Travaux dirigés de transports et transferts thermiques

Année 2014-2015

Arnaud LE PADELLEC alepadellec@irap.omp.eu

Travaux dirigés de transports et transferts thermiques

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P r é s e n t a t i o n

Tous les exercices de transports et de transferts thermiques qui seront abordés en Travaux Dirigés

cette année sont regroupés dans ce fascicule. Ces exercices sont regroupés par thème. Il est

demandé aux étudiants de préparer la séance de travaux dirigés.

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Thème 1 : Diffusion de particules

Exercice 1 : Diffusion de porteurs dans un semi-conducteur

On considère un barreau semi-conducteur cylindrique d’axe Ox, de rayon a et de longueur L

(L >> a). On étudie la diffusion des porteurs de charges électrons ou trous, dans la direction Ox.

Soit n(x, t) leur nombre par unité de volume.

On demande d’évaluer entre les instants t et t + dt la variation dN du nombre de porteurs compris

entre les sections d’abscisses x et x + dx. On suppose à cet effet que :

- des porteurs peuvent être créés dans le matériau; leur nombre par unité de volume et de temps est

supposé constant et noté τ

n0 (n0 et τ constantes)

- des porteurs peuvent disparaitre à cause des recombinaisons, leur nombre par unité de volume et

de temps est proportionnel à n et noté -τ

n .

1. Enoncer la loi de Fick et en déduire l’équation satisfaite par n(x, t).

2. On suppose le régime stationnaire atteint, déterminer n(x). On l’exprimera en fonction de n0, n(0)

valeur de n à l’abscisse 0 et de la longueur de diffusion LP. LP est définie par la relation

LP = 2/1)τD( où D est le coefficient de diffusion des porteurs. En déduire l’intensité I(x) du courant

de diffusion des charges q à travers le barreau.

Exercice 2 : Diffusion de neutrons dans un réacteur nucléaire en régime stationnaire

On considère un milieu dans lequel se produit la diffusion d’un espèce chimique caractérisée en un

point de vecteur position rr

et à l’instant t par la densité particulaire )t,r(nV

r. Un processus de

production fait apparaître n

σ particules par unité de volume et par unité de temps.

1. En considérant un volume quelconque, établir la relation liant n

σ , t

nV

∂

∂ et la divergence du

vecteur courant de particules ou densité de flux nJr

. Quelle est, en régime stationnaire, l’équation

différentielle vérifiée par )t,r(nv

r ?

On considère, dans un réacteur nucléaire fonctionnant en régime stationnaire, un boulet sphérique

de rayon R jouant le rôle de source de neutrons. Cette source est supposée seule et l’on admet que la

fonction n

σ est constante à l’intérieur du boulet et nulle à l’extérieur de celui-ci. En transformant

l’intégrale portant sur la divergence du vecteur courant de particules nJr

, étendue à un volume

sphérique concentrique avec le boulet, en une intégrale portant sur le flux de nJr

étendue à la

surface de la sphère :

2. Exprimer en fonction de R, r, n

σ et du coefficient de diffusion D, la densité particulaire

)r(nV

rde neutrons, à la distance r du centre du boulet (on utilisera la propriété de continuité de

)r(nV

ren r = R).

3. Faire une représentation graphique de la variation de Vn et de la norme du vecteur nJr

en

fonction de r lorsque r varie entre 0 et l’infini.

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Exercice 3 : Diffusion de molécules à travers une membrane

Soit une membrane poreuse de surface S, de faible épaisseur L, comportant p pores cylindriques

identiques par unité de surface. Cette membrane sépare deux compartiments 1 et 2 cylindriques de

même axe Ox et de volume constant respectif V1 et V2 contenant la même solution moléculaire mais

à des concentrations différentes n1 et n2 avec n1 > n2. Dans chacun des pores de la membrane

s’établit un flux de molécules suivant Ox, donné par la loi de Fick. On note n(x,t) la concentration

moléculaire à travers un pore à l’abscisse x et à l’instant t et D le coefficient de diffusion supposé

uniforme.

On admet que dans un pore la concentration moléculaire est une fonction affine de l’abscisse x :

n(x,t) = A(t) x + B(t). A chaque instant t, les concentrations n1(t) et n2(t) restent uniformes dans

chacun des compartiments. On note ∆n(t) = n1(t) – n2(t) l’écart des concentrations au temps t.

1. Déterminer le flux de molécules Φp à travers un pore de longueur L et de rayon R. L’épaisseur L

de la membrane étant considérée comme très faible, à quelle expression peut-on assimiler

dnV(x, t) / dx ?

2. Montrer que le flux de molécules Φm à travers toute la membrane a pour expression :

Φm = -K ∆n(t) S où K est la perméabilité de la membrane. Déterminer l’expression de K en fonction

de p, D et L. Calculer numériquement le rayon R d’un pore en µm ; on donne K = 10-6

m s-1

,

D = 10-9

SI, L = 10 µm, p = 106 pores cm

-2.

