Test de mathématique niveau cégep
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Page 1/ 1 Fiche de révisions Term S Exercice 1 ◮1. Déterminer graphiquement les nombres dérivés de la fonction f en x = −4 x = −1 x = 2. ◮2. On considère le tableau de valeurs suivant : x −4 −1 2 4 g (x) 0 1 4 4 g ′ (x) 3 −1 1 4 0 a) Dans un nouveau repère, placer les points de la courbe C g ainsi connus. b) Tracer les tangentes à C g en ces points. c) Donner une allure possible de la courbe C g . Exercice 2 ◮1. Soit E = x 3 − 3x 2 − 13x + 15 a) Vérifier que −3 est une racine de E. b) Factoriser E. ◮2. Soit F = 21x 3 − 4x 2 − 47x + 30 a) Vérifier si F possède une racine évidente. b) Factoriser F . Exercice 3 ◮1. Étudier le signe du polynôme P = x 2 +6x + 5 sur I = [0 ; 5]. ◮2. Étudier le signe du polynôme P = x 2 +3x − 4 sur I =[−5 ; 5]. ◮3. Étudier le signe du polynôme P = x 2 +7x + 2 sur I = R. Exercice 4 ◮1. On considère la fonction k définie sur I =[−1 ; 10] par k(t)= 3t +4 5t +8 . a) Justifier que k est définie et dérivable sur I . b) Déterminer k ′ (t) pour tout t ∈ [−1 ; 10]. c) En déduire le sens de variations de k sur I . ◮2. Étudier le sens de variations de h définie par h(x)=2x 3 + 21x 2 − 6 sur [−10 ; 10]. Exercice 5 ◮1. Étudier le sens de variations de h définie par h(x)=3x 3 + 63 2 x 2 + 108x + 8 sur R. ◮2. On considère la fonction f définie par f (x)= −x +7 x +3 . a) Déterminer l’ensemble de définition D f de f . b) Déterminer f ′ (x) pour tout x ∈D ′ f . c) Déterminer les limites de f aux bornes de D f . d) Dresser le tableau de variations de f sur D f . Année 2014/2015 http://www.pyromaths.org
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Incluant le cours de calcul différentiel
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Exercice 1
1. Dterminer graphiquement les nombres drivs de lafonction f en x = 4 x = 1 x = 2.
2. On considre le tableau de valeurs suivant :
x 4 1 2 4
g (x) 0 1 4 4
g (x) 3 1 14
0
a) Dans un nouveau repre, placer les points de lacourbe Cg ainsi connus.
b) Tracer les tangentes Cg en ces points.c) Donner une allure possible de la courbe Cg.
Exercice 2
1. Soit E = x3 3x2 13x + 15a) Vrifier que 3 est une racine de E.b) Factoriser E.
2. Soit F = 21x3 4x2 47x + 30a) Vrifier si F possde une racine vidente.
b) Factoriser F .
Exercice 3
1. tudier le signe du polynme P = x2 + 6x + 5 sur I = [0 ; 5].
2. tudier le signe du polynme P = x2 + 3x 4 sur I = [5 ; 5].3. tudier le signe du polynme P = x2 + 7x + 2 sur I = R.
Exercice 4
1. On considre la fonction k dfinie sur I = [1 ; 10] par k(t) = 3t + 45t + 8
.
a) Justifier que k est dfinie et drivable sur I.
b) Dterminer k(t) pour tout t [1 ; 10].c) En dduire le sens de variations de k sur I.
2. tudier le sens de variations de h dfinie par h(x) = 2x3 + 21x2 6 sur [10 ; 10].
Exercice 5
1. tudier le sens de variations de h dfinie par h(x) = 3x3 +632
x2 + 108x + 8 sur R.
2. On considre la fonction f dfinie par f(x) =x + 7x + 3
.
a) Dterminer lensemble de dfinition Df de f .b) Dterminer f (x) pour tout x Df .c) Dterminer les limites de f aux bornes de Df .d) Dresser le tableau de variations de f sur Df .
