[Tapez un texte] [Tapez un texte] [Tapez un texte] - Professeur à … · 2020. 9. 29. · [Tapez...

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Mémoire présenté devant

l’UFR de Mathématique et d’Informatique

pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg

et l’admission à l’Institut des Actuaires

le 30/09/2015

Par : Ruth ABEN DANAN

Titre: Provisionnement des sinistres connus en arrêt de travail

Confidentialité : NON OUI Durée : 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membres du jury de l’Institut des

Actuaires signature

Entreprise : BNP PARIBAS CARDIF

Nom :

Signature :

Membres du jury de l’Unistra : Directeur de mémoire en entreprise :

Nom : Benoit VIGAN

M. Philippe Artzner Signature :

M. Jean Bérard Invité :

M. Karl-Theodor Eisele Nom :

M. Jacques Franchi Signature :

M. Jean-Luc Netzer Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents actuariels

(après expiration de l’éventuel délai de

confidentialité)

Mme Myriam Maumy-Bertrand

M. Vincent Vigon

M.

M.

Invités :

David Dubois

David Fitouchi

M.

Mme

Mme

Sylvain Gadenne

Frédérique Henge

Magali Kelle-Vigon

Signature du responsable entreprise

M. Jean Modry

M. Alexandre You

Secrétariat : Mme Stéphanie Richard Signature du candidat

Bibliothèque : Mme Christine Disdier


Mémoire présenté devant

l’UFR de Mathématique et Informatique

pour l’obtention du Master Mathématiques et Applications, spécialité Statistique,

parcours Actuariat

le 30/09/2015

Par : Ruth ABEN DANAN

Titre: Provisionnement des sinistres connus en arrêt de travail

Confidentialité : NON OUI Durée : 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membres du jury de l’Institut des

Actuaires signature

Entreprise :BNP PARIBAS CARDIF

Nom :

Signature :

Membres du jury de l’Unistra :

Directeur de mémoire en entreprise :

M. Philippe Artzner Nom :Benoit VIGAN

M. Jean Bérard Signature :

M.

M.

M.

Mme

M.

Karl-Theodor Eisele

Jacques Franchi

Jean-Luc Netzer

Myriam Maumy-Bertrand

Vincent Vigon

Invité :

Nom :

Signature :

Invités : Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents

actuariels (après expiration de

l’éventuel délai de confidentialité)

M.

M.

David Dubois

David Fitouchi

M.

Mme

Mme

Sylvain Gadenne

Frédérique Henge

Magali Kelle-Vigon

M. Jean Modry Signature du responsable entreprise

M. Alexandre You

Secrétariat : Mme Stéphanie Richard Signature du candidat

Bibliothèque : Mme Christine Disdier


1

Remerciements

Je tiens à remercier mon maître de stage Benoit VIGAN, responsable de service Actuariat, pour le

choix de ce sujet que j’ai trouvé très intéressant. Je tiens également à le remercier pour sa pédagogie et

tous les conseils qu’il m’a prodigués pour mener à bien ce projet. Il a su me guider, tout en me laissant

la liberté et l’autonomie dont j’avais besoin pour avancer.

Je tiens à remercier Céline MARTIN SCHOONAERT, pour m’avoir accueilli au sein de son service et

de m’avoir confié cette mission de stage.

Je remercie également Gersende BOUR, responsable de département Actuariat pour son écoute et ses

conseils avisés.

Je remercie également Caroline MASSON pour ses nombreux conseils et Jessica ANDREONI pour

ses nombreuses relectures de ce mémoire.

Je remercie également Myriam MAUMY-BERTRAND, maître de conférences à l’Université de

Strasbourg, qui a su apporter des réponses avisées à mes interrogations et pour ses nombreuses

relectures de ce mémoire.

Enfin, mes remerciements s’adressent à l’ensemble des collaborateurs du service Inventaire pour

m’avoir intégrée au sein de la compagnie BNP Paribas Cardif et pour leurs disponibilités tout au long

des six mois de stage.


2

Résumé

Mots clés : Assurance des emprunteurs, incapacité, invalidité, arrêt de travail, table de maintien

d’expérience en arrêt de travail, Kaplan-Meier, Whittaker-Henderson, sélection des sinistres en cours,

notion de pertinence, théorème de Bayes, provisionnement.

BNP Paribas Cardif distribue, entre autre, de l’assurance des emprunteurs. Cela représente une part

importante de son portefeuille. En proposant un tel produit, le groupe s’expose au risque de mortalité

et de morbidité. Dès lors que la durée d’indemnisation des assurés dépasse les attentes de l’assureur,

ce dernier se doit alors de verser des mensualités sur une période plus longue que prévue, s’exposant

ainsi à un sous-provisionnement. A terme, ce risque pourrait donc engendrer des pertes conséquentes

pour BNP Paribas Cardif. De plus, dans l’optique de la mise en place de la fonction actuarielle, les

assureurs doivent acquérir une connaissance de leurs risques et de leurs engagements la plus juste

possible.

L’objectif du travail est de proposer une nouvelle méthode permettant de provisionner les sinistres

connus en incapacité et en invalidité.

Pour ce faire, il est nécessaire de construire une table représentant le niveau de rétablissement des

personnes. Elle est élaborée selon le double critère « l’âge à l’entrée dans l’état » et « l’ancienneté

dans l’état ». Pour répondre à ce besoin, dans la littérature, il existe un large choix de modèles pour

construire une telle table, qu’il conviendrait de sélectionner en fonction du cadre d’étude et des

données.

Une fois la table d’expérience construite, la difficulté du calcul des provisions pour les sinistres

connus réside dans la sélection des sinistres en cours, car en pratique l’information sur l’état d’un

dossier (clos ou en cours) n’est pratiquement pas disponible en temps réel. Actuellement, afin de

contourner ce manque d’information, Cardif a mis en place une règle arbitraire pour choisir les

dossiers en cours méritant d’être provisionnés. Dans ce mémoire, nous avons développé une nouvelle

approche de la règle de sélection actuelle : chaque dossier connu à une date d’inventaire donnée est

provisionné en intégrant la probabilité d’être réellement en cours.

Ainsi, cette connaissance sur le rétablissement des souffrants et sur l’état du dossier permet d’anticiper

au mieux les provisions à venir. Nos travaux fournissent à l’entreprise différents outils et résultats, qui

permettent d’améliorer sa connaissance sur le risque de morbidité des assurés déjà malades, et de

poursuivre le suivi de ce risque afin de répondre aux exigences de Solvabilité II.


3

Abstract

Keywords: Insurance borrowers, disability, industrial disablement, experience tables for recovery,

Kaplan-Meier, Whittaker-Henderson, choice of incurred claims, notion of relevance, Bayes theorem,

and technical provision.

BNP Paribas Cardif distributes, among others, borrower’s insurance. This represents a significant part

of its portfolio. By offering such a product, the group is facing mortality and morbidity risk.

Once the benefit period of the insured exceeds the expectations of the insurer, this one must pay

monthly payments over a longer period than expected, exposing himself to underfunding.

At long term, this risk could lead to significant losses for BNP Paribas Cardif.

Moreover, in view of the establishment of the actuarial function, insurers must obtain an

understanding of their risks and their commitments as fairly as possible.

The objective of the report is to propose a new method allowing reserving the known claims in

incapacity and disability.

In order to do this, it is necessary to construct tables for temporary disablement recovery rates of those

people. This table is built according to two criteria: the entry age and the duration of disablement. To

meet this need, in the literature, there is a wide choice of models to build such a table, which should be

selected according to the study framework and the data.

Once the table experience built, the difficulty of estimating technical provisions for reported losses lies

in the selection of outstanding claims, because in practice the information about the state of a file

(closed or in progress) is practically not available in real time. Currently, to work around this lack of

information, Cardif has established an arbitrary rule for choosing the current issues meriting to be

provisioned. In this report, we have developed a new approach to the current selection rule: each

folder known to a given inventory date is provisioned by integrating the probability of being actually

in progress.

Thus, this knowledge on the restoration of the suffering and the folder status allows to better anticipate

future provisions. Our work provides to the company different tools and results that allow to improve

knowledge on the risk of insured morbidity from insured that are already ill, and to continue

monitoring this risk in order to meet the Solvency II requirements.


4

Table des matières

Remerciements ................................................................................................................. 1

Résumé............................................................................................................................. 2

Abstract ............................................................................................................................ 3

Table des matières ............................................................................................................ 4

Liste des figures ................................................................................................................ 6

Liste des tables ................................................................................................................. 8

Liste des abréviations ....................................................................................................... 9

Introduction .................................................................................................................... 10

PREMIERE PARTIE : Présentation du cadre général de l’étude .................................... 12

CHAPITRE 1 : PRESENTATION DE LA COMPAGNIE BNP PARIBAS CARDIF ............................. 13

1.1 Secteurs d’activité de BNP Paribas Cardif ....................................................................................... 13

1.2 Partenariats et la stratégie de distribution des produits ................................................................ 14

1.3 BNP Paribas Cardif à l’international ................................................................................................ 14

CHAPITRE 2 : PRESENTATION DU PRODUIT ET DU RISQUE ETUDIES ...................................... 16

2.1 L’assurance des emprunteurs ......................................................................................................... 16

2.2 L’assurance des emprunteurs chez Cardif ....................................................................................... 20

2.3 Prestations versées en cas d’arrêt de travail .................................................................................. 26

CHAPITRE 3 : RAPPEL DE LA PROBLEMATIQUE.................................................................... 30

3.1 Cadre réglementaire ....................................................................................................................... 30

3.2 L’intérêt des tables d’expérience .................................................................................................... 33

3.3 Objectif de l’étude : provisionnement des sinistres connus en arrêt de travail ............................. 34

DEUXIEME PARTIE : Constitution des données et premières statistiques ...................... 38

CHAPITRE 1 : VALIDATION ET CONSTITUTION DES ECHANTILLONS ..................................... 39

1.1 Contrôle de cohérence des données ............................................................................................... 39

1.2 Constitution des échantillons de référence .................................................................................... 41

1.3 Gestion des données incomplètes .................................................................................................. 47

CHAPITRE 2 : ANALYSES STATISTIQUES .............................................................................. 49

2.1 Choix de la fenêtre d’observation ................................................................................................... 49

2.2 Statistiques descriptives .................................................................................................................. 56

TROISIEME PARTIE : Une table de maintien adaptée au provisionnement ................... 63

CHAPITRE 1 : NOTATIONS PROPRES AUX MODELES DE DUREE ............................................. 64


5

1.1 Description de la distribution des temps de survie ......................................................................... 64

1.2 Construction des tables ................................................................................................................... 67

CHAPITRE 2 : ESTIMATEURS NON PARAMETRIQUES DANS LES MODELES DE DUREE ............. 70

2.1 L’estimateur de Kaplan-Meier de la fonction de survie .................................................................. 70

2.2 L’estimateur de Nelson Aalen du taux de hasard cumulé ............................................................... 74

CHAPITRE 3 : METHODE NON PARAMETRIQUE DE LISSAGE DES TAUX BRUTS ET

APPRECIATION DE LA TABLE LISSEE ....................................................................................... 75

3.1 Méthode de lissage par Whittaker-Henderson ............................................................................... 75

3.2 Validation du lissage ........................................................................................................................ 78

CHAPITRE 4 : MISE EN APPLICATION .................................................................................. 79

4.1 Les estimateurs du maintien ........................................................................................................... 79

4.2 Lissage des taux bruts ..................................................................................................................... 89

4.3 Raccordement de la table lissée à une table règlementaire ........................................................... 92

4.4 Comparaison avec la table réglementaire mixte ............................................................................ 95

QUATRIEME PARTIE : Sélection des dossiers à provisionner ....................................... 98

CHAPITRE 1 : QUELS SINISTRES PRENDRE EN COMPTE ? ...................................................... 99

1.1 Exposé du problème ........................................................................................................................ 99

1.2 Vers une autre approche ............................................................................................................... 103

CHAPITRE 2 : PROPOSITION D’UNE NOUVELLE APPROCHE.................................................. 104

2.1 Modélisation du problème : le principe ........................................................................................ 104

2.2 Première approche ....................................................................................................................... 106

2.3 Deuxième approche : L’Odds-Ratio. ............................................................................................. 108

CHAPITRE 3 :APPLICATION DU MODELE PROBABILISTE ET CHOIX D’UN NOUVEAU BAREME 109

3.1 Etude historique de la tendance des probabilités......................................................................... 109

3.2 Conclusion ..................................................................................................................................... 112

CINQUIEME PARTIE : Intégration de la loi d’expérience et d’un barème dans le

provisionnement ............................................................................................................ 115

CHAPITRE 1 : VALIDATION DE LA METHODE PROPOSEE ..................................................... 116

1.1 Calcul des provisions ..................................................................................................................... 116

1.2 Backtesting sur la nouvelle méthode et choix d’un barème. ........................................................ 117

CHAPITRE 2 : IMPACT LIE AUX DIFFERENTS CHANGEMENTS ............................................... 119

2.1 Boni ou un mali de liquidation de provisionnement : le principe ................................................. 119

2.2 Comparaison du boni/mali (à un taux technique de 3 %) ............................................................. 121

2.3 Approbation de la nouvelle approche sur la sélection des dossiers ............................................. 122

2.4 Etude de sensibilité ...................................................................................................................... 122

Conclusion ..................................................................................................................... 124

Bibliographie ................................................................................................................. 127

Annexes ......................................................................................................................... 129


6

Liste des figures

Figure 1 - Représentation du chiffre d’affaires de la compagnie en 2014 ............................................ 13

Figure 2 - Répartition du résultat brut d’exploitation par zone géographique..................................... 15

Figure 3 - Evolution des cotisations au titre des contrats d’assurance emprunteur entre 2009 et 2013

en France (milliards d’euros) ................................................................................................................. 16

Figure 4 - Vie du contrat d’assurance des emprunteurs ....................................................................... 23

Figure 5 - Répartition de la période de franchise .................................................................................. 43

Figure 6 - Déclarations tardives (six mois après la survenance pour le contrat collectif et 12 mois

après sa survenance pour le contrat individuel) ................................................................................... 44

Figure 7 - Détection des inclusions partielles ........................................................................................ 45

Figure 8 - Détection des inclusions totales (Sinistres au titre de l’invalidité inclus totalement avec la

période d’incapacité précédente) ......................................................................................................... 45

Figure 9 - Evolution annuelle de la proportion Femme/Homme au cours du temps de la base de

sinistres.................................................................................................................................................. 49

Figure 10 - Evolution de la moyenne de l’âge à l’entrée et à la sortie du portefeuille par année de

survenance (sans distinction du genre) ................................................................................................. 50

Figure 11 - Evolution de la cause du sinistre par année de survenance ............................................... 50

Figure 12 - Evolution du montant du prêt par année de survenance ................................................... 51

Figure 13 - Evolution du nombre de prêts par année de survenance ................................................... 52

Figure 14 - Evolution du nombre de sinistres et de la durée moyenne en arrêt de travail par année de

survenance ............................................................................................................................................ 52

Figure 15 - Répartition de la durée d’arrêt au-delà de la franchise ...................................................... 56

Figure 16 - Durée moyenne de maintien en fonction de l’âge d’entrée en arrêt de travail ................. 57

Figure 17 - Analyse du nombre d’arrêts en fonction de l’âge de survenance ...................................... 58

Figure 18 - Répartition de la population par année de naissance ........................................................ 59

Figure 19 - Durée moyenne de maintien en fonction de la génération ................................................ 59

Figure 20 - Répartition en 2014 des types de prêts sur la base de données d’encours ....................... 60

Figure 21 - Durée moyenne de maintien en fonction du nombre de prêt ........................................... 61

Figure 22 - Schéma des différents états ................................................................................................ 64

Figure 23 - Représentation des censures et des troncatures ............................................................... 68

Figure 24 - Taux conditionnels de maintien quel que soit l’âge à la date de survenance .................... 80

Figure 25 - Durée effective d’indemnisation au titre de l’incapacité selon différentes visions............ 81

Figure 26 - Taux bruts de sortie en fonction de l’âge et de l’ancienneté estimés par Kaplan-Meier

(graphique représenté sous le logiciel R) .............................................................................................. 81

Figure 27 - Largeur relative de l’intervalle de confiance ponctuel pour l’âge de 56 ans ...................... 82

Figure 28 - Logarithme de la variance de Greenwood pour les âges compris entre 20 ans et 65 ans et

pour l’ancienneté allant de 0 à 40 mois (graphique représenté sous le logiciel R) .............................. 83

Figure 29 - Fonction de survie aux âges 33, 34 et 35 ans (sortie du logiciel R, package survival) ........ 86

Figure 30 - Comparaison de la fonction de survie calculée par l’estimateur de Kaplan-Meier et

Nelson-Aalen ......................................................................................................................................... 87

Figure 31 - Fonctions de survie et bandes de confiance à l’âge de 40 ans et 45 ans ............................ 88

Figure 32 - Taux de sortie lissés en fonction de l’âge et de l’ancienneté ............................................. 89


7

Figure 33 - Comparaison des taux bruts et des taux lissés à l’âge de 38 ans ........................................ 90

Figure 34 - Comparaison des sorties observées et prédites pour un âge de survenance à 50 ans ...... 91

Figure 35 - Taux d’accroissement pour l’âge de 50 ans à chaque ancienneté entre 36 et 66 mois ..... 95

Figure 36 - Positionnement des taux d’expérience aux taux de la table réglementaire ...................... 95

Figure 37 - Représentation de la vie de 4 sinistres ............................................................................. 101

Figure 38 - Absence de pièces justificatives expliquée par une reprise d’activité (clôture de la période

d’indemnisation) ................................................................................................................................. 101

Figure 39 - Retard dans la réception des pièces justificatives ............................................................ 102

Figure 40 - Représentation de la probabilité (d’être réellement en cours) pour le statut « REG » en

fonction du délai ................................................................................................................................. 109

Figure 41 - Moyenne des probabilités (d’être réellement en cours) pour le statut « REG » pour les

délais compris entre 0 et 6 mois ......................................................................................................... 110

Figure 42 - Représentation de la probabilité (d’être réellement en cours) pour le statut « ALD » en

fonction du délai ................................................................................................................................. 111

Figure 43 - Représentation de la probabilité (d’être réellement en cours) pour le statut « vide » .... 112


8

Liste des tables

Table 1 - Extrait d’une vision synthétique de l’organisation des produits de Cardif (mise à jour le 10

Janvier 2014) ......................................................................................................................................... 14

Table 2 - Tableau d’amortissement à remboursements constants ...................................................... 22

Table 3 - Tableau d’amortissement à amortissements constants ........................................................ 22

Table 4 - Prestations versées dues à une maladie ou un accident de la vie privée .............................. 27

Table 5 - Prestations versées dues à un accident de travail ou un accident de trajet .......................... 27

Table 6 - Taux contractuel d’invalidité permanente partielle ............................................................... 29

Table 7 - Mesure de l’adéquation de la règle de sélection actuelle pour les années 2011, 2012, 2013

et 2014................................................................................................................................................... 35

Table 8 - Mesure de la qualité de la règle de sélection des sinistres sur les sinistres réellement en

cours ...................................................................................................................................................... 36

Table 9 - Effectifs observés et théoriques ............................................................................................. 55

Table 10 - Durée moyenne de maintien (en mois) et la proportion du nombre de sinistres en fonction

de type de prêts .................................................................................................................................... 60

Table 11 - Durée moyenne de maintien en fonction de la présence d’une clause d’exclusion ............ 60

Table 12 - Proportion du nombre de sinistres pour un nombre de prêts supérieurs ou égal à 2 ........ 61

Table 13 - Répartition du nombre de sinistres par tranche d’âge ........................................................ 84

Table 14 - Résultats du test du Log-Rang sur la segmentation des âges (sortie du logiciel R) ............. 85

Table 15 - Résultats du test du Log-Rang sur la nouvelle segmentation des âges (sortie du logiciel R)86

Table 16 - Comparaison globale entre sorties observées et prédites ................................................... 90

Table 17 - Tableau de contingence en fonction de chaque événement ............................................. 107

Table 18 - Barème indiquant la probabilité qu’un dossier soit encore en cours à la date d’inventaire

............................................................................................................................................................. 113

Table 19 - Backtesting pour le 2ème trimestre de l’année 2014 ........................................................... 117

Table 20 - Backtesting pour le 4ème trimestre de l’année 2013 ........................................................... 118

Table 21 - Représentation du mali observé par la méthode actuelle sur l’exercice 2013_T4 ............ 121

Table 22 - Représentation du mali observé par la méthode B sur l’exercice 2013_T4....................... 121

Table 23 - Représentation du mali observé par la méthode C sur l’exercice 2013_T4 ....................... 121

Table 24 - Représentation du montant de règlements au cours de l’année 2013 ............................. 122

Table 25 - Etude de sensibilité sur la méthode C ................................................................................ 122


9

Liste des abréviations

FFSA Fédération Française des Sociétés d’Assurances

PTIA Perte Totale et Irréversible d’Autonomie

IPT Invalidité Permanente Totale

ITT Incapacité Temporaire Totale de travail

PE Perte d’Emploi

RBNS Reported But Not Settled

IBNyR Incurred But Not Yet Reported

PRC Provision pour Risques Croissants

PSAP Provision pour Sinistres à Payer

BCAC Bureau Commun des Assurances Collectives

ALD Arrêt Règlement Longue Durée

ART En Arrêt

CST Contestation

REG Accord Règlement

RLD Accord Règlement Longue Durée

CLO Clôture Du Dossier

ERR Erreur

INC Incomplet

INF Information Complémentaire

JUR Dossier Au Service Juridique

REC Réclamation

LOC Localisation du Dossier

OKS Accord Solde

REC Réclamation

TRA Transmission

OKI Accord ITP

REF Refus

VRF Vérifie


10

Introduction

L’équipe de l’actuariat inventaire est au centre des activités d’une compagnie d’assurance. Chaque

trimestre, elle évalue les engagements pris envers ses assurés. Des réformes telles que Solvabilité 2

incitent les assureurs à mesurer le risque auquel elles sont soumises à chaque instant.

Nous nous intéresserons à l’ajustement du niveau de provision des sinistres connus pour les garanties

incapacité et invalidité en fonction de la sinistralité du portefeuille.

Pour parvenir à notre objectif, le mémoire se divise en cinq grandes parties.

La première partie de ce mémoire introduira le cadre de travail. Nous y décrirons le marché de

l’assurance des emprunteurs, les prestations versées au titre de l’incapacité et de l’invalidité, ainsi que

leur provisionnement. La méthode de provisionnement actuellement utilisée au sein du service

Actuariat Inventaire sera analysée afin de poser les problématiques et de pouvoir axer nos pistes de

réflexion.

La seconde partie présentera la base de sinistres mise à notre disposition. Dans cette partie, une

première problématique sera relevée : faut-il différencier le risque incapacité du risque invalidité ?

Nous serons donc amenés à détailler les choix retenus dans les traitements de données. Puis, nous

réaliserons des statistiques descriptives à partir des principaux indicateurs de risque.

La troisième partie développera les différents éléments théoriques utilisés, pour élaborer une table de

maintien en arrêt de travail. Une méthode non paramétrique sera abordée dans cette partie. D’autre

part, nous présenterons quelques indicateurs permettant ainsi, de porter un avis argumenté sur la

qualité de la table.

La quatrième partie proposera une nouvelle méthode de provisionnement pour les sinistres connus à la

date de clôture des comptes, au titre de l’incapacité et de l’invalidité. Dans cette partie, nous mettrons

en place un outil permettant de répondre à une problématique rencontrée par de nombreuses

compagnies d’assurances au moment de la clôture de leurs comptes : comment définir le périmètre des

sinistres en cours au titre de l’incapacité et de l’invalidité ?

Enfin, la cinquième partie aura pour objectif de mesurer le niveau de boni/mali pour un exercice

considéré, suite à la nouvelle méthode de provisionnement. Cette partie nous permettra de répondre à

la question suivante : la méthode actuelle a-t-elle tendance à sous ou sur évaluer le montant de

provisions ? La nouvelle table est-elle correcte ?


11


12

PREMIERE PARTIE

Présentation du cadre général de

l’étude


13

CHAPITRE 1

Présentation de la compagnie BNP Paribas Cardif

1.1 Secteurs d’activité de BNP Paribas Cardif

Tout commence en 1973, lorsque la Compagnie bancaire obtient un agrément en assurance vie.

Ainsi, la Compagnie d’Assurance et d’Investissement de France (CARDIF), filiale du groupe BNP

Paribas est devenue un spécialiste mondial de l’assurance de personnes et des biens, avec un chiffre

d’affaires en 2014 qui s’élève à 27,5 milliards d’euros, soit une progression de 8,5 % par rapport à

2013.

BNP Paribas Cardif occupe la quatrième place sur le marché français en assurance de personne. En

effet, elle possède une part du marché de 9,8 % en assurance emprunteur et 8,3 % du marché en

épargne en 2014.

BNP Paribas Cardif diversifie ses activités dans l’épargne et la protection. Elle conçoit et gère

essentiellement des contrats en assurance vie, retraite, prévoyance, protection (couverture de prêts,

santé, chômage, dommage, etc.). Ses produits sont distribués par des partenaires bien implantés sur le

marché et destinés aux particuliers, aux professionnels, aux entreprises et aux associations.

Figure 1 - Représentation du chiffre d’affaires de la compagnie en 2014

En 2014, le chiffre d’affaires est principalement dû aux contrats en épargne (77 %) et aux contrats de

protection (23 %). Pionnier en assurance emprunteur (14 % du chiffre d’affaires), BNP Paribas Cardif

a également élargi son offre en protection avec différents produits, comme le montre le tableau ci-

dessous.

26%

23%

51%

Unité de Comptes et Eurocroissance Protection (dont l'assurance des emprunteurs)

Fonds Général

Partie I, Chapitre 1- Présentation de la compagnie BNP Paribas Cardif

14

Table 1 - Extrait d’une vision synthétique de l’organisation des produits de Cardif (mise à jour le 10 Janvier 2014)

1.2 Partenariats et la stratégie de distribution des produits

BNP Paribas Cardif s’appuie sur plusieurs canaux de distribution. La stratégie de distribution du

groupe est principalement fondée sur un réseau de partenaires internes et externes de l’entreprise.

Les partenariats internes forment un acteur considérable dans la stratégie de distribution de produits.

Parmi eux figure en premier lieu, la banque de détail de France, composée de plus de 2200 agences :

elle constitue la ressource la plus importante. En effet, l’assurance des prêts est majoritairement

souscrite via ce réseau de distribution.

D’autre part, Cetelem, filiale du groupe implantée dans plusieurs pays joue un rôle important dans la

stratégie de distribution des produits de Cardif.

Enfin, il existe également des partenaires externes qui contribuent au développement de Cardif, tels

que les établissements bancaires et financiers.

1.3 BNP Paribas Cardif à l’international

Aujourd’hui, BNP Paribas Cardif est un acteur mondial en assurance de personnes. Elle est

présente dans 37 pays pour exercer ses activités en épargne et en protection. Les zones cibles du

groupe sont les marchés d’Europe, d’Asie et d’Amérique Latine. La diversification géographique du

groupe est symbole de puissance mais elle expose également le groupe à de nouveau risques

(spécifiques à chaque pays) dont la gestion est plus délicate.

Partie I, Chapitre 1- Présentation de la compagnie BNP Paribas Cardif

15

Figure 2 - Répartition du résultat brut d’exploitation par zone géographique

La proportion des affaires à l’étranger représente 63 % du chiffre d’affaires au sein du groupe en 2014,

avec un chiffre d’affaires global de 14,7 milliards d’euros, soit en hausse de 8 % par rapport à 2012.

Elle dispose d’une position de leader à l’étranger au cœur d’un marché récent, et bénéficie donc d’une

forte croissance sur l’ensemble de ses produits commercialisés à l’international.

38%

6% 14%

22%

20%

France Latam Asie Autre Europe Italie

Partie I, Chapitre 2 - Présentation du produit et du risque étudiés

16

CHAPITRE 2

Présentation du produit et du risque étudiés

Notre étude se focalise sur l’activité de protection assurée par Cardif et plus particulièrement

sur l’assurance des emprunteurs en France, qui a connu un essor important. En effet, l’activité de

protection est dominée par la commercialisation des assurances emprunteurs.

Dans ce chapitre, nous présenterons le fonctionnement de ce produit dans le monde de l’assurance

encadré par une législation stricte, ainsi que les spécificités du produit commercialisé par Cardif. Pour

finir, nous exposerons également l’un des risques majeur assuré, risque qui est aussi au cœur des

préoccupations du régime de la Sécurité Sociale.

2.1 L’assurance des emprunteurs

2.1.1 Marché de l’assurance-emprunteur en France

Le marché de l’assurance emprunteur en France admet une spécificité : la banque octroie un prêt

en fonction de la capacité à rembourser ses dettes durant l’échéancier prévu, et non sur la valeur du

bien acquis couvert en général par une caution ou une hypothèque. En d’autres termes, l’octroi du prêt

est fortement dépendant des caractéristiques de la personne qui désire obtenir le prêt. De ce fait,

l’assurance-emprunteur s’est très développée autour de l’offre d’une multitude de garanties fonction

des caractéristiques de la personne. Ainsi le marché du crédit est fort conditionné au marché de

l’assurance-emprunteur.

Au cours de ces dernières années, nous assistons à une pression concurrentielle intense sur ce marché.

Nous partageons ici quelques chiffres issus d’une étude réalisée par la FFSA en 2013.

Une très légère hausse des cotisations :

Figure 3 - Evolution des cotisations au titre des contrats d’assurance emprunteur entre 2009 et 2013 en France (milliards

d’euros)


17

Nous constatons une très légère hausse des cotisations au titre des contrats d’assurance emprunteur. En

effet, le montant des cotisations s’élève à 8 277 millions d’euros en 2013, soit une progression de

12,6 % par rapport à l’année 2009.

