Table des matières

1 Nombres complexes, Projection stéréographique 11.1 Applications C-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Projection stéréographique et sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . 3

2 Propriétés élémentaires et exemples de fonctions holomorphes 62.1 Conditions de Cauchy–Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Integration curviligne et applications aux fonctions holomorphes 103.1 Chemins et lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Intégrale le long d’un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Résultats locaux et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Exponentielle, argument et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Détermination continue de l’argument et du logarithme . . . . . 233.3.2 La détermination principale de l’argument et du logarithme sur

C n R�: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.3 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Le théorème des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum. . . 26

3.5.1 Théorème de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.2 Le théorème de l’application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5.3 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5.4 Le théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Formule de Cauchy globale et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.1 Indice d’un point par rapport à un lacet . . . . . . . . . . . . . . 303.6.2 Une méthode de calcul de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6.3 Formule de Cauchy globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6.4 Cycles, domaines simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.7 Formule de Cauchy globale et applications . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7.1 Développement en série de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7.2 Singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7.3 Calcul pratique des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7.4 Formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7.5 Application au calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8 Applications conformes, Transformation homographiques et Automor-phismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8.1 Homographies (ou transformation de Möbius) . . . . . . . . . . . 493.8.2 Caractérisation des domaines simplement connexes . . . . . . . . 52

References : W. Rudin : Analyse réelle et complexe, Dunod (3eme edition) 2009.

i

Lars V. Ahlfors : Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966.Henri Cartan : Théorie élémentaire des fonctions analytiques.D’une ou plusieurs variables complexes, (6eme edition) Hermann, 1997.

ii

Chapitre 1

Nombres complexes, Projectionstéréographique

On peut définir sur l’espace vectoriel R2; des couples ordonnés .x;y/ de réels , unemultiplication par :

.x1;y1/:.x2;y2/ D .x1x2 � y1y2;x1y2 C x2y1/:

Ainsi, muni de cette multiplication et de l’addition des vecteurs R2 est un corps com-mutatif, noté C, appelé le corps des nombres complexes.

En posant 1 WD .1; 0/ et i WD .0; 1/, on aura .x;y/ D x.1; 0/C y.0; 1/ D x C iy; etC D fx C iy;x;y 2 Rg:

1. Pour ce produit on a : 12 D 1:1 D 1 et i2 D i:i D �1:

2. Pour x et y réels et z D xC iy on définit Re z D x sa partie réelle et Im z D y sapartie imaginaire,

3. le nombre complexe Nz D x � iy est le conjugué de z

4. jzj D k.x;y/k2 Dp

x2 C y2 Dp

z Nz est le module de z

5. on a

Re z Dz C Nz

2; Im z D

z � Nz

2i; jzj2 D z Nz

6. Pour z 6D 0, on a z�1D

1

zDNz

jzj2:

7. pour z; w 2 C on a

z ˙ w D Nz ˙ Nw; zw D Nz Nw; z=w D Nz= Nw; jz C wj � jzj C jwj:

8. R est identifié au sous-ensemble fz 2 C j Im.z/ D 0g:

1.1 Applications C-linéaires

Soit L W C! C, une application C-linéaire, alors pour tout z 2 C,L.z/ D z:L.1/ D wz, où w D L.1/: Si w 6D 0, on écrivant w D �ei� , on obtientL.z/ D L.xC iy/ D �.cos �C i sin �/.xC iy/ D �.x cos ��y sin �/C i�.x sin �Cy cos �/

1

La matrice représentative de L dans la base canonique f1; ig est alors :�� cos � �� sin �� sin � � cos �

�c’est la matrice d’une similitude vectorielle directe, le produit d’une homothétie derapport � et d’angle � . Le déterminant est égal à �2 > 0, une telle transformationconserve l’orientation et les angles.

Question : Sous-quelles condition une application R-linéaire L W R2 ! R2 estC-linéaire ? La réponse est donnée par :

Proposition 1.1.1. Soit L W R2 ! R2 une application R-linéaire. Les conditions sui-vantes sont équivalentes :

1. L est C-linéaire.2. L.i/ D iL.1/:

3. Il existe un nombre complexe w 2 C, tel que L.z/ D wz, pour tout z 2 C i.e. L

est une similitude.

4. La matrice représentative de L dans la base canonique de R2 est de la forme�� ��

� �

�où �;� 2 R:

Démonstration 1.1.1. les implications 1 ) 2 ) 3 sont immédiates,3 ) 4 résultede la discution précédente . On va montrer que 4 ) 1: Soit L W R2 ! R2 est uneapplication R-linéaire, qui est représentée dans la base canonique de R2 par une matrice

A D

�� ��

� �

�où �;� 2 R:

Alors, L.z/ D L.x;y/ D A

�x

y

�D

�� ��

� �

��x

y

�D .�x � �y; �x C �y/ D .�x �

�y/C i.�x C �y/ D wz où w D �C i�:

Ainsi, pour tout z 2 C on a L.z/ D wz, d’où L est C-linéaire.

C est muni de la topologie associée à la norme jzj Dp

x2 C y2 W la distance de deuxnombres complexes z et w est jz�wj: Une suite de nombres complexes zn converge versz si et seulement si jzn�zj ! 0 ou si et seulement si les suites réelles xn D Re zn et yn D

Im zn des parties réelles et imaginaires convergent vers Re ez et Immz respectivement.Une partie ˝ � C est ouverte si et seulement si, pour tout z 2 ˝, il existe un réel

r > 0 tel que le disque D.zI r/ D fw 2 ˝jjz�wj < rg soit entièrement contenu dans ˝:Soit ˝ � C: Une fonction f de ˝ dans C s’identifie à un couple de fonctions de ˝

dans R; en décomposant f .z/ en partie réelle et partie imaginaire : f .z/ D P .z/CiQ.z/:

En identifiant ˝ à un sous-ensemble de R2, f peut être considérée comme un couplede fonctions de deux variables réelles .x;y/ à valeurs dans R W

f .x C iy/ D P .x;y/C iQ.x;y/ (1.1)

Réciproquement, à tout couple .P;Q/ de fonctions de deux variables réelles .x;y/ 2˝ à valeurs dans R; la formule ci-dessus fait correspondre une fonction de ˝, considérécomme sous-ensemble de C; dans C:

Exemples d’applications du plan complexeExemple 1 Soit a D ˛ C iˇ (ou bien a D �.cos � C i sin �/) un nombre complexe

non nul. L’application fa W C! C qui à z associe fa.z/ D a:z; s’écrit fa.z/ D P .x;y/C

2

iQ.x;y/ avec P .x;y/ D ˛x � ˇy et Q.x;y/ D ˇx C ˛y: On peut aussi voir fa commeune application de R2 dans R2 qui à .x;y/ associe .X;Y / D .˛x�ˇy; ˇxC˛y/ ou sousforme matricielle�

X

Y

�D

�˛ �ˇ

ˇ ˛

��x

y

�D

�X

Y

�D �

�cos � � sin �sin � cos �

��x

y

�C’est une similitude d’angle � D argument.a/ et de rapport � D jaj:

Exemple 2 Soit f W C � f1g ! C l’application définie par f .z/ Dz C 1

z � 1:

Soit y 2 R, alors f .iy/ Diy C 1

iy � 1D

iy C 1

iy � 1:�iy � 1

�iy � 1D

y2 � 1

y2 C 1� i

2y

y2 C 1

Si on pose u Dy2 � 1

y2 C 1et v D �

2y

y2 C 1on obtient u2Cv2 D 1 c-à-d que .u; v/ est un

point du cercle C D C..0; 0/; 1/ de centre .0; 0/ et de rayon 1: et réciproquement pour

tout point .u; v/ 2 C..0; 0/; 1/ il existe y 2 R telle que u Dy2 � 1

y2 C 1et v D �

2y

y2 C 1:

Donc l’image par f de l’axe imaginaire iR D fz D iyIy 2 Rg est le cercle unité.

Exercice 1.1.1. Montrer que l’image par l’application f .z/ D z2 de la droite verticale

Da D fz D aC iy 2 CIy 2 Rg, a 2 R� est la parabole d’équation X D a2 �Y 2

4a2:

Faire de même pour les droites horizontales Db D fz D x C ib 2 CIx 2 Rg, b 2 R�:

Continuité

Soit ˝ � C; a 2 ˝ et soit f une application de ˝ dans C.On dit que f est continue en a lorsque :

8� > 0 9r > 0 W 8z 2 ˝ \D.aI r/; jf .z/ � f .a/j < �

f est continue dans ˝ lorsqu’elle est continue en chaque point a de ˝:Sommes, produits et quotients (lorsqu’ils sont définis) de fonctions continues sont

continus.les fonctions usuelles, z 7! Re z, z 7! Im z, z 7! Nz, z 7! jzj, z 7! zn, z 7! Nzn ( n 2 N)

et celles qu’on peut former par sommes, produits, quotients à partir de celles-ci, sontcontinues. En particulier, les polynômes, les fractions rationnelles sont continus.

1.2 Projection stéréographique et sphère de Riemann

On définit, une application de la sphère unité de R3, S2 D fZ D .x1;x2;x3/ 2

R3 jx21Cx2

2Cx2

3D 1g, privée d’un point, par exemple le pôle nord N D .0; 0; 1/, sur le

plan complexe C, identifié à R2�f0g, de la façon suivante : à tout point Z de la sphère,différent de N on associe l’unique point de l’intersection de la droite NZ avec C: Cetteapplication est appelée La projection Stéréographique notée �N et son expression estdonnée par

�N W S2 n fN g �! C

Z D .x1;x2;x3/ 7! z Dx1 C ix2

1 � x3

et son application inverse est définie par ��1N .z/ D

2Re z

1C jzj2;

2 Im z

1C jzj2;jzj2 � 1

jzj2 C 1

!:

3

En effet, si Z D .x1;x2;x3/ 6D N , alors le point z D .a; b; 0/ d’intersection de ladroite NZ avec le plan R2�f0g est défini par l’existence d’un réel � tel que NZ D �Nz

i.e. .x1;x2;x3 � 1/ D �.a; b;�1/: Ceci nous donne, � D 1 � x3, a D x1

1�x3et b D x2

1�x3:

Inversement , pour z D a C ib, la relation .x1;x2;x3 � 1/ D �.a; b;�1/, nousdonne x3 D 1 � �, x2 D �b et x1 D �a, comme .x1;x2;x3/ 2 S2, on aura en plus1 D x2

1C x2

2C x2

3D �2.a2C b2/C .1� �/2, d’où on obtient que � D 2

a2Cb2C1D

2jzj2C1

et donc x1 D2ajzj2C1

D2 Re z1Cjzj2

et x2 D2bjzj2C1

D2 Im z1Cjzj2

et finalement x3 Djzj2�1

jzj2C1:

Remarque 1.2.1. Les images des méridiens par la projection stéréographique sont desdemi-droites issues de l’origine et celles des parallèles des cercles centrés en l’origine.

Pour voir ceci, on passe en coordonnées sphériques. Un point Z 2 S2 est représentépar .ei� cos�; sin�/ avec � 2 Œ0; 2�� et � 2 Œ��

2; �

2�:

L’équation d’un méridien est alors de la forme � D �0, et son image par �N est l’en-

semble�

z D ei�0

�cos�

1 � sin�

� ˇ̌� 2 Œ�

�

2;�

2�

�, c’est l’équation de la demi-droite issue de

l’origine et de direction ei�0 :

De même, l’équation d’un parallèle est de la forme � D �0, (�0 6D ˙�2) et son

image par �N est l’ensemble�

z D ei�

�cos�0

1 � sin�0

� ˇ̌� 2 Œ0; 2��

�, c’est l’équation du

cercle centré en l’origine et de rayonˇ̌̌̌

cos�0

1 � sin�0

ˇ̌̌̌:

On voit, des expressions analytiques de �N et ��1N

, qu’elles sont continues ( et mêmeC1), donc le plan complexe est homéomorphe à la sphère privée d’un point, ainsi onpourrait rendre le plan complexe compact en lui adjoignant un point. En outre, on alimjzj!C1 ��1

N.z/ D .0; 0; 1/; le pôle nord représente donc le point à l’infini de C:

On note 1 le point qu’on adjoint à C et bC D C [ f1g: On étend la projectionstéréographique en une bijection de S2 sur bC en envoyant N sur 1: On munit bC de latopologie la moins fine qui rende �N et ��1

Ncontinues. On obtient

Théorème 1.2.1. bC est homéomorphe à la sphère S2, appelée sphère de Riemann.

Remarque 1.2.2. Pour z0 2bC, si z0 6D 1 une base de voisinages ouverts est donnée

par les disques D.z0; r/ D fz 2 C j jz D z0j < rg, r 2 R�C, mais si z0 D 1 une basede voisinages ouverts est donnée par les ensembles de la forme fz 2 C j jzj > rg [ f1g,r 2 R�C:

4

Exercice 1.2.1. Montrer que la topologie sur bC est induite par la métrique définie par :pour z1; z2 et z 2 C

d.z1; z2/ D2jz1 � z2jp

.1C jz1j2/.1C jz2j

2/; d.z;1/ D

2p1C jzj2

:

5

Chapitre 2

Propriétés élémentaires et exemplesde fonctions holomorphes

Définition 2.0.1. Soit ˝ un ouvert de C et f W ˝ ! C une fonction.

1. On dit que f est C-dérivable en a 2 ˝ si la limite du quotient f .aCh/�f .a/h

existelorsque h 6D 0 tend vers 0: Dans ce cas on note par f 0.a/ la limite.

2. On dit que f est holomorphe sur ˝ si elle est C-différentiable en tout point de˝:

On notera H.˝/ l’espace des fonctions holomorphes sur l’ouvert ˝:

Exemple 2.0.1.

Proposition 2.0.1. Soit .an/n2N une suite de nombres complexes. On définit le nombreR 2 R par

R D1

lim sup janj1=n

:

1. Alors, pour tout a 2 C la série entière1X

nD0

an.z � a/n converge absolument sur le

disque jz � aj < R et converge normalement sur le disque jz � aj � r pour r < R.

2. La suite an.z � a/n n’est pas bornée si jz � aj > R, d’où la série diverge .

Ainsi, les points de convergence jz � aj < R et peut être sur le cercle jz � aj D R. R

est appelé le rayon de convergence de la série.

Démonstration 2.0.1. Soit r < R et Qr 2�r;RŒ. Alors, 1= Qr > lim sup janj1=n, d’où

janj1=n < 1= Qr pour n assez grand. Pour un tel n, janj < 1= Qrn et donc

supjz�aj<r

jan.z � a/nj < .r= Qr/n:

CommeX

.r= Qr/n <1 on aura la convergence normale sur fz 2 C j jz � aj < rg:

Si jz� aj D r > R, on prend Qr 2�R; r Œ. Alors il existe une infinité de n tel que janj1=n �

1= Qr . D’où jan.z � a/nj � .r= Qr/n, qui tend vers 1.

6

Si f .z/ DP

an.z�a/n, alors, sur le disque de convergence on a, f 0.z/ DP

nan.z�

a/n�1, et par récurrence, pour tout k 2 N�, on a f .k/.z/ DP

n.n�1/ : : : .n�kC1/an.z�

a/n�k . Ainsi, a0 D f .a/, a1 D f 0.a/, a2 Df 00.a/

2,: : :, an D

f .n/.a/n!

,. Ceci montre quesur le disque de convergence on a, f est égale à sa série de Taylor :

f .z/ DXn�0

f n.a/

n!.z � a/n:

Définition 2.0.2. Une fonction f W ˝ ! C est une fonction analytique sur ˝ si

pour tout a 2 ˝ il existe ra > 0 et une série entière1X

nD0

anzn de rayon de convergence

� ra tels que : D.a; ra/ � ˝ et f .z/ D1X

nD0

an.z � a/n en tout point z 2 D.a; ra/:

On a donc

Théorème 2.0.2. Toute fonction analytique sur un ouvert de C est une fonction holo-morphe. De plus ses dérivées successives sont elles aussi des fonctions analytiques surcet ouvert.

Remarque 2.0.3. On vera plus tard qu’une fonction holomorphe est automatique ana-lytique. Ainsi, une fonction holomorphe ne sera pas seulement dérivable, mais de classeC1: Ce point est radicalement différent du cas réel.

Exemple 2.0.2. La sérieP1

nD0zn

n!converge pour tout z 2 C . Sa somme est, par

définition, la fonction exponentielle exp z. Donc, la fonction exp W C ! C est unefonction holomorphe.

Exemple 2.0.3. La conjugaison complexe, i.e. la fonction C ! C définie par z 7! z

n’est pas C-différentiable en 0. En effet, zzn’a pas de limite lorsque h tend vers 0; puisque

la limite vaut 1 si h 2 R et �1 si h 2 iR:

Les règles algébriques de dérivation des fonctions C-dérivables sont identiques à cellesdes fonctions d’une variable réelle à valeurs dans R, avec les mêmes démonstrations.

Proposition 2.0.2. 1. Une fonction C-différentiable en un point y est continue.2. Si f et g sont C-différentiables en un point il en est de même de fg et de �f C�g

où �;� 2 C:

3. Si g.a/ 6D 0, alors fgest C-différentiable en a et

�fg

�0.a/ D f 0.a/g.a/�g0.a/f .a/

g2.a/:

4. Si f est C-différentiable en a et g en f .a/ alors g ı f est C-différentiable en a

et .g ı f /0.a/ D f 0.a/g0.f .a//:

Définition 2.0.3. On appelle domaine de C un ouvert connexe.

Lemme 2.0.1. soit ˝ un domaine et f 2 H.˝/: Les conditions suivantes sont équiva-lentes :i) f est constante sur ˝:

7

ii) f 0.z/ D 0 pour tout z 2 ˝:

Démonstration 2.0.2. i/ H) i i/ évidenti i/ H) i/ En effet, la condition entraîne que les dérivées partielles de f sont nulles

sur ˝, ainsi f est constante puique ˝ est connexe (conséquence de l’inégalité des ac-croissements finis).

