Table des matières - eric semail: Web...

I

Table des matières

Chapitre I . Éléments de mécanique du solide ............................. 1 Introduction............................................................................................ 1 1. ÉLEMENTS DE CINEMATIQUE............................................................................................1

1.1. Définitions - systèmes de coordonnées - repère .....................................................2 1.1.1. Coordonnées cartésiennes - repère cartésien............................................................2 1.1.2. Coordonnées cylindropolaires - repère cylindropolaire...........................................3

1.2. Relations entre les différentes grandeurs cinématiques.......................................4 1.2.1. De la vitesse à la position et à l'accélération.............................................................4

1.2.1.1. Cas d'un solide indéformable en translation......................................................4 1.2.1.2. Cas d'un solide indéformable en rotation autour d'un axe .................................4

1.2.2. De l'accélération à la vitesse et à la position.............................................................4 1.2.2.1. Cas d'un solide indéformable en translation......................................................5 1.2.2.2. Cas d'un solide indéformable en rotation autour d'un axe .................................5

1.2.3. De la position à la vitesse, à l'accélération................................................................5 2. ÉLEMENTS DE DYNAMIQUE DU SOLIDE...........................................................................5

2.1. Le référentiel.................................................................................................................5 2.2. Cas d'un solide en rotation autour d'un axe..........................................................6

2.2.1. Moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation......................................................6 2.2.1.1. Définition..........................................................................................................6 2.2.1.2. Expression de moments d'inertie classiques......................................................7 2.2.1.3. Propriété d’additivité........................................................................................8 2.2.1.4. Rayon de giration, une notion industrielle ........................................................8 2.2.1.5. Détermination d'un moment d'inertie................................................................8

2.2.2. Énergie cinétique - puissance cinétique ....................................................................8 2.2.3. Différents types de couple, appellations.................................................................8 2.2.4. Théorème fondamental de la dynamique..................................................................9 2.2.5. Expression en terme de puissance du théorème fondamental de la dynamique......10

2.3. Cas d'un solide en translation............................................................................... 10 2.3.1. Énergie cinétique et puissance cinétique.................................................................10 2.3.2. Différents types de forces......................................................................................10 2.3.3. Théorème fondamental de la dynamique................................................................10 2.3.4. Expression en terme de puissance du théorème fondamental de la dynamique......11

3. TRANSMETTEURS MECANIQUES......................................................................................11

3.1. Panorama succinct................................................................................................... 11 3.2. Couple ramené - moment d'inertie ramené.......................................................... 12

II

3.2.1. Définition - présentation ........................................................................................12 3.2.2. Démarches pour le calcul du moment d'inertie et du couple ramenés.....................13

3.2.2.1. Premier modèle du transmetteur mécanique....................................................13 3.2.2.2. Deuxième modèle du transmetteur mécanique.................................................15

3.3. Exemples de calculs..................................................................................................15 3.3.1. Exemple 1 : roues dentées.......................................................................................15 3.3.2. Exemple 2 : roue-crémaillère...................................................................................17 3.3.3. Exemple 3 : vis-écrou..............................................................................................18

Chapitre II . Phénomènes thermiques ..........................................21 Introduction...........................................................................................21 1. ÉCHANGES DE CHALEUR....................................................................................................21

1.1. Échange par conduction thermique......................................................................21 1.1.1. Présentation............................................................................................................21 1.1.2. Expression locale de la loi de Fourier......................................................................22 1.1.3. Loi macroscopique..................................................................................................23

1.2. Échange par convection thermique ......................................................................24 1.3. Échange par rayonnement thermique...................................................................25

1.3.1. Qualitativement ......................................................................................................25 1.3.2. Quantitativement ....................................................................................................28

2. ANALOGIE ENTRE GRANDEURS ELECTRIQUES ET GRANDEURS THERMIQUES........29

2.1. Grandeurs électriques associées............................................................................29 2.1.1. Courant électrique - flux thermique ........................................................................29 2.1.2. Tension électrique - température, différence de potentiel - différence de température.......................................................................................................................30 2.1.3. Résistance thermique..............................................................................................30 2.1.4. Capacité thermique.................................................................................................31

2.2. Modèles thermiques..................................................................................................32 Chapitre III . Présentation de l’électromagnétisme ......................35 1. FORMULATIONS LOCALE ET GLOBALE, RELATIONS DE CONTINUITE.....................35

1.1. Loi de Maxwell-Faraday.........................................................................................36 1.2. Loi de Maxwell-Ampère...........................................................................................37 1.3. Loi de conservation du flux magnétique ..............................................................38 1.4. Loi de Maxwell - Gauss............................................................................................38 1.5. Loi de conservation de la charge électrique.......................................................39 1.6. Relations de continuité............................................................................................39

2. EXPRESSION DES CHAMPS DANS UN REFERENTIEL NON LIE AUX SOURCES.............40

III

Chapitre IV . Électrostatique ......................................................... 41 1. HYPOTHESES DE L'ELECTROSTATIQUE .........................................................................41 2. NOTIONS ET PHENOMENES ASSOCIES.............................................................................41

2.1. Présentation .............................................................................................................. 41 2.2. Capacité d’un condensateur.................................................................................. 42

2.2.1. Condensateur plan..................................................................................................42 2.2.2. Condensateur cylindrique : cf. exercice 1 ...............................................................44 2.2.3. Commentaires.........................................................................................................44

2.3. Forces électrostatiques - énergie électrostatique.............................................. 44 2.3.1. Origine de la force électrostatique ..........................................................................44 2.3.2. Énergie électrostatique............................................................................................44

2.4. Diélectriques ............................................................................................................. 45 2.4.1. Phénomène de polarisation.....................................................................................45 2.4.2. Phénomène de claquage diélectrique.......................................................................47 2.4.3. Courant de fuite - résistance d'isolement - claquage thermique..............................47 2.4.4. Quelques caractéristiques constructeur d'un condensateur ....................................48

Chapitre V . Magnétostatique ...................................................... 49 1. INTRODUCTION - HYPOTHESES.......................................................................................49

2. CREATION PAR UN COURANT CONSTANT DE L'EXCITATION MAGNETIQUE Hr

..49 2.1. Loi de Biot et Savart ................................................................................................ 49

2.1.1. Forme intégrale.......................................................................................................50 2.1.2. Forme différentielle ................................................................................................50 2.1.3. Intérêt .....................................................................................................................51

2.2. Théorème d 'Ampère................................................................................................. 51 2.3. Excitation créée par un fil de « longueur infinie » parcouru par un

courant constant ...................................................................................................... 52 2.3.1. Lignes de champ .....................................................................................................52 2.3.2. Expression quantitative..........................................................................................53

2.3.2.1. Formulation par le théorème d'Ampère (choix du contour)............................53 2.3.2.2. Formulation par Biot et Savart .......................................................................53 2.3.2.3. Commentaires et utilisation ............................................................................54

2.4. Cas de la spire........................................................................................................... 54 2.5. Cas du solénoïde ...................................................................................................... 55

3. EFFET DU CHAMP MAGNETIQUE

rB SUR DES CHARGES OU UN CONDUCTEUR .....56

3.1. Force de Lorentz : )E+Bv=frrrr

∧(q ..................................................................... 56

3.2. Force de Laplace...................................................................................................... 57 3.3. Moment magnétique et champ magnétique......................................................... 58 3.4. Force électromotrice induite dans un conducteur en mouvement par

rapport aux sources du champ magnétique........................................................ 58

IV

Chapitre VI . Notions et outils pour l'étude des phénomènes magnétique................................................................61

1. ANALOGIE MAGNETIQUE - ELECTRIQUE.......................................................................61

1.1. Présentation - justification......................................................................................61 1.2. Analogie .....................................................................................................................62 1.3. Conventions...............................................................................................................64

2. INDUCTANCE PROPRE ET MUTUELLE............................................................................65

2.1. Définition-évaluation...............................................................................................65 2.1.1. Cas d’un circuit électrique unique...........................................................................65 2.1.2. Cas de deux circuits électriques ..............................................................................65 2.1.3. Généralisation.........................................................................................................67 2.1.4. Cas de systèmes à perméabilité magnétique non constante....................................67

2.2. Une méthode de détermination des inductances ................................................67 3. ÉNERGIE MAGNETIQUE .....................................................................................................68

3.1. Densité volumique d'énergie magnétique............................................................68 3.2. Énergie magnétique d'un système linéaire ..........................................................69

4. CALCUL DE COUPLE, DE FORCE ELECTROMAGNETIQUE DANS LE CAS D'UN

SYSTEME LINEAIRE ............................................................................................................69 Chapitre VII . États quasistationnaires...........................................71 1. PHENOMENE D'INDUCTION ..............................................................................................71

1.1. Force électromotrice induite ..................................................................................71 1.2. Loi de Lenz .................................................................................................................71 1.3. Notion de potentiel...................................................................................................71 1.4. Conventions...............................................................................................................72 1.5. Quelques applications du phénomène d’induction ...........................................73

2. APPROXIMATIONS DES ETATS QUASISTATIONNAIRES...............................................74

2.1. Temps de propagation « négligeable » ................................................................74 2.2. Vecteur déplacement négligeable dans les matériaux conducteurs ...............74

3. MATERIAUX ET CHAMPS VARIABLES DANS LE TEMPS...............................................75

3.1. Pertes dans les diélectriques, chauffage diélectrique........................................75 3.1.1. Angle de pertes .......................................................................................................75

3.1.1.1. Approche expérimentale .................................................................................75 3.1.1.2. Approche par modèle du diélectrique .............................................................76

3.1.2. Chauffage par micro-ondes .....................................................................................78 3.2. Effet de peau, pelliculaire ou Kelvin.....................................................................78

3.2.1. Pénétration d'un champ électromagnétique au sein d'un matériau. .........................78 3.2.2. Applications - conséquences ..................................................................................78 3.2.3. Épaisseur de peau : origine de la formule...............................................................79

V

Chapitre VIII . Matériaux magnétiques ........................................ 83 1. OBSERVATION MACROSCOPIQUE DU COMPORTEMENT D'UNE CLASSE DE

MATERIAUX MAGNETIQUES...........................................................................................83 1.1. Expériences - observations..................................................................................... 83

1.1.1. Vers la courbe de première aimantation..................................................................83 1.1.2. Vers le cycle d'hystérésis .......................................................................................83 1.1.3. Température de Curie.............................................................................................84 1.1.4. Courbe de première aimantation et cycle d'hystérésis ...........................................84 1.1.5. Pertes fer ................................................................................................................85

1.2. Modèles ...................................................................................................................... 86 1.2.1. Modèles linéaires....................................................................................................86 1.2.2. Modèles non linéaires sans hystérésis ...................................................................87

2. OBSERVATION MICROSCOPIQUE DU COMPORTEMENT D'UN MATERIAU

MAGNETIQUE.....................................................................................................................87 2.1. Eléments de magnétisme à l'échelle atomique.................................................... 87 2.2. Classification magnétique des matériaux............................................................ 88

2.2.1. Diamagnétisme .......................................................................................................89 2.2.2. Paramagnétisme......................................................................................................89 2.2.3. Ferromagnétisme ....................................................................................................89 2.2.4. Antiferromagnétisme..............................................................................................89 2.2.5. Ferrimagnétisme .....................................................................................................89

2.3. Expérience de visualisation de l'aimantation .................................................... 90 2.3.1. Introduction............................................................................................................90 2.3.2. Les résultats ...........................................................................................................90 2.3.3. Cause......................................................................................................................90 2.3.4. Facteurs d'évolution de ces domaines.....................................................................90

2.4. À la lumière des domaines de Weiss...................................................................... 90 2.4.1. Saturation ...............................................................................................................90 2.4.2. Hystérésis ..............................................................................................................91 2.4.3. Mécanisme physique des pertes fer.......................................................................91 2.4.4. Conséquences au niveau de la fabrication...............................................................93

3. MATERIAUX MAGNETIQUES DOUX ................................................................................94

3.1. Définition ................................................................................................................... 94 3.2. Matériaux magnétiques doux adaptés au fonctionnement à basse

fréquence ................................................................................................................... 94 3.2.1. Grandeurs caractéristiques .....................................................................................94 3.2.2. Commentaires relatifs aux tableaux 1, 2 et 3 ..........................................................95 3.2.3. Autres matériaux utilisés à la fréquence 50 Hz ......................................................96

3.3. Matériaux magnétiques doux adaptés au fonctionnement à haute fréquence ................................................................................................................... 99

4. MATERIAUX MAGNETIQUES DURS.................................................................................99

4.1. Définition ................................................................................................................... 99 4.2. Etude en statique...................................................................................................... 99

4.2.1. Calcul sommaire de la chambre d'aimant ................................................................99

VI

4.2.2. Critère d'Evershed.................................................................................................101 4.3. Etude en dynamique...............................................................................................102 4.4. Examen des différentes familles............................................................................103

4.4.1. Critères de comparaison .......................................................................................103 4.4.2. Les céramiques......................................................................................................104 4.4.3. Aimants métalliques .............................................................................................104 4.4.4. Aimants terre rare.................................................................................................104

Chapitre IX . Propagation d'ondes dans les lignes......................107 1. PRESENTATION.................................................................................................................107

1.1. Rappel .......................................................................................................................107 1.2. Mode de propagation et méthodes d’étude .......................................................107 1.3. Quelques ordres de grandeurs .............................................................................108

1.3.1. Exemple 1 .............................................................................................................108 1.3.2. Exemple 2 .............................................................................................................108 1.3.3. Exemple 3 .............................................................................................................109 1.3.4. Une notion commode : la longueur d’onde ...........................................................109

2. IMPEDANCE CARACTERIST IQUE. NOTIONS DE BASE EN PROPAGATION GUIDEE.109

2.1. Équation des télégraphistes - modèle pour une longueur dx.........................110 2.2. Étude en régime sinusoïdal...................................................................................110 2.3. Applications.............................................................................................................112

2.3.1. Générateur adapté.................................................................................................112 2.3.2. Étude en fonction de la charge ..............................................................................113

2.3.2.1. Cas d’une charge adaptée ..............................................................................113 2.3.2.2. Cas d’une charge non adaptée .......................................................................113

3. LIGNE EN REGIME IMPULSIONNEL ................................................................................114

3.1. Expression de la solution......................................................................................114 3.2. Cas d’un câble sans pertes....................................................................................115

3.2.1. Charge et générateur adaptés ................................................................................115 3.2.2. Charge adaptée......................................................................................................115 3.2.3. Générateur adapté.................................................................................................115 3.2.4. Étude qualitative du cas général............................................................................115

4. PROPAGATION D’ONDE ET EQUATIONS DE MAXWELL............................................117

4.1. Conducteurs électriques soumis à des champs de « fréquence faible » .......117 4.2. Diélectriques soumis à des champs de fréquence assez élevée.......................118

Chapitre X . Exercices de mécanique corrigés .........................119 Exercice 1 : étude d'un bras de robot ............................................................................119 Exercice 2 : éléments sur la cinématique et la dynamique du T.G.V. sud-est..........120 Exercice 3 : estimation du poids du linge .....................................................................121

VII

Exercice 4 : phénomènes transitoires mécaniques pour un alternateur de centrale hydraulique...................................................................................122

Exercice 5 : évaluation de la puissance d’une centrale hydraulique...........................123 Exercice 6 : adaptation de moments d’inertie..................................................................124 Exercice 7 : étude d’un bras de robot entraîné par engrenages ...................................124 Exercice 8 : étude d’une centrifugeuse............................................................................126 Exercice 9 : motorisation d’un ascenseur........................................................................127 Exercice 10 : motorisation d'un métier à broder les écussons. .......................................129 Exercice 11 : motorisation avec transmetteur ................................................................131 Corrigé 1 : étude d'un bras de robot ............................................................................133 Corrigé 2 : éléments sur la cinématique et la dynamique du T.G.V. sud-est..........136 Corrigé 3 : estimation du poids du linge.....................................................................137 Corrigé 4 : phénomènes transitoires mécaniques pour un alternateur de

centrale hydraulique...................................................................................138 Corrigé 5 : évaluation de la puissance d’une centrale hydraulique........................140 Corrigé 6 : adaptation de moments d’inertie. .............................................................140 Corrigé 7 : étude d’un bras de robot entraîné par engrenages................................141 Corrigé 8 : étude d’une centrifugeuse.........................................................................142 Corrigé 9 : motorisation d’un ascenseur.....................................................................142 Corrigé 10 : motorisation d'un métier à broder les écussons.....................................144 Corrigé 11 : motorisation avec transmetteur................................................................148 Chapitre XI . Exercices de thermique corrigés.......................... 151 Exercice 1 : étude de l'échauffement d'un moteur électrique ; utilisation d'un

modèle de représentation...........................................................................151 Exercice 2 : étude d’un chauffe-eau..............................................................................152 Exercice 3 : échange de chaleur par conduction thermique; calcul de la

résistance thermique d'un double vitrage ; équivalence thermique....153 Exercice 4 : échange de chaleur par convection thermique, conduction

thermique et rayonnement ; refroidissement d'un transistor................153 Exercice 5 : étude thermique d'un plancher..................................................................156 Exercice 6 : échange de chaleur par convection et conduction thermique.............159 Corrigé 1 : étude de l’échauffement d’un moteur électrique ; utilisation d’un

modèle de représentation...........................................................................160 Corrigé 2 : étude d’un chauffe-eau..............................................................................162 Corrigé 3 : échange de chaleur par conduction thermique ; calcul de la

résistance thermique d'un double vitrage ; équivalence thermique....163 Corrigé 4 : échange de chaleur par convection thermique, conduction

thermique et rayonnement ; refroidissement d'un transistor................164 Corrigé 5 : étude thermique d’un plancher.................................................................166 Corrigé 6 : échange de chaleur par convection et conduction thermique. ............167

VIII

Chapitre XII . Exercices d’électromagnétisme corrigés .............169 Exercice 1 : condensateur cylindrique ..........................................................................169 Exercice 2 : capacités d’un transformateur...................................................................169 Exercice 3 : notion sur la ligne de champ moyenne ....................................................171 Exercice 4 : étude d’un circuit magnétique...................................................................172 Exercice 5 : évaluation des inductances mutuelles d'une machine électrique ........172 Exercice 6 : comparaison de deux modes de transmission d’énergie d’une

source à une charge....................................................................................175 Exercice 7 : étude d'un transformateur d'intensité.......................................................177 Exercice 8 : chauffage à induction et effet de peau.....................................................178 Exercice 9 : calcul du couple d'une machine à réluctance variable élémentaire.