La légère hausse des cotisations s’explique en partie par une montée des prêts immobiliers. Le

montant des prêts immobiliers est souvent élevé, il en va de même pour la prime. En effet, pour

l’année 2013 nous comptabilisons 5 960 millions d’euros de primes, représentant 72 % des cotisations

collectées. Concernant les autres types de prêts à savoir, les prêts à la consommation et les prêts

professionnels, ils représentent respectivement 22 % et 6 % des cotisations collectées.

D’autre part, la progression du montant des primes peut être expliquée par l’intégration de garanties

plus spécifiques telles que l’incapacité/invalidité ou encore la perte d’emploi. En effet, en 2013 nous

avons pu constater une belle envolée concernant la souscription de ces deux garanties, avec une hausse

de 3% et 9 % respectivement.

La baisse du nombre de sinistres.

La baisse de la sinistralité s’explique par différents facteurs tels que la hausse de l’espérance de vie et

une meilleure prise en charge des pathologies.

2.1.2 Principe et le cadre législatif

En France, nombreux sont les ménages qui souhaitent effectuer un emprunt auprès d’un établissement

bancaire pour différents besoins. Se distinguent sur le marché, trois types de prêts, différenciés par leur

montant et le besoin concerné :

Les prêts à la consommation (crédits personnels) destinés au financement de biens et de

services.

Les prêts immobiliers, destinés à couvrir tout ou une partie d’un achat immobilier.

Les prêts professionnels, destinés à financer un bien à usage strictement professionnel.

Par définition, un crédit engendre une créance sur l’emprunteur, en vertu de laquelle le créancier (la

banque) obtient un remboursement du montant prêté assorti d’une rémunération (appelée intérêts),

selon un échéancier prévu. La banque souhaite rester solvable ; quant à l’emprunteur, il souhaite

préserver son prêt. Par conséquent, la banque doit s’assurer à tout moment que l’emprunteur soit en

mesure de respecter cet engagement. Plusieurs causes peuvent entraîner le non-respect de cet

engagement : La cause majeure est le décès de l’emprunteur ; mais l’emprunteur peut également

rencontrer une difficulté financière lors de la survenance d’un événement imprévu pouvant modifier sa

capacité financière tel qu’un arrêt de travail (incapacité ou invalidité) ou encore une perte d’emploi.

Ainsi, la société d’assurance propose un contrat entre l’établissement de crédit et l’emprunteur de cette

société, appelé assurance des emprunteurs, afin de sécuriser les crédits. Hormis le remboursement de

ses dettes (dues au crédit), l’emprunteur paye une prime périodique additionnelle (mensuelle,

trimestrielle, semestrielle, ou annuelle). En contrepartie, l’assurance se portera garant en cas de

survenance d’un ou plusieurs événements déterminés dans le contrat, en versant des prestations à

l’établissement bancaire, permettant ainsi de combler partiellement ou totalement la dette restante de

l’assuré. L’organisme créancier est donc le bénéficiaire du contrat d’assurance. La société d’assurance


18

permettra donc de protéger le prêt contre les aléas de la vie de l’emprunteur, limités à la durée du

crédit.

Dans les faits, souscrire une assurance emprunteur est devenu une condition nécessaire pour obtenir un

prêt. Ainsi, les banques proposent à leurs clients d’adhérer à leur assurance pour finaliser leurs crédits.

Les établissements bancaires jouent donc un rôle de prêteur et d’assureur.

Sur le marché, deux types de contrats peuvent être commercialisés : le contrat groupe et le contrat

individuel. Nous détaillerons ces notions dans les paragraphes qui suivent.

2.1.2.1 Le contrat groupe

Selon l’article L. 144-1 du Code des assurances, un contrat groupe est :

« Un contrat souscrit par une personne morale ou un chef d’entreprise en vue de l’adhésion d’un

ensemble de personnes répondant à des conditions définies au contrat, pour la couverture :

-des risques dépendant de la durée de la vie humaine,

-des risques portant atteinte à l’intégrité physique de la personne ou liés à la maternité,

-des risques d’incapacité de travail ou d’invalidité,

-ou du risque du chômage.

Les adhérents doivent avoir un lien de même nature avec le souscripteur. »

Dans le domaine de la protection sociale, trois catégories d’assurance groupe sont distinguées :

- celles souscrites par les entreprises au profit des employés,

- celles souscrites par les indépendants (elles sont facultatives, par exemple les contrats Madelin),

- celles souscrites par des associations au profit de leurs sociétaires.

Le contrat groupe est basé sur la mutualisation du risque. L’assurance groupe fait intervenir plusieurs

entités. Nous allons les détailler afin de comprendre les relations existantes entre elles, puis nous

verrons le fonctionnement pour une assurance emprunteur en groupe.

L’assurance emprunteur en groupe est souscrite par l’établissement de crédit sur la tête des

emprunteurs (externes et/ou internes à la banque) membres du groupe, au bénéfice de certaines

personnes.

Le contrat met donc en présence :

l’adhérent, appelé également l’assuré, portant l’un ou les risques cités précédemment de

l’article L. 144-1 du Code des Assurances : c’est l’emprunteur. Il signe un bulletin d’adhésion.

Le souscripteur, qui signe le contrat et participe partiellement ou totalement au montant de la

cotisation à verser : c’est l’établissement de crédit..

Le bénéficiaire, désigne l’organisme prêteur.

L’assureur, perçoit les primes et verse les prestations en cas de la survenance d’un ou des

sinistres.

Le tarif est fixé au moment de l’adhésion.


19

2.1.2.2 Le contrat individuel

Comme le nom l’indique, il s’agit d’une assurance liée fortement aux caractéristiques de l’emprunteur.

En d’autres termes, l’emprunteur paye une prime périodique, déterminée en fonction de la garantie

choisie.

En général, la proposition d’un contrat groupe prime sur celle d’un contrat individuel. La banque a

donc tendance à juxtaposer la commercialisation d’un contrat d’assurance à un crédit, puisqu’elle a du

mal à octroyer un prêt sans imposer la souscription d’une assurance emprunteur. Ce phénomène est

souvent appliqué pour les crédits immobiliers. Depuis 1986, l’article L112-1 du Code de la

Consommation, interdit cette pratique et la considère comme « une vente liée ». Afin de promouvoir la

protection et l’information de l’emprunteur, des réformes de l’assurance des emprunteurs ont été mises

en place.

La durée d’une assurance emprunteur est en principe d’un an, renouvelable à chaque échéance

annuelle. Généralement, le contrat d’assurance est renouvelable par « tacite reconduction », c'est-à-

dire que le contrat est automatiquement reconduit pour un an à l’échéance annuelle sauf si l’assuré

résilie le contrat. C’est dans ce cadre que la loi Châtel promulguée en 2008, obligeait les

établissements de crédit à prévenir leurs clients un mois avant la date limite de renouvellement de leur

contrat, concernant le souhait de renouveler ou pas leur contrat arrivant à échéance. En raison de

l’absence de sanction pour les banques, cette loi n’a malheureusement pas été respectée.

Désormais, l’assurance emprunteur reste un enjeu essentiel pour les emprunteurs car ils peuvent y

consacrer jusqu’à 25 % du coût de leur crédit. Cette part non négligeable, entraîne un renforcement de

la loi Châtel. Le 1er

juillet 2009, la loi Lagarde oblige dans un premier temps les compagnies

d’assurance à fournir à leurs clients une fiche informative concernant le contrat d’assurance

emprunteur. La loi permet ainsi d’éviter aux clients l’ignorance de leurs droits. Par la suite, ils auront

tendance à comparer les différentes offres d’assurance avec celle proposée par la banque. Cette loi est

suivie par une réforme ayant un impact beaucoup plus important : la loi Lagarde, publiée le 1er juillet

2010, autorise le futur emprunteur à contracter une assurance de prêt auprès de l’établissement de son

choix. La délégation d’assurance doit être demandée aussitôt. De ce fait, la loi Lagarde renforce ce

secteur d’activité à la concurrence. À ce jour, nous comptabilisons seulement 11 % des cotisations

d’assurance-emprunteur au titre des contrats souscrits en délégations d’assurance.

La législation continue à transformer le marché de l’assurance-emprunteur. La résiliation de son

assurance avant le premier anniversaire du contrat devient possible par la loi Hamon (2014).

L’emprunteur pourra substituer au contrat d'assurance emprunteur initial un autre contrat d'assurance

moins couteux présentant des niveaux de garanties au moins équivalents.

Ces dernières années, le mouvement de ce secteur d’activité s’est amplifié par les multiples réformes :

c’est la libéralisation de l’assurance qui vise à faire baisser les coûts.

Mise à part l’évolution du cadre législatif de ce secteur d’activité, le marché s’ouvre davantage aux

personnes présentant un haut risque. En effet, pour renforcer et faciliter l’accès au crédit pour les

personnes ayant ou ayant eu un grave problème de santé, plusieurs démarches conventionnelles,

notamment la convention AERAS (s’Assurer et Emprunter avec un Risque Aggravé de Santé), ont été

mises en place au fil du temps. En 2013, selon la FFSA, 14 % des demandeurs d’assurance de prêt

présentent « un risque aggravé » de santé. Dans ce cas, l’assurance est soit assortie d’une surprime,

soit soumise à des exclusions (par exemple, l’invalidité ou des causes du sinistre). Cette convention est

entrée en vigueur le 7 janvier 2007. Toutefois elle a évolué au cours du temps pour améliorer son


20

effectivité. Ainsi, un complément de la convention AERAS a été signé le 24 mars 2015 concernant les

anciens malades du cancer. Ce nouveau protocole permettra de bénéficier du droit à l’oubli pour

certains malades du cancer.

2.2 L’assurance des emprunteurs chez Cardif

Depuis son lancement en 1974, l’assurance des emprunteurs constitue aujourd’hui un domaine

prépondérant au sein de Cardif. Le service proposé par Cardif a toujours été de se prémunir contre une

défaillance de l’emprunteur. Au départ, seuls le décès et l’invalidité de l’emprunteur étaient considérés

comme des événements entraînant une impossibilité de rembourser son crédit. Au fur et à mesure, les

garanties se sont étendues, en fonction du besoin et des attentes des clients. D’autre part, Cardif a pu

développer une approche personnalisée en commercialisant ses produits à l’international. Les garanties

sont modulables et adaptées aux contraintes territoriales. Les conditions générales du contrat de

l’assurance emprunteur ont donc fort évolué au fil du temps.

2.2.1 Les types de crédits couverts par Cardif

Cardif couvre les prêts faisant intervenir un unique établissement prêteur et un nombre défini

d’emprunteur. Ce que l’on appelle les prêts « indivis », à l’opposé des prêts obligataires qui font

intervenir plusieurs établissements prêteurs.

En fonction du choix de la garantie, l’assureur sera amené à rembourser un pourcentage du capital

emprunté en cas de sinistre. Le mode de remboursement de l’emprunt a donc une influence sur la

prestation versée lors de la survenance du sinistre. Nous nous intéresserons aux différents types de

crédits couverts, ainsi qu’à leur plan d’amortissement.

Notons :

E : le montant de l’emprunt ;

: le remboursement fait en date ;

: la durée de l’emprunt en années ;

: périodicité (nombre de partie égale dans l’année) ;

: la durée de l’emprunt en nombre de période de remboursement m ( ) ;

: le capital restant dû immédiatement après le paiement de ;

: le taux nominal d’intérêt annuel ;

: Le taux effectif sur la période considérée.

Deux types de relation permettent de relier le taux d’intérêt annuel au taux périodique selon que nous

parlons :

- d’intérêt composé, auquel cas

;

ou

- d’intérêt simple, auquel cas

.


21

Le capital restant dû au temps suit la relation de récurrence suivante :

;

;

Par conséquent, si nous posons :

l’amortissement du capital en ;

.

Le montant de l’emprunt est égal à la somme des amortissements du capital :

Par le même type de raisonnement et en partant de l’équation [1], nous pouvons obtenir l’expression

suivante :

Soit pour :

Les différentes formules ci-dessus ont été présentées dans un cadre général.

Selon le mode de remboursement et du plan d’amortissement choisis, ces formules se simplifieront et

auront des propriétés intéressantes.

Les prêts amortissables à remboursements constants :

Le remboursement constant implique que tous les remboursements du prêt sont égaux. En d’autres

termes, pour tout j variant de 1 à k.

En intégrant cette hypothèse aux équations précédentes, le montant remboursé peut s’écrire :

De plus, un prêt à remboursements constants implique que l’amortissement est une rente de suite

géométrique.


22

Nous allons à présent illustrer les formules théoriques précédentes en considérant un prêt de 3 200€,

au taux annuel de 10% remboursé en quatre versements en fin d’année (la durée est de quatre ans). Le

tableau d’amortissement est obtenu ci-dessous :

Restant dû Amortissement Annualité Intérêt

1 3 200,0€ 689,50€ 1 009,5€ 320,00 €

2 2 510,5€ 758,45€ 1 009,5€ 251,04 €

3 1 752,0€ 834,30€ 1 009,5€ 174,20 €

4 917,7€ 917,73€ 1 009,5€ 91,70 €

Table 2 - Tableau d’amortissement à remboursements constants

Les prêts amortissables à amortissements constants :

Chaque mensualité de crédit est composée d’une partie du remboursement du capital emprunté, ici

supposé constant. En effet, les amortissements sont égaux à :

et d’une autre partie des intérêts, décroissants au cours du temps.

Par conséquent, ces prêts sont caractérisés par le fait que les remboursements sont décroissants.

Si nous conservons les mêmes conditions de prêt que l’exemple précédent, nous construisons le

tableau d’amortissement ligne à ligne :

Capital Amortissement Annualité Restant dû

0 3 200€ 800€ 1 120€ 2 400€

1 2 400€ 800€ 1 040€ 1 600€

2 1 600€ 800€ 960€ 800€

4 800€ 800€ 880€ 0€

Table 3 - Tableau d’amortissement à amortissements constants

Prêt in fine à taux fixe et/ou à taux variable :

Les prêts in fine sont des prêts où seuls les intérêts sont remboursés durant la période de prêt. Dans ce

cas, les intérêts sont basés sur le capital emprunté. Puis, la dernière échéance est caractérisée par le

remboursement des intérêts et du capital.


23

2.2.2 Vocabulaire spécifique au contrat

La prise en charge est modulée par des exclusions, des délais de carence, des franchises, et des

plafonds de prestation. Ces différents termes déterminent l’étendue et les modalités de la prise en

charge lors de la survenance de l’événement. Nous illustrons et définissons ci-dessous des mots

essentiels en matière d’assurance de prêt chez Cardif.

Figure 4 - Vie du contrat d’assurance des emprunteurs

Supposons que le 01 janvier 2013, l’assurance accepte de couvrir l’assuré contre un éventuel

événement, que nous décrirons par la suite. À compter de la date d’acceptation par l’assureur, un délai

de carence peut exister selon la garantie choisie. En effet, ce délai de carence correspond à un délai

court durant lequel le risque ne peut être assuré (afin d’éviter l’aléa moral).

Le 01 janvier 2014, un sinistre survient. L’assureur s’engage donc à verser les prestations. À compter

de la date de survenance du sinistre, une période de franchise s’applique. Cela correspond au nombre

minimum de jours consécutifs d’arrêt de travail durant lequel aucune indemnisation n’est possible.

Au-delà de la période de franchise, l’assureur commence à verser les prestations.

Le portefeuille étudié est constitué d’un ensemble de contrats collectifs et individuels. Ainsi, il est

utile de détailler les conditions générales de ces contrats.

2.2.3 Le contrat collectif

Juridiquement, ce contrat est une convention d’assurance collective souscrite par BNP Paribas auprès

de CARDIF Assurance Vie et CARDIF Assurance Risques Divers pour la perte d’emploi. Ce contrat

est réservé aux titulaires d’un financement BNP Paribas.

Les différentes garanties :

Cardif propose des garanties de base comme le décès, la Perte Totale et Irréversible d’Autonomie

(PTIA), l’Invalidité Permanente Totale (IPT), l’Incapacité Temporaire Totale de travail (ITT) ou la

Perte d’Emploi (PE).

De plus, ces garanties peuvent être assorties d’options comme :

-une option de prévoyance en cas de décès,

-une option permettant la prise en charge des sinistres résultant d’atteintes discales et/ou vertébrales

sans condition d’hospitalisation,

-une option permettant la prise en charge des sinistres résultant d’affectations psychiatriques et/ou de

troubles anxio-dépressif sans condition d’hospitalisation ou après une hospitalisation d’au moins 7

jours.

Fin du prêt


24

Conditions d’admission :

Sous réserve de l’acceptation du risque par l’assureur, est admissible au contrat, toute personne

physique :

-résident de l’Espace Economique Européen et exerçant une activité professionnelle rémunérée,

-emprunteur principal ou co-emprunteur, dirigeant ou caution de personne morale,

-âgée à la date de signature du contrat de :

- plus de 18 ans,

- moins de 80 ans pour la garantie Décès,

- moins de 66 ans pour les garanties PTIA, IPT et ITT,

- moins de 61 ans pour la garantie Perte d’Emploi.

Durée de l’adhésion et des garanties :

Pour chaque assuré, le contrat prend fin à la date de fin du (des) prêt(s), mais peut parfois être écourtée.

Par exemple, pour la garantie Décès, il prend fin à la date de renouvellement de l’adhésion qui suit le

90ème

anniversaire de l’assuré.

En ce qui concerne, les garanties PTIA, IPT et ITT, il prend fin à la date de renouvellement de

l’adhésion qui suit la survenance de l’un des évènements suivants : cessation d’activité professionnelle,

départ ou mise en préretraite, 70ème


Prestations :

En cas de Décès, ou de PTIA, le capital assuré est égal au capital restant dû à la date de survenance

du sinistre.

En cas d’IPT, l’assureur prend en charge le paiement des échéances ou le capital restant dû. (Le

montant est limité à 7 500€ par mois).

En cas d’ITT, l’assureur prend en charge le paiement des échéances à l’expiration d’une période de

franchise choisie (90 jours ou 30 jours) consécutifs d’incapacité de travail. (Le montant est limité à

7 500€ par mois).

Si l’assuré est victime d’une rechute provenant du même accident ou de la même maladie survenant

après une reprise d’activité professionnelle inférieure à 60 jours, la franchise de 90 jours ne sera pas

réappliquée.

La garantie cesse au 1095ème

jour suivant le premier jour de l’arrêt de travail.

2.2.4 Le contrat individuel

Juridiquement, ce contrat est une convention d’assurance collective à adhésion facultative, régie par le

Code des assurances, souscrites par l’Union Française d’Epargne et de Prévoyance (UFEP) auprès de

Cardif Assurance Vie.

Les différentes garanties :

Le contrat couvre les opérations de prêt amortissables à taux fixe et à taux indexé, les prêts in fine,

d’une durée maximum de 30 ans.


25

L’objectif de l’assurance est de garantir l’assuré contre tout ou partie des risques de Décès, de Perte

Totale et Irréversible d’Autonomie (PTIA), d’Invalidité Permanente Totale (IPT), d’Invalidité

Permanente Partielle (IPP), d’Incapacité Temporaire Totale de travail (ITT) ou d’Invalidité

Professionnelles des pharmaciens (IP), survenant à la suite d’une maladie ou d’un accident et avant le

terme de chaque prêt.

Les conditions d’admission :

Sous réserve de l’acceptation du risque par l’assureur, est admissible au contrat, toute personne

physique :

-résident de l’Espace Economique Européen et exerçant une activité professionnelle rémunérée,

-membre de l’Union Française d’Epargne et de Prévoyance,

-emprunteur principal, co-emprunteur, dirigeant ou caution de personne morale,

-âgée à la date de signature du contrat de :

- plus de 18 ans,

- moins de 85 ans pour la garantie Décès,

- moins de 65 ans pour les garanties PTIA, IPT, IPP, ITT et IP.

Durée de l’adhésion et des garanties :

Pour chaque assuré, l’adhésion prend fin à la date de fin du (des) prêt(s), mais peut parfois être

écourtée. Par exemple, pour la garantie Décès, il prend fin à la date de renouvellement de l’adhésion

qui suit le 90ème


En ce qui concerne les garanties PTIA, IPT, IPP, ITT, et IP, il prend fin à la date de renouvellement

de l’adhésion qui suit la survenance de l’un des évènements suivants : cessation d’activité

professionnelle, départ ou mise en préretraite, 60ème

anniversaire de l’assuré ou le 70ème

anniversaire de

l’assuré dans le cas où il en a fait la demande lors de l’adhésion et continue d’exercer une activité

professionnelle.

Prestations :

En cas de Décès, PTIA ou d’IP, le capital assuré est égal au capital restant dû à la date de survenance

du sinistre.

En cas d’IPT ou IPP, l’assureur prend en charge le paiement des échéances. (Le montant est limité à

7 500€ par mois). Pour les prêts in fine, la prise en charge est limitée aux seuls intérêts du (des)

prêt(s) : le remboursement du capital ne fait pas partie de la prestation.

En cas d’ITT, l’assureur prend en charge le paiement des échéances à l’expiration d’une période de

franchise choisie préalablement (30, 60, 90 ou 180 jours) consécutifs d’incapacité de travail. Ce

montant est toutefois limité à 7 500€ par mois. Pour les prêts in fine, la prise en charge est limitée aux

seuls intérêts du (des) prêt(s), le remboursement du capital ne fait pas partie de la prestation.

Si l’assuré est victime d’une rechute provenant du même accident ou de la même maladie survenant

après une reprise d’activité professionnelle inférieure à 60 jours, la franchise de 90 jours ne sera pas

réappliquée.

La garantie cesse après 1095ème

jour suivant le premier jour de l’arrêt de travail.

Selon le type de contrat, nous avons brièvement énoncé les prestations versées en fonction du choix de

la garantie.

Détaillons à présent les prestations versées par la Sécurité Sociale et par l’assureur en cas d’arrêt de

travail.


26

2.3 Prestations versées en cas d’arrêt de travail

2.3.1 Les prestations de la Sécurité Sociale

Le régime de la Sécurité Sociale divise l’arrêt de travail en deux grands états : l’incapacité

temporaire de travail et l’invalidité ou l’incapacité permanente de travail.

2.3.1.1 L’incapacité temporaire de travail (ITT)

Cette situation provoque une baisse de revenu, c’est pour cela que le régime de la Sécurité Sociale

verse des indemnités journalières dont le montant varie en fonction de la cause de l’arrêt de travail.

Elles peuvent être versées pendant une période maximale de trois ans.

Un arrêt de travail dû à une maladie ou un accident de la vie privée :

Dans ce cas, les indemnités journalières ne débutent qu’après un délai de carence de trois jours. Le

délai de carence ne s’applique pas pour une rechute.

Pour être indemnisé durant les six premiers mois de l’arrêt de travail :

-un assuré doit avoir travaillé au moins 200 heures au cours des trois mois précédant l’arrêt de travail

ou avoir cotisé sur un salaire au moins égal à 1015 fois le montant du SMIC horaire au cours des six

mois précédant l’arrêt de travail.

Au-delà du sixième mois de l’arrêt de travail :

-un assuré doit pouvoir justifier de 12 mois d’immatriculation, en tant qu’assuré social après de

l’assurance maladie, à la date d’interruption de travail. Au cours des 12 mois précédant l’arrêt, il doit

avoir travaillé au moins 800 heures (avec une exigence de 200 heures au moins pendant les trois

premiers mois) ou avoir cotisé sur un salaire au moins égal à 2030 fois le montant du SMIC horaire

(avec une exigence de 1015 fois au moins le montant du SMIC horaire pendant les 6 premiers mois).

Les indemnités journalières sont égales à 50 % (ou à 66,6 %, si l’assuré a trois enfants à sa charge, ce

taux est appliqué à compter du 31ème

jour de l’arrêt) du salaire journalier de base dans la limite du

Plafond Mensuel de la Sécurité Sociale (PMSS, soit à 3170€ au 01/01/2015) calculé sur la moyenne

des trois derniers salaires précédant l’arrêt.

Un arrêt de travail dû à un accident de travail ou à un accident de trajet :

Dans ce cas, les indemnités journalières sont versées dès le premier jour de l’arrêt sous aucune

condition. Aucun délai de carence n’est appliqué.

Pour un arrêt de travail de moins de 28 jours, les indemnités journalières s’élèvent à 60 % du salaire

journalier de base avec un montant maximum par jour de 190,35 € au 01/01/2015. Au-delà du 28ème

jour de l’arrêt de travail, elles sont égales à 80 % du salaire journalier de base avec un montant

maximum par jour de 253,80 € au 01/01/2015.


27

2.3.1.2 L’invalidité ou l’incapacité permanente de travail (IPT)

Dans la plupart des cas, le régime de la Sécurité Sociale prévoit le versement d’une rente mensuelle

aux assurés suite à l’expiration de la période maximale d’incapacité temporaire de travail (une période

de trois ans).

Un arrêt de travail dû à une maladie ou un accident de la vie privée :

L’invalidité est causée par un accident ou une maladie d’origine non professionnelle.

Cette pension d’invalidité peut être désormais délivrée aux assurés dont l’état de santé s’est aggravé

prématurément, et ceci doit être validé par un médecin conseil de la caisse primaire d’assurance

maladie.

Pour bénéficier de cette pension d’invalidité, des conditions doivent être vérifiées :

- l’assuré ne doit pas dépasser l’âge légal de la retraite (soit entre 60 et 62 ans selon la date de

naissance).

- l’état de santé de l’assuré doit entraîner une perte d’au moins de deux tiers du revenu ;

- l’assuré doit avoir été immatriculé depuis au moins 12 moins à la date de l’incapacité suivie

d’invalidité.

Le régime de la Sécurité Sociale distingue trois catégories d’invalidité. Les prestations versées au titre

de l’invalidité dépendent du choix de la catégorie, fait par un médecin conseil de la caisse primaire

d’assurance maladie. L’état de santé peut s’améliorer s’aggraver ou se stabiliser. De ce fait, les

prestations versées sont revues régulièrement.

Catégories Définition

Pourcentage du salaire

annuel moyen des 10

meilleures années.

Montant mensuel

minimum/maximum.

1ère

catégorie Invalide capables d’exercer

une activité rémunérée. 30 % 281,65 € / 951 €

2ème

catégorie

Invalide incapable

d’exercer une activité

quelconque.

50 % 281,65 € / 1 585 €

3ème

catégorie

Invalide ayant besoin d’une

tierce personne pour

effectuer les actes

quotidiens de la vie.

50 % + majorée de 40 %

pour la tierce personne. 1 384,73 €/ 2 688,08 €

Table 4 - Prestations versées dues à une maladie ou un accident de la vie privée

Un arrêt de travail dû à un accident de travail ou à un accident de trajet :

Dans le cas d’un accident de travail ou d’une maladie professionnelle, le salarié peut bénéficier d’une

rente d’incapacité permanente. La caisse primaire d’assurance maladie détermine un taux d’incapacité

permanente (IP), permettant ainsi de bénéficier d’une indemnisation versée sous forme de capital ou

de rente viagère.

Table 5 - Prestations versées dues à un accident de travail ou un accident de trajet

Taux d’IP Indemnisation

< 10 % Capital

10 % Rente viagère


28

2.3.2 Les prestations de Cardif

Avant même de détailler les prestations versées lors de la survenance du sinistre, nous apportons ici

une définition permettant de déterminer l’état de l’assuré.

Nous avons vu que la Perte Totale et Irréversible d’Autonomie (PTIA), est une garantie proposée quel

que soit le type de contrat (individuel ou collectif) :

« Est considéré en état de perte totale et Irréversible d’autonomie (PTIA) par Cardif l’assuré :

- reconnu inapte à tout travail à la suite d’une maladie ou d’un accident et définitivement

incapable de se livrer à une activité, même de surveillance ou de direction, susceptible de lui

procurer salaire, gain ou profit,

et

- devant avoir recours à l’assistance d’une tierce personne pour effectuer au moins trois des

quatre actes ordinaire de la vie courante ».

D’autre part, le contrat individuel, propose une garantie Invalidité Professionnelle (IP) :

« Est considéré en état d’invalidité professionnelle (IP) par Cardif, l’assuré professionnel de santé

qui, à la suite d’une maladie ou d’un accident se trouve dans l’impossibilité d’exercer la profession

occupée au moment du sinistre ». L’invalidité professionnelle est donc réservée aux professionnels de

santé.

A la suite d’un décès ou d’une perte totale et irréversible d’autonomie (PTIA) ou d’une invalidité

professionnelle (IP) :

Le capital restant dû à la date de constatation médicale par Cardif est pris en charge. Le capital restant

dû est calculé sur la base du montant du capital emprunté et de la quotité assurée choisie dans le

contrat. La quotité assurée correspond à un pourcentage du capital emprunté couvert par l’assurance,

compris entre .

La garantie Invalidité Permanente Totale (IPT) est également une garantie proposée quel que soit le

type de contrat :

« Est considéré en état d’invalidité permanente totale (IPT), l’assuré, après consolidation de son état,

inapte à tout travail à la suite d’une maladie ou d’un accident et définitivement incapable de se livrer

à une activité, même de surveillance ou de direction, susceptible de lui procurer salaire, gain ou

profit ».

En cas d’invalidité permanente totale (IPT) :

L’assuré bénéficie également d’une prise en charge du capital restant dû. Le versement de la prestation

peut être soit sous forme de capital ou soit sous forme de rentes correspondant aux échéances de prêt

pendant la durée d’invalidité. Le montant des échéances de prêt prises en charge par Cardif, est calculé

au prorata du nombre de jours d’invalidité permanente totale (IPT), selon la périodicité de

remboursement des échéances du prêt.

