(x) (figure 6).

Question 4 :

a) ecrire un script python qui trace la relation geometrique ✓ = f(✓m) avec les 2 angles ✓ et ✓mexprimes en �. Pour cela, on utilisera le schema de principe suivant et le document-ressource fourni(parametrage figure 4 et principe de fermeture geometrique) :

systemevis-ecrou

✓m (en �)Mecanisme

x(m) ✓ (en �)

b) si on suppose que la loi de comportement lineaire associee au systeme mecanique de transformationde mouvement s’exprime comme : ✓(t) = Kcin✓m(t), donner une valeur possible a Kcin sous laforme d’une fraction : Kcin = 1/a (a 2 N). Justifier vos hypotheses ;

c) proposer et mettre en place une methode experimentale permettant de verifier la valeur de Kcin.

‡ Fin de l’activite, merci de preparer l’intervention oraleLa synthese associee a cette activite ne devra pas depasser 5 minutes

ACTIVITE N�2 modele de connaissance du moteur a courant continu

Le bras Maxpid est motorise grace a un moteur a courant continu dont le comportement dynamiqueest regi par les equations suivantes :

(1) um(t) = e(t) +Ri(t) + Ldi(t)

dtloi des mailles dans l’induit

(2) e(t) = Ke!m(t)lois de comportement

(3) Cm(t) = Kci(t)

(4) Jeqd!m(t)

dt= Cm(t)� Cfs � f!m(t)

Equation issue de l’applicationdu TMD selon axe rotation

B dans cette phase d’experimentation, le robot Maxpid supposee etre place horizontalement. On neprend donc pas en compte de couple exterieur lie aux e↵ets de la gravite sur les solides en mouvement.

Question 5 :

a) sur votre feuille, construire le schema-bloc du moteur a courant continu avec la tension moteurUm(p) en entree, le couple de frottement sec Cfs en perturbation et la frequence de rotation⌦m(p) en sortie ;

b) determiner alors l’expression de ⌦m(p) sous la forme ⌦m(p) = H1(p)Um(p)+H2(p)Cfs(p). Definirles gains statiques de H1(p) et H2(p). Preciser les unites ;

c) montrer qu’en regime stationnaire et pour une tension d’entree de type echelon de poids um0 onobtient la relation lineaire suivante : !m(1) = aum0 + b. Donner les expressions de a et b enfonction de R, Kc, Ke, f et Cfs.

Afin de determiner experimentalement le coe�cient de dissipation visqueuse f et le couple de frottementsec Cfs, on procede a un essai en ⌧ boucle ouverte �. Pour ce faire, on se referera au document ressourcequi decrit la procedure. B respecter scrupuleusement cette procedure !

Question 6 : Apres avoir lu attentivement le document ressource page 9 ⌧ Essai en boucle ouverte � :

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a) pour les 5 valeurs discretes de Kp (tableau ci-dessous), mener une etude experimentale afind’evaluer le courant i(1) et la vitesse de rotation moteur !m(1). B Les valeurs de la tensionum0 (en V) seront calculees a partir des donnees figurant sur la figure 7.

Kp um0 (en V) i(1) (en A) !m(1) (en rad/s)255 21,120015010050

b) tracer sous python l’ensemble des points experimentaux obtenus (um0 en abscisse, !m(1) enordonnee) ;

c) interpoler lineairement les points experimentaux (on pourra si on le souhaite, utiliser la fonctionpolyfit du module numpy). En deduire les coe�cients f et couple de frottement sec Cfs.

On cherche a present a determiner la valeur de l’inertie equivalente ramenee sur l’axe moteur notee Jeqdans l’equation (4).

Question 7 : Montrer, en precisant les hypotheses faites, que l’inertie equivalente Jeq ramenee surl’arbre moteur de l’ensemble mobile s’ecrit sous la forme :

Jeq = Jr + Jv +K2cin [Jb + Jm]

avec :• Jr : moment d’inertie axial du rotor moteur (donne sur la documentation constructeur) ;• Jv : moment d’inertie axial de la vis (modelisee par un cylindre plein en acier de masse volumique⇢ = 7600 kg.m3, de longueur 195 mm et d’un diametre moyen de 11 mm) ;

• Jb : moment d’inertie de l’ensemble constitue du {bras + ecrou} autour de l’axe de rotation (A, ~z0)du bras (3) par rapport au bati (0) dont on estime la valeur a 0, 022 kg.m2 ;

• Jm : moment d’inertie des n masses additionnelles (m = 0, 65 kg) autour de l’axe (A, ~z0).

