TECHNIQUE ET VISION

GÉOMÉTRIQUE

En se trouvant face aux multiples techniques, le géomètre peut capter dans le silence,

un Vent subtil et avoir même une "vision"…

Jean-Louis AYME 1

M

A

B C A'

Résumé. L'auteur présente différentes techniques mise en œuvre dans les résolutions de problèmes…

Abstract. The author presents different techniques implemented in problem-solving....

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 05/04/2020 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Sommaire

A. Récapitulation 2

B. Les techniques 5

1. La technique de Reim 6 2. La technique de Montfort 8 3. La technique des dents de scie 10 4. La technique de Blaise Pascal 12 5. La technique du cercle des milieux 13 6. La technique de Thalès de Milet 14 7. La technique de Stathis Koutras 16 8. Cercle passant par le centre d'un cercle 17 9. La technique de David Francis Barrow 18 10. La technique de Jules Alexandre Mention 19 11. La technique de Pappus d'Alexandrie 20 12. La technique de Henri Léon Lebesgues 21

C. Lexique Français-Anglais

3

3

A. RÉCAPITULATION

1. La figure de Reim : (PQ) est parallèle à (P'Q'). 2. La figure de Montfort : <BMC = <BA'M

3. La technique des dents de scie 4. La technique de Pascal

5. La technique du cercle des milieu 6. La technique de Thalès de Milet

7. La technique de Stathis Koutras

M

A

B C A'

A

B

P P'

Q

Q'

0

Ma

Mb 1

A B C

U

V

X

A

B

C D

E

F

Q P R

0

P

A B C D

Q

M

B

A

2

P

Q

R

S

M N

1

4

4

8. Cas 1 : CD = CB 8. Cas 2 : CB = CE

10. La technique de J. A. Mention 11. La technique de Pappus d'Alexandrie

12. La technique de Henri Léon Lebesgues

A B

O

C

D

0

1

A B

O

C

E

D

0

1

A E

C

F B D

P R

Q

D'

D 1 2

3

4 5

6

A

B C

I

A-

0

A

B

P P'

0

Ma

1

Q'

Q

Q"

2

3

P"

5

5

B. LES TECHNIQUES

6

6

1. LA TECHNIQUE DE REIM

VISION

Figure :

A

B

P P'

Q

Q'

0

Ma

Mb 1

Traits : 0, 1 deux cercles sécants, A, B les points d'intersection de 0 et 1, Ma, Mb deux droites passant resp. par A, B, P, P' les seconds points d'intersection de Ma resp. avec 0 et 1, et Q, Q' les seconds points d'intersection de Mb resp. avec 0 et 1. Donné : (PQ) est parallèle à (P'Q'). Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 2

Terminologie : (1) la figure est dite de ''Reim''

(2) relativement à 1 et 2, nous dirons que

* 1 et 2 sont les cercles de Reim * A et B sont les points de base * [AB] est la corde commune * Ma est la A-monienne, notée (PAP') 3 relativement à 1 et 2 * Mb est la B-monienne, notée (QBQ') relativement à 1 et 2

* (PQ) est la droite de départ

2 http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/apropos.html 3 Le premier point est sur le premier cercle cité, le second point est le point de base et le troisième point est sur le second cercle cité

7

7

* (P'Q') est la résultante.

(3) Relativement à 1, nous dirons que (PAP') est une A-monienne naissante. Énoncé traditionnel : pour tout couple de cercles de Reim et pour tout couple de moniennes, la résultante est parallèle à la droite de départ. Énoncé technique : les cercles 0 et 1, les points de base A et B, les moniennes (PAP') et (QBQ')

conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (PQ) // (P'Q').

8

8

2. LA TECHNIQUE DE MONFORT

VISION

Figure :

M

A

B C A'

Traits : ABC un triangle, A' le pied de la A-hauteur et M un point extérieur à ABC tel que MB = BA. Donné : <BMC = <BA'M.