Le contrat individuel offre la garantie Invalidité Permanente Partielle (IPP) :

« Est considéré en état d’invalidité permanente partielle (IPP) par Cardif l’assuré qui, à la suite

d’une maladie ou d’un accident et après consolidation de son état, présente un taux d’invalidité

supérieur à 33 % conformément au tableau figurant ci-après».


29

Table 6 - Taux contractuel d’invalidité permanente partielle

Le médecin conseil de Cardif calcule un taux contractuel d’invalidité permanente partielle (IPP) en

fonction du taux d’incapacité fonctionnelle et du taux d’incapacité professionnelle. Ainsi, ce taux

détermine le droit aux prestations et la valeur de leur montant.

En cas d’invalidité permanente partielle (IPP) :

Cardif prend en charge :

où,

: le taux contractuel d’invalidité permanente partielle,

M : le montant du remboursement.

La garantie Incapacité Temporaire Totale de travail (ITT) est également une garantie proposée quel

que soit le type de contrat :

« Est considéré en état d’incapacité temporaire totale de travail (ITT) par Cardif :

- l’assuré exerçant une activité professionnelle au jour du sinistre et qui à la suite d’une maladie

ou d’un accident se trouve temporairement dans l’impossibilité totale et continue d’exercer son

activité professionnelle,

ou

- l’assuré n’exerçant plus d’activité professionnelle au jour du sinistre et qui est temporairement

contraint, sur prescription médicale, d’observer un repos complet l’obligeant à interrompre

toutes ses occupations de la vie quotidienne en raison d’un accident ou d’une maladie. »

En cas d’incapacité temporaire totale de travail (ITT) :

Cardif prend en charge les échéances à partir de la fin de la franchise choisie et ce pendant la durée de

l’incapacité pour une durée maximale de 1095 jours.

Une clause d’exclusion possible dans une police d’assurance :

L’exclusion des maux de dos (par exemple une hernie discale) et les pathologies psychiatriques (par

exemple une dépression) est une exclusion supplémentaire sur les prêts à la consommation qui fait que

l’on est moins bien couvert.

Dans le cas où cette clause d’exclusion n’existe pas, Cardif prend en charge les échéances pendant une

durée maximale de six mois, au-delà d’une franchise de 90 jours.

Partie I, Chapitre 3 - Rappel de la problématique

30

CHAPITRE 3

Rappel de la problématique

L’Autorité de contrôle prudentiel et de résolution (ACPR) veille à la protection des assurés et

assure la pérennité du marché de l’assurance. Pour ce faire, elle instaure le respect de nombreuses

règles au sein des compagnies d’assurance. Selon le produit commercialisé et le risque étudié, la

législation de celui-ci est différente. Tout au long de ce mémoire, le produit étudié est l’assurance

emprunteur à adhésion collective et individuelle associée aux garanties incapacité et/ou invalidité. La

réglementation instaure quelques grands principes stricts, mais laisse tout de même une certaine liberté

aux compagnies d’assurance.

Dans ce chapitre nous commencerons par une description des différentes règles imposées par la

réglementation. Elles concernent surtout les différentes provisions relatives aux contrats d’assurance

emprunteur associés aux risques incapacité/invalidité, calculées en utilisant des tables réglementaires,

mises à disposition par le Bureau Commun d’Assurances des Collectives (BCAC) depuis 1981.

Lorsque cela est possible, l’assurance a tendance à adapter son mode de calcul en fonction de

l’expérience de son portefeuille. Cette démarche a été renforcée avec les normes IFRS et le projet de

Solvabilité II. Nous verrons dans un second temps son utilité.

3.1 Cadre réglementaire

3.1.1 Les provisions à constituer

Avant la loi n°89-1009 du 31 décembre 1989 dite la loi Evin, il n’y avait aucune obligation

pour les assureurs de constituer des provisions. Les primes de l’année servaient à couvrir les sinistres à

venir : c’est le principe de répartition (actuellement appliqué en retraite) permis grâce à l’inversion du

cycle de production du marché d’assurance.

L’article 7 de la loi Evin impose que :

« L’engagement doit être couvert à tout moment pour tous les contrats ou conventions

souscrits, par des provisions représentées par des actifs équivalents ».

Elle oblige donc les compagnies d’assurance à évaluer correctement ses dettes. Pour ce faire, elle doit

tout d’abord les identifier, puis être en mesure d’estimer le montant de ses engagements envers ses

assurés.

Le décret n°90-768 du 30 août 1990 précise le montant minimum à provisionner selon les risques

garantis :

- « Pour les prestations dues au titre du risque incapacité, lorsque les versements peuvent

s’échelonner sur plus de 365 jours et peuvent se poursuivre par des prestations d’invalidité, le

montant minimum est :

deux fois le montant annuel des prestations d’incapacité servies au cours de l’exercice. »


31

- « Pour les prestations dues au titre du risque invalidité, le montant minimum est :

six fois le montant annuel des prestations d’invalidité servies au cours de l’exercice. »

L’arrêté du 28 mars 1996 dans l’article A.331-22 du Code des Assurances informe plus précisément

sur le calcul des différentes provisions techniques des prestations d’incapacité et d’invalidité à

constituer, mais ce même article souligne que ces dispositions présentées ci-dessous « ne s'appliquent

pas aux prestations issues de contrats d'assurance de groupe souscrits par un établissement de crédit,

ayant pour objet la garantie du remboursement d'un emprunt ».

« Les provisions techniques sont la somme :

- des provisions correspondant aux prestations d’incapacité de travail à verser après le 31

décembre de l’exercice, au titre des sinistres en cours à cette date, majorées des provisions dites pour

rentes en attente relatives aux rentes d’invalidité susceptibles d’intervenir ultérieurement au titre des

sinistres d’incapacité en cours au 31 décembre de l’exercice ;

- des provisions correspondant aux prestations d’invalidité à verser après le 31 décembre de

l’exercice au titre des sinistres d’invalidité en cours à cette date ».

Au titre du risque incapacité/invalidité, deux provisions sont à constituer :

3.1.1.1 Provision pour risques croissants

L’article R331-6 du code des Assurances définit la provision pour risques en cours comme :

« La provision destinée à couvrir, pour l'ensemble des contrats en cours, la charge des sinistres et des

frais afférents aux contrats, pour la période s'écoulant entre la date de l'inventaire et la date de la

première échéance de prime pouvant donner lieu à révision de la prime par l'assureur ou, à défaut,

entre la date de l'inventaire et le terme du contrat, pour la part de ce coût qui n'est pas couverte par la

provision pour primes non acquises. »

Au lancement du produit (le contrat groupe pour les emprunteurs), les primes versées étaient fonction

du capital restant dû. Ainsi, la provision pour risques croissants (PRC) va permettre de lisser les

variations de la tarification de la prime pour obtenir une prime constante. La PRC a pour objectif de

couvrir le risque dont les primes ne suivent pas nécessairement le coût du risque. Elle correspond donc

à la différence entre les engagements pris par l’assureur et l’assuré.

Il existe une deuxième version de ce contrat, où la prime versée est désormais exprimée en

pourcentage du capital financé. La PRC n’est donc plus constituée pour le contrat groupe étudiée.

3.1.1.2 Provision pour sinistres à payer

Selon l’article R331-6 du code des Assurances, la provision pour sinistre à payer (PSAP) correspond à

« la valeur estimative des dépenses en principal et en frais, tant internes qu’externes, nécessaires au

règlement de tous les sinistres survenus et non payés, y compris les capitaux constitutifs des rentes

non encore mises à la charge de l’entreprise. »

L’article R331-15 du Code des Assurances, définit le calcul des PSAP en distinguant :


32

-les sinistres « connus»1

, qui correspondent aux sinistres déclarés pour lesquels la période

d’indemnisation n’est pas achevée à la date d’inventaire. Ainsi, l’assureur évalue « dossier par

dossier » le montant probable du décaissement à verser.

-les sinistres « tardifs »2ou « inconnus », correspondent aux sinistres survenus mais non déclarés à

l’assureur à la date d’inventaire.

3.1.2 Les tables réglementaires

La loi Evin indique les paramètres à intégrer dans le calcul des provisions :

- « Les lois de maintien en incapacité de travail et en invalidité indiquées en annexe du Code.

- « Un taux d’actualisation qui ne peut excéder 75 % du taux moyen des emprunts de l’Etat

français calculé sur base semestrielle, sans pouvoir dépasser 4,5 % ».

Ainsi, l’utilisation des tables réglementaires nécessaires pour le provisionnement des risques arrêt de

travail est encadrée par les articles A. 331-22 du Code des Assurances, A. 931-10-9 du Code de la

Sécurité Sociale et A. 212-9 du Code de la Mutualité.

La table de maintien en incapacité :

Elle permet de déterminer pour un individu entré en incapacité à l’âge depuis mois, la probabilité

qu’il y reste.

La table de maintien en invalidité :

Elle permet de déterminer pour un individu entré en invalidité à l’âge depuis mois, la probabilité

qu’il y reste.

La table de passage en invalidité :

La table permet de déterminer pour un individu entrée en incapacité à l’âge depuis mois, la

probabilité qu’il change d’état dû à une dégradation de sa santé.

Dans chacun des trois cas précédent, la probabilité recherchée dépend de l’âge à la survenance de

l’événement et de la durée de présence dans l’arrêt, appelée l’ancienneté. Ce sont donc des tables à

double entrée.

Ces lois ont été établies par le Bureau Commun des Assurances Collectives à partir de l’observation

d’une base de sinistres issue de quatre grandes compagnies d’assurance. Les assurés sinistrés sont en

général affiliés au régime de la Sécurité Sociale. Ainsi, l’ancienneté maximale de loi de maintien en

incapacité est fixée à 36 mois, se référant à la durée maximale durant laquelle les prestations peuvent

être versées par la Sécurité Sociale.

1 RBNS Reported But Not Settled.

2 IBNyR Incurred But Not yet Reported.


33

La table de maintien en incapacité et celle de passage en invalidité sont segmentées par âge à l’entrée

allant de 20 à 64 ans et par ancienneté en mois de 0 à 36 mois.

Quant à celle de maintien en invalidité, elle est segmentée par âge à l’entrée allant de 20 à 59 ans et

l’ancienneté de 0 à 10 ans. L’âge maximal (59 ans) correspond à l’âge auquel la garantie prend fin, et

cela est fort lié à l’âge de la retraite.

Les réformes de l’environnement économique et professionnel comme la réforme des retraites a

conduit à augmenter la période de garantie. De ce fait, les tables n’étaient plus adéquates. Ainsi, la

Direction de la Sécurité sociale a sollicité l’Institut des Actuaires pour prolonger les tables. L’arrêté

n°ETSS1033039A du 24 décembre 2010 a donc publié des tables ajustées et fixé les règles de

provisionnement. Les lois d’invalidité ont été prolongées de 59 ans à 61 ans et celles d’incapacité de

64 ans à 66 ans. Le nombre d’années écoulées depuis l’entrée en invalidité est prolongé jusqu’à 42 ans.

En 2013, les tables ont été entièrement reconstruites, afin d’intégrer les évolutions du risque arrêt de

travail depuis la construction en 1993. Les lois ainsi construites devraient donc remplacer les lois

actuelles. Ces lois sont aujourd’hui accessibles. Courant 2015, un arrêté doit être publié.

3.2 L’intérêt des tables d’expérience

Malgré le fait que les tables réglementaires s’adaptent aux reformes et soient révisées

régulièrement, elles sont établies à partir du portefeuille de sinistre de diverses compagnies

d’assurance françaises. Par conséquent, l’échantillon utilisé n’est pas représentatif du portefeuille des

autres assureurs français. L’utilisation des tables réglementaire peut être mal adaptée au portefeuille

d’une compagnie, ce qui a un fort impact sur les provisions. En effet, dès lors que la durée de maintien

en incapacité dépasse les attentes de l’assureur, ce dernier se doit alors de verser le montant de

l’échéance sur une période plus longue que prévu, s’exposant ainsi à un sous-provisionnement.

Ainsi, l’article A.331-22 du Code des Assurances prévoit,

«La possibilité pour une entreprise d’assurance d’utiliser une loi de maintien établie par ses soins et

certifiée par un actuaire indépendant de cette entreprise, agréé à cet effet par l’une des associations

d’actuaires reconnues par la commission de contrôle des assurances ».

Il semble donc pertinent de créer des lois à partir de l’expérience de son propre portefeuille de sinistre,

dès lors qu’un historique est suffisant. Ainsi, les assureurs ayant construits leurs tables d’expérience

acquièrent d’une part une connaissance de leurs risques la plus juste possible et d’autre part cela leur

permet d’estimer au mieux leur engagement, c'est-à-dire les provisions.

De plus, le fait d’établir sa table dite table d’expérience, permet d’adapter la table aux conditions

générales associées aux contrats étudiés.

En effet, les définitions des états incapacité/invalidité sont différentes de celle de la Sécurité Sociale.

Les assurés sinistrés ne perçoivent pas forcément des prestations par le régime de la Sécurité Sociale.

Par exemple un assuré n’est pas considéré comme invalide selon la définition de la Sécurité Sociale,

alors qu’il est considéré comme invalide selon la définition de l’assureur. De plus, comme nous

l’avons vu précédemment, Cardif peut verser des prestations d’invalidité pour des personnes de plus

de 65 ans ou 70 ans selon l’option choisie. La construction d’une table d’expérience prend donc en

compte ces paramètres.

De plus, les tables d’expériences permettent une discrétisation plus fine (par exemple, en jours)

permettant une meilleure adéquation avec la répartition des arrêts.


34

D’autre part, la table réglementaire segmente en fonction de l’âge à l’entrée dans l’état et de

l’ancienneté dans l’état. Cependant, la loi de maintien peut présenter une forte hétérogénéité en

fonction des caractéristiques de l’assuré comme le sexe ou la catégorie socioprofessionnelle et de

l’arrêt comme la maladie ou l’accident. La table d’expérience permet de retenir un niveau de

segmentation plus fin, lorsque l’on dispose d’un volume suffisant de données.

3.3 Objectif de l’étude : provisionnement des sinistres connus en

arrêt de travail

Ce mémoire a pour objectif de proposer une nouvelle démarche des modalités de calcul de

provision pour les sinistres en cours. Ainsi, nous chercherons à obtenir une estimation des provisions

plus précise que celle actuellement employée lors des arrêtés des comptes. La finalité de ce projet nous

permettra de justifier l’adéquation du niveau de provision des sinistres « connus » aux risques

encourus.

3.3.1 Présentation de la méthode actuelle et confrontation à la

réalité de notre base sinistrée

3.3.1.1 Le calcul des provisions des sinistres en cours

Actuellement, l’évaluation des provisions à la date d’inventaire est conforme à l’arrêté du 28

mars 1996 du Code des Assurances, dans le sens où il existe une distinction entre les incapables et les

invalides. Ceci vient du fait que les organismes assureurs se conforment à la Sécurité Sociale qui

définit la notion d’arrêt de travail en deux catégories. Ainsi, le provisionnement pour les sinistres au

titre de l’incapacité se décompose sous la forme d’une provision incapacité en cours et d’une provision

invalidité en attente tandis que pour les sinistres au titre de l’invalidité, nous prenons en compte

seulement le provisionnement de l’invalidité en cours.

Sur notre base sinistrée, les sinistres au titre de l’invalidité semblent être difficilement identifiables

parmi les sinistres au titre de l’incapacité. Nous sommes confrontés à une problématique en amont de

toutes analyses, nécessitant une prise de décision. Ainsi, pour appliquer des méthodes de façon

optimale, la connaissance des données et des principaux modes de gestion des sinistres sont

indispensables.

Conformément aux recommandations de l’ancien apériteur AXA de ce contrat, la méthode distingue le

provisionnement de la première année d’arrêté de travail et des suivantes. En effet, pour les 12

premiers mois d’arrêté de travail, l’évaluation des provisions est déterminée à partir de coefficient

mathématique calculé par la loi du BCAC de 1981 pour un âge de 45 ans. Puis, entre 12 et 36 mois les

provisions sont estimées par la loi de maintien en incapacité issue du BCAC datant de l’arrêté du

28/03/1996 pour un âge de référence de 50 ans. Le calcul présente un ajustement en intégrant un

coefficient permettant de prendre en compte l’âge de l’assuré à la survenance du sinistre.

L’évaluation des provisions au titre de l’invalidité est également déterminée par des coefficients

calculés sur la base de la table de maintien en invalidité du BCAC. Au cours du temps, un abattement


35

a été appliqué aux anciennetés les plus faibles, dans l’optique de se rapprocher à la définition de

l’invalidité des conditions générales.

La méthode de provisionnement utilisée actuellement lors des arrêtés des comptes manque de

cohérence.

Aujourd’hui, nous n’avons aucune justification sur la valeur du taux d’abattement appliqué concernant

l’invalidité. Tous les coefficients intègrent un taux technique fixe à 3 %.

D’autre part, nous remettons en cause l’utilisation de plusieurs tables de maintien du BCAC (dont

certaines datant de 1981 et l’utilisation de coefficient datant de 1963 afin de connaître l’influence de

l’âge de l’assuré à la survenance). De plus, aujourd’hui ces tables ne sont plus d’actualité.

Cela nous conduit à nous interroger quant à son adéquation à notre portefeuille. Aujourd’hui, nous

disposons d’un historique de sinistralité significatif qui permettra d’ajuster le calcul des provisions en

cours aux conditions générales du contrat rappelées dans le chapitre précédent (Cf. Partie 1, Chapitre

2).

3.3.1.2 La sélection des sinistres en cours

En cas d’arrêt de travail, l’assuré déclare son sinistre à son assureur afin d’être pris en charge. Au-delà

d’une période de franchise, l’assuré reçoit des prestations sous condition qu’il envoie des pièces

justificatives à la compagnie d’assurance. Lorsque l’assuré reprend son activité professionnelle, il n’en

informe pas à son assureur. Par conséquent, la compagnie d’assurance ne dispose pas d’information

concernant l’état du dossier. La difficulté du calcul des provisions réside dans le fait de choisir

l’ensemble des sinistres en cours pour lequel une provision doit être calculée.

Après quelques échanges avec le service de gestion, la difficulté de choisir les dossiers à provisionner

s’accentue. Un sinistre est clôturé dans le cas où l’assuré informe sa reprise de travail à son assureur,

sinon le sinistre reste indéfiniment « en cours » sans paiement effectif. De ce fait, il est difficile

d’évaluer le nombre de dossier réellement en cours.

Afin de définir le périmètre des dossiers à provisionner, Cardif a fait le choix de considérer les

dossiers à provisionner ceux ayant eu un règlement sur les trois derniers mois précédant la date

d’inventaire et ayant un état du sinistre en cours à la date d’inventaire.

Afin de juger la règle de sélection actuellement utilisée, une étude a été menée pour les années

d’inventaire 2012, 2013 et 2014. Nous cherchons à savoir si la méthode de sélection retient les

dossiers qui sont réellement en cours.

Année d’inventaire Sinistres sélectionnés Sinistres hors du périmètre

En cours Clos En cours Clos

2011 80,58% 19,42% 8,56% 91,44%

2012 81,41% 18,59% 6,79% 93,21%

2013 83,17% 16,83% 8,07% 91,93%

2014 82,66% 17,34% 5,94% 94,06%

Table 7 - Mesure de l’adéquation de la règle de sélection actuelle pour les années 2011, 2012, 2013 et 2014


36

En 2011, nous remarquons qu’environ 80 % des sinistres qui ont fait l’objet d’un calcul de provision

ont eu un règlement dans l’année. Nous en déduisons qu’environ 20 % des sinistres qui ont fait l’objet

d’un calcul de provision n’ont pas eu de règlement dans l’année. Cette part de sinistre a été

provisionnée à tort.

Nous constatons qu’environ 92 % des sinistres qui n’ont pas fait l’objet d’un calcul de provision n’ont

pas eu de règlement dans l’année. Nous en déduisons qu’environ 8 % des sinistres qui n’ont pas fait

l’objet d’un calcul de provision ont eu un règlement dans l’année. Cette part de sinistre n’a pas été

provisionnée à tort.

Parmi les sinistres réellement en cours, il est intéressant de savoir s’ils étaient sélectionnés à la date

d’inventaire un calcul de provisions.

Année d’inventaire Sinistres réellement en cours

Périmètre Hors périmètre

2011 71,7% 28,3%

2012 73,1% 26,9%

2013 66,6% 33,4%

2014 76,7% 23,3%

Table 8 - Mesure de la qualité de la règle de sélection des sinistres sur les sinistres réellement en cours

Pour l’année d’inventaire 2014, nous observons que 23% des sinistres réellement en cours n’avaient

pas été pris en compte par la méthode de sélection actuelle.

En conclusion, la règle de sélection est donc imprécise avec un taux de sinistre provisionné à tort de

plus de 15%. Il convient donc d’affiner le périmètre des sinistres en cours et d’estimer de façon plus

fine la probabilité qu’un sinistre soit en cours à la date d’inventaire. Cette étude se situe en amont des

problématiques d’estimation de provisionnement, puisque nous cherchons avant tout à connaître quel

est le périmètre des sinistres pour lequel une provision doit être calculée.

Partie Ie3- Rappel de la problématique

37


38

DEUXIEME PARTIE

Constitution des données et premières

statistiques


39

CHAPITRE 1

Validation et constitution des échantillons

La construction des tables en arrêt de travail repose sur les données issues de l’observation

d’un échantillon. Nous disposons de 68 139 sinistres, dont 64 614 sinistres issus du contrat groupe

représentant 94,8 % du portefeuille global et 3 525 sinistres issus du contrat individuel représentant

5,2 % du portefeuille global. Par la suite, nous souhaitons obtenir des résultats fiables. Il est donc

nécessaire de disposer d’un échantillon de données cohérent et suffisamment représentatif.

Dans un premier temps, nous effectuerons un travail préliminaire de traitement des données aberrantes,

puis nous aborderons le retraitement de nos données afin de pouvoir constituer des échantillons de

référence, permettant par la suite de construire un estimateur des lois de maintien en arrêt de travail. Il

s’agit d’une étape à ne pas négliger et donc cruciale avant même d’aborder la construction d’une table

d’expérience, afin d’obtenir une fiabilité de nos résultats.

1.1 Contrôle de cohérence des données

Nous disposons de deux bases pour chaque type de contrat. Nous avons d’une part la base des

encours correspondant à l’ensemble des assurés ayant souscrit un contrat et d’autre part, la base des

sinistres correspondant à l’ensemble des prestations versées au titre de l’incapacité et/ou l’invalidité.

Le contrôle de la cohérence de nos données est réalisé sur la base des sinistres, contenant l’ensemble

des prestations cumulées depuis 2005. La date d’arrêté retenue est le 31/05/2015. Par ailleurs, la base

d’encours nous a permis de compléter les informations nécessaires à la construction d’une table

d’expérience, comme la quotité. D’autre part, une jonction de la base des encours et des sinistres a été

effectuée pour s’assurer de la qualité de nos données.

Ainsi, pour chaque assuré sinistré, nous disposons d’information concernant les assurés, le contrat et le

sinistre.

Les variables concernant l’assuré sont :

le sexe, la date de naissance, la catégorie socioprofessionnelle, le code postal.

Les variables concernant le contrat sont :

le numéro du contrat issu de la base des encours, le type de contrat (collectif ou individuel), le code

produit, la catégorie commerciale (Banque de détail en France), la date de souscription, la date de

dernière mise à jour, le type de garantie (décès, PTIA, chômage, IT, IPT ,IP), le numéro de prêt, le

nombre d’assurés par contrat, la quotité, le montant de l’échéance, le montant du prêt, le taux de prêt,

la durée du prêt, la date de fin de prêt.

Les variables concernant le sinistre sont :

le numéro du sinistre, la nature du sinistre (décès, PTIA, chômage, IT, IPT ,IP), la cause du sinistre

(maladie, accident, accident de la vie, accident de travail), l’état du sinistre (en attente, clos, à vérifier,

ouvert), la date de déclaration du sinistre, la date de la survenance de l’événement, la date de la

Partie II, Chapitre 1 - Validation et constitution des échantillons

40

première prise en charge, la date de la dernière prise en charge, la durée d’indemnisation, le montant

cumulé réglé au titre du sinistre, le montant de la provision du sinistre.

Afin de détecter des anomalies, il est indispensable de comprendre le système de gestion. Puisque

nous avons deux bases de données, l’une concernant les sinistres issus des contrats collectifs, et l’autre

concernant ceux issus des contrats individuels, les informations sont renseignées différemment selon

le type de contrat.

Par la suite, il faudra homogénéiser les deux bases de données pour obtenir une seule. De plus, le fait

de comprendre le système de gestion selon le type de contrat a permis de détecter des valeurs

manquantes et aberrantes. La complexité de la base de sinistre s’explique par l’augmentation des

montages financiers au fil des années. En effet, les banques peuvent accorder simultanément plusieurs

crédits à leurs clients. En général ces prêts diffèrent l’un de l’autre par un changement de l’un des

variables suivantes : le montant du prêt, le montant de l’échéance du crédit, le taux associé au prêt, la

quotité, ou/et la date de fin du prêt. Les emprunteurs mettent donc en place des montages financiers en

choisissant le type de financement le mieux adapté à leurs projets. Cependant un seul contrat

d’assurance est attaché aux multiples prêts.

Il conviendrait donc de ne pas intégrer dans l’échantillon les multiples prêts pour ne pas biaiser les

comptages.

En effet, les montages financiers sont gérés de la façon suivante :

Pour un contrat groupe :

un numéro de contrat différent pour chaque crédit.

Pour un contrat individuel :

un numéro de contrat est attribué pour l’ensemble des prêts.

Quant aux numéros de sinistres, aucune précision n’est faite. En d’autres termes, quel que soit le type

de contrat, le numéro de sinistre peut être soit identique ou soit différent pour l’ensemble des prêts.

Nous citons ci-dessous quelques incohérences corrigées par la base d’encours :

Sur la date de naissance : un même identifiant assuré ne doit pas regrouper plusieurs assurés.

Sur la date de fin de prêt : un même numéro de contrat pour deux numéros de sinistre différents ne doit

pas regrouper un seul prêt.

Sur la date de survenance : nous supprimons les sinistres dont la date de la survenance de l’événement

est supérieure à la date de la première prise en charge (neuf dossiers concernés).

Nous avons constaté un doublon sur le portefeuille étudié. En effet, nous avons un même numéro de

contrat pour deux numéros de sinistres différents, regroupant les mêmes caractéristiques du prêt. Seul

le versement de la prestation par Cardif diffère. Nous nous attendons à ce que le contrat soit souscrit

sur deux têtes. La base de sinistres et la base d’encours renseignent des informations différentes à

propos du nombre d’assurés. Désormais, la base d’encours est plus fiable (car il existe des variables

redondantes sur la base des encours) et indique que le contrat est souscrit sur une tête. Il s’agit donc

d’un doublon que nous supprimons afin de ne pas introduire un biais statistique dans l’analyse des

données. Pour ce faire, nous comptabilisons un sinistre dont le montant total réglé est égal à la somme

des montants totaux réglés sur ces deux sinistres.


41

Enfin, effectuons des contrôles sur le respect des conditions générales du contrat d’assurance en

calculant les variables ci-dessous :

l’âge à la date de signature du contrat d’assurance.

Nous observons un arrêté où la date de naissance est égale à la date de survenance. Une

rectification de la date de naissance est faite via la base d’encours.

l’âge à la survenance du sinistre.

La vérification de la cohérence des données permet d’obtenir un échantillon exploitable.

1.2 Constitution des échantillons de référence

Dans un second temps, des retraitements doivent être effectués afin d’élaborer

convenablement une table d’expérience.

A partir de notre base de données, nous déduirons les variables importantes dans le calcul des durées

des sinistres. Une de ces variables va permettre de créer un échantillon de référence pour élaborer la

table de maintien en arrêt de travail. Une attention particulière devrait donc être portée sur la valeur de

ces variables.

1.2.1 Retraitements des données

1.2.1.1 Correction de la date de survenance des sinistres au titre de

l’invalidité

Le premier retraitement effectué concerne la date de survenance des sinistres IPT (Invalidité

Permanente Totale). En effet, la date de survenance du sinistre IPT correspondait à la date de passage

en invalidité. Cependant, dans la plupart des cas, un sinistre IPT est précédé d’un sinistre ITT

(Incapacité temporaire totale) et donc la date de survenance du sinistre IPT est celle du sinistre ITT.

1.2.1.2 Agrégation des arrêts de travail

L’objectif de la construction de la table d’expérience étant d’étudier le comportement individuel. De

ce fait, chaque ligne de notre échantillon doit correspondre à un sinistre d’un individu. Des

retraitements sont donc nécessaires afin de ne pas biaiser les comptages.

- 1er

type d’agrégation : les rechutes (inférieure ou égale à 60 jours).

Pour certains assurés, plus de deux sinistres sont déclarés. Pourtant il s’agirait du même sinistre. Nous

souhaitons vérifier si cette double voire triple déclaration de sinistre s’avère légitime. En d’autres

termes, nous verrons que certains sinistres ne nécessitent pas une nouvelle déclaration. C’est ce qu’on

appelle des arrêts avec rechute.


42

Les échéances de prêt sont prises en charge en cas d’arrêt de travail. Par conséquent, un premier

sinistre est inscrit dans la base de données en précisant la cause du sinistre et le type de la sinistralité

(IT ou IPT). L’état de santé de l’assuré peut s’améliorer et il peut donc reprendre son travail. La

garantie s’interrompt de droit, puisque le client a repris son activité. Cependant, le client est pris en

charge pour une rechute : le droit à la rechute reste toujours ouvert. Dans ce cas, l’acceptation de la

rechute ouvre une nouvelle période d’indemnisation.

