7/23/2019 Taylor Et Approximation

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Rponses dtailles certains exercices du chapitre 1

Numro 11. On considre lexpression :x= (((((((0,1100+0,1103)+0,4103)+0,2103)+0,1103)+0,2103)+0,1103)

a) Calculer la valeur de x en arithmtique exacte, puis en arithmmtique flottante 3chiffres avec arrondi, en respectant lordre prescrit par les parenthses. Expliquer ladiffrence entre les rsultats. Dterminer lerreur relative.

b) Proposer une modification de lordre de sommation qui permette dobtenir une rponseplus prcise en arithmtique flottante 3 chiffres. Valider votre rponse en calculantde nouveau lerreur relative.

Solution

a) En arithmtique exacte, les parenthses ne sont pas importantes. On a donc que :x= 0,1 100 + 0,4 103 + 0,2 103 + 0,1 103 + 0,2 103 + 0,1 103Puisque0,1 100 = 100 103, on obtient que :x= (100 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,2 + 0,1) 103 = 101,1 103La valeur exacte est doncx = 0,1011.

N.B. :En arithmtique flottante 3 chiffres, on fait chaque opration et on ramnele rsultat trois chiffres si ncessaire chacune des tapes. On obtient la suite desvaleurs suivantes pour chacune des parenthses.

0,100 100 + 0,100 10

3

On dcale la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant := 0,100 100 + 0,000100 100 = 0,100100 100.fl(0,100100 100) =0,100 100.

0,100 100 + 0,400 103On dcale la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant := 0,100 100 + 0,000400 100 = 0,100400 100fl(0,100400 100) = 0,100 100

0,100 100 + 0,200 103On dcale la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant := 0,100

100 + 0,000200

100 = 0,100200

100

fl(0,100200 100) = 0,100 100. 0,100 100 + 0,100 103

On dcale la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant := 0,100 100 + 0,000100 100 = 0,100100 100fl(0,100100) = 0,100 100.

1

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0,100 100 + 0,200 103On dcale la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant := 0,100 100 + 0,000200 100 = 0,100200 100fl(0,100200 100) = 0,100 100.

0,100

100 + 0,100

103

On dcale la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant := 0,100 100 + 0,000100 100 = 0,100100 100fl(0,100100 100) = 0,100 100.

Donc, xapprox= 0,100et lerreur relative est donne par :

Er(x) =|x xapprox|

|x| =|0,1011 0,100|

|0,1011| = 0,01 = 1%.

b) On somme plutt de droite gauche.x= (0,1 100 + (0,1 103 + (0,4 103 + (0,2 103 + (0,1 103 + (0,2 103 +0,1

103)))))

0,200 103 + 0,100 103 = 0,300 103. 0,100 103 + 0,300 103 = 0,400 103. 0,200 103 + 0,400 103 = 0,600 103. 0,400 103 + 0,600 103 = 1,000 103.

fl(1,000 103) = 0,100 102 0,100 103 + 0,100 102

On dcale la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant := 0,0100 102 + 0,100 102 = 0,1100 102fl(0,1100 102) = 0,110 102.

0,100

100 + 0,110

102 = 0,100

100 + 0,00110

100 = 0,10110

100. fl(0,10110 100) = 0,101 100.

On obtient alors quexapprox= 0,101 100. Cette fois, lerreur relativeEr(x) =

|x xapprox||x| =

|0,1011 0,101||0,1011| 0,001est de0,1%.

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Numro 24. Dans la revue Science & Vie[15] de septembre 1996, on fournit les donnessuivantes pour le satellite Titania dUranus :

Rayon : R = 800000 5000m

Densit : = 1590 90kg

m3

a) Donner lenombre de chiffres significatifs du rayonR et de la densit.

b) En supposant que Titania soit parfaitement sphrique (de volumeV =4R3

3 ), trouver

une approximation de la masse de Titania et donner le nombre de chiffres significatifsde votre rsultat.

Solution

a) R= 5000 0, 5 104

Le chiffre la position104 est le dernier chiffre significatif.R= 800000 2 c.s.

= 90 = 0, 9 102 0, 5 103Le chiffre la position103 est le dernier chiffre significatif.