2.1 Conditions de Cauchy–Riemann

Soit f W ˝ ! C avec ˝ � C ouvert. Par abus de notation on écrit f .x;y/ à la placede f .x C iy/. Si f 0.z/ existe en z D x C iy 2 ˝, alors

f 0.z/ D limh2Rh!0

f .z C h/ � f .z/

hD lim

h2Rh!0

f .x C h;y/ � f .x;y/

hD@f

@x;

etf 0.z/ D lim

h2Rh!0

f .z C ih/ � f .z/

ihD lim

h2Rh!0

�if .x;y C h/ � f .x;y/

hD �i

@f

@y:

Ainsi la C-dérivabilité de f en z entraîne non seulement que les dérivées partielle de fen z existent, mais aussi qu’elles vérifient l’équation suivante dite de Cauchy–Riemann :

@f

@xC i

@f

@yD 0:

Si f D P C iQ, avec P D Ref et Q D Imf alors cette équation est équivalente ausystème

@P

@xD@Q

@y;

@Q

@xD �

@P

@y:

Une autre façon, très pratique de présenter cela est

@f

@zWD

1

2

�@f

@x� i

@f

@y

�;

@f

@NzWD

1

2

�@f

@xC i

@f

@y

�:

Cette présentation est motivée par les relations x D zCNz2

, y D z�Nz2i

, @z@zD 1, @ Nz

@zD 0,

@z@ NzD 0 et @ Nz

@ NzD 1: Alors, les conditions de Cauchy–Riemann sont équivalentes à :

@f

@NzD 0

L’opérateur différentiel, @@ NzWD

12

�@@xC i @

@y

�est appelé opérateur de Cauchy-Riemann.

Réciproquement, si f W ˝ ! C est une fonction différentiable en tant que fonctionde x et y; et a 2 ˝, on en déduit des relations entre x, y, z et Nz, que pour h au voisinagede 0 :

f .aC h/ D f .a/C@f

@z.a/hC

@f

@Nz.a/ NhC o.jhj/:

D’où, si @f@ Nz.a/ D 0, f est C-différentiable en a et la différentielle de f est une

similitude df .a/h D @f@z.a/:h.

En résumé on a

8

Théorème 2.1.1. Soit ˝ un ouvert de C et f W ˝ ! C: les condition suivantes sontéquivalentes :

1. f est holomorphe sur ˝:

2. f est R-différentiable sur ˝ et vérifie la condition de Cauchy–Riemann @f@ NzD 0

en tout point.

3. f est R-différentiable sur ˝ et sa différentielle en tout point est une similitude.

Remarque 2.1.1. Le théorème peut être affaibli en ne supposant que la continuité def sur ˝, l’existence des dérivées partielles et la conditions de Cauchy–Riemann (sanssupposer que f est différentiable comme fonction des variables x et y), alors f estholomorphe sur ˝. C’est le théorème de Looman–Menchoff (voir le livre de Narasimhan,Complex Analysis in One Variable (edition Birkhauser))

Remarque 2.1.2. On notera que

@

@z

@

@NzD

@

@Nz

@

@zD

1

4�:

où est l’opérateur laplacien � WD @2

@x2 C@2

@y2 :

Par suite, si f 2 H.˝/ \ C 2.˝/, f D P C iQ alors

�f D 4@

@z

�@f

@Nz

�D 0

d’où �P D �Q D 0 i.e. P et Q sont des fonctions harmoniques. Les parties réelle etimaginaire d’une fonction holomorphe, sont des fonctions harmoniques. On a supposéque f est holomorphe et de classe C 2, on verra par la suite que cette dernière hypothèseest superflue, puisqu’une fonction holomorphe est automatiquement de classe C1:

9

Chapitre 3

Integration curviligne etapplications aux fonctionsholomorphes

3.1 Chemins et lacets

Définition 3.1.1. Un chemin ou courbe est, par définition, une application continue W I ! C d’un intervalle fermé et borné I de R (non réduit à un point) dans C:

Le chemin est dit C 1 par morceaux si on peut subdiviser l’intervalle I D Œa; b� en unnombre fini de sous-intervalles a D a0 < a1 < � � � < an D b tel que i D jŒai ;aiC1� soitde classe C 1 i.e. 0i est continue sur Œai ; aiC1�, pour tout 0 � i � n � 1:

Le point .a/ (resp. .b/) est appelé l’origine (resp. l’extrémié) du chemin :Un lacet est un chemin W Œa; b�! C tel que .a/ D .b/:On dit qu’un chemin est contenu dans un sous-ensemble A de C, son image .I/ estcontenue dans A:

Dans toute la suite, sauf mention contraire, tous les chemins seront supposéscontinus et C 1 par morceaux.

On dit qu’un lacet est simple si .t/ 6D .t 0/, pour tout t; t 0 2�a; bŒ tels que t 6D t 0

i.e. j�a;bŒ est injective.Le théorème de Jordan suivant, exprime une chose qui est intuitivement évidente

mais, dont la démonstration est étonnament difficile.

Théorème 3.1.1 (de Jordan). Le complémentaire C n .Œa; b�/; d’un lacet simple ,a deux composantes connexes, l’une bornée (appelée l’intérieur de la courbe) et l’autren’est pas bornée (appelée l’extérieur de la courbe) .

Par convention, l’orientation positive de est telle que quand on se déplace le longdu lacet la composante bornée est à gauche.

10

!"#$%&'()*'+%,!&*

),-'!"#$%&'()*'),-'+%,!&* +%,!&*'()*'),-'!"#$%&

!"#$%&'()*'),-'+%,!&*

Chapter 4 : Complex Integrals 4–3

(2) Usually, we do not distinguish between the curve and the function !, and simply refer to thecurve !.

Definition. A curve ! : [A, B] ! C is said to be simple if !(t1) "= !(t2) whenever t1 "= t2, with thepossible exception that !(A) = !(B). A curve ! : [A, B] ! C is said to be closed if !(A) = !(B).

4.2. Contour Integrals

Definition. A curve ! : [A, B] ! C is said to be an arc if ! is di!erentiable in [A, B] and ! ! iscontinuous in [A, B].

Example 4.2.1. The unit circle is a simple closed arc, since we can described it by ! : [0, 2"] ! C,given by !(t) = eit = cos t + i sin t. It is easy to check that !(t1) "= !(t2) whenever t1 "= t2, the onlyexception being !(0) = !(2"). Furthermore, ! !(t) = # sin t + i cos t is continuous in [0, 2"].

Definition. Suppose that C is an arc given by the function ! : [A, B] ! C. A complex valued functionf is said to be continuous on the arc C if the function #(t) = f(!(t)) is continuous in [A, B]. In thiscase, the integral of f on C is defined to be

(1)

!

C

f(z) dz =

! B

A

f(!(t))! !(t) dt.

Remarks. (1) Note that (1) can be obtained by the formal substitution z = !(t) and dz = ! !(t) dt.

(2) If we describe the arc C in the opposite direction from t = B to t = A, this opposite arc canbe designated by #C. Since

! A

B

f(!(t))! !(t) dt = #! B

A

f(!(t))! !(t) dt,

we have

!

"C

f(z) dz = #!

C

f(z) dz.

II.1 Complex Line Integrals 75

Examples

(1) The length of the curve connecting z and w is

l(!) = |z ! w| .

(2) The arc length of a k-fold covered unit circle is

l("k) = 2# |k| .

Now we shall list the fundamental properties of complex line integrals.The proofs all follow immediately from properties (1) – (5) of the integral! b

af(x) dx.

Remark II.1.5 The complex line integral has the following properties:

1.!

!f is C-linear in f .

2. The “standard estimate”""""#

!

f($) d$

"""" " C · l(!), if |f($)| " C for all $ # Image ! .

3. The line integral generalizes the ordinary Riemannian integral (or theintegral of regulated functions). If

! : [a, b] !$ C , !(t) = t ,

then !!(t) = 1, and for any continuous f : [a, b] $ C:

#

!

f($) d$ =

# b

a

f(t) dt .

4. Let ! : [c, d] $ C be a piecewise smooth curve and

f : D !$ C, Image ! % D & C ,

a continuous function, and

% : [a, b] !$ [c, d] ( a < b , c < d )

a continuously di!erentiable function with %(a) = c , %(b) = d . Thenwe have #

!

f($) d$ =

#

!""

f($) d$ .

5. Letf : D !$ C , D & C open ,

be a continuous function, which has a primitive F (i.e. F ! = f). Thenfor any smooth curve ! in D

#

!

f($) d$ = F$!(b)

%! F

$!(a)

%.

76 II Integral Calculus in the Complex Plane C

From the last point in the remark follows:

Theorem II.1.6 If a continuous function f : D $ C, D & C open, has aprimitive then #

!

f($) d$ = 0

for any closed piecewise smooth curve ! in D.

(A curve ! : [a, b] $ C is called closed, if !(a) = !(b).)

Remark II.1.7 Let r > 0 and

!(t) = r exp(it) , 0 " t " 2# ,

(a simple circle covered “anti-clockwise”). Then for n # Z

#

!

$n d$ =

&0 for n '= !1 ,

2#i for n = !1 .

Corollary II.1.71 In the domain D = C• the (continuous) function

f : D !$ C , z (!$ 1

z,

does not have any primitive.

Otherwise, because of II.1.6, the integral over any closed curve in C• wouldhave to vanish. However, #

!

1

$d$ = 2#i

for the circle line (parametrized in positive trigonometric sense)

! : [0, 2#] !$ C• ,

t (!$ r exp(it) (r > 0) .

Proof of II.1.7. In case of n '= !1 the function f(z) = zn has the primitive

F (z) =zn+1

n + 1. Therefore its integral over any closed curve vanishes. For n =

!1, however, we have

Figure 3.1 – lacet simple lacet non-simple

Exercice 3.1.1. i) Si l’application est constante dans I , .I/ est réduit à un pointde C. On dit dans ce cas que c’est un lacet constant.

ii) Soit ˛ 2 R et ˛ W I D Œ0; 1�! C le chemin défini par ˛.t/ D e2i�˛t :

Alors ˛.I/ � C D fz 2 CI jzj D 1g:

Si ˛ D n 2 Z�; n.I/ D C , mais, tout point du cercle est obtenu pour jnj valeursdistinctes de t . On dit que le cercle unité est parcouru jnj fois.

�

Cet exemple montre qu’il est essentiel de ne pas confondre un chemin et sonimage .I/:

Définition 3.1.2. Un chemin Q W Œ Qa; Qb� ! C est un reparamétrage du chemin W

Œa; b� ! C; s’il existe deux subdivisions a D t0 < t1 < � � � < tn D b et Qa D s0 <

s1 < � � � < sn DQb, pour tout 0 � i � n � 1, des difféomorphismes de classe C 1,

�i W Œti ; tiC1�! Œsi ; siC1� avec �0i.t/ > 0 et .t/ D Q .�.t//:Dans ce cas les chemins et Q ont la même image et la même orientation.

On change l’orientation, du chemin , en utilisant des changements de paramétri-sation �i telle que �0i.t/ < 0: Par exemple en prenant �i.t/ D tiC1 C ti � t , dans ce cason note � le chemin obtenu. C’est le chemin parcouru en sens inverse.

Etant donnés deux chemins 1 W Œa; b�! C: et 2 W Œc; d �! C: tels que l’origine 2.c/

de 2 soit l’extrémité de 1.b/ de 1: On appelle juxtaposition (ou joint) de 1 et 2,noté 1 _ 2, le chemin Œa; b C d � c�! C défini comme suit :

1 _ 2.t/ D

( 1.t/ si a � t � b;

2.t � b C c/ si b � t � b C d � c:(3.1)

Remarque 3.1.1. Pour tout chemin , _ . �/ est un lacet.

3.1.1 Intégrale le long d’un chemin

Définition 3.1.3. Soit f W ˝ ! C continue définie sur un ouvert ˝ de C; et WŒa; b�! C un chemin C 1 par morceaux tel que .Œa; b�/ � ˝:

L’expression

Z

f .z/ dz WD

n�1XiD0

Z aiC1

ai

f . .t// 0.t/ dt (3.2)

est appelée l’intégrale de f le long du chemin :

Proposition 3.1.1. Pour des fonctions continues f , g, des constantes c1, c2, et deschemins , 1, 2, on a

11

i)R .c1f C c2g/.z/ dz D c1

R f .z/ dz C c2

R g.z/ dz

ii)R � f .z/ dz D �

R f .z/ dz

iii)R 1_ 2

f .z/ dz DR 1f .z/ dz C

R 2f .z/ dz

vi) Si W Œa; b�! C est un lacet constant, alorsR f .z/ dz D 0:

Exercice 3.1.2. Démontrer cette proposition.

Proposition 3.1.2. Si Q est un reparamétrage de , alorsZQ

f .z/ dz D

Z

f .z/ dz:

pour toute fonction continue f définie dans un ouvert contenant l’image de qui estaussi l’image de Q :

Démonstration 3.1.1. On peut, quitte à subdiviser Œa; b�, supposer que est de classeC 1: Alors,

R f .z/ dz D

R ba f . .t//

0.t/ dt: Comme D Q ı�, on a 0.t/ D Q .�.t//:�0.t/:Soit s D �.t/ la nouvelle variable, alors s D Qa losque t D a et s D Qb losque t D b ainsiR f .z/ dz D

R ba f . .t//

0.t/ dt DR b

a f . Q .�.t/// Q .�.t//:�0.t/ dt D

R QbQa f . Q .t// Q

0.t/ dt DRQ f .z/ dz:

Exemple 3.1.1. On veut évaluerR x dz, où est le segment d’origine z D 0 et

d’extrémité z D 1C i:

Dans ce cas, on peut choisir le paramétrage du chemin W Œ0; 1� ! C, donnée par .t/ D t C i t et la fonction f à intégrer est f W C! C définie par f .z/ D x D Re.z/:

Alors,Z

f .z/ dz D

Z

x dz D

Z 1

0

x ı .t/ 0.t/ dt D

Z 1

0

Re. .t// 0.t/ dt

d’oùZ

x dz D

Z 1

0

t.1C i/ dt D1C i

2

Exemple 3.1.2. Soit n 2 Z , r > 0 et z0 2 C: On note CC.z0; r/ le cercle de centrez0 et de rayon r , orienté dans le sens positif. Une paramétrisation est donnée par WŒ0; 2��! C, telle que .t/ D z0 C reit .

On va montrer :Z

CC.z0;r/

.z � z0/m dz D

(0 si m 6D �1

2i� si m D �1

En effet, 0.t/ D i reit , etR

C.z0;R/C.z � z0/

m dz DR 2�

0 . .t/ � z0/m 0.t/ dt DR 2�

0 .reit /m i reit dt D i rmC1R 2�

0 ei.mC1/t dt D

(0 si m 6D �1

2i� si m D �1

Notation : Soient z1 et z2 deux points de C on note par Œz1; z2� le segment d’originez1 et d’extrémité z2 avec la paramétrisation Œz1; z2� D fz1 C t.z2 � z1/ j t 2 Œ0; 1�g:

Pour une fonction f continue sur Œz1; z2� on note parZ z2

z1

f .w/ dw l’intégrale de f

le long de du chemin Œz1; z2� i.e.Z z2

z1

f .w/ dw D .z2 � z1/

Z 1

0

f .z1 C t.z2 � z1// dt:

12

On rappelle que la longueur d’un chemin de classe C 1, D x C iy W Œa; b�! C, estdéfinie par

�. / D

Z b

a

j 0.t/j dt D

Z b

a

qx0.t/2 C y0.t/2 dt (3.3)

Comme dz D dx C idy, on aura jdzj D j 0.t/j dt Dp

x0.t/2 C y0.t/2 dt et ainsi�. / D

R ba j

0.t/j dt DR jdzj: Le résultat suivant donne un moyen important d’estimer

les intégrales.

Proposition 3.1.3. Soit f W ˝ ! C une fonction continue et W Œa; b� ! ˝ unchemin.

On a ˇ̌̌ Z

f .z/ dzˇ̌̌�

Z

jf .z/j jdzj (3.4)

où la dernière expression est définie parZ

jf .z/j jdzj D

Z b

a

jf . .t//j:j 0.t/j dt:

Soit M � 0 telle que jf .z/j �M pour tout z dans l’image de ; alorsˇ̌̌ Z

f .z/ dzˇ̌̌�M�. / (3.5)

Démonstration 3.1.2. Pour une fonction à valeurs complexes g.t/ D u.t/ C iv.t/

définie dans Œa; b�; on a

Re

Z b

a

g.t/ dt

!D

Z b

a

Reg.t/ dt (3.6)

car,R b

a g.t/ dt DR b

a u.t/ dt C iR b

a v.t/ dt:

On va utiliser cette remarque pour montrer queˇ̌̌ Z b

a

g.t/ dtˇ̌̌�

Z b

a

jg.t/j dt (3.7)

PosonsR b

a g.t/ dt D rei� où r � 0 et � sont deux réels fixés.Alors,

r D Re.r/ D ReZ b

a

e�i�g.t/ dt D

Z b

a

Re.e�i�g.t// dt (3.8)

D’autre part, Re.e�i�g.t// � je�i�g.t/j D jg.t/j; d’oùR b

a Re.e�i�g.t// dt �R b

a jg.t/j dt

et par suiteˇ̌̌ Z b

a

g.t/ dtˇ̌̌D r �

Z b

a

jg.t/j dt , par conséquentˇ̌̌ R f .z/ dz

ˇ̌̌D

ˇ̌̌ R ba f . .t//

0.t/ dtˇ̌̌�R b

a jf . .t// 0.t/j dt D

R jf .z/j jdzj Si jf . .t//j �M , alors

Z b

a

jf . .t// 0.t/j dt �M

Z b

a

j 0.t/j dt DM�. /:

13

3.1.2 Primitives

Définition 3.1.4. Soit f W ˝ ! C une fonction continue, ˝ un ouvert de C:Une primitive de f dans ˝ est une fonction holomorphe F W ˝ ! C telle que F 0 D f:

Remarque 3.1.2. Une primitive d’une fonction continue dans un ouvert est une fonc-tion holomorphe dont la dérivée f 0 est continue i.e. est C 1 au sens complexe.