Les gestionnaires de sinistre ne distinguent pas les nouveaux arrêts des rechutes (un nouveau numéro

de sinistre s’il s’agit d’un nouveau arrêt ou d’une rechute).

Dans l’objectif d’élaborer la loi de maintien en arrêt de travail, nous recherchons les sinistres qui

correspondent à des rechutes.

Les conditions générales du contrat nous éclairent la question de rechute.

Stipulant que :

« Si l’assuré est victime d’une rechute, conséquence du même accident ou de la même maladie

survenant après une reprise d’activité professionnelle inférieure ou égale à 60 jours, celle-ci ne sera

pas considérée comme un nouveau sinistre. En conséquence, il ne sera pas fait application de la

franchise ».

Lorsque la durée écoulée entre la date de constatation de la rechute et de la dernière date de sortie est

inférieure ou égale à 60 jours, il s’agirait alors d’une continuité, voire d’un prolongement du premier

arrêté.

Pour reconstituer notre portefeuille, dans l’objectif d’élaborer la loi de maintien en arrêt de travail, le

deuxième arrêté dû à une rechute est regroupé avec le premier sinistre, dont la durée de maintien en

incapacité sera égale à la somme des durées de chacun de ces arrêts et le montant réglé correspondra à

la somme des montants réglés sur ces deux sinistres.

- 2ème

type d’agrégation : les montages financiers.

Comme nous l’avons déjà énoncé, les clients peuvent effectuer plusieurs opérations de crédit et

souscrivent un unique contrat d’assurance couvrant tous leurs prêts. En cas de sinistre, l’établissement

bancaire doit être protégé contre le risque d’impayés de l’ensemble des prêts attribués. De ce fait,

Cardif propose de couvrir une ou plusieurs opérations de crédit, visant à garantir l’assuré contre le

risque lié à l’incapacité survenant avant le terme des différents prêts.

En cas d’arrêt de travail pour un client ayant effectué plusieurs opérations de crédit, l’arrêt engendre

plusieurs lignes correspondant aux différents prêts, quel que soit le type de contrat choisi (individuel

ou collectif). Il s’agirait d’une information redondante pour la construction d’un estimateur des lois de

maintien en incapacité. Afin de pouvoir obtenir une base de qualité permettant de minimiser les

erreurs d’estimation, un retraitement est utile afin de ne pas comptabiliser plusieurs sinistres alors qu’il

s’agirait en réalité du même assuré.

Après avoir repéré l’ensemble des montages financiers, nous les agrégeons en un arrêt dont le montant

emprunté correspond à l’ensemble des prêts et la durée de maintien en incapacité à celle la plus élevée

(la date de fin de prêt met fin à la garantie, par conséquent la durée de maintien est réduite).

Ainsi, nous avons supprimé 22,8 % de sinistres sur la base de données issue des contrats collectifs et

19,3 % de sinistres sur la base de données issue des contrats individuels.


43

1.2.1.3 Période de franchise

Nous distinguons la franchise contractuelle de la franchise du sinistre. En effet, nous avons vu que

l’assuré peut opter pour une franchise contractuelle de 30 jours sur le risque Incapacité de travail. En

l’état actuel de la base de données, l’identification de tels contrats n’est pas possible dans la base des

sinistres. Nous n’avons pas à notre disposition la franchise contractuelle.

Ainsi, la période de franchise du sinistre est obtenue en faisant la différence entre la date de la

première prise en charge et la date de survenance de l’évènement.

Pour contrôler la cohérence de cette franchise, nous devons vérifier que toutes les valeurs sont

positives : c’est le cas.

Figure 5 - Répartition de la période de franchise

La période de franchise contractuelle de 90 jours est le choix le plus fréquent par nos adhérents quel

que soit le type de contrat souscrit. En effet, sur le contrat groupe, 90,86 % de la base des sinistres ont

une période de franchise recalculée de 90 jours. Quant au contrat individuel, 93,26 % sinistres ont une

période de franchise recalculée de 90 jours.

Pour élaborer une loi de maintien s’appuyant sur un historique de sinistralité, nous devons choisir une

durée fixe de franchise.

Nous excluons la période de franchise de 30 jours, car notre base de données comporte très peu de

sinistres avec une telle période de franchise. Par conséquent, la construction d’une table de maintien

au-delà d’une franchise de 30 jours entraînera une loi non robuste. Etant donnés les volumes en jeu, ce

biais peut être accepté à ce jour. Si des volumes significatifs de tels contrats devaient être souscrits, il

serait nécessaire de pouvoir identifier ce choix d’option dans les bases d’encours et de sinistres afin

qu’une mise à jour de cette étude soit réalisée.

La question se pose à présent, concernant les sinistres dont la période de franchise est au-delà de 90

jours.


44

Il est donc important de prendre une décision, sans introduire un biais ni supprimer des sinistres qui

pourraient par la suite nous apporter des informations pertinentes sur la durée de maintien en

incapacité.

Ce sont les conditions générales qui nous aideront dans notre choix du retraitement de la franchise, car

nous supposons que la franchise contractuelle et du sinistre est proche. Elles stipulent les formalités à

accomplir en cas de sinistre :

« Tout sinistre mettant en jeu les garanties IPT, ITT ou IPP doit être déclaré dans un délai de douze

mois (contrat individuel) / six mois (contrat collectif) après sa survenance. Au-delà de ces délais, la

prise en charge interviendra à compter de la déclaration. Il ne sera pas fait application du délai de

franchise ».

De ce fait, nous effectuons un retraitement particulier concernant les déclarations tardives. Les assurés

ayant déclarés tardivement sont repérés de la façon suivante comme le montre le tableau ci-dessous :

la date de déclaration est égale à la date de survenance et la date de déclaration a été déclarée dans un

délai de six mois ou 12 mois après sa survenance selon le type du contrat.

Figure 6 - Déclarations tardives (six mois après la survenance pour le contrat collectif et 12 mois après sa survenance pour le

contrat individuel)

L’ensemble des assurés ayant déclarés tardivement leur sinistre représente environ 8 % de notre base

sinistrée. Le retraitement pour ces dossiers consiste à réajuster la durée d’indemnisation de la manière

suivante : la durée d’indemnisation est égale à la différence entre la fin de la dernière prise en charge

et la date de survenance en retranchant une franchise de 90 jours.

D’autre part, il existe des sinistres dont la franchise recalculée est égale à 0. Ils correspondent aux cas

des rechutes après une reprise d’activité inférieure ou égale à 60 jours. Il s’agit du seul cas, où la

franchise n’est pas appliquée. De ce fait, nous conservons ces types de sinistres (Cf. Section 1.2.1.2).

Quant aux sinistres dont la franchise est inférieure à 90 jours ou comprise entre 91 et 365 jours pour

les contrats individuels et entre 91 et 180 jours pour les contrats groupes, nous les supprimons.

1.2.1.4 Durée d’indemnisation

Nous avons à notre disposition la durée d’indemnisation par sinistre. Cette variable ne s’avère pas

juste. Il est donc plus facile de recalculer la durée d’indemnisation par la différence entre la date de

début et de fin de prise en charge. Nous obtenons ainsi la durée de maintien en incapacité exprimée en

jours ou en mois.

Du fait des procédures de gestion, l’utilisation directe des dates de début et de fin n’est souvent pas

correcte. De ce fait, pour un sinistre donné, nous allons déterminer le nombre de jours réellement

indemnisés d’une façon plus fine.

À notre disposition, nous avons le montant total indemnisé ainsi que le montant de l’échéance du

crédit (exprimé mensuellement). Il est à noter que le paiement des prestations est fait dans la limite de

la quotité assurée. Nous déduisons le montant mensuel emprunté couvert par l’assurance, calculé sur la


45

base de la quotité assurée. Ainsi, nous pouvons reconstituer la durée en rapportant le montant total

indemnisé au montant de l’indemnité mensuelle.

A noter que la quotité n’est pas renseignée pour chacun de nos sinistres, dans ce cas nous contenterons

de la durée de maintien calculée par la différence entre la date de début et de fin de prise en charge

Un contrôle de cohérence sur la durée de prise en charge est indispensable, puisque la loi de maintien

en arrêt de travail est basée sur cette variable.

En effet, il existe des périodes qui se chevauchent pour un même assuré sinistré. Nous distinguons

deux types de chevauchement :

Les inclusions partielles :

C’est le cas où un deuxième versement de prestation a eu lieu suite à un arrêt de travail

indépendamment lié au premier arrêt, dont le début de période du deuxième versement est inclus dans

la précédente (9 dossiers concernés, Cf. figure ci-dessous).

Figure 7 - Détection des inclusions partielles

Le traitement des inclusions partielles consiste à retenir la date de début de prise en charge comme la

date de début de prise en charge la plus ancienne (30/10/2004), la date de fin de prise en charge

comme la date de fin de prise en charge la plus récente (25/06/2008), les montants de prestations

versées sont sommées ainsi que la durée d’indemnisation.

Ainsi, deux périodes qui se chevauchent ne comptent donc que pour un évènement. Ce choix est

conforme aux règles de gestion. Dans la pratique, aucun contrôle n’est fait et il n’y a pas d’alerte au

niveau du système informatique.

Les inclusions totales :

C’est le cas où la période d’indemnisation au titre de l’invalidité est incluse dans la période

d’indemnisation au titre de l’incapacité (13 dossiers concernés, Cf. figure ci-dessous).

Figure 8 - Détection des inclusions totales (Sinistres au titre de l’invalidité inclus totalement avec la période d’incapacité

précédente)

Le traitement de ces dossiers est expliqué dans le paragraphe suivant, car il dépendra de la manière

dont est appréhendé le risque d’incapacité et d’invalidité.


46

1.2.2 Les échantillons de référence

Nous souhaitons par la suite, construire une table d’expérience permettant de mesurer le risque d’arrêt

de travail. Du fait de la distinction juridique entre l’incapacité et l’invalidité découlant du droit de la

Sécurité Sociale, nous nous concentrons sur les 36 premiers mois de l’arrêt y compris la franchise de 3

mois. D’autre part, les conditions générales accentuent sur le fait que « la durée maximale

d’indemnisation, au titre de la garantie IT soit 1095 jours, franchise comprise».

Nous nous attendons à ce que cette condition soit vérifiée sur la plupart de nos sinistres. Cependant,

nous trouvons 10,6 % sinistres issus du contrat groupe en ITT et 8,92 % des sinistres issus du contrat

individuel en ITT durant plus de 36 mois (soit plus de 33 mois après la franchise). En effet, il semble

que dans les faits, la gestion des IPT ne soit pas très claire.

Deux solutions d’obtenir deux échantillons de référence s’offrent à nous :

La première consiste à confondre les deux états « incapacité » et « invalidité ». La nature du

sinistre n’est donc plus prise en compte. Nous nous intéresserons donc à la durée de maintien

en arrêt de travail. Pour ce faire, les périodes d’invalidité doivent être raccordées avec celle de

l’incapacité si la distance entre les deux prises en charge n’est pas supérieure à 60 jours.

Concernant les inclusions totales (Cf. Figure 8), la date de fin de la prise en charge au titre de

l’incapacité est égale à la date de début de prise en charge au titre de l’invalidité. Par la suite,

il s’agira de l’échantillon n°1.

La seconde consiste à tronquer la durée d’indemnisation à 1 095 jours pour les sinistres dont la

durée est supérieure à 1 095 jours. Ainsi, au-delà de 33 mensualités réglées, soit 36 mois

d’arrêt de travail, la garantie ITT cesse. Certains assurés sont alors éligibles à la garantie IPT.

Dans la base de sinistres, les prestations IPT sont parfois affectées à de l’ITT. En d’autres

termes, les sinistres dont la durée d’indemnisation était supérieure à 1 095 jours, la durée

d’indemnisation supplémentaire correspondra à un nouveau sinistre au titre de la garantie IPT.

Par conséquent, cela augmentera le nombre de sinistres qui passeront en invalidité. Par la suite,

il s’agira de l’échantillon n°2.

Après quelques échanges avec le service de la gestion, la première solution s’avère beaucoup plus

crédible. En effet, la définition de l’IPT dans les conditions générales du contrat3 (toutes générations

confondues) ne correspond pas exactement à celle de l’invalidité de la Sécurité Sociale. Elle est plus

restreinte. Le passage en IPT ou non se détermine en croisant le taux d’invalidité fonctionnelle et le

taux d’invalidité professionnelle, selon une grille définie dans les conditions générales de chaque

convention. Par conséquent, il y a donc des assurés en invalidité de la Sécurité Sociale qui ne

devraient pas être classés en IPT.

L’incapacité de la Sécurité Sociale dure 36 mois à compter de la date de survenance du sinistre. Tandis

que notre système de gestion bloque le paiement au bout de 36 mois ou plus selon le paramétrage

choisi en fonction de la convention. Pour autant, il n’y a pas de blocage en cas d’absence d’expertise

médicale. Le rédacteur peut donc faire passer l’événement IT en événement IPT et continuer le

versement des prestations, tant que l’assuré envoie une pièce justificative d’invalidité (ce qui ne

signifie pas pour autant qu’il doit être classé en IPT).

3 Cf. Partie 1. Chapitre 2.


47

1.3 Gestion des données incomplètes

Nous devons pouvoir observer le maintien en arrêt de travail de chaque sinistre dans sa totalité

pour construire la table d’expérience. Cependant notre échantillon de référence est limité à la date

d’extraction, soit le 31/05/2015. De ce fait, notre base comprend des sinistres qui ne peuvent être

observés dans leur intégralité.

Nos arrêtés sont tous observables au début de la période d’observation. En effet, nous pouvons

exploiter nos données à partir du 01/01/2005. En d’autres termes, nous n’avons pas de données dites

tronquées. Les termes de troncatures et de censures seront expliqués plus en détail dans la troisième

partie de ce mémoire. Les données sont fiables depuis l’année 2005 : Cardif a été co-assureur de ce

contrat, puis le niveau d’intervention de Cardif s’est agrandi jusqu’en 2005, où elle effectue la gestion

et possède donc la base de sinistre.

Au contraire certains sinistres sont en cours au moment de la date d’extraction. En d’autres termes,

nous avons des données dites censurées à droite, car l’information sur la durée de maintien est

disponible et valide au jour de la date d’extraction. En effet, au 31/05/2015 la personne est en arrêt de

travail mais nous n’avons aucune information sur la durée future.

Afin de ne pas biaiser l’estimateur de la loi de maintien en incapacité, nous devons gérer les données

dont l’information sur la durée de maintien semble incomplète. Pour ce faire, pour chacun de nos

sinistres, nous nous efforcerons de connaître les motifs de sortie. Autrement dit, nous essayerons de

déterminer pourquoi le versement de la prestation par Cardif a pris fin.

1.3.1 Les sinistres au titre des garanties DC, PTIA et IPT

Notre base de données comporte l’ensemble des sinistres au titre des garanties DC, PTIA, IPT et IT.

Ainsi, les sinistres au titre des garanties « DC » et « IPT » peuvent être une aide pour définir le motif

de sortie des sinistres au titre de la garantie « IT ».

En effet, l’incapacité peut être suivie d’une invalidité. L’état de santé de l’assuré s’est donc dégradé.

La date de sortie correspond à la date de passage en invalidité. Il ne s’agit pas d’une censure, puisque

nous savons que l’assuré est sorti de notre portefeuille pour cause de passage en invalidité.

De plus, l’invalidité voire même l’incapacité peut être suivie du décès. La date de sortie est la date du

décès. Nous considérons qu’il ne s’agit pas d’une censure, l’assuré est sorti de notre portefeuille pour

cause de décès.

1.3.2 Fin du contrat

L’adhésion est conclue pour une durée d’un an et se renouvelle ensuite annuellement pendant toute la

durée du prêt. Elle prend fin au 70ème

ou 65ème

anniversaire de l’assuré selon la convention choisie, il

sera donc couvert exclusivement de la garantie décès. De ce fait, nous calculons l’âge de l’assuré au

moment de la date d’inventaire. Si celui-ci dépasse son 70ème

ou 65ème

anniversaire selon la convention

choisie, la garantie cesse. La date de sortie est la dernière date d’indemnisation. Il s’agit d’un sinistre

censuré, puisque nous ne pouvons pas déterminer la durée exacte de maintien en incapacité.

De plus, la garantie cesse lorsque le prêt prend fin. De ce fait, lorsque la date de fin de prêt est

inférieure ou égale à la dernière date d’indemnisation la garantie cesse pour cause de fin du prêt.


48

L’assuré n’est plus observable car aucun risque n’est porté par l’assureur. Par conséquent, nous ne

pouvons plus observer la durée restante en incapacité. Il s’agit donc d’une censure.

D’autre part, la garantie prend fin lors d’une reprise d’activité. En pratique cette information n’est pas

disponible. Mais les conditions générales distinguent les rechutes survenant plus de 60 jours après une

reprise d’activité professionnelle, permettant ainsi de déterminer le motif de sortie dû à une reprise

d’activité :

De ce fait l’information peut être connue seulement dans le cas où l’assuré retombe en arrêt de travail.

La date de sortie du premier sinistre est la dernière date d’indemnisation. Il ne s’agit pas d’une censure,

car la durée de maintien est connue. La garantie a pris fin puisqu’il a repris son activité.

1.3.3 Quels sinistres prendre en compte ?

Nous devons déterminer le périmètre des sinistres pour construire notre portefeuille permettant de

modéliser la loi de maintien. En d’autres termes, il s’agit de définir ce qu’est un sinistre en cours à la

date d’extraction. En effet, cette information n’est pas disponible. De ce fait, nous avons recours à une

règle simple permettant de déterminer le périmètre des sinistres :

Un sinistre est en cours s’il a fait l’objet d’un paiement dans les N mois précédant la date d’inventaire.

En effet, plus N est grand, plus le nombre de sinistres en cours est élevé. La règle de définition des

sinistres en cours fixe N à 3 mois. Un sinistre en cours est donc censuré, puisque la durée

d’indemnisation est indéterminée.

Par opposition, nous définissons un sinistre terminé lorsque celui-ci ne vérifie par la règle. Par

définition, il n’est pas censuré.

Suite à l’application de cette règle sur notre échantillon n°1 (Cf. section 1.2.2), nous recensons environ

30 % de données dites incomplètes (en termes de censures, que nous détaillerons dans la troisième

partie de ce mémoire).

Partie II, Chapitre 2 - Analyses statistiques

49

CHAPITRE 2

Analyses statistiques

Dans un premier temps, nous allons apprécier l’évolution de différents indicateurs statistiques

(la parité Femme/Homme, l’âge moyen à la survenance et à la souscription, le montant du prêt, le

nombre de prêts souscrits, le nombre de sinistres) au cours du temps pour choisir notre période d’étude.

Nous souhaitons en effet obtenir des résultats fiables, c’est donc pour cela qu’une stabilité de ces

indicateurs est nécessaire.

Dans un second temps, nous allons réaliser quelques statistiques descriptives afin d’avoir une

meilleure connaissance de notre base de sinistres et d’apprécier la suffisance de nos observations.

Nous chercherons les variables les plus significatives sur la durée de maintien.

2.1 Choix de la fenêtre d’observation

Le choix de la période d’étude est une étape cruciale.

- D’une part, le volume de données doit être suffisamment important pour espérer construire

une table d’expérience robuste. En effet, le retraitement et la suppression des données

expliquées au chapitre précédent, ne remettent pas en cause la quantité suffisante du nombre

d’observations du portefeuille.

- D’autre part, notre échantillon doit représenter une population homogène, ce qui assure la

qualité de notre échantillon.

2.1.1 Evolution de la parité Femme/Homme au cours du temps

La réglementation n’autorise pas les assureurs à proposer un tarif différenciant le genre de

l’assuré. Cependant, lors de la construction de la table d’expérience dans le but de calculer des

provisions Best Estimate et comptable, cette variable Femme/Homme.est primordiale, puisqu’il est

souvent observé que la durée de maintien est différente selon le sexe. De ce fait, nous nous intéressons

à l’évolution de la parité Femme/Homme.

Figure 9 - Evolution annuelle de la proportion Femme/Homme au cours du temps de la base de sinistres

Nous observons une stabilité de la proportion Femme/Homme. D’autre part, la base des sinistres

contient davantage d’assurés de sexe féminin au cours de la période d’observation.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

20

05

20

06

20

07

20

08

20

09

20

10

20

11

20

12

20

13

20

14

20

15

Année de survenance

Femme

Homme


50

2.1.2 Moyenne des âges à la souscription et à la survenance au

cours du temps

Il est intéressant de connaître la moyenne des âges à la souscription et à la survenance.

Figure 10 - Evolution de la moyenne de l’âge à l’entrée et à la sortie du portefeuille par année de survenance (sans distinction

du genre)

Les variations au cours du temps de l’âge moyen à la souscription et à la survenance sont

respectivement autour de l’âge de 42 ans et de 45 ans.

D’autre part, nous constatons une légère tendance à la hausse de l’âge moyen à la survenance, ceci

peut s’expliquer par un vieillissement du portefeuille.

2.1.3 Evolution des caractéristiques de l’arrêt au cours du

temps

Il est également intéressant de connaître les caractéristiques de l’arrêt au cours du temps.

Figure 11 - Evolution de la cause du sinistre par année de survenance

40

40,5

41

41,5

42

42,5

43

43,5

20

05

20

06

20

07

20

08

20

09

20

10

20

11

20

12

20

13

20

14

20

15

moyenne de l'âge à la date de souscription

20

05

20

06

20

07

20

08

20

09

20

10

20

11

20

12

20

13

20

14

20

15

moyenne de l'âge à la date de survenance

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

20

05

20

06

20

07

20

08

20

09

20

10

20

11

20

12

20

13

20

14

20

15

Accident travail Accident Non renseigné Maladie Maladie Pro


51

A partir de l’année 2008, la figure ci-dessus montre que la répartition de la nature du sinistre est

stabilisée, et ceci d’une manière non proportionnelle. En effet, la maladie reste la nature du sinistre la

plus prépondérante au sein de notre portefeuille. La base de sinistres comporte donc des arrêtés de

longue durée.

2.1.4 Evolution des caractéristiques du prêt au cours du temps

Plusieurs variables caractérisent les prêts. Nous nous intéresserons aux montants des échéances des

prêts, car celui-ci résume l’ensemble des informations concernant les caractéristiques du prêt. Il est

donc utile de connaître l’évolution des mensualités, afin de déceler une tendance au cours du temps.

Pour ce faire, nous avons décidé de représenter l’évolution des mensualités à l’aide des diagrammes en

boîte. En effet, nous pouvons synthétiser quelques caractéristiques de position du caractère étudié

(médiane, quartiles, minimum, maximum). De plus, nous souhaitons comparer un même caractère au

fil des années, afin de mesurer la dispersion.

Tout d’abord, nous avons remarqué que la valeur maximale de la mensualité était exorbitante. En effet,

ceci s’explique que la mensualité (la variable étudiée) peut parfois correspondre au capital restant dû.

Cela correspond à un nombre négligeable de sinistres. Ainsi, par souci d’échelle la valeur maximale de

la mensualité (qui correspond au capital restant dû) par année de survenance a été représentée sur l’axe

secondaire, afin de rendre visible la boîte à moustache.

Figure 12 - Evolution du montant du prêt par année de survenance

Nous observons que les médianes à partir de l’année 2008 sont proches (environ de 350 €). Nous

remarquons que le corps de la boîte à moustache croît jusqu’à l’année de survenance 2010.

D’autre part, pour les années de survenance 2013, 2014 et 2015, nous constatons que 75 % des

sinistres sont en-dessous de 650 €

€-

€50 000

€100 000

€150 000

€200 000

€250 000

€300 000

€350 000

€400 000

€-

€100

€200

€300

€400

€500

€600

€700

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Mo

nta

nt

max

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m (

Me

nsu

alit

é =

Cap

ital

Re

stan

t d

û )

e

n e

uro

s

Me

nsu

alit

és

en

eu

ros

Q1 Min Médiane Q3 Max


52

Dans le chapitre précédent sur la constitution de notre échantillon, une attention particulière a été

portée sur les montages financiers. Initialement, la base sinistrée comportait 68 139 observations. Suite

à l’agrégation réalisée due aux montages financiers, nous comptons plus que 50 475 sinistres soit

environ 30 % des individus sinistrés étaient rattachés à plusieurs prêts. Ainsi, il semblerait intéressant

d’analyser l’évolution du nombre de prêts souscrits par année de survenance.

Figure 13 - Evolution du nombre de prêts par année de survenance

Quelle que soit l’année de survenance, les assurés souscrivent majoritairement une assurance

emprunteur liée à un seul prêt. Nous pouvons constater une légère tendance à la hausse du nombre de

prêts au cours du temps. En effet, nous sommes passés de 67 % à 50 % en 10 ans. Cette tendance à la

hausse s’explique par une sur consommation.

Ainsi, cette première analyse sur les caractéristiques du prêt, nous permettra de nous demander si le

montant des mensualités et/ou le nombre de prêts peuvent avoir une influence sur le risque étudiée : la

durée de maintien en arrêt de travail.

2.1.5 Evolution du nombre de sinistres au cours du temps

Figure 14 - Evolution du nombre de sinistres et de la durée moyenne en arrêt de travail par année de survenance

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

1 prêt 2 prêts 3 prêts Plus de 4 prêts

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

20

05

20

06

20

07

20

08

20

09

20

10

20

11

20

12

20

13

20

14

20

15

Du

rée

mo

yen

ne

en

mai

nti

en

No

mb

re d

e s

inis

tre

s

Nombre de sinistres durée moyenne de maintien en arrêt de travail


53

Nous observons une certaine stabilité du nombre de sinistres au cours du temps. Nous remarquons une

légère tendance à la hausse du nombre de sinistres au début de la période d’observation. Nous

constatons une légère hausse en 2012, expliquée par une acceptation massive de certains dossiers en

attente. Puis, le nombre de sinistres observés en 2013 évolue de la même façon qu’en 2011.

Sur la période 2014 à 2015, nous observons une diminution de 91% du nombre de sinistres. En effet,

ceci est dû à une déclaration tardive des sinistres et de la période de franchise (la date d’arrêtée de la

base est le 31/05/2015). Le nombre de sinistres pour l’année de survenance 2015 est donc incomplet.

Ainsi, à partir de ces analyses il conviendrait de retirer l’année d’observation 2015 dans le cadre du

calibrage des lois de maintien. Ceci permet d’éviter de biaiser les estimations à cause de la forte

volatilité (peut-être indue) du nombre de sinistres entre 2014 et 2015.

D’autre part, la durée moyenne en maintien en incapacité est assez stable sur la période d’observation

allant de 2005 à 2011. Puis, nous observons une baisse de la durée moyenne en maintien en incapacité.

Ceci est dû à des sinistres qui sont encore en cours et survenus pendant les trois dernières années de la

fenêtre d’observation : cela nous montre l’importance de gérer correctement les censures, qui seront

définies explicitement dans la troisième partie.

De plus, les sinistres de l’année de survenance 2014, comportent un nombre de censures trop élevés.

En effet, la part des observations censurées en 2013 était de 37 % tandis qu’en 2014 nous

comptabilisons 3 369 sinistres censurées, soit 67% de l’effectif en 2014. Afin de minimiser le nombre

de censures, nous décidons de ne pas intégrer les observations survenues en 2014 dans le calibrage des

lois de maintien en arrêt de travail.

Notre période d’observation est donc limitée entre les années 2008 et 2013.

Afin de valider nos conclusions, nous allons appuyer notre décision sur un test statistique : le test

d’homogénéité du .

2.1.6 Validation de la période d’observation

2.1.6.1 Le test du

Ce test fonctionne sur un tableau d’effectifs à double entrée et contrôle soit l’homogénéité de sous

populations par rapport à une variable discrète X à une loi de probabilité donnée, soit l’indépendance

de deux variables discrètes.

Dans notre cadre, nous nous intéresserons à contrôler l’homogénéité de sous populations par rapport à

une variable discrète. La description ci-dessous du déroulement du test se fera sous l’unique

présentation du test d’indépendance, car la seule différence entre le test d’homogénéité et

d’indépendance est sur la présentation du contexte.

Contexte du test :

correspond au nombre d’individus observés ayant la modalité pour et la modalité j pour .

La notation correspond à et la notation correspond à

.

Le principe du test consiste à comparer les effectifs tels que nous les avons, à la répartition que nous

aurions si les variables étaient indépendantes. Dance ce cas, en considérant que les marges

sont fixées, nous pouvons calculer cette répartition

théoriques dans chacun des échantillons.

Nous avons alors :


54

Hypothèses testées

: les variables et sont indépendantes,

: les variables et ne sont pas indépendantes.

Conditions d’application du test

Considérons un échantillon formé de réalisations indépendantes du couple de variables aléatoires

et de taille .

Les effectifs théoriques et l’effectif total de l’échantillon doivent vérifier les inégalités

suivantes :

La statistique du test :

Si l’hypothèse nulle est vraie et lorsque les conditions d’application du test sont remplies,

est une réalisation d’une variable aléatoire qui suit

approximativement la loi du Khi-deux à degrés de liberté.

Règle de décision et conclusion du test

Pour un seuil donné , nous cherchons, dans des tables de la loi de Khi-deux à degrés

de liberté, la valeur critique d’une loi du Khi-deux telle que

Alors nous décidons :

Dans le cas où nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse nulle et par conséquent nous l’acceptons,

nous devons calculer le risque de seconde espèce du test.

2.1.6.2 Application du test

Nous allons considérer d’une part une répartition de la population en sous populations, d’autre part

une variable définie sur la population globale. Nous testons l’homogénéité des sous populations par

rapport à une variable discrète X, correspondant à la sinistralité

Les hypothèses à tester sont les suivantes :

: Les deux populations sont homogènes.

