UniversiteParisI,Pantheon-SorbonneLicenceM.A.S.S.FeuillesdeTDducoursdAlg`ebreS42011-2012Jean-MarcBardet(Universit eParis1,SAMM)Email: bardet@univ-paris1.frPageoueb: http://samm.univ-paris1.fr/-Jean-Marc-Bardet-U.F.R.27etEquipeSAMM(Statistique,AnalyseetModelisationMultidisiplinaire)UniversitePantheon-Sorbonne,90ruedeTolbiac,75013Paris.2 LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4Feuilleno1:Produitsscalairesetapplications(1) (*)SoitEunespacevectoriel. Determinerparmilesapplications(x, y) x, ydeE EdansIRsuivantes,cellesquicorrespondent`aunproduitscalairesurE.(a) E= IRet x, x =_x2(x)2.(b) E= IRet x, x = x2 4xx + 4(x)2.(c) E= IR2et (x, y), (x, y) = 4xx xy 2yx +yy.(d) E= IR2et (x, y), (x, y) = xx + 2xy + 2yx + 8yy.(e) E= IR2[X]et P, Q = P(0)Q(0) + 2P(1)Q(1) + 3P(0)Q(0).(f) E= (0([0, 2], IR)lespacedesfonctionscontinuessur[0, 2] `avaleursreellesetpourf,g E,f, g =_202f2(t)g(t) + 2f(t)g2(t)dt.(2) (**)Soit u=(x, y) et u=(x, y) deuxvecteursdeIR2quelonsupposeorthogonauxausensgeometriqueduterme(cest-` a-direquesiuestlevecteurOAetsivestlevecteurOB,alorsAOBestuntrianglerectangle...). Montreralorsquexx +yy= 0.(3) (*) Soit E=IRnet soit (ai)1inune famille de nombres reels strictement positif. Montrerque lapplication (x, y) E2

ni=1aixiyiest un produit scalaire (o` u x =(x1, , xn) etx = (y1, , yn)).(4) (***)Soit Elensembledes fonctions denies sur [0, 1]. Montrer quelapplicationf,g E supx[0,1][f(x)[[g(x)[nestpasunproduitscalaire.(5) (*) Soit lespace vectoriel/p,q(IR) des matrices carrees de taille p `a coecients reels. Mon-trer quepour toutes matrices M=(mij)1i,jpet M=(mij)1i,jpde /p(IR), lapplication=

pi=1

pj=1mijmijest unproduit scalaire sur /p(IR). Enest-il de meme pour(M, M)

pi=1

pj=1mijmji?(6) (**)SoitElensembledessuitesnumeriques(un)nINtellesque

n=0u2n< . MontrerqueEestbien un espace vectoriel. Montrer que pour (x, y) IR2, 2[xy[ x2+y2. En deduire que lapplication(un)n, (vn)n E

