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Les mathématiques Les mathématiques financièresfinancières

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ObjectifObjectif : :

Familiariser le participant avec les Familiariser le participant avec les principaux concepts des mathématiques principaux concepts des mathématiques

financières et lui fournir les outils et financières et lui fournir les outils et techniques nécessaires pour résoudre les techniques nécessaires pour résoudre les

problèmes financiers requérant la problèmes financiers requérant la connaissance des mathématiques connaissance des mathématiques

financières. financières.

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programmeprogramme : :

Intérêts simples :Intérêts simples : Intérêts composés :Intérêts composés : Les anuités :Les anuités : Amortissement des emprunts indivis :Amortissement des emprunts indivis :

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LES INTERETS LES INTERETS SIMPLESSIMPLES

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I- L’objet du calcul des intérêts simples:I- L’objet du calcul des intérêts simples:

Les calculs relatifs aux intérêts simples Les calculs relatifs aux intérêts simples concernent en général les opérations concernent en général les opérations financières à court terme. Cela suppose financières à court terme. Cela suppose que les intérêts produits ne sont pas que les intérêts produits ne sont pas capitalisés. capitalisés.

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Exemple :Exemple :

Soit une somme de 10000dh placé pendant Soit une somme de 10000dh placé pendant deux années complètes et produisant un intérêt deux années complètes et produisant un intérêt calculé sur un taux annuel de 8%calculé sur un taux annuel de 8%

Intérêts simple :Intérêts simple :

Intérêts 1Intérêts 1èreère année : année :

10000 x 8% = 800 dh (retirés à la fin de la 10000 x 8% = 800 dh (retirés à la fin de la première année)première année)

Intérêts 2Intérêts 2èmeème année : année :

10000 x 8% = 800 dh 10000 x 8% = 800 dh

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Remarque :Remarque :

Les intérêts simples se calculent toujours Les intérêts simples se calculent toujours sur la base de la somme de départ (le sur la base de la somme de départ (le capital)capital)

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Intérêts composés :Intérêts composés :

Intérêts 1Intérêts 1èreère année : année :

10000 x 8% = 800 dh (non retirés)10000 x 8% = 800 dh (non retirés)

Intérêts 2Intérêts 2èmeème année : année :

(10000 + 800)x 8% = 864 dh(10000 + 800)x 8% = 864 dh

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Remarque :Remarque :

Les intérêts composés se calculent sur la Les intérêts composés se calculent sur la somme de départ (le capital), augmentée somme de départ (le capital), augmentée des intérêts produits par les périodes des intérêts produits par les périodes précédentes précédentes

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2- Durée de placement :2- Durée de placement :Le montant de l’intérêt varie selon la durée du Le montant de l’intérêt varie selon la durée du placement. Celle -ci peut-être calculée en jours, en placement. Celle -ci peut-être calculée en jours, en quinzaines, en mois ou années.quinzaines, en mois ou années.

Le calcul de la durée se fait selon les règles suivantes :Le calcul de la durée se fait selon les règles suivantes : Une année compte 360 jours, 24 quinzaines, 12 mois.Une année compte 360 jours, 24 quinzaines, 12 mois. Si la durée est calculée en jours , les mois sont comptés Si la durée est calculée en jours , les mois sont comptés

à leur juste valeur. Sans autre indication, le mois de à leur juste valeur. Sans autre indication, le mois de Février compte 28 jours.Février compte 28 jours.

Si la durée est calculée en quinzaines: on compte les Si la durée est calculée en quinzaines: on compte les quinzaines à partir du 1er ou du 16 de chaque mois qui quinzaines à partir du 1er ou du 16 de chaque mois qui suit le dépôt, à partir du 1er ou du 16 qui précède le suit le dépôt, à partir du 1er ou du 16 qui précède le retrait.retrait.

Si la durée est calculée en mois, on ne tient pas compte Si la durée est calculée en mois, on ne tient pas compte de la durée réelle des moisde la durée réelle des mois

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Exemple : Quelle est la durée d’un Exemple : Quelle est la durée d’un placement effectué du 5 Septembre au 15 placement effectué du 5 Septembre au 15 Décembre ?Décembre ?