: Les deux populations ne sont pas homogènes.

Nous nous concentrons seulement sur les dix premiers mois, car au-delà nous rejetons l’hypothèse

nulle ,par conséquent nous décidons avec un risque d’erreur de première espèce .


55

Notre échantillon est scindé en deux populations indépendantes (c =2) comportant des effectifs

similaires :

1. Les sinistres survenus entre 2008 et 2010 de taille =1515.

2. Les sinistres survenus entre 2011 et 2013 de taille = 1524, où nous retirons les

observations censurées afin de ne pas biaiser le maintien en arrêt de travail (nous

analysons les 10 premiers mois).

La comparaison des échantillons s’effectue sur des classes d’âges, pour que les conditions du test du

soient remplies.

A titre d’exemple, nous présentons les résultats sur la classe d’âge 40 à 45 ans. Il en va de même pour

les autres classes d’âge.

Nous souhaitons connaître l’évolution du maintien en fonction de l’ancienneté et de l’âge sur les deux

populations. Pour tester l’homogénéité, nous procédons au test du . Les effectifs observées et

théoriques sont notés dans le tableau ci-dessous.

Table 9 - Effectifs observés et théoriques

Si l’hypothèse nulle est vérifiée et lorsque les conditions d’application du test sont remplies, est

une réalisation d’une variable aléatoire qui suit approximativement la loi du Khi-deux à

degrés de liberté. Dans notre cas, .

La statistique du test vaut 6,02. Pour un seuil de tolérance de où =1% la valeur du Chi-deux à 10

ddl vaut 22,93.

Comme 6,02 < 22,93, est vraie. Au niveau de 1%, les distributions sont homogènes (sur la tranche

d’âge et l’ancienneté sélectionnée).

En conclusion, nous conservons l’hypothèse nulle . Le risque associé à cette décision est un risque

d’erreur de deuxième espèce qui vaut . Pour évaluer, il faudrait calculer la puissance du test.

Ainsi, les informations nécessaires au calibrage des lois de maintien couvrent l’ensemble des âges sur

la période d’observation de 2008 à 2013, soit six ans correspondant à deux cycles de maintien en

incapacité. Nous avons donc à présent 30 851 observations, soit une suppression d’environ 39 % des

données.

En conclusion, la régularité des indicateurs de suivi du risque nous permet de dire que nous disposons

de données répondant aux exigences nécessaires à la construction de table d’expérience en arrêt de

travail

Durée Effectifs observés Effectifs théoriques

Population 1 Population 2 Population 1 Population 2

0 mois 6 6 5,98 6,02

1 mois 170 176 172,49 173,51

2 mois 200 166 182,46 183,54

3 mois 204 204 203,40 204,60

4 mois 158 160 158,53 159,47

5 mois 150 139 144,07 144,93

6 mois 248 259 252,75 254,25

7 mois 114 127 120,14 120,86

8 mois 96 113 104,19 104,81

9 mois 92 95 93,22 93,78

10 mois 77 79 77,77 78,23


56

2.2 Statistiques descriptives

Rappelons que les statistiques descriptives présentées ci-dessous sont effectuées sur

l’échantillon n°1 où la notion d’incapacité et d’invalidité est confondue et en prenant l’intégralité des

données (censurées et non censurées).

Après avoir retraité les données et choisi la période d’observation, nous obtenons un volume de 30 851

arrêts dont 25% de l’effectif global est censuré.

2.2.1 La durée de maintien

Sur les données complètes : l’âge de survenance est en moyenne de 45,78 avec un écart type de 9,72.

La durée moyenne totale de maintien est de 13,9 mois avec un écart type de 14,9.

Sur les données non censurées : l’âge de survenance est en moyenne de 44,61 avec un écart type de

9,77. La durée moyenne totale de maintien est de 10,26 mois avec un écart type de 9,9.

Nous représentons la répartition de la durée d’arrêts de travail survenus au cours de la période

d’observation par tranche de durée d’arrêt.

Figure 15 - Répartition de la durée d’arrêt au-delà de la franchise

Nous constatons qu’environ 80 % des sinistres ont une durée d’arrêt inférieure ou égale à 20 mois. De

plus, nous observons qu’environ 50 % des sinistres ont une durée d’indemnisation inférieure à sept

mois. D’autre part, 13% des sinistres ont une durée comprise entre six mois et sept mois.

Nous remarquons que 6 % des sinistres ont une durée d’indemnisation supérieure ou égale à 40 mois.

Par conséquent, il serait difficile de construire une table d’expérience au-delà de 40 mois d’ancienneté,

du aux faibles effectifs. Nous procéderons à un raccordement avec une table réglementaire adéquate.

46,33% 30,92% 14,81% 6,51%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

0 à 7 mois 8 à 20 mois 21 à 39 mois 40 à 117 mois


57

2.2.2 Les facteurs pouvant influencer la durée de maintien

Nous analyserons pour chaque facteur la durée moyenne de maintien en arrêt de travail (exprimée en

mois au-delà de la franchise), calculée sur la base de nos données complètes en juxtaposant le nombre

de sinistres.

2.2.2.1 Catégorie Socioprofessionnelle CSP

Cette variable n’est pas exploitable. En effet nous avons 92,90% de notre portefeuille dont la catégorie

socioprofessionnelle est inconnue. En outre, il n’y a pas de correspondance évidente entre les

nomenclatures des variables CSP renseignées dans les bases d’encours et de sinistres. Son effet sur la

durée de maintien en sinistre n’a donc pas pu être étudié.

2.2.2.2 Age à la date de survenance et le sexe

Voici une représentation visuelle des données à notre disposition.

Figure 16 - Durée moyenne de maintien en fonction de l’âge d’entrée en arrêt de travail

Concernant la durée de maintien, nous observons une tendance à la hausse. En effet, plus la personne

est âgée, plus la probabilité de maintien en incapacité est élevée. Nous constatons deux creux aux

alentours de 66 ans et de 70 ans. Ceci peut s’expliquer par les départs anticipés en retraite ou des

passages à la retraite. Cela met donc fin au contrat et réduit la durée en maintien en incapacité.

Graphiquement, nous observons que la durée de maintien dépend significativement de l’âge à la date

de survenance du sinistre. En effet, nous tenterons de construire une table de maintien par âge.

De ce fait, nous nous interrogeons sur la suffisance ou non du nombre d’arrêtés par rapport à l’âge à la

date de survenance.

0

5

10

15

20

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

D

uré

e m

oye

nn

e e

n a

rrê

t d

e t

rava

il

(en

mo

is, a

u-d

elà

de

la f

ran

chis

e)

âge à la date survenance

durée moyenne (Population féminine) durée moyenne (tout genre confondu)

durée moyenne (Population masculine)


58

Figure 17 - Analyse du nombre d’arrêts en fonction de l’âge de survenance

Nous remarquons que les observations des assurés sinistrés aux plus jeunes âges (18 à 35 ans) et aux

plus grands âges (au-delà de 61 ans) ne sont pas suffisantes. Par exemple, à l’âge de 25 ans, le nombre

de sinistres représentent moins de 0.8% de la base sinistrées. Nous supposons qu’au-delà de 1,5% des

données, le volume de sinistres par âge est acceptable.

Pour remédier à ce problème, des traitements spécifiques sur les tranches d’âges extrêmes doit être

appliqués. Un regroupement des âges extrêmes par classe peut être envisagé afin d’obtenir un volume

d’arrêté suffisamment important. Dans la partie suivante, où nous chercherons à modéliser la loi de

maintien une étude plus précise quant aux âges extrêmes sera réalisée.

D’autre part, les hommes représentent 56,39 % de la base des sinistres. Nous constatons une

distribution assez similaire des arrêts et de la durée par âge à la date de survenance chez les hommes et

les femmes. A ce stade, il semblerait que les distributions soient relativement homogènes entre les

deux genres (même si nous observons quelques écarts sur certaines plages d’âges). Le sexe a peu

d’influence sur la durée de maintien en arrêt de travail.

0

100

200

300

400

500

600

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

18

20

22

24

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28

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32

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36

38

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42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

64

66

No

mb

re d

'arr

êts

ce

nsu

rés

No

mb

re d

'arr

êts

âge à la date de survenance

Nombre d'arrêts censurés Nombre d'arrêts

Nombre d'arrêts (Hommes) Nombre d'arrêts (Femmes)


59

2.2.2.3 Année de naissance de l’assuré à la souscription du crédit

Figure 18 - Répartition de la population par année de naissance

Figure 19 - Durée moyenne de maintien en fonction de la génération

L’année de naissance de notre base sinistrée est majoritairement l’année 1965. La répartition de la

population par année de naissance ne semble pas être un critère pertinent à retenir pour segmenter la

loi de maintien. En effet, contrairement à la construction des tables de mortalité générationnelles, la

génération n’est pas un facteur influent sur la durée de maintien. La durée de maintien décroit en

fonction de l’année de naissance à la souscription, ceci s’explique par le fait que les assurés sont

jeunes et par conséquent, la durée sera plus faible. L’âge à la date de survenance du sinistre apporte

beaucoup plus d’information que l’année de naissance.

2.2.2.4 Les caractéristiques des prêts

Les conventions étudiées sont des contrats groupes et individuels qui rassemblent les crédits classiques,

distribués par la Banque de Détail de France : crédit aux professionnels, crédit immobilier aux

particuliers, crédit à la consommation aux particuliers. Le contrat individuel correspond à un périmètre

de contrats d’assurance des emprunteurs sur les crédits immobiliers. À partir des conventions, nous

pouvons déduire le type des prêts pour les contrats de groupe.

0 200 400 600 800

1000 1200 1400 1600

19

40

19

43

19

45

19

47

19

49

19

51

19

53

19

55

19

57

19

59

19

61

19

63

19

65

19

67

19

69

19

71

19

73

19

75

19

77

19

79

19

81

19

83

19

85

19

87

19

89

19

91

19

93

19

95

No

mb

res

de

sin

istr

es

Année de naissance

19

43

19

45

19

47

19

49

19

51

19

53

19

55

19

57

19

59

19

61

19

63

19

65

19

67

19

69

19

71

19

73

19

75

19

77

19

79

19

81

19

83

19

85

19

87

19

89

19

91

19

93

19

95

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Année de naissance

Du

rée

mo

yen

ne

de

mai

nti

en

en

ar

rêt


60

Avant même de s’intéresser au risque étudié selon les caractéristiques du prêt, nous représentons la

répartition des différents types de prêts à partir de la base de données d’encours.

Figure 20 - Répartition en 2014 des types de prêts sur la base de données d’encours

La part la plus importante des prêts (80 %) est réservée aux crédits à la consommation. Par conséquent,

les prestations versées en cas de sinistre correspondent essentiellement à des prêts pour la

consommation.

Il est intéressant d’étudier l’influence du type du prêt sur la durée de sinistre, afin de voir s’il existe un

comportement distinct en termes de maintien en sinistre selon le type de crédit.

Type de prêts Durée moyenne de

maintien (en mois)

Proportion du nombre de sinistres

Prêts à la consommation 12,51 63,05%

Prêts immobiliers 14,42 33,50%

Prêts professionnels 14,53 3,45%

Table 10 - Durée moyenne de maintien (en mois) et la proportion du nombre de sinistres en fonction de type de prêts

Nous remarquons que le profil de risque (durée moyenne de maintien) sur les crédits aux

professionnels est similaire à celui constaté sur les crédits immobiliers.

Dans la première partie4, nous avons souligné qu’il existe une option permettant de considérer les

maux de dos et les dépressions comme un arrêt de travail. La prise en charge est limitée à 6 mois. Il est

intéressant d’analyser la durée moyenne de maintien en différenciant ces sinistres.

Durée moyenne de

maintien (en mois)

Proportion du nombre

de sinistres

Convention « Maux de dos &

dépressions » 12,04 47,28%

Hors convention 15,93 15,77%

Table 11 - Durée moyenne de maintien en fonction de la présence d’une clause d’exclusion

Nous observons un maintien en sinistre spécifique parmi les contrats ayant une clause d’exclusion.

4 Cf. Partie 1. Chapitre 2, Section 2.3


61

En conclusion, il existe un impact de la nature du crédit, puisque le maintien en sinistre est légèrement

plus important sur les crédits immobiliers et professionnels. Cependant, ceci est peu significatif du à la

faiblesse de l’effectif.

D’autre part, les assurés ayant réalisés des montages financiers (plusieurs prêts) peuvent avoir un

comportement distinct en termes de maintien en sinistre.

Figure 21 - Durée moyenne de maintien en fonction du nombre de prêt

Le profil de risque des individus ayant souscrit un prêt est très similaire à celui des individus ayant

souscrit plus d’un (hormis les extrémités, où il s’agit du bruit). En effet, la durée de maintien en arrêt

de travail pour les assurés ayant un prêt est quasi similaire à ceux ayant plusieurs prêts. D’autre part, le

nombre de prêts supérieur ou égal à 2 représente seulement 23,52 % de notre base de sinistres. A ce

stade, nous ne pouvons tirer aucune conclusion significative.

Table 12 - Proportion du nombre de sinistres pour un nombre de prêts supérieurs ou égal à 2

Parmi les assurés sinistrés ayant plus de 2 prêts, 15,77 % correspondent à des sinistres sur des prêts

immobiliers. En effet, les montages financiers sont beaucoup plus fréquents pour les prêts immobiliers.

En conclusion, aux vues des statistiques descriptives, nous ne retenons aucune segmentation pour la

suite de notre étude. Le volume de données disponibles empêche de retenir la segmentation la plus

fine.

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

0

10

20

30

Age de survenance

Du

rée

mo

yen

ne

de

m

ain

tie

n

1 prêt ≥2 prêts

Nombre de prêts Proportion du nombre de sinistres

Plus d’un Prêts à la consommation 6,51 %

Prêts immobiliers 15,77 %

Prêts professionnels 1,24 %

Partie II, Chapitre 2 – Analyses statistiques

62


63

TROISIEME PARTIE

Une table de maintien adaptée au

provisionnement


64

CHAPITRE 1

Notations propres aux modèles de durée

Préalablement à l’établissement de la table, nous définissons différentes notations, qui seront

utilisées tout au long de ce mémoire. Les nomenclatures présentées ci-dessous sont issues des cours de

modèles de durée.

1.1 Description de la distribution des temps de survie

Dans cette partie, nous estimerons les lois décrivant la durée qui s’écoule entre deux

évènements. Sur le schéma suivant, nous pouvons citer différentes durées pouvant être modélisées

comme la durée de vie d’un individu (de l’état « valide » à l’état « décès ») et la durée entre le

déclenchement d’une maladie et la guérison (de l’état « incapacité » à l’état « valide »).

Tout au long de ce mémoire, nous nous concentrons sur le temps écoulé depuis le déclenchement d’un

arrêt de travail, permettant ainsi l’élaboration d’une table de maintien en incapacité ainsi qu’une table

de passage en invalidité.

Figure 22 - Schéma des différents états

1.1.1 Fonction de répartition et de survie

Etant donnés un espace d’observables et une tribu sur , est une probabilité.

Le triplet est appelé un espace de probabilité.

Ci-dessous, les différentes notations :

: l’âge atteint par l’individu au moment du sinistre ;

: l’ancienneté en mois (nombre de mois réel écoulés depuis l’arrêt de travail) ;

Partie III, Chapitre 1 - Notations propres aux modèles de durée

65

: la variable aléatoire positive représentant la durée de maintien d’un individu entré dans l’état à

l’âge x ;

: la réalisation de la variable aléatoire définie sur , où est l’horizon maximal.

: la fonction de répartition associée à la variable aléatoire , définie par :

: la fonction de survie définie par :

Elle correspond à la fonction de maintien.

Elle est une fonction strictement décroissante et .

Pour préciser cette distribution, nous pouvons également recourir à la fonction de densité ;

: la fonction de densité de la variable aléatoire , définie comme :

1.1.2 Densité et taux de hasard

Un concept important est celui de l’évaluation d’un risque, mesuré par la fonction de hasard notée

et définie par :

Le taux instantané de sortie (ou taux de hasard) caractérise la probabilité de quitter l’état dans un petit

intervalle de temps après , conditionnellement au fait d’être resté jusqu’au temps .

Par le théorème des probabilités conditionnelles, cette fonction est liée aux précédentes fonctions de la

façon suivante :

D’où,

A présent, nous pouvons calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire

,

car


66

Nous notons , la fonction de hasard cumulée définie par :

La fonction de hasard cumulée peut se réécrire à partir de la fonction de survie de la façon suivante :

.

De plus cela implique,

équation [1]

Toutes les fonctions précédentes sont liées entre elles. Il est utile de noter qu’un choix spécifique sur la

fonction de hasard instantanée implique une distribution particulière sur les données de survie

équation [1].

1.1.3 Probabilité

: la probabilité qu’un individu entré dans l’état à l’âge x, quitte l’état quelle que soit la cause

entre et , sachant qu’il est encore dans l’état à l’ancienneté t. Elle s’écrit de la façon suivante :

Par convention pour , .

Nous avons construit la table de passage en invalidité (l’application n’est pas représentée dans le cadre

de ce mémoire). Il devient donc nécessaire de quantifier les différentes causes de sortie. Par

conséquent, pour un individu entré en incapacité à l’âge depuis mois, nous notons :

: la probabilité que l’individu devienne invalide entre t et t+1 mois.

: la probabilité que l’individu décède entre t et t+1 mois.

: la probabilité que l’individu se rétablisse entre t et t+1 mois.

: la probabilité que l’individu mette fin à son contrat entre t et t+1 mois, due au fait

que son prêt s’est terminé, et donc il sort de son état.

: la probabilité que l’individu devienne retraité entre t et t+1 mois

Dans cette section, nous estimerons d’une part pour construire la loi de maintien et d’autre part

pour élaborer la loi de passage en invalidité. Par conséquent, nous notons :

: les différentes causes de sortie ;

: toutes causes de sorties ;

: la densité conjointe ;

: le taux estimé de sortie quelle que soit la cause ;

: le taux lissé de sortie quelle que soit la cause ;


67

: le taux estimé de sortie pour cause de passage en invalidité ;

: le taux lissé de sortie pour cause de passage en invalidité ;

: le taux estimé de sortie pour cause décès ;

: le taux estimé de sortie pour cause de reprise d’activité ;

: le taux estimé de sortie pour cause de fin de prêt ;

: le taux estimé de sortie pour cause de fin de garantie.

L’assuré est soumis à une seule cause pendant une période donnée. Ces différentes causes de sortie

sont supposées indépendantes (Cf. BOWERS et al. [1986]).

Par définition,

Nous avons

Ainsi,

En d’autres termes,

1.2 Construction des tables

1.2.1 La table de maintien en incapacité

le nombre de personnes restantes à l’âge x et à l’ancienneté en état d’incapacité ;

La table de maintien est exprimée en termes de population restante.

Ainsi, nous supposons que pour tout x, puis au fur et à mesure que

l’ancienneté augmente, le nombre de personnes dans l’état décroît.

Formellement, se déduit de la façon suivante :


68

1.2.2 La table de passage en invalidité

De la même manière, la table de passage en invalidité est exprimée en termes de population restante.

Pour obtenir le nombre d’individus en incapacité passant en invalidité, pour chaque âge à l’entrée et

chaque ancienneté, nous multiplions la probabilité de passage d’un individu d’âge x et d’ancienneté

dans l’état t par le nombre de personnes restantes à l’âge x et à l’ancienneté en état d’incapacité, soit :

1.2.3 Effet des censures et des troncatures

Soit un échantillon comportant individus,

, nous nous intéressons à la durée de maintien en arrêt de travail.

Posons deux dates calendaires, notées et supposées indépendantes des observations désignant

respectivement le début et la fin de la fenêtre d’observation.

: la variable aléatoire représentant la durée de maintien en arrêt de travail du jème

élément de

l’échantillon ;

: la date de naissance du jème

élément de l’échantillon ;

: la durée entre la date de naissance et l’entrée de l’état d’incapacité du jème

élément de

l’échantillon ;

: la durée entre la date de naissance et la sortie de l’état d’incapacité du jème

élément de

l’échantillon.

Figure 23 - Représentation des censures et des troncatures


69

Une observation est dite complète, lorsque nous connaissons la durée exacte. Soit l’ensemble des

observations complètes définies de la façon suivante :

.

A contrario, une observation est incomplète lorsque nous observons la réalisation de la variable

aléatoire soumise à diverses perturbations. Ces perturbations sont regroupées en général par les

troncatures et les censures.

Nous introduisons :

: La durée non observable en cas de troncature pour j (correspondant au cas B) ;

: La durée non observable en cas de censure pour j (correspondant au cas C).

- Les données tronquées (correspondant au cas B) sont définies par :

- Les données censurées (correspondant au cas C) sont définies par :

- Le cas A est caractérisé par et

- Le cas B est caractérisé par et

- Le cas C est caractérisé par et .

Nous pouvons rencontrer une observation tronquée et censurée. Ce cas est caractérisé par

et .

Partie III, Chapitre 2 - Estimateurs non paramétriques dans les modèles de durée

70

CHAPITRE 2

Estimateurs non paramétriques dans les modèles de

durée

Pour modéliser le risque d’arrêt de travail, nous privilégions les estimateurs non paramétriques

afin de ne pas imposer une hypothèse sur la loi de survie qui pourrait être inadaptée au risque d’arrêt

de travail. Dans ce chapitre, nous nous intéressons à deux estimateurs :

- l’estimateur de Kaplan-Meier ;

- l’estimateur de Nelson-Aalen.

La modélisation a été réalisée sous le logiciel R, en préférant de ne pas utiliser des packages existants

(Cf. Annexe extrait du code). Nous présenterons également la construction de bandes de confiance

afférente à un seuil de confiance fixé.

2.1 L’estimateur de Kaplan-Meier de la fonction de survie

2.1.1 Présentation générale

En 1958, dans le journal de l’American Statistical Association, E. Kaplan et P. Meier publient

un article intitulé « Non Parametric estimation from incomplete observation » dans lequel ils

définissent l’estimateur « Product-Limit » de la fonction de survie.

Soit , le principe de cet estimateur consiste à dire que « survivre après un temps c’est être

en vie juste avant et ne pas mourir au temps ».

En d’autres termes, il s’agit du théorème des probabilités conditionnelles :

T > = T > /T T >

- B, correspond à la fonction de survie à la date

- A, est estimé par

; où désigne le nombre d’individus ayant connu l’événement en

et désigne le nombre d’individus n’ayant pas connu l’événement entre .

Ainsi, nous pouvons estimer la fonction de survie en de la façon suivante :

Nous en déduisons une estimation de la fonction de survie pour tout temps d’événement t, en posant

que 1 ;


71

L’estimateur de Kaplan Meier peut également être vu comme solution à un problème de maximisation

d’une fonction de vraisemblance. Soit un n-échantillon observable. Nous notons, correspondant au

nombre de sorties en arrêt de travail à la date . Ainsi, le nombre de sorties en arrêt de travail suit une

loi Binomiale où est le nombre d’individus à risque au temps d’évènement

Nous pouvons donc exprimer la vraisemblance en fonction de ces termes :

Et la log-vraisemblance :

A partir des conditions du premier ordre, nous écrivons :

Cela nous conduit à l’estimateur suivant :

Enfin, l’estimateur de Kaplan-Meier est alors donné par :

2.1.2 L’estimateur de Kaplan-Meier dans notre cadre de

travail : prise en compte de données censurées à droite

La table de maintien proposée est discrétisée en mois. De ce fait, les instants de sortie sont alors en

mois. De plus, l’estimateur de Kaplan-Meier est calculé âge par âge.

2.1.2.1 Estimateur de la fonction de maintien

Notre estimateur est défini en introduisant les notations suivantes :

: le nombre de sorties d’arrêt de travail pour l’âge entre l’ancienneté et mois ;

: le nombre d’individus encore présents en incapacité après mois pour l’âge ;

: l’échantillon sous risque à l’âge en 0 ;

: le nombre de personnes censurées avec une durée de maintien entre et mois.

Nous ajustons le nombre d’individus à risque. La règle posée concernant le nombre d’individus à

risque est la prise en compte de ceux ayant une date de sortie égale ou supérieure à ou une durée de


72

censure supérieure à . Nous imposons que les sorties précèdent les censures. La relation de récurrence

s’écrit :

Nous utilisons donc la formule approchée suivante :

2.1.2.2 Estimateur du passage en invalidité

De la même façon, pour estimer la probabilité de passage en invalidité, l’estimateur de Kaplan-Meier

est défini en introduisant les notations suivantes :

: le nombre de sortie pour invalidité entre l’ancienneté et ;

: le nombre d’individus sous risque au début de l’ancienneté .

Par prudence, correspond au nombre de personnes non censurées entre le mois et .

Ainsi,

2.1.3 Principales propriétés de l’estimateur de Kaplan-Meier

L’estimateur de Kaplan-Meier , a de bonnes propriétés citées ci-dessous :

, est l’unique estimateur cohérent de la loi de maintien en arrêt de travail :

En effet, (l’estimateur converge en probabilité vers la vraie valeur).

Il est sans biais.

Il est un estimateur du maximum de vraisemblance généralisé.

Il est convergent et asymptotiquement gaussien.

La propriété de normalité asymptotique de l’estimateur de Kaplan-Meier nous permet d’obtenir le

résultat présenté ci-dessous.

2.1.3.1 Variance de l’estimateur de Kaplan-Meier

Pour apprécier la précision de l’estimateur de , nous pouvons estimer la variance associée à celui-

ci.

Partant de la formule de calcul du logarithme de l’estimateur de Kaplan-Meier :


73

Supposons que les variables soient indépendantes. La loi est binomiale de

paramètre ( .

La méthode « delta »5 implique que :

Ce qui conduit à proposer comme estimateur de la variance de

En réappliquant la méthode « delta » à la fonction logarithme,

Ainsi, nous obtenons la formule de Greenwood :

Dans la littérature, il existe deux types d’intervalles de confiance pour la fonction de survie : les

intervalles de confiance ponctuels (à un âge fixe) et les bandes de confiance (pour tous les âges

compris entre l’âge minimal et l’âge maximal). L’analyse de l’estimation de la fonction de survie

passe par la construction des bandes de confiance associées à cet estimateur.

Nair propose en 1984 des bandes de confiance linéaires de la forme de :

où,

et les coefficients de confiance sont tabulés issu de tables

présentées dans les annexes de Klein et Moeschberger [2005].

Et

5

; où f est une fonction régulière


74

2.2 L’estimateur de Nelson Aalen du taux de hasard cumulé

2.2.1 Présentation générale

Nelson (1972) et Aalen (1978) proposent un estimateur de la fonction de risque cumulé défini dans

notre chapitre 1 de la façon suivante :

.

La relation précédente implique que est distribuée suivant une loi exponentielle de paramètre 1.

L’idée est d’estimer à partir d’un estimateur de .

L’estimateur de Nelson-Aalen est donné par :

où

: le nombre d’individus à risque à l’âge , juste avant ,

: le nombre de sorties en .

2.2.2 Principales propriétés de l’estimateur de Nelson-Aalen

L’estimateur de Nelson-Aalen a un nombre de propriétés citées ci-dessous :

Il est sans biais.

Il est consistent : ,

Il est convergent et asymptotiquement gaussien.

2.2.3 Variance de l’estimateur de Nelson-Aalen

En ce qui concerne la précision de cet estimateur,

Partie III, Chapitre 3 - Méthode non paramétrique de lissage des taux bruts et appréciation de la table lissée

75

CHAPITRE 3

Méthode non paramétrique de lissage des taux bruts

et appréciation de la table lissée

Les taux bruts obtenus par l’estimateur de Kaplan-Meier présentent une certaine volatilité, ce

qui nécessite un ajustement. Dans la littérature, il existe de nombreux modèles permettant d’obtenir

une meilleure cohésion des taux de sortie ainsi estimés pour en gommer le caractère erratique.

En général, il existe les méthodes dites paramétriques où l’on impose une structure particulière à nos

données qui peut ne pas correspondre à la dynamique de notre jeu de données. Dans notre étude, nous

privilégierons les méthodes dites non paramétriques.

La modélisation a été également réalisée sous le logiciel R. Dans un premier temps, nous présenterons

la méthode non paramétrique de Whittaker-Henderson. Puis nous tenterons de mesurer la qualité de la

table lissée par des intervalles de confiance ponctuels et un test du en version ad hoc.

3.1 Méthode de lissage par Whittaker-Henderson

Tout d’abord, nous allons préciser les différents symboles qui seront utilisés par la suite :

: les taux bruts estimés (les observations) selon Kaplan-Meier à l’âge et à l’ancienneté ;

: les taux ajustés avec le lissage de Whittaker-Henderson ;

: les poids associés aux observations.

Rappelons ce qu’est l’opérateur de différence :

Soit un vecteur, l’opérateur de différence avant composé fois est défini par :

.

La méthode a été présentée en 1923 par E.T Whittaker et complétée par R.Henderson en 1924,

consistant à trouver un équilibre entre la fidélité et la régularité. Nous présentons la méthode en deux

dimensions (l’âge et l’ancienneté) pour l’appliquer à nos données.

3.1.1 Le critère de fidélité

Le critère de fidélité mesure la distance euclidienne classique entre les taux de sorties lissés et les taux

bruts. En effet, plus les taux lissés sont proches des taux bruts plus la valeur de est faible.


76

3.1.2 Le critère de régularité verticale et horizontale

Le critère de régularité verticale joue sur la régularité des taux d’une même colonne, soit de

l’ancienneté :

En effet, pour un âge fixé, plus la courbe représentée en fonction de l’ancienneté est régulière, plus la

valeur de est petite.

Le critère de régularité horizontale joue sur la régularité des taux d’une même ligne, soit de

l’âge :

En effet, pour une ancienneté fixée, plus la courbe représentée en fonction de l’âge est régulière, plus

la valeur de est petite.

