Étendue, moyenne, médiane

1 Climat

Ce tableau compare les températures mensuelles moyennes (en °C) au cours d'une année dans deux villes Alpha (A) et Gamma (G).

J F M A M J J A S O N D

A − 6 − 9 − 1 10 11 19 24 28 21 10 4 − 3

G 5 7 9 13 17 19 20 23 18 13 8 4

Pour chaque ville, réponds aux questions.

a. Calcule la température annuelle moyenne.

Pour la ville A, la température moyenne est de : −6−9−1101119242821104−3

12= 9

Pour la ville B, la température moyenne est de : 5791317192023181384

12=13

b. Détermine une température médiane.

Pour la ville A, on commence par classer les températures par ordre croissant : − 9 ; − 6; − 3; − 1 ; 4 ; 10 ; 10 ; 11 ; 19 ; 21 ; 24 ; 28.

La température médiane correspond à toute valeur comprise entre la 6e et la 7e valeur de la série statistique ordonnée, c'est à dire ici 10°C.

Pour la ville B, par un raisonnement analogue, la température médiane est de 13°C.

c. Calcule l'étendue des températures.

L'étendue des températures est de : 28 − ( − 9) = 37°C pour la ville A et de : 23 − 4 = 19°C pour la ville B.

d. Décris le climat.

Pour la ville A, les températures varient de manière importante entre l'été et l'hiver, comme le montre l'étendue. Alors que dans la ville B les températures sont plus resserrées, avec moins de variations : il y fait doux toute l'année.

2 Tableaux

À partir des trois tableaux de données, recopie et complète le quatrième tableau.

Série 1 : Nombre de personnes fréquentant un club de remise en forme sur une semaine.

Lu Ma Me Je Ve Sa Di

32 38 21 49 60 84 24

Série 2 : La pointure de 20 personnes.

Pointure 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Effectif 1 2 4 3 2 3 1 3 1

Série 3 : Notes obtenues (sur 20) par une classe de troisième en français lors d'un contrôle.

Notes 4 5 7 8 9 12 13 15 17 18

Effectif 1 2 2 4 3 5 1 3 2 2

Étendue Médiane Moyenne

Série 1 63 38 44

Série 2 8 40,5 40,85

Série 3 14 12 12,55

Pour une médiane de la série 1, on ordonne les valeurs. Une médiane est donc de 38, ce qui signifie que le club de remise en forme a reçu moins de 38 personnes par jour durant la moitié de la semaine.

3 Des valeurs à inventer

a. Invente une série de sept valeurs dont l'étendue est 8, la moyenne est 16 et la médiane est 17.

11 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19.

b. Modifie l'une des valeurs extrêmes pour que l'étendue devienne égale à 15. Quel est l'effet sur les deux autres caractéristiques ?

Solution 1 : 11 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 18 ; 26.

La moyenne augmente alors de 1, mais la médiane reste inchangée.

Solution 2 :

3 ; 14 ; 15 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19

La moyenne diminue alors de 1, et la médiane devient 15.

Bien entendu, si on choisi d'autres séries, les situations changent.

STATISTIQUES ET PROBABILITÉS - CHAPITRE N91

4 Avec des graphiques

À partir de ces trois graphiques, recopie et complète le tableau.

Série 1 : On prélève neuf pommes dans une caisse et on les pèse (mesures données en g).

Série 2 : On donne ci-dessous la répartition du nombre d'heures que consacrent 36 collégiens à faire du sport durant une semaine.

Série 3 : On a relevé les températures dans une ville de Russie pendant une année.

Étendue Médiane Moyenne

Série 1 32 90 90

Série 2 7 4 16536

≈4,6

Soit 4H35min

Série 3 40 2,5 1,25

5 Salaires

Ce tableau donne la répartition des salaires mensuels des employés d'une petite entreprise.

Salaire (en €)

1 000à

1 200

1 200 à

1 400

1 400 à

1 600

1 600 à

1 800

2 000 à

2 200

Fréquence (en %)

8,5 12,5 28,5 44 6,5

a. Calcule le salaire moyen d'un employé.

1 100×8,51 300×12,51 500×28,51 700×442 100×6,5100

= 1 568

Le salaire moyen d'un employé est 1 568 €.

b. Dans quelle classe est situé le salaire médian ? Que signifie-t-il ?

Le salaire médian se situe à 50 % de fréquence cumulée, c'est à dire dans la classe 1 600 à 1 800. Ce salaire signifie qu'il y a autant de salaires inférieurs à ce salaire que de salaires supérieurs à celui-ci.