Septembre: 30 - 5 = 25Septembre: 30 - 5 = 25

Octobre Octobre 31 31

NovembreNovembre 30 30

Décembre 15Décembre 15

101 jours101 jours

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Calcul de l’intérêt Calcul de l’intérêt ::

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Si la durée est exprimé en année :Si la durée est exprimé en année :

I= (C x t x n)/100I= (C x t x n)/100 Si la durée est exprimé en mois :Si la durée est exprimé en mois :

I= (C x t x m)/1200I= (C x t x m)/1200 Si la durée est exprimé en jours :Si la durée est exprimé en jours :

I= (C x t x j)/36000I= (C x t x j)/36000

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Exemples :Exemples :

Calculer les intérêts produits par un capital Calculer les intérêts produits par un capital de 15000dh placé à intérêts simples de 15000dh placé à intérêts simples pendant 3 ans pendant 3 ans

Calculer les intérêts produits par un capital Calculer les intérêts produits par un capital de 20000dh placé à intérêts simples de 20000dh placé à intérêts simples pendant 9 mois pendant 9 mois

Calculer les intérêts produits par un capital Calculer les intérêts produits par un capital de 25000dh placé à intérêts simples du 16 de 25000dh placé à intérêts simples du 16 mars au 22 juinmars au 22 juin

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Si la durée est exprimé en année :Si la durée est exprimé en année :

VA= C + (C x t x n)/100VA= C + (C x t x n)/100 Si la durée est exprimé en mois :Si la durée est exprimé en mois :

VA = C + (C x t x m)/1200VA = C + (C x t x m)/1200 Si la durée est exprimé en jours :Si la durée est exprimé en jours :

VA = C+ (C x t x j)/36000VA = C+ (C x t x j)/36000

Valeur acquise : VAValeur acquise : VA capital + intérêtscapital + intérêts

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L'ESCOMPTE DES EFFETS DE L'ESCOMPTE DES EFFETS DE COMMERCECOMMERCE

Opération de crédit par laquelle une Opération de crédit par laquelle une banque met à la disposition du porteur banque met à la disposition du porteur d'un effet non échu le montant de cet effet, d'un effet non échu le montant de cet effet, déduit des intérêts et commissions, en déduit des intérêts et commissions, en contrepartie du transfert à son profit de la contrepartie du transfert à son profit de la propriété de la créance.propriété de la créance.

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Cette créance représentée par un effet de commerce Cette créance représentée par un effet de commerce tirée par le fournisseur sur son client, tirée par le fournisseur sur son client,

Cette pratique est très développée au Maroc et Cette pratique est très développée au Maroc et représente 40% des crédits bancaires à CT. La banque représente 40% des crédits bancaires à CT. La banque peut limiter son crédit par un plafond d'escompte en peut limiter son crédit par un plafond d'escompte en fonction du CA de l'entreprise, de la durée du crédit fonction du CA de l'entreprise, de la durée du crédit client...client...

La banque peut refuser certains effets et les impayés La banque peut refuser certains effets et les impayés éventuels restent à la charge de l'entrepriseéventuels restent à la charge de l'entreprise

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Le banquier paiera Le banquier paiera la valeur de l’effet, la valeur de l’effet, diminué d’un intérêt ou escomptediminué d’un intérêt ou escompte : :

Escompte : (VN x t x j)/36000Escompte : (VN x t x j)/36000

VN : valeur nominaleVN : valeur nominale

t: taux d’escompte t: taux d’escompte

j: nombre de jours entre la date d’escompte j: nombre de jours entre la date d’escompte et l’échéanceet l’échéance

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le valeur d’encaissement VE =le valeur d’encaissement VE =

Valeur nominale (VN) – escompte Valeur nominale (VN) – escompte

Remarque Remarque ::

On peut rajouter à l’escompte proprement On peut rajouter à l’escompte proprement dit des agios ou services bancaires dit des agios ou services bancaires facturés par le banquier. facturés par le banquier.

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Exemple :Exemple :

Un fournisseur escompte le 16 octobre un Un fournisseur escompte le 16 octobre un effet de commerce tiré sur son client, pour effet de commerce tiré sur son client, pour un montant de 2500dh. La date un montant de 2500dh. La date d’échéance portée sur l’effet est le 31 d’échéance portée sur l’effet est le 31 octobre. Les conditions habituelles de octobre. Les conditions habituelles de l’escompte sont les suivantes:l’escompte sont les suivantes:

- Taux annuel d’escompte : 15%Taux annuel d’escompte : 15%- Agios hors taxe de 50dh, augmenté de la Agios hors taxe de 50dh, augmenté de la

TVA au taux 10%TVA au taux 10%

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L’échéance commune de plusieurs L’échéance commune de plusieurs effets de commerce :effets de commerce :