3.1.3 Solution du problème de minimisation

Le problème de minimisation s’écrit :

Il s’agit donc d’une combinaison linéaire de la fidélité et de la régularité en mettant plus ou moins

l’accent sur la régularité verticale ou horizontale au moyen du paramètre ou .

Il est plus simple de réécrire le problème sous forme matricielle. Il faut donc :

Réorganiser les :

sous forme d’un vecteur colonne de dimension (

noté tel que,

La matrice de poids W est une matrice diagonale de dimension ;

Construire la matrice de dimensions telle que,

Construire la matrice de dimensions telle que,


77

D’après les conditions du premier ordre :

et tel que l’ensemble des dérivés secondes

soient positives ou nulles. Nous obtenons les valeurs lissées de la façon suivante :

3.1.4 Les paramètres à fixer

Une fois que nous avons modélisé la méthode de Whittaker-Henderson, nous pouvons constater que

quatre paramètres sont à fixer avant même d’obtenir les taux lissés.

La matrice de poids (Critère de fidélité) :

Afin de prendre en compte les données aberrantes, il est fréquent de ne pas prendre la matrice identité

comme poids. Ainsi, dans notre étude, nous avons choisi comme matrice de poids, le nombre

d’observation à l’âge et à l’ancienneté (correspondant au dénominateur de l’estimateur de Kaplan-

Meier). Elle est notée de dimension (où p est la taille des âges et q la taille de

l’ancienneté) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont calculés de la façon suivante :

Avec,

L’effectif à l’âge et à l’ancienneté

Pour toute ancienneté fixé, l’effectif à l’âge ;

Remarque :

L’ordre vertical (âge) et horizontal (ancienneté) et (Critère de régularité) :

L’ordre vertical et horizontal fixe le degré du polynôme utilisé pour le critère de régularité, et est

généralement compris entre 2 et 4.6

Nous le fixons à pour la suite de notre étude.

Les paramètres (Critère de régularité verticale) et (Critère de régularité

horizontale) :

Pour choisir les paramètres et optimaux, nous traçons les graphiques puis conservons les valeurs

des paramètres qui lissent au mieux les courbes et sont proches des taux bruts.

6 D.London, Graduation : The revision of estimates, Actex, Publication, 1985


78

3.2 Validation du lissage

Nous chercherons à mesurer l’adéquation des lois construites. Pour ce faire nous comparons

les observations aux valeurs théoriques issues du lissage, en mesurant l’incertitude associée (par

l’intervalle de confiance ponctuel associé des taux lissés). Cette démarche est effectuée de la façon

suivante : nous comparons les sorties observées et lissées selon une maille « âge » puis selon une autre

maille « ancienneté ».

Puis, nous utilisons un test statistique, permettant de mesurer l’adéquation du lissage obtenu.

3.2.1 L’intervalle de confiance ponctuel

Les taux lissés par la méthode de Whittaker-Henderson, sont en général associés par des intervalles de

confiance ponctuels, afin de pouvoir mesurer la fiabilité des taux lissés obtenus.

En notant :

l’exposition au risque à l’ancienneté

: le nombre de sortie théoriques issu du modèle.

Lorsque le paramètre est grand et que est ni proche de 0 ni proche de 1, nous effectuons

l’approximation usuelle d’une loi binomiale par une loi normale pour construire des intervalles

de confiance ponctuels associés aux sorties prédits. L’intervalle de confiance asymptotique de

niveau pour est donné par7 :

où est le quantile d’ordre de la loi normale centrée réduite.

3.2.2 Le test du : adéquation

La version originale du test du a été présentée dans la partie 2 (Cf. Partie 2, Chapitre 2, Section

2.1.6).

Par la suite, nous adapterons ce test à nos données afin d’apprécier le lissage.

7 PLANCHET et THEROND [2011]

Partie III, Chapitre 4 – Mise en application

79

CHAPITRE 4

Mise en application

Dans le chapitre 1 de la deuxième partie, nous avons construit deux échantillons. L’échantillon

n°1 étant celui dont la notion d’« incapacité » et d’ « invalidité » sont confondues. Tandis que

l’échantillon n°2, est celui dont nous avons tronqué la durée d’indemnisation à 1 095 jours. Ce

chapitre a pour finalité de construire la table de maintien en arrêt de travail sur l’échantillon n°1 à

partir de nos données brutes.

Néanmoins, la construction de la loi de maintien en incapacité ainsi que de la table de passage de

l’incapacité à l’invalidité sur l’échantillon n°2 a été réalisée mais n’est pas présentée dans le cadre de

ce mémoire. En effet, un problème de classification entre les sinistres « IT » et « IPT » existe dans les

statistiques de la gestion, l’échantillon n°2 n’a pas de sens. Cependant, la gestion des sinistres

fonctionne au regard des conditions générales fixées par le contrat.

Les calculs ont été réalisés sous le logiciel R en calculant pas à pas, pour chaque âge et chaque

ancienneté (en mois au-delà de 3 mois de franchise), le nombre de sorties, de censures, et de la

population risquée.

Nous rappellerons brièvement la procédure à suivre ainsi que les méthodes utilisées pour obtenir une

telle table.

4.1 Les estimateurs du maintien

4.1.1 Le taux conditionnel de maintien brut (tous âges

confondus)

Même si nous privilégions des estimateurs prenant en compte les censures, il est intéressant d’étudier

le taux conditionnels de maintien quel que soit l’âge à la date de survenance.

Ce taux correspond à la probabilité d’être en arrêt de travail le mois suivant, sachant qu’on est en arrêt

de travail. Il est définit de la façon suivante pour tous âges confondus :

Soit,

: L’ancienneté exprimée en mois, au-delà de la franchise,

: Le nombre d’arrêtés total de la base sinistrée pour tous âges confondus,

: Le nombre de sinistres pour une ancienneté ,

La mise en place de cet estimateur est rapide et nous permet d’appréhender les caractéristiques de la

base sinistrée, afin d’en tirer les bonnes interprétations.


80

En effet le faible nombre de sinistres observés à partir des statistiques descriptives pour une certaines

anciennetés, nous invite à nous questionner sur la confiance envers les résultats trouvés : s’agit-il d’un

phénomène réellement observé ou d’une insuffisance d’observation entrainant la volatilité des taux.

Afin de répondre judicieusement à cette question, des échanges avec les gestionnaires de sinistres ont

été nécessaires.

Cette première analyse nous sera fort utile lors de l’application du lissage du taux brut de sortie.

Figure 24 - Taux conditionnels de maintien quel que soit l’âge à la date de survenance

En premier lieu, nous constatons une forte baisse du taux brut de maintien pour une ancienneté de 6

mois. Comme nous l’avons déjà précisé8, il existe une convention particulière représentant environ

40 % de la base sinistrée comportant une garantie « maux de dos ou dépression ». En effet, dans le cas

où le sinistre est dû à un « maux de dos ou dépression », l’assuré sinistré ne peut rester plus que 6 mois

en arrêt de travail au-delà de la franchise. Nous en concluons que le pic observé à 6 mois n’est pas dû

à une insuffisance de données.

De plus, nous observons deux légers pics aux alentours de la fin de la période d’indemnisation au titre

de l’incapacité de travail, soit au bout de 3 ans. Malgré le fait que nous ne sommes pas parvenus à

identifier correctement les sinistres au titre de l’incapacité de ceux de l’invalidité lors de la

constitution de notre échantillon, il existe désormais un suivi de l’incapacité comme atteste le

graphique ci-dessus :

- Le premier pic constaté est au bout de 34 mois. Le taux de maintien conditionnel en arrêt de

travail au bout de 33 mois est de 94,32%, tandis qu’au bout de 34 mois, le taux chute à

91,67%. Cette baisse d’environ de 3 % s’explique par la sortie réelle des assurés au bout de 33

mois au-delà de la franchise de 3 mois. Il ne s’agit pas d’une volatilité du taux conditionnel de

maintien. Dans la suite de notre étude, nous devons prendre en compte ce phénomène observé.

- Quant au deuxième pic, il est observé au bout de 37 mois. Le taux de maintien conditionnel en

arrêt de travail au bout de 37 mois est de 91,78%. Cette baisse s’explique par un phénomène

de gestion. En effet, pour certaines conventions, l’incapacité dure 36 mois à compter de la date

de début de prise en charge, c’est-à-dire 3 mois après la date de survenance du sinistre. Il y a

8 Partie 2, chapitre 2.

75%

80%

85%

90%

95%

100%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Tau

x d

e m

ain

tie

n e

n A

rrê

t d

e t

rava

il

Ancienneté (mois, au-delà de la franchise de 3 mois)

Taux de maintien global (tout âge confondu)


81

donc un décalage de 3 mois (Cf. Figure ci-dessous). Ce phénomène constaté ne doit pas être

pris en compte dans le calibrage de la loi de maintien en arrêt de travail. Nous ne cherchons

pas à modéliser des phénomènes de gestion car ce sont des phénomènes aléatoires qui

risqueront de biaiser nos résultats. Au contraire, nous les repérons pour ne pas les intégrer

dans notre modélisation.

Figure 25 - Durée effective d’indemnisation au titre de l’incapacité selon différentes visions

Cette brève étude nous permet de mieux appréhender la base de sinistres. Cependant, la construction

du taux conditionnel de maintien présente de nombreuses hypothèses simplificatrices (comme la non

prise en compte des censures et de l’âge à la date de survenance). Ainsi, afin d’obtenir des estimations

proche de la sinistralité de notre portefeuille, nous allons calculer les taux bruts par deux estimateurs

définis auparavant pour chaque âge et chaque ancienneté.

4.1.2 Estimation du taux bruts et étude de l’intervalle de

confiance.

Simultanément à la construction des estimateurs par âge de survenance et par ancienneté, nous

déterminerons d’une part la durée de maintien maximale estimable et d’autre part le regroupement

optimal des âges extrêmes par classe afin d’avoir un volume suffisamment important.

Tout d’abord, nous calculons les taux de sortie bruts pour chaque âge (allant de 18 ans à 70 ans) et

pour chaque ancienneté, exprimée en mois (en n’ayant aucune contrainte sur l’ancienneté limite, allant

de 0 mois à 177 mois au-delà de la franchise) par l’estimateur de Kaplan-Meier.

Figure 26 - Taux bruts de sortie en fonction de l’âge et de l’ancienneté estimés par Kaplan-Meier (graphique représenté sous

le logiciel R)


82

A première vue, à partir de 40 mois d’ancienneté aucune sortie n’est observée quel que soit l’âge

considéré. Nous remarquons que pour un âge de survenance autour de 20 ans et 38 ans et ayant une

ancienneté proche de la fin de la période d’incapacité, le taux de sortie est très élevé. Cela montre

qu’aucune nouvelle période, relative à l’invalidité ne s’ouvre pour ces âges. D’autre part, nous

constatons également que le taux de sortie s’avère élevé pour des âges extrêmes.

En effet, aux vues des statistiques descriptives réalisées auparavant, nous avons décelé des instabilités

principalement aux âges extrêmes et pour une durée de maintien de plus de 40 mois.

Ceci s’explique par un risque d’échantillonnage et n’est donc pas significatif. Le calcul de la variance

de Greenwood nous confirmera ce point.

4.1.2.1 Détermination de la durée de maintien maximale estimable

La variance de Greenwood explicitée dans la partie précédente, nous permet de déterminer la période

de maintien maximale estimable afin que nos estimations soient robustes (dans le sens où une valeur

extrême ne change que de manière très faible la valeur de l’estimateur).

Tout d’abord, nous ne comptabilisons aucune population à risque entre 90 et 176 mois. Par conséquent,

au-delà de 90 mois, nous ne pouvons pas estimer les taux bruts.

A partir de la variance de Greenwood, nous calculons l’intervalle de confiance ponctuelle associé à la

fonction de survie estimée par Kaplan-Meier, pour chaque ancienneté et âge.

Une analyse de la largeur relative de l’intervalle de confiance nous permet de mesurer la fiabilité de

nos estimateurs et de choisir la durée de maintien maximale estimable pour la suite de notre étude.

A titre d’exemple, nous représentons la largeur relative de l’intervalle de confiance pour l’âge de 56

ans (l’âge pour lequel nous disposons du plus grand nombre d’observations).

Figure 27 - Largeur relative de l’intervalle de confiance ponctuel pour l’âge de 56 ans

Nous observons que la largeur relative de l’intervalle de confiance croit de façon exponentielle. En

effet, au-delà de 40 mois d’ancienneté la largeur est supérieure à 1 % jusqu’à atteindre 12 % pour une

ancienneté de 89 mois. Par souci de cohérence méthodologique, la durée de maintien maximale

estimable est de 39 mois au-delà de la franchise quel que soient les âges à la date de survenance. Afin

d’obtenir une table d’expérience complète (pour des anciennetés supérieures ou égales à 40 mois),

nous procéderons par la suite à un raccordement avec une table règlementaire adéquate.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Ancienenté (mois)

Largeur relative de l'IC _âge 56 ans


83

4.1.2.2 Regroupement des âges extrêmes par classe d’âge

Aux vues des statistiques descriptives, les taux de sortie estimés ne sont pas suffisamment robustes

aux âges extrêmes (inférieur à 20 ans et supérieur à 65 ans), du fait des faibles effectifs observés. De

plus, quand les données existent, nous observons une forte volatilité des taux à ces âges (Cf. figure 26).

Nous représentons le logarithme de la variance de Greenwood pour les âges compris entre 20 ans et 65

ans et pour chaque ancienneté (de 0 à 40 mois).

Figure 28 - Logarithme de la variance de Greenwood pour les âges compris entre 20 ans et 65 ans et pour l’ancienneté allant

de 0 à 40 mois (graphique représenté sous le logiciel R)

La figure ci-dessus nous permet de conclure que les âges allant de 20 à 35 ans puis de 60 à 65 ans sont

très volatils.

D’autre part, nous observons que pour les grands âges (de 60 à 65 ans) le logarithme de la variance de

Greenwood croit rapidement au début de l’ancienneté pour ensuite se stabiliser. Tandis que pour les

jeunes âges (de 20 à 35) le logarithme de la variance de Greenwood croit rapidement au début de

l’ancienneté pour ensuite décroit.

Nous allons considérer par la suite les âges allant de 35 à 60 ans. En effet le logarithme de la variance

de Greenwood reste constant sur l’ensemble de cette tranche d’âge. En dehors de cette tranche d’âge,

nous proposerons d’agréger les âges extrêmes en classe d’âge.

Les âges jeunes allant de 18 à 35 :

Comme nous l’avons vu dans la partie des statistiques descriptives, nous sommes confrontés à un

faible effectif. Pour remédier à ce problème, nous proposons le premier découpage suivant :


84

Tranche d’âge Fréquence du nombre de

sinistres

18 à 25 ans 2,39 %

26 à 27 ans 1,83 %

28 à 29 ans 2,49 %

30 à 31 ans 2,87 %

32 à 33 ans 3,29 %

34 à 35 ans 3,83 %

Table 13 - Répartition du nombre de sinistres par tranche d’âge

Ce découpage permet d’obtenir un nombre d’observations plus élevé.

La segmentation choisie doit être validée. Pour ce faire, nous allons montrer que les tranches d’âges

ont un effet significatif sur la loi de maintien.

Nous mettons en œuvre le modèle de Cox à hasard proportionnel à l’aide du logiciel R, afin de

montrer que les tranches d’âges ont un effet significatif sur le taux de hasard. Nous obtenons que la p-

valeur de la plupart de chaque covariable est inférieur à 5%. Cependant, ce modèle n’est pas adapté à

nos données. A partir du test statistique basé sur les résidus de Schoenfeld, l’hypothèse de non

proportionnalité n’est pas vérifiée. Aucune interprétation ne peut être tirée à partir de ce modèle (Cf.

Annexe : les résultats du modèle de Cox et les résidus de Schoenfeld).

De ce fait, nous avons recours à une méthode statistique, le test du Log-Rank. Ce test a été réalisé sous

le logiciel R en utilisant le package survival. Il permet de comparer plusieurs courbes de survie. En

d’autres termes, nous nous assurons que la loi de survie à différents âges appartenant à la même

tranche d’âge, soit significativement la même.

Le test de Log-Rank :

- Notations et hypothèses testées :

Nous disposons de K échantillons indépendants et censurés.

: il y a égalité des fonctions de survie entre les K groupes.

: la fonction de survie d’au moins un groupe est différente des autres.

- Condition de validité du test :

La condition du doit être respectée (les effectifs théoriques doivent être supérieurs ou égaux à 5).

Les courbes ne doivent pas se chevaucher.

- La statistique du test :

Soit le tableau suivant pour deux échantillons

Evènement Censure Total

Groupe 1

Groupe 2

Total


85

Le nombre d’événements attendu sous , pour le groupe au temps est une variable aléatoire

distribuée selon une loi hypergéométrique d’espérance

et de variance (identique pour les

deux échantillons)

De plus, les variables aléatoires pour le groupe et pour tous les temps d’évènement peuvent être

considérées comme indépendantes.

Ainsi, la statistique du test s’écrit :

et qui suit asymptotiquement, sous une loi de Khi-deux de degrés , où est le nombre de

groupes.

- Règle de décision et conclusion du test :

Pour un seuil donné , nous cherchons, dans des tables de la loi de Khi-deux à degrés de liberté,

la valeur critique d’une loi du Khi-deux telle que

Alors nous décidons :

Les résultats de cet outil de validation (sortie du logiciel R) sont présentés dans le tableau suivant.

Tranche d’âge p_valeur(Test Log-Rank)

18 à 25 ans 0,261

26 à 27 ans 0,995

28 à 29 ans 0,884

30 à 31 ans 0,041

32 à 33 ans 0,016

34 à 35 ans 0,369

Table 14 - Résultats du test du Log-Rang sur la segmentation des âges (sortie du logiciel R)

Ainsi, il ressort de l’analyse de la mise en œuvre de ce test que les tranches d’âges choisies sont assez

satisfaisantes. Nous préférons une tranche d’âge par rapport à une autre, lorsque le test est le plus

significatif. A cet effet, les résultats les plus significatifs sont présentés en vert dans le tableau

précédent. En effet, la p-valeur est la plus petite valeur du risque de première espèce pour laquelle on

rejette ce teste. Nous privilégierons donc la tranche d’âge ayant la p-valeur la plus proche de 1. Sur les

tranches d’âges suivantes « 30 à 31 ans » et « 32 à 33 ans », nous proposons une nouvelle

segmentation : « 30 à 32 ans » et « 33 à 35 ans ».

Voici un exemple, ci-dessous où nous comparons les fonctions de survie pour 30, 31 et 32 ans.


86

Figure 29 - Fonction de survie aux âges 33, 34 et 35 ans (sortie du logiciel R, package survival)

Cette analyse graphique est corroborée par le test statistique, présenté dans le tableau suivant. Cela

nous indique que les fonctions de survie pour les âges de 30, 31 et 32 ans sont significativement les

mêmes (la p-valeur est supérieures à 5 %). Il en va de même sur les autres tranches d’âge.

Table 15 - Résultats du test du Log-Rang sur la nouvelle segmentation des âges (sortie du logiciel R)

En conclusion, les tranches d’âges nous ont permis d’augmenter la précision de nos estimateurs sans

pour autant perdre des informations à propos des sur la finesse.

Les grands âges allant de 61 à 70 :

Le nombre d’observations pour la tranche d’âge de 61 à 70 ans représente 2,67 %. Nous ne pouvons

pas segmenter de manière plus fine. De plus, le test du Log-Rang rejette l’hypothèse nulle avec une p-

valeur très faible (de l’ordre de ). Par conséquent, nous ne procéderons donc par à une agrégation

des grands âges, comme précédemment. Les taux de sortie pour les grands âges seront ceux d’une

table réglementaire adéquate.

Tranche d’âge p_valeur (Test Log-Rank) Fréquence du

nombre d’arrêtés

18 à 25 ans 0,261 2,39%

26 à 27 ans 0,995 1,83%

28 à 29 ans 0,88 2.49%

30 à 32 ans 0,114 4.15%

33 à 35 ans 0,562 5,48%


87

4.1.2.3 Estimation du taux bruts et intervalle de confiance

Nous estimons les taux de sortie bruts pour chaque âge (allant de 36 à 60 ans) et chaque tranche d’âge

(« 18 à 25 ans », « 26 à 27 ans », « 28 à 29 ans », « 30 à 32 ans » et « 33 à 35 ans ») en fonction de

chaque ancienneté (allant de 0 à 40 mois au-delà de la franchise). Dans le cadre théorique, nous avons

décrit deux estimateurs : l’estimateur de Kaplan-Meier et l’estimateur de Nelson-Aalen. Le calcul de

ces deux estimateurs a été réalisé manuellement sous le logiciel R. A présent, une comparaison de la

fonction de survie estimée par ces deux approches est effectuée dans l’optique de choisir l’estimateur

le plus optimal. Notons delta la différence entre la fonction de survie estimée par l’estimateur de

Nelson-Aalen et celle issue de Kaplan-Meier.

Figure 30 - Comparaison de la fonction de survie calculée par l’estimateur de Kaplan-Meier et Nelson-Aalen

Nous constatons que l’estimateur de Kaplan-Meier s’avère très proche de celui de Nelson-Aalen, ce

qui valide le calcul des expositions au risque. Quels que soient les âges et les anciennetés, la fonction

de survie estimée ponctuellement par Nelson-Aalen est supérieure à celle calculée par l’estimateur de

Kaplan-Meier. Cette différence est beaucoup plus marquée sur les jeunes âges où nous avons choisi de

les regrouper.

Nous choisissons l’estimateur de Kaplan-Meier pour la suite de notre étude, puisqu’il est le plus

pertinent, compte tenu de ses bonnes propriétés et de la structure de l’échantillon. En effet,

l’estimateur de la fonction de survie de Kaplan-Meier a l’avantage de ne poser aucune hypothèse sur la

répartition des sorties. Par conséquent, nous n’obtenons pas un intervalle de confiance pour les taux de

sortie, pour mesurer le risque d’échantillonnage comme c’est le cas pour l’estimateur de Hoem qui

considère que le nombre d’arrêtés suit une loi binomiale.

Désormais, nous représentons les taux de sorties estimés par Kaplan-Meier autour de l’âge moyen de

notre portefeuille.


88

Figure 45 - Taux bruts de sortie (Kaplan-Meier) pour les âges de 45 ans et 55 ans

Les taux bruts présentent des irrégularités, liées aux fluctuations d’échantillonnage. Pour remédier à ce

phénomène, nous procéderons par la suite à un lissage des taux de sortie bruts.

A partir de la variance de l’estimateur de Kaplan-Meier, nous pouvons en outre mesurer le risque

d’estimation associé à notre table d’expérience. Plus particulièrement, nous évaluons la précision de

l’estimation de la fonction de survie à partir de bande de confiance ; c’est-à-dire des intervalles de

confiance pour tous les âges compris entre l’âge minimal et l’âge maximal.

La figure 31 représente les bandes de confiance à 95 %, définies dans la partie théorique. Par souci de

clarté, nous représentons des coupes selon l’âge. A titre d’exemple, voici la fonction de survie estimée

par Kaplan Meier autour de l’âge moyen de notre portefeuille.

Figure 31 - Fonctions de survie et bandes de confiance à l’âge de 40 ans et 45 ans

0 10 20 30 40

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

0âge 45 ans

ancienenté

Ta

ux d

e s

ort

ie

Taux brut KM

0 10 20 30 40

0.0

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10

0.1

2

âge 55 ans

ancienenté

Ta

ux d

e s

ort

ie

Taux brut KM

0 10 20 30 40

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

âge 40 ans

ancienenté

Fo

nct

ion

de

su

rvie

Fct Survie KM

Bande de Confiance Fct Survie KM

0 10 20 30 40

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

âge 45 ans

ancienenté

Fo

nct

ion

de

su

rvie

Fct Survie KM

Bande de Confiance Fct Survie KM


89

4.2 Lissage des taux bruts

4.2.1 Le lissage des taux bruts par la méthode de Whittaker-

Henderson

L’irrégularité des taux de sortie bruts présentée dans la figure 26, n’est sans doute pas le reflet de la

réalité de notre portefeuille. Il s’agit plutôt des fluctuations d’échantillonnage, induisant ainsi du bruit

dans les taux estimés. Ainsi, nous souhaitons lisser les valeurs estimées suivant l’ancienneté (de 0

mois à 39mois) et l’âge à la date de survenance par la méthode de Whittaker-Henderson en deux

dimensions (l’ancienneté et l’âge de survenance) afin de gommer les valeurs aberrantes.

Nous avons également modélisé cette méthode sous le logiciel R.

Comme nous l’avons signalé dans la section 3.1.1, le taux de sortie estimé à 33 mois d’ancienneté

s’avère supérieur à celui à 32 mois. Ceci s’explique par une consolidation de l’état de santé de l’assuré,

mettant donc fin à la période d’indemnisation de l’incapacité, soit 33 mois au-delà de 3 mois de

franchise. Ceci est conforme aux conditions générales du contrat.

Cependant, lors de l’application du lissage, la variation du taux de sortie estimés aux alentours de la

fin de la période d’indemnisation de l’incapacité sera considérée comme du bruit. Ainsi, cette

technique atténuera la perturbation, observée à 33 mois. Par conséquent, nous perdrons cette variation

dans la loi de maintien en arrêt de travail. A notre sens, cette information doit être conservée dans son

intégralité. De ce fait, aucune méthode de lissage n’est faite sur le taux de sortie estimé à 33 mois.

Ainsi, nous appliquerons un premier lissage pour les anciennetés allant de 0 mois à 32 mois puis un

deuxième lissage pour les anciennetés allant de 34 mois à 39 mois.

Plusieurs tests ont été effectués en variant les différents paramètres. En effet, nous avons pu remarquer

que plus le critère de régularité horizontal (celui qui agit sur l’ancienneté) est élevé, plus les taux de

sortie lissés sous-estiment les taux de sortie bruts aux anciennetés extrêmes. En choisissant comme

paramètre et sur les deux parties, nous obtenons un lissage des taux estimés.

Figure 32 - Taux de sortie lissés en fonction de l’âge et de l’ancienneté

âge

35

40

45

50

55

60

ancienneté

10

20

30

40

qx lis

sé

s

0.0

0.1

0.2

0.3


90

Le taux de sortie est régulier et cohérent. En effet, pour un jeune âge, le taux de sortie décroît en

fonction de l’ancienneté.

Figure 33 - Comparaison des taux bruts et des taux lissés à l’âge de 38 ans

La valeur des paramètres nous permet de gommer les irrégularités, tout en restant le plus proche

possible des taux bruts. En effet, plus la valeur des paramètres augmente plus l’écart entre les taux

lissés et bruts est important.

4.2.2 Validation du lissage

Nous testerons l’adéquation de nos paramètres à nos données, par une version ad hoc du test du .

Dans un premier temps, nous réalisons une comparaison globale par tranche d’ancienneté en arrêt de

travail. Les tranches d’ancienneté en arrêt de travail sont définies de manière à ce que chacune d’elle

représente environ 20 % de l’exposition totale.

La comparaison est la suivante :

Table 16 - Comparaison globale entre sorties observées et prédites

Au global, les sorties d’arrêt de travail observées sont légèrement supérieures aux sorties prédites

(0,024%). Cette proximité est également observable pour les différentes tranches d’anciennetés en

arrêt de travail considérées.

0 10 20 30 40

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

0

âge 38 ans

ancienneté

qx

Taux lissés

Taux bruts KM

Ancienneté de la

survenance (en mois)Part d'exposition Exposition

Sortie observées

(1)

Sortie prédites

(2)

Ecart sorties

(3)= (1)-(2)

Rapport

(3)/(2)IC Min 95 % IC Max 95%

0->3 23.03% 54 833 4 956 5 114 -158 -3.09% 3 745.85 6 482.06

4->6 22.37% 28 282 2 925 2 551 374 14.66% 1 725.87 3 376.79

7->10 17.70% 26 588 1 766 1 935 -169 -8.73% 1 112.27 2 758.47

11->19 17.87% 37 708 1 880 1 904 -24 -1.26% 689.62 3 119.27

20-39 19.03% 32 110 1 184 1 204 -20 -1.66% 178.76 - 2 587.08

100.00% 179 521.00 12 711.00 12 708.00 3 0.024% 7 094.85 18 323.66


91

Figure 34 - Comparaison des sorties observées et prédites pour un âge de survenance à 50 ans

Nous remarquons que les sorties observées et modélisées sont globalement positionnées dans

l’intervalle de confiance ponctuel à 95 %, à l’exception d’un point. Nous constatons que le modèle a

tendance à surestimer le nombre de sorties pour une ancienneté comprise entre 8 et 18 mois. Par

conséquent, il a tendance à sous-estimer les durées de maintien.

Enfin, dans l’optique de porter un premier jugement sur la table ainsi construite, nous effectuons une

version ad hoc du test du .Afin de respecter les conditions nécessaires à l’application de ce test,

nous regroupons les anciennetés en 5 groupes, et nous conservons les tranches d’âges sélectionnées

depuis le début de l’étude (soit 30 groupes).

Le test du reste valable dans ce contexte puisque la somme de deux variables indépendantes avec

une distribution du est une variable , de degré de liberté la somme des degrés de liberté.

La statistique est :

avec le nombre d’observé d’individus sorties entre et et , le nombre d’individus

sortis entre et +1 prévu par le lissage.

Si alors est asymptotiquement distribué comme une variable .

Nous rejetons l’adéquation des données brutes à notre ajustement si la réalisation de est trop

grande, c'est-à-dire supérieure à une valeur qui n’a qu’une probabilité d’être dépassée.

La distribution de la statistique est donc un Chi-deux avec degrés de liberté.