Théorème 3.1.2. Soit f W ˝ ! C une fonction continue dans un domaine ˝ � C:Les conditions suivantes sont équivalentesi) f admet une primitive dans ˝:ii) Il existe une fonction F W ˝ ! C telle que pour tout chemin W Œa; b�! ˝,Z

f dz D F. .b// � F. .a//

iii) L’intégrale le long de tout lacet est nulle : i.e. si est un lacet de ˝, alorsZ

f dz D 0 (3.9)

iv) L’intégrale ne dépend pas du chemins i.e. si z0 et z1 sont deux points de ˝ et 0

et 1 sont deux chemins de ˝ reliant z0 à z1, alorsZ 0

f dz D

Z 1

f dz (3.10)

Démonstration 3.1.3. .i/) i i/ Soit W Œa; b� ! ˝ un chemin C 1 et F W ˝ ! C telle que F 0 D f , alors

h.t/ D F. .t// est de classe C 1 et h0.t/ D F 0. .t// 0.t/ D f . .t// 0.t/, d’oùF. .b// � F. .a// D h.b/ � h.a/ D

R ba h0.t/ dt D

R f0. .t// 0.t/ dt D

R f dz:

i i/) i i i/ triviali i i/) iv/ Soient 0; 0 W Œ0; 1�! ˝ deux chemins tels que 0.0/ D 1.0/ et 0.1/ D 1.1/:

On définit D 1 _ . �2/ W Œ0; 2�! ˝ est un lacet

Z 0

f dz D

Z 0

F 0.z/ dz D F.z1/ � F.z0/ D

Z 1

F 0.z/ dz D

Z 1

f dz (3.11)

iv/) i/ On va définir au moyen de l’intégrale une primitive de f . On fixe un point z0 de˝: Soit z un autre point de ˝: Comme ˝ est un domaine, il existe un chemin 1

dans ˝ reliant z0 à z: On pose F.z/ DR 1f .�/ d�: On obtient ainsi une fonction

F dans ˝, car d’après l’hypothèse iv/, la valeur F.z/ ne dépend que de z et pasdu chemin choisi. On dit que F est bien définie. Il reste à montrer que F estdérivable et que F 0 D f: Soit � > 0. Comme ˝ est ouvert et f continue en z, ilexiste ı > 0 tel que le disque D.zI ı/ � ˝ et jf .z C h/ � f .z/j < � si jhj < ı:Soit z C h 2 D.zI ı/, comme le disque est convexe, le chemin �.t/ D z C th,0 � t � 1 est contenu dans D.zI ı/: on pose 2 D � _ 1: Alors :

F.z C h/ � F.z/ D

Z 2

f .�/ d� �

Z 1

f .�/ d� D

Z�

f .�/ d� (3.12)

14

D’où ˇ̌̌̌F.z C h/ � F.z/

h� f .z/

ˇ̌̌̌DjF.z C h/ � F.z/ � hf .z/j

jhj

DjR� f .�/ d� � f .z/

R� 1 d�j

jhj

DjR� f .�/ � f .z/ d�j

jhj

���.�/

jhjD�jhj

jhjD �

(3.13)

Donc limh!0

F.z C h/ � F.z/

hD f .z/, par suite F est dérivable et F 0 D f; comme

souhaité.

Exemple 3.1.3. 1) Soit le cercle de rayon r > 0 et de centre a 2 C orientépositivement. Calculer

R .z � a/n dz pour tout entier n 2 Z:

Solution : Premièrement si n � 0 alors, .z � a/n D 1nC1

..z � a/nC1/0 est la dérivéed’une fonction holomorphe dans C, d’après le théorème précédent

R .z�a/n dz D 0

Secondo, pour n � �2, on a aussi .z � a/n D 1nC1

..z � a/nC1/0 qui est holomorphedans ˝ D C n f0g. Comme est un lacet du domaine ˝, on a

R .z � a/n dz D 0

Finalement, si n D �1: On va calculer directement. On paramètre par .t/ Dreit C a; 0 � t � 2�: Alors 0.t/ D i reit , d’oùZ

1

z � adz D

Z 2�

0

1

.reit C a/ � ai reitdt D

Z 2�

0

i dt D 2i�:

En résumé : Z

.z � a/n dz D

(0 si n 6D �1;

2i� si n D �1:(3.14)

2) Montrer qu’il n’existe pas de fonction holomorphe dans ˝ D Cnf0g telle quef 0.z/ D 1

z:

Solution : Si une telle fonction existe, alorsR

1z

dz D 0 si est le cercle unité.Mais, d’après le cacul précédent

R

1z

dz D 2i� 6D 0.

Remarque 3.1.3. Il s’en suit, qu’il n’existe pas de détermination du logarithme dansle domaine ˝ D C n f0g:

Proposition 3.1.4. Soit ˝ un domaine de C et f W ˝ ! C une fonction continue.Si F1 et F2 sont deux primitives de f: Alors il existe c 2 C tel que F1 D F2 C c:

15

Démonstration 3.1.4. F 01D F 0

2D f , par suite F 0

1� F 0

2D 0 dans ˝, d’où F1 D

F2 C constante:

Corollaire 3.1.1. Soit f W ˝ ! C une fonction holomorphe dans un domaine ˝ � C:Si f 0.z/ D 0 pour tout z 2 ˝ alors, f est constante dans ˝:

3.2 Résultats locaux et conséquences

Théorème 3.2.1 (Formule de Cauchy pour un disque). Soit f W ˝ ! C une fonctionde classe C 1 (au sens complexe) i.e. f 2 H.˝/ et f 0 continue.

Soit D D D.z0; r0/ un disque tel que D � ˝: Alors pour tout z 2 D on a la formulede Cauchy suivante :

f .z/ D1

2i�

ZC.z0;r0/

f .w/

w � zdw

Démonstration 3.2.1. On considère la fonction

g.t/ D

ZC.z0;r0/

f .z C t.w � z//

w � zdw:

Alorsg0.t/ D

ZC.z0;r0/

f 0.z C t.w � z// dw;

et, comme pour t 2�0; 1Œ, F.w/ D f .zC t.w�z//=t est une primitive de f 0.zC t.w�z//,g0.t/ � 0 pour t 2�0; 1Œ et par continuité en t D 0 et t D 1. Ainsi,Z

C.z0;r0/

f .w/

w � zdw D g.1/ D g.0/ D f .z/

ZC.z0;r0/

1

w � zdw

Il reste à montrer queZ

C.z0;r0/

1

w � zdw D 2i�:

On prend la paramétrisation du cercle C.z0; r0/, w D z0 C r0eis s 2 Œ0; 2�� alorsZC.z0;r0/

1

w � zdw D

Z 2�

0

i r0eis

r0eis � .z � z0/ds D i

Z 2�

0

1

1 ��

z�z0

r0eis

� ds:

Comme pour tout s 2 Œ0; 2��,ˇ̌̌

z�z0

r0eis

ˇ̌̌Djz�z0j

r0< 1 on a

1

1 ��

z�z0

r0eis

� DXn�0

�z � z0

r0eis

�n

et

la convergence normale entraîne et le calcul 3.1.2 :

i

Z 2�

0

1

1 ��

z�z0

r0eis

� ds D iXn�0

�z � z0

r0

�n Z 2�

0

e�ins ds D 2i�:

Comme conséquence on a :

Corollaire 3.2.1. Soit f W ˝ ! C une fonction de classe C 1 (au sens complexe) i.e.f 2 H.˝/ et f 0 continue.

Soit D D D.z0; r0/ un disque tel que D � ˝:

Alors ZC.z0;r0/

f .w/ dw D 0:

16

Démonstration 3.2.2. On fixe z dans D et on applique la formule de Cauchy à lafonction w 7! f .w/.w � z/.

On va montrer maintenant qu’une fonction holomorphe et de dérivée continue esten fait analytique (on sait déjà que la réciproque est vraie) ainsi C 1 au sens complexeest équivalent à C1 au sens complexe. Soit ˝ un ouvert de C. Soit a 2 ˝, on désignepar ı.a/ la distance de a au complémentaire de ˝.

On remarquera que ı.a/ D supfr > 0 jD.a; r/ � ˝g:

Théorème 3.2.2. Soit f W ˝ ! C une fonction de classe C 1 (au sens complexe).Alors f est analytique sur ˝:

Plus précisément, pour tout a 2 ˝, f .z/ DXn�0

f .n/.a/

n!.z � a/n pour tout z 2

D.a; ı.a// et pour tout n � 0 et 0 < r < ı.a/

f .n/.a/ Dn!

2i�

ZC.a;r/

f .w/

.w � a/nC1dw:

Démonstration 3.2.3. Soit 0 < r < r0 < ı.a/, d’après la formule de Cauchy, pourz 2 D.a; r/; on a f .z/ D 1

2i�

RC.a;r/

f .w/w�z

dw:

Comme jw�aj D r alors j.z�a/=.w�a/j < 1, on peut écrire, 1w�zD

1.w�a/�.z�a/

D

1w�a

1

1�. z�aw�a/

DP

n�01

.w�a/nC1 .z � a/n

La convergence normale sur le compact C.a; r/ permet d’intervertir le signe sommeet le signe intégration, on obtient

f .z/ D1

2i�

ZC.a;r/

f .w/

w � zdw D

Xn�0

�1

2i�

ZC.a;r/

f .w/

.w � a/nC1dw

�.z�a/n D

Xn�0

f .n/.a/

n!.z�a/n:

Ainsi pour tout n � 0 et 0 < r < ı.a/ :

f .n/.a/ Dn!

2i�

ZC.a;r/

f .w/

.w � a/nC1dw:

Remarque 3.2.1. En particulier, toute fonction de classe C 1 au sens complexe est enfait de classe C1 au sens complexe.

Corollaire 3.2.2 (Les inégalités de Cauchy). Si f est une fonction analytique sur unouvert ˝: Alors, pour tout a 2 ˝ et 0 < r � ı.a/ on a :

jf .n/.a/j �n!kf jC.a;r/k1

rn:

pour tout n � 0:

Démonstration 3.2.4. on a

jf .n/.a/j D

ˇ̌̌̌n!

2i�

ZC.a;r/

f .w/

.w � a/nC1dw

ˇ̌̌̌D

ˇ̌̌̌ˇ n!

2i�

Z 2�

0

f .aC reit /

rnC1ei.nC1/tieitdt

ˇ̌̌̌ˇ � n!

2�

Z 2�

0

kf jC.a;r/k1

rndt

Par passage à la limite on obtient l’inégalité pour r D ı.a/.

17

Définition 3.2.1. Une fonction entière est une fonction analytique de C à valeurs dansC:

Comme pour a 2 ˝ D C, ı.a/ D C1, si f est une fonction entière alors f est déve-loppable en série entière sur C, et donc pour tout z 2 C on a f .z/ D

Pn�0

f .n/.a/n!

.z�a/n:

Ainsi, il y a identité entre fonctions entières et les sommes des séries entières derayon de convergence infini.

Corollaire 3.2.3 (Théorème de Liouville). Une fonction entière et bornée est constante

Démonstration 3.2.5. Soit M > 0 telle que kf k1 �M: D’après l’inégalité de Cauchypour n D 1, on a pour a 2 C, on a jf 0.a/j � M

rpour tout 0 < r < ı.a/ D C1 et par

passage à la limite lorsque r ! C1 on aura f 0.a/ D 0. Ainsi f 0 � 0 et par connexitéde C C , f est constante.

Corollaire 3.2.4 (Théorème de D’Alembert-Gauss). C est algébriquement clos i.e.si P 2 CŒZ� est un polynôme de degré n � 1, alors il existe des nombres complexes˛1; : : : ; ˛k , c des entiers positifs m1; : : : ;mk tels que m1 C : : :Cmk D n et

P .z/ D c

kYiD1

.z � ˛i/mi :

Démonstration 3.2.6. Soit P 2 CŒZ�, tel que deg.P / � 1, si P ne s’annule pas surC alors f D 1

Pest une fonction entière. De plus limjzj!C1 f .z/ D 0, donc elle est

bornée sur C, on déduit du théorème de Liouville que f est constante égale à la fonctionidentiquement nulle. Ce qui est absurde puisque f D 1

P: Ceci montre que P a au moins

un zéro dans C:

On va maintenant montrer qu’une fonction holomorphe est en fait de classe C 1(ausens complexe) et d’après le théorème 3.2.2 elle est alors analytique.

Théorème 3.2.3 (Théorème de Morera). Soit ˝ un ouvert de C: Soit f W ˝ ! C unefonction continue telle que pour tout triangle plein � � ˝ de bord T on a

RT f .z/ dz D

0:

Alors f admet un primitive locale dans tout disque contenu dans ˝ i.e. pour tout a 2 ˝,il existe une fonction F W D.a; ı.a//! C telle que F 0 D f sur D.a; ı.a//:

En particulier, f est analytique.

Démonstration 3.2.7. Soit a 2 ˝. On va construire une primitive F de f dans ledisque D D D.a; ı.a//, en posant pour tout z 2 D

F.z/ WDR z

a f .w/ dw:

Soit z 2 D et h 2 C� tel que z C h 2 D alors le triangle de sommets a, z et z C h

est contenu dans D, par hypothèse sur f ,

0 D

ZT

f .z/ dz D

Z z

a

f .w/ dw C

Z zCh

z

f .w/ dw C

Z a

zCh

f .w/ dw:

Ainsi

F.z C h/ � F.z/

hD

1

h

Z zCh

a

f .w/ dw �

Z zCh

a

f .w/ dw

!D

1

h

Z zCh

z

f .w/ dw

18

D1

h

Z 1

0

f .z C th/h dt D

Z 1

0

f .z C th/ dt:

D’où, F 0.z/ D limh!0F.zCh/�F.z/

hDR 1

0 limh!0 f .z C th/ dt D f .z/; le passage àla limite est justifié par le théorème de convergence dominée ( ou bien la continuité fet la compacité de Œ0; 1�).

Comme F est une primitive de f; elle est de classe C 1( au sens complexe), doncanalytique, par suite sa dérivée f est aussi analytique.

On va maintenant montrer que tout fonction holomorphe vérifie la condition duthéorème de Morera.

Théorème 3.2.4 (Théorème de Goursat). Soit ˝ un ouvert de C et f 2 H.˝/: Alorspour tout triangle T � ˝ on a

RT f .z/ dz D 0:

Démonstration 3.2.8. Soit f 2 H.˝/ et �0 un triangle plein de ˝ de bord T0:

On note par d0 le diamètre de �0 et P0 sont périmètre ( la longueur de T0:)On divisant par le milieu chaque côté de T0, on construit 4 triangles (semblables),

�10, �2

0, �3

0et �4

0de bords respectivement T 1

0, T 2

0, T 3

0et T 4

0tels que :

The Cauchy-Goursat Theorem

Theorem. Suppose U is a simply connected domain and f : U → C is C-differentiable. Then

�

∆f dz = 0

for any triangular path ∆ in U .

Proof. Let ∆ be a triangular path in U , i.e. a closed polygonal path [z1, z2, z3, z1] with three pointsz1, z2, z3 ∈ U . Let

M =

�����

∆f dz

����, � = perimeter(∆).

We show M = 0.

Step 1: Divide and conquer. By connecting the three midpoints of each segment, we can divide∆ into four smaller, similar triangles, ∆a,∆b,∆c,∆d. If we orient each subtriangle the same wayas ∆, then after cancelling the three segments crossed twice we get

�

∆f dz =

�

∆a

f dz +

�

∆b

f dz +

�

∆c

f dz +

�

∆d

f dz.

It must therefore follow that for one of the triangles, call it ∆1, we must have

�����

∆1

f dz

���� ≥M

4,

for otherwise

M =

�����

∆f dz

���� ≤�����

∆a

f dz

���� +

�����

∆b

f dz

���� +

�����

∆c

f dz

���� +

�����

∆d

f dz

���� < M.

Step 2: Get the limit point z∗. Repeat this argument on ∆1 now. We obtain, by induction, asequence of triangles (∆n) with the following properties:

∆1 ⊃ ∆2 ⊃ ∆3 ⊃ · · · , perimeter(∆n) =�

2n,

�����

∆n

f dz

���� ≥M

4n.

Since the triangles bounded by ∆n are compact and their diameters (which are bounded above bytheir perimeters) tend to 0, we conclude there exists a unique point z∗ contained inside every ∆n.

ZT0

f .z/ dz D

4XiD1

ZT i

0

f .z/ dz:

Il existe alors un triangle �1 2 f�i0j 1 � i � 4g tel que son diamètre d1 D

d0

2, son

périmètre P1 DP0

2etˇ̌̌R

T0f .z/ dz

ˇ̌̌�

14

ˇ̌̌RT1f .z/ dz

ˇ̌̌:

En itérant le processus on construit une suite de triangles pleins�0 � �1 � �2 : : : � �n � : : : tels que

ˇ̌̌RT0f .z/ dz

ˇ̌̌�

14n

ˇ̌̌RTnf .z/ dz

ˇ̌̌:

Puisque le diamètre de �n, dn Dd0

2n tends vers 0, lorsque n ! C1, on voit que\n�0�n est réduit à un singleton fag � �0: Par hypothèse f est dérivable au senscomplexe en a, i.e. pour tout � > 0, il existe 0 < ı < ı.a/ tel que pour jz � aj � ı on a

jf .z/ � f .a/ � f 0.a/.z � a/j � �jz � aj

Pour n assez grand, tel que dn < ı; on a �n � D.a; ı/, par suite pour tout z 2 �n

on aura jf .z/�f .a/�f 0.a/.z�a/j � �dn et doncˇ̌̌R

Tnf .z/ � f .a/ � f 0.a/.z � a/ dz

ˇ̌̌�

�dnPn:

D’autre part, l’application z 7! �f .a/ � f 0.a/.z � a/ admet une primitive à savoirl’application z 7! �f .a/z � f 0.a/ .z�a/2

2, d’où

RTnf � f .a/ � f 0.a/.z � a/ dz D 0, on

déduit queˇ̌̌R

Tnf .z/ dz

ˇ̌̌D

ˇ̌̌RTnf .z/ � f .a/ � f 0.a/.z � a/ dz

ˇ̌̌� �dnPn:

19

Ainsi,ˇ̌̌R

T0f .z/ dz

ˇ̌̌�

14n

ˇ̌̌RTnf .z/ dz

ˇ̌̌� � dnPn

4n D �d0P0 doncˇ̌̌R

T0f .z/ dz

ˇ̌̌D 0:

Corollaire 3.2.5. 1. Il y a identité entre fonctions holomorphes et fonctions analy-tiques.

2. Il y a identité entre fonctions holomorphes sur C et séries entières de rayon deconvergence 1.

Corollaire 3.2.6 (Théorème de Cauchy pour un disque). Soit D un disque ouvert deC et f 2 H.D/.

Alors f admet une primitive dans C:Par conséquent, pour tout lacet contenu dans DR f .z/ dz D 0:

Démonstration 3.2.9. D’après le Théorème de Goursat,R

T f .z/ dz D 0 pour touttriangle T contenu dans D, et d’après le Théorème de Morera f admet une primitivedans D et donc son intégrale le long de tout lacet est nulle.

Remarque 3.2.2. Grâce à ce résultat, toute fonction entière admet une primitive.

Exemple 3.2.1. On va utiliser ce résultat pour donner une nouvelle démonstration dufait que la fonction f .x/ D e��x2 est égale à sa transformée de Fourier.

La fonction de la variable complexe, f .z/ D e��z2 est une fonction entière, sonintégrale le long de tout lacet est alors nulle. Soit � > 0, on note pour R > 0, par R lerectangle de sommets �R, R, RC i� et �RC i�; orienté dans le sens positif.3. Evaluation of some integrals 43

R

R + i!