n=0unvnexistebien,puisquecestunproduitscalairesurE.(7) (**)Apr`esavoirintroduitunproduitscalaireadequat,montrerlesinegalitessuivantes :(a) pourx, x, y, y IR2, [xx +yy[ _x2+y2_(x)2+ (y)2.(b)_10cos t1 +t2dt __10cos2(t)dt_12__1011 +t2dt_12= ...?(c) PourP IR[X],__11t2P(t)dt_223_11t2P2(t)dt.(8) (**) Soit E= /n(IR) lespace vectoriel constitue des matrice carrees de taille n `a coecients reels.Montrer que lapplication < M, N>:= Tr(tM N) est un produit scalaire sur E. Determiner Dn(IR)o` uDn(IR)estlensembledesmatricesdiagonalesdeE.(9) (*)SoitE= IR2etpourx = (x1, x2) EsoitlapplicationN(x) =_4x21 +x22 + 2x1x2_1/2.(a) MontrerqueN(x)existebienpourtoutx E.(b) MontrerqueN(x)estunenormeassociee`aunproduitscalairequelonprecisera.(c) DeterminerunebaseorthonormaledeEpourceproduitscalaire.(d) SoitF= x = (x1, x2) E,x1 +x2= 0. MontrerqueFestuns.e.v. deE,puisdeterminerunebaseorthonormale(pourleproduitscalaireprecedent)deFetdeterminerF.(10) (**)Onconsid`ereE= IR3canoniquemuniduproduitscalaireeuclidienusuelete = (e1, e2, e3)sabasecanonique. Soita = (1, 1, 1)etF= (x1, x2, x3) E,x1 x2 +x3= 0etx1= x3.(a) MontrerqueFestuns.e.v. deEdontonpreciseraunebasedanseetladimension.(b) DeterminerunebaseorthonormaledeF. Endeduirepourx E,pF(x)laprojectionorthogo-naledexsurF.LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4 3(c) Determiner F. Calculer de deuxmani`eres dierentes pour xE, pF(x) la projectionorthogonaledexsurF.(d) Calculerd(a, F).(11) (*) Soit E= (0([0, 1], IR) lespace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans IR muni du produitscalairedenipar f, g =_10f(t)g(t)dt.(a) Determiner une base orthonormale du sous-espace vectoriel Fde Eengendre par f1, f2deniesparf1(x) = 1, f2(x) = exx [0, 1].(b) DeterminerlaprojectionorthogonalesurFdef: x x,x [0, 1].(12) (**)SoitPunprojecteursurFparall`element `aG, o` uFetGsontdeuxsevensommedirectedunespacevectoriel euclidienE(cest-` a-direqueP(xF+ xG)=xFpourtoutxF F, xG G).Montrerquesipourtoutx E, |p(x)| |x|avec ||unenormeeuclidiennedeE,alorsPestunprojecteurorthogonal(soitForthogonal`aG).(13) (**)OnmunitIRnduproduitscalaireusuel. SoitH= (x1, , xn) IRn, a1x1 ++anxn= 0o` u(a1, , an)sontdes reelsdonnesnon tous nuls. Chercherla matricedans la base canoniquede IRndelaprojectionorthogonalesurH.(14) (**)SoitE= (0([1, 1], IR)lespacevectorieldesfonctionscontinuesde[1, 1].(a) MontrerquelondenitunproduitscalairesurEenposant f, g =_1111x2f(x)g(x)dx.(b) Onconsid`erelesous-espaceF= IR2[X]deE. TrouverunebaseorthogonaledeF(polyn omesdeTchebychedepremi`ereesp`ece).(c) Quelleestlameilleureapproximationdef(x) =1 x2dansIR2[X]pourceproduitscalaire.(15) (**)CalculerleminimumsurIR2def(a, b)=_0(x2+ ax + b)2sin(x) dx. Indication : Onpourrapenser`auneprojectionapr`esavoirintroduitleproduitscalaire f, g =_0f(t)g(t) sin(t)dt.(16) (**)Determinerinf(a,b,c)IR3_0(a sin(t) +b cos(t) +c t)2dt.(17) (**)SoitEunespaceeuclidiendedimensionnmunidunproduitscalaire< ,>1et(e1, , en)unebaseorthonormaledeEpour< , >1. Soit< , >2unproduitscalairesurEtelquilexistex0 E veriant < x0, x0>1,=< x0, x0>2. Montrer que (e1, , en) nest pas une base orthonormalepour< ,>2.(18) (***)SoitEunespaceeuclidienmunidunproduitscalaire< ,>etdelanormeassociee. Pourx E 0,onposef(x) =x|x|2.(a) Montrerquefverief2= fOf= IdE.(b) Montrerquepourtoutx, y E 0, |f(x) f(y)| = |x y||x| |y|.(c) Soit a, b, c, d E. Montrer que: |ac| |b d| |ab| |c d|+|b c| |ad| (Indication:serameneraucasa = 0etutiliserlapplicationf).(19) (*****)SoitE= (0([0, 1], IR)lespacevectoriel desfonctionscontinuesde[0, 1] dansIRmuni duproduit scalaire deni par f, g =_10f(t)g(t)dt. Soit F= IR[X] le sous-espace vectoriel des fonctionspolynomialesetsoitg(x) = expourx [0, 1].(a) Montrerqueg/ F.(b) Montrerquil existeunesuite(fn)defonctionspolynomiales(` apreciser)convergeantversgpourlanormeeuclidienne.(c) EndeduirequeF= 0.4 LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4Feuilleno2:Uneapplicationenanalyse: lesseriesdeFourier(1) (*)DeterminerledeveloppementenseriedeFourierdelafonctionf: x [, ] cos(x) sin2(x).(2) (*)Soit f unefonction2-periodique, continue par morceaux. Montrer que pour tout a IR,_ f(x)dx =_aa2 f(x)dx +_a+2a+f(x)dx.(3) (*)Soitlafonction2-periodiquefdenieparf(x) = 0si [x[ < /2etf(x) = 1si/2 [x[ .(a) DeterminerlaseriedeFourierdef. CetteseriedeFourierconverge-telleversf ? Enquelsens ?(b) Endeduirelessommesdesseries

