Teste d'homogeniete

Contrôle et critique des donnéesHydrologie urbain Assainissement

Le shéma suivant présente les différentes étapes de la chaîne d'acquisition et de traitement des données :

Les données sont homogènes - Une série de données est réputée non homogène lorsque: elle provient de la mesure d'un phénomène dont les

caractéristiques évoluent durant la période de mesure; le phénomène est alors dit non-stationnaire (par exemple: variations climatiques, variations du régime des débits dues à une déforestation ou un reboisement). Il est également possible d'observer des signes d'une non stationnarité apparente lorsque l'électronique intégrée à l'équipement de mesure présente une dérive temporelle ou lors du changement de l'observateur.

elle reflète deux ou plusieurs phénomènes différents. Le régime d'une rivière à l'aval de la confluence de deux sous bassins dont le comportement hydrologique est très contrasté constitue un bon exemple de ce défaut d'homogénéité.


le test de Wilcoxon et le test de de Mann-Whitney

non-paramétriquesPour cela on les appel des tests :


1-Test de Wilcoxon

Nous formons le tableau suivant pour faciliter les calculs. On commence par diviser notre série pluviométrique en deux échantillons de longueurs respectives N1 = 10 valeurs et N2 = 14 valeurs (N = N1 + N2 = 10 + 14 = 24). Dans la première colonne on porte les dates des mesures de pluie, dans la seconde colonne on porte les données brutes, dans la troisième colonne on porte le premier échantillon X, dans la quatrième colonne on porte le deuxième échantillon Y, dans la cinquième et la sixième colonnes on porte respectivement les rangs et les valeurs classées de la série originale, dans la septième colonne l’origine de la valeur de la série, c’est à dire on note si elle provient de l’échantillon X ou de l’échantillon Y et dans la huitième colonne on inscrit le rang de la valeur qui provient de la série X.


On calcule ensuite les valeurs de :

- Wx = ΣRang x- des deux bornes Wmax et Wmin, données par les formules suivantes:

12

)1(

2

1)1( 21212/1

121min

NNNNU

NNNW

min121max )1( WNNNW

représente la valeur de la variable centrée réduite de la loi normale correspondant à 1- α/ 2 (au seuil de 95 %, nous avons =1,96).

2/1 U

2/1 z

On vérifie l’inégalité:

on conclue que notre série est homogène


2- Test de Man-Whitney

on divise notre échantillon en deux sous-ensembles de tailles respectives N1 et N2 avec: N1 < N2.x1, x2, ........................... xi...................................xN1

y1, y2, ............................ yi...................................xN2

La taille de l'échantillon original est N = N1+ N2.On classe ensuite nos valeurs par ordre croissant de 1 à N et l'on note les rangs R(xi) des éléments du premier sous-ensemble et R(yi) ceux des éléments du second sous-ensemble dans l'échantillon original.

On définit K et S comme suit:𝐾 = 𝐿 −𝑁1×(𝑁1+1)

2et 𝑆 = 𝑁1 × 𝑁2 − 𝐾 ;

avec ; 𝐿 c'est à dire la somme des rangs des éléments de l'échantillon 1 dans l'échantillon original.


K est la somme des nombres de dépassements de chaque élément du second échantillon par ceux du premier échantillon.

S est la somme des nombres de dépassements des éléments du premier sous-ensemble (ou échantillon) par ceux du second.On montre que lorsque N > 20, N1 > 3 et N2 > 3; K et S sont distribués selon une loi normale ayant :

- une moyenne égale à: 𝐾 = 𝑆 =𝑁1×𝑁2

2

- et un écart-type égal à: 𝑆𝑘= 𝑆𝑠 =𝑁1×𝑁2

12× (𝑁1 + 𝑁2 + 1)

On peut alors tester l’hypothèse H0 que les deux sous-ensembles proviennent de la même population, au niveau de signification α, en comparant la grandeur:


avec la variable normale centrée réduite ayant une probabilité de dépassement α /2. Si T < z1-α/2 on accepte H0

On forme le tableau suivant pour faciliter la compréhension :La colonne 1 donne les années.La colonne 2 donne les pluies dans l’ordre où elles ont été relevées.La colonne 3 indique les pluies triées par ordre croissant.La colonne 4 donne rangs des données triées.La colonne 5 donne les N1 valeurs de l'échantillon 1la somme des éléments de cette colonne est égale à LLa colonne 6 indique le rang de chaque valeur du sous-ensemble 1 dans l'échantillon original de N valeurs classées.La colonne 7 donne les N2 valeurs de l'échantillon 2.La colonne 8 donne le rang de chaque valeur du sous-ensemble 2dans l'échantillon original de N valeurs classées.