= 1590 1 c.s.

b) On a que la massemest donne parm = V =4R3

3

Lincertitude sur une fonction de plusieurs variablesf(x1,...,xn)est donne par :

f fx1x1+...+ fxn

xn.Lincertitude sur la masse est donc :m

mRR+

m=

43 3R2R+

4R3

3

= 4R2

R+

R

3

= 4(800000)2

1590 5000 +800000 90

3

= 2, 5695 1020 = 0, 25695 1021 kg= mDautre part, on a que :

m= V =4

3

(800000)3

1590 = 3, 41001021

1021 kg

Puisque lon a m 0, 256 1021 kg 0, 5 1021 kg, on peut donc considrer 1021 kg

comme les units. On a doncm 0,5 100(1021 kg)et m = 3,41001(1021 kg).Par consquent le chiffre des units est le dernier chiffre significatif.

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Numro 31.

a) Calculer le dveloppement de Taylor dordre 5, cest--dire dont le terme derreur estde type O(h5), de la fonction f(x) = ln(x) autour de x0 = 1. Donner lexpressionanalytique du terme derreur.

b) laide de ce dveloppement, donner une approximation de ln(1,1). Par comparaisonavec la valeur exacte (ln(1,1) = 0,095 310 1798), donner le nombre de chiffres significa-tifs de lapproximation.

c) Par quel facteur approximatif lerreur obtenue en b) serait-elle rduite si lon valuaitln(1,025)au moyen du dveloppement de Taylor obtenu en a) ? (Ne pas faire les calculs.)

Solution

On a premirement que :

f(x) = ln x f(1) = 0

f

(x) = x

1 f

(1) = 1f(x) = x2 f(1) = 1f(x) = 2x3 f(1) = 2fiv(x) = 6x4 fiv(1) = 6fv(x) = 24x5 fv() = 245

a) Le dveloppement de Taylor de la fonction f(x) = ln(x) autour de x0 = 1 dont leterme derreur est de typeO(h5)est donne par :

f(x0+h) = f(x0) +f(x0)h+f

(x0)h2

2! +f(x0)

h3

3! +fIV (x0)

h4

4! + +fV()h

5

5!)

do:

ln(1 +h) = 0 +hh2

2 +2h

3

3!6h

4

4! +24

5h5

5!

= hh2

2 +

h3

3h

4

4 +

h5

55

Puisque dans le cas gnral, x0< < x0+h, on a donc que 1 <

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c) Pour valuer ln(1,025), on pose h1 = 0,025. On obtient donc h1 en divisant h par4. Le terme derreur tant en O(h5), le terme derreur passera approximativement O((h/4)5)lerreur sera divise par45 = 1024.

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Numro 37. Si f(x) =

4 +x:

a) Trouver le dveloppement de Taylor de degr 2 (P2(x)), de la fonctionf(x)au voisinagede x0= 0.

b) En utilisantP2(x), donner une approximation de

3,9. En utilisant la valeur exacte

de

3,9, (donne par votre calculatrice par exemple), estimer lerreur absolue et lerreurrelative commises.

c) Quels sont les chiffres significatifs de lapproximation obtenue en a) ?

Solution

a) Il sagit ici du dveloppement de Taylor de degr2 (et non dordre2). Lordre de cedveloppement sera au moins 3. Les drives premire et seconde de la fonctionf(x)sont :

f(x) = 4 +x f(0) = 4 = 2f(x) =

1

2

4 +xf(0) =

1

4

f(x) = 14(4 +x)3/2

f(0) = 132

Puisquef(x) f(x0) +f(x0)(x x0) + f(x0)2! (x x0)2 + f(x0)3!

(x x0)3, on a :

4 +x P2(x) = 2 + x4 x

2

64

b) Pour obtenir une approximation de3,9, on pose x = 0,1et on obtient :

3,9 P2(0,1) = 2 +(0,1)4 (0,1)

2

64 = 1,974843 75.

La valeur exacte donne par Matlab est1,97484176581315et on en dduit que lerreurabsolue est environ0, 198 105. Lerreur relative est, quant elle, autour de0, 100105.N.B. :Se rfrer aux dfinitions de lerreur absolue et de lerreur relative.

c) Puisque lerreur absolue satisfaitE 0,5105, le chiffre en position105 et ceux quisont sa gauche sont significatifs. On retiendra donc lapproximation3,9 1, 97484.

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