(1)n2n+1et

1(2n+1)2.(4) (**)Soitflafonctionimpairesur[, ]tellequef(x) = ( x)xsur[0, ]. Tracerfsur[, ].Montrer que fadmet un developpement en serie de Fourier et le preciser. Calculer

+n=0(1)n(2n+1)3. EnutilisantleTheor`emedeBessel, quelleautresommedeserienumeriquepeut-onfacilementobtenir`apartirdecedeveloppementenseriedeFourier?(5) (*)Soitflafonction2-periodiquesurIRdeniesur]0, 2]parf(x) = xetparf(0) = . Tracerfsur[4, 4]. DevelopperfenseriedeFourier. Lafonctionfcoincide-t-elleaveclasommedesaserie de Fourier en tous points de [, ]?Etudier le cas particulier de x = 0. Calculer

+n=0(1)n2n+1 .En utilisant le Theor`eme de Bessel, quelle autre somme de serie numerique peut-on facilement obtenir`apartirdecedeveloppementenseriedeFourier?(6) (**)Onconsid`erelafonction2-periodiquesurIRdeniesur[, [parf(x) = cosx2+ sinx2.(a) Tracerfsur[4, 4].(b) CalculerlescoecientsdeFourierdef.(c) QuelleestlanaturedelaseriedeFourierSfdef?(d) Determinerlasommedelaserie

n=114n21.(7) (**) Determiner laserie de Fourier de lafonction2-periodique impaire f denie par f(x) =max(cos x, sin x). Quellessommesdeseriesnumeriquespeut-onendeduire?(8) (**)Enutilisantunesolutionparticuli`eresousformedeserietrigonometrique,resoudrelequationdierentielley(4)+ 3y(2)+ 2y= [cos t[(attentionaudomainedexistencedelaserie).(9) (***) Montrer que si une serie trigonometrique converge uniformement sur [0, ], alors elle est iden-tique`alaseriedeFourierdesasomme. DonnerlaseriedeFourierdunpolyn ometrigonometrique.Montrerquelaserietrigonometrique