Question 8 :

a) montrer alors que l’inertie equivalente suit la relation lineaire suivante en fonction du nombre n demasses additionnelles placees en bout de bras, soit : Jeq = A+B ⇤ n ;

b) determiner les 2 valeurs des constantes A et B en kg.m2.

On souhaite valider experimentalement la valeur de l’inertie equivalente Jeq determinee precedemment.Le bras MaxPid est toujours en position horizontale, 2 masses sont installees en bout du bras.

Question 9 :

a) en negligeant l’inductance L dans le modele du moteur a courant continu, montrer que la fonctionde transfert H1(p) est du 1er ordre, de constante de temps notee T ;

b) montrer alors que mesurer T permet d’evaluer Jeq ;

c) mener une etude experimentale en ⌧ boucle ouverte � permettant de determiner la valeur de Tpour 2 masses montees sur le bras a l’horizontale avec une tension de commande en BO de 21,1V ;

d) en deduire une valeur de Jeq et la comparer avec celle determinee a la question 8. Justifier lesecarts.

‡ Fin de l’activite, merci de preparer l’intervention oraleLa synthese associee a cette activite ne devra pas depasser 5 minutes

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ACTIVITE N�3 modele de connaissance de l’axe asservi en position

La commande asservie en position (pour Maxpid en position horizontale) est modelise pour Scilab/Xcos.

Un fichier, partiellement renseigne, est a votre disposition. Demarrer l’application Scilab 5.5.2 (icone surle bureau) puis lancer l’utilitaire Xcos en tapant dans la console --> xcos puis return.

Quelque soit les resultats trouves precedemment, on adoptera pour la suite :

Cfs = 0, 04 N.m, f = 10

�4 N.m.s/rad,A ' 1.1.10�5 kg.m2, B ' 4, 7.10�6 kg.m2

Dans un premier temps, ouvrir le fichier maxpid eleve.xcos a partir du menu de l’applicatif Xcos. BLe modele numerique n’est que partiellement renseigne. On est sense obtenir :

Figure 2 – modele de la commande asservie en position du bras Maxpid

La simulation numerique s’obtient en cliquant sur l’icone . dans la barre de tache. Les evolutionstemporelles (vitesse, courant et tension moteur) s’a�chent alors automatiquement.

Question 10 :

a) en utilisant la document constructeur pour le moteur a courant continu, lire les valeurs desconstantes R, L, Kc et Ke. Completer le modele Scilab/Xcos (modifier le contexte, bouton droitsur la fenetre graphique) ;

b) renseigner le modele numerique avec les valeurs de f et Cfs determiner precedemment ;

c) renseigner le modele numerique avec les valeurs de Jeq ;

d) proceder a une simulation numerique (regler les valeurs numeriques du correcteur PID avec Kp =

255, Ki = 0, Kd = 0) pour n = 0, 1, 2 (nombre de masses).

Question 11 : Comparer alors les resultats numeriques obtenus avec un essai experimental realisedans les memes conditions en particulier la valeur de l’erreur en regime stationnaire ainsi l’apparition d’undepassement.

Le modele numerique ainsi construit n’est valable que pour le bras MaxPid en position horizontale. Oncherche a a�ner le modele numerique si le bras MaxPid se trouve en position verticale.

Question 12 : Proposer une modification du modele numerique lorsque le bras MaxPid se trouve enposition verticale. Pour cela :

a) indiquer quelle equation doit etre modifiee et preciser cette modification ;

b) construire sur votre feuille la modification a apporter au modele numerique afin de tenir comptede la nouvelle orientation du bras dans le champ de gravite ;

c) en utilisant les donnees numeriques fournies ci-dessous, modifier alors le modele numerique (Benregistrer sous ce fichier votrenom.xcos).

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Un logiciel de CAO fournit les renseignementsnecessaires a partir de la maquette numeriqueassociee : la masse, le volume et la position ducentre de gravite G de l’ensemble complet :

masse (en g) 2505

volume (en mm3) 418806

centre de masse(en mm)

��!OG. ~X = 156

Question 13 : Une fois le modele entierement renseigne, proceder a une simulation puis comparer lesresultats obtenus avec un essai experimental realise dans les memes conditions. Examiner en particulier lavaleur de l’erreur en regime stationnaire ainsi l’apparition d’un depassement. Conclure sur la pertinence dumodele numerique construit.