!R

!R + i!

0

Figure 8. The contour "R in Example 1

The contour "R consists of a rectangle with vertices R, R + i!, !R +i!, !R and the positive counterclockwise orientation. By Cauchy’s the-orem,

(6)

!

!R

f(z) dz = 0.

The integral over the real segment is simply

! R

!R

e!"x2

dx ,

which converges to 1 as R " #. The integral on the vertical side on theright is

I(R) =

! #

0

f(R + iy)i dy =

! #

0

e!"(R2+2iRy!y2)i dy.

This integral goes to 0 as R " # since ! is fixed and we may estimateit by

|I(R)| $ Ce!"R2

.

Similarly, the integral over the vertical segment on the left also goes to 0as R " # for the same reasons. Finally, the integral over the horizontalsegment on top is

! !R

R

e!"(x+i#)2 dx = !e"#2

! R

!R

e!"x2

e!2"ix# dx.

Therefore, we find in the limit as R " # that (6) gives

0 = 1 ! e"#2

! "

!"e!"x2

e!2"ix# dx,

D’après le théorème de Cauchy,Z R

f .z/ dz D 0:

D’autre partZ R

f .z/ dz D

Z R

�R

f .z/ dzC

Z RCi�

R

f .z/ dzC

Z �RC�

RCi�

f .z/ dzC

Z �R

�RCi�

f .z/ dz: .�/

O na :

1)Z R

�R

f .z/ dz D

Z R

�R

e��x2

dx, alors limR!C1

Z R

�R

f .z/ dz D

Z C1�1

e��x2

dx D 1

2)Z RCi�

R

f .z/ dz D

Z �

0

f .RC iy/ dy D

Z �

0

e��.R2C2iRy�y2/ dy etˇ̌̌̌

ˇZ �

0

e��.R2C2iRy�y2/ dy

ˇ̌̌̌ˇ � Ce��R2

: D’où limR!C1

Z RCi�

R

f .z/ dz D 0 car

3) De même pour l’intégrale le long de l’autre côté vertical, limR!C1

Z �R

�RCi�

f .z/ dz D 0

4)Z �RC�

RCi�

f .z/ dz D �

Z R

�R

e��.xCi�/2 dx D �e���2

Z R

�R

e��x2

e�2i�x� dx:

20

alors limR!C1

Z �RC�

RCi�

f .z/ dz D �e���2

Z C1�1

e��x2

e�2i�x� dx:

Finalement, lorsque R tends vers C1 dans .�/ on obtient : pour � > 0

0 D 1 � e���2

Z C1�1

e��x2

e�2i�x� dx:

i.e. bf .�/ D f .�/:Pour � D 0 on a bf .0/ D RC1

�1e��x2

dx D 1 D f .0/, et pour � < 0 en utilise laparité ainsi pour tout � 2 R on a bf .�/ D f .�/:

Comme conséquences, tous les résultats que nous avons établi sont valables pour lesfonctions holomorphes.

Le résultat suivant est une généralisation du Théorème de Goursat (qui sera utilepar la suite).

Corollaire 3.2.7. Soit a 2 ˝ et f W ˝ ! C continue et holomorphe sur ˝ n fag:Alors le théorème de Goursat est encore valable.Par conséquence, f 2 H.˝/:

Démonstration 3.2.10. Soit � un triangle plein contenu dans ˝, si a … � alors lethéorème de Goursat s’applique à � puisque f est holomorphe sur l’ouvert ˝ n fag:Si a 2 �, quitte à diviser � en deux triangles, on peut se ramener au cas où a est lesommet du triangle.

Maintenant, pour tout � > 0, on prend un triangle T� de sommet a et de périmètre�, tel que

RT f .z/ dz D

RT�f .z/ dz par suite

ˇ̌RT f .z/ dz

ˇ̌D

ˇ̌̌RT�f .z/ dz

ˇ̌̌� �kf j�k1:

D’oùR

T f .z/ dz D 0:

3.3 Exponentielle, argument et logarithme

Définition 3.3.1. La fonction exponentielle sur C est la fonction z 7! exp.z/ D

C1XnD0

zn

n!:

on utilisera aussi la notation ez pour désigner exp.z/:

Propriétés(1) exp.z C z0/ D exp.z/exp.z0/ 8z; z0 2 C(2) exp.z/ 6D 0 8z 2 C(3) .exp.z//0 D exp.z/, ainsi exp W C! C� est une fonction holomorphe dans C(4) .ez/ D e Nz et jezj D eRe z

Démonstration 3.3.1. 1. On rappel que siP

an etP

bn sont deux séries à termescomplexes absolument convergentes alors la série de terme général cn D

PpCqDn apbq

est absolument convergente et a pour sommeX

cn D

Xan

Xbn:

Posons an Dzn

n!et bn D

z0n

n!, il vient :

cn D

XpCqDn

zp

p!

z0q

q!D

1

n!

XpCqDn

n!

p!q!zpz0

qD

1

n!.z C z0/n:

d’où exp.z/exp.z0/ D .X zn

n!/.X z0

n

n!/ D

Xcn D

X .z C z0/n

n!D exp.z C z0/

21

2. exp.z/exp.�z/ D exp.z � z/ D e0 D 1, d’où exp.z/ 6D 0: Ainsi exp applique Cdans C� et 1

exp.z/D exp.�z/:

3. c’est un résultat général sur la somme d’une série entière à l’intérieur de son

disque de convergence et .exp.z//0 D

C1XnD1

zn�1

.n � 1/!:

4. En utilisant la continuité de la conjugaison complexe, z 7! Nz, on obtient .ez/ D

.

C1XnD0

zn

n!/ D lim

n!C1.Xp�n

zp

p!/ D lim

n!C1

Xp�n

Nzp

p!D

C1XnD0

Nzn

n!D e Nz :

Alors, jezj2 D ez :.ez/ D ez :e Nz D ezCNz D e2 Re e z D .eRe e z/2 et par suite jezj D

eRe e z :

Remarque 3.3.1. Une conséquence de (1) et (2) l’application exp W C ! C� est unhomomorphisme du groupe additif .C;C/ dans le groupe multiplicatif .C�; :/

On a pour y 2 R, eiy D

C1XnD0

.�1/ny2n

.2n/!C i

C1XnD0

.�1/ny2nC1

.2nC 1/!D cos.y/C i sin.y/;

par conséquent, pour z D x C iy 2 C, on aura ez D ex :eiy D ex.cos.y/C i sin.y/:On va alors étudier l’exponentielle complexe en utilisant pour cela les propriétés desfonctions trigonométriques réelles cos et sin :

Proposition 3.3.1. L’application exp W C! C� est surjective et 2i�-périodique.

Démonstration 3.3.2. 1. exp est surjective.Soit z 2 C�, alors z

jzj2 C D fz 2 Cjjzj D 1g, comme l’application t 2 R associe

eit 2 C est surjective il existe t 2 R tel que zjzjD eit . Ainsi z D jzjeit D eln jzjeit D

eln jzjCit , est l’image d’un nombre complexe par exp:

2. exp est 2i�-périodique. En effet, exp.z C 2i�/ D ez :e2i� D ez :

Exercice 3.3.1. En utilisant la formule ez D ex :eiy montrer que :1. l’image par exp de la droite verticale fx D ag est le cercle C.0; ea/ de centre 0 et

de rayon ea

2. l’image par exp de la droite horizontale fy D bg est la demi-droite fteib; t > 0g:

3. exp W B�0D fz 2 C; �0 � � < Im.z/ < �0 C �g ! C n ftei.�0��/; t > 0g est un

difféomorphisme, sa fonction réciproque est une détermination du logarithme dansle domaine ˝ D C n ftei.�0��/; t > 0g:

Définition 3.3.2. .1) On appelle argument d’un nombre complexe z 2 C� tout nombre réel t tel que

eit Dzjzj:

2) On appelle logarithme d’un nombre complexe z 2 C� tout nombre complexew 2 C tel que ew D z:

Remarque 3.3.2. 1. Le nombre 0 n’a ni argument ni logarithme.

22

2. Soit z 2 C�. Si w D aC ib est un logarithme de z, on aura eaCib D z, jzj D ea

et eib Dzjzj: Ainsi, a D ln jzj et b est un argument de z et inversement si b est

un argument de z, alors w D ln jzj C ib est un logarithme de z:

On a donc montré que w est un logarithme de z si et seulement siw�ln jzj

iest un argument de z:

3. Le nombre complexe z D rei� 2 C� a pour argument les nombres réels � C 2k�,k 2 Z et pour logarithme les nombres complexes ln.r/C i� C 2ik�, k 2 Z:

3.3.1 Détermination continue de l’argument et du logarithme

Définition 3.3.3. Soit ˝ un domaine de C�:

1. Une détermination de l’argument dans ˝ est une fonction continue � W ˝ ! Rtelle que, pour tout z 2 ˝

ei�.z/D

z

jzj:

2. Une détermination du logarithme dans ˝ est une fonction continue l W ˝ ! Ctelle que, pour tout z 2 ˝

exp.l.z// D z:

Ainsi l est une détermination du logarithme si et seulement si � définie par

�.z/ Dl.z/ � ln jzj

iest une détermination de l’argument.

La proposition suivante dit que si on connait une détermination du logarithme dans˝ alors on les connaît toutes.

Proposition 3.3.2. Soit ˝ un domaine de C et l W ˝ ! C une détermination dulogarithme.

Etant donné une fonction continue el W ˝ ! C, les conditions suivantes sont équiva-lentes :

i) el est une détermination du logarithme dans ˝:

ii) Il existe k 2 Z tel que el D l C 2ik�:

Démonstration 3.3.3. i/) i i/ On a exp.el.z// D exp.l.z//, d’où exp.el.z/�l.z// D 1

pour tout z 2 ˝:

Ceci a pour conséquence queel.z/� l.z/ 2 2i�Z pour tout z 2 ˝: Comme la fonctionel.z/�l.z/2i�

est continue dans ˝ et à valeur dans Z: L’image de ˝ est un connexe de Z,donc un singleton de Z: D’où l’existence d’un entier k 2 Z tel que el.z/ � l.z/ D 2ik�

c-à-d la conditon 2. est satisfaite.i i/) i/ evident

Les déterminations du logarithme sont caractérisées par leurs première dérivées.

Proposition 3.3.3. Soit ˝ un domaine de C� et l W ˝ ! C une donction continue.Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. l est une déterminantion du logarithme dans ˝:

2. l est holomorphe, l 0.z/ D 1zpour tout z 2 ˝ et il existe a 2 ˝ tel que exp.l.a// D a

23

Démonstration 3.3.4. i/ Soit z0 2 ˝: On pose w0 D l.z0/ et w D l.z/ et en utilisantexp.l.z// D z et la continuité de l on obtient :

limz!z0

l.z/ � l.z0/

z � z0

D limz!z0

l.z/ � l.z0/

exp.l.z// � exp.l.z0//D limw!w0

w � w0

exp.w/ � exp.w0/D

1

exp.w0/D

1

exp.l.z0//D

1

z0

: D’où l 0.z/ D 1z:

i i/ La fonction g.z/ D z:exp.�l.z// est holomorphe dans ˝ et vérifie g0.z/ D

exp.�l.z//�zl 0.z/:exp.�l.z// D exp.�l.z//�exp.�l.z// D 0 pour tout z 2 ˝: Comme˝ est connexe, g est constante par suite il existe c 2 C tel que g.z/ D c pour tout z 2 ˝:

Comme exp.l.a// D a; c D 1 ce qui entraîne exp.l.z// D z:

Exemple 3.3.1. Montrer qu’il n’existe pas de déterminantion du logarithme dans C�:

3.3.2 La détermination principale de l’argument et du logarithme surC n R�:

Définition 3.3.4. L’application Arg W C n R� !� � �; �Œ définie par

Arg.z/ D

8̂̂<̂:̂

Arcos�

Re.z/jzj

�si Im.z/ > 0

0 si Im.z/ D 0

�Arcos�

Re.z/jzj

�si Im.z/ < 0

est une détermination de l’argument dans C n R� appelée détermination princi-pale de l’argument.

Exemple 3.3.2. Vérifier que Arg est une détermination de l’argument i.e. qu’elle estcontinue et que pour tout z D x C iy 2 C n R�, eiArg.z/ D

zjzj.

On appelle détermination princiale du logarithme dans C n R� l’application

ln W C n R� ! Cz 7! ln jzj C iArg.z/

(3.15)

Remarque 3.3.3. 1. C’est une extension à C n R�: de la fonction ln W R�C ! R,x 7! ln.x/:

2. Comme elle est holomorphe ses parties réelles et imaginaires, ln jzj et Arg.z/, sontdes fonctions harmoniques de classe C1:

3. Les autres déterminations du logarithme dans la région C n R�, sont les fonctionln.z/C 2ik�, où k 2 Z et z 2 C n R�:

4. Soit z0 2 R�: Alors, limz!z0

Imz>0

ln.z/ D ln jz0j C i� et limz!z0

Imz<0

ln.z/ D ln jz0j � i�

3.3.3 Fonctions puissances

Définition 3.3.5. Soit z 2 C� et ˛ 2 C: Si z D ew on dit que e˛w est une puissance ˛de z:

Ainsi, l’ensemble des déterminations de la puissance ˛ de z est égal àfe˛wC2ik�˛; k 2 Zg:

24

Exemple 3.3.3. l’ensemble des puissances ˛ D i de z D i est fe��2�2k� ; k 2 Zg:

Dès qu’une fonction logarithme est disponible, on peut introduire les fonctions puis-sances.

Définition 3.3.6. Soit ˝ une région et l W ˝ ! C une détermination du logarithme.La fonction

g˛ W ˝ ! Cz 7! exp.˛.l.z///

(3.16)

où ˛ 2 C; est appelée détermination de la fonction puissance z˛ basée sur l:

Proposition 3.3.4. Toute fonction puissance g˛ est une fonction holomorphe dans ˝et vérifie

1. g0˛ D ˛g˛�1:

2. Pour tout ˛; ˇ 2 C, g˛Cˇ D g˛gˇ; et pour tout n 2 N, gn.z/ D zn.

Exercice 3.3.2. Soit ln la détermination principale du logarithme dans C n R�:Montrer que dans ce cas, la détermination de z˛, on a : pour tout z 2 C n R�,jz˛j D jzjRe˛e� arg.z/ Im˛ et jz˛j � jzjRe˛e�j Im˛j:

3.4 Le théorème des zéros isolés

Théorème 3.4.1. Soit ˝ un domaine de C et f W ˝ ! C une fonction holomorphe.Soit a 2 ˝ tel que f .n/.a/ D 0 pour tout n � 0; alors f est identiquement nulle.

Démonstration 3.4.1. Posons G D fz 2 ˝If .n/.z/ D 0 pour tout n � 0g:

G est un fermé de ˝ : En effet, comme les f .n/ sont des fonctions continues, alorsG D \n�0.f

.n//�1.0/ est fermé dans ˝ comme intersection de fermés de ˝,G est un ouvert de ˝ En effet, si z0 2 G, alors f est identiquement nulle sur le

disque D.z0I ız0/, donc ce dernier est contenu dans ˝:

Donc G est ouvert et fermé dans ˝; par hypothèse a 2 G ce qui montre que G n’estpas vide. Alors G D ˝ d’après la connexité de ˝ et ainsi f est identiquement nulle sur˝.

Corollaire 3.4.1. Soit ˝ un domaine de C et f W ˝ ! C une fonction holomorphenon identiquement nulle. Alors les zéros de f sont isolés i.e. Z.f / D fz 2 ˝ jf .z/ D 0g

est un ensemble discret de ˝:

Démonstration 3.4.2. Soit z0 2 ˝ un zéro de f i.e. f .z0/ D 0: comme f n’est pasidentiquement nulle d’après le théorème 3.4.1, il existe m � 1 tel que f .m/.z0/ 6D 0; etf .k/.z0/ D 0; 0 � k � m � 1, de sorte que le développement en série de Taylor de fdans le disque D.z0I dz0

/ peut se mettre sous la forme

f .z/ DXn�m

f .n/.z0/

n!.z � z0/

nDf .m/.z0/

m!.z � z0/

m�1C c.z � z0/C � � �

�D .z � a/mg.z/

avec g.z0/ Df .m/.z0/

m!6D 0: D’où, il existe 0 < r < dz0

tel que f .z/ 6D 0 pour toutz 2 D.z0I r/ n fz0g; on obtient ainsi un voisinage de z0 dans lequel il n’y a pas d’autreszéros de f:

25

Corollaire 3.4.2 (Multiplicité d’un zéro). Soit ˝ un domaine de C et f W ˝ ! C unefonction holomorphe non identiquement nulle. Alors chaque zéro a 2 Z.f / possède unemultiplicité m � 1, définie par les conditions

f .k/.z0/ D 0 si k � m � 1 et f .m/.z0/ 6D 0:

C’est aussi l’unique entier m � 1 tel que g.z/ D f .z/.z�a/m

soit holomorphe sur ˝ etg.a/ 6D 0:

Corollaire 3.4.3 (Unicité du prolongement analytique). Soit ˝ un domaine de C, fet g deux fonctions holomorphes dans ˝ et a 2 ˝:

On suppose qu’il existe une suite fzng dans ˝ n fag qui converge vers a et telle quef .zn/ D g.zn/ pour tout n � 0: Alors f D g:

(en d’autres termes, si deux fonctions holomorphes sur un domaine, coïncident surun ensemble non-discret et non-vide, elles sont égales)

Démonstration 3.4.3. La fonction h D f � g admet les zn et le point a pour zéros.Comme la suite fzng est différente de a et converge vers a, le zéro a est donc non isoléd’où h � 0:

Exemple 3.4.1. La fonction f .z/ D ln.1C z/ est holomorphe sur C n fz 2 C j Re z �

�1g; et la somme de série entière g.z/ D

C1XnD1

.�1/n�1 zn

nconverge dans le disque unité

D.0; 1/ donc est holomorphe sur ce disque. Comme pour x 2� � 1; 1Œ, ln.1 C x/ DC1XnD1

.�1/n�1 xn

n; donc f .x/ D g.x/: Alors f .z/ D g.z/ sur D.0; 1/, car ��1; 1Œ, n’est pas

discret et D.0; 1/ � C n fz 2 C j Re z � �1g: Par conséquent on a le développement ensérie : sur D.0; 1/

ln.1C z/ D

C1XnD1

.�1/n�1 zn

n

Exercice 3.4.1. Soit ˛ 2 R. Monter que pour jzj < 1 on a

.1C z/˛ DXn�0

˛.˛ � 1/ : : : .˛ � nC 1/

n!zn:

3.5 Théorème de Rouché, application ouverte et principedu maximum.

3.5.1 Théorème de Rouché

Notation : Soit f 2 H.˝/ et A � ˝:

On note par ].Z.f / \ A/ le nombre de zéros de f contenu dans A (comptés avecleur multiplicité).