3. Donner les variations des nombres de particules dN1(t) et dN2(t) respectivement dans les

compartiments 1 et 2 entre les instants t et t + dt.

4. Etablir l’équation différentielle de diffusion à laquelle obéit ∆n(t) en posant

1/τ = (1/V1 + 1/V2) K S. On notera ∆n(t=0) = ∆n0. Intégrer cette équation et montrer que ∆n(t) est

de la forme C exp(-αt). Expliciter C et α. Calculer le temps t1 au bout duquel ∆n(t = t1) = ∆n0/10.

Exercice 4 : Injection d’un soluté dans une veine (A faire après le TD)

Une veine est schématisée par un tube horizontal d'axe x'x et de très faible section S dans lequel

s'écoule le sang à la vitesse d’entraînement constante xee evv = (v > 0). Au point O d'abscisse x = 0

on injecte goutte à goutte un soluté avec un débit tel que la concentration n0 de soluté en ce point

reste constante.

Soit n(x, t) la concentration à la date t dans une section d'abscisse x. On note le vecteur courant

volumique nJ dû à la diffusion du soluté dans le sang, le coefficient de diffusion D étant considéré

comme constant. L'étude porte sur le phénomène de diffusion à contre-courant c'est-à-dire en tout

point défini par une abscisse x < 0.

1. Rappeler la loi de Fick, pour une diffusion axiale, en précisant les grandeurs physiques

introduites ainsi que leur unités SI. Rappeler la définition de nJ en fonction de n et ev .

2. Etablir, en fonction de Jn, S, dt et dx, le bilan du nombre dN de molécules de soluté pendant

l’intervalle de temps dt pour la portion de veine comprise entre les abscisses x et x + dx.

3. Etablir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par n(x, t). Résoudre cette équation en régime

stationnaire et exprimer alors n(x) en fonction de n0, ve, D et x (x < 0). On déterminera les

constantes d’intégration en appliquant les conditions aux limites de n en x = 0 et x = -∞.

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Thème 2 : Diffusion thermique

Exercice 1 : Equilibre d’un mammifère

Un mammifère peut être schématisé par une sphère de muscle de centre O et de rayon R dont le

métabolisme dégage une quantité de chaleur σ par unité de temps et de volume.

L’animal, au repos, est plongé dans l’eau ou l’air, dont on note D, pour r > R, le coefficient de

diffusion thermique (D = cte). La température, pour r → ∞, est la température ambiante T0 = 20° C.

1. Enoncer la loi de Fourier en précisant les grandeurs introduites et leurs unités.

2. Compte tenu de la symétrie du problème, expliciter les composantes du vecteur densité de flux

thermique dans la base locale associée au point M de coordonnées sphériques (r, ϕ, θ).

3. On considère la sphère de rayon r > R. Expliciter sa variation d’énergie interne, sans travail, dU

entre les instants t et t + dt compte tenu du régime stationnaire. En déduire que pour r > R :

.T + 1

3

R = )( 0

3

rrT

λ

σ

4. Représenter, pour un animal donné, et un milieu extérieur donné la température à l’extérieur de

l’animal. Commentaire. Représenter sa température cutanée (TC = T(R)) en fonction du coefficient

de diffusion thermique du milieu extérieur. Commentaire.

5. Pour un milieu extérieur donné, représenter TC en fonction de R. Commentaire.

6. Quelles doivent être les valeurs de σ pour avoir TC = 30° C dans l’eau, puis dans l’air pour un

animal tel que R = 25 cm ? On donne D(eau) = 500 W.m-1

.K-1

et D(air) = 5 W.m-1

.K-1

Exercice 2 : Isolation thermique d’une canalisation

Un fluide circule à l’intérieur d’une canalisation cylindrique que l’on suppose infiniment longue.

Elle est entourée d’un manchon cylindrique isolant. On note ri et re les rayons intérieur et extérieur

du manchon et λ sa conductivité thermique.

On suppose le régime stationnaire atteint. La température imposée par le fluide sur la face interne

du manchon (ri) est Ti ; la face externe (re) au contact de l’air est à la température Te (Ti > Te).

1. Indiquer les variables dont dépend la température T du manchon à une distance r de l’axe

(ri < r < re).

2. Ecrire l’équation différentielle satisfaite par T. En déduire les expressions de Ti - T et dr

dT en

fonction de r, ri, re, Ti et Te.

3. Enoncer la loi de Fourier et déterminer l’équation aux dimensions du coefficient de conductivité

thermique λ.

4. Calculer la puissance thermique traversant le manchon sur une longueur L à une distance r de

l’axe. En déduire la résistance thermique du manchon sur une longueur L.