‡ Fin de l’activite, merci de preparer l’intervention oraleLa synthese associee a cette activite ne devra pas depasser 5 minutes

ACTIVITE N�4 synthese

Un des objectifs de l’activite de Travaux Pratiques est de quantifier les ecarts qui existent necessairemententre les performances du ”systeme souhaite”, du ”systeme reel (celui present dans le laboratoire”) etdu ”systeme simule” (celui du modele comportemental que vous venez de construire). Ces ecarts sematerialisent sur la figure ci-dessous.

Figure 3 – definitions des ecarts en TP/S2i

Question 14 : Critiquer les di↵erents resultats obtenus grace aux di↵erents modeles de connaissanceet/ou de comportement en les confrontant aux resultats obtenus par mesure experimentale. Identifier lesdi↵erences et les quantifier si possible.

Question 15 : E↵ectuer une synthese de l’ensemble des travaux realises pendant cette seance. Presenterles points essentiels, les principaux resultats et les ameliorations qui pourraient etre apportees.

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Document ressource / MaxPID

Definition des icones des fonctions de l’interface IHM/MaxPID-V2 :

Apres avoir etabli la communication avec le MaxPID ([Connexion]) et active ([Asservissement]), lafenetre principale de type IHM (Interface Homme Machine) o↵re a l’utilisateur le choix entre plusieursobjets repartis dans di↵erentes zones :

Etalonner capteur

Couple statique

Schema cinematique

Sollicitations et Acquisitions

Parametrer Axe et PID

Contexte PLANECOConstituants MaxPID

Essai possible Structure commande Type d’entree a renseigner

Boucle fermee BF

Avec asservissement (prise encompte du retour capteur, etde la correction apportee par

l’unite de commande)

Consigne de position angulairedu bras

Boucle ouverte BOSans asservissement (pas de

retour capteur envoye a l’unitede commande)

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Document ressource / MaxPID

Schema cinematique 2D :

~x0

~y0

O

✓(t)

~x3

~x2

~x0

↵(t)

(0)

(3)

(2)

(1)

A

B

C

Figure 4 – schema cinematique 2D

Denomination des di↵erents solides :(0) : bati, (1) : vis-rotor, (2) : noix,(3) : bras

On donne :�!OA = a~x0 avec a = 69, 5 mm��!OB = b~y0 avec b = 81 mm�!AC = R~x3 avec R = 82 mm��!BC(t) = x(t)~x2

La fermeture geometrique donnef(↵, ✓) = 0, soit :

tan↵ =

R sin ✓ � b

R cos ✓ + a

De plus : x(t) =pas

2⇡✓m(t),

pas = 4 mm (a droite)

Figure 5 – evolution ↵ = fct(✓)

tan↵ =

R sin ✓ � b

R cos ✓ + a

Figure 6 – evolution ✓ = fct(x)

x =

p(a+R cos ✓)2 + (R sin ✓ � b)2

Correcteur PID du Maxpid :

L’interface de pilotage du bras Maxpid permet de modifier 4 coe�cients definissant le correcteur .La fonction de transfert du correcteur prend la forme :

C(p) =Kcd

255

Kp +

Ki

4

1

p+ 16Kdp

�

avec :• coe�cient de l’action Proportionnelle de l’asservissement (gain du PID) Kp defini entre 0 et 255 ;• coe�cient de l’action Integrale de l’asservissement (gain du PID) Ki defini entre 0 et 255 ;• coe�cient de l’action Derivee de l’asservissement (gain du PID) Kd defini entre 0 et 255 ;• un ⌧ facteur de commande � : coe�cient amplificateur de l’ensemble de la commande, permet deregler la commande en fonction de la chaıne fonctionnelle. Kcd est defini entre 0 et 5.

8

Document ressource / MaxPID

Procedure d’essai en ⌧ BO � :

En boucle ouverte, il est simple d’obtenir un echelon de tension sur le bras MaxPid. Pour cela, ilsu�t de lancer une experimentation en boucle fermee et d’appuyer sur le bouton noir en facade pour quel’information delivree par le capteur angulaire place sur le bras soit figee. En consequence la boucle deretour est inoperante et la commande devient du type ⌧ boucle ouverte �. La tension um aux bornes dumoteur est alors maintenue constante tout au long de l’essai, egale a la tension qu’il recevait lors de l’appuisur le bouton.