Exemple 3.5.1. Pour f .z/ D z5.z � 1/ on a par exemple :].Z.f / \D.0; 1// D 5, ].Z.f / \D.1; 1// D 1, ].Z.f / \D.2; 1// D 0 et ].Z.f / \

D.0; 2// D 6:

26

Théorème 3.5.1 (Théorème de Rouché). Soit ˝ un ouvert de C, f;g 2 H.˝/:Soit D un disque tel que D � ˝ et pour tout z 2 C D @D on a :

jf .z/j > jg.z/j:

Alors f et f C g ont même nombre de zéros (comptés avec leur multiplicité) dansD i.e. ].Z.f / \D/ D ].Z.f C g/ \D/

Démonstration 3.5.1. On a besoin du lemme suivant

Lemme 3.5.1. Soit f 2 H.˝/ et D un disque tel que D � ˝ et pour tout z 2 C D @D,f .z/ 6D 0: Alors

1

2i�

ZC

f 0.z/

f .z/dz D ].Z.f / \D/:

Démonstration 3.5.2 (du lemme). Comme D est un compact et Z.f / est un sous-ensemble discret de ˝, Z.f /\D D Z.f /\D est alors un sous-ensemble fini. On peutdonc écrire Z.f / \D D fa1; : : : ; akg et soit m1; : : : ;mk leur multiplicité respective deces zéros.

Une application répétée de 3.4.2 nous donne l’existence d’une fonction holomorpheg 2 H.˝/ telle :

f .z/ D

kYiD1

.z � ai/mi g.z/ et g.ai/ 6D 0 pour tout 1 � i � k:

(on remarquera que g ne s’annule pas sur D, car f n’a pas d’autres zéros dans D.)On obtient, en prenant la dérivation logarithmique de f :

f 0.z/

f .z/D

kXiD1

mi

z � aiC

g0.z/

g.z/

Par suite

1

2i�

ZC

f 0.z/

f .z/dz D

kXiD1

ZC

1

2i�

mi

z � aidz C

1

2i�

ZC

g0.z/

g.z/dz

D

kXiD1

mi D ].Z.f / \D/

Car, par la formule de Cauchy on 12i�

RC

mi

z�aidz D 1 et par le théorème de CauchyR

Cg0.z/g.z/

dz D 0 , car g0

gest holomorphe dans un voisinage de D:

Retour à la démonstration du théorème de Rouché. Pour t 2 Œ0; 1� on pose ft D

f C tg, alors f0 D f et f1 D f C g: On pose nt D ].Z.ft /\D/: On doit montrer quen0 D n1: La condition jf .z/j > jg.z/j pour z 2 C entraîne que ft .z/ 6D 0 pour z 2 C et

d’après le lemme nt D1

2i�

ZC

f 0t .z/

ft .z/dz:

Comme, l’application C � Œ0; 1� ! C , .z; t/ 7! f 0t .z/

ft .z/est continue, C et Œ0; 1� sont

compacts, le théorème sur les intégrales dépendant d’un paramètre entraîne la continuitéde l’application t 7! nt D

12i�

RCf 0t .z/

ft .z/dz; donc sa constance puisqu’elle est à valeurs

dans N et Œ0; 1� est connexe.

27

3.5.2 Le théorème de l’application ouverte

Proposition 3.5.1. Soit f W˝ ! C un fonction holomorphe et D.aI r/ un disque dontl’adhérence est contenue dans ˝: Soit w0 2 C tel que l’équation f .z/ D w0 a exactementn racines dans D.aI r/ et aucune sur le cercle C.aI r/:

Si ı D dist.w0; f .C.aI r///, alors pour tout w 2 D.w0I ı/ l’équation f .z/ D w aexactement n racines dans le disque D.aI r/:

Démonstration 3.5.3. Soit w 2 D.w0I ı/: On pose f1.z/ D f .z/�w0 et g.z/ D w0�w

alors, jg.z/j D jw0 � wj < ı � jf1.z/j sur C.aI r/: D’après le Théorème de Rouchél’équation .f1Cg/.z/ D 0 a autant de racines que f1.z/ D 0 dans D.aI r/ i.e. l’équationf .z/ D w a autant de racines que f .z/ D w0, donc exactement n.

Définition 3.5.1. Soit f W X ! Y une application entre deux espaces topologiques.On dit f est une application ouverte si l’image d’un ouvert de X est un ouvert de Y:

Théorème 3.5.2 (Théorème de l’application ouverte). Soit ˝ un domaine de C etf W˝ ! C une fonction holomorphe et non constante. Alors l’image f .˝/ est un do-maine de C:

Démonstration 3.5.4. Soit w0 2 f .˝/, il existe a 2 ˝ tel que f .a/ D w0:

Si on désigne par ı.a/ la distance de a au complémentaire de ˝; alors D.aI ı.a// � ˝

et f est holomorphe et non constante dans D.aI ı.a//: Soit R < ı.a/; l’équation f .z/ Dw0 n’a qu’un nombre fini de racines dans le compact D.aIR/, d’où il existe r < R

tel que f .z/ 6D w0 sur le cercle C.aI r/: Alors, si jw0 � wj < ı D dist.w0; f .C.aI r/

l’équation f .z/ D w a au moins une racine dans le disque D.aI r/ (car f .a/ D w0).Par conséquent le disque D.w0I ı/ est contenu dans f .D.aI r// et donc dans f .˝/

Corollaire 3.5.1. Toute application holomorphe est une application ouverte

Exemple 3.5.2. Soit ˝ un domaine de C et f 2 H.˝/: Si f .˝/ n’est pas un ouvertde C, alors f est constante.

Dans les exemples suivants f est nécessairement constante :si Re.f / ou Im.f / est constante, f .˝/ est contenu dans une droite et donc n’est

pas ouvert.si jf j est constante, alors f .˝/ est contenu dans un cercle et donc n’est pas un

ouvert.

3.5.3 Le principe du maximum

Théorème 3.5.3. Soit ˝ un domaine et et f 2 H.˝/ non constante.Alors jf j ne peut pas atteindre son maximum dans ˝:

Démonstration 3.5.5. Supposons que jf j atteigne son maximum en a 2 ˝ i.e.jf .a/j D max

z2˝jf .z/j > 0: Comme f est holomorphe et non constante, c’est une ap-

plication ouverte, d’où il existe ı > 0 tel que le disque D.f .a/I ı/ � f .˝/:

Soit w D .1Cı

2jf .a/j/f .a/: Alors w 2 D.f .a/I ı/ et par conséquent il existe z 2 ˝

tel que w D f .z/ et d’autre part, jf .z/j D jwj > jf .a/j , ce qui est absurde.

28

Corollaire 3.5.2. Soit ˝ un domaine borné de C et f 2 H.˝/ \ C 0.˝/:

Alors, maxz2˝jf .z/j D max

z2˝�˝

jf .z/j

Démonstration 3.5.6. Comme ˝ est compact et jf j est continue, il existe a 2 ˝, telque jf .a/j D max

z2˝

jf .z/j: D’après le principe du maximum a 62 ˝, donc a 2 ˝ �˝:

Remarque 3.5.1. L’hypothèse ˝ compact est essentielle pôour ce résultat. Par exemplesi ˝ est le premier cadrant ouvert et f .z/ D e�iz2

:

On a jf .z/j D 1 si z 2 ˝ �˝ mais jf j n’est pas bornée ; en effetjf .te

i�4 /j D et2

!C1 si t !C1:

Corollaire 3.5.3 (Lemme de Schwarz). Soit f WD.0I 1/ ! D.0I 1/ une fonction holo-morphe telle que f .0/ D 0: Alors jf .z/j � jzj pour jzj � 1:

Si de plus, pour un point z0 de D.0I 1/ on a jf .z0/j D jz0j alors il existe � 2 R telque f .z/ D ei� :z pour tout z 2 D.0I 1/:

Démonstration 3.5.7. On pose

g.z/ D

8<:f .z/

zsi z 6D 0;

f 0.0/ si z D 0:(3.17)

Alors g est une fonction holomorphe dans D.0I 1/:

Pour tout 0 < r < 1 et jzj D 1 on a

jg.z/j D

ˇ̌̌̌f .z/

z

ˇ̌̌̌Djf .z/j

r�

1

r(3.18)

D’après le principe du maximum maxjzj�rjg.z/j D max

jzjDrjg.z/j, par suite jg.z/j � 1

rpour tout

z 2 D.0I r/: Alors jg.z/j � limr!1

1

rD 1 pour tout z 2 D.0I 1/; c’est à dire que

ˇ̌f .z/

z

ˇ̌� 1

pour tout z 2 D.0I 1/:

Maintenant, si on suppose que pour z0 dans D.0I 1/ on a jf .z0/j D jz0j alorsjg.z0/j D 1 et par suite jgj atteint son maximum à l’ntérieur du domaine D.0I 1/; d’aprèsle principe du maximum g est constante i.e. il existe c 2 C.0I 1/ tel que g.z/ D c pourtout z 2 D.0I 1/, ce qui se traduit par, il existe � 2 R tel que f .z/ D ei� :z pour toutz 2 D.0I 1/:

3.5.4 Le théorème d’inversion locale

Corollaire 3.5.4. Soit f W˝ ! C une fonction holomorphe et injective.Alors pour tout z 2 ˝, f 0.z/ 6D 0:

Démonstration 3.5.8. Si f 0.z0/ D 0 pour un certain z0 2 ˝, d’après la proposition3.5.1, il existe des voisinages ouverts V de z0 et W de f .z0/ tels que pour tout w 2 W ,l’equation f .z/ D w a exactement m0 racines, où m0 est la multiplicité de la racine z0:

Comme f 0.z0/ D 0, m0 > 1 et par suite f n’est pas injective.

29

Remarque 3.5.2. la réciproque est en général fausse, i.e. dérivée non nulle n’entraînepas l’injectivité.

Par exemple, l’application f .z/ D ez vérifie f 0.z/ 6D 0 pour tout z 2 C, mais commef .0/ D f .2i�/ elle n’est pas injective.

Définition 3.5.2. Une application f WU ! V est un isomorphisme ( ou biholo-morphe) si elle bijective, holomorphe et son inverse est holomorphe.

Théorème 3.5.4 (d’inversion locale). Soit f W˝ ! C une fonction holomorphe. Soitz0 2 ˝ tel que f 0.z0/ 6D 0:

Alors, il existe un voisinage U de z0 dans O et un voisinage V de w0 D f .z0/ dansC tels que la restriction de f à U soit un isomorphisme sur V D f .U /:

Démonstration 3.5.9. Comme f 0.z0/ 6D 0 l’équation f .z/ D w0 a une racine simpleen z0, et , il existe � > 0 et ı > 0 tels que pour tou w 2 D.w0I ı/ , l’équation f .z/ D wa exactement une racine dans le disque D.z0I �/: Soit V D D.w0I ı/ et U D f �1.V / \

D.z0I �/: Alors f jU W U ! V est injective, surjective et holomorphe. Il reste à montrerque f �1 W V ! U est une fonction holomorphe. La fonction f �1 est continue. En effet,soit O un ouvert de U alors .f �1/�1.O/ D f .O/ qui est un ouvert de v car f est uneapplication ouverte. Il reste à montrer que f �1 est dérivable. Soit w1 2 V , il existe alorsun unique z1 2 U tel que f �1.w1/ D z1 (, f .z1/ D w1.) De la continuité de f �1 on

a, limw!w1

f �1.w/ � f �1.w1/

w � w1

D limz!z1

z � z1

f .z/ � f .z1/comme f est injective, f 0.z1/ 6D 0

et par suite

limw!w1

f �1.w/ � f �1.w1/

w � w1

D limz!z1

z � z1

f .z/ � f .z1/D

1

f 0.z1/D

1

f 0.f �1.w1//

d’où la dérivabilité de f �1:

3.6 Formule de Cauchy globale et applications

3.6.1 Indice d’un point par rapport à un lacet

Il existe une formule utile pour exprimer combien de fois une courbe fermée ou lacet tourne autour d’un point donné z0: Ce nombre, est appelé indice de par rapportau point z0.

La formule qu’on va utiliser pour calculer l’indice est basée sur le calcul qu’on a faitdans l’exemple 3.12 : Si est le cercle unité .t/ D eit , 0 � t � 2�Z

1

zdz D 2i� (3.19)

Si .t/ D eit , 0 � t � 2n� , alors tourne autour de l’origine n fois, et on trouve dela même façon

1

2i�

Z

1

zdz D n (3.20)

Notation : Si W I ! C est un chemin on notera par � son image .I/.

30

Définition 3.6.1. Soit un lacet de C et z0 2 C un point qui n’est pas sur i.e.z0 62

� D .I/:

On appelle indice de z0 par rapport à le nombre

Ind .z0/ D1

2i�

Z

1

.z � z0/dz (3.21)

Remarque 3.6.1. i) Ind .z0/ n’est pas défini si z0 2 �

ii) Ind �.z0/ D Ind� .z0/ D �Ind .z0/

iii) Si 1 et 2 sont deux lacets de même origine et z0 62 �1[ �

2alors

Ind 1_ 2.z0/ D Ind 1

.z0/C Ind 2.z0/:

Figure 3.2 – indice de 0 = 1

Figure 3.3 – indice de 0 = �1

Théorème 3.6.1 (Théorème de l’indice). Pour tout lacet W Œa; b�! C , on a :

(i) Pour tout z0 2 C n �; Ind .z0/ est un entier.

(ii) la fonction z 7! Ind .z/ est une fonction continue.

Démonstration 3.6.1. (i)- Soit

g.t/ D

Z t

a

0.s/

.s/ � z0

ds (3.22)

alors aux points où 0.s/ .s/�z0

est continue, on a

g0.t/ D 0.t/

.t/ � z0

(3.23)

Par suited

dte�g.t/. .t/ � z0/ D 0 (3.24)

au point où g0.t/ existe, et alors e�g.t/. .t/ � z0/ est constante par morceaux surŒa; b�: Mais, e�g.t/. .t/ � z0/ est continue, donc elle est constante sur Œa; b�:

On obtient alors e�g.a/. .a/ � z0/ D e�g.b/. .b/ � z0/:

Comme est un lacet .a/ D .b/; ce qui entraîne e�g.a/ D e�g.b/:

31

D’autre part g.a/ D 0, d’où e�g.b/ D 1 par conséquent il existe un entier n 2 Z telque g.b/ D 2in� i.e.

n Dg.b/

2i�D

1

2i�

Z b

a

0.s/

.s/ � z0

ds D1

2i�

Z

1

.z � z0/dz D Ind .z0/ (3.25)

(ii)- Fixons z0 2 C n �; et soit r > 0 tel que le disque D.z0I 2r/ soit contenu dansC n �:

Pour tout z 2 C n � tel que jz � z0j � r on a

Ind .z/�Ind .z0/ D1

2i�

Z

1

.� � z/d��

1

2i�

Z

1

.� � z0/d� D

z0 � z

2i�

Z

1

..� � z/.� � z0//d�

(3.26)Comme pour tout � 2 � on a j� � z0j � 2r et j� � zj � r , donc

jInd .z/ � Ind .z0/j �jz0 � zj

4�r2�. / (3.27)

ce qui prouve la continuité.

A)Ind .:/ est constante sur chaque composante connexe de C n �; et est nulle surla composante non-bornée .

Démonstration 3.6.2. Comme Ind .:/ est continue et à valeurs dans Z, alors elle estconstante sur cheque composante connexe.

On notera que � est un sous-ensemble borné de C, d’où il existe R > 0 tel que � � D.0IR/; alors, la composante non-bornée de C n � est le domaine contenu dansC n � et contenant C nD.0IR/: On notera par C1 cette composante.

Soit z0 2 C1 tel que jz0j > R: Comme jz � z0j � jz0j �R sur �, on a

jInd .z0/j D1

2�

ˇ̌̌ Z

1

z � z0

dzˇ̌̌�

1

2�:

1

jz0j �R�. / (3.28)

et donc jInd .z0/j tend vers 0 lorsque jz0j vers C1: Comme Ind .z/ est constantedans le domaine C1, cette constante est 0:

B) Soit n W Œ0; 1�! C; t 7! Re2in� t , n 2 Z�:Alors,

Ind .z0/ D

(n si z0 2 D.0IR/;

0 si z 2 C nD.0IR/:(3.29)

Démonstration 3.6.3. L’ensemble C n � a deux composantes, une bornée D.0IR/ etune non-bornée C nD.0IR/:

Si z0 2 D.0IR/ alors Ind .z0/ D Ind .0/ D1

2i�

R

1z

dz D n

Si z0 2 C nD.0IR/; alors Ind .z0/ D 0:

Soit W I ! C un lacet. On appelle intérieur de , l’ensemble

Int. / WD fz 2 CI Ind .z/ 6D 0g

et extérieur de , l’ensemble

32

Ext. / WD fz 2 CI Ind .z/ D 0g:

On a C D Int. / [ � [Ext. /:

Comme Ind .z/ est constante sur chaque composante connexe de C n �; Int. / etExt. / sont des ouverts et leurs frontières vérifient : @.Int. // � � et @.Ext. // � �:

Dans ce dessin, chaque nombre répresente la valeur de l’indice d’un point ce trouvantdans le domaine correspondant. L’indice vaut 0 pour les points dans le domaine nonborné.

3.6.2 Une méthode de calcul de l’indice

Soit W Œa; b�! C un chemin et z0 2 C n � et u 2 C�:On suppose que la demi-droite de direction u et d’origine z0 coupe en un nombre

fini de points .t1/; .t2/; : : : .tn/; (0 < t1 < t2 < � � � < tn) tels que les tangentes 0.ti/ existent et ne sont pas parallèles à u i.e. fu; 0.ti/g est une base de R2 pour touti 2 f1; 2 : : : ; ng:

On pose

�i D

(1 si detŒu; 0.ti/� > 0;

�1 si detŒu; 0.ti/� < 0:(3.30)

Alors, Ind .z0/ D

nXiD1

�i :

S’il existe une demi-droite de direction u 2 C� et d’origine z0 qui ne coupe pas alors Ind .z0/ D 0:

Exercice 3.6.1. Démontrer ce résultat.

