Optique géométrique et Électricité

PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N◦2 - 15/10/16 - CORRIGÉ A. MARTIN

Optique géométrique et Électricité

I. Étude d’un périscope (d’après CCP TSI 2012)

1.

L’incidence étant normale, il n’y a pas de déviation à la traversée dupremier dioptre. L’incidence sur le second dioptre se fait avec un angle de

i = 45◦. Or l’angle de réflexion totale s’écrit i` = arcsin 1n

= 41, 8◦ < i.

Donc il y a réflexion totale, le dioptre se comporte comme un miroir.Finalement le rayon traverse le 3ème dioptre en incidence normale doncsans être de nouveau dévié.

2. cf annexe ci-contre.3. On résume la succession des conjugaisons ainsi : A M1−→ A1

L1−→ A2L2−→ A3

M2−→ A′

• Relation de Descartes : 1O1A− 1

O1A1= 1

f ′1avec O1A1 = O1M1 +M1A1

M1= O1M1 −AM1, d’où

O1A2 =( 1f ′1

+ 1O1M1 −AM1

)−1≈ f ′1 = 0, 50 m .

L’approximation est ici motivée par le fait que O1M1AM1

= 0, 003� 1 et f ′1AM1

= 0, 005� 1.

• De même on obtient O2A3L2=(

1f ′2

+ 1O2A2

)−1d’où O2A3 =

(1f ′2

+ 1−f ′1 −∆− f ′2 +O1A2

)−1

.

Avec l’approximation ci-dessus, O1A1 ≈ f ′1, on obtient O2A3 ≈ f ′2(f ′2∆ + 1

)= 1, 2 m.

• Enfin, M2A′M2= M2A3 d’où M2A′ = −O2M2 +O2A3 ≈ −O2M2 + f ′2

(f ′2∆ + 1

)= 0, 30 m.

Les miroirs donnent un grandissement de 1 donc

γ = A′B′

AB= A3B3

A1B1= A3B3

A2B2.A2B2

A1B1= γL2 . γL1 = O2A3

O2A2.O1A2

O1A1,

En réutilisant les résulats approximatifs précédents, on obtient γ = f ′1 f′2

∆AM1= 1, 0× 10−2 > 0. Le signe

positif confirme que l’image finale est droite, ce qui a été obtenu dans la construction en annexe.4. cf TP Focométrie... Méthode par autocollimation (rapide et peu précise) : à l’aide d’un miroir plan en

arrière de la lentille, former une image nette dans le même plan que l’objet. La distance objet-lentille estalors égale à la distance focale.Mais aussi : méthode basée sur la relation de Descartes, méthode de Bessel, méthode de Silbermann.

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II. Alimentation d’un moteur1.

Générateur (convention générateur) : u = E − ri . Moteur (convention récepteur) : u = E′ + r′i .

2. Utilisons la loi des noeuds en terme de potentiel au point A en ajoutant une masse au contact desgénérateurs (cf schéma ci-contre).

VA

(2r

+ 1r′

)= VC

r+ VD

r+ VB

r′= 2E

r+ E′

r′d’où

VA = Er′+E′ r2r′+ r

2. On en déduit I ′ = VA−VB

r′ = VA−E′r′

d’où après simplification : I ′ = E − E′

r′ + r2

= 2 A.

Autres méthodes possibles (plus :• lois de Kirchhoff (la plus rapide ici). 2 lois de mailles + une loi de noeud : E′ + r′I ′ = E − rI =E − r(I ′ − I) puis éliminer I ;On trouve aussi que I = 1

2I′, ce qui pouvait être postulé a priori en utilisant de la symétrie plane du

circuit (Hors Programme) qui permet d’écrire I = I ′ − I (donc I = 12I′).

• Rammener le circuit à une seule maille par transformations et association des générateurs. Celaconduit à un générateur de Thévenin équivalent de fem E et de résistance moitié r

2 .3. La puissance reçue par le moteur s’écrit Prmoteur = VAI

′ avec les notations ci-dessus. Si la tension auxbornes du moteur n’a pas été déterminée (cf autres méthodes), on peut l’obtenir par u = E′ + r′I ′.Finalement on obtient (au choix)

Prmoteur =Er′ + E′ r2r′ + r

2

E − E′

r′ + r2

=(E′ + E − E′

1 + r2r′

)E − E′

r′ + r2

= 14 W .

Comme la tension u s’applique aussi à chaque moteur, on trouve par la loi des noeuds que Pc géné 1 +

Pc géné 1 = Prmoteur. La symétrie impose Pc géné 1 = Pc géné 1 = 12 Prmoteur = 7 W (car I = 1

2I′).

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III. Fonctionnement d’une minuterie

1. Il s’agit d’un circuit RC série en charge soumis à une tension constante E (cf cours). La loi des maillesdonne

E = τducdt + uc avec τ = RC .

2. La solution générale s’écrit uc(t) = up(t) + λ e−tτ où λ ∈ R une constante indéterminée. up(t) est une

solution particulière cherchée constante. On obtient up(t) = E. La condition de continuité de la tension

du condensateur impose uc(0) = 0 = E + λ d’où λ = −E et uc(t) = E(1− e−

tτ

).

On a uc(t)t→∞

= E ce qui représente le régime permanent.

3. On note que la pente à l’origine vaut Eτ :

4. On cherche t` vérifiant : uc(t`) = U` = E(1− e−

t`τ

)⇔ t` = −τ ln

(1− U`

E

)= 22 s .

5. Le composant M doit couper le circuit dès que le critère uc ≥ U` est détecté. Mais il y a toujours du« bruit » (électrique) qui se superpose au signal théorique, d’où des erreurs de détection du seuil. Si cecritère est validé au bout d’un temps long devant τ , lorsque uc évolue lentement (faible pente), cela risqued’occasionner une grosse incertitude sur t` et donc un non respect de la durée demandée. En pratiqueil faut prendre un seuil suffisamment éloigné de l’asymptote pour assurer une détermination fiable de t`.

6. On peut augmenter t` en augmentant U`, avec l’inconvénient cité précédemment. L’autre solution estd’augmenter τ , c’est-à-dire le produit RC, en augmentant R ou C ou les deux.

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IV. Principe d’un hygromètre capacitif (d’après E3A PC 2009)

1. On obtient C0 = Ch(hr = 0) = 110 pF et a = Ch(hr = 1)C0

− 1 = 1, 27.

2.On défini ia et ib les courants passant respectivement dans chaquediode de A vers B, de telle sorte que i = ia + ib.• Supposons Da et Db bloquées, alors ia = ib = i = 0 doncles tensions aux bornes des résistances sont nulles, d’où u =uda ≤ 0 et u = udb ≥ 0 et donc finalement u = 0.• Supposons Da et Db passantes, alors uda = udb = 0 les ten-sions aux bornes des résistances sont nulles, d’où u = Raia ≥ 0et u = Rbib ≤ 0 et donc u = 0 et ia = ib = i = 0.

Finalement, les diodes ne peuvent avoir le même état qu’au point origine (u = 0, i = 0), c’est-à-direquand il ne se passe rien. Donc pour tous les états utiles, l’une des diodes est bloquée et l’autrepassante. On en déduit que :• si Da est passante, alors u = Rai pour u ≥ 0.

• si Db est passante, alors u = Rbi pour u ≤ 0.

Le dipole (AB) forme donc un résistor dontla résistance est différente selon le sensde passage du courant.

3. Pour t ∈]0, T1[, la loi des mailles s’écrit E = uAB + uc. Par continuité de la tension uc, qui est nulle àt = 0, on a uAB(t = 0+) = E > 0 donc le courant i passe par Ra et le condensateur se charge car i > 0,de telle sorte que uc croît. Le circuit équivalent est donc Ra en série avec Ch et on observe la charge ducondensateur jusqu’à la date T1.

On a E = Rai+uc = RaChducdt +uc donc τa

ducdt + uc = E en posant le temps caractéristique τa = RaCh .

La solution s’écrit uc(t) = λ e−tτa + E. Par continuité on a uc(0) = 0 = λ + E. Donc finalement λ = −E

et uc(t) = E(1− e−

tτa

)pour t ∈]0, T1[.

4. Pour t > T1, la loi des mailles s’écrit maintenant 0 = uAB+uc. Par continuité uc(T1) > 0, donc uAB(T+1 ) <

0 puisque la somme est nulle, et le courant i < 0 passe donc par Rb, le condensateur se décharge.

On a alors τbducdt + uc = 0 , en posant le temps caractéristique τb = RbCh , et ceci tant que uAB < 0

donc tant que uc > 0.

La solution s’écrit uc(t) = µ e− t−T1

τb , et sa continuité impose uc(T1) = µ = E (1 − e−T1τa ). Finalement on

obtient uc(t) = E

(1− e−

T1τa

)e− t−T1

τb , qui est valable pour tout t > T1 car la solution est positive à tout

instant.5. On a donc τb = 10τa.

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6. Comme i+ = 0, les deux résistances R0 forment un pont diviseur de tension, d’où après simplification

v+ = 12 ue .

7. Le circuit avec AO sert de comparateur : la tension de sortie u1 va basculer de +USAT vers −USAT

lorsque v− dépassera v+ = E2 . Cela se produit à l’instant T2 tel que E

2 = E

(1− e−

T2τa

). On obtient

T2 = τa ln 2 ≤ T1 .8. Le dispositif doit fonctionner avec toute valeur d’humidité. Or T2 est maximale (respectivement minimale)

pour une humidité maximalec h = 1 (minimale h = 0).Obtient T1 min ≥ T2 max = RaChmax ln 2 = 468µs et T2 min = RaChmin ln 2 = 207µs.

9. On a donc T2 = T2 min = 207µs et τb = τa.

10. • Lorsque u1(t) > 0, la diode est forcément passante. En effet dans l’hypothèse contraire le courantcirculant dans R1 serait nul donc on aurait u1 ≤ 0 pour que l’état soit bloqué, ce qui est contradictoire.Donc si D est passante v+ = u1 et donc u2 = u1.• De même, lorsque u1(t) ≤ 0, la diode est forcément bloquée. Dans l’hypothèse contraire on auraitu1 = R1i1 avec i1 > 0 le courant circulant de l’entrée + vers la masse, donc on aurait u1 > 0 ce quiest contradictoire. Donc si D est bloquée on a v+ = R1i1 = 0 donc u2 = 0.