Un client demande à son fournisseur, envers qui Un client demande à son fournisseur, envers qui il a accepté de payer plusieurs effets de il a accepté de payer plusieurs effets de commerce à des dates d’échéances différentes, commerce à des dates d’échéances différentes, de remplacer les effets par un effet unique a une de remplacer les effets par un effet unique a une certaine date d’échéance :certaine date d’échéance :

Le jour du remplacement des effets n°1 et 2 par Le jour du remplacement des effets n°1 et 2 par un effet unique, la valeur d’encaissement de un effet unique, la valeur d’encaissement de l’effet unique doit être égale à la somme des l’effet unique doit être égale à la somme des valeurs d’encaissements des deux effets le jour valeurs d’encaissements des deux effets le jour du remplacement du remplacement

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V E de l’effet unique le jour du V E de l’effet unique le jour du remplacement remplacement

==

V E de l’effet n°1 le jour du remplacement V E de l’effet n°1 le jour du remplacement

++

V E de l’effet n°2 le jour du remplacementV E de l’effet n°2 le jour du remplacement

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Exemple :Exemple :

Un client demande le 18 mars de Un client demande le 18 mars de remplacer les deux effets de commerce remplacer les deux effets de commerce qu’il a accepté auparavant, par un effet qu’il a accepté auparavant, par un effet unique à échéance du 30 juin ( taux unique à échéance du 30 juin ( taux d’intérêt : 8,5%):d’intérêt : 8,5%):

- Effet n° 1 : 2500 dh, échéance le 15 mai,Effet n° 1 : 2500 dh, échéance le 15 mai,- Effet n° 2 : 3200 dh, échéance le 31 mai.Effet n° 2 : 3200 dh, échéance le 31 mai.

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LES INTERETS LES INTERETS COMPOSESCOMPOSES

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Notion d’intérêts composés, de capitalisation et de valeur Notion d’intérêts composés, de capitalisation et de valeur acquiseacquise

La capitalisation est l’opération qui La capitalisation est l’opération qui consiste à calculer la valeur future (ou consiste à calculer la valeur future (ou valeur acquise VA) d’une valeur présente valeur acquise VA) d’une valeur présente (un capital) placé à un taux d’intérêt (un capital) placé à un taux d’intérêt donné.donné.

VA = Capital + Intérêts VA = Capital + Intérêts

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Exemple 1 :Exemple 1 : Une personne place une somme de Une personne place une somme de

50.000 dhs pendant une durée de 3 ans ; 50.000 dhs pendant une durée de 3 ans ; rémunéré à un taux d’intérêt de 8%. rémunéré à un taux d’intérêt de 8%. Quelle sera sa valeur acquise :Quelle sera sa valeur acquise :

Si les sommes sont placées à intérêts Si les sommes sont placées à intérêts simples ;simples ;

Ou à intérêts composésOu à intérêts composés

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1er Cas1er Cas : Somme placée à intérêts  : Somme placée à intérêts simples :simples :

On suppose ici que les intérêts sont retirés à la fin de chaque période de placement. On suppose ici que les intérêts sont retirés à la fin de chaque période de placement. On les calcule toujours sur le capital :On les calcule toujours sur le capital :

Intérêts 1ère année : 50.000 x 8 = 4.000 dhIntérêts 1ère année : 50.000 x 8 = 4.000 dh -------------------------- 100100

Intérêts 2ème année : 50.000 x 8 = 4.000 dhIntérêts 2ème année : 50.000 x 8 = 4.000 dh -------------------------- 100100

Intérêts 3ème année : 50.000 x 8 = 4.000 dhIntérêts 3ème année : 50.000 x 8 = 4.000 dh -------------------------- 100100VA = 50.000 + 4.000 x 3 = 50.000 + 50.000 x 8 x 3 = 62.000 dhsVA = 50.000 + 4.000 x 3 = 50.000 + 50.000 x 8 x 3 = 62.000 dhs ---------------------------------- 100100

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2ème Cas2ème Cas : Somme placées à  : Somme placées à intérêts composés :intérêts composés :

Les intérêts ici sont capitalisés ; c-à-d ils participent eux même à la production d’autres Les intérêts ici sont capitalisés ; c-à-d ils participent eux même à la production d’autres intérêts.intérêts.

