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Journée « Hydraulique » du CFMS 23 janvier 2002PARIS

IDENTIFICATION DES PARAMÈTRES HYDRODYNAMIQUES DES SOLS NON SATURÉS :

méthodes "directe" et inverse

Adel ABDALLAHLAEGO – ENSG Nancy

01Plan de l’exposé

Introduction

Équations de l’écoulement non saturé

Détermination des propriétés hydrodynamiques

Synthèse & conclusion

02Applications de l’Hydrodynamique des sols non saturés

Géotechniqueet

Environnement

• Écoulements dans les digues/barrages et les talus• Stockage de déchets ménagers ou industriels• Transport des polluants

Alvéole de stockage de déchets ménagers en surface

Barrière argileuse

DéchetsCouche filtrante

Géomembrane

Gravier

Déchets

Sol de fondation

Tube perforé

Nappe phréatique

03Applications de l’Hydrodynamique des sols non saturés

Aménagement Urbain et Génie

Rural

• Infiltration des eaux pluviales (techniques alternatives)

• Gestion des ressources en eaux

enrobé drainant

structure réservoir

Eau stockée

Infiltration sous chaussée

Chaussée à structureréservoir

Tranchée d’infiltration

sol

infiltration

ruissellement

stockage canalisation

Fossé d’infiltration

Hydrogéologie • Écoulements vers et à partir des aquifères

Agronomie • Irrigation• Transport des fertilisants

04Équations de l’écoulement non saturé

( ) HHkq ∇=rr -

Loi de Darcy :

z - Ψ=Hq

t∇= -

∂∂θ

Loi de continuité :

Équation de l’écoulement non saturé :

( ) ( )( )zkt

−Ψ∇Ψ∇= ∂∂θRichards

1928 – 1931 :

Écoulement unidimensionnelde haut en bas ( )

−

∂

Ψ∂Ψ

∂

∂=

Ψ∂

Ψ∂= 1

zk

ztt ∂

∂θ

∂

∂θ

θ (Ψ) : Courbe de rétention de l’humidité

k (Ψ) : Courbe de conductivité hydraulique

05Résolution de l’équation de l’écoulement non saturé

1

2

3

n_maille-1

n_maille

n_maille+1

C.L supérieure

C.L inférieure

C.I.

Méthode des Différences Finies / Volumes Finis :

=

Ψ

ΨΨΨ

n

3

2

1

n

3

2

1

nn

333

222

11

y....

yyy

.

.

.

.

ba.

..

.cba

cbacb

Équation discrétisée + CL + CI

+ facilité de mise en œuvre+ rapidité des calculs

- géométrie simple

06Résolution de l’équation de l’écoulement non saturé

Méthode des Éléments Finis :

{ }HNh . ><=Fonctions d’interpolation aux nœuds :

Équation E.F. : [ ]{ } [ ]{ } { }QHMHK . . t, =+

+ flexibilité (géométrie)+ 2D – 3D

- calcul plus lourd

07Propriétés hydrodynamiques des sols non saturés

Caractérisation hydrodynamique des sols non saturés :

θ (Ψ) : courbe de rétention de l’humidité

k (Ψ) : courbe de conductivité hydraulique

In Situ

Laboratoire • effet d’échelle• remaniement du sol

• variabilité spatio-temporelle• coût

Modélisation• Améliorer l’interprétation des résultats • Réduire le nombre d’essais• Affiner la caractérisation du milieu

Expérimentation


Détermination de la courbe de rétention au laboratoire :

Mini tensiomètreMini tensiomètre

ÉchantillonÉchantillon

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 1 10 100 1000

Succion (kPa)

θ/θ s


Détermination expérimentale de k(Ψ):

Imposition dela succion

- sols grossiers à forte perméabilitéEn régime permanent

- couplage hydro-mécanique- mesures globales- échantillon de faible dimension

En régime transitoire

Moteur pas à pasVérin

Source de pression d'air

Contrôleur pression volume

Contrôleur pression volume

CP " = 0"

Pierre céramique

Filtre

Contrôle et commande par ordinateur

Sigma 3

Méthode à surpression d’air (Ed Diny 1993)

Tamis

Pompe

PEG 20000

Membranes

semi -perméables

Solution

Contrôle d'échange d'eau

échantillon

Méthode osmotique (Delage 1992)


Essai d’infiltration au laboratoire (Amraoui 1996)