+n=1sin nxnconvergesimplementsurIR. Enutilisantlafor-muledeParseval,montrerquelleestdierentedelaseriedeFourierdesasomme.LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4 5Feuilleno3:Formeslineairesetespacedual(1) (*)Montrer quetouteslesformeslineairessurE=IR2secrivent f(x1, x2) =a1x1+ a2x2aveca1,a2desreelsxes.(2) (*) Soit E un espace vectoriel muni dun produit scalaire , et x1,x2 E. Montrer que lapplicationx E x1, x 2x, x2estuneformelineairesurE. Determinersonnoyau. Etlapplicationx E x1, x x2?(3) (**)SoitE= IR2[X]. MontrerquelapplicationP E P(0) P(0)estuneformelineairesurE?Quelestsonnoyau?(4) (*) Soit E =(0([0, 1]), ensemble des fonctions continues sur [0, 1]. Montrer que f Ef(1) +_10sin t f(t)dtestuneformelineairesurE.(5) (**) Soit E un espace vectoriel euclidien muni dun produit scalaire , et fet g deux formes lineairesnonnullessurE. Montrerquef+ gestuneformelineairesurE. Existe-t-il unerelationentrelenoyaudef+getceuxdefetdeg?(6) (**)SoitE=IR2et(i, j)sabasecanonique. Determinerunebasedualede(i, j). Montrerque(i, i +j)estaussiunebasedeEetdeterminersabasedualeassociee.(7) (***) Soit E=IRn[X]. Soit Etelle que PIRn1[X], ((X a)P) =0. Mon-trer quil existe IRtel que: PE, (P) =P(a). Soit maintenant Etelleque:PIRn2[X], ((X a)2P)=0. Montrerquil existe, IRtelsque: PE, (P)=P(a) +P(a).(8) (***) Soit E lensemble des suites numeriques (un)nIN. Montrer que F= (un) E, limnn2[un+1un[ =0est uns.e.v. deE. Montrer quedimF= . Montrerquelapplication(un) FlimnunexisteetestuneformelineairedeF.(9) (**)SoitE= IR3etsoitlaformelineairesurE,f(x1, x2, x3) = x1 3x2. SoitelabasecanoniquedeE. Determinerlabasedualedee. DeterminerlenoyauFdef, ainsi queF(lorthogonalitesentendparrapport`alaformelineairef). ProposerunebaseeFdeFetunebaseeFdeF.Expliquerpourquoie= (eF, eF)formeunebasedeEetdeterminerlabasedualedee.(10) (**)SoitE= IRn. Pourx = (x1, , xn) E,onposefi(x) = x1 +xipouri = 1, , n. Montrerquelafamille(fi)1inestunefamilledeformeslineairessurE. RappelercequestE. Aquellecondition(fi)1inest-elleunebasedelespacedualE?Danslecaseo` ucestbienunebasedualedeE,exprimertouteformelineairef Edanscettebase.(11) (*)SoitE= IRnmuniduproduitscalaireeuclidienclassique< ,>. Soitflapplicationtellequef(x1, . . . , xn) = x1 ++xn. Montrerquilexisteununiquex0 Etelquef(x) =< x, x0>pourtoutx E. Quevautx0?(12) (**)SoitE= IRn[X]. MontrerquilexisteununiqueP0 Etelque,pourtoutP IRn[X]onaitP(0) =_10P0(t)P(t)dt.CalculerP0danslecaso` un = 1.(13) (**)SoitE=IR3[X], soit(b0, b1, b2, b3) IR4. Pourtouti=0, 1, 2, 3, onnoteui: P E Pbi.Montrer que la famille(u0, u1, u2, u3) est une base de Esi et seulement si les bisont tous distincts.(14) (***)SoitE= (0([0, 1]). Lapplicationu: f E f(1) f(0)est-elleuneformelineairesurE? SurEonassocieleproduitscalaire< f, g>:=_10f(t)g(t)dt. Peut-ontrouverg0 Etellequeu(f)=pourtoutf E? Si onconsid`eremaintenantles.e.v. Fn=IRn[X] deEetlememeproduitscalaireavecg Fn,est-cepossiblecettefois?6 LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4Feuilleno4:Applicationlineaireadjointeetreductiondesmatricessymetriquesetorthogonales(1) (*)Onconsid`erelespacevectoriel R3muni duproduitscalairecanonique, etF= (x1, x2, x3) IR3, x1 2x3= 0.