VISUALISATION • D'après ''Une relation métrique dans un triangle rectangle'', appliqué au triangle A-rectangle ABC, BA² = BA'.BC • Par hypothèse et substitution, MB² = BA'.BC ou encore MB/BA' = BC/MB. • Conclusion : les triangles BMC et BA'M étant semblables, <BMC = <BA'M. Terminologie : (1) sous ces hypothèses, la figure est dite de ''Monfort''

(2) ces hypothèses et le donné est ''Le théorème de Monfort''

9

9

(3) identifier cette figure consiste à considérer cette démarche comme une technique.

Énoncé traditionnel : le triangle A-rectangle ABC, le pied A' de la A-hauteur

et un point M tel que MB= BA conduisent au théorème de ''Monfort'' ; il s'en suit que <BMC = <BA'M ou <M = <A'.

Commentaire : cette technique a été utilisée dans la visualisation des problèmes 2 et 3. 4

4 Ayme J.-L., Autour du cercle inscrit 24. 3, G.G.G. vol. 50, p. 6-7 et 8-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

10

10

3. LA TECHNIQUE

DES

DENTS DE SCIE

VISION

Figure :

A B C

U

V

X

Traits : [AB] un segment, C un point de [AB], U, V deux points situés dans le même demi plan de frontière (AB)

tels que (UA) soit parallèle à (VC) et X le point d'intersection de (UV) et (AB). Donné : (UC) est parallèle à (VB) si, et seulement si, 5 XC2 = XA.XB. Commentaire : une preuve synthétique peut être vue sur le cite de l'auteur. 6 Cette technique a été utilisée dans la preuve d'un problème d'Emmanuel Antonio José García 7.

5 Ayme J.-L. (30/07/2005) 6 Ayme J.-L., La tangente de Feuerbach, G.G.G. vol. 13, p. 8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 7 García E. A. J. ; http://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/815 Ayme J.-L., 10. Quickie 2., G.G.G. vol. 15, p. 5-8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

11

11

4. LA TECHNIQUE

DE

BLAISE PASCAL 8

VISION

Figure :

A

B

C D

E

F

Q P R

0

Traits : 0 un cercle, A, B, C, D, E, F les six sommets dans cet ordre d'un hexagone

tels que A, B, C, D, E soient sur 0 et P, Q, R les points d'intersection de (EF) et (BC), (AF) et (CD), (AB) et (DE).

Donné : F est sur 0 si, et seulement si, P, Q et R sont alignés.

Commentaire : une preuve synthétique peut être vue sur le cite de l'auteur. 9

Le résultat reste valide au cas de tangence.

8 Pascal B. (1639-1640) 9 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 4-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

12

12

5. LA TECHNIQUE

DU

CERCLE DES MILIEUX

VISION

Figure :

B

A

2

P

Q

R

S

M N

1

Traits : 1, 2 deux cercles sécants, A, B les points d'intersection de 1 et 2, P, R deux points de 1, Q, S les seconds points d'intersection resp. de (AP), (AR) avec 2 et M, N les milieux resp. de [PQ], [RS]. Donné : M, N, A et B sont cocycliques. Commentaire : une preuve synthétique peut être vue sur le cite de l'auteur 10. Scolie : 3 est ''le cercle des milieux de 1 et 2 ''

10 Ayme J.-L., the midcircle theorem, G.G.G. vol. 25 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

13

13

6. LA TECHNIQUE

DE

THALÈS DE MILET 11

VISION

Figure :

P

A B C D

Q

M

Traits : L une droite, A, B, C, D quatre points de L dans cet ordre, P, Q deux points tels que les triangles PAB et QCD soient * d'un même côté de L et * homothétiques (PAB) plus petit que QCD)

et M le point de L (à gauche de A) tel que MA/MB = MC/MD. Donné : M, P et Q sont alignés.

