Symboles, notations et conventions MA 101 5 août 2014

NB : cette Ąche liste la plupart des symboles et des conventions de notations fréquemment utilisées. SŠil en manque,nŠhésitez pas à le signaler.

Abréviations

i.e. : id est 1, qui signiĄe ŞcŠest-à-direŤ,

e.g. : exempli gratia1, qui signiĄe Şpar exempleŤ (ne vient pas de Şexample givenŤ !).

Notations de base pour les fonctions

�p�q : la valeur de la fonction � en �,

�p�q : lŠensemble image de � par � , i.e. t�p�q : � P �u,�p�q : lŠensemble pré-image de � par � , i.e. t� P � : D� P �{�p�q “ �u,Ñ : pour donner le domaine et lŠensemble de valeurs dŠune fonction, e.g. sin : RÑ R,

�|� : la restriction de la fonction � : � Ñ � à la sous-partie � Ă �.

Notations condensées pour les sommes et produits

�ÿ

�“1

�p�q : somme �p1q ` �p2q ` ¨ ¨ ¨ ` �p�´ 1q ` �p�q pour � ě 1,

�ź

�“1

�p�q : produit �p1q ˆ �p2q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ �p�´ 1q ˆ �p�q pour � ě 1,

�ą

�“1

�� : produit cartésien dŠespaces : �1 ˆ �2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ��´1 ˆ �� pour � ě 1,

�à

�“1

�� : somme directe dŠespaces : �1 ‘ �2 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ ��´1 ‘ �� pour � ě 1.

Prédicats binaires logiques

ñ : implique, e.g. p� ą 0q ñ p� ě 0q,ô : est équivalent à, i.e. implique et est impliqué par,

: négation logique, e.g. pæ ą 0q ” æ ď 0.

Prédicats binaires ensembliste

P : appartient à, e.g. � P N,

R : nŠappartient pas à, e.g. ´1 R R`,

Ă : inclusion ensembliste, e.g. N Ă R,

Ą : contenance ensembliste, e.g. Z Ą t´1, 0, 1u,

Ď : pour préciser que lŠinclusion peut être large, au contraire de Ĺ qui exclu lŠégalité,

z : diférence ensembliste, e.g. RzR´ “ R˚`,

X : intersection ensembliste (aussič

), e.g. CX Z “ Z,

Y : union ensembliste (aussiď

), e.g. t0u Y N˚ “ N,

Z : union ensembliste disjointe (aussiě

), e.g. R˚´ Z R˚

` (aussi noté \ ouğ

),

�1 ˆ �2 : produit cartésien des ensembles �1 et �2, i.e. tp�, �q : � P �1, � P �2u,�1 ‘ �� : somme directe des espaces �1, �2 Ă �, i.e. t�` � : � P �1, � P �2u, quand �1 X �2 “ t0�u.

1. Vient du latin.

Un problème ? Signalez-le à Lilian Besson 1 Mahindra Ecole Centrale, 2014

Symboles, notations et conventions MA 101 5 août 2014

Valeurs ou fonctions particulières

Þ : (pi), quotient du périmètre dŠun cercle par son diamètre,

e : base de lŠexponentielle, i.e. edef“ e1 “ expp1q,

`8 : inĄni positif, ´8 inĄni négatif, 8 inĄni,

sign : fonction signe, i.e. sign : RÑ R, 0 ÞÑ 0, � ÞÑ 1 si � ą 0,´1 si � ă 0,

exp : fonction exponentielle, i.e. exp : RÑ R, � ÞÑ expp�q “ e�,

ln : fonction logarithme népérien, i.e. ln : R˚` Ñ R, � ÞÑ lnp�q,

cos : cosinus, sin : sinus, tan : tangente (RÑ R),

arccos : arc cosinus, arcsin : arc sinus, arctan : arc tangente (réciproques),

cosh : cosinus hyperbolique, sinh : sinus hyperbolique, tanh : tangente hyperbolique (RÑ R),

arccosh : arc cosinus hyperbolique, arcsinh : arc sinus hyperbolique, arctanh : arc tangente hyperbolique (réciproques),

det : déterminant, com : comatrice,

E : partie entière (inférieure), i.e. Ep�q def“ max t� P Z, � ď �u,ceil : arrondi entier inférieur, i.e. ceilp�q def“ r�s “ Ep�q,loor : arrondi entier supérieur, i.e. loorp�q def“ t�u “ Ep�q ` 1,

Ó�,� : symbole de Kronecker, Ó�,� : p�, �q ÞÑ 1 si � “ � et� “ �, ÞÑ 0 sinon,

Ò : souvent, la constante dŠEuler,

Γp�q : souvent, la fonction Gamma dŠEuler,

�� : matrice identité de taille � ě 0.