(a) PreciserunebaseorthonormaledeF.(b) DeterminerF,lorthogonaldeF. PreciserunebaseorthonormaledeF.(c) Donner lexpressiondepF, laprojectionorthogonalesur F. Preciser les images par pFdesvecteursdelabasedenieprecedemment. DeterminerlapplicationadointedepF.(d) Pourx IR3donne,calculerd(x; F).(2) (*)SoitE=IR2[X] etsoitu /(E)tel queu(P)(x)=xP(x)pourtoutP Eettoutx IR.Determiner upour le produit scalaire =_10P(t)Q(t)dt puis pour le produit scalaire< P, Q >= P(0)Q(0) +P(0)Q(0) +P(0)Q(0).(3) (*)Soitu, v /(E)desendomorphismessymetriquesdunespaceeuclidienEmuni dunproduitscalaire< ,>. Montrerqueu0vestsymetriquesietseulementsiu0v= v0u.(4) (***)Soitf unendomorphismesymetriquedunespaceeuclidienEdedimensionntel quepourtoutx E,< x, f(x) >= 0. Montrerquef= 0. Soit(f1, , fp)desendomorphismessymetriquesdeE(p n)telsquerg(f1) ++ rg(fp)=net+ +=.Montrerquef1 + +fp= IdE,puisqueE= Im(f1) Im(fp). Montrerquepourtouti,fiestlaprojectionorthogonalesurIm(fi).(5) (***)SoitEunespacevectorieleuclidien. Unendomorphismeu /(E)estditnormalsiuetsonadjointucommutent(cest-` a-direuOu= uOu).(a) Soitunormal. MontrerquesiFestunsous-espacepropredeualorsFeststableparu. Endeduirequeuestdiagonalisabledansunebaseorthonormale. Lareciproqueest-ellevraie?(b) Soitu /(E). Montrerlquivalenceentrelesproprietessuivantes:(i) uestnormal.(ii) x E, |u(x)| = |u(x)|.(iii) Toutsous-espacevectorielstableparueststableparu.(iv) Siunsous-espacevectorielFeststableparualorsFeststableparu.(6) (**)Soit f /(E) tel quefOf=fOf et f2= IdE. Montrerquef est unendomorphismeorthogonaldeE.(7) (***) Soit fun endomorphisme dun espace euclidien Etel que f2= Id. Montrer que les conditionssuivantessont equivalentes(a) festunesymetrieorthogonale.(b) festsymetrique(f= fcest`adirepourtoutx, y E, f(x), y = x, f(y)).(c) festunetransformationorthogonalei.e. preserveleproduitscalaire : f(x), f(y) = x, y.(8) (**) Soit Eun espace euclidien et u : E Etelle que pour tout x E, |u(x)| = |x|. Montrer quepourtoutx, y E, u(x), u(y) = x, y. Endeduirequeuestuneapplicationlineaireorthogonale.Soitf: E Etellequepourtoutx, y E, |f(x) f(y)| = |x y|. Montrerquef= t uo` utestunetranslationetuestorthogonale.(9) (*) Soit les matrices M1=_ 1 11 2_, M2=__0 1 01 0 10 1 0__et M3=__13 4 24 13 22 2 10__. Pourchacunedecesmatrices,(a) Determinerlesvaleurspropresetdesvecteurspropresorthonormauxassocies.(b) Calculerlapuissancen-`emedelamatrice.LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4 7(10) (**)SoitAetBdesmatricessymetriquesdetaillen 2. LamatriceABest-elleunematricesymetrique?Meme question en remplacant symetrique par orthogonale,puis examiner le cas par-ticuliero` uB= A.(11) (**)SoitAunematricesymetriquedetaillentellequilexistek INveriantAk= In. MontrerqueA2= Id.(12) (**) Soit A = (ai,j)1i,jnune matrice symetrique reelle de taille n et de valeurs propres 1, , n.Montrerque