VISUALISATION

P

A B C D

Q

M

Q'Q''

• Raisonnons par l'absurde en affirmant que M, P et Q ne sont pas alignés. • Notons Q', Q'' les points distincts d'intersection de (MP) resp. avec (CQ), (DQ). 11 Un résultat, Les-Mathématiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1981268

A result, AoPS du 16/04/2020 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h2064629_a_result

14

14

• Une chasse de rapports :

* par hypothèse, MA/MB = MC/MD * par permutation des moyens, MA/MC = MB/MD

* d'après Thalès de Milet ''Rapports'' appliqué resp. à la bande de frontières (AP) et (CQ), (BP) et (QQ), MP/MQ' = MPMQ''

• En conséquences, (1) MQ' = MQ' (2) Q' et Q'' sont confondus ce qui est contradictoire. • Conclusion : M, P et Q sont alignés. Commentaire : une application de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 12 Scolie : une variante 13

VISION

Figure :

P

A

M

B

C D

Q

Traits : L une droite, A, B, C, D quatre points de L dans cet ordre, P, Q deux points tels que les triangles PAB et QDC soient * de part et d'autre de L * homothétiques

et M le point de L (entre A et C) tel que MA/MB = MD/MC. Donné : P, M et Q sont alignés. Commentaire : la preuve est analogue à celle précédente.

12 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 4, Problème 19, G.G.G. vol. 49, p. 54-55 : https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 13 A fruitfull lemma, AoPS du 22/09/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1919644_a_fruitfull_lemma

15

15

7. LA TECHNIQUE

DE

STATHIS KOUTRAS 14

VISION

Figure :

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons S, V les pieds des perpendiculaires à (A"C"), (A"B") issues de A

et R, U les pieds des perpendiculaires à (A"C"), (A"B") issues de P. Donnés : (AP)⊥ (B"C") ↔ A''B''/A''C'' = RS/UV. Commentaire : une preuve synthétique et des applications peuvent être vues sur le site de l'auteur. 15

14 Ayme J.-L., Steiner-Ayme-Koutras, G.G.G. vol. 43 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 15 Ayme J.-L., Le parallélogramme de Tran Quang Hung, G.G.G. vol. 43 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., 3. Perpendiculaire à la droite d’Euler, Problème 16, G.G.G. vol. 48 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

16

16

8. CERCLE

PASSANT PAR

LE CENTRE D'UN CERCLE

CAS 1

D et O sont de part et d'autre de la cévienne (ACD)

VISION

Figure :

A B

O

C

D

0

1

Traits : 0 un cercle,

O le centre de 0, [AB] une corde de 0, C un point de [AB] 1 le cercle passant par A, O, C

et D le second point d'intersection de 1 et 0. Donné : CB = CD.

17

17

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 16

CAS 2

B et O sont d'un même côté par rapport à la cévienne (DEC)

VISION

Figure :

A B

O

C

E

D

0

1

Traits : 0 un cercle, O le centre de 0,

[AB] une corde de 0, C un point de (AB) dans l'ordre A, B, C

1 le cercle circonscrit au triangle BCO, D le second point d'intersection de 1 et 0, et E le second point d'intersection de (CD) avec 1. Donné : CE = CB.

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 17 Cette technique a été utilisée dans la visualisation du problème 1. 18

16 Ayme J.-L., Simplicity 1, Problèmes 3, G.G.G. vol. 43, p. 9-11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 17 Ayme J.-L., Simplicity 1, Problèmes 4, G.G.G. vol. 43, p. 12-13 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 18 Ayme J.-L., Autour du cercle inscrit 38. 1, G.G.G. vol. 50, p. 3-4 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

18

18

9. LA TECHNIQUE

DE

DAVID FRANCIS BARROW

Harvard (1913)

Connecticut, États-unis.