Utilisation de la notion d'énergie ..............................................................179 Exercice 10 : modélisation d’un aimant permanent...........................................................180 Exercice 11 : circuit magnétique à aimant comportant un bobinage...........................180 Exercice 12 : prise en compte de la caractéristique non linéaire du matériau

magnétique...................................................................................................182 Exercice 13 : étude d'un électroaimant avec une plaque ferromagnétique pour

charge ...........................................................................................................183 Corrigé 1 : capacité d’un condensateur cylindrique .................................................187 Corrigé 2 : capacités d’un transformateur...................................................................188 Corrigé 3 : notion sur ligne de champ moyenne .......................................................190 Corrigé 4 : étude d’un circuit magnétique...................................................................191 Corrigé 5 : sur l'évaluation des inductances mutuelles d'une machine électrique 193 Corrigé 6 : comparaison de deux modes de transmission d’énergie d’une

source à une charge....................................................................................197 Corrigé 7 : sur l'étude d'un transformateur d'intensité ..............................................199 Corrigé 8 : chauffage à induction et effet de peau.....................................................202 Corrigé 9 : calcul du couple d'une machine à réluctance variable ...........................204 Corrigé 10 : modélisation d’un aimant permanent .......................................................205 Corrigé 11 : circuit magnétique à aimant comportant un bobinage...........................206 Corrigé 12 : prise en compte de la caractéristique non linéaire du matériau

magnétique...................................................................................................206 Corrigé 13 : étude d’un électroaimant avec une plaque ferromagnétique comme

charge............................................................................................................207 Annexe . Terminologie et outils mathématiques ..................211 1. PRODUIT VECTORIEL.......................................................................................................211 2. PRODUIT MIXTE...............................................................................................................211 3. LIGNE DE CHAMP ..............................................................................................................211 4. VECTEUR SURFACE RELATIF A UN CONTOUR ORIENTE............................................211 5. FLUX ...................................................................................................................................212 6. TUBE DE CHAMP ...............................................................................................................212

IX

6.1. Définition .................................................................................................................212 6.2. Section d’un tube de champ .................................................................................212

7. COORDONNEES CARTESIENNES - REPERE CARTESIEN...............................................213 8. COORDONNEES CYLINDROPOLAIRES - REPERE CYLINDROPOLAIRE ......................213 9. OPERATEURS DIFFERENTIELS .......................................................................................213

9.1. Gradient d'un scalaire...........................................................................................213 9.2. Divergence d'un vecteur........................................................................................214 9.3. Rotationnel d'un vecteur.......................................................................................215 9.4. Laplacien d’un scalaire ........................................................................................215 9.5. Laplacien d’un vecteur..........................................................................................215

Bibliographie .................................................................................... 216 Index................................................................................................. 217

Avant-propos

La partie de la physique générale, et plus particulièrement l’électricité générale, qui débouche sur le Génie Électrique est l’électromagnétisme. Toutefois les applications de l’électricité, qui constituent le domaine du Génie Électrique, présentent presque toujours des aspects mécaniques et thermiques en liaison avec les aspects électromagnétiques. Aussi avons-nous commencé cet ouvrage par deux chapitres de rappels, l’un sur la mécanique du solide, l’autre sur les phénomènes thermiques. Les exercices portant sur ces deux chapitres ont tous trait à des applications de l’électricité, ce qui justifie la présence de ces rappels.

Cet ouvrage comporte deux parties : la première est consacrée au « cours », la seconde aux exercices corrigés. Nous avons tenu à donner à la seconde le même volume qu’à la première.

Dans la partie « cours », l’étude des champs électromagnétiques et, tout particulièrement, leur interaction avec la matière tient évidemment une place de choix. L’utilisation du formalisme vectoriel des équations locales de Maxwell permet principalement d’introduire certaines propriétés des champs et de justifier les domaines de validité des différentes lois globales. Ces dernières sont reprises et développées dans les chapitres relatifs à l’électrostatique, à la magnétostatique, aux états quasistationnaires et à la propagation d’ondes. Ce sont elles qui seront communément utilisées dans les exercices.

Les exercices portent sur des applications « concrètes ». Ils ne veulent pas être

de simples applications numériques directes du cours. Ils proposent une recherche active ayant un double objectif : assimiler les connaissances théoriques présentées dans la partie cours, voir comment les adapter au problème concret à résoudre.

En effet, adapter des connaissances de la physique au domaine du Génie Électrique comprend plusieurs étapes que la plupart des exercices proposés permettent d’appréhender : • identifier les phénomènes physiques qui régissent le système à étudier. La

connaissance des lois ainsi que leur champ d’application est nécessaire. • poser les hypothèses qui vont permettre de simplifier le problème. Selon les outils

de résolution disponibles (papier/crayon ou ordinateur/logiciel), selon la précision des prédictions désirées et des données quantitatives relatives au système, celles-ci seront plus ou moins grossières. Dans les exercices, les hypothèses sont en général imposées. Dans la pratique, leur formulation peut s’avérer une étape délicate.

Le détail des corrigés, dont certains comportent des compléments de cours ponctuels, permet de présenter un cheminement logique qui mène pas à pas à la solution. Nous avons cru bon, pour faciliter le travail personnel des étudiants, de séparer nettement les énoncés des exercices de leurs corrigés. Toutefois quelques éléments de réponse placés à la fin de chaque énoncé sont destinés à aider le franchissement des étapes difficiles.

Une bibliographie fournit quelques références d’ouvrages qui permettront au

lecteur d’approfondir les domaines abordés. Afin de concrétiser l’interaction auteur-lecteur, toute remarque ou demande

d’éclaircissement peut être formulée à l’adresse électronique suivante : [email protected].

Je remercie M. Séguier et mes collègues du L2EP pour l’intérêt porté à la

rédaction de cet ouvrage.

Préface

Au début d’un ouvrage d’enseignement de la Physique du Génie Électrique, on peut se poser deux séries de questions :

• Qu’est-ce que le Gé nie Électrique et en quoi réside la spécificité de son enseignement ?

• Qu’est-ce que la Physique du Génie Électrique ? Diffère-t-elle de la Physique tout court ?

Le génie nous dit le dictionnaire Larousse est « l’ensemble des connaissances et

des techniques concernant la conception, la mise en œuvre et les applications de procédés, de dispositifs, de machines propres à un domaine déterminé ». Cette définition est un peu affolante lorsqu’on l’applique au génie électrique, car l’électricité, étant par sa facilité de transmission et d’adaptation le meilleur vecteur de l’énergie, trouve ses applications dans tous les domaines. L’enseignement du Génie Électrique ne saurait prétendre inclure, même superficiellement, toutes les applications industrielles de l’électricité. Et cela d’autant plus que l’utilisation rationnelle et intelligente de l’énergie électrique suppose de bonnes connaissances en électronique de puissance, en électronique du signal, en automatique et en informatique.

L’enseignement spécifique au Génie Électrique a repris la matière qui était traditionnellement affectée à l’Électrotechnique car les électriciens, pour qui la conversion électromécanique était le thème privilégié, ont toujours senti qu’on ne pouvait parler d’un moteur électrique sans parler un peu de la charge qu’il entraîne.

Mais le passage au Génie Électrique n’est pas un simple changement d’intitulé : c’est une inversion de point de vue. Au lieu de voir ce que sait faire l’électricité et donc ce qu’elle peut faire, on part des applications et on détermine ce qu’on demande à l’électricité de faire. C’est plus difficile. Il est souvent plus aisé de déterminer à 0,2 % près le rendement nominal d’un moteur que d’évaluer à 20 % près la puissance nominale du moteur destiné à entraîner une charge (mal) déterminée.

Il n’y a pas de Physique propre au Génie Électrique. Celui-ci fait seulement appel à

certaines parties de la Physique Générale plus fréquemment qu’à d’autres et surtout les utilise en vue d’applications.

C’est évidemment la partie électricité de la Physique, électrostatique, électrocinétique et surtout électromagnétisme, qui concerne le plus l’électricien. Mais certains aspects d’autres branches, de la mécanique et de la thermique notamment, lui sont nécessaires.

Les phénomènes physiques sont compliqués. Seules des hypothèses simplificatrices permettent de délimiter des domaines où on peut négliger certains

facteurs et d’arriver à des modèles simples correspondant à des relations aisément utilisables. On trouve encore, hélas ! , même en physique appliquée, des cours qui ne sont que des suites de calculs compliqués ; l’étudiant pense que les résultats de ces longs calculs sont exacts alors qu’ils ne sont qu’approximativement exacts et dans le seul domaine où les hypothèses de départ, pas toujours mentionnées, sont acceptables.

L’enseignement de la physique en vue des applications au génie électrique est difficile. L’enseignant doit dominer suffisamment sa matière pour bien expliquer « physiquement » le phénomène qu’il va essayer de quantifier, pour bien situer le cadre des hypothèses dans lequel il va se situer, pour réduire au maximum les calculs, pour donner une interprétation « physique » des résultats obtenus. La clarté et l’absence d’erreurs dans un cours supposent chez l’enseignant une certaine modestie intellectuelle, beaucoup de maturité et de réflexion.

Quelques collègues font l’effort nécessaire pour créer des enseignements

répondant à ces deux contraintes, optique nouvelle dans la façon d’aborder le Génie Électrique, enseignement de physique adapté aux utilisations de celle-ci. Il nous semble qu’il faut les inciter fortement à publier leurs cours ou recueils d’exercices pour en faire profiter l’ensemble des étudiants et des enseignants en Génie Électrique.

Eric SEMAIL, jeune Professeur Agrégé de Physique Appliquée, sorti très brillamment de l’École Normale Supérieure de Cachan, a été amené à créer un enseignement de Physique du Génie Électrique pour les étudiants de la Licence d’Ingénierie Électrique de l’Université des Sciences et Technologies de Lille. Créer un tel cours n’était pas tâche facile ; les auditeurs avaient des origines très diverses, Classes Préparatoires, DEUG, IUT, BTS … ; tous avaient vu précédemment — plus ou moins bien — la partie Électricité Générale de la Physique. L’accueil enthousiaste rencontré par cet enseignement nous a poussé à demander à Eric SEMAIL de le publier.

Cet ouvrage est formé de deux parties d’égal volume, la première est consacrée au

cours, la seconde aux exercices et à leurs corrigés. La partie cours constitue un rappel des notions de mécanique, de thermique et

d’électromagnétisme, indispensables pour aborder les applications du Génie Électrique. Eric SEMAIL a su, rapidement mais en insistant sur l’essentiel, bien rappeler les notions de base, les domaines d’étude et les résultats obtenus. Il précise bien les précautions à prendre pour l’emploi de ces derniers. La rédaction de cette première partie était difficile car, comme nous venons de le signaler, pour tous les auditeurs le sujet était défloré mais une mise au point claire, nette et précise était indispensable.

C’est évidemment la seconde partie qui nous a personnellement le plus enthousiasmé, et cela pour deux raisons.

La première tient à l’extrême diversité des applications de l’électricité qui servent de thèmes à ces trente exercices. L’éventail des sujets montre la largeur du domaine couvert par le Génie Électrique et la possibilité, à partir de la Physique de base, de résoudre des problèmes qui à première vue n’ont rien de commun.

La seconde raison, à laquelle enseignant en fin de carrière nous sommes particulièrement sensible, tient à la qualité pédagogique exceptionnelle de la

rédaction des énoncés. Eric SEMAIL prend la main de l’étudiant, le met sur la voie, le conseille lors des passages difficiles, lui donne des éléments de réponse lorsqu’il risque de se décourager. Ce respect de l’étudiant, qu’il ne faut pas humilier en lui proposant des exercices trop faciles ou inversement des exercices pratiquement infaisables, mais qu’il faut aider à progresser en le soutenant, nous a beaucoup impressionné.

Nous espérons que cet ouvrage constituera un moyen de formation très utile à

tous ceux, enseignants et enseignés, qui travaillent dans le domaine du Génie Électrique.

Guy SÉGUIER

Chapitre I, Éléments de mécanique du solide 11

∑γ= F= mdtvd

mrrr

L'accélération d’ordinaire notée rγ multipliée à la masse m du système est

égale à la somme vectorielle des forces (extérieures) qui s'appliquent sur le système.

Le théorème est ici une expression vectorielle. Pour obtenir des équations scalaires, il suffit de projeter les vecteurs sur les trois axes d’un repère du référentiel d’étude.

2.3.4. Expression en terme de puissance du théorème fondamental de la dynamique

Multiplions chaque membre de la relation fondamentale de la dynamique par la

vitesse. Il vient, m vd vdt

m v vr r r r r r

. .= ∑γ = F . , soit encore :

∑=

v.Fdt

vm21

d 2 rr

On note : Pm

= r rF. v , puis sance mécanique fournie par la force

rF .

3. Transmetteurs mécaniques

3.1. Panorama succinct Le but d'un transmetteur mécanique est de transmettre une puissance mécanique

en la présentant sous une forme adaptée à la charge. Exemple : un moteur (rotatif) qui doit fournir de la puissance à une charge se déplaçant selon un mouvement de translation devra être couplé à cette charge via un transmetteur (mécanique).

Pour les problèmes de démultiplication voici quelques exemples : • système roue-vis (cf. Figure I-7) ; • système à chaînes, à poulies ; • système à roues dentées.

Pour la conversion d'un mouvement de rotation en un mouvement de translation, voici quelques types de transmetteurs : • système roue-crémaillère (cf. Figure I-9) ; • système vis -écrou (cf. Figure I-8) ;

(roue-vis, extrait du catalogue NOZAG)

Figure I-7

semail

Barrer


3.2. Couple ramené - moment d'inertie ramené

3.2.1. Définition - présentation En Génie Électrique, se pose le problème du dimensionnement du moteur. Ce

dernier doit répondre aux exigences imposées par le cahier des charges. Lors de l’expression de la relation fondamentale de la dynamique avec pour

système le moteur et sa charge, la charge est modélisée par un couple exercé sur l'arbre moteur C

che, le couple équivalent ramené, et un moment d'inertie par rapport à

l'axe de rotation du moteur Jche

, le moment d'inertie équivalent ramené. Une fois déterminées ces grandeurs, la relation fondamentale de la dynamique

s'exprime alors :

J d

dt= C C J

ddtmt

mmt che che

m- -Ω Ω

avec,

• Jmt

: moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation du moteur de l'ensemble des masses qui tournent à la vitesse Ω

m du moteur ; • Cmt : somme algébrique des couples extérieurs (autres que celui dû au

transmetteur étudié) qui s'exercent sur le système.

Remarque 1 : Jmt

sera par exemple égal à la somme du moment d'inertie du moteur et de celui de la partie du transmetteur qui tourne à la même vitesse que le moteur.

Remarque 2 : Cche

, Cmt

sont des grandeurs algébriques (positive ou négative). En général, le sens positif est choisi pour le couple de telle façon que C

mt > 0 (par exemple couple moteur avec éventuellement pris e en compte des frottements

(vis à bille - écrou, extrait du catalogue WARNER )

Figure I-8

(roue-crémaillère, extrait du catalogue NOZAG)

Figure I-9


mécaniques) et Cche > 0 (couple résistant). Néanmoins, lors des phases de freinage

par exemple les signes peuvent changer (le moteur freine et la charge peut être entraînante !)

3.2.2. Démarches pour le calcul du moment d'inertie et du couple ramenés.

Les notions de couple et de moment d'inertie ramenés ont un sens dans la mesure où il y a présence d'un transmetteur mécanique qu’il faut donc modéliser pour réaliser l'étude. Nous considérons deux modèles : l'un suppose un rendement non unitaire mais constant du transmetteur, le deuxième un rendement unitaire.