ni=1

nj=1a2i,j=

ni=12i.(13) (**)ResoudrelequationM2 3 M+ 2 In= 0pourMunematricecarreesymetriquedetaille2.(14) (***)SoitAunematricecarreedetaillen. MontrerqueAestsymetriquedeniepositivesi etseulementsilexisteBunematriceorthogonaledetaillentellequeA =tBB.(15) (***)Pouraunreel,soitlamatrice:M=_______1 a 0 00a 1 a 000 a 1 a0...............00 a 1_______.DiagonaliserMdansunebaseorthonormale. CalculerMn.(16) (***)SoitX=t(x1, . . . , xn)unvecteurnonnuldeIRn,o` un INetsoitlamatriceM= X tX.(a) DeterminerlerangdelamatriceM(onpourrachercherlenoyaudelendomorphismedeIRnrepresenteparM).(b) EndeduirelesvaleurspropresdeMetlessous-espacespropresassocies.(c) CalculerMn.8 LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4Feuilleno5:Formesbilineairessymetriquesetformesquadratiques(1) (*)Soit(E, )unespaceprehilbertienet IR. Montrerquelapplication(x, y)=estuneformebilineairesymetriquesurE. Aquellesconditionssurlaformequadratiqueassociee`aest-elledenie?Positive?.(2) (*) Soit (E, < ., . >) un espace prehilbertien et u un endomorphisme sur E. Montrer que lapplication(x) =< x, u(x) >pourtoutx EestuneformequadratiquesurE. Determinerlendomorphismeassocie`a.(3) (**) Soit une forme quadratique denie positive sur IRn. Si on note | | la norme euclidienne usuellesurIRn,montrerquilexisteuunautmorphismedeIRntelquepourtoutx IRn,(x) = |u(x)|2.(4) (*)Soit : IR3 IRdeniepar(x) = x21 +x1x2 +x23pourx = (x1, x2, x3) IR3.(a) Montrer queest uneformequadratique. Donner lamatricerepresentativedelaformebilineairesymetriqueassociee`adans(e1, e2, e3)basecanoniquedeIR3. est-elledegeneree?(b) Determiner(Vect(e1 +e2/2, e3).(c) Determinerunebaseorthonormalepour.(d) Determinerlasignaturede.(e) Determinerker()etlensembledesvecteursisotropesde.(5) (**)Soit : /2(IR) IRlapplicationdeniepar(M) = det(M).(a) Montrerqueestuneformequadratiquesur /2(IR).(b) Donner la matricerepresentativede ,forme bilineaireassociee`a ,dans la base canoniquede/2(IR).(c) AppliquerleprocededorthogonalisationdeGauss`aetendeduireunebaseorthonormalepour.(6) (*)Onconsid`eresurIR3laformequadratiqueq(x) = 2x21 +x22 x23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1.(a) Montrerqueqnestpasdeniepositive.(b) Determinerlensembledesvecteursisotropesdeq.(7) (**)Soit : IR2[X] IRdeniepar(P) = DiscriminantdeP.(a) MontrerqueestuneformequadratiquesurIR2[X].(b) Donner la matricerepresentativede ,forme bilineaireassociee`a ,dans la base canoniquedeIR2[X].(c) AppliquerleprocededorthogonalisationdeGauss`aetuneunebaseorthonormalede.(d) Determinerker()etlensembledesvecteursisotropesde.(8) (**) Soit Elensemble des fonctions de classe (1sur [0, 1] et soit : f E _10t2f2(t)dt. MontrerqueestuneformequadratiquesurE. Est-elledeniepositive? Determinerlaformebilineairesymetriqueassociee`a. Est-ceunproduitscalaire?Lafamilledes(cos(nx), sin(nx))nINest-elle-orthogonale?(9) (***) Soit E= IR2et les deux formes quadratiques 1(x, y) = 2x22xy+2y2, 2(x, y) = x2+2xypourtout(x, y) E. Determinerlessignaturesde1et2. Trouverunebaseorthonormalepour1. Decomposer2danscettebase. Expliquerpourquoi il estpossibledetrouverunememebaseorthonormalepour1et2,etladeterminer.(10) (**)Apr`esavoirfaitunchangementderep`ereapproprie,determinerettracerlensembledessolu-tionsdansIR2delequation x2+ 2y2+ 4xy= 0.(11) (*)Determinersilesformesquadratiquessuivantessontpositives: q(x, y) = (1 )x2+ 2xy + (1 +)y2,o` uetsontdesreels. q(x, y, z) = x2+y2+ 2z(xcos +y sin )o` u IR. q(x, y, z, t) = x2+ 3y2+ 4z2+t2+ 2xy +xt.LicenceM.A.S.S.deuxi`emeannee: Alg`ebreS4 9(12) (**)SoitA = (ai,j)unematricecarreedetaillen`acoecientsstrictementpositifs. DeterminerlasignaturedelaformequadratiquesurIRndeniepar: q(x1, . . . , xn) =

i,jai,j(xi xj)2.(13) (**)SoitAunematricereelledetaille(n, p).(a) MontrerquetAAestlamatriceduneformequadratiquepositivesurIRp.(b) Determinersasignatureenfonctionderg A.(14) (**)DecomposerencarreslaformequadratiquedeniesurIRnpar:q(x1, . . . , xn) =

1ijnxixj=12

i1x2i+12_

i1xi_2(Oncommenceraparmontrerlegaliteci-dessusetonposerayi= xi + (xi+1 ++xn)/(i + 1)).(15) (**)SoitquneformequadratiquesurunespacevectorielEdedimensionnieetf1, . . . , fp E,1, . . . , p IRtelsqueq= 1f21++pf2p. Montrerquerg (f1, . . . , fp) rg (q).(16) (***)Soitf uneformebilineairesymetriquesurEetqlaformequadratiqueassociee. Onposepourx E: (x) = q(a)q(x) f2(a, x).(a) MontrerqueestuneformequadratiquesurE.(b) SiEestdedimensionniecomparerlesrangsdeetq.(c) Dans le cas general, determiner le noyau de la forme polaire de en fonction de celui de fet de a.(17) (***)Pour tout A /n(IR) : q(A) =Tr(A2). Montrer queq est uneformequadratiquesurlespacevectoriel /n(IR)etdeterminersasignature. Indication: etudierlesrestrictionsdeqauxs.e.v. desmatricessymetriquesetantisymetriques.