VISION

Figure :

A

B C I

J

K

P

K'

J'

I'

P*

Traits : ABC un triangle, IJK, I'J'K' deux triangles inscrits dans ABC, P le point de Miquel associé à IJK et P* le point de Miquel associé à I'J'K'. Donné : I, J, K, I', J' et K' sont cocycliques

si, et seulement si, P et P* sont deux points isogonaux de ABC. 19

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 20 Cette technique a été utilisée dans la visualisation du problème… 21

19 Barrow D. F., A theorem about isogonal conjugates, American Mathematical Monthly, vol. 20, 8 (1913) 251-252 20 Ayme J.-L., l’équivalence de David F. Barrow, G.G.G. vol. 13, p. 16-18 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 21 Ayme J.-L., Orthique encyclopédie 5, Problème 2, G.G.G. vol. 49, p. 10-12 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19

19

10. LA TECHNIQUE

DE

JULES ALEXANDRE MENTION

Theorem

of

shamrock (1850) 22

VISION

Figure :

A

B C

I

A-

0

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, I le centre de ABC, et A- le second A-perpoint de ABC. Donné : le cercle circonscrit au triangle BIC a pour centre A-. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 23 Cette technique a été utilisée dans la visualisation du problème… 24.

22 trèfle en français. 23 Mention J. A., Note sur le triangle rectiligne, Nouvelles Annales 1ère série, tome 9 (1850) 324-327 ;

http://www.numdam.org/article/NAM_1850_1_9__324_1.pdf Catalan E. (1814-1894), Théorème 21, Théorèmes et problèmes de Géométrie Elémentaire, 6e édition, Dunod, Paris (1865) 46 Ayme J.-L., Deux résultats de J. A. Mention, G.G.G. vol. 25, p. 2-5 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

24 Ayme J.-L., Orthique encyclopédie 5, Problème 3, G.G.G. vol. 49, p. 13-14 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

20

20

11. LA TECHNIQUE

DE

PAPPUS D'ALEXANDRIE

Proposition 139

Collections υναγωγ´η, Livre VII

VISION

Figure :

A

E C

F B D

P R

Q

D'

D

1 2

3

4 5

6

Traits : D, D' deux droites, F, B, D trois points pris dans cet ordre sur D, A, C deux points de D', E un point et P, Q, R les points d'intersection resp. de (AB) et (DE), (BC) et (EF), (CD) et (FA). Donné : E est sur D' si, et seulement si, P, Q et R sont alignés. 25 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 26 Cette technique a été utilisée dans la visualisation du problème… 27.

25 Pappus, Collections υναγωγ´η, Livre VII 26 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 10-17 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 27 Ayme J.-L., Orthique encyclopédie 5, Problème 7, G.G.G. vol. 49, p. 22 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

21

21

12. LA TECHNIQUE

DE

HENRI LÉON LEBESGUES

Le théorème des cinq cercles 28

VISION Figure :

A

B

P P'

0

Ma

1

Q'

Q

Q"

2

3

P"

Traits : 0, 1 deux cercles sécants, A, B les points d'intersection de 0 et 1, Ma une droite passant par A, P, P' les seconds points d'intersection de Ma resp. avec 0, 1, 2 un cercle passant par B, Q, Q' les seconds points d'intersection de 2 resp. avec 0, 1, 3 un cercle passant par P et Q, et P", Q" les seconds points d'intersection de 3 resp. avec Ma et 2. Donné : P', Q', P" et Q" sont cocycliques.

28 Lebesgue H. L., Sur deux théorèmes de Miquel et de Clifford, Nouvelles Annales de Mathématiques (1916) ; http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=NAM&sl=0

22

22

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 29 Cette technique a été utilisée dans la visualisation du problème… 30.

29 Ayme J.-L., Du théorème de Reim au théorème des six cercles, G.G.G. vol. 2, p. 9-11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 30 Ayme J.-L., Orthique encyclopédie 5, Problème 10, G.G.G. vol. 49, p. 27-28 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

23

23

C. LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS

A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle