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Universite Hassan II Mohammedia - Casablanca

Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca

Recherche Oprationnelle : Analyse de sensibilit

Exercice 1s

Une entreprise familiale vend des horloges de fabrication artisanale. David et ses deux soeurs,Diane et Lyne, travaillent la fabrication et la vente de deux types dhorloges : des horlogesgrand-preet des horloges murales. David soccupe de lassemblage du mcanisme de chaquehorloge, Diane fabrique les caissons de bois, alors que Lyne est en charge de la prise de commandes etde la livraison des horloges. David et Diane sont disponibles jusqu 40 heures par semaine, alors queLyne peut travailler jusqu 20 heures par semaine dans lentreprise familiale. Les temps requis pourchaque tche en fonction du type dhorloge, de mme que les profits pour chaque type dhorloge,sont donns dans le tableau suivant :

Tche Horloge grand-pre (heures/unit) Horloge murale(heures/unit)Assemblage du mcanisme 6 4

Fabrication des caissons 8 4Prise de commandes et livraison 3 3

Profit/unit ($) 300 200

Le problme consiste dterminer combien dhorloges grand-pre et dhorloges murales doiventtre fabriques chaque semaine de faon maximiser le profit total.

1. Formulez ce problme laide dun modle de programmation linaire.Variables :x1 =nombre dhorloges grand-pre fabriquesx2 =nombre dhorloges murales fabriquesObjectif :max z= 300x1+ 200x2Contraintes:6x1+ 4x2 408x1+ 4x2 403x1+ 3x2 20x1, x2 0

2. Formulez le dual de ce problme et proposez une interprtation de la signification des variablesduales.Variables :(interprtation de la signification des variables duales)y1 = prix ($/heure)pour louer du temps de la ressource 1, soit Davidy2 = prix ($/heure) pour louer du temps de la ressource 2, soit Dianey3 = prix ($/heure)pour louer du temps de la ressource 3, soit LyneObjectif :min W= 40y1+ 40y2+ 20y3

Contraintes:6y1+ 8y2+ 3y3 3004x1+ 4y2+ 3y3 200y1, y2 0

Supposez que votre modle en 1. soit formul laide dun chiffrier Excel. Suite la rsolution dumodle par Excel Solver, le rapport de sensibilit suivant est obtenu :

Interprtez ce rapport de sensibilit pour dterminer :

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1. La solution optimale du problme.x1 = 10/3, x2 = 10/3

2. La solution optimale du dual.y1 = 0, y2 = 25, y3 = 100/3

3. La valeur optimale du problme.zmax= 300 (10/3) + 200 (10/3) = 1666 + 2/3

4. La valeur optimale du dual.wmin= 40 (0) + 40 (25) + 20 100/3 = 1666 + 2/3.On remarquezmax= wmin(Thorme de la dualit forte)

5. De combien on peut diminuer le profit par horloge murale sans changer la solution optimaledu problme.50$

6. Supposons que le profit par horloge murale augmente de 200 270. De combien le profit totalaugmente-t-il ?Puisquec2 = [200 50, 200 + 100] (voir table 1) alors la solution optimale na pas chang etdans ce cas zmax= 300x1+ 270x2 = 300 10/3 + 270 10/3 = 1900.Donc le profit total augmentera de1900 1666.66 = 233.34

7. De combien on peut augmenter le nombre dheures hebdomadaires durant lesquellesLynepeuttravailler sans changer la solution optimale du dual. On peut augmenter le nombre dheureshebdomadaires de Lyne de 10h (Admissible augmentation, table 2) sans changer la solutionoptimale du dual.

8. On peut augmenter la production en ayant recours la sous-traitance, le cot horaire est 1400,est ce que lentreprise a intrt augmenter sa production ?

9. Diane songe rduire son temps de travail, ce qui aurait pour effet de rduire le nombredhorloges fabriqus chaque semaine. Est-ce que la solution optimale changerait, et si ouicomment, si Diane travaille au maximum 38h par semaine au lieu de 40h ?Diane travaille au maximum 38h par semaine au lieu de 40h : puisque38 [4013.33, 40+13.33](voir table 2), la solution optimale du dual ne change pas. Le profit a diminu de 25 2 = 50ce qui entraine ncessairement un changement de la solution optimale du primal. La rponseest OUI.

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10. Davidsonge rduire son temps de travail de 203

h par semaine. Est-ce que ceci aura un impactsur le plan de production ? expliquez

NON puisque on a un nombre dheures de 6.67 que David na pas utilis : ici lcart entrele nombre dheures utilis et le nombre dheures disponible est s1 = 40 33.33 = 6.67 =10

3 =admissible rduction. Ici y1 = 0 ne change pas et aussi le profit ne change pas. Donc le

plan de production reste inchang.

Excercice 2s.

Une compagnie, appel MEUBLE, produit des bureaux, tables et chaises. La fabrication dechaque type de produit ncessite de la matire premire (bois) et deux types dactivits : menuiserieet finition. La quantit requise de chaque ressource est donne comme suit :

Bureau Table Chaise Qt disp de ressource

Bois (plaque) 8 6 1 48Menuiserie (heure) 2 1.5 0.5 8

Finition (heure) 4 2 1.5 20Prix de revient ($) 60 30 20

1. Formulez ce problme laide dun modle de programmation linaire.max z= 60x1+ 30x2+ 20x3

(P) s.c

8x1 + 6x2 + x3 48 (ressource bois)2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 8 (ressource menuiserie)4x1 + 2x2 + 1.5x3 20 (ressource f inition)

x1, x2, x3 0

2. Formulez le dual de ce problme et proposez une interprtation de la signification des variablesduales.

min w= 48y1+ 8y2+ 20y3

(D)s.c

8y1 + 2y2 + 4y3 606y1 + 1.5y2 + 2y3 30

y1 + 0.5y2 + 1.5y3 20y1, y2, y3 0

(yi dsigne la valeur (prix) dune unit de la ressource i.)

Supposez que votre modle en (1.) soit formul laide dun chiffrier Excel. Suite la rsolutiondu modle par Excel Solver, le rapport de sensibilit suivant est obtenu :

3

Pour le produit table, tant que sa contrib

infrieure 35 (30+5), il est inintressan

produire. Une autre faon d'aboutir ce

rsultat est obtenue avec le cot rduit

si on tait oblig de produire des tables

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