3.6.3 Formule de Cauchy globale

Dans l’étude précédente dans le traitement du théorème de Cauchy-Goursat et de laformule intégrale de Cauchy on a considéré que les domaines circulaires (i.e. les disques).Pour l’étude des propriétés locales des fonctions holomorphes ceci a été suffisant, maispour l’étude de domaines plus généraux ceci s’avère incomplet.

Pour la généralisation de ces résultats, on a deux directions : la première est dedéterminer les domaines où la formule de Cauchy est valable, et la deuxième directionest de déterminer pour un domaine donné quels sont les lacets pour lequels la laformule de Cauchy est valable.

33

3.6.4 Cycles, domaines simplement connexe

Un cycle est une somme algébrique finie de lacets, noté � D n1 1 C � � � C np p, oùles i sonts des lacetss et les coefficients ni sont des éléments de Z:Le support d’un cycle � est par définition la réunion des images des i i.e. [P

iD1 �i : On

définit aussi la longueur d’un cycle � par le nombre

�.� / WD

pXiD1

jni j�. i/

Enfin on a pour toute fonction continue f W ˝ ! C et cycle � D n1 1C � � � C np pdont le support est contenu dans ˝, l’intégrale de f le long du cycle � est définie par :Z

�

f .z/ dz D n1

Z 1

f .z/ dz C � � � C np

Z p

f .z/ dz (3.31)

D’apès la définition de l’intégrale le long d’un cycle on a :si jf .z/j �M pour tout z dans le support de � , alors Comme il n’y a rien d’unique

dans la façon de subdivisé un chemin donné , il est alors clair qu’un cycle peut êtrereprésentée par différentes sommes formelles. le principe de base est que deux cyclessont équivalents si ils donnent la même intégrale pour toute fonction continue f .

On remarquera, que pour un domaine ˝ donné, les théorèmes qu’on a démontrépour des lacets contenu dans ˝ sont encore valables pour tout cycle � contenu dans˝.

Par exemple, l’indice d’un point z0 2 ˝ par rapport au cycle � D n1 1C� � �Cnp pest égal à :

Ind� .z0/ WD1

2i�

Z�

1

.z � z0/dz D n1:Ind 1

.z0/C � � � C np:Ind p.z0/ (3.32)

On définit de même l’intérier de � parl’ensemble

Int.� / WD fz 2 CI Ind� .z/ 6D 0g

et extérieur de , l’ensemble

Ext.� / WD fz 2 CI Ind� .z/ D 0g:

On a C D Int.� / [ � � [Ext.� /:

Domaine simplement connexe

On a déja vu que si ˝ D C n f0g, la fonction f .z/ D 1zn’admet pas de primitive

dans ˝, par suite le théorème de Cauchy-Goursat n’est pas valable pour ce domaine.On remarquera la présence d’un "trou" dans ˝:

On va s’intéresser aux domaines de C dans lesquels toute fonction holomorphe admetune primitive. On appelle un tel domaine, un domaine simplement connexe.

On va montrer que pour tout domaine simplement connexe, la formule de Cauchyest valable.

34

Définition 3.6.2. Un domaine ˝ de C est dit simplement connexe si pour toutcycle � de ˝ on a

Int.� / D fz 2 CI Ind� .z/ 6D 0g � ˝

Ceci est équivalent à : si z 62 ˝ alors Ind� .z/ D 0:

Proposition 3.6.1. Dans tout domaine simplement connexe ˝ tel que 0 62 ˝; il existeune détermination du logarithme.

Démonstration 3.6.4. Comme ˝ est un domaine simplement connexe et 0 2 C n˝,alors Ind� .0/ D 0 pour tout cycle � de ˝:

En particulier si f .z/ D1

zalors

R� f .z/ dz D 0 et donc f admet une primitive

dans ˝, c-à-d qu’il existe une détermination du logarithme dans ˝:

Exercice 3.6.2. Tout domaine étoilé ˝ est simplement connexe. ˝ est étoilé par rap-port au point a 2 ˝ si pour tout z 2 ˝, le segment ŒaI z� WD f� 2 CI � D aC t.z�a/; 0 �

t � 1g � ˝,

Solution :Quitte à faire une translation on peut supposer que a D 0:

Soit alors W Œa; b�! ˝ un lacet et z0 62 ˝ fixé.Pour tout s 2 Œ0; 1� posons � .t; s/ D s .t/ et définissons le lacet �s par �s.t/ D s .t/:

On a pout tout s 2 Œ0; 1�, �s est un lacet de ˝ (car ˝ est étoilé par rapport à 0) et�1 D :

Puisque la fonction � est continue sur le compact Œa; b� � Œ0; 1� son image K D

[0�s�1��

s est un compact de C contenu dans ˝ ( puisque 0 est un centre de ˝).Donc la distance ı D dist.z0;K/ est strictement positive. Alors pour 0 < s � 1 on

pose

f .s/ D Ind�s.z0/ D

1

2i�

Z b

a

s 0.t/

s .t/ � z0

dt D Ind

�z0

s

�(3.33)

Cette dernière égalité montre que la fonction f est continue puisque Ind .:/ estcontinue sur C n �:

Il s’en suit que la fonction f est constante, d’où f .s/ D f .1/ D Ind .z0/:

Or quand s ! 0; z0

s!1 (car z0 6D 0), d’où pour s assez petit f .s/ D Ind .

z0

s/ D 0

et par suite Ind .z0/ D 0:

Exemples : C, un disque, un demi-plan, C n R�, une bande B D fz 2 CI a <

Im.z/ < bg sont des domaines simplement connexes.

Exercice 3.6.3. Montrer que les ensembles précédents sont des domaines étoilés.

Remarque 3.6.2. 1) Il existe des domaines simplement connexes et qui ne sont pasétoilés ; par exemple : ˝ D C n R� [ fz D t C i I �1 < t < 0g:

2) Les ensembles suivants ne sont pas simplement connexes :(i) ˝ D C n f0g n’est pas simplement connexe. (ii) l’extérieur du disque unité ˝ D

C nD.0I 1/ .(iii) Une couronne C.aI r IR/ D fz 2 CI r < jz � aj < Rg n’est pas simplement

connexe.

35

Définition 3.6.3. Soit ˝ un domaine de C: Un cycle � dans ˝ est dit homologue à 0

dans ˝ et on note � � 0 dans ˝ si : Int.� / � ˝:

On dit que deux cycles � et � 0 sont homologues dans ˝ si � � � 0 � 0 dans ˝:

Remarque 3.6.3. D’après le théorème précédent un domaine ˝ est simplement connexesi et seulement si tout cycle � dans ˝ est homologue à zéro modulo ˝.

3.7 Formule de Cauchy globale et applications

Théorème 3.7.1 (Formule de Cauchy globale). Soit ˝ un domaine de C et f 2 H.˝/:Alors pour tout cycle � de ˝ homologue à 0 et pour tout z 2 ˝ n � � on a

Ind� .z/:f .z/ D1

2i�

Z�

f .�/

� � zd�: (3.34)

Démonstration 3.7.1. Considérons la fonction g définie dans ˝ �˝ par

g.z; w/ D

8<:f .w/ � f .z/

w � zsi z 6D w

f 0.z/ si z D w(3.35)

On remarquera que pour tout z 2 ˝ n � �,R� g.z; �/ d� D 0 est équivalent à

Ind� .z/:f .z/ D1

2i�

Z�

f .�/

� � zd�:

On va alors montrer que pour tout z 2 ˝ n � �,R� g.z; �/ d� D 0:

Lemme 3.7.1. La fonction g est continue dans ˝ � ˝ et la fonction h définie parh.z/ WD

R� g.z; �/ d� est une fonction holomorphe dans ˝:

Démonstration 3.7.2 (du lemme). Soit .a; b/ 2 ˝ �˝:Si a 6D b alors dans un voisinage de .a; b/, g.z; w/ D f .w/�f .z/

w�zdonc holomorphe.

supposons maintenant que a D b:

Comme f est analytique dans ˝, il existe un disque D.aI r/ � ˝ tel que f .z/ DPC1nD0 an.z � a/n pour tout z 2 D.aI r/:

Alors pour .z; w/ 2 D.aI r/ �D.aI r/, z 6D w,

g.z; w/ Df .w/ � f .z/

w � zD

PC1nD0 an.w � a/n �

PC1nD0 an.z � a/n

w � z

D

C1XnD0

an.w � a/n � .z � a/n

w � zD g.a; a/C

C1XnD2

anqn.w; z/

(3.36)

où qn.w; z/ DPn

jD1.w � a/n�j .z � a/j�1.Comme jqn.w; z/j � nrn�1, il s’en suit que pour 0 < � � r

2et jw�aj < � ,jz�aj < �

jg.w; z/ � g.a; a/j �

C1XnD2

njanj�n�1� �

�C1XnD2

njanj.r

2/n�2

�par suite lim�!0 g.w; z/ � g.a; a/ D 0, d’où la continuité de g.

36

Pour montrer que h.z/ DR� g.z; �/ d� est holomorphe dans ˝, il suffit de montrer

que pour tout z0 2 ˝, il existe un disque D.z0I r/ � ˝ tel queR@R h.z/ dz D 0 pour tout

rectangle R � D.z0; r/ .Mais, R � � � est compact, g est uniformément continue dans R � � � et d’après le

théorème de FubiniZ@R

h.z/ dz D

Z@R

Z�

g.z; �/ d� dz D

Z�

Z@R

g.z; �/ dz d�:

Comme pour � fixé, l’application � 7! g.z; �/ est holomorphe dans ˝, on a d’aprèsle théorème de Goursat

R@R g.z; �/ dz D 0, et par suite

R@R h.z/ dz D 0: Ce qui termine

la preuve du Lemme.

On va maintenant, montrer que h admet un prolongement en une fonction entière Qhtelle que limjzj!C1 Qh.z/ D 0; et le théorème de Liouville va nous permetre de conclure.

Posons U WD Ext.� / D fz 2 CI Ind� .z/ D 0g: Alors U est un ouvert de C etcomme par hypothèse on a Ind� .z/ D 0 pour tout z 62 ˝ on a C n ˝ � U et doncC D ˝ [ U:

Soit h� la fonction définie dans U par h�.z/ DR�f .�/��z

d�: On va montrer que h�

est holomorphe dans U et que limjzj!C1 h�.z/ D 0:

Pour montrer que h� est holomorphe, on utilise la fonction auxiliaire g�.z; w/ Df .w/w�z

et le lemme précédent.

Maintenant, jh�.z/j � max�2� �ˇ̌̌f .�/��z

ˇ̌̌�.� /; Comme � � est compact, on a max�2� � jf .�/j <

C1 et max�2� �ˇ̌̌

1��z

ˇ̌̌�

1jjzj�max�2� � j�jj

:

Par suite jh�.z/j � 1jjzj�max�2� � j�jj

:max�2� � jf .�/j:�.� / d’où

limjzj!C1

h�.z/ D 0:

Si z 2 ˝ \ U et z 62 � �, alors

h.z/ D

Z�

g.z; �/ d� D h.z/ D

Z�

f .�/ � f .z/

� � zd�

D

Z�

f .�/

� � zd� � f .z/

Z�

1

� � zd� D h�.z/ � 2i�f .z/Ind� .z/

Dh�.z/

(3.37)

car Ind� .z/ D 0:

Par conséquent la fonction Qh définie dans C par

Qh.z/ D

(h.z/ si z 2 ˝

h�.z/ si z 2 U(3.38)

est une fonction entière telle que limjzj!C1

Qh.z/ D 0, d’après le théorème de Liouville, Qh

est identiquement nulle, d’oùR� g.z; �/ d� D h.z/ D 0 pour tout z 2 ˝:

Corollaire 3.7.1. Soit ˝ un domaine simplement connexe de C et f 2 H.˝/:Alors pour tout cycle � de ˝ et pour tout z 2 ˝ n � � on a

Ind� .z/:f .z/ D1

2i�

Z�

f .�/

� � zd�: (3.39)

37

Théorème 3.7.2. Soit ˝ un domaine de C et � un cycle de ˝:Les conditions suivantes sont équivalentes

(i) � homologue à 0 dans ˝ ( i.e. pour tout z 62 ˝, Ind� .z/ D 0:)

(ii)

Ind� .z/:f .z/ D1

2i�

Z�

f .�/

� � zd�

pour tout f 2 H.˝/ et pour tout z 2 ˝ n � �:

(iii) Z�

f .�/ d� D 0

pour tout f 2 H.˝/:

Démonstration 3.7.3. .

(i)) (ii) C’est le théorème précédent.

(ii)) (iii) Soit z 2 ˝ n � �: On pose F.w/ WD .w � z/f .w/, alors F 2 H.˝/ et F.z/ D 0:

Par suite Z�

f .�/ d� D

Z�

F.�/

� � zd� D 2i�:Ind� .z/:F.z/ D 0:

(iii)) (i) Soit z 62 ˝; alors la fonction f .w/ D 1w�z

est holomorphe dans ˝ et par suite

Ind� .z/ D1

2i�

Z�

1

� � zd� D

Z�

f .�/ d� D 0:

Corollaire 3.7.2. Un domaine de C est simplement connexe si et seulement si toutefonction holomorphe sur ce domaine admet une primitive.

3.7.1 Développement en série de Laurent

Soit r;R 2 RC [ fC1g, 0 � r < R:

L’ouvert C.aI r IR/ D fz 2 CI r < jz � aj < Rg est appelé couronne de centre a, derayon intérieur r et de rayon extérieur R:

Puisque C.aI r IR/ n’est pas un domaine simplement connexe, la formule de Cauchyn’est pas valable pour tout cycle � de ˝: En particulier elle n’est pas valable pour lecycle � D C.aI s/ le cercle de centre a et de rayon s; avec r < s < R:

Proposition 3.7.1. Soit f une fonction holomorphe dans la couronne C.aI r IR/: Pourtout n 2 Z, les intégrales

1

2i�

ZC.aIs/

f .�/

.� � a/nC1d�

ne dépendent pas de s, .r < s < R/:

38

Démonstration 3.7.4. Soit r < s < s0 < R alors C.aI s/ � C.aI s0/ dans C.aI r IR/.On applique alors le théorème précédent au cycle � D C.aI s/�C.aI s0/ et à la fonctionf .z/

.z � a/nC1holomorphe dans C.aI r IR/ .

Théorème 3.7.3. Toute fonction holomorphe dans une couronne C.aI r IR/ est déve-loppable en série de la forme

f .z/ D

C1X�1

an.z � a/n

dite série de Laurent, qui converge normalement dans tout compact K � C.aI r IR/:

De plus pour tout n 2 Z et s 2�r;RŒ on a, an D1

2i�

RC.aIs/

f .�/

.��a/nC1 d�:

Remarque 3.7.1. Le développement en série de Laurent est unique.

Démonstration 3.7.5. Fixons z 2 C.aI r IR/ et s; s0 tels que r < s < jz � aj < s0 < R:

Comme indice de z par rapport au cycle � D C.aI s0/ � C.aI s/ est égal à 1, la formulede Cauchy nous donne

f .z/ D1

2i�

ZC.aIs0/

f .�/

.� � z/d� �

1

2i�

ZC.aIs/

f .�/

.� � z/d�

En écrivant1

.� � z/D

C1XnD0

.z � a/n

.� � a/nC1avec convergence normale dans C.aI s0/, et

1

.� � z/D �

C1XnD0

.� � a/n

.z � a/nC1avec convergence normale dans C.aI s/:

On a donc

f .z/ D1

2i�

ZC.aIs0/

f .�/

C1XnD0

.z � a/n

.� � a/nC1d� C

1

2i�

ZC.aIs/

f .�/

C1XnD0

.� � a/n

.z � a/nC1d�

f .z/ D

C1XnD0

� 1

2i�

ZC.aIs0/

f .�/

.� � a/nC1d��.z�a/nC

C1XnD0

� 1

2i�

ZC.aIs/

f .�/.��a/nd�� 1

.z � a/nC1

d’où le résultat.

Définition 3.7.1. .

Soit f .z/ DC1X�1

an.z � a/n D

�1X�1

an.z � a/n C

C1X0

an.z � a/n le développement en série

de Laurent de f dans la couronne C.aI r IR/:

f�.z/ D

�1X�1

an.z � a/n est appelée partie principale de f et

fC.z/ D

C1X0

an.z � a/n est appelée parie régulière de f:

39

Exemple 3.7.1. 1. f .z/ D 1z2C1

est holomorphe dans C n f˙ig:

Soit a un point de HC D fz 2 CI Im.z/ > 0g, alors ja � i j < ja C i j: On poser D ja � i j et R D jaC i j:

f est holomorphe dans la couronne C.aI r IR/ et donc y admet un développementen série de Laurent, qu’on va calculer.

f .z/ D1

z2 C 1D

1

.z � i/.z C i/D

1

2i

1

z � i�

1

2i

1

z C i:

Si jz � aj > r , on a1

z � iD

1

z � a

1

1 � i�az�a

D

C1XnD0

.i � a/n

.z � a/nC1D

�1X�1

.z � a/n

.i � a/nC1:

Si jz � aj < r , on a 1zCiD

1iCa

11�a�z

iCa

D

C1XnD0

.a � z/n

.i C a/nC1

D’où pour tout z 2 C.aI r IR/, f .z/ D1

2i

nD�1X�1

.z � a/n

.i � a/nC1�

1

2i

C1XnD0

.a � z/n

.i C a/nC1

La partie principale est1

2i

nD�1X�1

.z � a/n

.i � a/nC1et la partie régulière est �

1

2i

C1XnD0

.a � z/n

.i C a/nC1:

En particulier si a D i , C.aI r IR/ D C.i I 0I 2/ et f .z/ D1

2i

1

z � i�

1

2i

C1XnD0

.i � z/n

.2i/nC1D

1

2i

1

z � iC

C1XnD0

.�1/nC1.z � i/n

.2i/nC2:

2. f .z/ D exp.1z/ est holomorphe dans C n f0g D C.0I 0IC1/:

Le développement en série de Laurent de f .z/ DC1XnD0

1

n!

1

znD 1 C

�1X�1

zn

.�n/!sa

partie régulière est 1 et sa partie principale est�1X�1

zn

.�n/!:

Corollaire 3.7.3. Pour toute fonction f holomorphe dans la couronne C.aI r IR/, l’in-tégrale 1

2i�

RC.aIs/ f .z/ dz pour tout r < s < R, est égale au coefficient a�1 du terme

1z�a

du développement en série de Laurent de f:

Corollaire 3.7.4 (Théorème de prolongement de Riemann). Soit f une fonction ho-lomorphe dans un ouvert ˝ sauf peut être en un point z0 2 ˝ et tel quelimz!z0

.z � z0/f .z/ D 0:

Alors f admet un prolongement (unique) en une fonction holomorphe sur ˝:

Démonstration 3.7.6. voir TD.