Exercice 3 : Conduction thermique à symétrie cylindrique et effet Joule

Soit un fil cylindrique homogène de cuivre (voir figure 1), d’axe z’z, de section S1, de rayon b1 =1

cm, supposé infiniment long (on négligera les effets de bord), de conductivité thermique λC = 390

W m-1

K-1

et de résistivité électrique ρC = 1.7 10-8

Ω m. Ce fil de cuivre, de résistance R

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(R = ρC L / S1), est parcouru par un courant électrique (uniformément réparti) d’intensité constante I

= 300 A.

Le fil est enveloppé d’une gaine isolante, de conductivité thermique λi, de section S2 et de rayon

b2 = 2 b1 et coaxiale au fil. La paroi externe de la gaine est maintenue à la température Ta = 293 K.

En régime stationnaire, la chaleur dissipée par effet Joule dans le cuivre traverse la gaine isolante.

Fig. 1

1. Calculer la puissance σU produite par effet Joule dans une section de longueur L du fil de cuivre

par unité de volume.

2. Donner l’expression du courant volumique d’énergie interne JU (r) dans le fil pour 0 ≤ r ≤ b1.

3. Montrer qu’en régime stationnaire, l’équation différentielle dans le fil s’écrit :C

U

λ

σT∆ −= .

Etablir la loi de variation de la température T(r) en fonction de T(r = 0) = T0, r, b1, I, ρC et λC. On

retiendra une constante d’intégration qui assure que T(r = 0) reste finie. Pourquoi le gradient de

température dans le fil de cuivre est négligeable ?

4. Déterminer le flux thermique I’U(r) et le courant volumique d’énergie interne J’U(r) à travers la

gaine isolante. Etablir la loi de variation de la température T(r) dans la gaine isolante pour

b1 ≤ r ≤ b2 en fonction de Ta, r, b1, b2, I, ρC et λi. En déduire la température de la surface de contact

métal-isolant T(r = b1) = Tc.

5. On mesure TC = 298 K, déterminer la valeur de la conductivité thermique de l’isolant λi.

Exercice 4 : Conduction thermique dans un combustible nucléaire (A faire après le

TD)

Dans un barreau cylindrique d’uranium, utilisé comme combustible nucléaire, la puissance

volumique (ou taux de production d’énergie interne) produite par les réactions nucléaires est

σU = 480 MW m-3

. La conductivité thermique de l’uranium est Λ = 30 W m-1

K-1

et sa température

de fusion est Tf = 1405 K. La surface latérale du barreau est maintenue à la température Ts = 443 K.

On cherche à déterminer la distribution de la température dans le barreau en régime stationnaire et

en fonction de sa géométrie. Le barreau est un cylindre plein homogène de rayon R = 2 cm, de

longueur L. On considère le barreau suffisamment long pour que la température T ne dépende que

de r.

1. Rappeler la loi de Fourier de la diffusion thermique en précisant les grandeurs physiques

introduites ainsi que leur unités SI. Donner l’expression du vecteur courant volumique d’énergie

interne UJ et du flux d’énergie interne IU dans le barreau.

2. Etablir, à l’aide du bilan de l’énergie interne U dans un volume V, l’équation différentielle de la

diffusion thermique. On rappelle V

Uuρ = l’énergie interne volumique et

V

mρ = .

3. Montrer que la loi de variation de la température en tout point du combustible, à la distance r de

l’axe, est de la forme 2rBAT(r) −= . Calculer les coefficients A et B. Faire l’application numérique.

er

ez

b1 b2 Gaine isolante

Gaine isolante

cuivre ΙΙΙΙ

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Que représente A ? Commenter les résultats. La géométrie du barreau est elle bien adaptée pour un

tel combustible ?

4. Déterminer la puissance volumique maximale σUmax que l’on peut extraire du barreau si l’on ne

veut pas dépasser sa température de fusion.

Le combustible occupe maintenant l’espace entre deux cylindres de rayons respectifs Re = R = 2 cm

et Ri = 1 cm (tube creux). La surface intérieure du tube est recouverte d’un isolant parfait (ΛI → 0)

et la surface extérieure est toujours maintenue à la température Ts = 443 K.

5. Montrer que le courant volumique d’énergie interne JU , à une distance r de l’axe, s‘écrit :

−=

r

Rr

2J

2iU

U

σ. En déduire le gradient de température

r

T

∂

∂dans le barreau.

6. Montrer que la nouvelle loi de variation de la température est de la forme: 2rB-rLnC'AT(r) += . Déterminer A’ et C. Quelle est alors la valeur de la température maximale

Tmax atteinte dans le barreau ? Commenter.

On donne le Laplacien en coordonnées cylindriques: 2

2

2

2

2

1)(

1),,(

z

ff

rr

fr

rrzrf

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∆

φφ