Intérêts 1ère année : 50.000 x 8 = 4.000 dhIntérêts 1ère année : 50.000 x 8 = 4.000 dh -------------------------- 100100

Intérêts 2ème année : (50.000 + 4.000) x 8 = 4.320 dh (+ 320 dh)Intérêts 2ème année : (50.000 + 4.000) x 8 = 4.320 dh (+ 320 dh) -------------------------------------------------- 100100

Intérêts 3ème année : 50.000 + 4.000 + 4.320) x 8 = 4.665,60 dh (+ 665,6)Intérêts 3ème année : 50.000 + 4.000 + 4.320) x 8 = 4.665,60 dh (+ 665,6) ---------------------------------------------------------------------- 100100

VA = 50.000 + 4.000 + 4.320 + 4.665,60 = 62.985,60 dhs.VA = 50.000 + 4.000 + 4.320 + 4.665,60 = 62.985,60 dhs.

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Cette méthode est assez longue.Cette méthode est assez longue.On remarque que les sommes capitalisées sont en On remarque que les sommes capitalisées sont en

progression géométrique de raison (1 + t).progression géométrique de raison (1 + t).

VA1 = 50.000 (1 + 0,08) = 54.000VA1 = 50.000 (1 + 0,08) = 54.000VA2 = 54.000 (1,08) = 58.320 = 50.000 (1,08)²VA2 = 54.000 (1,08) = 58.320 = 50.000 (1,08)²VA3 = 58.320 (1,08) = 62.985,6 = 50.000 (1,08)VA3 = 58.320 (1,08) = 62.985,6 = 50.000 (1,08) D’où la formule générale suivante :D’où la formule générale suivante :VA = K(1 + t) avec :VA = K(1 + t) avec :VA = Valeur acquiseVA = Valeur acquiseK = Capital initialeK = Capital initialet = Taux d’intérêtt = Taux d’intérêtn = nombre de période de placementn = nombre de période de placement

3

n

n

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Pour faciliter le calcul de la VA, on peut utiliser la table financière n°1, qui nous donne les valeurs de (1+t)n. VA = 50.000 (1,08)3 = 50.000 x 1,259712 = 62.985,6

REMARQUE 1 :

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Remarque 2 :Remarque 2 :

Si la période de placement comprend des Si la période de placement comprend des mois et des années, exemple : 6 ans, 9 mois et des années, exemple : 6 ans, 9 mois, on doit convertir les 9 mois = 9/12 = mois, on doit convertir les 9 mois = 9/12 = 0.75 d’une année entière.0.75 d’une année entière.

Si une personne place 65.000 dh à Si une personne place 65.000 dh à intérêts composés pendant 6 ans et 9 intérêts composés pendant 6 ans et 9 mois au taux annuel de 8% :mois au taux annuel de 8% :

VA = 65.000 (1.08)6,75 = 65.000(1,08)6(1,08)0.75 = 109.275,73 table 1 table 6

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Les taux équivalentsLes taux équivalents

Le problème ici est de déterminer, à partir du taux Le problème ici est de déterminer, à partir du taux d’intérêt annuel un taux d’intérêt mensuel, trimestriel ou d’intérêt annuel un taux d’intérêt mensuel, trimestriel ou semestriel. En effet, lorsqu’on raisonne en intérêts semestriel. En effet, lorsqu’on raisonne en intérêts composés, un taux d’intérêt annuel de 12% ne composés, un taux d’intérêt annuel de 12% ne correspond pas à un taux semestriel de 6%, à cause de correspond pas à un taux semestriel de 6%, à cause de la progression géométrique des intérêts.la progression géométrique des intérêts.

Le taux équivalent à un taux annuel est Le taux équivalent à un taux annuel est donné par la formule suivante :donné par la formule suivante :

tp = (1+t)1/p – 1 avec p = le nombre de périodes dans l’année.

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Exemple 1 :Exemple 1 :Quel est le taux d’intérêt semestriel équivalent à une capitalisation annuelle de 12% ? Dans une année il y a deux semestres : T2 = (1+0,12)1/2 – 1 = 0,0583 ; soit 5,83% Vérification : Soit un capital de 10.000 placé à :

- 12% (taux annuel) pendant un an - 5,83% (taux semestriel) pendant un an

Pour 12% VA = 10.000 (1,12)1 =11.200 dhs Pour 5,83% VA = 10.000(1,0583)2 = 11.200 dhs

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Exemple 2 :Exemple 2 :Quel est le taux d’intérêt trimestriel équivalent à une capitalisation annuelle de 10% ? Dans une année, il y a 4 trimestres : Tp = (1+0,1)1/4 – 1 = 0,0241136 soit 2,4114%. Vérification : Soit un capital de 10.000 dhs placé à :

- 10% (taux annuel) pendant une année ; - 2,4114% (taux trimestriel) pendant une année.