La colonne 9 indique les valeurs du sous-ensemble 1 triées.La colonne 10 donne le nombre de fois que chaque élément du sous ensemble 1 est dépassé par les éléments du sous-ensemble 2, la somme des éléments de cette colonne est égale à S .La colonne 11 donne les valeurs du sous-ensemble 2 triées.La colonne 12, enfin, donne le nombre de fois que chaque élément du sous-ensemble 2 est dépassé par les éléments du sous-ensemble 1, la somme des valeurs de cette colonne est égale à K .

On trouve : L , K et S ; les équations et le tableau donnent respectivement les mêmes valeurs pour K et L.


𝐾 = 𝑆 =𝑁1×𝑁2

2et 𝑆𝑘 = 𝑆𝑠 =

𝑁1×𝑁2

12× 𝑁1 +𝑁2 + 1 et 𝑇 =

𝐾− 𝐾

𝑠𝑘

Pour = 95 % on a =1,96 > T Ce qui veut dire qu’on peut accepter l’hypothèse H0 que les deux sous-ensembles proviennent de la même population et que notre série pluviométrique est homogène.


Exemple

** Vérifier l’homogénéité de la série des pluies annuelles de la station pluviométrique de l’Oued FODDA (série précédente) pour un risque de 5% en utilisant : le test de Wilcoxon,le test de Mann-Whitney


Méthode des doubles cumuls

Elle permet de détecter la non-homogénéité d'une série de mesures et de la corriger. La méthode consiste à comparer les pluies (ou toute autre variable) cumulées d'une station B, à propos de laquelle on éprouve des doutes quant à son homogénéité, avec les pluies cumulées d'une station A dont les mesures sont jugées homogènes.


Application de la méthode à la série P1 : On commence donc par établir le tableau ci-dessous: Dans les trois premières colonnes on porte respectivement les années et les précipitations mesurées aux stations A et B. Dans les quatrième et cinquième colonnes on calcule les cumuls respectifs des pluies aux stations A et B. Ensuite on porte ces valeurs sur du papier millimétré, avec les valeurs de A enabscisses et les valeurs de B en ordonnées


On voit sur le graphique que les points s’alignent sur un seul segment de droite, ce qui est interprété comme quoi la série B (P1) est homogène.


Application de la méthode à la série P2 : On commence donc par établir le tableau ci-dessous: Dans les trois premières colonnes on porte respectivement les années et les précipitations mesurées aux stations A et C. Dans les quatrième et cinquième colonnes on calcule les cumuls respectifs des pluies aux stations A et C. Ensuite on porte ces valeurs sur du papier millimétré, avec les valeurs de A en abscisses et les valeurs de C en ordonnées.



On voit sur le graphique que les points s’alignent sur deux segments de droite différents, c’est-à-dire qu’il y a une cassure sur la droite au cours de l’année 1979. On suppose que le déplacement (ou autre cause d'erreur) s'est produit en 1979. Les données mesurées après 1979 sont jugées bonnes et on ne doit corriger que les données précédentes (1979 à 1971).


La décision de corriger ou non les données de l’année1979 est prise après une connaissance détaillée des circonstances de “ l’accident ” au cours de cette année.On calcule les pentes m1 du segment de droite qui contient les données de 1990 à 1979 ( D1) , et m2 du segment de droite qui contient les données de 1979 à 1971 (D2).


On calcule le rapport des pentes m2/m1 avec

lequel on va multiplier les données des années

1979 à 1971 pour les corriger.

𝑚1 =22 109 − 12 078

21 428 − 12 522=10 031

8 906= 1,1263

𝑚2 =12 078 − 764

12 522 − 806=11314

11716= 0,9657

𝑚2

𝑚1=0.9657

1,1263= 0,765

On porte ces valeurs sur la dernière colonne du tableau.Une fois ces données corrigées, on refait l’opération.


L’on voit que les points s’alignent sur une droite sans cassure; notre série a donc été rendue homogène. Si l’on constate une autre cassure, on recommence l’opération.

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