3.2.2.1. Premier modèle du transmetteur mécanique

Le fait que le transmetteur absorbe de l'énergie au passage est pris en compte simplement par un rendement (en puissance bien sûr) noté η. Nous le supposons constant (ne dépendant pas de la vitesse et intervenant également lors des régimes transitoires). Le calcul des grandeurs s'appuie sur un bilan énergétique.

À ce niveau de l’étude, il est nécessaire de préciser le sens du transit de l’énergie au sein du transmetteur. Pour le dimensionnement d'un moteur, les phases d'accélération (par rapport à celles de décélération par exemple) s'avèrent être les plus contraignantes, aussi nous placerons nous dans ce cadre (cf. Figure I-10).

Le bilan énergétique s’exprime alors par :

dEme = dE c

η.

Or, dEme = C

me Ω

m dt et dEc = Pcharge dt avec :

• Cme

, la fraction du couple moteur qui est utile à l'ensemble charge-transmetteur ;

• Ωm

, la vitesse de rotation du moteur ; • P

charge, la puissance transmise à la charge.

dEc

dEmeTRANSMETTEUR

Examen dans le cas d'une phase d'accélération:

(le moteur fournit de l'énergie, la charge en absorbe)

MOTEUR

CHARGE

dEme: énergie fournie par le moteur pendant dt pour l'ensemble transmetteur - charge. A remarquer que le moteur fournit plus d'énergie que dEme.dEc: énergie fournie à la charge pendant dt.

Figure I-10


Il vient :

Cme

Ωm

=P charge

η.

Cette égalité doit être vérifiée quelles que soient dt/d mΩ et Ωm

.

Or on a par ailleurs par définition de Jche

et Cche

:

C + J d

dt = Cche che

mme

Ω

d'où,

C =P

mecharge

mη Ω = C + J

ddt

che chemΩ

pour toutes valeurs de dt/d mΩ et Ωm

.

La résolution de cette équation donne Jche

et Cche

dans le cadre d’une phase d’accélération. Note 1 : C

me n'est pas le couple total délivré par le moteur car ce dernier doit également entre autres fournir un couple inertiel dt/dJ mmoteur Ω .

Note 2 : les valeurs de Cche et Jche dépendent donc du sens de transit de l’énergie lorsque le transmetteur est de rendement non unitaire : le calcul réalisé dans le cadre d’une phase d’accélération ne donne pas le même résultat que celui effectué avec une phase de décélération. Cette dépendance disparaît si le rendement est unitaire. Remarque 1 : le modèle proposé est un peu plus précis que celui où le rendement est supposé unitaire, il n'est pas pour autant parfait. Dans la réalité, η est fonction de la vitesse et de l'accélération. D'autres modèles de transmetteurs mécaniques peuvent être envisagés : des coefficients de frottements visqueux permettent par exemple la prise en compte des pertes dues au transmetteur. Remarque 2 : il est possible également de considérer les inerties du transmetteur (masse et moments d'inertie) dans le calcul du moment d'inertie équivalent ramené. Remarque 3 très importante pratiquement : pour le calcul du couple équivalent C

che, il

suffit de faire l'étude à vitesse constante. Dans ce cas, le bilan énergétique devient :

P

= Ccharge

mcheη Ω

,

d'où l'obtention immédiate de Cche

. Pour un calcul séparé du moment d'inertie équivalent ramené, il suffit de ne considérer dans le bilan de puissance que les couples inertiels (type : dt/d J Ω ) et les forces inertielles (type : dv/dt m ).

Résumons donc les différentes étapes dans la détermination de J che

et C che

. 1. lors d’une phase d’accélération on évalue la puissance requise par la charge ; 2. on en déduit celle que devra fournir le moteur du fait de la présence du transmetteur ; 3. on utilise les définitions du couple et du moment d'inertie équivalent ramenés ;


4. on exprime les relations spécifiques au transmetteur entre différentes vitesses et accélérations ; 5. on en déduit alors couple et moment d'inertie équivalent ramenés.

3.2.2.2. Deuxième modèle du transmetteur mécanique

Supposons le transmetteur mécanique « parfait », c’est-à-dire n'absorbant pas d'énergie. Son rendement est donc unitaire. Pour obtenir le couple et le moment d'inertie ramenés il est bien entendu possible d’appliquer la méthode proposée au paragraphe précédent 3.2.2.1. avec η = 1. Il n’est d’ailleurs plus alors nécessaire de préciser le sens de transit de l’énergie au sein du transmetteur. Pour le calcul du moment d'inertie équivalent ramené existe une approche un peu différente. Il suffit de considérer que l'énergie cinétique qui serait stockée en régime permanent dans une charge de moment d'inertie J

che doit être égale à celle

emmagasinée par la charge (et éventuellement le transmetteur) :

12

2Jche mΩ = Énergie cinétique stockée dans la charge.

Cette approche donne le même résultat en cas de rendement unitaire que celle proposée.

exemple : pour une charge en translation à vitesse v de masse m :

12

2Jche mΩ = 12

2m v

d'où :

J = mv

chem

2

Ω

.

Il ne reste plus qu'à trouver la relation caractéristique du transmetteur qui relie v et Ω

m.

Note : en cas de rendement non unitaire, on peut préférer une autre définition pour Jche basée sur l’équivalence présentée ci-dessus de l’énergie cinétique stockée en régime permanent. Lors du dimensionnement du moteur, le théorème fondamental de la dynamique s’exprime alors par :

J ddt

= C C - J ddtmt

mmt che

che m-Ω Ωη

.

3.3. Exemples de calculs

3.3.1. Exemple 1 : roues dentées Considérons un transmetteur mécanique (cf. Figure I-11)

constitué de deux roues dentées. Pour étudier le système réel, on modélise la charge par un moment d'inertie J

ch et un couple (utile) constant |C

u|, le

axe de rotationde la charge

RR

cm

+

axe de rotation du moteur

Figure I-11


transmetteur par son rendement η et ses caractéristiques géométriques (rayons Rm et Rc). Notations : • &θch : vitesse angulaire de la charge ;

• &θm : vitesse angulaire du moteur.

Il est à noter que si &θm > 0 alors &θch < 0 (cf. Figure I-11).

1. supposons &θm > 0. En phase d’accélération on calcule la puissance mécanique

« utile » Pm absorbée par la charge : P

m = – |Cu| &θch > 0. À cette puissance

mécanique, il faut ajouter, lors des phases à vitesse non constante la puissance cinétique J

ch & &&θ θc h c h . Il vient la puissance totale requise par la charge :

– chchchchu JC θθ+θ &&&& .

2. étant donné le rendement du transmetteur le moteur devra délivrer une puissance :

− +C Ju ch ch ch ch& & &&θ θ θ

η.

3. par définition du couple et du moment d'inertie équivalent ramenés, est vérifiée est vérifiée l'égalité suivante :

− += +

C JJ Cu ch ch ch ch

che m m che m

& & &&& && &θ θ θ

ηθ θ θ .

4. or lorsque la roue dentée de rayon Rc effectue une rotation de dθch alors celle de rayon Rm tourne en sens inverse de dθm. On a donc la relation : dl = Rm dθm = – Rc dθch d’où,

mc

mch R

Rθ−=θ && et m

c

mch R

Rθ−=θ &&&& .

5. l'égalité du 3. réécrite devient :

J + C =

C R

RJ

R

Rche che

um

cch

m

c

2

&&

&&

θ

θ

ηm

m+

,

soit encore :

JJ

R

R+ C

C

R

R= che

ch m

c

2

cheu m

c

−

−

η

θη

&&m 0 .

Cette égalité doit être vraie quelle que soit &&θm d’où :


2

c

mchche R

R

J = J

η et

c

muche R

R

C =C

η .

Remarque 1 : on pourra s'intéresser à une charge modélisée par un couple résistant du type : C

u = C0+ f

ch &θch et par un moment d'inertie J

ch .

Remarque 2 : on pourra également s'intéresser à une modélisation plus poussée du transmetteur tenant compte des moments d'inertie des deux roues dentées.

3.3.2. Exemple 2 : roue-crémaillère Considérons un transmetteur mécanique

constitué d’une crémaillère et d’une roue dentée (cf. Figure I-9 et Figure I-12). Le mouvement de la crémaillère est vertical ascendant.

Pour étudier le système réel, on le modélise. Tous les frottements sont négligés et seules la charge et la crémaillère ont un poids. Notations : • v

ch : vitesse linéaire de la charge.

r rv c h = v xc h ;

• &θm : vitesse angulaire du moteur ; • η : rendement du transmetteur ; • M : masse de la crémaillère ; • Mch : masse de la charge ; • | F

ch| : module de la force extérieure qui s’exerce

sur la partie en translation du système. De par les hypothèses,

r rF = ( M + M ) gch ch .

1. lors d’une phase d’accélération on calcule la puissance mécanique P

m absorbée par la charge :

Pm = – chch v . F

r.

Puisque force et vitesse sont colinéaires, on a Pm = – v

ch | F

ch| (remarquons que –

vch | Fch

| > 0 puisque vch < 0).

À cette puissance mécanique, il faut ajouter, lors des phases à vitesse non

constante la puissance cinétique M vdtch ch

ch dv. Il vient la puissance totale

requise par la charge :

dtvd

vM+F v- ch ch chchch .

Il faudra aussi délivrer une puissance cinétique pour entraîner la masse M de la

crémaillère M vdtch

ch dv.

2. étant donné le rendement du transmetteur le moteur devra fournir pour mouvoir la charge une puissance :

sens de déplacement

R

x

crémaillère

axe moteur

roue

+

Figure I-12


dtdvv

Mdtvd

vM+Fv–chch

ch chchchch

η+

η .

3. par définition du couple et du moment d'inertie équivalent ramenés, on a l'égalité :

( )

mchemmche

ch chchchch

CJdtvd

vMM+Fv–θ+θθ=

η

+&&&& .

4. pour un système roue-crémaillère lorsque la roue dentée de rayon R tourne de dθ

m > 0 alors la crémaillère effectue une translation de dl < 0 d’où la relation :

dl = – R dθm

. On en déduit :

mch

mch Rdtvd

etRvdtd

θ−=θ−== &&&l.

5. l'égalité du 3. réécrite devient :

( )chemche

m2

chch CJRMM+FR

+θ=η

θ+ &&&&

,

soit encore :

( )0 = −

+

+ −

J

MCche m che

M R R Fch2

ch

ηθ

η&& .

Cette égalité doit être vraie quel que soit &&θm d'où :

( )J

Mche =

+M Rch2

η et Cche =

R Fch

η.

3.3.3. Exemple 3 : vis-écrou Considérons un transmetteur mécanique constitué d’une vis (sans fin) et d’un

écrou (cf. Figure I-8). Pour étudier le système réel, on le modélise. Il permet d’assurer un déplacement horizontal d’une charge. Le poids n’intervient alors pas directement. Néanmoins, les forces de frottements sont d’autant plus grandes que le poids l’est. La charge se caractérise par sa masse m

ch et une force de frottements horizontale F

ch

constante, le transmetteur par son rendement η, la masse M de l’écrou . Notations : • v

ch : vitesse linéaire de la charge ;

• &θm : vitesse angulaire du moteur ; • Jm : moment d’inertie du moteur.

semail

Barrer

21

Chapitre II

Phénomènes thermiques

Introduction Le transport et les diverses transformations de l’énergie électrique

s’accompagnent toujours de phénomènes thermiques. La production de chaleur est le but recherché dans les installations de chauffage

électrique. Mais le plus souvent cette production inévitable est nuisible, elle correspond à des pertes. Celles-ci diminuent le rendement de l’équipement où elles se produisent et constituent l’une des principales limitations de la puissance que peut traiter cet équipement.

Voici quelques exemples où les rappels de thermique faisant l’objet de ce chapitre sont nécessaires pour traiter des problèmes de génie électrique :

• étude de systèmes électrothermiques (chauffage à induction, chauffage classique d'une pièce, d’une enceinte, …) dans le but de réaliser leur alimentation électrique. Est souvent jointe à cette phase celle d'une régulation de température permise par l'usage de modulateur d'énergie (gradateur par exemple) ; • sélection de dissipateurs pour composants électroniques ; • compréhension de modèles thermiques ; • choix d'un actionneur électrique. En effet, un actionneur électrique fonctionne souvent en régime transitoire (accélération, décélération). Or durant ces phases il s'échauffe notablement. Aussi, la durée maximale d’une phase d’accélération est-elle souvent imposée par des considérations thermiques. La compréhension des données thermiques fournies par le constructeur de l'actionneur est donc appréciable.

1. Échanges de chaleur Il existe trois types d'échange de chaleur qui d'ailleurs s'opèrent en général

simultanément.

1.1. Échange par conduction thermique

1.1.1. Présentation On s'est aperçu que la chaleur était canalisée, conduite, dans un matériau, tout

comme l'est le courant électrique. De même qu’en électricité, on distingue de bons et de mauvais conducteurs de la chaleur. Pour caractériser cette capacité à conduire la chaleur est définie la conductivité thermique λ (cf. Tableau II-1). Deux classes de matériaux sont ainsi grossièrement distinguées :

semail

Barrer

Chapitre II, Phénomènes thermiques

32

supposer constante lors de l’intégration d’une équation différentielle, sera une approximation bien plus grossière qu’en électricité.

2.2. Modèles thermiques Lors de la réalisation de prédéterminations quantitatives, il faut travailler avec des

modèles mathématiques des systèmes. Sont fréquemment utilisés ceux du type réseaux de Kirchhoff (résistances, capacités, source de courant). Pour une complexité équivalente du réseau, ils s'avèrent en thermique beaucoup plus grossiers qu'en électricité pour les raisons mentionnées aux paragraphes 2.1.3. et 2.1.4. .

Le choix du modèle, la finesse de description du système, dépend de l'usage et de la précision désirée. Distinguons deux approches :

• la première approche s'appuie sur la description du système à l'aide des lois physiques de Fourier, Newton et Stefan. La difficulté réside dans le fait que les coefficients c0, h et λ dépendent de la température dont la répartition est rarement homogène dans un corps. Ce dernier est donc découpé en petites zones spatiales au sein desquelles ces coefficients sont considérés comme constants. L’expression des lois physiques dans toutes ces zones fournit en général de nombreuses équations différentielles qui seront résolues par traitement informatique. Le modèle obtenu est dit alors de connaissance ou interne. Utilisation : ◊ conception de système ; ◊ recherche de points chauds dans un système.

• dans la deuxième approche est imposée en général une structure (analytique) au modèle. Il reste ensuite à identifier par un ou plusieurs essais expérimentaux ses différents paramètres. Le modèle obtenu est dit de représentation ou d'observation. Utilisation : modèle « grossier » exploitable très facilement du point de vue résultats quantitatifs à partir par exemple des données constructeur. On rencontre ainsi couramment les schémas thermiques :

Matériaux Cuivre Aluminium Fer Acier 2 % Si

masse volumique ρ à 20 °C 8 950 2 700 7 900 7 660

Chaleur massique Cp

en J. kg-1. K-1 à 20 °C 3 980 900 450 460

Matériaux Eau huile pour transformateur

Mica Amiante

masse volumique ρ à 20 °C 1 000 950 3 000 530

Chaleur massique Cp

en J. kg-1. K-1 à 20 °C 4 190 1 800 810 820

Tableau II-4


33

◊ à un noeud (cf. Figure II-8) pour les moteurs électriques classiques par exemple ;

◊ à deux noeuds (deux constantes de temps, deux températures au sein du système). Des moteurs électriques de robotique pour lesquels températures du rotor et du stator peuvent être très différentes sont ainsi décrits (cf. exercice 3) ;

◊ à trois noeuds par exemple pour les composants d’électronique dont les température de jonction, du boîtier et du dissipateur sont à distinguer (cf. exercice 4).

Une notion associée à ce type de modèle est celle de résistance Rth(t) ou

d’impédance Zth(t) thermique transitoire. Dans l’hypothèse d’un flux thermique de type échelon (dit aussi impulsionnel), on obtient la différence de température entre deux points du système par :

∆θ = Rth(t) φ

th

Un exemple de représentation de résistance thermique transitoire relative à un composant d’électronique de puissance (type GTO thyristor ST733C de IRF) est fourni Figure II-9. La durée en secondes de l’impulsion de flux thermique est sur l’axe des abscisses, la valeur de la résistance thermique transitoire*** en ordonnée. Deux courbes s’observent selon le type de dissipateur††† choisi.

Après 2 s , Zth(t) en « refroidissement simple face‡‡‡ » est de 0,05 K/W alors

*** Z

th J-hs : impédance thermique transitoire entre la Jonction et le dissipateur

(heatsink) ††† ce type de composant peut recevoir un dissipateur sur chacune de ses faces. ‡‡‡ single side cooled

Figure II-8

Figure II-9, extrait du catalogue IRF


34

qu’en régime permanent§§§ elle est de 0,073 K/W. Ainsi, la température de la jonction θj sera égale à :

θj(2 s) = θdissipateur

+ 0,05 φth.

Remarque : avec un schéma thermique à un noeud on obtient,

∆θ = th

t

Re1 th

− τ

− φ

th.