Nous obtenons la région critique pour un seuil de 95 % . Dans notre cas, la valeur de la

statistique de test est de 16,56 ce qui nous conduit à accepter notre lissage.

0

20

40

60

80

100

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

N

om

bre

de

so

rtie

s

Ancienneté

sorties observées sorties prédites IC max IC min


92

4.3 Raccordement de la table lissée à une table règlementaire

4.3.1 Construction de la table réglementaire combinée

Nous avons construit une table d’expérience en arrêt de travail sur 39 mois. Pour estimer par la suite

les provisions pour les sinistres connus, il est nécessaire d’obtenir une table au-delà de 39 mois

d’ancienneté. De ce fait, nous allons raccorder à partir d’une table réglementaire.

Dans la première partie de ce mémoire, nous avons vu que le BCAC met à disposition trois tables :

-La table de maintien en incapacité (l’ancienneté est exprimée en mois).

-La table de passage en invalidité (l’ancienneté est exprimée en mois).

-La table de maintien en invalidité (l’ancienneté est exprimée en année).

Par conséquent, il conviendrait de construire à partir des trois tables citées ci-dessus une table de

maintien en arrêt de travail exprimée en mois. Une fois la table construite, nous la raccorderions avec

la table lissée.

Tout d’abord, afin d’uniformiser les unités de l’ancienneté, la table de maintien en invalidité du BCAC

doit être exprimée en mois. Pour ce faire, nous procéderons à une interpolation linéaire des taux

annuels. Par conséquent, nous supposons que le nombre de sortie de l’état « invalide » est réparti de

manière uniforme sur l’année.

La construction de la loi de maintien en arrêt de travail se fait de la manière suivante :

Soit 10 000 individus entrés en incapacité à l’âge de ans et à une ancienneté de mois. Au fil du

temps, une partie de ces individus vont se maintenir dans leur état précédent (incapacité ou invalidité),

une partie de ces individus vont passer en invalidité (leur état précédant était l’incapacité), et une autre

partie sortent de l’état d’arrêt de travail.

A titre d’exemple, nous allons expliquer la construisons de la table de maintien en arrêt de travail pour

les individus qui sont entrés en incapacité à l’âge de 45 ans. Parallèlement, nous chercherons de

généraliser la construction par une formule mathématique. Cela nous permettra d’automatiser la

construction et d’obtenir une table complète (quel que soit l’âge).

Afin de comprendre la construction de la table à l’âge de 45 ans, en annexe figure le tableau

représentant l’évolution de l’effectif d’une cohorte.

Notons,

: Le nombre d’individus entrés en état d’incapacité et ayant mois d’ancienneté dans l’état

d’arrêt de travail.

: Le nombre d’individus entrés en état d’invalidité et ayant mois d’ancienneté dans l’état


: Le nombre d’individus entrés en état d’arrêt de travail et ayant mois d’ancienneté dans l’état



93

La table de passage en invalidité et de la table de maintien en invalidité du BCAC fournit :

: Le nombre d’individus qui passe de l’état d’incapacité à l’état d’invalidité durant le

mois d’ancienneté en incapacité.

: Le nombre d’individus en invalidité entrés à l’âge de 45 ans et ayant eu t mois qui se sont

écoulés depuis l’entrée en invalidité.

Initialisation :

- ;

= 10 000.

= 0.

=

+ =10 000.

- ;

= 4 780 (table de maintien en incapacité du BCAC).

= .

=

+ =4 783.

- ;

= 3 318 (table de maintien en incapacité du BCAC).

=

+ =3 323.

Ainsi, le nombre de personnes en invalidité est défini par une suite notée telle que :

La relation de récurrence devient :

La relation de récurrence se réécrit :

où,

Afin d’obtenir la table de maintien en arrêt de travail plus rapidement, nous cherchons le terme général

de la suite .


94

A la suite s’écrit :

Or,

D’où

Par simplification, le terme général est :

4.3.2 Raccordement de la table lissée et de la table du BCAC

combinée

Avant de raccorder la table lissée et la table du BCAC construite dans la section précédente, il est utile

de rappeler que notre table a été construite au-delà d’une franchise de 3 mois. De ce fait, nous devons

ajuster la table réglementaire pour tous les âges de la façon suivante :

A présent, nous avons à notre disposition une table réglementaire à la même échelle que celle établie

sur notre échantillon. En d’autre terme, la table réglementaire ainsi construite dans la section

précédente, mesure le même risque que celle issue de notre expérience : l’arrêt de travail et intègre une

franchise de 3 mois. Le raccordement des deux tables est réalisé par l’application d’un coefficient

multiplicatif (le rapport entre le taux d’expérience et le taux du BCAC au point de l’ancienneté

maximale, soit 39 mois). L’abattement moyen sur la période d’âge sélectionnée ressort à 0,56.

4.3.3 Validation du raccordement

La continuité de la loi de maintien après le raccordement doit être toujours vérifiée. Pour ce faire, nous

calculons le taux d’accroissement, rappelée ci-dessous.

Soit f une fonction réelle à valeurs réelles définies sur une réunion quelconque d’intervalle et

appartenant à l’intérieur de l’ensemble de définition .

Pour tout tel que , on appelle le taux d’accroissement de f en et avec un

pas de , la quantité :


95

Dans notre cas, (un pas mensuel).

Nous représentons le taux d’accroissement pour l’âge de 50 ans. Le point de raccordement est pour

une ancienneté de 39 mois.

Figure 35 - Taux d’accroissement pour l’âge de 50 ans à chaque ancienneté entre 36 et 66 mois

La loi de maintien est régulière, car le taux d’accroissement est relativement stable au point du

raccordement.

4.4 Comparaison avec la table réglementaire mixte

Dans cette dernière section, nous nous interrogeons sur la prudence ou non de notre table

construite et validée. En effet, dans cette section, nous nous centrons sur la table réglementaire du

BCAC qui a été harmonisée dans la section précédente ainsi que la table d’expérience créée et validée.

La comparaison est présentée ci-dessous sous forme de surface, obtenue en calculant le coefficient de

positionnement. Ce coefficient représente le rapport entre le taux de maintien de la table d’expérience

et celui de la table réglementaire noté A%.

Figure 36 - Positionnement des taux d’expérience aux taux de la table réglementaire

-45

-35

-25

-15

-5 37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

Tau

x d

'acc

rois

sse

mn

t

Ancienneté

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

3

9

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

36

4

3

50

5

7

Ancienneté

A %

0,70-0,80 0,80-0,90 0,90-1,00 1,00-1,10 1,10-1,20

Age


96

Globalement, le maintien en arrêt de travail estimé est proche de la table réglementaire, ce qui valide

notre construction. En effet, pour une ancienneté comprise entre 4 et 32 mois et entre 36 et 39 mois,

nous observons que le maintien de ce portefeuille est légèrement inférieur à celui de la table

réglementaire quel que soit l’âge à la date de survenance. D’autre part, nous remarquons que pour une

ancienneté inférieure à 4 mois, le maintien a tendance à être supérieur à celui de la réglementation quel

que soit l’âge à la date de survenance.

Le dernier constat est que pour une ancienneté comprise entre 33 et 34 mois (la fin de la période

d’indemnisation au titre de l’incapacité), le taux de maintien diffère de celui de la réglementation aux

grands et jeunes âges ainsi qu’à l’âge de 39 ans. Cet écart significatif est a priori la traduction d’un

taux de maintien en arrêt de travail spécifique au portefeuille, qui s’établit à un niveau différent à la

population externe. De plus, cela confirme la présence de phénomène de gestion qui interagit aux

alentours de 33 mois. Par exemple, à l’âge de 39 ans, les taux de maintien calculés par les tables

réglementaires sont donc majorés.

L’étude de comparaison par rapport à la table du BCAC permet d’avoir une première idée de la

prudence du lissage et du taux estimé. Cette analyse sera approfondie en calculant les provisions sur

les sinistres connus en prenant en compte la nouvelle table de maintien en arrêt de travail ainsi

construite.


97


98

QUATRIEME PARTIE

Sélection des dossiers à provisionner


99

CHAPITRE 1

Quels sinistres prendre en compte ?

Actuellement, pour déterminer l’ensemble des sinistres « en cours » à provisionner, il existe

une règle simple et arbitraire basée sur le statut du dossier et le nombre de mois écoulés depuis le

dernier règlement.

Dans ce chapitre, nous proposerons une autre façon de contourner la problématique de la sélection des

dossiers. À partir des données historiques de notre portefeuille, nous construisons un modèle

probabiliste permettant ainsi d’associer à chaque dossier déclaré, la probabilité qu’il soit réellement en

cours. Cette étude permettra d’une part de détecter des phénomènes de gestion et d’autre part de porter

un jugement sur la règle actuelle (Cf. cinquième partie).

1.1 Exposé du problème

Pour rappel, les provisions pour les sinistres connus doivent correspondre le plus possible à

l’ensemble des règlements versés au titre de l’arrêt de travail. Formellement, à la date d’inventaire

l’assureur doit constituer une provision pour les sinistres survenus et non clôturés avant

Le jour d’un arrêté, le coût du sinistre n’est pas connu. Même si nous avons des informations précises

sur la durée du prêt et le montant des remboursements, nous ne pouvons pas connaître l’intégralité de

la prestation qui sera versée : d’une part, aujourd’hui nous ne connaissons pas la période exacte

d’indemnisation et d’autre part l’assuré n’informe pas la compagnie d’assurance de la reprise de son

activité. Par conséquent, aucune mise à jour ne peut être faite sur l’état de ce sinistre. Le sinistre

conserve donc le même statut (en cours).

Dans la pratique, le processus de gestion est long et fastidieux. Nous avons pu constater un temps plus

ou moins long de gestion d’un sinistre avant la fermeture de celui-ci. Par exemple, sa clôture peut être

précédée d’une expertise médicale à la demande de la compagnie d’assurance.

La figure ci-dessous illustre la problématique de la sélection des dossiers à partir du diagramme de

Lexis. L’axe des abscisses correspond aux années de survenance des sinistres. L’axe des ordonnées

correspond aux années de développement des sinistres.

Sur la figure ci-dessous, la déclaration du sinistre par l’assuré est marquée par un rond bleu et la

clôture (l’assuré informe son assureur de sa reprise d’activité) par une croix.

A chaque arrêté de compte (par exemple, au deuxième trimestre de l’année 2015), les compagnies

d’assurance doivent choisir les sinistres en cours à provisionner.

Nous avons représenté plusieurs cas de figure sur le diagramme de Lexis :

- cas n°1 : chaque année de développement, le sinistre a fait l’objet d’une prestation.

- cas n°2 : aucune prestation n’a été versée à la 3ème

année de développement, alors que le

sinistre n’a pas été clôturé.

- cas n°3 : la clôture du sinistre est connue avant l’arrêté des comptes.

- cas n°4 : aucune prestation n’a été versée avant la date d’inventaire, alors que le sinistre n’a

pas été clôturé.

Partie IV, Chapitre 1 - Quels sinistres prendre en compte ?

100

0

1

2

3

4

5

6

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Année

de

dév

elo

pp

emen

t


Cas n°1

Dat

e d'in

ven

tair

e

0

1

2

3

4

5

6

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Année

de

dév

elo

pp

emen

t


Cas n°2

Dat

e d

'inven

tair

e D

ate

d'in

ven

tair

e

0

1

2

3

4

5

6

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Année

de

dév

elo

pp

emen

t


Cas n°3

Dat

e d'in

ven

tair

e D

ate

d'in

ven

tair

e


101

Figure 37 - Représentation de la vie de 4 sinistres

A la date d’inventaire, nous nous interrogeons sur le devenir du cas de figure n°4. Deux cas

possibles peuvent se produire :

soit,

- l’absence de règlement, juste avant la date d’inventaire, signifie que le dossier était réellement

clos. Le processus de gestion étant long, la clôture de ce sinistre ne sera visible que dans

plusieurs mois ou années, comme montre la figure ci-dessous :

Figure 38 - Absence de pièces justificatives expliquée par une reprise d’activité (clôture de la période d’indemnisation)

0

1

2

3

4

5

6

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Année

de

dév

elo

pp

emen

t


Cas n°4

Dat

e d'in

ven

tair

e D

ate

d'in

ven

tair

e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Année

de

dév

elo

pp

emen

t


Cas n°4

Dat

e d

'inven

tair

e


102

soit,

- l’absence de règlement juste avant la date d’inventaire, se traduit par une demande auprès de

l’assuré de renouvellement de pièces justificatives. Une fois la réception des documents

manquants, la compagnie d’assurance continuera à verser les prestations (un rattrapage des

règlements peut avoir lieu au moment de la reprise du paiement), comme montre la figure ci-

dessous :

Figure 39 - Retard dans la réception des pièces justificatives

A ce stade, au vu des phénomènes de gestion et d’un manque d’information de la part des assurés,

nous remarquons que la définition d’un sinistre « en cours » n’est pas évidente. Aujourd’hui, le critère

de sélection des dossiers en cours n’intègre pas les différentes problématiques relevées dans le

paragraphe précédent.

La règle de sélection repose sur :

- la différence entre la date d’inventaire et la dernière date de règlement (exprimée en mois),

appelée le délai et notée ,

et,

- le statut renseigné au cours de la vie d’un sinistre.

Un sinistre « en cours » est défini par :

- un délai inférieur ou égal à 3 mois,

et,

- un statut compris dans la liste9 suivante : ALD, ART, CST, REG, RLD, INF, VRF.

Seuls, les dossiers dont le statut est INF ou VRF, sont considérés clôt dans 20 % des cas.

9 Cf. liste d’abréviation.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Année

de

dév

elo

pp

emen

t


Cas n°4

Dat

e d'in

ven

tair

e


103

La règle de sélection actuellement utilisée a ses limites. D’une part, nous ne disposons d’aucune

justification rigoureuse sur le choix de ces statuts et de la valeur de ce délai, et d’autre part,

l’irrégularité des cadences de paiement n’est pas prise en compte.

1.2 Vers une autre approche

A partir des données historiques de notre portefeuille, nous pouvons détecter l’ensemble des

dossiers correspondant aux cas illustrés dans la section précédente. Ainsi, à ce stade nous pouvons

savoir si le choix de la valeur du délai (inférieur ou égal à 3 mois) s’avère raisonnable.

Nous proposerons une approche différente du critère de sélection actuelle. Il ne s’agit pas de

déterminer un délai plus approprié au phénomène de gestion différent de l’actuel. Mais, nous

souhaitons déterminer des taux à partir des données historiques du portefeuille. Les taux seront

fonction de plusieurs paramètres dont l’âge à la date de survenance, l’ancienneté, le délai et le statut

du sinistre. Chaque dossier sera associé à un taux adéquat correspondant à la probabilité que ce dossier

soit réellement « en cours ».

Partie IV, Chapitre 2 - Proposition d’une nouvelle approche

104

CHAPITRE 2

Proposition d’une nouvelle approche

2.1 Modélisation du problème : le principe

Tout d’abord, nous fixons différentes dates d’observation. Ces dates d’observation

correspondent aux dates d’arrêté des comptes. La date de clôture d’un exercice comptable varie en

fonction du type d’entreprise. Actuellement, Cardif a choisi une date clôturant un trimestre civil (31

mars, 30 juin, 30 septembre, et le 31 décembre). Ainsi, à chaque trimestre civil la compagnie

d’assurance détermine le périmètre des sinistres « en cours », afin d’estimer les provisions sur ces

dossiers.

La modélisation du problème a été réalisée sur les dates de clôture trimestrielle de quatre exercices

comptables (de l’année 2010 du 1er trimestre à l’année 2014 du 1

er trimestre).

Nous recueillons sinistres survenus, déclarés et ayant eu au moins un règlement à la date de clôture.

L’ensemble de ces sinistres est appelé la base des sinistres connus à la date d’inventaire

de l’année Elle comporte donc chaque dossier de sinistre n° .

Chaque dossier de sinistre n° est associé à une date de survenance .

Chaque dossier a des règlements à des dates distinctes . Le sinistre n° a eu règlements

distincts en date .

Nous nous plaçons à une date de clôture t = de l’année , et nous définissons pour

chaque dossier :

: le nombre de mois entre et t où , appelé le délai du sinistre n°

: le nombre de mois entre t et appelé l’ancienneté du sinistre n° (hors franchise).

: l’âge à la survenance du sinistre .

: le statut de la dernière position de la prise en charge renseigné par le service de gestion du

sinistre n° .

Par abus de langage, désignera un dossier du sinistre n° avec comme

caractéristiques , et , extrait de la base des sinistres connus à la date de clôture

de l’année .

La notion que nous cherchons à modéliser est la notion de pertinence. La notion de pertinence est liée

à la notion de besoin d’information. Nous souhaitons retrouver l’ensemble des dossiers sinistrés dits

« Pertinents » censés être dans une collection de dossier sinistré, noté . Les dossiers dits

« Pertinents » correspondent aux dossiers réellement ouverts.

Nous souhaitons obtenir un nombre maximal de dossier « Pertinent », nous choisissons donc le niveau

de pertinence suivant :


105

- Un dossier est dit « Pertinent » si au moins un règlement a été versé au cours d’une année

civile.

Nous modélisons la pertinence comme un événement probabiliste.

Notons,

: l’ensemble des dossiers pertinents (défini précédemment),

: l’ensemble des dossiers non pertinents.

A chaque date de clôture, nous observons une réalisation de l’événement .

Notons,

: l’ensemble des dossiers sélectionnés par la règle (Cf. Partie 4, Chapitre 1),

: l’ensemble des dossiers non sélectionnés.

Ainsi,

: l’ensemble des sinistres sélectionnés réellement en cours,

: l’ensemble des sinistres exclus de la sélection mais réellement en cours, (ce sont des sinistres

qui auraient dû être provisionnés, si l’on disposait de la totalité de l’information),

: l’ensemble des sinistres sélectionnés mais réellement clos, (ce sont donc des sinistres qui ont

été provisionnés à tort),

: l’ensemble des sinistres exclus de la sélection mais réellement clos.

Par définition,

Les événements et forment une partition de l’univers .

Les événements et forment une partition de l’univers .

D’après la loi des probabilités totales,

Dans le modèle probabiliste, nous tenterons de répondre à la question suivante :

quelle est la probabilité qu’un dossier extrait de la base des sinistres connus à la

date de clôture de l’année soit pertinent (i.e. soit réellement en cours) en fonction

des caractéristiques du dossier ?

Formellement, nous devons déterminer la probabilité suivante (ou son complémentaire) :


106

2.2 Première approche

En utilisant le théorème de Bayes ;

où,

- : la probabilité que le dossier fasse partie

de l’ensemble des dossiers pertinents,

- : la probabilité de pertinence, calculée par la formule des probabilités totales,

- : la probabilité que le dossier soit choisi,

(tirage au hasard d’un dossier de la base des sinistres connus à la date d’inventaire).

Nous devons estimer :

Dans la théorie des probabilités, la probabilité de la combinaison de plusieurs événements s’écrit de la

façon suivante :

En d’autres termes, il faut tenir compte des dépendances entre les événements. Et par conséquent, le

calcul s’avère complexe.

Dans notre contexte, l’hypothèse d’indépendance suivante nous permet de simplifier le calcul :

Nous suppose que les événements liés au système de gestion sont indépendants aux

événements liés à l’assuré sinistré .

D’où,

Il reste donc à déterminer deux probabilités :

:

où,


107

: le nombre d’individus à l’âge et à l’ancienneté (en retranchant 3 mois de franchise) issu de la

loi d’expérience de maintien en arrêt de travail (construite dans la partie 3 au-delà d’une franchise de 3

mois).

:

Nous pouvons estimer à partir d’un ensemble suffisant de dossiers dit « Pertinents »

(au-delà de 100 dossiers).

Nous construisons le tableau de contingence des effectifs en fonction de chaque événement.

Prenons par exemple un cas simple où le statut peut prendre deux modalités et et le délai vaut soit

ou . Quatre combinaisons sont possibles. Le tableau ci-dessous illustre

Description du

dossier

Nombre de dossier

« Pertinents »

Nombre de dossier

« Non Pertinents » Total

Total

Table 17 - Tableau de contingence en fonction de chaque événement

Ainsi nous obtenons,

En conclusion,


108

2.3 Deuxième approche : L’Odds-Ratio.

Nous sommes parvenus à déterminer la probabilité ci-dessus (en utilisant une hypothèse

d’indépendance). De la même façon, nous pouvons calculer son complémentaire :

La deuxième approche consiste à classer l’ensemble des dossiers selon ces deux probabilités, en

utilisant une mesure statistique appelée la fonction Odds-Ratio. Il est défini comme le rapport de ces

deux probabilités :

L’Odds-Ratio pour un dossier s’écrit :

A partit de l’hypothèse d’indépendance,

Ainsi, les dossiers sont classés par ordre décroissant en fonction de la valeur de leur Odds-Ratio. Les

premiers dossiers doivent donc être provisionnés en priorité. Par la suite, cette approche ne sera pas

utilisée, puisqu’il faut à nouveau déterminer quel est le seuil minimal du l’Odds-Ratio.

Nous privilégions donc la première approche.

Partie IV, Chapitre 3 - Application du modèle probabiliste et choix d’un nouveau barème

109

CHAPITRE 3

Application du modèle probabiliste et choix d’un nouveau

barème

À chaque date de clôture, nous déterminerons les probabilités en fonction du statut et du délai.

Ces probabilités sont calculées sous le logiciel SAS.

A partir des analyses sur les trimestres antérieurs, nous déduirons un barème fonction du statut et du

délai. Puis, chaque dossier de la base des sinistres connus sera associé à une probabilité plus ou

moins élevée, pour l’intégrer dans le calcul des provisions.

3.1 Etude historique de la tendance des probabilités

Nous analysons les résultats obtenus sur les statuts suivants « REG », « ALD » et « vide ». Les

résultats sur les autres statuts sont mis en annexe.

3.1.1 Le statut « REG »

Le graphique ci-dessous représente la probabilité d’être réellement en cours pour le statut « REG » en

fonction du délai.

Figure 40 - Représentation de la probabilité (d’être réellement en cours) pour le statut « REG » en fonction du délai


110

Nous remarquons que les différentes courbes ont la même allure. En effet, quel que soit le trimestre

étudié, nous constatons que la probabilité décroit fortement en fonction du délai. Plus particulièrement,

une chute de cette probabilité est observée aux alentours de 6 mois.

Vu que le comportement est quasi similaire pour chaque trimestre étudié, nous considèrerons qu’il est

presque identique pour les années suivantes.

A ce stade, nous déduisons :

- qu’aucun provisionnement n’est fait pour les dossiers dont le délai est supérieur à 7 mois,

- la probabilité que le dossier soit pertinent pour les délais compris entre 0 et 6 mois correspond

à la moyenne des probabilités sur l’ensemble de la base historique.

Figure 41 - Moyenne des probabilités (d’être réellement en cours) pour le statut « REG » pour les délais compris entre 0 et 6

mois

Après plusieurs échanges avec le service de gestion, le statut « REG » est utilisé à maintes reprises et

indique différents états. Comme son nom l’indique, le statut « REG » sous-entend qu’un règlement a

eu lieu. Il est également utilisé pour effectuer un rattrapage de versement de prestations.

En effet, le traitement de clôture des évènements « invalidité » est spécifique. Le rédacteur met en

place un statut « RLD » pour un an. Au bout d’un an, l’évènement passe donc en « ALD ». Le

rédacteur consulte l’ensemble des sinistres dont leur statut est en « ALD », afin de redemander une

pièce justificative à l’assuré (le justificatif correspond au dernier versement de la Sécurité Sociale au

titre de l’invalidité). Deux situations peuvent se produire :

- la pièce justificative est envoyée avant la date du règlement suivant :

le rédacteur reclasse le dossier en « RLD ».

- si la pièce justificative est envoyée après la date du règlement suivant :

le rédacteur classe le dossier en « REG » pour effectuer un rattrapage de versement de

prestations. Puis il reclasse le dossier en « RLD » pour une durée d’un an à partir du

mois suivant. Ainsi, un sinistre dont le statut est « REG » et qui a été précédé d’un

statut « RLD » doit être provisionné à 100 %.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 1 2 3 4 5 6 7

Pro

bab

ilité

Délai


111

3.1.2 Le statut « RLD »

Sur ce statut, l’estimation de la probabilité à partir du modèle présenté au chapitre précédent comporte

un biais.

Le statut « RLD » signifie que l’assuré reste en arrêt de travail pour une longue durée (supérieure à 6

mois). En d’autres termes, le taux de sortie doit être nul. Cependant, la loi d’expérience construite

n’est pas segmentée en fonction du statut du sinistre et ne prend donc pas en compte ce phénomène.

Par conséquent, dans le cas où le calcul des probabilités est estimé en intégrant la loi d’expérience,

cela entraîne une surestimation des probabilités (nous pouvons obtenir une probabilité supérieure à 1

pour certains délais). Afin de ne pas biaiser les provisions, il semble judicieux d’estimer les

probabilités sans intégrer la loi d’expérience. Ainsi, la formule s’écrit de la façon suivante :

Figure 42 - Représentation de la probabilité (d’être réellement en cours) pour le statut « ALD » en fonction du délai


112

Sur la base historique, nous obtenons des résultats seulement sur les délais les plus courts. En effet, au-

delà de 2 mois, le nombre de dossiers pertinents ne semblerait pas suffisant pour calculer la probabilité

recherchée. Quel que soit le trimestre, la probabilité est pratiquement la même pour tous les délais

courts ; elle varie entre 94 % et 100 %.

3.1.3 Le statut « vide »

A chaque date de clôture, il existe des dossiers dont le statut n’a pas été renseigné par le système de

gestion. Nous avons pu remarquer que ce phénomène est beaucoup plus fréquent ces derniers temps.

De ce fait, l’impact sera beaucoup plus important aux dates de clôture les plus récentes.

Figure 43 - Représentation de la probabilité (d’être réellement en cours) pour le statut « vide »

Au vu de ce graphique, le nombre de dossiers pertinents n’est sans doute pas négligeable. Comme

nous pouvons le constater, le taux d’acceptation n’est pas nul. Il est autour de 80 %.

3.2 Conclusion

3.2.1 Les limites de la méthode

La construction des probabilités a permis de compléter le manque d’information et d’expliquer le

fonctionnement de la gestion.

Cependant, ces taux sont construits sur des données du passé. Par conséquent, une modification de la

gestion des dossiers peut avoir un fort impact sur la probabilité qu’un dossier soit encore en cours à la

date d’inventaire.

De plus, la gestion d’un sinistre évolue et est amenée à être modifiée au fil des années. L’intégration

de ce barème dans le calcul des provisions doit être suivie d’un contrôle régulier sur les différents

modes de gestion des sinistres, afin de s’assurer qu’il soit toujours représentatif de notre portefeuille


113

3.2.2 Choix d’un nouveau barème

Nous proposons deux nouveaux barèmes, récapitulés dans le tableau ci-dessous. L’un est basé sur les

analyses précédentes, et l’autre étant une harmonisation du barème n°1 par simplification

opérationnelle.

Statut Délai ( en mois) Barème n°1 Délai ( en

mois) Barème n°2

REG

95 % 100 %

90 %

60 % 60 %

35 %

20 %

20 % 15 %

10 %

0 % 0 %

RLD 100 % 100 %

0 % 0 %

ALD

90 % 100 %

70 %

50 % 60 %

0 % 20 %

0 %

INF 50 % 100 %

0 % 0 %

CST 100 % 100 %

ART 50 % 50 %

VRF 50 % 50 %

REC 0 % 0 %

REF 0 % 0 %

ERR 0 % 0 %

INC 0 % 0 %

JUR 100 % 100 %

LOC 0 % 0 %

OKI 0 % 0 %

OKS 0 % 0 %

TRA 100 % 100 %

CLO 20% 20%

0 % 0 %

Vide 80 % 80 %

Table 18 - Barème indiquant la probabilité qu’un dossier soit encore en cours à la date d’inventaire

Partie IV, Chapitre 3 – Application du modèle probabiliste et choix d’un nouveau barème

114


115

CINQUIEME PARTIE

Intégration de la loi d’expérience et

d’un barème dans le provisionnement


116

CHAPITRE 1

Validation de la méthode proposée

L’ensemble de notre étude se focalise sur le calcul des provisions pour les sinistres connus. Le

premier axe de réflexion a été porté sur l’élaboration d’une table d’expérience de maintien en arrêt de

travail. Avant même de constater les impacts liés aux changements d’hypothèses, nous allons vérifier

que les dossiers réellement en cours observés ex-post sont en adéquation avec les dossiers en cours

prévus. Cela implique de comparer l’historique des prévisions aux dossiers réellement en cours

observés. Ainsi, nous choisirons l’un des deux barèmes présentés dans la partie précédente.

1.1 Calcul des provisions

Une évaluation dossier par dossier doit être faite sur les sinistres en cours au moment des arrêtés des

comptes. A présent, chaque dossier connu à la date d’inventaire est associé à une probabilité de

recevoir un règlement prochainement. Cette probabilité notée , est fonction du dernier statut

renseigné par les gestionnaires et du délai (correspondant au nombre de mois écoulés entre la date du

dernier règlement et la date d’inventaire).

Pour chaque assuré, nous déterminons un coefficient de provisionnement de la façon suivante :

: l’âge d’entrée en arrêt de travail,

l’ancienneté de l’assuré dans l’état d’arrêt de travail à la date de l’inventaire (en mois),

: l’ancienneté en mois estimable à la date d’inventaire sachant la date de fin de prêt et l’âge de

fin de garantie (65 ou 70 ans selon les conventions),

le montant de la prestation mensuelle,

: le taux technique annuel,

: le nombre d’individu d’âge et ayant une ancienneté de mois issu de la loi d’expérience de

maintien en arrêt de travail.