6 D'après Brevet

En météorologie, on appelle « insolation » (I) le nombre d'heures d'exposition d'un site au Soleil.Voici un relevé de la station de météorologie de Voglans, située en Savoie, donnant des informations sur l'insolation (en h) de la région au mois de juillet de 1995 à 2000.

Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000

I (en h) 261 212 226 308 259 306

a. Calculer la moyenne d'insolation sur cette période.

261 212 226308 259 3066

=262 h

b. 260 est-elle une valeur médiane de cette série ? Justifier la réponse.

La série comporte 6 valeurs. Donc la médiane correspond à toute valeur comprise entre la troisième et la quatrième valeur de la série statistique ordonnée. La troisième valeur est 259. La quatrième valeur est 261. Donc 260 est une valeur médiane possible pour cette série statistique.

CHAPITRE N9 – STATISTIQUES ET PROBABILITÉS 2

3

J F M A M J J A S O N D

-25-20-15-10-505

10152025

70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110

2 h3 h4 h5 h7 h9 h

Quartiles

7 Luc, Samia et Rudy ont obtenu sept notes en français ce trimestre.

Luc 18 2 4 3 1 19 20

Samia 13 9 19 12 1 20 7

Rudy 10 13 11 10 12 13 12

a. Détermine pour chaque élève :

• sa moyenne arrondie au dixième ;

• une note médiane ainsi que les valeurs des premier et troisième quartiles ;

• l'étendue des notes.

Pour Luc :

Moyenne : 1824311920

7=67

7≈9,6

Médiane : C'est la quatrième note de la série ordonnée, soit 4.

Premier quartile : La série comportant 7 notes, 25 % de 7 est égal à 1,75, et donc le premier quartile correspond à la 2ème note de la série statistique ordonnée par ordre croissant, soit 2.

Troisième quartile : La série comportant 7 notes et 75 % de 7 faisant 5,25, le troisième quartile correspond à la 6ème note de la série statistique ordonnée par ordre croissant, soit 19.

Etendue : 20 − 1 = 19.

Pour Samia :

Moyenne : 139191212077

=817

≈11,6 .

Médiane : 12.

Premier quartile : 7.

Troisième quartile : 19.

Etendue : 20 − 1 = 19.

Pour Rudy :

Moyenne : 10131110121312

7=81

7≈11,6 .

Médiane : 12.

Premier quartile : 10.

Troisième quartile : 13.

Etendue : 13 − 10 = 3.

b. Comment expliquer la grande différence entre la note moyenne et la note médiane de Luc ?

Les notes de Luc sont regroupées en deux pôles extrêmes, l'un d'eux comportant plus de notes.

c. Samia et Rudy ont des caractéristiques en commun. Penses-tu que ces élèves auront la même appréciation sur leurs bulletins ? Justifie.

Non, bien qu'ils aient la même médiane et la même moyenne, les notes de Rudy sont beaucoup plus resserrées que celles de Samia. Autrement dit Rudy travaille régulièrement et Samia est plus irrégulière dans ses résultats.

8 Le tableau suivant a été obtenu après avoir relevé la vitesse de 60 véhicules.

Vitesse(en km·h−1)

Moins de 80

Moins de 90

Moins de 100

Moins de 110

Effectifs cumulés

13 36 54 60

a. Construis le polygone des effectifs cumulés croissants.

b. Détermine une valeur approchée de la médiane et des premier et troisième quartiles. Donne ensuite la signification de ces valeurs.

Par lecture graphique, on obtient :L a médiane : 87 km/h.L e premier quartile : 81 km/h.L e troisième quartile : 95 km/h.

La médiane correspond à la valeur de la vitesse où 50 % des automobilistes roulaient en dessous et 50 % au dessus de cette vitesse.

Le premier quartile correspond à la vitesse où 25 % des automobilistes sont en dessous et le troisième quartile à celle où 75 % sont en dessous (et donc 25 % au dessus).

STATISTIQUES ET PROBABILITÉS - CHAPITRE N93

9 On a interrogé les élèves d'une classe de troisième sur le temps mis (en minutes) pour le trajet aller-retour entre leur domicile et le collège. Les résultats sont représentés par le diagramme en barres suivant.

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

2

4

6

8

Temps (en min)

Eff

ect

ifs

a. Détermine la moyenne, l'étendue, une médiane, ainsi que les valeurs des premier et troisième quartiles de cette série statistique.