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Corrig de lexercice 1
1. On lit graphiquement le coefficient directeur de chacune des tangentes en ces points.
f (4) = 4 f (1) = 32
f (2) = 0.
2.
Corrig de lexercice 2
1. Soit E = x3 3x2 13x + 15a) Comme E(3) = 0, on peut diviser E par x + 3
+1x3 3x2 13x +15 x + 3(+1x3 +3x2) x2 6x + 5+0x3 6x2 13x
(6x2 18x)+0x2 +5x +15
(+5x+15)+0
On ax3 3x2 13x + 15 =
(
x2 6x + 5)
(x + 3)
b) On doit maintenant factoriser le polynome E2 = x2 6x + 5Je calcule = (6)2 4 1 5 = 16 et
16 = 4.
Comme > 0, E2(x) a deux racines :
(6)16
2 1 =6
16
2 (6) +
16
2 1 =6 +
16
2
=6 42
=6 + 42
=22
=102
= 1 = 5
Les racines de E2 sont x1 = 1 et x2 = 5.On peut donc crire
E2(x) = (x 1) (x 5)
On en conclue donc que E = (x + 3) (x 1) (x 5)2. Soit F = 21x3 4x2 47x + 30
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a) Comme F (1) = 0, on peut diviser F par x 1
+21x3 4x2 47x +30 x 1(+21x3 21x2) 21x2 + 17x 30+0x3 +17x2 47x
(+17x2 17x)+0x2 30x +30
(30x+30)+0
On a21x3 4x2 47x + 30 =
(
21x2 + 17x 30)
(x 1)
b) On doit maintenant factoriser le polynome F2 = 21x2 + 17x 30Je calcule = 172 4 21 (30) = 2 809 et
2 809 = 53.
Comme > 0, F2(x) a deux racines :
172 809
2 21 =17
2 809
4217 +
2 809
2 21 =17 +
2 809
42
=17 53
42=
17 + 5342
=7042
=3642
=514314
=6676
=53
=67
Les racines de F2 sont x1 =53
et x2 =67.
On peut donc crire
F2(x) = 21(
x (
53
)) (
x 67
)
= 21(
x +53
) (
x 67
)
On en conclue donc que F = 21 (x 1)(
x +53
) (
x 67
)
Corrig de lexercice 3
1. tudier le signe du polynme P = x2 + 6x + 5 sur I = [0 ; 5].Je calcule = 62 4 1 5 = 16 et
16 = 4.
Comme > 0, P (x) a deux racines :
616
2 1 =6
16
26 +
16
2 1 =6 +
16
2
=6 4
2=
6 + 42
=102
=22
= 5 = 1
Les racines de P sont x1 = 5 et x2 = 1.Comme > 0, P (x) est du signe de a entre les racines.Or 5 et 1 ne sont pas dans [0 ; 5]. Ainsi
x
P (x)
0 5
+
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2. tudier le signe du polynme P = x2 + 3x 4 sur I = [5 ; 5].Je calcule = 32 4 1 (4) = 25 et
25 = 5.
Comme > 0, P (x) a deux racines :
325
2 1 =3
25
23 +
25
2 1 =3 +
25
2
=3 5
2=
3 + 52
=82
=22
= 4 = 1
Les racines de P sont x1 = 4 et x2 = 1.Comme > 0, P (x) est du signe de a entre les racines. Ainsi
x
P (x)
5 4 1 5
+ 0 0 +
3. tudier le signe du polynme P = x2 + 7x + 2 sur I = R.Je calcule = 72 4 1 2 = 41.Comme > 0, P (x) a deux racines :
741
2 1 =7
41
27 +
41
2 1 =7 +
41
2
Les racines de P sont x1 =7
41
2et x2 =
7 +41
2.
Comme > 0, P (x) est du signe de a entre les racines. Ainsi
x
P (x)
7
41
2
7 +
41
2+
+ 0 0 +
Corrig de lexercice 4
1. On considre la fonction k dfinie sur I = [1 ; 10] par k(t) = 3t + 45t + 8
.
a) Justifier que k est dfinie et drivable sur I. Pour dterminer la valeur interdite, on doit rsoudre5t + 8 = 0.