Par comparaison, il vient dans ce cas

Rth(t) = th

t

Re1 th

− τ

−.

L’observation des courbes de résistance thermique transitoire montre effectivement souvent une allure proche de celle de la fonction

th

t

Re1 th

− τ

−.

§§§ steady state

35

Chapitre III

Présentation de

l’électromagnétisme

Après la mise en place des différents champs utilisés en électromagnétisme, nous introduisons les équations de Maxwell tout en énonçant pour chacune d’entre elles quelques applications. Cette présentation a pour but de mettre en évidence le fait que les différents phénomènes qui seront examinés peuvent être expliqués à l'aide d'une seule et même théorie. Dans la pratique d’ailleurs nous observons des phénomènes de type électrostatique en présence d'autres, de type magnétique par exemple. Il pourra être nécessaire de lire l’annexe avant d’aborder cette présentation.

1. Formulations locale et globale, relations de

continuité

Les équations de Maxwell postulent des relations ou lois entre les champs et les sources que sont les courants et les charges électriques immobiles. Quatre champs sont employés :

• rE : le champ électrique ;

• Dr

: le champ excitation électrique (aussi appelé vecteur déplacement) ;

• Br

: le champ magnétique (aussi appelé induction) ;

• Hr

: le champ excitation magnétique. Pour les sources, on distingue principalement :

• jr

: la densité surfacique de courant volumique.

Cette notion est employée lorsque le courant circule dans un volume de conducteur. Son unité, C. s– 1. m–2 soit encore A/m2 est celle d’un débit, celui de charges électriques à travers la section d’un conducteur. Entre l’intensité I du courant qui

circule dans le conducteur et jr

, on a la relation

suivante : I = ∫∫S Sd.jrr

avec S la section du

dSlignes de champ

Figure III-1

Chapitre IV, Électrostatique 47

Il a donc été vu physiquement, comment l'adjonction d'un matériau diélectrique permettait d'augmenter la densité volumique d'énergie.

Remarque : le champ excitation électrique ne peut se mesurer, seul est

physiquement accessible le champ électrique. Néanmoins, il est commode : D excite la matière qui répond en créant le champ polarisation qui vient se retrancher au champ d’excitation pour créer un champ électrique qui lui-même agit sur la matière qui … Globalement, le vecteur polarisation est donc lié au champ électrique, d’où la définition de la susceptibilité :

E=P 0

rrrχε . Il apparaît donc que l’on est en

présence d’un système « bouclé » que l’on peut représenter graphiquement par la Figure IV-6.

2.4.2. Phénomène de claquage diélectrique On appelle claquage diélectrique d'un diélectrique la perte subite de sa propriété

isolante lorsqu’il est soumis à un champ électrique rE excessif.

La rigidité diélectrique ou champ disruptif Ec est la valeur maximale du champ auquel

peut être soumis un diélectrique, sans apparition d'un claquage. Cette donnée est propre au diélectrique et s'exprime en V/m. Pour un condensateur, l'épaisseur du diélectrique implique la notion de tension de claquage : Vc = e Ec pour un condensateur plan d’épaisseur e. Quelques valeurs en MV/m : 3 pour l’air, 10 à 15 pour la porcelaine ; 40 à 100 pour le mica. Origine physique du phénomène de claquage diélectrique : lorsque les forces électrostatiques deviennent trop grandes, il y arrachement des charges liées au diélectrique qui deviennent alors libres d'où la création d'un courant. Ce phénomène est dû principalement aux imperfections telles les défauts ponctuels, les dislocations et les joints de grains dans le cas de diélectriques cristallins. Pour E > E

c, un taux significatif de collisions apparaît dans le diélectrique.

Remarque : pour les diélectriques gazeux, le claquage se manifeste par un arc électrique lorsque celui-ci a lieu entre deux conducteurs, par l'effet couronne sinon. L'intérêt manifeste d'un diélectrique gazeux est sa faculté de retrouver ses propriétés de diélectrique après le claquage, contrairement à la plupart des diélectriques solides.

2.4.3. Courant de fuite - résistance d'isolement - claquage thermique Le diélectrique n'est jamais parfait, lorsqu’une différence de potentiel U est

appliquée à ses bornes il y a alors circulation d’un courant dit de fuite If. Est définie alors la résistance d'isolement rapport de U par If. Ce courant de fuite provoque un échauffement qui a pour conséquence d'augmenter la conductivité et donc le courant de fuite. Si l'évacuation thermique vers l'extérieur ne compense pas cet effet, il y a emballement thermique. On voit que la rigidité diélectrique sera donc une fonction de la température.

D

P

E+

rχε01/

-

Figure IV-6

Chapitre IV, Électrostatique 48

2.4.4. Quelques caractéristiques constructeur d'un condensateur Un modèle de condensateur utilisant la notion de résistance d’isolement est représenté Figure IV-7. Le condensateur est alors caractérisé en régime statique par : • sa capacité C ; • sa résistance dite d'isolement R ;

RC

Figure IV-7

matériaux polystyrène polytétrafluor éthylène

EPDM polypro pylène

huile minérale

Polyester

rigidité en kV/mn

16 à 28 17 à 24 2,2 à 3,3 450 60 4,1 à 5,5

permittivité relative

2,45 à 2,65 2 20 2,2 2,3 14 à 20

Tableau IV-1

71

Chapitre VII États quasistationnaires

1. Phénomène d'induction

1.1. Force électromotrice induite Si les sources du champ magnétique, les courants, varient dans le temps alors le

champ magnétique induit est également variable. Entre deux points d’un fil placé là où existe le champ il y a alors création d’une force électromotrice « induite » e. Lorsque le circuit est fermé elle crée un courant induit qui s’oppose à la cause qui lui a donné naissance, c’est-à-dire au champ magnétique. Nous sommes en présence d’un système à « réaction ». L’équation qui traduit ce phénomène est celle de

Maxwell-Faraday : r o t E t→

= −r r

∂∂B

. Macroscopiquement, pour un circuit fermé*, on

obtient avec les conventions classiques (cf. Chapitre III) : dt

dd.Ee Bφ

−== ∫Clr

.

1.2. Loi de Lenz La loi de Lenz peut s’exprimer de deux façons :

• tout courant induit tend à s’opposer au champ qui lui a donné naissance ; • le flux résultant dû au courant induit tend à s’opposer au flux inducteur qui lui a

donné naissance.

1.3. Notion de potentiel

En électrostatique le champ électrique dérive d’un potentiel (car rot E→

=r r

0 ), par conséquent, lors de l’évaluation de la circulation du champ électrique entre deux

points C et D ( ∫=D

Cd.Ee lr

), peu importe le chemin emprunté pour joindre C à D.

On peut donc « parler » de différence de potentiel ∆V = e entre deux points sans préciser le chemin suivi pour l’évaluer. Dans l’approximation des états quasistationnaires, le champ électrique ne dérive plus à priori d’un potentiel. On

montre qu’il existe un vecteur rA et un potentiel V tel que dans un référentiel lié aux

sources de champ

* Le champ électrique est celui lié au conducteur pour lequel on évalue e. S’il est en mouvement à une vitesse v on a vu ( cf. Chapitre V, paragraphe 3.4. , page 58) qu’il

fallait ajouter r rv B∧ et donc que

tAVgradE

∂∂−−=

r + r rv B∧ .

Chapitre VII, États quasistationnaires 72

tAVgradE

∂∂−−=

r.

Ainsi, lorsqu’est évaluée la circulation du champ électrique entre deux points C et D, est obtenue non pas ∆V mais

∆ ∫

D

Cd . A

dtd

– V lr

,

expression dont la valeur dépend du chemin emprunté pour aller de C à D.

Dans la pratique, le terme supplémentaire sera d’autant moins négligeable que l’amplitude et la fréquence des variations du champ magnétique sont élevées.

exemple 1 : dans une alimentation à découpage où l’on a des signaux carrés au fondamental à 20 kHz d’une dizaine de Volts et où circulent des courants de l’ordre de 1 A, les forces électromotrices induites peuvent fortement perturber l’électronique de commande. exemple 2 : dans un engin de traction ferroviaire, il y a au niveau du moteur alimenté par un onduleur de tension des signaux carrés au fondamental à 400 Hz de quelques centaines de Volts et des courants d’une centaine d’Ampères : l’environnement immédiat (électronique de commande) mais aussi plus lointain (ligne téléphonique) peuvent être perturbés. Par contre, pour un circuit d’électronique petits signaux (aux faibles courants de l’ordre du mA) dans une salle de travaux pratiques par exemple, il n’y a pas de problème de ce type jusqu’à des fréquences de quelques centaines de kHz.

Pour éviter que le terme supplémentaire ne soit important, il faut choisir un chemin adéquat pour aller de C à D et prendre donc quelques précautions lors des câblages et des mesures. Un cas élémentaire est présenté Figure VII-1 : la tension induite entre les points C et D est moindre dans le cas 1 que dans le cas 2. Dans le cas 1, le fil « aller » est très proche du fil « retour » et voit donc le même champ électrique. La tension induite dans le fil « aller » sera partiellement compensée par celle induite dans le fil « retour »).

1.4. Conventions Lorsqu’un champ magnétique induit une force électromotrice dans une bobine, il

suffit de remplacer le bobinage par un générateur de tension comme cela est indiqué Figure VII-2. Cette règle est simplement la traduction de la loi de Maxwell-Faraday. En général, le flux capté est ensuite exprimé en fonction des courants et inductances propres et mutuelles (cf. Chapitre VI).

cas1

c a s 2

CD

C

D

Figure VII-1


Un cas particulier mais très fréquent est celui où est utilisé la notion de flux canalisé φ. Quelle est la relation entre le flux capté par une bobine et celui φ canalisé par le « circuit magnétique » autour duquel sont bobinées les N spires ? Au chapitre VI, il a été vu que : φcapté = φfuites ± N φ. Le signe dépend de la position du point affecté au bobinage (cf. Chapitre VI). En introduisant l l’inductance de fuite de la bobine il vient :

φcapté = l i ± N φ et donc

dtdN

dtdi

dt

d capté φ±=φ l .

Sur la Figure VII-3 ont été considérés deux cas :

• cas 1 : dtdN

dtdiu φ+= l ;

• cas 2 : dtdN

dtdiu φ+−= l .

1.5. Quelques applications du phénomène d’induction • le transformateur de tension est une machine à réaction. Les courants induits au secondaire tendent à s’opposer à la cause qui leur a donné naissance. On peut reprendre les exemples de circuits magnétiques présentés au chapitre VI ; • la machine à induction dite asynchrone est aussi une machine à réaction : les courants induits au rotor, pour s’opposer à la cause qui leur a donné naissance, sont à l’origine de forces qui mettent en rotation le rotor ; • le chauffage par induction : le courant induit dans le matériau provoque un chauffage par effet Joule ; • le freinage par induction : tout comme dans la machine asynchrone, les courants induits créent des forces. Voici quelques cas où le phénomène est indésirable : • la réaction magnétique d’induit de la machine à courant continu et de la machine synchrone ; • la force électromotrice induite dans les circuits électroniques à proximité de matériel où circulent des courants « forts » commutés par des modulateurs d’énergie (hacheurs, onduleurs, …).

+ i + i

- dφ capté

d t

+ i + i

- dφ captéd t

u u

u u

u = - d t

u = d φ captéd t

d φ capté

+

équivaut électrique-

ment à

équivaut électrique-

ment à

Figure VII-2

+ i + i

+ i

u u

u

N - N d td φ

+ i

uN - N d t

c a s 1

cas 2

d(- φ)

Figure VII-3


2. Approximations des états quasistationnaires Voyons en quoi consiste l’approximation des états quasistationnaires.

2.1. Temps de propagation « négligeable » En régime quasistationnaire, on doit pouvoir négliger au sein du système étudié le

temps que met l’onde électromagnétique pour se propager d’un bout à l’autre du circuit. Il est donc nécessaire d’être capable d’évaluer cette durée de propagation pour la comparer à une autre de « référence » (période du signal lorsque celui-ci est sinusoïdal par exemple). Les éléments à prendre à compte pour l’étude sont : • la vitesse de propagation d'un champ électromagnétique v qui est de l’ordre de

1

0 0µ µ ε ε µ εr r r r

c= , soit 3 10

8 m/s dans le vide et supérieure à 10

5 m/s

dans la matière ; • la dimension du circuit ou plus précisément la distance maximale entre deux points

du circuit ; • la fréquence de travail qui fournira l’unité de temps de référence. Négliger le temps de propagation est l’hypothèse des circuits « à constantes localisées » (cf. Chapitre IX) pour lesquels la théorie de Kirchoff (lois des noeuds, des mailles, …) est utilisée. Évaluons sur deux exemples ce temps de propagation avec un circuit dont la distance maximale D entre deux points du circuit est de 1 m : • pour un matériau diélectrique avec εr = 5, µr = 1 et v = 1,34 10

8 m/s il vient

t = D/v = 7,4 ns. Pour un signal sinusoïdal de fréquence 1 MHz le temps de propagation est de l’ordre du centième de la période. • pour un matériau ferromagnétique avec εr = 1, µr = 10 000 et v = 3 10

6 m/s il vient

t = D/v = 30 ns. Pour un signal sinusoïdal de fréquence 300 kHz le temps de propagation est de l’ordre du centième de la période.

2.2. Vecteur déplacement négligeable dans les matériaux conducteurs

Dans l’hypothèse des états quasistationnaires, la densité volumique des charges libres ρ est considérée comme constante dans le temps d'où, la validité du théorème d'Ampère et de la loi des noeuds.

Dans la réalité, cette densité est rarement rigoureusement constante. Néanmoins, il suffit que, lors d’un régime transitoire, ρ atteigne très « rapidement » une valeur constante, « rapidement » en prenant comme durée de référence celle des phénomènes étudiés (régime transitoire) pour que l’hypothèse soit assez bien vérifiée. Lorsqu’on se situe dans ce cadre, le module du vecteur déplacement de

courant est négligeable au sein d’un conducteur devant celui de j et dans ce cas

on peut toujours appliquer le théorème d’Ampère. De même, la loi des noeuds est toujours « vraie » : il n’y a pas de variation des charges stockées dans le noeud ! démonstration : il a été vu au chapitre III l’équation de conservation de la charge :

semail

Barrer

83

Chapitre VIII Matériaux

magnétiques

Introduction Ce chapitre a pour but, d'une part de présenter les terminologies communément employées, d'autre part de fournir des modèles, essentiellement qualitatifs, des matériaux magnétiques afin de pouvoir interpréter leur comportement et de comprendre les améliorations apportées dans leur élaboration.

1. Observation macroscopique du comportement d'une classe de matériaux magnétiques

1.1. Expériences - observations Soit le système représenté Figure VIII-1 au sein duquel

un flux magnétique φ créé par un courant i(t) circulant dans un bobinage de N spires est canalisé par un conducteur magnétique contenant une forte proportion de fer.

1.1.1. Vers la courbe de première aimantation On suppose le matériau magnétique

désaimanté et le courant constant, d'amplitude I. Augmentons « progressivement » la valeur de I et relevons la valeur correspondante du flux φ. Nous obtenons alors une caractéristique du circuit magnétique (cf. Figure VIII-2). Elle permettra d'obtenir une caractéristique magnétique du matériau, dite de première aimantation. Observation : lorsque le courant I atteint des valeurs élevées le flux n'augmente pour ainsi dire plus. C'est typiquement un phénomène de saturation.

1.1.2. Vers le cycle d'hystérésis Une autre expérience consiste à soumettre, par

l'intermédiaire d'un courant alternatif, sinusoïdal en général, de valeur maximale I et de fréquence f,

i(t)

Matériau magnétique

Figure VIII-1

φ

Ι

Figure VIII-2

φ

Ι

Figure VIII-3

Chapitre VIII, Matériaux magnétiques

84

le circuit magnétique à une excitation variable. On obtient alors une courbe de la forme de celle présentée Figure VIII-3. Observation : manifestement, la phase qui consiste à faire varier le flux n'est pas réversible. Le passé du matériau, l'histoire magnétique joue un rôle sur son comportement présent. On observe donc un phénomène d' hystérésis .

Remarque 1 : on recueille souvent en fait un faisceau de courbes dont on ne représente ici que la courbe « moyenne ». Remarque 2 : la forme du cycle évolue selon la valeur de la fréquence. Souvent, lorsqu’elle augmente, il ressemble plus alors à un rectangle.

1.1.3. Température de Curie Les phénomènes présentés aux paragraphes 1.1.1. et 1.1.2. ne s'observent guère

plus lorsque le matériau est à une température supérieure à une certaine valeur Tc,

dite température de Curie. Pour une même amplitude de courant I le flux est beaucoup plus faible. Pour le fer pur, T

c = 770°C.

Des phénomènes analogues à ceux décrits s’observent également dans des matériaux contenant de fortes quantités de Nickel ou de Cobalt. On mesure : T

c = 1 115°C pour le Cobalt, T

c = 358°C pour le Nickel.

1.1.4. Courbe de première aimantation et cycle d'hystérésis Les grandeurs φ et I dépendent du matériau certes mais également de la géométrie

du circuit magnétique. On s'en affranchit en utilisant le champ magnétique B et l’excitation H. On rappelle (cf. chapitre III) que flux et courant sont liés à B et H par les relations suivantes :

INd.HetSd.B ==φ ∫∫∫ Cl

rrr

S.

Si rB est constant en tout point de S, alors

φ = S.BSd.Brrrr

=∫∫S

.

Si en tout point de C , rH est colinéaire à ld et H constant alors H l = N I , avec l

longueur de C . S'en déduisent les caractéristiques propres du matériau magnétique (cf. Figure VIII-4)

Note : Un circuit magnétique en forme de tore permet de respecter à peu près les conditions. Dans la pratique, la courbe de première aimantation et « le » cycle d'hystérésis (fréquence, allure temporelle du courant à préciser) ne sont donc qu'approchés.

Sur la Figure VIII-5 sont présentés quelques éléments de terminologie.


85

1.1.5. Pertes fer Lorsque le matériau est soumis à un

flux magnétique variable dans le temps, on observe une élévation de la température du circuit magnétique ce qui est caractéristique de dégagement de chaleur. Ce flux d’énergie à l’origine de la chaleur est appelée pertes fer P

fer. Soit f la

fréquence du courant alternatif, la courbe expérimentale (P

fer/f) (f) a l'allure présentée

Figure VIII-6. À partir de ce genre de relevé, on peut en déduire des expressions analytiques des pertes fer massiques p. Nous en présentons quelques unes : • formule 1 : p = p

1,0/50 ( f/50) B

2 avec p

1,0/50 les pertes fer pour un champ B de 1 T et

une fréquence de 50 Hz, l'excitation étant de nature sinusoïdale ; • formule 2 : p = m B

a f + s B2 f

2 pour 0,2 < B < 1,5 T, a, s et m variables selon le matériau ;

• formule 3 : p = p1,0/50

( f/50)1.3 B

2 ;

• formule de Steinmetz : p = k B1.6

;

B

H

B

H

courbe de première aimantation Cycle d'hystérésis

c o u d e d e s a t u r a t i o n

Figure VIII-4

B

H

B

HcB-H

cBH : c h a m p c o e r c i t i f

Br

Br

:champ (induction) rémanent

Bs

Bs: champ magnétique

à saturation

Figure VIII-5

Pferf

fréquence

f

Figure VIII-6


86

• formule de Richter : p = k Bn avec 1 < n < 2.

La nature du matériau, les conditions de mesure et la qualité de l’interpolation expliquent l’éventail de ces formules. Il existe une terminologie : la « qualité » d'une tôle représente les pertes fer d'un kilo de matériau en 50 Hz sinusoïdal pour une amplitude maximale de B de 1,5 T.

1.2. Modèles Il apparaît à l’observation des courbes de la Figure VIII-5 que la perméabilité

magnétique relative )H/(B 0r µ=µ n’est pas une constante mais dépend de H et du

passé du matériau. Pourtant, sont couramment utilisés des modèles « linéaires » pour lesquels est supposée valable la relation B = µ H avec µ constant.

1.2.1. Modèles linéaires L'effet hystérésis est négligé ce qui est légitime (tout au moins aux fréquences assez basses) pour les matériaux magnétiques dits doux pour lesquels on essaie d'obtenir des cycles les plus fins possibles. La saturation n’est pas prise en compte. Il faut donc que l’amplitude des variations de H soit suffisamment faible. Un matériau supposé linéaire sera défini par différentes perméabilités selon les conditions de travail : • pour un régime alternatif de forte*

amplitude, sinusoïdal ou non, c’est la perméabilité d'amplitude définie par la relation

µamp

= Bcrête

/Hcrête

qu’il faut retenir (cf. Figure VIII-7). Exemples d’applications : bobines, transformateurs de puissance et d'alimentation à découpage ;

• pour un régime alternatif de faible amplitude† autour d'une excitation H0, la notion de perméabilité incrémentale ou réversible µ

incr (cf. Figure VIII-7 ) est

judicieuse d’emploi ; • pour de très faibles courants (d'excitation),

la perméabilité initiale µi s’impose‡.

* classiquement, la valeur maximale HM du module de H se situe dans le coude de saturation. † c’est le cas des bobines de lissage. ‡ les bobines de filtrage de mode commun dans les filtres sont en général soumis à de très faible flux.

B

HH crête

crêteB

B

H

α

B

H

c o u r b e d e première aim antation

crêteBH crêtea m p

α

µ = tg α

µ = tg α

µ =

i n c r

i

c y c l e l o c a l

Figure VIII-7


99

3.3. Matériaux magnétiques doux adaptés au fonctionnement à haute fréquence

En électronique de puissance, on est amené à travailler à des fréquences allant de quelques kHz à des centaines de kHz. Or les pertes fer augmentent avec la fréquence. Au delà de quelques centaines de Hz, les matériaux au Fer ou Fer-Silicium présentent trop de pertes massiques aussi a-t-on été amené à se tourner vers : • les ferrites ; • les amorphes. Les plus utilisés des deux présentés sont les ferrites, les amorphes étant plus récents. Par nature, elles ont une induction à saturation assez faible (quelques centaines de mT) et la particularité d'avoir une résistivité électrique élevée (1 000 fois supérieure à celle du fer) d'où une dégradation moindre de leurs performances lorsque la fréquence augmente. À partir de quelques centaines de Hz, elles deviennent meilleurs que les matériaux au Fer-Silicium. Actuellement, pour obtenir un niveau de pertes fer acceptable, on est amené à travailler à faible niveau d'induction (quelques dizaines de mT) pour des fréquences de quelques centaines de kHz (exemple : 80 mT à 100 kHz). Il existe de très nombreuses variétés de ferrites qui sont chacune adaptées à un créneau : pour une plage de fréquences et d’induction, les pertes sont « minimales ».

4. Matériaux magnétiques durs

4.1. Définition Un matériau magnétique est dur lorsque champs coercitif et rémanent sont élevés.

À la base de la fabrication des aimants permanents, ces matériaux sont non linéaires :

les champs JetHrr

ne sont plus forcément colinéaires. Néanmoins la relation

J+H=B 0

rrrµ reste valable. Un matériau dur sera caractérisé par ses

caractéristiques J(Ha) et Ba(Ha) (cf. Figure VIII-21).

4.2. Etude en statique

4.2.1. Calcul sommaire de la chambre d'aimant On considère le circuit magnétique représenté Figure VIII-22. L'aimant sera la

source d'un champ magnétique Be que l'on veut créer dans l'entrefer. On se propose

d'évaluer Be dans le cadre d'une modélisation très simple des phénomènes et du

circuit magnétique. Hypothèses : • le matériau constitutif des culasses présente une perméabilité magnétique µ

fer

infinie ; • les champs magnétiques dans l'aimant B

a et l'entrefer Be sont supposés

constants ;


100

• la caractéristique du matériau de l'aimant permanent est représentée sur la Figure VIII-21 ;

Exploitons les hypothèses et lois de l’électromagnétisme. • puisque les pièces polaires sont de

perméabilité infinie il n'y a pas de fuite, tout le flux créé par l'aimant passe par l'entrefer ;

• la même hypothèse et les lois de conservation de la composante

tangentielle de rH et normale de

rB

impliquent que rBe est orthogonal au

niveau de l'entrefer à la surface des pièces polaires en regard.

Il vient donc ee Sd.Brr

= Be dS

e : il

n’y a pas donc d'épanouissement des lignes de champ au niveau de l’entrefer ; • la conservation du flux se traduit alors par :

Ba S

a = B

e S

e ; (1)

• l’excitation Hfer

dans la culasse est nulle. En effet, la valeur finie de Ba, la

conservation du flux, l’hypothèse d’une perméabilité relative de la culasse infinie et la relation B

fer = µ

fer H

fer impliquent la nullité de H

fer ;

• exprimons le théorème d'Ampère pour une ligne de champ C qui traverse successivement l’aimant, la culasse et l’entrefer :

∫∫∫∫ ++=entrefer

eculasse

culasseaaimant

d.Hd.Hd.Hd.H llllC

rrrr= 0

soit encore, H

a L

a + H

e Le = 0 ; (2)

0

100

200

300

400

500

-200 -160 -120 -80 -40 0

B (mT) à 20°C

J (mT) à 20°C

J

B

B

Ja

a

a

aH e n k A / m

Figure VIII-21

SN

eL

L a S a

s e c t i o n

section

S e

aim a n t

entreferculasse magnétique

Figure VIII-22


101

• dans l'entrefer Be = µ

0 He. (3)

Il vient des trois relations (1), (2), (3) précédentes

a

a

ae

ea

e

aa

aa

e0

e

e

HB

LSLS

SSB

LHL

HB

−=−

=µ=

soit, Ba = k H

a avec

ea

ae0 LS

LSk µ−= .

C’est l’équation de la droite dite de fonctionnement ou de charge de l’aimant (cf. Figure VIII-23). Il apparaît que k ne dépend que de la géométrie (attention on a négligé tout phénomène de saturation !).

4.2.2. Critère d'Evershed Etant donné le coût du matériau, on cherche à dimensionner le circuit magnétique

de façon à minimiser le volume Va d’aimant :

Va = S

a La =

aa

e2e

0 HBVB

– µ .

Lors de la réalisation d'un tel système, le volume de l’entrefer Ve = S

e Le et B

e sont imposés de par le cahier des charges. Apparaît donc que V

a augmente si B

a Ha

diminue. Les courbes Ba Ha

= cte sont des hyperboles dans le plan B(H). Pour les valeurs faibles de B

a Ha l’hyperbole coupe la caractéristique de l’aimant en deux

points. Il existe une valeur de Ba

Ha pour laquelle elle est tangente à cette

caractéristique. Le point d’intersection est alors celui de fonctionnement optimal. Il reste à concevoir une géométrie de la chambre d'aimant pour que la pente k soit correcte.

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

- 2 0 0 - 1 6 0 - 1 2 0 -80 -40 0

B (mT) à 20°C

J (mT) à 20°C

J

B

EF

E 1

F 1B

B

J

J

a

a

a a

a

h y p e r b o l e s B H = cte

2 d r o i t e s d e " c h a r g e " d e l'aim a n t

H e n k A / m

Figure VIII-23


102

Attention, le raisonnement précédent ne tient pas compte des contraintes dynamiques qui peuvent être appliquées à l’aimant telle une réaction magnétique d’induit dans un moteur. Aussi, le point de fonctionnement peut très bien être optimu m en statique mais médiocre en pratique.

4.3. Etude en dynamique Plaçons nous dans les cas où l’excitation Ha vue par l'aimant est variable‡‡.

Lorsque l’effet résultant est démagnétisant, le système retrouvera-t-il ses propriétés initiales une fois disparue cette excitation ? Prenons donc le cas où Ha varie entre H0 et H1 (cf. Figure VIII-24).

Le point de fonctionnement initial est E pour l’aimantation, E1 pour le champ magnétique. Il passe à F lors de l’application d’un champ démagnétisant. La valeur de l’aimantation varie de J0 à J1. Deux cas sont à distinguer : • J1 est très proche de J0. Cela signifie qu’à l’intérieur de l’aimant les moments

magnétiques n’ont pour ainsi dire pas bougé. À la disparition de l’excitation démagnétisante le point de fonctionnement repassera quasiment à E. Lorsque H varie donc de H0 à H1 le point de fonctionnement se « promène » sur une droite appelée droite de recul (cf. Figure VIII-24) ou de retour quasiment confondue avec la caractéristique de l’aimant ;

• J1 est sensiblement différent de J0. Des modifications se sont opérées au sein de l’aimant, la diminution n’est pas réversible. On ne reviendra donc pas au point de fonctionnement initial mais « reculera » sur une droite de recul non confondue avec la caractéristique B(H) initiale (cf. Figure VIII-25).

La pente de cette droite de retour est µr la perméabilité réversible de l’aimant :

‡‡exemple 1 : le circuit magnétique a une réluctance variable. Ainsi, le démontage d’un moteur, l’insertion d’une pièce magnétique dans l’entrefer modifient la réluctance. exemple 2 : l’excitation varie. Une réaction magnétique d’induit dans un moteur provoque ce type de phénomène.

J

B

H e n k A / m

EF

E 1

F 1

H 0H 1

d r o i t e d er e c u l

J J01

a

a

a

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

- 2 0 0 - 1 6 0 - 1 2 0 -80 - 4 0 0

B (mT) à 20°C

J (mT) à 20°C

Figure VIII-24


103

∆∆B

H rµµ

0= .

Les mesures donnent : • quelques unités pour les aimants métalliques (de 1,3 à 4,2) ; • une valeur proche de 1 pour les aimants céramiques (de 1,1 à 1,3) ; • quasiment 1 (de 1,01 à 1,05) pour les aimants terres rares.

Recherchons grossièrement l’origine physique de cette droite.

Il a été vu que B = µ0 H + J.

Tant que J = J0, B varie linéairement avec H selon la droite de recul d’équation B = µ

0 H + J0.

Une fois que J est passé de J0 à J1 , alors B = µ0 H + J

1 (cf. Figure VIII-25).

Avec cette approche µr vaut 1. Si on suppose maintenant que J peut à nouveau augmenter lorsque l’effet démagnétisant cesse, alors bien sûr la perméabilité réversible peut être supérieure à 1.

4.4. Examen des différentes familles

4.4.1. Critères de comparaison Bien évidemment, le champ coercitif, l’énergie maximale volumique ainsi que le

champ magnétique rémanent constituent les paramètres fondamentaux d’un aimant (cf. Figure VIII-26). Néanmoins, il ne faut pas négliger la sensibilité par rapport à la température, la stabilité chimique ainsi que les caractéristiques mécaniques permettant un usinage plus ou moins aisé. Dans le Tableau VIII-4, les valeurs indiquées permettent simplement de classer les familles entre elles.

0

100

200

300

400

500

-200 -160 - 1 2 0 -80 -40 0

B (mT) à 20°C

J (mT) à 20°C

z o n e s a n s p e r t e d ' a i m a n tation

E

FG

d r o i t e d e r e c u l ( a v e c p e r t e d ' a i m a n t a t i o n )

B

J

a

aa

E

F1

1

BJ 1

J0

1

G

Figure VIII-25


104

Lors d’une variation de la température, les performances de l’aimant change de façon réversible ou non. Dans le premier cas, l’utilisation des coefficients α et β du Tableau VIII-4 permet facilement de déduire à partir de la connaissance de la caractéristique à 20°C de l’aimant par exemple celles à d’autres températures. Dans le deuxième cas, on dispose d’une famille de caractéristiques paramètrée en température.

4.4.2. Les céramiques Des oxydes de fer mélangés avec du Strontium (principal constituant de formule

SrFe12O19) ou du Baryum (principal constituant de formule BaFe12O19) constituent les matières de base de ces aimants aussi appelés ferrites. Leur principale qualité est leur prix modéré.

4.4.3. Aimants métalliques Connus depuis les années 1930, souvent sous le nom d’Alnico (alliage contenant,

Aluminium, Nickel et Cobalt), ils conservent un petit avantage : leur stabilité en température.

4.4.4. Aimants terre rare Obtenus à partir de « terres rares » telles Samarium ou Néodyme, ils présentent

les meilleures performances magnétiques mais pour un prix élevé. La famille des « Samarium-Cobalt », plus ancienne, conserve un avantage en ce qui concerne la tenue en température par rapport à la famille plus récente des « Néodyme-Fer-Bore ».

Famille ⇒ Cérami-ques

Métal-liques

Terres rares Samarium-

Cobalt

Terres rares Neodyme-Fer-

Bore

α , sensibilité à la température de Br (%/K)

- 0,2 - 0,013 à - 0,02

- 0,04

- 0,08 à - 0,13

(20°C à 150°C) β, sensibilité à la

température de HcJ (%/K) + 0,34 - 0,05 à

- 0,2 - 0,45 à

- 0,6 Point de Curie en °C 450 740 à

860 720 à 820 310

Température maximale d’utilisation en °C

300 400 à 500

200 à 250 120 à 180°C

Ordre de grandeur du coût (F/kg) en 1995

30 à 60 200 3 000 2 000

Tableau VIII-4


105

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 00

300

600

900

1 2 0 0

1 5 0 0( B H ) m a x ( k J / m 3 )

B r ( m T )

Neodyme fer bore aggloméréscéramiques (ferrites)

alliages plastique

E n e r g i e m a x i m a l e e n k J / m 3 Champ rémanent en mT

C h a m p c o e r c i t i f H J

e n k A / m

Neodyme fer bore frittés

S a m a r i u m C o b a lt

Figure VIII-26

119

Chapitre X

Exercices de mécanique

corrigés

Exercice 1 : étude d'un bras de robot On désire entraîner en rotation une charge de masse M au bout d'un bras de masse négligeable et de longueur L. Le déplacement s'effectue dans un plan vertical entre les angles β = 0° et β = 180°. Le cycle de travail est le suivant : • phase d'accélération, mouvement

uniformément accéléré, de durée Ta,

de β = 0° à β = βa ;

• phase à vitesse de rotation angulaire constante Ω

0, de durée T

c ;

• phase de décélération, mouvement uniformément décéléré, de durée T

d = T

a, de β = β

d à β = 180°. On note

βde = π – βd ; • phase d'attente d'une durée T

m ;

• retour à β = 0° en parcourant le même chemin en sens inverse par une succession analogue de phases : 0 < β < 180°.

1>Traduire sous forme graphique, en ce qui concerne vitesse et accélération, le cahier des charges.

2>Rappeler le moment d'inertie Jch

de la charge, que l'on modélisera par une charge ponctuelle. Exprimer en fonction de β

a, β

de et Ω0 la durée T

c. Calculer β

a et β

de. Quelle

est la valeur de la durée Tc ?

3>Après les deux questions de cinématique précédentes, une étude dynamique va nous permettre de trouver quel couple devra développer le moteur afin de satisfaire les exigences (cinématiques) du cahier des charges. Calculer le couple que demande la charge au moteur au cours des différentes phases du cycle.

L

β

axe de rotationdu moteur

0

a

M

m

L = 1,2 m ; M = 20 kg ; T = 0,2 s ; T = 2 s ; Ω = 1,57 rd/s

Figure X-1

Chapitre X, exercices de mécanique

120

4>Tracer un cycle complet _ aller et retour _ pour les courbes du couple, de la vitesse et de la puissance mécanique requise. La prise en compte des valeurs numériques permet de simplifier fortement le tracé.

Aide On pourra chercher à répondre aux questions suivantes pour la question 3> 3.a>Définir le référentiel d'étude, choisir un repère que l'on représentera sur le schéma. 3.b>Définir le système étudié. Représenter sur le schéma les actions extérieures qui lui sont appliquées. 3.c>Exprimer la relation fondamentale de la dynamique pour le système. 3.d>Exprimer pour chaque phase du cycle le couple dit « utile» que requiert la masse M (le couple « inutile » serait celui que demande la charge pour augmenter ou diminuer son énergie cinétique ! !). 3.e>Exprimer pour chaque phase du cycle le couple total Cm demandé par la masse au moteur.

(Éléments numériques de réponse : 2> βa = 0,157 = β

de ; 1,8 s ; 4> Phase d'accélération

Cm # 466 N. m ; phase à vitesse constante Cm = 240 cosβ ; phase de décélération Cm # – 466 N. m ; phase d'arrêt Cm # – 240 N. m. Corrigé p 133)

Exercice 2 : éléments sur la cinématique et la dynamique du T.G.V. sud-est

La résistance à l'avancement en terrain plat d'une rame du TGV sud-est est représentée par la force suivante :

F(v) = 3 900 + 40 v + 0,63 v2 avec F en N et v en km/h.

Les caractéristiques globales (pour l'ensemble des 12 moteurs d'une rame) effort-vitesse sont fournies en (cf. Figure X-2).

0 2 0 40 60 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 00

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

2 0 0

2 2 0

Réseau 25 kV- 50 Hz

Réseau 1500 V continu

E f f o r t a u x j a n t e s e n k N

v i t e s s e e n k m / h

Caractéristique Effort-vitesse d'une rame TGV sud-estF e f f

A

A

AA

B

B

B

B

Figure X-2

semail

Barrer


126

B>Étude dynamique B.1>Exprimer en fonction de g, m, L, Ω

1(t) et β la puissance mécanique P

mc absorbée

par la charge lors d'un fonctionnement à vitesse Ω1(t) constante.

B.2>Quelle puissance Pmo

devra développer le moteur lors d'une phase à vitesse constante ? En déduire le couple équivalent ramené C

eq de l'ensemble transmetteur-

charge. Exprimer le en fonction de g, m, L, β, R1, R

2 et η.

B.3.a>Lors d'une phase d'accélération quelle puissance cinétique Pci devra fournir le

moteur ? B.3.b>En déduire le couple supplémentaire C

ac (couple inertiel) que devra fournir le

moteur. L’exprimer en fonction de J1, J

2, m, L, η, R

1, R

2 et J

m.

B.3.c>En déduire le moment d'inertie Jeq

équivalent ramené de l'ensemble transmetteur-charge.

(Éléments numériques de réponse : A.1> J1 = 2 kg. m2 ; J2 = 2 10 – 4

kg. m2 ; A.3> β1 = 0,2 ° ; Β.3.c> Jeq = 0,342 kg. m2. Corrigé p141)

Exercice 8 : étude d’une centrifugeuse Lors de l’élaboration de produits à partir du raisin, il est nécessaire d’extraire le jus de raisin. Un des procédés classiques est la centrifugation : un bol est entraîné à grande vitesse, les matières « solides » sont plaquées contre la paroi. Le moteur fait tourner le bol par l’intermédiaire d’un transmetteur mécanique de type courroie-poulies. Description et modélisation de la charge : • Jb moment d’inertie du bol vide

par rapport à son axe de rotation : Jb = 52 kg. m2 ;

• Ωb vitesse de rotation du bol ; • Ωbn vitesse nominale de

rotation du bol : Ωbn = 4 180 tr/mn ;

• Cb couple « utile » du bol ; • Cbn couple « utile » du bol

chargé de raisins et tournant à la vitesse nominale : Cbn = 114 N. m ;

• µT rapport « de réduction » du transmetteur mécanique : µ Tb

m= =

ΩΩ

2 85, ,

Ωm vitesse de rotation du moteur.

Hypothèses : • Le couple « utile » requis par le bol vide sera évalué par la formule suivante :

Cb = C0 + f Ωb avec C0 = 15 N. m et f = 0,02 N. m. s. ; • le moment d’inertie du moteur est nul (négligeable devant celui ramené par le bol).

1>Déterminer la puissance Pmn que doit développer le moteur pour entraîner à sa vitesse nominale le bol chargé.

M o t e u r B o l

Figure X-7

semail

Barrer


127

2> Calculer le moment d’inertie équivalent ramené Jeq du bol vide sur l’axe du moteur.

3>Exprimer le couple équivalent ramené Ceq du bol vide sur l’axe du moteur en fonction de C0, f, µT et Ωm.

4>Un moteur permettant d’entraîner le bol à la vitesse nominale a été choisi. Étant donné la nature fortement inertielle de la charge, il est nécessaire d’étudier la phase de démarrage. De façon à diminuer sa durée, elle s’opère à vide. Le moteur choisi peut développer un couple Cd de 154 N. m pendant une durée « faible » devant sa constante de temps thermique. On désire donc estimer ce temps de démarrage td. 4.a>Exprimer la relation fondamentale pour l’ensemble moteur-transmetteur-bol. 4.b>En déduire que le système est régi par une équation différentielle du premier ordre. 4.c>Résoudre l’équation différentielle et en déduire td pour atteindre la vitesse nominale.

(Éléments numériques de réponse : 1> Pmn = 50 kW ; 2> Jeq = 422 kg. m2 ; 4.c> td = 663 s soit 11 mn. Corrigé p142)

Exercice 9 : motorisation d’un ascenseur Un ascenseur est mécaniquement composé de trois éléments essentiels (cf. Figure X-8) : • le treuil de levage et sa poulie ; • la cabine ; • le contrepoids. La cabine et le contrepoids sont réunis par une nappe de câbles d'acier qui passent

P o u l i e

C a b i n e

C o n t r e p o i d s

C h a r g e u t i l e

D

2

p

s e n s p o s i t i f p o u rl e c o u p l e e t l a v i t e s s e d e

r o t a t i o n

M a s s e d u c o n t r e p o i d s :m c= 1 5 0 k g

M o m e n t d ' i n e r t i e d e l ap o u l i e : J = 0 , 1 k g m

On négligera dans tout le problème la m a s s e d e s c a b l e s

2

Accélération de la pesanteurg = 1 0 m / s

Diamètre de la poulie:D = 2 0 c m

M a s s e d e l a c a b i n e :m v = 9 0 k g

M a s s e m a x i m ale de lacharge utile: m u = 3 0 0 k g

+

Figure X-8

semail

Barrer

Chapitre X, corrigés des exercices de mécanique

133

Corrigé 1 : étude d'un bras de robot 1>Cf. Figure X-14.

2>La charge du moteur est constituée de la masse m et du bras de robot. Le moment d’inertie total de la charge est donc la somme de deux moments d’inertie par rapport à l’axe de rotation du moteur : celui du bras et celui de la masse. Par hypothèse, on néglige la masse du bras, il ne reste plus qu’à évaluer celui de la masse qui est modélisée par une charge ponctuelle. Il vient donc : Jch = M L

2.

Numériquement : Jch = 28,8 kg. m2. On cherche l’accélération β&& . De façon générale, soit elle est imposée par le cahier des charges qui requiert par exemple une montée en vitesse pendant une durée donnée à accélération constante, soit elle s’obtient en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, il faut alors connaître l’ensemble des actions extérieures qui s’appliquent sur le système. Dans notre cas, on cherche à dimensionner un moteur pour répondre à un cahier des charges, c’est donc la première démarche qui est à considérer. Par hypothèse le mo uvement est uniformément accéléré, donc à accélération constante : atetancons β==β &&&& .

Vitesse et accélération angulaires sont liées simplement : &&β =ddtΩ

.

Par conséquent, par intégration de l’accélération pendant la durée Ta, il vient :

Ω0 – 0 = &&β a (Ta – 0) d’où &&βaaT

=Ω0 .

0 0,2 2 2,2 4,2 4,4 6,2 6,4 8,4-2

-1

0

1

2

T e m p s e n s e c o n d e

V i t e s s e e n r d / s

T c

T m

Figure X-14


134

Numériquement : &&β a = 7,85 rd/ s2.

Évaluons Tc qui est la durée de fonctionnement à vitesse Ω0. Par hypothèse : βd = βa + Ω0

Tc. et βde = π – βd d’où :

Tcd a de a=

−=

− −β β π β βΩ Ω0 0

Il suffit donc de connaître βa et βde. Ces variations de la position angulaire s’obtiennent par intégration de la vitesse : • phase d’accélération : pour tout instant t ∈ [ 0, Τa ], aconstante β==β &&&& .

Par intégration entre les instants 0 et t on obtient la vitesse angulaire pour t ∈ [ 0, Τa ] :

Ω(t) – Ω(0) = && &&β βax

x t

adx t==

=

∫ 0.

De même, pour obtenir la position il suffit d’intégrer la vitesse :

β(t) – β(0) = && &&β βax

x t

axdx t==

=

∫ 0

212

.

Il vient donc βa = β(Ta) = 12

12

20

&&βa a aT T= Ω .

Numériquement : βa = 0,157 rd/s. • la phase de décélération est de même durée que celle d’accélération, les vitesses

extrêmes sont également les mêmes. On en déduit donc que les angles parcourus sont identiques : βa = βde. Si la remarque précédente n’est pas faite, il est possible de trouver βd par intégration.

Pour tout instant t ∈ [ Τa + Τc , Τa + Τc +Τd ],

0 0,2 2 2,2 4,2 4,4 6,2 6,4 8,4-8

-4

0

4

8

T e m p s e n s e c o n d e

accélération en rd/s2

Figure X-15


135

aa

0

Ttetancons β−=

Ω−==β &&&& .

Par intégration entre les instants Τa + Τc et t on obtient la vitesse angulaire pour t ∈ [ Τa + Τc , Τa + Τc + Τd ] :

Ω(t) – Ω(Τa + Τc) = ( )− = − − −= +

=∫ && &&β βax T T

x t

a a cdx t T Ta c

.

Il vient donc : Ω(t) = Ω0 ( )− − −&&βa a ct T T .

De même, pour obtenir la position il suffit d’intégrer la vitesse :

β(t) – β(Τa + Τc) = ( )[ ]− − − + == +

=

∫ &&βa a cx T T

x tx T T dx

a c

Ω0

( ) ( )− − − + − −

12

20

&&βa a c a ct T T t T TΩ .

Il vient donc : β(Τa + Tc + Ta) – β(Τa + Τc) = − +12

20

&&βa a aT TΩ

soit βde = 12 0Ω Ta = βa .

Numériquement : Tc = 1,8 s.

3>Exprimons le théorème fondamental de la dynamique pour un système en rotation autour d’un axe. • choix de système : le rotor du moteur avec le bras et la masse M ; • référentiel terrestre considéré comme

référentiel galiléen avec un repère orthonormé direct ;

• sens positif pour la rotation et pour le couple choisi en concordance avec le repère : sens direct (« inverse des aiguilles d’une montre »).

Évaluons de deux façons distinctes le couple de charge : Première méthode : On décompose le poids en deux forces (cf.Figure X-17).

Seule la force tFr

est à l’origine d’un

couple qui est négatif pour β entre 0 et 2/π . Il vient : Cch = – M g L cosβ.

Deuxième méthode :

Vectoriellement : gMONC eargchrr

∧= .

Par projection sur l'axe Oz :

)gM,ONsin(gMONC eargchrr

= =

L M g sin(– β – π

2) = – M g L cosβ.

L

β

axe de rotationdu moteur

y

xzO

M g

Figure X-16

βy

xzO

F Frt

−βM g

N

Figure X-17


136

La relation fondamentale de la dynamique pour un mouvement de rotation autour d’un axe s’exprime par :

( ) eargchmoteur2

2

moteurch CCdtdJJ +=β+ .

Attention : les couples sont exprimés en valeur algébrique : ils peuvent être positifs ou négatifs.

2

2

moteurmmoteurdtdJCC β+= avec eargch2

2

chm CdtdJC −β=

4>Étant donné que βa = 0,157 rd/s soit approximativement 9° (cos 9° = 0,988), le couple est approximativement constant lors des phases d’accélération et de décélération. La puissance s’obtient par multiplication du couple par la vitesse.

Corrigé 2 : éléments sur la cinématique et la dynamique du T.G.V. sud-est

Phase accélération vitesse

constante

décélération attente

& &β Ω0

Ta 0 −

Ω0

Ta 0

Cm β+Ω

cosLgMT

Ja

0ch βcosLgM β+

Ω− cosLgM

TJ

a

0ch – M g L

Tableau X-5

Phase accélération vitesse constante décélération attente

Cm en N. m à peu près 466 240 cosβ à peu près – 466 – 240 Pm en W 3 658 t 377 cosβ – 3 658 (t – Ta – Tc) 0

Tableau X-6

semail

Barrer


148

et plus en vitesse.

B.3.c> N = 6.

Pendant la phase d’accélération Cm = 6 × 0,53 + 24 / (6 × 0,9) = 7,6 N. m.

Pendant la phase à vitesse constante la vitesse du moteur vaut alors 1086 tr/mn.

Pendant la phase de décélération : Cm = 3,5 N. m.

Corrigé 11 : motorisation avec transmetteur

1>C’est le moteur qui fournira la puissance nécessaire au mouvement. Par définition :

Pm = – r rFc . v est la puissance absorbée par

l’ensemble au niveau du pignon. En faisant

l’hypothèse que cette force est colinéaire à

la vitesse il vient : Pm = v × |Fc| = 295 W.

2>Pour accélérer il faut fournir même s’il n’y

a pas de résistance à l’avancement, de

l’énergie cinétique. Dans notre cas il y a déjà

de la résistance à l’avancement à vitesse

constante, résistance quantifiée par cette force Fc

introduite dans l’énoncé :

P F vd M v

dtF vm mcp c= =

+

12

2

.

Numériquement : Pm = 1 200 v + 295 v.

En dérivant l’énergie cinétique et en simplifiant par

la vitesse, on retrouve le théorème fondamental de la dynamique avec pour système

le pignon :

Mddt

F Fmcp cv

= − .

3>On a calculé la puissance

requise au niveau du pignon

(contact pignon-crémaillère).

Cette puissance mécanique

sera fournie par le moteur qui,

FF mcp

sens de déplacement

c

pignon

Figure X-26

t

P

295W

phase d'accélération

Figure X-27

0 , 8 50 , 9

réducteur

Pmm o t e u r

J Ω (dΩ /dt)mm

transm e t t e u rp i g n o n -

crémaillère

Figure X-28

semail

Barrer


149

étant donné les rendements des transmetteurs mécaniques intervenant entre lui et la

crémaillère, devra fournir une puissance totale supérieure à celle calculée

précédemment. De plus, lors de l’accélération, une puissance cinétique devra

également être transmise aux pièces en rotation autour de l’axe du moteur.

Remarque : on pourrait aussi prendre en compte la puissance cinétique devant être

transmise aux pièces en rotation autour de l’axe du pignon mais comme rien n’est

donné dans l’énoncé, on supposera que les moments d’inertie correspondants sont

nuls (ou plutôt négligeables).

4>Par définition du rapport de réduction en notant Ωm la vitesse de rotation du

moteur autour de son axe de rotation et Ωp la vitesse de rotation du pignon :

Ωm = K Ωp. Sachant que le pignon roule sans glisser sur la crémaillère, il vient

Ω pv

d=

2. Finalement, Ω m K

vd

=2

d’où le résultat.

5>Par définition des notions de couple et de moment d’inertie équivalents ramenés :

v Fdtdv vM1

dtd

JC crcré

mmermer

+ηη

=Ω

Ω+Ω

égalité devant être vraie pour toute vitesse v.