Mais attention, il faut relacher le bouton avant que le bras n’arrive en butee (haute ou basse)au risque de deteriorer le systeme.

En boucle ouverte, on obtient alors le schema-bloc suivant :

Figure 7 – modele de la commande en boucle ouverte du bras Maxpid

Pour e↵ectuer un essai ⌧ en boucle ouverte �, proceder ainsi :

1. poser delicatement le systeme MaxPid a plat et installer 2 masses additionnelles en bout de bras ;

2. placer le bras a une position angulaire initiale d’environ 30

� ;

3. selectionner l’icone [Sollicitations et Acquisitions] ;

4. regler d’abord le correcteur avec les valeurs suivantes :Kp = [50, . . . , 255] (valeur de Kp variablepar pas de 50, cf tableau Q6b), Ki = Kd = 0, Fcd = 3 (gain commande) ;

5. selectionner ensuite l’icone ;

6. regler alors la [Duree d’acquisition de la mesure] a 500 ms, le [Plan d’evolution ] sur Horizontalet le [nombre de Masses] sur 2 (si vous avez bien installe 2 masses en bout de bras) ;

7. selectionner les variables tracees : [Consigne], [Courant Moteur], [Position] et [Vit. Moteur (tachy)] ;

8. choisir un [Echelon] de 2

� ;

9. envoyer l’echelon de position et simultanement, appuyer sur le bouton poussoir [INTERRUPTIONMESURE] durant le temps de l’acquisition, c’est a dire moins d’une seconde ;

10. avant de modifier la valeur de Kp, et d’e↵ecter un nouvel essai, replacer le bras en position initiale.

B en boucle ouverte, l’information delivree par le capteur est figee. Il faut veiller a RELACHER le boutonpoussoir AVANT que le bras n’atteigne sa butee au risque d’endommager le systeme.

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Document ressource / MaxPID

Moteur a courant continu RE035G (B tension d’alimentation : 24 V)

Les produits associés :> AlimentationDR-120-24DR-60-24S-100-24S-60-24> CodeurHEDL 5540HEDS 5540> ConnectiqueEPOS KIT POUR MOTEUREPOS KIT START DC

> Frein02-15-620> Génératrice2822> RéducteurPLG42SPLG52> Selfs-MoteurSELF MOTEUR

> Cartes électroniquesEPOS PEPOS2ADS 50/5FIRST DC 1Q 60/10FIRST DC 4Q 50/5NANO DC 1Q 30/3

Les avantages :Moteur d'asservissement idéal pourfonctionner en start/stop et inversion desens de rotation - Faible consommationFaible bruit - Rapportpuissance/encombrement exceptionnel

Moteur courant continuRE035G

maxon motor 41 W - 97 WCommutation GraphiteNombre de lames au collecteur 13Paliers Roulements à billesAimants Néodym Fer BoreCharge axiale maximum (dynamique) 5.6 NJeu axial minimum 0.05 mmJeu axial maximum 0.15 mmCharge radiale maximum 28 Nà une distance de la face de : 5 mmJeu radial 0.025 mmForce de chassage maximum (statique) 110 NSi axe arrière tenu 1200 NTempérature ambiante mini de -20 °CTempérature ambiante maxi de 100 °CTempérature max. rotor 155 °CPoids 340 g

Tension d'alimentation (Ua) V 12 24Vitesse au courant In tr/mn 5565 3493Couple au courant In mNm 77.70 113.00Courant max permanent (In) mA 4000 2150Vitesse à vide à Ua à +/- 10% tr/mn 6222 4303Courant à vide à +/- 50% mA 245 93Couple de démarrage à Ua mNm 698.00 611.00Courant de démarrage à Ua mA 35920 11600Constante de couple mNm/A 19.40 52.50Constante de vitesse tr/mn/V 491 182Pente vitesse/couple tr/mn/mN 8 7Vitesse limite tr/mn 8200 8200Puissance utile max. à Ua W 114 68.9Rendement maximum % 81 86Constante de temps ms 6 5Inertie gcm² 65.5 69.6Résistance aux bornes Ohm 0.334 2.07Inductivité mH 0.09 0.62Résistance thermique K/W 6.2 6.2Résistance thermique Rotor/Boîtier K/W 2 2

Version du 05/04/2013

Editi

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Document ressource / MaxPID

Capteur angulaire de deplacement :

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