5t + 8 = 0
5t = 8
t =85
Or 85nest pas dans lintervalle [1 ; 10] et comme k est un quotient de polynmes, alors k est
dfinie et drivable sur I.
b) Dterminer k(t) pour tout t [1 ; 10].
k(t) =3 (5t + 8) (3t + 4) 5
(5t + 8)2=
4
(5t + 8)2
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c) En dduire le sens de variations de k sur I.Comme (5t + 8)2 est un carr, il est toujours positif.De plus, 4 > 0 donc pour tout t de I, k(t) > 0.
t
k (x)
k (x)
1 10
+
1
3
1
3
17
29
17
29
2. tudier le sens de variations de h dfinie par h(x) = 2x3 + 21x2 6 sur [10 ; 10].h(x) = 6x2 + 42xJe dois tudier le signe de h(x) qui est un polynme du second degr.Je calcule = 422 4 6 0 = 1 764 et
1 764 = 42.
Comme > 0, h(x) a deux racines :
421 764
2 6 =42
1 764
1242 +
1 764
2 6 =42 +
1 764
12
=42 42
12=
42 + 4212
=8412
=012
= 7 = 0
Les racines de h sont x1 = 7 et x2 = 0.Comme > 0, h(x) est du signe de a entre les racines. Ainsi
x
h (x)
10 7 0 10
+ 0 0 +
On obtient ainsi le tableau de variation de h.
x
h (x)
h (x)
10 7 0 10
+ 0 0 +
9494
337337
66
4 0944 094
Corrig de lexercice 5
1. tudier le sens de variations de h dfinie par h(x) = 3x3 +632
x2 + 108x + 8 sur R.
h(x) = 9x2 + 63x + 108Je dois tudier le signe de h(x) qui est un polynme du second degr.Je calcule = 632 4 9 108 = 81 et
81 = 9.
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Comme > 0, h(x) a deux racines :
6381
2 9 =63
81
1863 +
81
2 9 =63 +
81
18
=63 9
18=
63 + 918
=7218
=5418
= 4 = 3
Les racines de h sont x1 = 4 et x2 = 3.Comme > 0, h(x) est du signe de a entre les racines. Ainsi
x
h (x)
4 3 +
+ 0 0 +
On obtient ainsi le tableau de variation de h.
x
h (x)
h (x)
4 3 +
+ 0 0 +
112112
227
2
227
2
++
limx
3x3 +632
x2 + 108x + 8 = limx
3x3 =
limx+
3x3 +632
x2 + 108x + 8 = limx+
3x3 = +
2. On considre la fonction f dfinie par f(x) =x + 7x + 3
.
a) Dterminer lensemble de dfinition Df de f .La fonction rationnelle f est dfinie et drivable en x si x + 3 6= 0.
x + 3 = 0
x = 3x = Fraction(3, 1) Fraction(1, 1)x = 3
On en dduit que Df = Df =] ; 3[] 3 ; +[.b) Dterminer f (x) pour tout x Df .
f (x) =(11) (x + 3) (x + 7) 11
(x + 3)2=
10(x + 3)2
c) Dterminer les limites de f aux bornes de Df .
limx
x + 7x + 3
= limx
xx
= 1
limx+
x + 7x + 3
= limx+
xx
= 1
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Pour x = 3, on a x + 7 = 10 > 0.De plus, x + 3 < 0 si x < 3 et x + 3 > 0 si x > 3.
limx3x3
x + 7x + 3
=
d) Dresser le tableau de variations de f sur Df .Comme (x + 3)2 est un carr, il est toujours positif.De plus, 10 < 0 donc pour tout x de I, f (x) < 0. Ainsi, on obtient
x
f (x)
f (x)
3 +
11
+
11
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Les noncs des exercicesLe corrig des exercices