On doit retrouver dans les deux cas la m^me valeur acquise : - VA = 10.000 (1,1)1 = 11.000 Dhs - VA = 10.000 (1,024114)4 = 11.000,01 = 11.000 dhs

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Les taux proportionnelsLes taux proportionnelsIls sont exactement proportionnels au taux annuel.Ils sont exactement proportionnels au taux annuel.

Exemple :Exemple : Un taux semestriel de 5% est proportionnel à un taux annuel de 10% Un taux semestriel de 5% est proportionnel à un taux annuel de 10% 10%10% ------------------------------2 semestres2 semestres

Un taux trimestriel de 2,5% est proportionnel à un taux annuel de 10%Un taux trimestriel de 2,5% est proportionnel à un taux annuel de 10%(10% /4 trimestres).(10% /4 trimestres).

Remarque :Remarque :Il parait évident que le taux proportionnel rapportera plus Il parait évident que le taux proportionnel rapportera plus d’intérêt que le taux annuel.d’intérêt que le taux annuel.

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Exemple 1 :Exemple 1 :

Calculez la valeur acquise par un capital de 20.000 dhs placé à : - 10% pendant un an ; - au taux proportionne de 2,5% par trimestre sur une année.

1er Cas : Pour une capitalisation annuelle / VA = 20.000 (1,10)1 = 22.000 dhs. 2ème Cas : Pour une capitalisation trimestrielle. VA = 20.000 (1,025)4 = 22.076,26 dhs

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Exemple 2 :Exemple 2 :

Calculez la VA par un capital de 20.000 dhs, placé à : - 10% pendant 2 ans ; - au taux proportionnel de 2,5% par trimestre (capitalisation trimestrielle).

VA1 = 20.000 (1,1)2 = 24.200 dhs VA2 = 20.000 (1,025)8 = 24.368,06 dhs

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Valeur actuelle d’un capital (ou Valeur actuelle d’un capital (ou valeur d’origine)valeur d’origine)

Il s’agit de déterminer la valeur d’un capital n années avant son placement. On utilise l’actualisation également pour retrouver à partir d’une valeur acquise, le capital de départ. Valeur actuelle (V0) = K (1+t)-n Ces valeurs sont données à la table financière n°2.

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Exemple :Exemple :Un capital placé pendant 4 ans à intérêts composés, au taux annuel de 7,5%, donne une valeur acquise de 86.805,49dh. Quel est montant de ce capital ? 1ère méthode : VA = K (1+t) n K = VA(1+t) -n K = 86.805,49 (1,075)-4 K = 86.805,49 x 0,748801 K = 65.000 dhs

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LES ANNUITESLES ANNUITES

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Se sont des sommes payables à des Se sont des sommes payables à des intervalles de temps constants. L’intervalle intervalles de temps constants. L’intervalle de temps séparant le versement de deux de temps séparant le versement de deux annuités est appelé la période. Celle-ci annuités est appelé la période. Celle-ci

peut être l’année, le semestre, le trimestre, peut être l’année, le semestre, le trimestre, … Dans le premier cas le mot « annuité » … Dans le premier cas le mot « annuité » est parfaitement adapté. Dans les autres est parfaitement adapté. Dans les autres

cas, on préfère parler de « semestrialité », cas, on préfère parler de « semestrialité », de trimestrialité », …de trimestrialité », …

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Valeur actuelle d’une suite Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantesd’annuités constantes

On cherche à déterminer la valeur actuelle On cherche à déterminer la valeur actuelle (ou valeur d’origine) de plusieurs sommes (ou valeur d’origine) de plusieurs sommes versées à intervalles de temps réguliers, versées à intervalles de temps réguliers, qui sont obligatoirement identique les unes qui sont obligatoirement identique les unes aux autres.aux autres.

Donc la valeur actuelle d’une suite Donc la valeur actuelle d’une suite d’annuités versées à la fin de n années ; il d’annuités versées à la fin de n années ; il existe deux cas :existe deux cas :

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1er cas : 1er cas : Calcul de VCalcul de V00 une période une période avant le 1er versement :avant le 1er versement :

Début A1 Fin A1 Fin A2 …………………. Fin An-1 Fin An a a a a V0 V0 = a (1+t)-1 + a (1+t)-2 + …….. + a (1+t)-n (Il s’agit d’une progression géométrique de raison (1+t)-1 et de 1er terme a (1+t)-1.)