Finalement, u2 = u1 si u1 > 0, u2 = 0 sinon .Remarque : ce montage s’appelle un « redresseur mono-alternance », il fournit la partie positive d’unsignal, et annule la partie négative. On peut aussi garder plutôt la partie négative en retournant la diode.

11. En appliquant la définition de la valeur moyenne, on obtient < u2 >= USATT2T

(fonction constante pen-

dant une durée T2).Remarque : on voit que le signal < u2 > est proportionnel à la durée T2 elle-même proportionnelle à lacapacité Ch, ce qui va permettre de mesurer l’humidité.

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12. On a < ic >= 1T

´ T0 ic(t)dt = 1

T

´ T0 C du3

dt dt = C [u3(t)]T0 = C(u3(T ) − u3(0)). Donc < ic >= 0 carcomme tous les signaux, u3 est périodique.Or u2 = R2i + R3(i − ic), donc par linéarité de la moyenne : < u2 >= R2 +R3( − < ic >) = (R2 + R3) donc = <u2>

R2+R3. On en déduit < u3 >= R3 = R3

R2+R3< u2 >, donc

< u3 >= USATT2T

R3R3 +R2

.

Remarque : on constate que ce circuit fonctionne en moyenne comme un pont diviseur de tension...13. D’après les questions 3., 7. et 12., on obtient < u3 >= USAT

R3R3+R2

ln 2RaT Ch avec Ch = C0 (1 + ahr) d’où

hr = 1a

[< u3 >

USAT

(1 + R2

R3

)T

ln 2RaC0− 1

]= 2, 39 = 239 % .

Remarque : Une humidité supérieure à 100% n’est pas impossible si l’atmosphère est sur-saturée... mais lavaleur obtenue ici est vraiment excessive, et provient donc certainement d’une erreur d’énoncé ! On peutpenser que la valeur fournie pour < u3 > est trop élevée.

14. Si l’on injecte la loi des noeuds i = C du3dt + u3

R3dans la loi des mailles u2 = R2i + u3, on obtient après

mise-en-forme τdu3dt + u3 = R3

R3 +R2USAT ∀t ∈ [0;T2[ avec τ = R2R3C

R2 +R3.

La solution s’écrit u3(t) = R3R3+R2

USAT + λ e−tτ , avec pour condition initiale u3(0) = Umin. D’où

u3(t) =(

R3R3 +R2

USAT − Umin

)(1− e−

tτ

)+ Umin , ∀t ∈ [0;T2[ .

15. L’équation différentielle est la même que précédemment sauf que u3 = 0, ce qui donne τdu3dt + u3 = 0 , ∀t ∈

[T2;T [.La solution s’écrit maintenant u3(t) = µ e−

t−T2τ , avec pour condition initiale u3(T2) = Umax. D’où

u3(t) = Umax e− t−T2

τ = ∀t ∈ [T2;T [ .

16. On utilise les expressions établies en 14. et 15.. Par continuité de la tension u3 en t = T2 et t = Trespectivement, et en exploitant la périodicité, on a : u3(T2) = Umax

u3(T ) = u3(0) = Umin⇐⇒

Umax =

(R3

R3+R2USAT − Umin

)(1− e−

T2τ

)+ Umin (1)

Umin = Umax e−T−T2

τ (2)

On obtient ci-dessus un système linéaire de deux équations pour les deux inconnues Umin et Umax. Lacombinaison linéaire e−

T−T2τ × (1) + (2) conduit à

Umin = R3R3 +R2

USAT

(1− e−

T2τ

)e−

T−T2τ + Umin e

−Tτ ⇔ Umin = R3

R3 +R2USAT

1− e−T2τ

1− e−Tτ

e−T−T2τ .

Puis (2) conduit à

Umax = R3R3 +R2

USAT1− e−

T2τ

1− e−Tτ

.

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17. En réunissant les résultats des questions 12. et 16., on obtient ρ = T

T2

1− e−T2τ

1− e−Tτ

(1− e−

T−T2τ

)= 9, 0 %

et 7, 7 % respectivement pour les valeurs T2 min et T2 max obtenues en 8. On constate que le taux d’on-dulation reste inférieur à 10% donc relativement faible.

18. Indépendemment du signal d’entrée ue(t) et du filtre, c’est-à-dire en fixant T et τ , il ne reste que T2 commelevier. Or on montre facilement que ρ est une fonction décroissante de T2 tant que T2 ≤ T

2 . Parconséquent, on peut réduire l’ondulation en augmentant T2 de façon générale via τa. Comme τa dépendde l’humidité, il faut donc augmenter le produit RaC0.La dépendance en τ n’étant pas évidente dans ce calcul, on ne peut conclure simplement sur l’effet dufiltre 1.

1. cf cours ultérieur sur le Filtrage.

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