Cette égalité ne peut être toujours vérifiée que si :

K2d

FC

rcré

c

er ηη= et

2rcré

2

er K2d

MJ

ηη

= .

Numériquement : Cer = 2,3 N. m et Jer = 67,8 10 – 3 kg.m2.

Chapitre XI, corrigés des exercices de thermique

164

Corrigé 4 : échange de chaleur par convection thermique, conduction thermique et rayonnement ; refroidissement d'un transistor 1>En régime permanent, il a été choisi pour modéliser le transistor un circuit à trois résistances. Les échanges de chaleur entre le dissipateur et l’air ambiant ont lieu : • par convection. Le concepteur du dissipateur a donc cherché pour un volume donné à obtenir la surface d’échange maximale. La loi de Newton montre en effet que le flux thermique augmente avec cette surface ; • par rayonnement. Pour obtenir le coefficient d’émissivité maximum dans la loi de Stéfan les dissipateurs sont de couleur noire. La résistance RthH-A qui sera en général estimée par mesure rend compte globalement de ces deux phénomènes. De par l’observation de la Figure XI-15 il apparaît que cette résistance n’est pas constante. Elle dépend du flux thermique P qui la traverse. Lorsqu’il augmente elle diminue.

A 75 °C au dessus de la température ambiante RthH-A = 75/167 = 0,45 °C/W.

A 100 °C au dessus de la température ambiante RthH-A = 100/250 = 0,4 °C/W.

A 46 °C au dessus de la température ambiante RthH-A = 46/87,5 = 0,52 °C/W.

Essayons d’évaluer RthH-A en utilisant les lois de Newton et Stéfan : • par la loi de Newton il vient,

Sh1

RthN

thN =φ

θ∆=

avec h S approximativement constant et φth Ν

flux thermique par convection ; • par la loi de Stéfan, on a le flux thermique par rayonnement qui s’exprime par :

φthSt

= σ ( )θ θ θ θH a H af4 4− = ( , ) ∆θ

0 2 5 5 0 7 5 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0 2 2 5 2 5 00

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

P

P flux de chaleur à dissiper - Watts

∆θ : élévation de température au dessus de la température ambiante avec une longueur d e 1 5 0 m m d e d i s s i p a t e u r

7 0

4 6

Figure XI-15


165

avec f fonction croissante de θH. On en déduit R

ft h S tt h S t H a

= =∆θ

Φ

1

( , )θ θ.

Si θΗ

augmente alors RthSt

diminue. Le dissipateur dissipe de mieux en mieux la chaleur par rayonnement au fur et à mesure que sa température augmente.

La résistance thermique globale RthH-A étant obtenue par mise en parallèle des deux résistances précédentes, l’évolution de RthH-A avec l’amplitude du flux thermique s’explique ainsi.

2>θJ – θ

a = R

thJ-A P soit θ

J = 2 088 °C !

3.1>On se limite à une température maximale de 125 °C au niveau de la jonction. Il vient alors la résistance maximale admissible pour une température ambiante donnée :

RP

R Rt h H AJ a

thJ C thC H− − −=−

− −m a x

m a xθ θ

.

Numériquement : 0 < RthH-A

< 0,31 °C/W. RthH-A

= 0 pour RthC-H

= 0,33 °C/W. Il faut donc absolument que R

thC-H soit inférieure à 0,33 °C/W.

3.2>On examine la Figure XI-15. Pour un flux de 150 W la température du dissipateur de longueur 150 mm est, à température ambiante de 40 °C, de 110 °C. On en déduit R

thH-A = 0,466 °C/W.

En convection naturelle, une longueur de 150 mm est donc insuffisante. L’examen de la Figure XI-16 montre une réduction maximale d’un facteur 0,8 obtenue pour une longueur de 350 mm. Dans ce cas R

thH-A = 0,37 °C/W ce qui

est supérieur à la valeur maximale 0,31. Avec 0,37 °C/W, on obtient une température de jonction θ

J de 134 °C ce qui envisageable.

3.3>En supposant une température de jonction de 125 °C la température du dissipateur pour un flux de 150 W s’obtient par :

θH = θ

J – (R

thC-H + R

thJ-C ) P.

Numériquement : θH = 86 °C d’où ∆θ = 46 °C.

Or, en convection forcée, on dispose d’une courbe relative à ∆θ = 75 °C (cf. énoncé de l’exercice). Il faut donc en élaborer une nouvelle pour ∆θ = 46 °C. En supposant que l’effet de la convection forcée est indépendant de la température du dissipateur, il suffit d’effectuer une translation de la courbe relative à ∆θ = 75 °C. Le coefficient de translation s’obtient par différence des résistances thermiques déterminées en convection naturelle à l’aide de la Figure XI-15.

0 0,2 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

v

v vitesse de l'air en m /s

t h H - A

à 46 °C au dessus de la température ambiante

à 75 °C au dessus de la température ambiante

R en °C/W pour un dissipateur de 150 m m d e l o n g u e u r a m b i a n t .

0 , 0 8

Figure XI-16


166

Pour ∆θ = 46 °C, RthH-A

= 0,53 °C/W alors que pour ∆θ = 75 °C on a trouvé 0,45 °C/W d’où une translation de 0,08 °C/W (cf. Figure XI-16). On obtient R

thH-A ≈ 0,31 °C/W pour v ≈ 1,7 m/s.

4>Pour un premier ordre, la durée pour atteindre le régime permanent (95 % de la valeur finale) en réponse à un échelon est de 3 τ, τ constante de temps du système. Lorsqu’on examine le système transistor, il apparaît une disparité importante entre les constantes de temps. Ainsi, dans notre cas, la durée de 20 ms pendant laquelle le transistor conduit est grande devant la constante de temps thermique de la jonction mais petite devant les autres. Aussi peut-on penser que la température du boîtier n’aura guère le temps de changer alors que celle de la jonction aura atteint une valeur constante, celle de régime permanent. Dans un premier temps, le transistor sera modélisé dans notre cas par un schéma thermqiue à un noeud (cf. Figure XI-17). Si ce régime impulsionnel dure longtemps par rapport à τ

boitier-dissipateur, par exemple quelques

secondes, alors la température du boîtier va augmenter. Une résolution numérique sera alors en général envisagée.

Corrigé 5 : étude thermique d’un plancher 1>Du fait de l'hypothèse de travail et de la géométrie de la source, la température ne peut varier que selon une direction, la verticale. En tenant compte de la loi de Fourier les lignes de champ du vecteur densité de courant thermique sont donc des droites parallèles aux murs isolants.

2.1>Rthc

= ec /(S λ

c) = 0,96 10–3 °C/W.

2.2>Rthc-a

= 1/ (hc-a

S) = 1,69 10–2 °C/W.

3.1>Rth1

: résistance thermique fluide-ciment ; Rth2

: résistance thermique ciment (3,5 cm) ; R

th3 : résistance thermique carrelage ; R

th4 : résistance thermique carrelage-

air. 3.2>φ

th = (1/(R

th1 + R

th2 + R

th3 + R

th4)) (T

f – T

i) = 714 W.

4.1>Voir Figure XI-18. Pour les résistances thermiques de 1 à 4 la signification reste la

θ

θ

a

P

J

R thJ-CCthC

Figure XI-17

φth

Rth1Rth1 Rth2 Rth3

Rth4

Rth2

Rth7

Rth6 Rth5

Te Ti

Figure XI-18

semail

Barrer

Chapitre XII, exercices d’électromagnétisme

177

Exercice 7 : étude d'un transformateur d'intensité (chapitres 7, 6 ,5) 1>Exprimer le théorème d’Ampère avec le contour proposé Figure XII-13 en utilisant l’analogie électrique-magnétique. En déduire une représentation graphique sous forme de schéma-bloc.

2>Représenter le schéma à constantes localisées du bobinage de sortie en tenant compte des données. Exprimer la loi des mailles pour le bobinage de sortie. Prendre la transformée de Laplace des membres de la relation temporelle obtenue. En déduire une représentation graphique sous forme de schéma-bloc.

3>Montrer que le système considéré est un système à « contre-réaction » avec is(p)

pour grandeur de sortie et ie(p) comme grandeur d'entrée.

4>Tracer le diagramme de Bode relatif à la fonction de transfert is(p)/i

e(p). Quelle est la fonction de

filtrage ainsi réalisée ?

5>Discuter de l'influence de la réluctance R.

6>On insère dans le circuit magnétique une sonde à effet Hall aux bornes de laquelle on obtient une tension VH = k φ (cf. Figure XII-14). Montrer que ce type de procédé permet de mesurer les courants comportant une composante continue.

contour

φie

Ne spires

Ns spires

isR

+

circuit (ferro)magnétique de perméabilité µ

e,re:inductance de

fuite et résistance du bobinage d'entrée.

s,rs:inductance de

fuite et résistance du bobinage de sortie.R:résistance de mesure.

: réluctance du

circuit magnétique

Figure XII-13

φie

isR

+

V H

s o n d e d e H a ll

Figure XII-14


178

Exercice 8 : chauffage à induction et effet de peau (chapitres 7, 8, 6, 5)

En progression constante depuis près de vingt ans ce mode de chauffage qui connaît aujourd’hui une application domestique dans les « plaques à induction » comporte des avantages inhérents au principe physique par rapport aux chauffages plus traditionnels à l’électricité (par conduction) et aux combustibles fossiles. La chaleur est par exemple créée directement au sein du système à chauffer ce qui est un gage de rapidité*. Soit le dispositif représenté Figure XII-15.

1>Tracer approximativement les lignes de champ des courants induits dans le cylindre ferromagnétique, pour des fréquences très basses puis très élevées. Il faut bien sûr réfléchir à la signification hautes fréquences dans le cas d’un système où intervient l’effet de peau.

2>On choisit une fréquence de travail telle que δ < D/2, δ épaisseur de peau. Dans le cadre d'une modélisation simple du phénomène physique, on considère que les courants sont uniquement induits dans un manchon d'épaisseur δ et que la densité de courant y est constante. 2.a>Calculer « la » résistance R

m correspondante du manchon. 2.b>On cherche à estimer l'inductance propre L

m du manchon. 2.b.i>Rappeler ou recalculer le champ H sur l'axe d'un solénoïde de diamètre D de longueur L > > D, de N spires parcourues par un courant I. 2.b.ii>Calculer l'inductance du solénoïde si l’on suppose le champ H uniforme à l'intérieur. 2.b.iii>Appliquer le résultat au manchon considéré, on exprimera L

m en fonction de la perméabilité,

D, δ, L. Note : dans la réalité, hormis dans une épaisseur de l’ordre de δ il n’y a pas de champ à l’intérieur du cylindre. La démarche précédente est donc un artifice (cas où il y aurait un courant

* Pour les diélectriques que sont les aliments, le chauffage par micro-ondes lui aussi crée la chaleur au sein de l’aliment, c’est le chauffage dit « diélectrique ».

Figure XII-15

Figure XII-16


179

dans le manchon mais non dans le conducteur), celui utilisé dans le théorème de superposition (cf. Chapitre VI). 2.c>Exprimer, avec les mêmes hypothèses qu'au 2.b>, l'inductance mutuelle M. 2.d>Le modèle adopté est représenté Figure XII-16. Exprimer l'impédance Z du système vu de la source.

Exercice 9 : calcul du couple d'une machine à réluctance variable élémentaire. Utilisation de la notion d'énergie (chapitres 7, 8, 6, 5, 1)

Soit la machine à réluctance variable élémentaire représentée Figure XII-17. Le bobinage est caractérisé par N son nombre de spires et r sa résistance, le circuit magnétique par sa réluctance R(θ). On négligera toute fuite magnétique.

1>Appliquer la loi d'Ohm-Kirchoff au circuit électrique (alimentation du système).

2>Effectuer un bilan de puissance pour ce moteur. Rappelons qu’un moteur est un convertisseur électromécanique qui transforme donc de l’énergie électrique en énergie mécanique. Une expression littérale est demandée.

3>Exprimer l'énergie magnétique stockée par le circuit.

4>Appliquer la loi d'Hopkinson, R(θ) étant la réluctance du circuit magnétique, P(θ) sa perméance.

5>Des questions 1>, 2> et 3> déduire l'expression suivante du couple électromagnétique :

( )θθ=

d)(d

2iNC

2

emP

.

6>Pour quelle valeur de θ, la perméance est-elle maximale ? Quelle est la périodicité de P(θ) ?

c o n t o u r

circuit (ferro)magnétique

φθ

+i

u

Figure XII-17

semail

Texte inséré

semail

Texte inséré

semail

Texte inséré

Chapitre XII, corrigés des exercices d’électromagnétisme

200

φ=− Rssee iNiN

avec φ le flux canalis é par le circuit magnétique. On traduit l’équation sous forme de schéma-bloc présenté Figure XII-41.

2>Un courant positif au secondaire rencontre le point du bobinage secondaire en sortant du bobinage. Il crée donc un flux φ négatif d’où la force électromotrice induite :

dtdN

dt

de s

capté φ=φ

−=

Le modèle qui nous est proposé pour le transformateur d’intensité prend en compte inductances de fuite et résistances (cf. Figure XII-42). Au secondaire, la loi des mailles s’exprime par :

0iRdtdNi

dtdi

ssss =+φ−+ ss rl .

La transformée de Laplace appliquée à chaque membre de l’équation donne (avec des conditions initiales nulles) :

0)p(iR)p(pN)p(i)p(ip ssss =+φ−+ ss rl

soit

)p(Rp

pN)p(i s

s φ=++ ss rl .

3>Le schéma-bloc résumant les équations précédentes est présenté Figure XII-43.

Ce système est donc naturellement à contre réaction : le courant d’entrée crée un flux qui, s’il y a variation temporelle (p est alors non nul), induit un courant is qui est à l’origine d’un flux qui vient s’opposer à celui initialement créé par le courant d’entrée.

Ns spiresNe spires Rie

is

bobines couplées par circuitmagnétique absorbant un courantmagnétisant

Figure XII-40

Ne

NN

ie

is

φ

s

e

Figure XII-41

R

is

dφcapté

dt R

is

dφcapté

dt

Figure XII-42


201

À flux donné, la relation Ne ie = Ns is sera d’autant mieux vérifiée que la réluctance est faible (bon conducteur magnétique, c’est-à-dire une perméabilité magnétique relative grande). On notera qu’à fréquence nulle (p = 0), il n’y a plus création de courant is.

4>La fonction de transfert entre courant de sortie et d’entrée s’exprime par :

c

2s

ss

e

e

s

pp

N1

1NN

)p(i)p(i

ω+

+

=l

R

avec ( )

s2s

sc

N

+R

lRR r

+=ω .

C’est celle d’un filtre passe-haut. Un transformateur d’intensité ne pourra permettre donc que la mesure de courants (périodiques) dont le fondamental est au delà de la fréquence de brisure du filtre. D’autre part aux fréquences élevées le modèle présenté (réluctance constante) n’est plus valable. Par conséquent, dans le cadre de la mesure de courant périodiques, il faudra que les harmoniques appartiennent à la bande de fréquence dans laquelle le modèle présenté ici reste valable.

5>Lorsqu’on examine la fréquence de brisure du filtre, il apparaît donc que la bande passante sera d’autant plus large que la réluctance du circuit, l’inductance de fuite, la résistance de charge et celle du secondaire sont faibles. Remarque : aux fréquences élevées modéliser le matériau par une réluctance réelle ne fournit plus des résultats qualitatifs corrects du fait des phénomènes de pertes.

6>La loi des mailles exprimée au secondaire donne :

0)p(k)p(iR)p(pN)p(i)p(ip ssss =φ−+φ−+ ss rl .

Il vient la fonction de transfert :

Ne

NN

ie

is

φ pNsR+ p

is

s

e

Figure XII-43

2 0 d b / d e c

M o d u l e d u g a i n

ωωc

G 0

Figure XII-44


202

c

s

2s

ss

e

e

s

pNk

p

N1

1NN

)p(i)p(i

ω+

+

+

=l

R

avec ( )

s2s

sc

N

kN+R

lRR sr

+

+=ω .

Pour la fréquence nulle (composante continue),

( )1

kN

+R1

NN

)0(i)0(i

s

s

e

e

s

+

=sR r .

Dans les dispositifs réels il est nécessaire d’amplifier le signal issu du capteur pour augmenter le gain k afin de pouvoir continuer d’utiliser la « formule linéaire »

i pi p

NN

s

e

e

s

( )( )

= .

Corrigé 8 : sur le chauffage à induction 1>Le courant alternatif qui circule dans le bobinage crée un champ magnétique variable, champ qui est à l’origine lui-même d’un champ électrique qui induit des courants au sein du cylindre (conducteur). Ces derniers tendent à s’opposer à la cause qui leur a donné naissance (loi de Lenz). Ils créent donc un champ magnétique variable qui s’oppose à celui dû au bobinage : les lignes de courant sont donc des cercles concentriques (cf. Figure XII-45). Ces courants se développent dans un matériau conducteur. Dans ce cas, il faut prendre en considération l’effet de peau : le champ magnétique dû au courant ie dans

fréquence "élevée" fréquence "faible"

pas de courant à l'intérieurlignes de courants induits

ie ie

Figure XII-45


203

le bobinage peut ne pas pénétrer tout le cylindre. Cela dépend de la fréquence de ie. Bien entendu si ce champ magnétique n’existe pas à l’intérieur du cylindre, il ne peut créer un champ électrique et donc de courant induit !