V0 = a (1 – (1+t)-n - a = annuité constante ---------------- - t = taux d’actualisation t - n = nombre de période Table financière n°4

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Exemple 1 :Exemple 1 :

Une personne doit recevoir trois sommes Une personne doit recevoir trois sommes de 10000dh chacune, la 1de 10000dh chacune, la 1èreère étant versé le étant versé le 31/12/N. En supposant que le taux moyen 31/12/N. En supposant que le taux moyen de dépréciation monétaire soit égal à 10% de dépréciation monétaire soit égal à 10% au cours de la période des versements, de au cours de la période des versements, de quelle somme réelle dispose cette quelle somme réelle dispose cette personne le 1/1/N;personne le 1/1/N;

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2ème Cas2ème Cas : Calcul de V : Calcul de V00 le jour du le jour du 1er versement.1er versement.

Fin A1 Fin A2 …………………. Fin An-1 Fin An a a a a V0 V0 = a + a (1+t)-1 + a (1+t)-2 + …….. + a (1+t)-(n-1) V0 = a(1+t) (1 – (1+t)-n - a = annuité constante ------------- - t = taux d’actualisation t - n = nombre de période Table financière n°4

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Exemple 2 :Exemple 2 :

Une entreprise prévoit que son bénéfice Une entreprise prévoit que son bénéfice prévisionnel pour une activité spécifique sera le prévisionnel pour une activité spécifique sera le suivant, au cours des 5 prochaines années : suivant, au cours des 5 prochaines années : 150000dh, 180000dh, 200000dh, 200000dh, 150000dh, 180000dh, 200000dh, 200000dh, 200000dh200000dh

En supposant que ces bénéfices soient réalisés En supposant que ces bénéfices soient réalisés en fin d’année, et en adoptant un taux en fin d’année, et en adoptant un taux d’actualisation de 5%, Quelle sera la valeur d’actualisation de 5%, Quelle sera la valeur actuelle de toutes ces sommes au début de actuelle de toutes ces sommes au début de l’année1.l’année1.

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Valeur acquise par une suite Valeur acquise par une suite d’annuités constanted’annuités constante

On cherche à déterminer la valeur acquise de On cherche à déterminer la valeur acquise de plusieurs sommes versées à intervalles réguliers plusieurs sommes versées à intervalles réguliers et dont la particularité réside dans le fait que et dont la particularité réside dans le fait que chaque versement est d’un montant identique.chaque versement est d’un montant identique.

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Exemple :Exemple :

Une personne s’engage à verser le 1/1 de Une personne s’engage à verser le 1/1 de chaque année une somme de 10.000 dhs chaque année une somme de 10.000 dhs pendant 3 ans.pendant 3 ans.

1.1. Date de versement : 01/01/N.Date de versement : 01/01/N.2.2. Date du dernier versement : 01/01/N+2Date du dernier versement : 01/01/N+23.3. Date du retrait de la valeur acquise : 31/12/N+2Date du retrait de la valeur acquise : 31/12/N+24.4. Taux de capitalisation : 11%.Taux de capitalisation : 11%.

Calculer la valeur acquise le 31/12/N+2 (un an Calculer la valeur acquise le 31/12/N+2 (un an après le dernier versement).après le dernier versement).

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1/1/N 1/1/N+1 1/1/N+2 31/12/N+2 10 000 10 000 10 000 VA = 10.000 (1,11)3 + 10.000 (1,11)2 + 10.000 (1,11)1

VA = 13.676,31 + 12.321 + 11.100 = 37.097,31 dhs

VA

Cette méthode étant assez longue, il existe une formule qui permet d’obtenir directement la valeur acquise.

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On calcule la VA le jour du dernier On calcule la VA le jour du dernier versement :versement :

Début A1 Début A2 Début A3 ………………. Début An a a a VA = a + a(1+t) + a (1+t)2 + ………….. + a (1+t)n-1 = a (1+t) n-1 ---------- t Table financière n° 3

VA

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Amortissement des Amortissement des emprunts indivis emprunts indivis

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L’emprunt indivis est un emprunt ordinaire contracté auprès d’un seul prêteur, généralement un établissement financier.