La valeur probable de l’engagement de l’assureur, correspondant ainsi au montant de la provision

sera :

Le calcul des provisions dossier par dossier a été implémenté sous le logiciel SAS.

Partie V, Chapitre 1 - Validation de la méthode proposée

117

1.2 Backtesting sur la nouvelle méthode et choix d’un barème.

Nous allons mettre en œuvre une procédure de Backtesting afin d’évaluer la nouvelle méthode de la

sélection des dossiers, proposée dans la partie précédente.

Nous comparons le montant de provisions déterminé à partir de la méthode proposée avec celui qui

aurait été calculé dans le cas où l’ensemble des informations sur l’état des sinistres serait connu (Avec

information complète Cf. les figures ci-dessous)

Tout d’abord, notons :

Méthode A : elle correspond à la méthode actuellement utilisée, c’est-à-dire les dossiers

provisionnés sont les dossiers ayant fait l’objet d’une sélection arbitraire sur leur statut et leur

délai. Le calcul des provisions intègre des coefficients calculés à partir de la loi

réglementaire10

, avec un taux technique de 3%.

Méthode B : il s’agit d’une variante de la méthode A : le calcul des provisions intègre la loi

d’expérience comme cela est décrit dans la section précédente (sans prendre en compte le

barème ).

Méthode C : les dossiers à provisionner sont les dossiers connus à la date d’inventaire associés

à une probabilité d’être réellement en cours (Cf. Partie 4, le barème n°1).

Méthode D : Il s’agit d’une variante de la méthode C. La probabilité a été estimée après

simplification opérationnelle. (Cf. Partie 4, le barème n°2).

Le tableau ci-dessous montre le montant des provisions calculé selon les différentes méthodes :

Nombre

de

dossiers

Montant de

provisionnement

(taux à 0 %)

Montant de

provisionnement

(taux à 3 %)

Ecart

(taux à

0 %)

Ecart

(taux à

3 %)

Avec information complète 11222 179 316,12 K€ 157 316,12 K€

Avec la méthode A 9612 ----------- 120 993,62 K€ -23,09 % Avec la méthode B 9612 189 367,83 K€ 165 811,52 K€ 5,42 % 4,58 % Avec la méthode C 14409 187 253,01 K€ 164 594,61 K€ 4,28 % 3,93 % Avec la méthode D 13382 211 549,39 K€ 191 771,32 K€ 17,40 % 18,60 %

Table 19 - Backtesting pour le 2ème trimestre de l’année 2014

Nous constatons un faible écart pour la méthode C, ce qui confirme l’efficacité de celle-ci. D’autre

part, nous remarquons que le nombre de dossiers augmente pour la méthode C et D. Cependant chaque

dossier est associé à une probabilité d’être réellement en cours.

Le Backtesting a été également réalisé sur les dates de clôture antérieures. A titre d’exemple, le

tableau ci-dessous représente le dernier trimestre de l’année 2013.

10

Table réglementaire du BCAC datant de 1981, où un abattement a été appliqué

Partie V, Chapitre 1 - Validation de la méthode proposée

118

Nombre

de

dossiers

Montant de

provisionnement

(taux à 0 %)

Montant de

provisionnement

(taux à 3 %)

Ecart

(taux à

0 %)

Ecart

(taux à

3 %)

Avec information complète 11107 177 596,18 K€ 155 545,70 K€

Avec la méthode A 9415 ----------- 118 114,82 K€ -24,06 % Avec la méthode B 9415 185 289,15 K€ 162 132,91 K€ 4,15 % 4,23 % Avec la méthode C 14475 183 332,55 K€ 160 907,89 K€ 3,10 % 3,45 % Avec la méthode D 14511 204 759,67 K€ 179 636,93 K€ 14,66 % 15,49 %

Table 20 - Backtesting pour le 4ème trimestre de l’année 2013

Nous constatons que les provisions déterminées par la méthode C sont encore plus proches de celles

que l’on peut observer dans la réalité. Ceci s’explique par le fait que la construction du barème a été

établie en prenant en compte le 4ème

trimestre de l’année 2013.

Finalement, nous optons pour le barème n°1. Car le barème n°2 simplifie beaucoup trop et s’éloigne

du montant des provisions déterminé dans le cas d’information complète.

Au cours du temps, la gestion du sinistre évolue. Par conséquent, une comparaison sur la qualité du

barème par année n’a pas de sens. En effet, nous avons pu constater que l’écart entre le montant des

provisions déterminé par la méthode proposée et celui avec l’information complète diffère suivant les

années étudiées.

Ce constat confirme la nécessité de mettre en place une révision de ce barème régulièrement, afin de

prendre en compte les éventuels changements de la gestion des sinistres.

Partie V, Chapitre 2 - Impact lié aux différents changements

119

CHAPITRE 2

Impact lié aux différents changements

Dans ce dernier chapitre, nous réaliserons une étude de boni-mali de liquidation afin de

mesurer l’adéquation des hypothèses choisies (la table de maintien en arrêt de travail et la nouvelle

approche sur la sélection des dossiers) à notre portefeuille.

2.1 Boni ou un mali de liquidation de provisionnement : le

principe

Les assurances doivent avoir des provisions à la date pour les sinistres survenus les années

précédentes.

Nous définissons :

: l’instant de référence de l’analyse,

: l’année de référence de l’analyse,

: l’instant d’évaluation,

: les provisions d’ouverture évaluées à la date ,

: les provisions de clôture évaluées à la date ,

: les provisions de clôture évaluées à la date sachant qu’il y a eu une provision

d’ouverture à la date ,

: les provisions de clôture évaluées à la date sachant qu’il n’y a pas eu une

provision d’ouverture à la date ,

: Le montant des règlements,

: les paiements des sinistres sachant qu’ils ont eu une provision d’ouverture,

: les paiements des sinistres sachant qu’ils n’ont pas eu une provision d’ouverture,

: le taux technique.

Nous parlons d’un boni ou d’un mali de liquidation de provisionnement à l’année d’évaluation suivant

le signe positif ou négatif de l’expression suivante :

Dans l’optique de mesurer l’adéquation de la nouvelle approche sur la sélection des dossiers, la valeur

du boni/mali ci-dessus peut être décomposée d’une part d’un mali, correspondant aux sinistres non

provisionnés et d’autre part d’un boni/mali, correspondant aux sinistres provisionnés.

Soit,

avec,


120

–

.

Pour mettre en exergue la présence de boni ou mali de liquidation sur différents exercices comptables,

il est nécessaire de réaliser plusieurs extractions sous le logiciel SAS afin de récupérer les données

nécessaires au calcul de boni/mali à un instant donné. Des programmes ont été réalisés afin d’extraire

convenablement les bases nécessaires à notre étude. En effet, le périmètre de l’évaluation des

provisions de clôture à la date exclut les sinistres survenus à l’année d’évaluation (ce sont les

nouvelles affaires).

Nous souhaitons apprécier les différents niveaux de prudence qui peuvent exister dans les provisions

selon les méthodes de provisionnement utilisées (la méthode A, B ou C).

Dans ce mémoire, pour chacune de ces méthodes, nous étudierons l’évolution des provisions sur

l’exercice comptable suivant :

- le 4ème

trimestre de l’année 2013 correspond à l’instant de référence,

- le 4ème

trimestre de l’année 2014 correspond à l’instant d’évaluation.

Nous proposerons simultanément à l’étude de boni/mali, un test de sensibilité au principal paramètre :

le taux technique. Ce test de sensibilité ne peut pas être réalisé sur la méthode A, car cette méthode

consiste à calculer des coefficients en fixant un taux technique de 3%.

L’étude de sensibilité permettra d’analyser le niveau de boni ou mali.


121

2.2 Comparaison du boni/mali (à un taux technique de 3 %)

Le tableau ci-dessous représente l’évolution des provisions au 4ème

trimestre de l’année 2014 à partir

de la méthode actuellement utilisée (méthode A).

Méthode A

118 114,83 K€

42 465,69 K€

90 867,56 K€

- 11 674,98 K€

Table 21 - Représentation du mali observé par la méthode actuelle sur l’exercice 2013_T4

La liquidation des provisions à partir des hypothèses de la méthode A, se traduit par un mali d’environ

11 millions d’euros, à cause des provisions mal évaluées pour l’exercice de 2013.

De gros mali sont donc observés. En conséquence, nous souhaitons ajuster les paramètres de la

méthode de provisionnement.

- Le premier paramètre de la méthode de provisionnement est la table de maintien en arrêt de

travail (Cf. Partie 3).

Nous analysons l’évolution des provisions suite au changement de la table (la méthode B).

Méthode B

162 132,91 K€

42 465,69 K€

130 204,18 K€

- 5 672,97 K€

Table 22 - Représentation du mali observé par la méthode B sur l’exercice 2013_T4

Nous constatons une baisse de 50% des boni/mali à l’instant d’évaluation par rapport à celle de la

méthode précédente. Cependant, nous conservons un mali important (environ 5 millions d’euros). De

plus, la légère baisse de mali causée par le changement d’une hypothèse nous force à augmenter de

38% des provisions à l’ouverture (la provision d’ouverture passe de 118 millions d’euros à 162

millions d’euros).

- Suite aux résultats obtenus avec la méthode B, nous nous sommes préoccupés d’ajuster un

deuxième paramètre de la méthode de provisionnement : la revue des sinistres à provisionner

(Cf. Partie 4).

Méthode C

160 907,89 K€

42 465,69 K€

120 088,68 K€

3 180,76 K€

Table 23 - Représentation du mali observé par la méthode C sur l’exercice 2013_T4


122

En étudiant, l’évolution des provisions suite au changement d’une hypothèse (méthode C), nous

remarquons une baisse

des boni/mali à l’instant d’évaluation par rapport à celle de la méthode A. A présent, nous avons un

boni d’environ 3 millions d’euros avec une provision d’ouverture d’environ 160 millions d’euros.

2.3 Approbation de la nouvelle approche sur la sélection des

dossiers

La réglementation impose de provisionner l’ensemble des sinistres en cours. La problématique sur la

sélection des dossiers à laquelle les compagnies d’assurance sont confrontées a pour conséquence

d’avoir versé environ 8 millions d’euros sur des sinistres non provisionnés, comme l’atteste le tableau

ci-dessous.

Méthode A Méthode C

34 009,33 K€ 40 945,56 K€

8 456,36 K€ 1 520,13 K€

42 465,69 K€ 42 465,69 K€

Table 24 - Représentation du montant de règlements au cours de l’année 2013

Le calcul des provisions à partir de la méthode C atténue la part des sinistres non provisionnés et ayant

eu un règlement. Ceci valide davantage la nouvelle approche présentée dans la partie 4.

Ainsi, l’analyse de ces résultats nous conduit à valider la méthode C de provisionnement. En

conclusion, le calcul des provisions a été sous-évalué.

2.4 Etude de sensibilité

Enfin, nous terminons notre analyse en étudiant la sensibilité du niveau de provisions aux variations

du taux technique.

0 % 1,25% 3%

183 332,55 K€ 173 225,14 K€ 160 907,89 K€

137 459,82 K€ 129 641,71 K€ 120 088,68 K€

3 407,03 K€ 3 283,05 K€ 3 180,76 K€

Table 25 - Etude de sensibilité sur la méthode C

Nous remarquons qu’il existe une sensibilité aux mouvements des taux techniques sur le montant des

provisions. En effet, plus le taux technique est faible, plus le montant de provisions à l’ouverture

augmente. Nous constatons que celui-ci augmente de 14% si le taux technique est fixé à 0%.

V, Chapitre Partie 2 - Impact lié aux différents changements

123


124

Conclusion

Déterminer le niveau de provision nécessaire en vue de faire face aux prestations servies en

cas d’incapacité ou d’invalidité, est devenu indispensable dans le contexte réglementaire (Article 331-

22 du Code des Assurances) et économique (Article 48 de la Directive Solvabilité II) actuel.

Afin de satisfaire aux exigences de Solvabilité II, des méthodes ont été mises en place pour estimer au

mieux les provisions sur les sinistres connus des comptes sociaux.

L’objectif de ce mémoire est de proposer une méthode de provisionnement adaptée à notre portefeuille.

Pour provisionner des prestations versées en cas d’incapacité et d’invalidité, les actuaires ont recours à

certaines tables11

. Par conséquent, ce paramètre a un fort impact sur le niveau de provisions.

La première partie de notre mémoire consiste à construire une table d’expérience de manière

statistique et déterministe.

La construction de la table d’expérience :

Nous avons en premier lieu analysé le jeu de données afin d’appréhender les caractéristiques de la

base sinistrée. De nombreux problèmes opérationnels (la distinction de deux risques « contractuels »

n’est pas claire, la présence de doublons dus aux rechutes et aux montages financiers, etc.) ont été

rencontrés. De ce fait, une réflexion a été portée sur le choix du modèle le plus approprié à notre

portefeuille.

Apports :

La réalisation de cette étude nous a permis de mieux cerner le comportement réel de la population

sinistrée, qui s’avère pratiquement similaire à celui de la réglementation. L’intégration d’une telle

table dans le calcul des provisions est une aide utile pour le pilotage du risque inhérent à l’activité

principale de l’entreprise (l’assurance des emprunteurs). A présent, nous pouvons justifier le niveau de

provision en prenant en compte le comportement réel des assurés.

Limites/ Nouvelles approches :

Pour juger de la qualité de nos données, nous avons introduit des indicateurs de risque classiques

(comme le nombre de sinistres, la durée moyenne de prise en charge). Il peut être envisageable

d’utiliser des indicateurs quantitatifs basés sur le benchmark (la table fournie par la réglementation)

par la théorie de crédibilité. On pourra se reporter à « Une approche par crédibilité du risque de

mortalité » Hardy & Penjer [1998].

Pour améliorer le niveau de prudence de la table d’expérience, nous pouvons modifier la définition des

sinistres en cours (en fixant le nombre de mois écoulé depuis la date de dernière prise en charge à 12

11

maintien en incapacité, transition de l’incapacité vers l’invalidité et maintien en invalidité.


125

mois au lieu de 3 mois, Cf. Partie 2, Chapitre 1, Section 1.3). Ainsi, le nombre de sinistres censurés

augmentent.

La table a été construite au-delà d’une franchise de 3 mois. De plus, elle a été élaborée en intégrant des

sinistres au titre de maux de dos ou de dépressions où la prise en charge dure au maximum 6 mois. Au

fur et à mesure du temps, les caractéristiques de la base sinistrée (la présence d’une convention

spécifique prenant en compte les maux de dos comme un arrêt de travail, le choix d’une franchise)

peuvent être modifiées dans la mesure où une segmentation peut être rendue possible, et ainsi

diminuer le biais existant autour de 6 mois d’ancienneté.

La table a été raccordée avec une table combinée de trois tables réglementaires issues de l’arrêté du

24/12/2010. L’impact sur le niveau de provisions en raccordant avec une table combinée des trois

nouvelles tables construites par le BCAC n’a pas été mesuré.

Enfin, la méthode de construction peut être améliorée en utilisant une méthode de ré-échantillonnage

par simulation sur les taux estimés par Kaplan-Meier. On pourra se reporter à « Données censurées et

le Bootstrap » Efron [1981].

La deuxième partie de notre mémoire consiste à améliorer les résultats obtenus en répondant à

la problématique sur la sélection des dossiers.

La construction d’un barème pour sélectionner au mieux les dossiers réellement en cours :

A partir d’un historique, nous avons pu retracer la vie des sinistres et déterminer la probabilité qu’un

sinistre soit réellement en cours selon un modèle probabiliste.

Apports :

La détermination d’un nouveau barème dans le calcul des provisions a permis d’une part à diminuer le

nombre de dossiers provisionnés à tort et d’autre part à augmenter le nombre de dossiers qui doivent

être provisionnés. A présent, le niveau de provision est davantage justifié.

Cette étude a apporté à la direction technique une compréhension du système de gestion des sinistres.

Ainsi, nous avons pu cerner le comportement de la gestion et relever des modifications du système de

gestion (l’état d’un sinistre n’est pas renseigné et parfois à tort, pas provisionné).


Au fur et à mesure du temps, des modifications du système de gestion des sinistres (changement de

définition des différents statuts, changement de personnel, etc.) peuvent être effectuées. Une

adéquation du barème à la réalité doit être vérifiée. La mise en place d’outils est nécessaire pour

déceler tous les phénomènes de gestion afin d’adapter le niveau de provisionnement.

Dans notre étude, un dossier est considéré en cours (pertinent) lorsqu’un règlement a eu lieu durant

l’année. Il aurait été envisageable de réappliquer le modèle probabiliste proposé en modifiant le temps

écoulé depuis le dernier versement (par exemple, un an et demi au lieu d’un an).


126

Le modèle probabiliste peut être amélioré en prenant en compte les fréquences des différents statuts

tout au long de la vie d’un sinistre et les relations de dépendance entre eux.

Impact sur le niveau de provisions :

Apports :

En intégrant ces deux nouvelles approches, nous concluons à un sous-provisionnement des sinistres

connus pour le risque d’arrêt de travail. La baisse du taux technique accentue le sous-provisionnement

observé.


Il serait intéressant d’analyser la liquidation des boni/mali par année de survenance et par la

décomposition présentée dans la cinquième partie (d’une part les boni/mali sur les sinistres

provisionnés et d’autre part le mali sur les sinistres non provisionnés).

Nous n’avons pas mesuré le risque d’estimation sur la variable d’intérêt de la compagnie : la provision.

On pourrait calculer les intervalles de confiance à 95 % de la provision afin de mesurer les incertitudes

liées aux fluctuations d’échantillonnage. On pourra se reporter à « Mesurer le risque d’estimation »

Kamega [2011].


127

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http://www.legifrance.gouv.fr/

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http://www.ameli.fr/


129

Annexes

Annexes ......................................................................................................................... 129

Annexe 1 : Sortie du logiciel R (le modèle de Cox : tranche d’âge) ............................................................ 130

Annexe 2 : Exemple de construction de la table du maintien en arrêt de travail à partir des lois du BCAC

pour un âge de 45 ans. ............................................................................................................................... 131

Annexe 3 : Extrait de la table du maintien en arrêt de travail à partir des lois du BCAC. .......................... 132

Annexe 4 : Etudes complémentaires sur les statuts .................................................................................. 133

Annexe 5 : Extraits de quelques programmes effectués dans le cadre de ce mémoire ............................ 141


130

Annexe 1 : Sortie du logiciel R (le modèle de Cox : tranche d’âge)


131

Annexe 2 : Exemple de construction de la table du maintien en arrêt de travail à partir des lois du

BCAC pour un âge de 45 ans.

Age exact à

l’entrée en

incapacité

45 ans et 0 mois

45 ans et 1 mois

45 ans et 2 mois

45 ans et 3 mois

45 ans et 4 mois

45 ans et 5 mois

45 ans et 6 mois

45 ans et 7 mois

45 ans et 8 mois

45 ans et 9 mois

45 ans et 10 mois

45 ans et 11 mois

46 ans 46 ans et 1mois

Ancienneté

en

Incapacité

0 mois 1 mois 2 mois 3 mois 4 mois 5 mois 6 mois 7 mois 8 mois 9 mois 10 mois 11 mois 12 mois 13 mois

Nombre

d’individus

en incapacité

Nombre

d’individus

en invalidité

… … … … … … … … Nombre

d’individus

en arrêt de

travail


132

Annexe 3 : Extrait de la table du maintien en arrêt de travail à partir des lois du BCAC.

25 ans 26 ans 27 ans 28 ans 29 ans 30 ans 31 ans 32 ans 33 ans 34 ans 35 ans 36 ans 37 ans 38 ans

0 mois 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000

1 mois 3 081 3 178 3 252 3 299 3 349 3 387 3 389 3 434 3 468 3 569 3 647 3 703 3 824 3 959

2 mois 2 002 2 113 2 181 2 244 2 274 2 276 2 229 2 240 2 238 2 301 2 334 2 393 2 461 2 528

3 mois 1 346 1 463 1 542 1 602 1 642 1 662 1 620 1 620 1 631 1 688 1 709 1 751 1 808 1 853

4 mois 998 1 089 1 158 1 211 1 248 1 267 1 252 1 257 1 265 1 326 1 361 1 395 1 435 1 482

5 mois 740 814 871 917 958 968 969 979 989 1 039 1 087 1 111 1 154 1 197

6 mois 537 593 645 690 729 748 760 777 789 837 884 913 941 987

7 mois 383 433 479 527 565 590 603 620 639 694 743 782 812 850

8 mois 328 375 410 451 482 502 509 531 552 609 660 695 717 749

9 mois 290 329 364 405 433 449 458 478 497 548 600 632 650 683

10 mois 253 291 326 366 393 408 416 432 446 493 544 578 598 631

11 mois 221 257 294 332 363 376 387 400 411 453 498 528 547 581

12 mois 201 235 272 308 339 352 360 371 382 420 464 491 512 542

13 mois 178 210 247 282 311 323 332 341 354 390 429 456 474 503

14 mois 166 197 233 268 294 303 310 319 333 371 407 429 443 472

15 mois 157 184 219 254 280 286 295 301 312 349 383 404 418 446

16 mois 150 176 209 244 271 277 285 289 298 331 365 385 400 423

17 mois 140 166 199 234 260 268 277 279 286 317 348 366 384 405

18 mois 129 155 190 225 249 256 264 263 269 302 337 356 372 391

19 mois 126 148 182 217 238 246 252 252 256 286 319 334 353 373

20 mois 123 145 176 212 233 238 244 244 248 275 307 323 338 355

21 mois 120 141 171 205 226 230 238 236 241 266 299 312 328 344

22 mois 116 136 167 202 221 224 230 228 230 256 289 305 319 335

23 mois 113 132 164 197 215 218 224 222 224 252 283 296 310 325

24 mois 109 129 160 193 210 214 218 215 216 244 274 287 301 318

25 mois 106 125 152 185 204 204 212 211 210 236 269 281 292 312

26 mois 104 123 149 179 197 198 203 206 206 232 265 276 287 307

27 mois 100 122 148 177 196 195 201 202 202 227 257 268 277 299


133

Annexe 4 : Etudes complémentaires sur les statuts

Annexe 4.1 : Les dossiers sensibles


134

Annexe 4.2 : Les dossiers provisionnés à 50 %


135



136


137



138

Annexe 4.5 : Le statut ALD

Les courbes représentent la même tendance : une forme décroissante et concave. Nous observons

trois plateaux. Ainsi, nous fixons la probabilité de la façon suivante :

é é é


139

Annexe 4.6 : Le statut CLO


140

Annexe 4.7 : Le statut INF

Actuellement, le statut « INF » est provisionné à 80 %. Nous remarquons qu’à partir du T1 de l’année

2012, une baisse de la probabilité calculée pour tous les délais confondus. De ce fait, nous rejetons le

fait de provisionner à 80 % l’ensemble des dossiers dont le statut est « INF ».

Nous représentons les différentes courbes constatées à chaque trimestre.


141

Annexe 5 : Extraits de quelques programmes effectués dans le

cadre de ce mémoire

Annexe 5.1 : Code SAS (calcul de la provision sur les sinistres connus)

%MACRO calcul_PM(age,anc_t,anc_estim); /*1. PARAMETRE*/ %LET tx=0.0125; /*tx d'actualisation*/ %LET age=&age.; %LET anc_t=&anc_t.; %LET anc_estim=&anc_estim.; /*variable muette (intermédiaire)*/ %LET ligne_age=%eval(&age-20+1); /*age_min=20 ans*/ %LET anc=%eval(&anc_t+2); %LET j=%eval(&anc_t+1); %LET k=%eval(&anc_estim-1); %LET anc_estim_v1=%eval(&anc_estim+2); /*2.TABLE DE MAINTIEN*/ data extrait_v0; set import_table_de_maintien (firstobs=&ligne_age. obs=&ligne_age.); run; proc transpose data=extrait_v0 out=extrait_v1; run; data extrait_v2; set extrait_v1 (firstobs=&anc. obs=&anc_estim_v1.); run; proc transpose data=extrait_v2 out=extrait_v3; run; /*3.CALCUL_PM*/ %if &anc_t. = &anc_estim. %then %do; Data PSAP; PSAP=0; run; %end; %else %if &anc_t. = &k. %then %do; data PSAP (keep=anc_&anc_estim. rename=(anc_&anc_estim.=PSAP)); set extrait_v3 ; array qx anc_&anc_estim. ; do i=1 to (dim(qx)); qx(i)=(qx(i)/(2*anc_&anc_t)/(1+&tx)**(i/12)); if qx(i)='' then qx(i)=0; end; run; %end; %else %if &anc_t. ^= &k. %then %do;


142

data PSAP_v1 (keep=anc_&j. - anc_&k.); set extrait_v3 ; array qx anc_&j. - anc_&anc_estim. ; do i=1 to (dim(qx)-1); qx(i)=(qx(i)/(2*anc_&anc_t)/(1+&tx)**(i/12))+(qx(i+1)/(2*anc_&anc_t)/(1+&tx)**((i+1)/12)); if qx(i)='' then qx(i)=0; end; run; proc transpose data=PSAP_v1 OUT=PSAP_v1; run; PROC SQL; CREATE TABLE PSAP AS SELECT (SUM(t1.COL1)) FORMAT=BEST12. AS PSAP FROM PSAP_v1 t1; QUIT; %end; %MEND; /*3.Une macro qui boucle sur la base de données à provisionner*/ %MACRO LOOP_ON_TABLE_PARAMETRE (TABLE_PARAMETRE = ) ; proc sql noprint ; SELECT count(*) INTO : NB_LIGNE_PARAMETRES FROM &TABLE_PARAMETRE ; quit ; %PUT Il y a &NB_LIGNE_PARAMETRES. importations; data _null_ ; set &TABLE_PARAMETRE. (obs = 1 firstobs = 1) ; call symputx ("age", age) ; call symputx ("anc_t", anc) ; call symputx ("anc_estim", anc_total) ; run ; %prog(&age.,&anc_t.,&anc_estim.) ; data fin; set PSAP; RUN; %let LOOP=2; %do %until(&LOOP>&NB_LIGNE_PARAMETRES.); data _null_ ; set &TABLE_PARAMETRE. (obs = &LOOP. firstobs = &LOOP.) ; call symputx ("age", age) ; call symputx ("anc_t", anc) ; call symputx ("anc_estim", anc_total) ; run ; % calcul_PM(&age.,&anc_t.,&anc_estim.) ; data fin ; set fin PSAP; run ; %let LOOP=%eval(&LOOP+1); %end ; data &TABLE_PARAMETRE ;


143

merge &TABLE_PARAMETRE fin; run; DATA &TABLE_PARAMETRE; SET &TABLE_PARAMETRE ; PROVISION_3_pct = PSAP*Montant_echeance*proba(d’être réellement en cours); run; %MEND LOOP_ON_TABLE_PARAMETRE ; % LOOP_ON_TABLE_PARAMETRE (TABLE_PARAMETRE = importer la table ici) ;

Annexe 5.2 : Code R (Estimation des taux bruts)

# Estimation des taux bruts

for (j in 1:(ageMax-min(t$AgeSurvenance_v1)+1)){

t_age_1=subset(t,round(t$AgeSurvenance)== (j+min(t$AgeSurvenance)-1))

d=nrow(t_age_1)

pop_risque[[2]][1]=nrow(t_age_1)

for( i in 1: length(anc)){

c=t_age_1[(t_age_1$non_censure==0)&(t_age_1$AncSortie>anc[i])&(t_age_1$AncSortie<=a

nc[i+1]),]

censure[[2]][i]=nrow(c)

}


c=t_age_1[(t_age_1$non_censure==1)&(t_age_1$AncSortie>anc[i])&(t_age_1$AncSortie<=a

nc[i+1]),]

sortie[[2]][i]=nrow(c)

}


pop_risque[[2]][i+1]=pop_risque[[2]][i]-sortie[[2]][i]-censure[[2]][i]

if (pop_risque[[2]][i+1] <0) {pop_risque[[2]][i+1]=0}

}


q[[2]][i]=(sortie[[2]][i]/pop_risque[[2]][i])

if (pop_risque[[2]][i] == 0) {q[[2]][i]=0}

if (q[[2]][i] < 0) {q[[2]][i]=0}

}

for ( i in 1: length(anc)){

q_na=q[[2]][1:i]

h_hat_na[[2]][i]=sum(q_na)

}


p[[2]][i]=(1-(sortie[[2]][i]/pop_risque[[2]][i]))

if (pop_risque[[2]][i] == 0) {p[[2]][i]=0}

if (p[[2]][i] < 0) {p[[2]][i]=0}

}


144


q_v1=p[[2]][1:i]

survie[[2]][i]=prod(q_v1)

}


var_1[[2]][i]=sortie[[2]][i]/(pop_risque[[2]][i]*(pop_risque[[2]][i]-sortie[[2]][i]))

}


var_v1=var_1[[2]][1:i]

var_v2[[2]][i]=sum(var_v1)

}


var_NA_1[[2]][i]=sortie[[2]][i]/(pop_risque[[2]][i]*pop_risque[[2]][i])

}


var_NA_v1=var_NA_1[[2]][1:i]

var_NA_v2[[2]][i]=sum(var_NA_v1)

}

d_x[j,]=sortie[[2]]

n_x[j,]=pop_risque[[2]]

tx_sortie_KM[j,]=q[[2]]

S_hat_KM[j,]=survie[[2]]

var_green_KM[j,]=survie[[2]]*survie[[2]]*var_v2[[2]]

neta[j,]=var_v2[[2]]

variance_NA[j,]=var_NA_v2[[2]]

log_var_green[j,]=log(survie[[2]]*survie[[2]]*var_v2[[2]])

H_hat_NA[j,]=h_hat_na[[2]]

S_hat_NA[j,]=exp(-h_hat_na[[2]])

}

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