-80

-60

-40

-20

0 0 50 100 150 200

Temps (h)

Succ

ion

(kPa

)

z = 3.4 cm

z = 7.4 cm

z = 11.2 cm

z = 15.1 cm

z = 19.2 cm

-80

-60

-40

-20

0 0 50 100 150 200

Temps (h)

Succ

ion

(kPa

)

z = 3.4 cmz = 3.4 cm

z = 7.4 cmz = 7.4 cm

z = 11.2 cmz = 11.2 cm

z = 15.1 cmz = 15.1 cm

z = 19.2 cmz = 19.2 cmz = 19.2 cmz = 19.2 cm

Alimentation en eau

Éprouvette

Mini-tensiomètre

Embase d’une Cellule triaxiale


θ w(c

m3 /c

m3 )

z = 9 cmz = 12 cm

z = 15 cmz = 18 cm

ρdini=1,44 g/cm3

Temps (h)0 10 20 30 40 50

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50

z = 6 cm

θ w(c

m3 /c

m3 )

z = 9 cmz = 12 cm

z = 15 cmz = 18 cm

ρdini=1,44 g/cm3

Temps (h)0 10 20 30 40 50

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50

z = 6 cmz = 9 cmz = 9 cmz = 12 cmz = 12 cm

z = 15 cmz = 15 cmz = 18 cmz = 18 cm

ρdini=1,44 g/cm3

Temps (h)0 10 20 30 40 50

Temps (h)0 10 20 30 40 50

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50

z = 6 cmz = 6 cm

Essai d’infiltration au laboratoire (Tabani 1999)

Systèmed ’acquisition

DétecteurSources

Colonnede sol

Systèmed ’acquisition

DétecteurSources

Colonnede sol


Détermination expérimentale de k(Ψ):

• infiltration ou drainage• mesures locales de succion/teneurs en eau• échantillon de plus grande dimension

Mesure dela succion

Méthode des profils instantanés

Régime transitoire

Profils de succion

Profils de teneuren eau

Gradient decharge

hydraulique

Débit Unitaire

q -k ( ) grad ( - z)w θ ψiz t, =q -k ( ) grad ( - z)w θ ψiz t, = -k ( ) grad ( - z)w θ ψiz t,iz iz t, t, =

Courbe derétention ?


Modèles théoriques :

empiriques : • relations mathématiques simples • origine purement expérimentale

macroscopiques : • sol considéré à l’échelle de Darcy• analogie entre les grandeurs définie à l’échelle despores et des grandeurs macroscopiques

• base semi-empirique• concernent surtout la conductivité hydraulique

statistiques : • calcul des flux à l’échelle des pores • distribution statistique des rayons des pores • généralisation par intégration à l’échelle macroscopique


Modèles empiriques

Auteur (Année) Equation Paramètres à déterminer

Richards (1931)

k = aΨ + b

a et b

Wind (1955)

k = a |Ψ-n

|

a et n

Gardner (1958)

kr = exp[αΨ]

k = a

+ b n

ψ

α, a, b et n

Brooks & Corey (1964)

k = ks pour Ψ ≤ Ψcr k= (Ψ/Ψcr)

-n pour Ψ ≥ Ψcr

ks ,n et Ψcr

Rijtema (1965)

k = ks pour Ψ ≤ Ψcr kr = exp[-α (Ψ-Ψcr)] pour Ψcr ≤ Ψ ≤ Ψr k = ks(Ψ/Ψr)-n pour Ψ > Ψr

α, n, Ψcr et Ψr


Modèles statistiques

Référence Equation Définitions

Burdine (1953)

( )

Ψθ

Ψθ

=θ ∫∫θ

θ

θ

θ

s

rr

22erddSk l

l , est un paramètre de connectivité des pores qui décrit la tortuosité des cheminsd’écoulement. Burdine proposune valeur de 2.

Mualem (1976)

( )2

er

s

rr

ddSk

Ψθ

Ψθ

=θ ∫∫θ

θ

θ

θ

l

l , est ici aussi, le paramètre deconnectivité des pores qui décrit la tortuosité. Mualem suggère qu’une valeur de 0,5 conviendrait pour la majorité des sols.