L’emprunt indivisL’emprunt indivis

L’emprunt peut être amorti soit par:des annuités constantes,

des amortissements constants

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Les emprunts indivis par Les emprunts indivis par amortissement constant amortissement constant

Il s’agit d’un emprunt dont le prêteur est une Il s’agit d’un emprunt dont le prêteur est une seule personne (physique ou morale). seule personne (physique ou morale). L’emprunteur rembourse chaque période L’emprunteur rembourse chaque période (année, trimestre ou semestre,…….) une (année, trimestre ou semestre,…….) une annuité:annuité:

Annuité Annuité = =

amortissement constant amortissement constant + +

intérêts de la périodeintérêts de la période

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amortissement constant : amortissement constant : remboursement partiel de l’emprunt selon remboursement partiel de l’emprunt selon

le mode linéaire.le mode linéaire.

= =

Capital emprunté/nombre de périodesCapital emprunté/nombre de périodes intérêts de la période : intérêts de la période : calculés sur le calculés sur le

capital restant dû en début de périodecapital restant dû en début de période..

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Exemple :Exemple :

Soit une personne qui emprunte 200000dh Soit une personne qui emprunte 200000dh remboursable en 5 amortissements remboursable en 5 amortissements constants dans le but de créer une constants dans le but de créer une nouvelle activité commerciale.nouvelle activité commerciale.

- Taux d’intérêt 12%Taux d’intérêt 12%- Dresser le tableau d’amortissement Dresser le tableau d’amortissement

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périodescapital restant du en début de

période (1) intérêts (2)amortissement

constant Annuités (3)

1 200000 24 000,00 40000 64 000,00

2 160

000,00 19 200,00 40000 59 200,00

3 120

000,00 14 400,00 40000 54 400,00

4 80 000,00

9 600,00 40000 49 600,00

5 40 000,00

4 800,00 40000 44 800,00

totaux   72 000,00 200 000,00 272000

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(1)(1) Capital restant dû en début de n iéme Capital restant dû en début de n iéme périodes = capital restant dû en début de périodes = capital restant dû en début de période précédente – amortissement période précédente – amortissement constantconstant

(2)(2) Intérêt de la période = Capital restant dû Intérêt de la période = Capital restant dû en début de période x taux d’intérêten début de période x taux d’intérêt

(3)(3) Annuité = intérêts + amortissement Annuité = intérêts + amortissement

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Remarque Remarque

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Les emprunts indivis remboursé Les emprunts indivis remboursé par annuités constantes :par annuités constantes :

Dans ce cas l’emprunteur rembourse une Dans ce cas l’emprunteur rembourse une somme fixe à chaque période .somme fixe à chaque période .

Soit les variables suivantes :Soit les variables suivantes :- t=taux d’intérêt périodique en valeur t=taux d’intérêt périodique en valeur

absolue ( exp 10% = 0,1)absolue ( exp 10% = 0,1)- n=nombre de périodes de remboursement n=nombre de périodes de remboursement - Mn=Nième amortissement Mn=Nième amortissement - a=annuité constantes a=annuité constantes

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Amortissement d’un emprunt Amortissement d’un emprunt indivis par annuités constantesindivis par annuités constantes 

n

n

i

iKa

i

iaK

11

11

On sait que la capital doit être égal à la valeur On sait que la capital doit être égal à la valeur actuelle de l’ensemble des annuités actuelle de l’ensemble des annuités

Table financière n°5

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Le 1Le 1erer amortissement M1 peut se amortissement M1 peut se calculer de deux manières :calculer de deux manières :

M1 = annuité constante – intérêts de la 1M1 = annuité constante – intérêts de la 1èreère période période

M1 = a – K x tM1 = a – K x t

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Les autres amortissements suivent une Les autres amortissements suivent une progression géométrique :progression géométrique :

1

1)1( n

ntMM

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Exemple :Exemple :

Soit une personne qui emprunte Soit une personne qui emprunte 200000dh remboursable en 5 annuités 200000dh remboursable en 5 annuités constantes dans le but de créer une constantes dans le but de créer une nouvelle activité commerciale.nouvelle activité commerciale.

- Taux d’intérêt 12%Taux d’intérêt 12%- Dresser le tableau d’amortissement Dresser le tableau d’amortissement

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K=200000K=200000 t=0,12t=0,12 n=5n=5

Cette annuité doit se décomposer en intérêt et Cette annuité doit se décomposer en intérêt et amortissement amortissement

Les amortissements suivent une progression Les amortissements suivent une progression géométrique de raison (1+t)géométrique de raison (1+t)

95,55481))12,1(1

12,0(200000

5

a

95,31481)12,0)12,1(1

12,0(200000

51

M

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périodes

capital restant du en début de période(1)

intérêts (2)