3.7.2 Singularités

On dit qu’une fonction f a une singularité isolée en un point z0 s’il existe r > 0 tel quef soit holomorphe dans le disque épointé D�.z0I r/ D D.z0I r/�fz0g: Comme D�.z0I r/

est une couronne, f .z/ y admet un développement en série de LaurentC1X�1

an.z � z0/n:

40

Il y a 3 types de singularités isolées :(1) Singularité apparente (ou fausse singularité)

f a une fausse singularité a en z0 si pour tout n < 0, les coefficients an D 0 (i.e. sapartie principale est nulle.)

Dans ce cas f admet un prolongement holomorphe au disque D.z0I r/ (Théorèmede prolongement de Riemann.)

(2) Pôlef a un pôle d’ordre m > 1 en z0 si pour tout n < �m, les coefficients an D 0 et a�m 6D 0:

Dans ce cas f .z/ DPC1�m an.z � z0/

n:

On dit aussi que f est méromorphe en z0:

(3) Singularité essentiellef a une singularité essentielle en z0 si pour une infinité de n < 0, les coefficients an 6D 0:

Exemple 3.7.2. (1) f .z/ D 1z2C1

a deux singularités isolées i et �i .

On a vu que dans le disque épointé D�.i I 2/ D C.i I 0I 2/, f .z/ D 12i

1z�iCPC1

nD0.�1/nC1.z�i/n

.2i/nC2 :

donc f a un pôle d’ordre 1 en i: De même f a un pôle d’ordre 1 en �i: (pour voir celadévelopper f en série de Laurent dans D�.�i I 2/ D C.�i I 0I 2/.)(2) f .z/ D exp.1

z/ a une singularité isolée en z D 0: On a vu que dans C n f0g D

C.0I 0IC1/ D D�.0IC1/, le développement en série de Laurent de f .z/ D 1 CP�1�1

zn

.�n/!d’où an D

1.�n/!

6D 0 pour tout n < 0, et donc f a une singularié essentielleen z D 0:

3.7.3 Calcul pratique des résidus

Définition 3.7.2. On appelle résidu de f au point z0, noté Res.f; z0/, le coefficienta�1 du développement en série de Laurent de f dans un disque épointé D�.z0I r/:

Soit ˝ un domaine et f .z/ D g.z/h.z/

tels que g et h sont holomorphes dans ˝ et h

non identiquement nulle. Alors les zéros de h sont isolés dans ˝: Comme chaque zéroa de h est de multiplicité finie, f est méromorphe en ce point.On va calculer le résidusde f au point a, distinguons deux cas :

(1) a est un pôle simple i.e. d’ordre 1:

Si a est un pôle simple, on a dans un disque épointé D�.a; r/, f .z/ D a�1

z�aCPC1

0 an.z � z0/n:

Alors .z � a/f .z/ D a�1 CPC1

0 an.z � z0/nC1 et donc lim

z!a.z � a/f .z/ D a�1 D

Res.f; a/:

Dans le cas où f .z/ D g.z/h.z/

on a

limz!a

.z � a/g.z/

h.z/D lim

z!ag.z/

z � a

h.z/D

g.a/

h0.a/

D’où Res.f; a/ Dg.a/

h0.a/:

(2) a est un pôle d’ordre m � 2:

Si a est un pôle d’ordre m � 2, on a dans un disque épointé D�.a; r/,f .z/ D a�m

.z�a/mC � � � C

a�1

z�aCPC1

0 an.z � z0/n:

Alors, .z � a/mf .z/ D a�m C � � � C a�1.z � a/m�1 CPC1

0 an.z � z0/nCm et donc

Res.f; a/ D a�1 D limz!a

h.z � a/mf .z/

.m � 1/!

i.m�1/:

41

3.7.4 Formule des résidus

Proposition 3.7.2. Soit f une fonction holomorphe dans D�.z0IR/:

Alors pour tout lacet contenu dans D�.z0IR/, on a1

2i�

Z

f .z/ dz D Res.f; z0/Ind .z0/ (3.40)

Démonstration 3.7.7. Comme f est holomorphe dans la couronne C.z0I 0IR/ D

D�.z0IR/ elle y admet un développement en série de LaurentC1X�1

an.z � z0/n; qui

converge uniformément sur tout compact K � D�.z0IR/; d’où

1

2i�

Z

f .z/ dz D

C1X�1

an

� 1

2i�

Z

.z � z0/n dz

�mais,

1

2i�

Z

.z � z0/n dz D

(0 si n 6D �1

Ind .z0/ si n D �1(3.41)

D’où 12i�

R f .z/ dz D a�1Ind .z0/ D Res.f; z0/Ind .z0/:

Théorème 3.7.4 (Théorème des résidus). Soit ˝ un domaine de C: Soit A un sous-ensemble discret de ˝ et � un cycle contenu dans ˝ nA tel que � � 0 dans ˝:

Alors pour toute fonction f holomorphe dans C nA, on a (la formule des résidus)1

2i�

Z�

f .z/ dz DXa2A

Res.f; a/Ind� .a/ (3.42)

Démonstration 3.7.8. Soit B D fa 2 AI Ind� .a/ 6D 0g: B est alors contenu dans lecomplémentaire W de la composante non bornée de C n � �; qui est compact.Montrons que B est fini.Sinon, il existe une suite fang de points de B, deux à deux disjoints, qui converge versun point a 2 W: Comme B est discret dans ˝, a 62 ˝, et par suite a 62 � �; par consé-quent l’indice de a par rapport a � est bien défini et Ind� .a/ D limn!C1 Ind� .an/,par continuité de la fonction indice. D’où Ind� .a/ 6D 0; mais ceci contredit l’hypothèseque � est homologue à 0 modulo ˝: Donc la somme

Pa2A Res.f; a/Ind� .a/ se réduit

à la somme finieP

a2B Res.f; a/Ind� .a/: Notons B D fa1; : : : ; amg:

En chaque aj 2 B, f admet un développement en série de Laurent f .z/ DP�N2Z a

jn.z�

aj /n dans un disque D.aj ; rj /� faj g � ˝ n �

� [A. On peut choisir les rayons rj assezpetit, pour que les disques D.ai ; ri/ soient disjoints.On remarquera que chaque partie principale définit une fonction holomorphe Pj sur

C � faj g, Pj .z/ DP

n2N�aj�n

.z�aj /net que

1

2i�

Z�

Pj .z/ dz D Res.f; ai/Ind� .ai/:

La fonction g.z/ D f .z/�

mXjD1

Pj .z/ admet un prolongement en une fonction holomorphe

sur ˝ (en effet, en aj , f .z/ � Pj .z/ DXn2N

ajn.z � aj /

n dans D.aj ; rj / etX

j 0 6Dj

Pj 0 est

42

holomorphe sur D.aj ; rj /) et comme Int.� / � ˝, la formule de Cauchy globale nousdonne :

0 D1

2i�

Z�

g.z/ dz D1

2i�

Z�

f .z/ dz �

mXiD1

�1

2i�

Z�

Pj .z/ dz

�

D1

2i�

Z�

f .z/ dz �

mXiD1

Res.f; ai/Ind� .ai/

3.7.5 Application au calcul intégral

Il s’agit de calculer une intégrale définie d’une fonction d’une variable réelle sans expliciterde primitive. L’idée est de trouver une fonction holomorphe convenable et un cycle convenablequi permettent de calculer l’intégrale cherchée. En pratique les cycles choisit sont des lacetssimples i.e. divise le plan complexe en deux composantes connexes, une bornée d’indice 1 etl’autre non bornée d’indice 0: Dans ce cas la formule des résidus ne tient compte que des pointsintérieurs. La méthode de calcul des intégrales par la méthode des résidus utilise souvent l’idéede limite sur des cycles, et ceci dépend des lemmes suivants (souvent attribués à C.Jordan).Lemme 3.7.2 (Lemme A). 1) Soit f une fonction continue sur l’ensemble

S1 D fz 2 CI 0 < jz � aj < r; ˛1 � arg.z � a/ � ˛2g a 2 C; r > 0; ˛1 < ˛2:

Soit � l’arc de cercle de centre a de rayon � contenu dans S1: La condition

limz!az2S1

.z � a/f .z/ D 0

entraîne que lim�!0

R �f .z/ dz D 0:

2) Soit f une fonction continue sur l’ensemble

S2 D fz 2 CI jz � aj > R; ˛1 � arg.z � a/ � ˛2g a 2 C;R > 0; ˛1 < ˛2:

Soit � l’arc de cercle de centre a de rayon � contenu dans S2: La condition

limjzj!C1

z2S2

.z � a/f .z/ D 0

entraîne que lim�!C1

R �f .z/ dz D 0:

Démonstration 3.7.9. Dans les deux cas la longueur de � est égales à .˛2 � ˛2/�: Alorsˇ̌̌ Z �

f .z/ dzˇ̌̌� .˛2 � ˛1/� sup

z2 �

jf .z/j D .˛2 � ˛1/ supz2 �

j.z � a/f .z/j;

et l’hypothèse assure le résultat.

Lemme 3.7.3 (Lemme B). Soit g une fonction continue dans le demi-plan supérieur HC Dfz 2 CI Im.z/ � 0g tendant vers 0 lorsque jzj ! C1 dans HC.

Soit C� le demi-cercle de centre 0 et de rayon � contenu dans HC: Alors pour tout ˛ > 0

fixé, on a

lim�!C1

ZC�

ei˛zg.z/ dz D 0

43

Démonstration 3.7.10. Ceci va dépendre de l’inégalité suivante

2�

�� sin.�/ pour 0 � � �

�

2

On écrit z D �ei� ; 0 � � � �: L’intégrale devient

I� D

ZC�

ei˛zg.z/ dz D

Z �

0

ei˛�.cos.�/Ci sin.�//g.�ei� /i�ei� d�:

Soit M� le maximum de jg.z/j sur C�; alors jI�j � �R �

0jg.�ei� /je�˛� sin.�/ d� � �M�

R �0

e�˛� sin.�/ d� �

2�M�

R �2

0e�˛� sin.�/ d� � 2�M�

1�e�˛�

˛� 2�

��˛

M� On termine la preuve en utilisant l’hypothèselim�!C1M� D 0:

Lemme 3.7.4 (Lemme C). Soit a un pôle simple de la fonction f , � un arc de cercle de centrea et de rayon � (orienté dans le sens positif), d’ouverture angulaire ˛; 0 � ˛ � 2�: Alors

lim�!0

Z �

f .z/ dz D i˛Res.f; a/:

Démonstration 3.7.11. Comme a est un pôle simple, le développement de Laurent de f dansune couronnne D�.a; �/ donne,

f .z/ DRes.f; a/

z � aC g.z/

et une constante M > 0 telle que jg.z/j �M pour tout z 2 D�.a; �/: AlorsZ �

f .z/ dz D Res.f; a/

Z �

1

z � adz C

Z �

g.z/ dz

Un calcul direct donne Z �

1

z � adz D i˛

D’autre partˇ̌̌ R �

g.z/ dzˇ̌̌�M�. �/ DM˛�! 0 lorsque �! 0:

Intégrale de fractions rationnelles de fonctions trigonométriques

Soit R D PQ

où P;Q 2 CŒx;y�, telle que Q ne s’annule en aucun point du cercle unitéf.x;y/ 2 R2Ix2 C y2 D 1g:

On considère l’intégrale :

I D

Z 2�

0

R.sin t; cos t/ dt (3.43)

Pour t 2 R on pose z D eit alors dt D dziz, sin t D 1

2i.z � 1

z/ et cos t D 1

2.z C 1

z/:

Soit F la fraction rationnelle en z défine par

F.z/ D R� 1

2i

�z �

1

z

�;

1

2

�z C

1

z

�� 1

iz

Soit le cercle unité orienté dans le sens positif et A l’ensemble des pôles de F dans ledisque unité, alors

I D

Z

F.z/ dz D 2i�Xz2A

Res.F; z/Ind .z/ D 2i�X

z2A\D.0I1/

Res.F; z/ (3.44)

44

Exemple 3.7.3. Soit à Calculer I DR 2�

0dt

aCsin tdt , a > 1:

Dans ce cas R.x;y/ D 1aCx

et alors F.z/ D 1i

1

aC 12i.z� 1

z /

1zD

2z2C2ia�1

:

D’autre part z2C2aiz�1 D .z� .�iaC ip

a2 � 1//.z� .�ia� ip

a2 � 1//, d’où le seul pôlede F dans D.0I 1/ est z0 D �iaC i

pa2 � 1:

Ce pôle est simple et le résidu en ce point se calcule par

Res.F; z0/ D limz!z0

.z � z0/F.z/ D2

2.�iaC ip

a2 � 1/C 2iaD

1

ip

a2 � 1

D’où I D 2i�1

ip

a2 � 1D

2�p

a2 � 1:

Intégrale de fractions rationnelles d’une variable réelle

Soit f WR ! R une continue telle que limjxj!C1 xf .x/ D 0 ; alors f est intégrable sur R:On veut calculer

I D

Z C1�1

f .x/ dx:

Exemple 3.7.4. f .x/ D P.x/Q.x/

où P;Q 2 RŒx�, degQ � degP C 2 et Q.x/ 6D 0 pour tout x 2 R:

On suppose que la fonction f admet une extension holomorphe F à C n A où A est unensemble fini disjoint de R; telle que limjzj!C1 zF.z/ D 0:

Soit r > 0 assez grand, tel que le disque de centre 0 et de rayon r contient A: On poseUr D fz 2 CI Im.z/ � 0 et jzj � rg et r le demi-cercle de centre 0 et de rayon r contenu dansUr :

D’après le théorème des résidus appliqué à F et au lacet Œ�r; r � [ r (orienté dans le senspositif), on a Z Cr

�r

f .x/ dx C

Z r

F.z/ dz D

Z@Ur

F.z/ dz D 2i�X

a2A\Ur

Res.F; a/

D’après le Lemme A, pour ˛1 D 0 et ˛2 D � , on a limr!C1

Z r

F.z/ dz D 0;

de plus limr!C1

Z Cr

�r

f .x/ dx D I car f est intégrale sur R; d’où

I D

Z C1�1

f .x/ dx D 2i�Xfles résidus de F dans le demi-plan supérieurg

Exemple 3.7.5. Soit à calculer I DR C1�1

dxx4C1

: Dans ce cas F.z/ D 1z4C1

est une extensionde f holomorphe dansC n fe i�

4 ; e3i�

4 ; e5i�

4 ; e7i�

4 g et limjzj!C1

zF.z/ D 0: Les pôles de F sont simples et seulement ei�4 et

e3i�

4 sont dans le demi-plan supérieur. D’où

I D

Z C1�1

dx

x4 C 1D 2i�.Res.

1

z4 C 1; e

i�4 /CRes.

1

z4 C 1; e

3i�4 //

D 2i���

1

4e

i�4 �

1

4e

3i�4

�D 2i�.�

i

2p

2/

D�p

2

(3.45)

45

Intégrales de fonctions ayant eix en facteur

I) Soit f une fonction de la variable réelle x admettant une extension holomorphe F à˝ nA, où ˝ est un voisinage ouvert du demi-plan supérieur HC D fz 2 CI Im.z/ � 0g et A unensemble fini disjoint de R telle quelim

jzj!C1F.z/ D 0: Soit ˛ > 0 un réel fixé. On veut calculer I D

R C1�1

f .x/ei˛x dx: Soit r > 0

assez grand, tel que le disque de centre 0 et de rayon r contient A: On pose Ur D fz 2 CI Im.z/ �0 et jzj � rg et r le demi-cercle de centre 0 et de rayon r contenu dans Ur :

Le théorème des résidus appliqué à F.z/ei˛z et au lacet Œ�r; r � [ r (orienté dans le senspositif), nous donneZ Cr

�r

f .x/ei˛x dx C

Z r

F.z/ei˛z dz D

Z@Ur

F.z/ei˛z dz D 2i�X

a2A\Ur

Res.Fei˛z ; a/

D’après le Lemme B, limr!C1

Z r

F.z/ei˛z dz D 0; d’où

limr!C1

Z Cr

�r

f .x/ei˛x dx D 2i�Xf résidus de F.z/ei˛z dans le demi-plan supérieurg

Si de plus f .x/ei˛x est intégrable on a :

I D limr!C1

Z Cr

�r

f .x/ei˛x dx D 2i�Xf résidus de F.z/ei˛z dans le demi-plan supérieurg

Remarque 3.7.2. Si ˛ < 0 on obtient en prenant les résidus dans le demi-plan inférieurH� D fz 2 CI Im.z/ � 0g:

I D limr!C1

Z Cr

�r

f .x/ei˛x dx D �2i�Xf résidus de F.z/ei˛z dans le demi-plan inférieurg

Exemple 3.7.6. Soit à calculer pour b > 0, I DR C1

0cos x

x2Cb2 dx:

Comme f .x/ D cos xx2Cb2 est une fonction paire on a I D 1

2

R C1�1

cos xx2Cb2 dx D 1

2Re� R C1�1

eix

x2Cb2 dx�:

Le seul pôle de F.z/ D eiz

z2Cb2 dans HC est ib et ce pôle est simple, d’où

I D1

2Re�Z C1�1

eix

x2 C b2dx

�D

1

2Re�

2i�Res.eix

x2 C b2; ib/

�D

1

2Re

2i�

e�b

2ib

!D�e�b

2b:

II) On examine maintenant le cas où F.z/ a des singularités sur l’axe des réels i.e. A\R 6D ;:Soit x1 < � � � < xn les points singuliers de F dans R: On suppose que les xi sont des pôles simples.Dans ce cas il convient de modifier le chemin d’intégration afin de contourner les points xi :

Soit r > 0 assez grand, tel que le disque de centre 0 et de rayon r contient A: Soit r ledemi-cercle de centre 0 et de rayon r contenu dans HC et �.j / le demi-cercle de centre xj etde rayon � contenu dans HC:

D’après le théorème des résidus appliqué à F.z/ei˛z et au lacet r [ Œ�r;x1 � �� [�[n

jD1

�.j /�[�[n�1

jD1 Œxj C �;xjC1 � ���[ �.n/ [ Œxn C �; r � (orienté dans le sens positif), on a

Z r

F.z/ei˛z dz C

Z x1��

�r

f .x/ei˛x dx C

nXjD1

Z �.j/

F.z/ei˛z dzC

n�1XjD1

ZŒxjC�;xjC1���

f .x/ei˛x dx C

Z r

xnC�

f .x/ei˛x dx

D 2i�X

a2A\HCRes.Fei˛z ; a/

(3.46)