Fredlund et Xing (1994)

( )

( )

( )∫

∫

Ψ

Ψ

θθ−θ

θΨθ−θ

=Ψ b

)ln(

yy

sy

b

)ln(

yy

y

r

a

dy)e('e

e

dy)e('e)e(

k

b = ln(106) ; Ψa : succion au point d’entrée d’air ; y : variable d’intégration.


Modèle combiné de van Genuchten (1980) – Mualem (1976) :

( ) ( )( ) r

m

nrs θα

θθθ 1

1

+

Ψ+−=ΨCourbe de rétention de l’humidité

( ) ( ) ( )[ ]( )( )[ ]

Ψ+

Ψ+Ψ−=Ψ

−−

2/

2 1

1

1 1

mn

mnn

skkα

ααCourbe de conductivité hydraulique

θs, teneur en eau volumique saturée

θr, teneur en eau volumique résiduelle

ks, conductivité hydraulique saturée

α, inversement relié de la pression d’entrée d’air

m et n, paramètres liés à la distribution des rayons des pores

Restrictions usuelles :n

m 1 1 −=n

m 2 1 −= ∞→m


Démarche de la méthode inverse :

Problèmedirect

Problèmeinverse

Essais d’infiltration / drainage

Modèles

Expérience

Paramètres


Principe de l’inversion :

Problème direct [ ] [ ]( )PO Φ=

Variables observablesΨ(t) ; θ(t) ; I(t) ; etc.

Paramètres du modèleα ; m ; ks ; etc.

Problème inverse [ ] [ ]( )( )OP 1−ΦΓ=

Problème bien posé• identifiable• unique• stable

la solution est


Technique d’inversion :

Fonction objectif à minimiser ( )2N

1i

*ii

2 OO])P([ ∑=

−=χ

Algorithme de Levenberg-Marquardt

ii P

OG∂∂

=

ji

2

ij PPOH∂∂

∂=

[ ] GP.)D1.(H =∆λ+

])P([])PP([ 222 χ−∆+χ=χ∆

Fin

non

oui

Pi = Pi(0)

λ = 0,001

∆χ2 > 0

λ = λ/10

Pi = Pi +∆Pi

λ = 10.λ

convergenceoui

non


Faisabilité – validité de l’inversion :

Problème mal posé

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

m

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

ks

0

1

2

3

4

5

10

20

40

60

80

100

Problème bien posé

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

α

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

ks

0

1

2

3

4

5

10

15

20


-80

-60

-40

-20

00 50 100 150 200

Temps (heures)

Pres

sion

cap

illai

re (

kPa)

Expérience

Simulation (paramètres initiaux)

Simulation (paramètres finals)

Résultats de l’étude du problème inverse :

Courbe de rétention de l’humidité

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 10 100 1000 10000

Succion (kPa)

θ/θ s

Méthode inverse

Expérience

Courbe de conductivité hydraulique

1E-16

1E-14

1E-12

1E-10

1E-08

1E-060 1 10 100 1000 10000

Succion (kPa)

k (m

/s)

Méthode inverse

Expérience

22Synthèse & Conclusion

Caractérisation hydrodynamique des sols non saturés :

• essais lents, délicats et coûteux ;

• grand nombre d’essais sur site ;

• nécessité de déterminer θ(Ψ) séparément.

Apports de la méthode inverse :

• optimisation des essais nécessaires ;

• applicabilité aux milieux hétérogènes;

• détermination simultanée de θ(Ψ) et de k(Ψ);

• vérification de la pertinence du modèle théorique.

23Liens utiles

Logiciels – Écoulement non saturé :

Logiciels – Identification des paramètres des sols non saturés :

Sites web :

PEST Problème inverse http://www.ozemail.com.au/~wcomp/ UCODE Problème inverse http://www.mines.edu/igwmc/ RETC Ajustement modèle/données http://www.scisoftware.com/ SoilVision Base de données http://www.scisoftware.com/ UNSODA Base de données http://www.epa.gov/ada/

GMS Éléments Finis 2D/3D http://www.bossintl.com/ FEFLOW Éléments Finis 2D/3D http://www.wasy.de/ FEMWATER Éléments Finis 1D/2D/3D http://www.nea.fr/html/dbprog/ SEEP /W Éléments Finis 2D http://www.geo-slope.com/ SVFlux 2D Éléments Finis 2D/3D http://www.scisoftware.com/

ASCE Geo-institute http://emrl.byu.edu/gicac/ Geotechnical & GeoEnvironmental Software Directory

http://www.ggsd.com/

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