Amortissement (3) annuités

1 200000

24 000,00 31481,95 55481,95

2 168 518,05

20 222,17

35 259,78 55481,95

3 133 258,27

15 990,99

39 490,96 55481,95

4 93 767,31

11 252,08

44 229,87 55481,95

5 49 537,43

5 944,49

49 537,46 55481,95

totaux  

77 409,73

200 000,02

277409,75

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(1)(1) Capital restant dû en début de n iéme Capital restant dû en début de n iéme périodes = capital restant dû en début de périodes = capital restant dû en début de période précédente – amortissement période période précédente – amortissement période précédente précédente

(2)(2) Intérêt de la période = Capital restant dû en Intérêt de la période = Capital restant dû en début de période x taux d’intérêtdébut de période x taux d’intérêt

(3)(3) amortissement période p = amortissement période p = - Anuité constante – intérêts Anuité constante – intérêts - Loi de la progression géométrique des Loi de la progression géométrique des

amortissementsamortissements1

1)1( n

ntMM

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Exercice :Exercice :

une entreprise désire investir dans un matériel industriel, une entreprise désire investir dans un matériel industriel, les caractéristiques de cet investissement seraient les les caractéristiques de cet investissement seraient les suivantes :suivantes :

- Prix d’achat : 250000dhPrix d’achat : 250000dh- Financement : 10% par des fonds propres, le solde par Financement : 10% par des fonds propres, le solde par

emprunt indivis remboursable en 6 annuités ( taux emprunt indivis remboursable en 6 annuités ( taux d’intérêt 7,5%)d’intérêt 7,5%)

1- déterminer le montant de l’emprunt1- déterminer le montant de l’emprunt2- présenter le tableau d’amortissement si le 2- présenter le tableau d’amortissement si le

remboursement se fait par anuités constantesremboursement se fait par anuités constantes3- présenter le tableau d’amortissement si le 3- présenter le tableau d’amortissement si le

remboursement se fait par anuités constantesremboursement se fait par anuités constantes

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Calcul du taux effectif global (TEG)Calcul du taux effectif global (TEG)

Le TEG d’un emprunt ou le coût réel de Le TEG d’un emprunt ou le coût réel de cet emprunt est le taux annuel équivalent cet emprunt est le taux annuel équivalent au taux de la période, qui tient compte, en au taux de la période, qui tient compte, en plus des intérêts des frais, des plus des intérêts des frais, des commissions et rémunérations de toutes commissions et rémunérations de toutes nature directes ou indirectes. nature directes ou indirectes.

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Exemple :Exemple :

Soit un emprunt de 50000dh, au taux de 10,5% Soit un emprunt de 50000dh, au taux de 10,5% réalisé le 26 novembre 2008. Le remboursement réalisé le 26 novembre 2008. Le remboursement est prévu en 36 mensualités constantes, le 1est prévu en 36 mensualités constantes, le 1erer venant à échéance le 26/12/2008venant à échéance le 26/12/2008

1/ calculer la mensualité constante1/ calculer la mensualité constante2/ calculer le taux réel de cet emprunt si on 2/ calculer le taux réel de cet emprunt si on

suppose que des frais de dossier d’un montant suppose que des frais de dossier d’un montant de 150 dh ont été prélevé au moment de de 150 dh ont été prélevé au moment de l’emprunt et que les mensualités sont majorées l’emprunt et que les mensualités sont majorées d’une cotisation «assurance déces-invalidité » d’une cotisation «assurance déces-invalidité » de 18DHde 18DH

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PériodePériodeCapital dû Capital dû en début en début

de périodede périodeIntérêt de Intérêt de la périodela période

AmortisseAmortissementment

AnnuitéAnnuitéCapital dû Capital dû en fin de en fin de périodepériode

11

22

33

44

55

10.00010.000

8.362,038.362,03

6.560,256.560,25

4.578,314.578,31

2398,162398,16

1.0001.000

836,2836,2

656,02656,02

457,83457,83

239,82239,82

1.637,971.637,97

1.801,771.801,77

1.981,951.981,95

2.180,142.180,14

2.398,152.398,15

2637,972637,97

2637,972637,97

2637,972637,97

2637,972637,97

2637,972637,97

8.362,038.362,03

6.560,256.560,25

4.578,314.578,31

2398,162398,16

00

Considérons un emprunt de 10.000DH sur 5ans à 10% dont le remboursement se fait par annuités constantes

Le montant de l’annuité constante est de :

DH97,2637

1,11

1,0000.10 5

Tableau d’amortissement de l’empruntTableau d’amortissement de l’emprunt