Moyenne : 10×220×730×540×250×560×370×180×190×2

28

= 1 15028

≈41,1

Médiane : L'effectif total étant de 28, la médiane de cette série statistique correspond à toute valeur entre la 14e et la 14e valeur de la série statistique ordonnée, soit 35.

25 % de 28 donne 7, donc le premier quartile correspond à la 7ème valeur de la série statistique ordonnée, c'est à dire 20.

75 % de 28 donne 21, donc le troisième quartile correspond à la 21ème valeur de la série statistique ordonnée, c'est à dire 50.

b. Donne la signification de chacune de ces caractéristiques.

50 % des élèves mettent moins que la valeur médiane de 30 minutes pour faire le trajet aller- retour entre leur domicile et le collège.Au moins 25 % des élèves mettent moins de 20 minutes et au moins 75 % des élèves ont moins de 50 minutes de trajet aller-retour.

10 Mesures de grandeur en Physique

En physique, on a demandé à 13 groupes d'élèves de mesurer la tension aux bornes d'un conducteur ohmique et l'intensité le traversant.Chaque groupe a un circuit présentant les mêmes caractéristiques.Grâce à la loi d'Ohm, ils ont ensuite pu donner une valeur pour la résistance de ce conducteur.Voici leurs résultats (en Ω) : 43,5 ; 46,3 ; 14,7 ; 45,2 ; 43,7 ; 45,2 ; 46,4 ; 45,1 ; 44,9 ; 44,8 ; 45,1 ; 44,8 ; 18,4.

a. Détermine la moyenne, l'étendue, une médiane, ainsi que les valeurs des premier et troisième quartiles de cette série.

La moyenne est de :43,546,314,745,243,745,246,445,144,944,845,144,818,4

13

= 528,113

≈ 40,6

La médiane correspond à la septième valeur de la série statistique ordonnée, soit 44,9 Ω.

Comme 25 % de 13 est égal à 3,25, le premier quartile correspond à la quatrième valeur de la série statistique ordonnée par ordre croissant, soit 43,7 Ω.

Comme 75 % de 13 est égal à 9,75, le troisième quartile correspond à la dixième valeur de la série statistique ordonnée par ordre croissant, soit 45,2 Ω.

b. Comment expliques-tu la différence entre la moyenne et les autres caractéristiques ?

Deux valeurs de la série statistique sont anormalement basse. Cela n'a guère d'influence que sur la moyenne qui est abaissée à cause de ces deux valeurs.

c. Reprends la question a. pour la série obtenue après avoir enlevé les deux valeurs suspectes. Est-ce plus cohérent ? Justifie.

La moyenne est alors de :43,546,345,243,745,2 46,445,144,944,845,144,8

11

= 49511

≈ 45

La médiane correspond à la sixième valeur de la série statistique ordonnée, soit 45,1 Ω.

Comme 25 % de 11 est égal à 2,75, le premier quartile correspond à la troisième valeur de la série statistique ordonnée de manière croissante, soit 44,8 Ω.

Comme 75 % de 11 est égal à 8,25, le troisième quartile correspond à la neuvième valeur de la série statistique ordonnée de façon croissante, soit 45,2 Ω.

CHAPITRE N9 – STATISTIQUES ET PROBABILITÉS 4

11 Voici les relevés des précipitations annuelles (en mm) à Marrakech (M) et Pointe-à-Pitre (P).

J F M A M J J A S O N D

M 19 19 26 24 5 2 0 2 6 14 17 18

P 44 30 34 39 64 55 58 95 86 118 112 70

a. Détermine la moyenne, l'étendue, une médiane, ainsi que les valeurs des premier et troisième quartiles de chaque série.

M P

Moyenne 15212

≈12,780512

≈67,1

Etendue 26 – 0 = 26 118 – 30 = 88

Médiane 15,5 61

Q1 2 39

Q3 19 95

b. Pour chacune des séries, combien de valeurs diffèrent de la moyenne de moins de 20 % ?

Pour Marrakech, on regarde les valeurs comprises entre :0,8 × 12,7≈ 10,2 et 1,2 × 12,7≈ 15,2 .

Il n'y a qu'une seule valeur correspondant à ce critère.

Pour Pointe-à-Pitre, on regarde les valeurs comprises entre :0,8 × 67,1≈ 53,7 et 1,2 × 67,1≈ 80,5 .

Il y a quatre valeurs correspondant à ce critère.

STATISTIQUES ET PROBABILITÉS - CHAPITRE N95