2.a>La notion d’épaisseur de peau permet de considérer que tout se passe comme s’il y avait un courant induit constant traversant une section de conducteur de surface L δ (hachurée sur Figure XII-46). Tout comme en magnétisme où l’on a défini une ligne de champ magnétique moyenne, on considérera ici une ligne de courant moyenne. Sa longueur sera :

2 π Rmoyen

avec

Rmoyen =+ −

=−

D DD2 2

2 2

δδ

.

Déduisons en la résistance :

( )R

DLm = =

−ρ ρ

π δδ

longueur de la ligne de courantsection du tube de courant

.

2.b.i>Le cylindre sera modélisé par un solénoïde de longueur infinie (on néglige les effets de bord). Par le théorème d’Ampère, on trouve donc le champ H au sein du solénoïde :

H = N I avec N nombre de spires par mètre. Ici N = 1/L.

2.b.ii>Par définition, LIm

capté=φ

,

avec φcapté flux capté lorsque seul un courant existe au sein du cylindre.

Or, φcapté = IL

SSB m

m µ=

d’oùL

SL m

m µ= .

Puisque le champ magnétique ne pénètre pas forcément complètement à l’intérieur du cylindre,

Sm = −−

= −π π δ

π δD D

d D2 2

42

4( )

( ) .

2.c>Pour chercher la mutuelle M, on suppose un courant I au sein du cylindre et on cherche le flux capté par le bobinage (inducteur).

φcapté = N µ µSL

I d'SL

m moù M = N

L

I

Rmoyen

δ

Figure XII-46


204

2.d>En tenant compte des conventions de signes (pour les courants et le flux), il vient :

V j L I j M IR I j M I j L I

m

m m m

= −= −

0

2

ω ωω ω

d’où,

( ) ( )( )

( )( )

U j L IM

R j LI et Z

R M

R Lj L

M L

R Lm m

m

m

= ++

=+

+ −+

0

2

2

22

22 2 0

2

22 2

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

La charge est caractérisée par Z R j L et qL

Rg gg

g= + =ω

ω.

On pourra s’intéresser à étudier la puissance active V2 /Re(Z) en fonction de la fréquence.

Corrigé 9 : sur le calcul du couple d'une machine à réluctance variable

1> u Ri Nddt

= +φ

avec φ le flux canalisé.

Remarque : ici, i et φ sont orientés en concordance, c’est-à-dire qu’un courant positif crée un flux positif. On néglige toute fuite magnétique.

2>La puissance électrique fournie par la source est égale à la somme de la puissance mécanique développée par le moteur, de la puissance magnétique (stockée) et de la puissance Joule. Ce bilan s’exprime par la relation suivante:

u i = R i 2 + +Γ( )tddt

dWdt

mθ

avec : • W

m l’énergie magnétique stockée par le circuit magnétique ;

• Γ le couple développé par le moteur et ddtθ

sa vitesse angulaire.

3>On peut exprimer l'énergie magnétique de différentes manières. Le choix s'opère selon les données du problème : • avec la notion d'inductance (propre et mutuelle) pour un circuit linéaire :

W L im =12

2 puisqu'il n'y a qu'un seul bobinage.

• de façon plus générale : W im =12

φ avec φ flux capté par le circuit

4> iN= )( φθR (la réluctance est calculée en prenant une ligne de champ

« moyenne ») : lC

Rrr

d.H= )( ∫φθ .


210

Figure XII-50

y

x

z

Figure XII-51

lignes de fuites

épanouissement (effets de bord bidimensionnel)

bobine

circuit magnétique

211

Annexe

Terminologie et outils

mathématiques

1. Produit vectoriel r r r r r rr r r r rC A B C A B

C A B A B

= ∧

=

avec orthogonal à et

avec angle de vers sin α α

2. Produit mixte Le produit mixte de trois vecteurs ( )r r r

A B C, , est un

nombre scalaire et se calcule par :

( ) ( )r r r r r rA B C A B C, , .= ∧ .

Il jouit de la propriété suivante : ( ) ( ) ( )r r r r r r r r rA B C B C A C A B, , , , , ,= = .

3. Ligne de champ Une ligne de champ est une courbe telle qu’en chacun de ses points le champ considéré y est tangent. Attention, le module du champ n’est pas en général constant le long de cette courbe.

4. Vecteur surface relatif à un contour orienté On associe à toute portion élémentaire de surface de valeur dS un vecteur surface noté d S

r perpendiculaire à la petite portion de surface

et de norme égale à dS. Pour trouver le sens du vecteur d S

r, on utilise la règle dite du « tire-

bouchon », en tournant selon l’orientation du contour (cf. Figure 3). On introduit souvent le vecteur unitaire

rn tel que

d S = d S nr r

.

αA

BC

Figure 1

E

E

E

E

Figure 2

dSlignes de champ

Figure 3

Annexe , Terminologie et outils mathématiques

212

5. Flux Considérons une surface S qui s’appuie sur un

contour C orienté. Le flux φ d’un vecteur rY à travers

S se définit par :

Sd.Yrr

∫∫=φS

.

Il peut donc être positif ou négatif. En général, dans la mesure du possible, le choix du sens positif pour le contour est opéré de façon à obtenir un flux lui aussi positif.

6. Tube de champ 6.1. Définition Soit une surface S délimitée par un contour C, un tube de champ est l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur le contour C. 6.2. Section d’un tube de champ Soit M un point d’intersection entre une ligne de champ et une surface S s’appuyant sur C. La section du tube de champ se définit par :

t.

Sd Srr

∫∫=S

avecrt vecteur unitaire tangent à la

ligne de champ en M. Évidemment, la surface sera choisie si possible pour que les vecteurs d S

r et r

t soient colinéaires. Pour un calcul simple de S, il est donc préférable que la surface S soit perpendiculaire en tout point à une ligne de champ.

Exemple : prenons un tube de champ qui soit un cylindre. La Figure 6 en fournit une coupe. Pour la surface S1 qui est un disque perpendiculaire à l’axe du cylindre ou pour la surface S2 qui est une calotte sphérique représentée Figure 6 on obtient la même valeur :

t.

Sd t.

Sd S21

rrrr∫∫∫∫ ==

SS.

Lignes de champ

C

S

Figure 4

t

dS

Lignes de champ

t

dSM

C

S

Figure 5

1 2

dSdS

t

tSS

Figure 6


213

7. Coordonnées cartésiennes - repère cartésien Il est possible de repérer un point quelconque M dans l’espace par ses coordonnées cartésiennes. On définit pour cela un repère dit cartésien (O , , , )

r r rx y z , avec ( , , )

r r rx y z formant un

trièdre de vecteurs orthogonaux entre eux, de norme unitaire et tels que

r r rx y = z∧ .

On a alors zyxrrr z +y + x =OM .

x, y, z sont les coordonnées cartésiennes de M.

8. Coordonnées cylindropolaires - repère cylindropolaire À partir du repère cartésien on en construit un autre

dit cylindropolaire ) O,( z ,j ,irrr

de la façon

suivante :

• les vecteurs jirr

et sont liés au point M.

Pour obtenir la direction de ri , il suffit de

projeter (cf. Figure 8) le point M dans le plan (xOy) ;

• le triplet )( z ,j ,irrr

forme un trièdre de

vecteurs orthogonaux entre eux, de norme

unitaire et tels que z=jirrr ∧ .

C'est l’angle )i ,xrr

(=θ qui permettra de repérer

) O,( z ,j ,irrr

par rapport à ) , , (O, zyxrrr

qui est fixe dans R.

Dans ) O,( z ,j ,irrr

, le point M est repéré par le « rayon » ρ et « l’altitude » z :

z + irr

z =OM ρ .

ρ, θ et z sont les coordonnées cylindropolaires de M.

9. Opérateurs différentiels Les opérateurs différentiels permettent de savoir comment évoluent les champs en donnant des indications sur leurs dérivées. Selon la géométrie du système étudié le choix du système de coordonnées dans lequel il est judicieux d’exprimer le champ n’est pas le même : coordonnées cartésiennes, cylindropolaires ou sphériques. Nous exprimerons les opérateurs uniquement dans les systèmes de coordonnées qui seront nécessaires dans l’ouvrage. 9.1. Gradient d'un scalaire

M

O

x

y

z

x

z

y

Figure 7

M

O

x

z y θ

θρ

z

i

j

ρ

Figure 8


214

Il s’exprime en coordonnées :

• cartésiennes par grad VVx

xVy

yVz

z→ = + +∂∂

∂∂

∂∂

r r r ;

• cylindropolaires par zzVjV

r1i

rVVgrad

r∂∂+

∂θ∂+

∂∂= .

Usage : un champ qui peut s’exprimer comme étant du type grad V→ jouit de

propriétés intéressantes qui permettent de définir la notion de potentiel V. C’est ainsi que l’on peut introduire les notions de potentiel électrique, magnétique et thermique. 9.2. Divergence d'un vecteur Il s’exprime en coordonnées :

• cartésiennes par div AA

x

A

y

A

zx y z

r= + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ;

• cylindropolaires par ( )

div Ar

r A

r r

A A

z

r zr

= + +1 1∂

∂

∂

∂θ

∂

∂θ

.

Usage : pour un champ α=AdivquetelArr

les lignes de champ ont tendance à

diverger à partir de la zone de l’espace où est localisée la source de champ, c’est-à-dire là où α n’est pas nul.

Propriété : à l’aide d’une formule dite d’Ostrogradsky on peut montrer qu’un champ de divergence nulle est à flux conservatif, c’est-à-dire que son flux à travers une surface fermée est nul.

Exploitons pratiquement cette propriété en considérant :

• un tube de champ ; • deux sections S1 et S2 obtenues par intersection du tube de champ avec deux plans ; • la surface S0 définie par l’enveloppe de la portion de tube de champ comprise entre les deux plans ; • la surface fermée S constituée de S0, S1 et S2. La nullité de la divergence du champ assure celle du flux à travers S.

La nullité de la divergence du champ assure celle du flux à travers S. Or le flux à travers S0 (enveloppe de la portion de tube de champ) est nul . Il vient alors:

φ1 = φ2 = φ avec,

φ φ11

22

= =∫∫ ∫∫r r r rA .d S A . d S

Se t

S.

α>0 α<0

lignes de champ

Figure 9


215

Par conséquent, il n’est pas nécessaire de préciser la section lors de l’évaluation du flux. Exemple d’application : un bon conducteur électrique peut être assimilé à un tube de champ du vecteur densité surfacique de courant. Le flux à travers une section quelconque du conducteur est l’intensité du courant I. 9.3. Rotationnel d'un vecteur Il s’exprime en coordonnées cartésiennes par :

zH

zyH

yxH

xHrot∂∂

∧+∂∂

∧+∂∂

∧=

rrrrrrr.

Usage : pour un champ YXrotque telXrrr

= les lignes de

champs ont tendance à entourer les zones de l’espace où sont localisées les sources de champ (cf. Figure 10), c’est-à-

dire là où Yr

est non nul. 9.4. Laplacien d’un scalaire Il s’exprime en coordonnées cartésiennes par :

∆VV

xV

yV

z= + +

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2 .

9.5. Laplacien d’un vecteur Il s’exprime en coordonnées cartésiennes par :

∆ ∆ ∆ ∆r r r rH H x H y H zx y z= + + .

Y

X

X

vue de dessus

lignes de champ

Figure 10

216

Bibliographie

[1] Brissonneau P (1997). Magnétisme et matériaux magnétiques. Hermes, Paris. [2] Bonal J (1997). Entraînements électriques à vitesse variable. Volume 1.

Technique et Documentation, Paris. [3] De Vriendt A (1984). La transmission de la chaleur. Volume 2 Introduction au

rayonnement thermique. Eska, Paris. [4] Feynman, Leighton, Sands (1979). Électromagnétisme 2. Interéditions, Paris. [5] Frûhling A (1966). Cours d’électricité. Dunod, Paris. [6] Fournet G (1976). Électromagnétisme . Masson, Paris. [7] Gardiol F (1996). Électromagnétisme. Presses polytechniques et universitaires

romandes, Lausanne. [8] Garing C (1995). Milieux Diélectriques. Marketing, Paris. [9] Garing C (1995). Milieux Magnétiques. Marketing, Paris. [10] Hulin M, Hulin N, Perrin D (1992). Equations de Maxwell, ondes

électromagnétiques. Dunod, Paris. [11] Lorrain P, Corson D (1979). Champs et ondes électromagnétiques. Collection U.

Armand Collin, Paris. [12] Perez JP (1995). Mécanique. Masson, Paris. [13] Perez JP, Carles R et Fleckinger R (1996). Électromagnétisme. Masson, Paris. [14] Purcell M (1973). Électricité et magnétisme . Collection Berkeley. Armand Collin,

Paris. [15] Robert P (1986). Matériaux de l’électrotechnique. Presses Polytechniques

Universitaires Romandes, Lausanne. [16] Roux P (1995). Mécanique des systèmes matériels solides et fluides. Markéting,

Paris. [17] Collection des Techniques de l’Ingénieur 249, rue de Crimé, Paris.

• tome B 1 I du Génie Énergétique ; • tomes D 1, D 2 I, D 2 III et D3 du Génie Électrique.

217

Index

A aimantation,88, 90 aimantation à saturation,94 amorphes,99 Ampère,29, 37 angle de pertes,76 Antiferromagnétisme,89 arc électrique,47

B Biot et Savart,50 Bloch,90

C capacité,42 Capacité thermique,31 cartésiennes,2 chaleur,30 chaleur massique,31 champ électrique,35 champ électromoteur,58 champ excitation électrique,35 champ magnétique,35 charge adaptée,113 chauffage diélectrique,77 cinématique,1 claquage,45 claquage diélectrique,47 coefficients de réflexion,114 condensateur,42 conductivité thermique,21, 23 connaissance,32 constantes localisées,107 constantes réparties,108 convection,24 convection forcée,24 convection naturelle,24 Conventions,64 Coordonnées cartésiennes,213 Coordonnées cylindropolaires,213

Copernic,5 couple équivalent ramené,12 couple inertiel,9 Courant électrique,29 courants de Foucault,94 couronne,47 cylindropolaires,3

D densité,69 densité surfacique de courant

volumique,30, 35 densité surfacique de flux thermique,22 densité volumique de charges,36 densité volumique d'énergie

électrostatique,44 déplacement,35 diamagnétique,89 disruptif,47 Divergence,214 domaines de Weiss,90 droite de recul,102

E effet,78 Effet,78 Energie cinétique,8, 10 énergie électrostatique,44 épaisseur de peau \.,78 Evershed,101 excitation électrique,35 excitation magnétique,35

F Faraday,36 Ferranti,113 Ferrimagnétisme,89 ferrites,99 Ferromagnétisme,89 Fer-Silicium,95 fil de Litz,79

218

fluide,9 Flux,212 flux capté,66 Force de Laplace,57 Force de Lorentz,56 force électromotrice « induite »,71 force électrostatique,44 force magnétomotrice,62 Foucault,6 frottements,8

G galiléen,5 Gauss,38 Générateur adapté,112 Gradient,213 grains orientés,93, 95

H Hall,56 Hopkinson,62 hystérésis,83, 91, 93

I impédance caractéristique,111 impédance thermique transitoire,33 inductance mutuelle,66 inductance propre,66 induction,35 interne,32 isolant,42

J joints de grains,90

K Kelvin,78

L Laplace,57 Laplacien,215 Lenz,71 Ligne de champ,211

loi de Newton,25 longueur d’onde,109 Lorentz,56

M masse inertielle,10 Matériaux magnétiques durs,99 micro-ondes,78 Moment d'inertie,6 moment d'inertie équivalent ramené,12 moment magnétique,58

O observation,32

P paramagnétique,89 perméabilité,36 perméabilité réversible,103 Perméance,62 permittivité,36 permittivité diélectrique complexe,76 Pertes fer,85 polarisation magnétique,88 potentiel magnétique,61 potentiel scalaire,41 première aimantation,83 Produit mixte,211 Produit vectoriel,211 puissance cinétique,10

Q qualité,86

R Rayon de giration,8 Relations de continuité,39 Réluctance,62 repère cartésien,213 repère cylindropolaire,213 représentation,32 résistance thermique transitoire,33 Richter,85 rigidité diélectrique,47

219

Rotationnel,215

S saturation,87 secs,9 Stéfan,28 Steinmetz,85 susceptibilité,46, 88

T télégraphistes,110 température de Curie,84 Temps de propagation,74 terrestre ,6 Théorème d 'Ampère,51

Théorème fondamental de la dynamique,9 Transmetteurs mécaniques,11 tube de champ,212

U uniformément accéléré ,5

V Vecteur surface,211 visqueux,9 vitesse,2

W Watt,30