46

Le Lemme C nous donne lim�!0

R �.j/

F.z/ei˛z dz D �i�Res.F.z/ei˛z ;xj /, et le Lemme B,limr!C1

R r

F.z/ei˛z dz D 0; d’où

limr!C1�!0

Z x1��

�r

f .x/ei˛x dx C

n�1XjD1

Z xjC1��

xjC�

f .x/ei˛x dx C

Z r

xnC�

f .x/ei˛x dx

D 2i�Xf résidus de F.z/ei˛z dans le demi-plan supérieur ouvertg

C i�Xf résidus de F.z/ei˛z dans Rg

(3.47)

Si de plus f .x/ei˛x est intégrable on a :

I D

Z 1�1

f .x/ei˛x dx D2i�Xf résidus de F.z/ei˛z dans le demi-plan supérieur ouvertg

C i�Xf résidus de F.z/ei˛z dans Rg

(3.48)

Exemple 3.7.7. Soit à calculer I DR C1

0sin x

xdx:R C1

0sin x

xdx D 1

2

R C1�1

sin xx

dx D 12i

lim�!0

h R ���1

eix

xdx C

R C1�

eix

xdxiD’après ce qui précède

1

2ilim�!0

h Z ���1

eix

xdx C

Z C1�

eix

xdxiD

1

2i.i�Res.

eiz

z; 0// D

1

2i.i�/ D

�

2:

et de l’intégrabilité de sin xx

sur R, on obtient I D �2:

Intégrales de fonctions ayant x�˛ en facteur, ˛ 2�0; 1Œ

Soit f une fonction holomorphe dans CnA, A fini disjoint de RC, telle que limjzj!C1 f .z/ D0; alors x�˛f .x/ est intégrale sur RCI Il s’agit de calculer I D

R C10

x�˛f .x/ dx: Pour toutedétermination l.z/ de Ln.z/, on a la détermination e�˛l.z/ de z�˛: On prend la déterminationsur C n RC définie par

Ln.z/ D Lnjzj C i arg.z/ avec 0 < arg.z/ < 2�:

Soit r > 0 assez grand, tel que le disque de centre 0 et de rayon r contient A et � > 0 assez petit,tel que le disque fermé de centre 0 et de rayon � ne rencontre pas A: Soit r .�/ l’arc de cerclede centre 0 et de rayon r et d’ouverture angulaire � � � � 2� ��, �.�/ l’arc de cercle de centre0 et de rayon � et d’ouverture angulaire � � � � 2� � �, Œrei�; �ei�� et Œ�ei.2���/; rei.2���/�

des segments. Soit � .�; r; �/ le lacet (orienté positivement) obtenu en joignant tous ces chemin.On choisit � > 0 assez petit pour que A soit à l’intérieur de � .�; r; �/. D’après le théorème desrésidus Z

� .�;r;�/

z�˛f .z/ dz D 2i�Xf résidus de z�˛f .z/ dans C n RC g

Soit g.z/ D z�˛f .z/: Comme jzg.z/j D jz1�˛f .z/j D jzj1�˛jf .z/j, ˛ 2�0; 1Œ, limjzj!C1 f .z/ D0 et f holomorphe en 0 on alors lim jzj!C1

jzj!0

zg.z/ D 0 et d’après le Lemme A

lim�!0�!0

Z �.�/

z�˛f .z/ dz D lim�!0

r!C1

Z r .�/

z�˛f .z/ dz D 0:

D’autre part

lim�!0�!0

r!C1

ZŒrei�;�ei��

z�˛f .z/ dz D

Z 0

C1

x�˛f .x/ dx

47

et

lim�!0�!0

r!C1

ZŒ�ei.2���/;rei.2���/�

z�˛f .z/ dz D

Z C10

x�˛e�2i˛�f .x/ dx

Alors, lorsque �! 0 ; � ! 0 et r !C1

lim�!0�!0

r!C1

Z� .�;r;�/

z�˛f .z/ dz D

Z C10

x�˛f .x/ dx �

Z C10

x�˛e�2i˛�f .x/ dx

D .1 � e�2i˛�/I D2i sin.˛�/

ei˛�I

(3.49)

Finalement

I D

Z C10

x�˛f .x/ dx D�ei˛�

sin.˛�/

Xf résidus de z�˛f .z/ dans C n RCg:

Exemple 3.7.8. Montrons que pour 1 < a < 2,Z C10

xa�1

x2 C 1dx D

�

2 sin.a�2/:

Les pôles de za�1

z2C1sont ˙i et sont simples, alors

Res.za�1

z2 C 1; i/ D

ia�1

2iRes.

za�1

z2 C 1;�i/ D �

.�i/a�1

2i

et leur somme est égale à

ia�1

2i�.�i/a�1

2iD

1

2i.e.a�1/ i�

2 � e.a�1/ 3i�2 / D �

1

2.e

ai�2 C e

3ai�2 / D �eai� cos.

a�

2/

D’où Z C10

xa�1

x2 C 1dx D

�e�ai�

sin.a�/eai� cos.

a�

2/ D

� cos.a�2/

sin.a�/D

�

2 sin.a�2/:

Intégrale de fonctions ayant Ln.x/ en facteur

Soit f une fonction holomorphe dans CnA, A fini disjoint de RC, telle que limjzj!C1 zf .z/ D

0; alors f .x/Ln.x/ est intégrale sur RCI Il s’agit de calculer I DR C1

0f .x/Ln.x/ dx:

On prend la détermination sur CnRC définie par Ln.z/ D LnjzjCi arg.z/ avec 0 < arg.z/ <2�:

Le théorème des résidus appliqué à f .z/�Ln.x/

�2 et au lacet � .�; r; �/ , nous donne lorsque�! 0 ; � ! 0 et r !C1

Z C10

f .x/�Ln.x/

�2dx �

Z C10

f .x/�Ln.x/C 2i�

�2dx

D �4i�

Z C10

f .x/Ln.x/ dx � 4�2�

Z C10

f .x/ dx

D 2i�Xf residus de f .z/

�Ln.z/

�2g

(3.50)

Si l’on sait calculer J DR C1

0f .x/ dx la formule précédente fournit I D

R C10

f .x/Ln.x/ dx:

Dans le cas où f .x/ est à valeurs réelles, par séparation des parties réelle et imaginaire dansla formule précédente on obtient I et J:

48

Exemple 3.7.9. On veut calculer I DR C1

0Ln.x/

.1Cx/2dx

La fonction .Ln.z//2

.1Cz/2a un pôle de multiplicité 2 en z D �1 d’où

Res. .Ln.z//2

.1Cz/2;�1/ D limz!�1

�.1C z/2 .Ln.z//2

.1Cz/2

�0D �2i�:

Alors I D �12Re.�2i�/ D 0:

3.8 Applications conformes, Transformation homographiqueset Automorphismes

Définition 3.8.1. Soit ˝ un domaine de C une fonction méromorphe sur ˝ est unefonction holomorphe à l’exception d’un sous-ensemble discret formés de pôles.

Aors une fonction méromorphe est une fonction f W ˝ ! bC telle que l’ensemble despôles f �1.f1g/ est un ensemble discret de ˝ et f j˝�f �1.f1g/ est holomorphe.

On note M.˝/ l’ensemble des fonctions méromorphes sur ˝:

Exercice 3.8.1. Montrer que M.˝/ est un corps sur C:

Définition 3.8.2. Une fonction méromorphe f W ˝ ! bC est une application conformesi elle est injective.

Corollaire 3.8.1. Si f est conforme alors f 0.z/ 6D 0 pour tout z 2 ˝:

Corollaire 3.8.2. Si f est conforme alors f préserve les angles.

Définition 3.8.3. Soient ˝ et ˝ 0 deux domaines de bC.Un isomorphisme de ˝ sur ˝ 0 est une une bijection h W ˝ ! ˝ 0 telle que h et h�1

soient des fonctions méromorphes.Un automorphisme de ˝ est une isomorphisme h W ˝ ! ˝: On notera par Aut.˝/

le groupe des automorphismes de ˝:

Remarque 3.8.1. On notera que si ˝;˝ 0 � C alors un isomorphisme h W ˝ ! ˝ 0

est une fonction biholomorphe, i.e. h et h�1 sont des fonctions holomorphes. En effet,1 62 ˝ et 1 62 ˝ 0:

Il y a deux questions naturelles :

1. Déterminer Aut.˝/

2. Etant donné deux domaines ˝ et ˝ 0: décider s’ils sont isomorphes.

On va commencer par répondre à la première question dans le cas où :˝ D bC, C, D.0; 1/ et HH

3.8.1 Homographies (ou transformation de Möbius)

Définition 3.8.4. soit a; b; c; d des nombre complexes tels que ad � bc 6D 0: On appellehomographie associée à .a; b; c; d/ est l’application h W bC! bC

définit par :

49

si c 6D 0

h.z/

8̂<̂:

azCbczCd

si z … f�cd;1g

ac

si z D1;

1 si z D �cd

si c D 0

h.z/

(ad

z C bd

si z 6D 1;

1 si z D �cd

Remarque 3.8.2. 1. Une homographie est une bijection d’inverse z 7!dz � b

�cz C a:

2. Sans perte de généralité, on peut supposer que ad � bc D 1:

3. Si on multiplie les complexes a; b; c; d par �1, ceci ne modifie pas la transformationhomographique associée.

On peut alors définir une application � de SL.2;C/ D��

a b

c d

� ˇ̌a; b; c; d 2 C et ad � bc D 1

�dans Aut.bC/, par �a b

c d

�7! h l’homographie associée à a; b; c; d:

Proposition 3.8.1. � est un homomorphisme de groupes de noyau ker =phi D f˙Ig:

L’application � passe au quotient et induit un monomorphisme de groupe des ho-mographies PSL.2;C/ D SL.2;C/=f˙Ig dans Aut.bC/: On montrera par la suite quel’application est surjective, donc Aut.bC/ est exactement le groupe des homographies i.e.PSL.2;C/:

Points fixes d’une homographie et birapport

Définition 3.8.5. Soit h une homographie associée a .a; b; c; d/. Le pointz 2 bC est unpoint fixe de h si h.z/ D z:

Alors h.z/ D z si et seulement si z D1 ou z 2 C et cz2 C .d � a/z C b D 0:

O va considérer deux cas1. Si c D 0 alors ad D 1

si a D d alors h.z/ D z C bd

et donc 1 est l’unique point fixe si a 6D d alorsh.z/ D a

dz C b

det donc 1 et z D b

d�asont les points fixes

2. Si c 6D 0, dans ce cas les points fixes de h sont solution de cz2C .d � a/zC b D 0

i.e..a � d/˙

p.a � d/2 C 4bc

2c, où

p.a � d/2 C 4bc est une détermination de la

racine carrée.

Corollaire 3.8.3. Une homographie différente de l’identité a plus 2 points fixes

Proposition 3.8.2. Soit z2, z3, z4 trois point de bCAlors il existe une unique homographie h telle que h.z2/ D 0, h.z3/ D 1 et h.z4/ D1:

Démonstration 3.8.1. 1. Existenceon pose A.z/ D

z � z3

z � z4

:z2 � z4

z2 � z4

: Alors A.z2/ D 0, A.z3/ D 1 et A.z4/ D1:

50

2. UnicitéSoit h une autre homographie vérifiant les conditions, alors A ı h�1 a trois pointsfixes, c’est donc l’identité ainsi h D A:

Remarque 3.8.3. Si z2 D 1 alors A.z/ Dz � z3

z � z4

Si z3 D 1 alors A.z/ Dz2 � z4

z � z4

et

Si z4 D1 alors A.z/ Dz � z3

z2 � z3

:

Corollaire 3.8.4. Soit .z1; z2; z3/ et .w1; w2; w3/ deux triplets de points de bCAlors il existe une unique homographie h telle que h.zi/ D wi, i 2 f1; 2; 3g: en

d’autres termes une homographie est déterminée par l’image de 3 points.

Démonstration 3.8.2. D’après 3.8.2, il existe des homographies f et g telles quef .z1/ D g.w1/ D 0, f .z2/ D g.w2/ D 1 et f .z3/ D g.w3/ D1:

Alors, h D g�1 ı f convient.

Définition 3.8.6. Le birapport de quatre points distincts z1; z2; z3; z4 de bC, noté Œz1; z2; z3; z4�

est l’image de z1 par l’homographie A W z 7! z�z3

z�z4: z2�z4

z2�z4i.e. Œz1; z2; z3; z4� D

z � z3

z � z4

:z2 � z4

z2 � z4

:

(avec les valeurs limite si l’un des zi est 1:

Proposition 3.8.3. Le birapport est invariant par homographie.

Démonstration 3.8.3. Soit quatre points distincts z1; z2; z3; z4 de bC et h une homo-graphie. Alors A ı h�1 est une homographie telle que : A ı h�1 est une homographievérifiant A ı h�1.h.z2// D 0, A ı h�1.h.z3// D 1 et A ı h�1.h.z4// D1.

Ainsi, A.z/ D A ı h�1.h.z// Dh.z/ � h.z3/

h.z/ � h.z4/:h.z2/ � h.z4/

h.z2/ � h.z4/;

d’où Œz1; z2; z3; z4� D h.Œz1/; h.z2/; h.z3/; h.z4/�:

Définition 3.8.7. Un cercle dans bC est soit un cercle euclidien ou une droite euclidienneà qui on adjoint le point 1:

Proposition 3.8.4. Le birapport Œz1; z2; z3; z4� est un nombre réel si et seulement siz1; z2; z3; z4 appartiennent au même cercle.

Démonstration 3.8.4. .Ceci est une conséquence de arg.Œz1; z2; z3; z4�/ D arg

�z1 � z3

z1 � z4

�� arg

�z2 � z3

z2 � z4

�:

Ainsi, Œz1; z2; z3; z4� 2 R si et seulement si arg.Œz1; z2; z3; z4�/ � 0Œ�� si et seulement si

arg

�z1 � z3

z1 � z4

�� arg

�z2 � z3

z2 � z4

�Œ��:

Proposition 3.8.5. Une homographie envoie un cercle sur un cercle.

Démonstration 3.8.5. Soit C un cercle et z1; z2; z3; z4 quatre points distincts de cecercle.

Soit h une homographie, alors h.Œz1/; h.z2/; h.z3/; h.z4/� D Œz1; z2; z3; z4� 2 R: D’oùh.C/ est un cercle.

51

Soit HC WD fz 2 C j Im.z/ > 0g: On remarquera que HC est un disque de bC de bordle cercle bR D R [1:

Proposition 3.8.6. Soit H W bC! bC l’homographie définie par H.z/ Dz � i

z C i: Alors H

est un isomorphisme de HC sur D.0; 1/:

Démonstration 3.8.6. On a H.0/ D �1 2 C.0; 1/, H.1/ D 1�i1Ci2 C.0; 1/ et H.1/ D

1 2 C.0; 1/, donc H envoie bR sur C.0; 1/:

Comme H.i/ D 0 2 D.0; 1/ par connexité, H.HC/ � D.0; 1/, de même H�1.D.0; 1// �

HC:

Automorphismes de bC, C, D.0; 1/ et HC

Théorème 3.8.1. Une fonction entière f 2 Aut.C/ si et seulement si il existe a; b 2 C,a W not D 0 tels que f .z/ D az C b pour tout z 2 C:

Théorème 3.8.2. Aut.bC/ D PSL.2;C/:

Théorème 3.8.3. h 2 Aut.D.0; 1/ si et seulement si il existe a; b 2 C, jaj2 � jbj2 D 1

et h.z/ Daz C b

Nbz C Napour tout z 2 D.0; 1/:

Théorème 3.8.4. Aut.HC/ D PSL.2;R/ WD��

a b

c d

� ˇ̌a; b; c; d 2 R et ad � bc D 1

�ıf˙Ig:

Le théorème de la représentation conforme

Théorème 3.8.5. Tout domaine simplement connexe ˝ de C et distinct de C estisomorphe au disque unité ouvert D.0; 1/:

Remarque 3.8.4. Le plan complexe C n’est pas isomorphe à D.0; 1/:

En effet, s’il existe un isomorphisme h W C ! D.0; 1/ alors, d’après le théorème deLiouville, h est constante, ce qui contredit l’injectivité.

3.8.2 Caractérisation des domaines simplement connexes

La topologie sur bC D C [ f1g est décrite comme suit :Un sous-ensemble U � bC est ouvert si :

1. U \ C est ouvert dans C2. Si 1 2 U , alors il existe R > 0 tel que fz 2 Cjjzj > Rg � U:

Théorème 3.8.6. Un domaine ˝ de C est simplement connexe si et seulement si soncomplémentaire dans le plan étendu bC D C [ f1g est connexe.

Cette condition dit que dans un domaine simplement connexe (i.e. "sans trous") unlacet n’entoure pas un point extérieur au domaine.

52

Démonstration 3.8.7. La condition est suffisante :Soit � un cycle dans ˝.Si ˝ est un domaine tel que son complémentaire est connexe et donc contenu dans

une des composantes délimitées par �; comme 1 est un point du complémentaire de˝ dans bC, alors il est contenu dans la composante non-bornée déterminée par �: Parconséquent Ind� .z/ D 0 pour tout z 2 C n˝ d’où ˝ est simplement connexe.

La condition est nécessaire :Supposons au contraire que bC n˝ D A[B avec A et B fermés non vides de bC tels

que A \ B D ;:

Alors l’un des deux ensembles contient 1 et l’autre est par conséquent est borné.On suppose que A est borné, il est alors nécessairement compact.

Soit ı > 0 la distance entre A et B. Soit z0 2 A:

On prend une partition de C par des carrés Ci de côtés a de longueur < ıp2, dont

l’un des carré, noté C0 est centré en z0.On note par i D @Ci le bord du carré Ci orienté positivement.On considère maintenant le cycle

� D

nXiD0

i (3.51)

où la somme est sur tous les carrés Ci tel que Ci \A 6D ;:

Comme z0 est contenu dans un seul carré C0, alors Ind� .z0/ D Ind 0.z0/ D 1:

Il est clair que � ne rencontre pas B:

Mais, obtient aussi après réduction, que � ne rencontre pas A: En effet, chaque côtéqui rencontre A est commun à deux carrés et comme ces côtés sont orientés dans desdirections opposées leur somme est nulle, dont n’apparait pas dans l’expression réduitede � .

Par suite � est contenu dans ˝ et Ind� .z0/ D 1 6D 0 avec z0 2 Cn˝, d’où ˝ n’estpas simplement connexe.

53