Ensembles particuliers

H : lŠensemble vide (il est unique),

t� : � p�qu : ensemble des éléments � vériĄant la propriété 2 � p�q, e.g. t� P R : � ě 0u “ R`,

N : nombres naturels, N “ t0, 1, . . . , �´ 1, �, �` 1, . . .u,Z : anneau des nombres relatifs, Z “ t. . . ,´�´ 1,´�,´�` 1, . . . ,´1, 0, 1, . . . , �´ 1, �, �` 1, . . .u,

Q : corps des nombres rationnels, Qdef“

"

�

�, p�, �q P Zˆ N˚

*

,

R : corps des nombres réels, Rdef“

!

lim�Ñ8

��, p��q�PN P QN convergente)

,

- r�, �s : segment (intervalle fermé), i.e. r�, �s def“ t� P R, � ď � ď �u,- p�, �q : intervalle ouvert, i.e. p�, �q def“ t� P R, � ă � ă �u,- r�, �q : intervalle semi-ouvert à droite, i.e. r�, �q def“ t� P R, � ď � ă �u,- p�, �s : intervalle semi-ouvert à gauche, i.e. p�, �s def“ t� P R, � ă � ď �u,C : corps des nombres complexes, C

def“ t�` ��, p�, �q P R2u,K : corps (commutatif) quelconque, généralement signiĄant ŞR ou CŤ,

�� : ensemble des �-uplets de �, i.e. tp�1, . . . , ��q : @1 ď � ď �, �� P �u, e.g. R2 » C,

M�,�p�q : ensemble des matrices de tailles �ˆ� (p�, �q P N2), aussi noté ��,�p�q,� sup

�,�p�q : ensemble des matrices triangulaires supérieures, de tailles �ˆ� (p�, �q P N2),

� inf�,�p�q : ensemble des matrices triangulaires inférieures, de tailles �ˆ� (p�, �q P N2).

Opérateurs pour les ensembles

Card : cardinal dŠun ensemble, aussi noté Cardp�q def“ |�| def“ #�,

�p�q : ensemble des parties de lŠensemble � (aussi noté 2�),

�˚ : lŠensemble � privé de son 3 0, i.e. �˚ def“ �zt0�u,�` : les éléments positifs3 de �, i.e. �`

def“ � X r0,`8q,2. Le lecteur curieux pourra se référer à cet article Wikipédia pour savoir quelles limitations donner à cette construction.

3. Lorsque cela a un sens.

Un problème ? Signalez-le à Lilian Besson 2 Mahindra Ecole Centrale, 2014

Symboles, notations et conventions MA 101 5 août 2014

�´ : les éléments négatifs3 de �, i.e. �´def“ � X p´8, 0s,

�� : complémentaire de lŠensemble � (lorsque ce n’est pas ambigu),

Ó� : frontière de lŠensemble �, e.g. Óℬ2p0, 1q “ �2p0, 1q (boule et sphère de centre 0 et rayon 1 en dimension 2),

�˝ : intérieur de lŠensemble �, i.e. �˝ def“ �zÓ� (aussi noté intp�q),

� : clôture de �, i.e. �def“

"

lim�Ñ`8

��, p��q�PN P �N convergente

*

,

�p�, �q : distance entre les éléments � et �, généralement �p�, �q “ |�´ �|,�p�, �q : distance de lŠélément � à la partie � (“ inf

�P�|�´ �|),

�p�, �q : distance entre deux parties � et � (“ infp�,�qP�ˆ�

|�´ �|),

�`� : somme de deux parties � et � (“ t�` � : p�, �q P �ˆ�u),�´� : diférence (arithmétique) de deux parties � et � (“ t�´ � : p�, �q P �ˆ�u),diamp�q : diamètre dŠune partie �, i.e. diamp�q def“ sup

|�´ �|, p�, �q P �2(

,

ä� : fonction caractéristique de � Ă �, i.e. � Ñ t0, 1u, � ÞÑ 1 si � P �, � ÞÑ 0 sinon,

dimp�q : dimension dŠun espace �, dimKp�q] : dimension dŠune partie � Ă � en tant que K-espace vectoriel.

Relations d’ordres

ă : inférieur strict, e.g. 1 ă?

2,

ď : inférieur large, e.g. 1 ď 1,

ą : supérieur strict, e.g. 1 ą e´1,

ě : supérieur large, e.g. 2 ě 2.

” : Şmême signiĄcationŤ, ou égalité sémantique pour les formules : � ” � ,

» : similaire, e.g. pour les approximations numériques : Þ » 3.14,

„ : équivalent (numérique), pour une limite, e.g.sinp7�q

�„

�Ñ07.

Autres opérateurs binaires

˝ : composition de fonctions, � ˝ � : � ÞÑ �p�p�qq,x.y : produit scalaire, aussi noté xx, yy, e.g. r1; 2; 3s.r4; 5; 6s “ 1 ˚ 4` 2 ˚ 5` 3 ˚ 6 “ 32,

xˆ y : produit vectoriel, e.g. r1; 2; 3s ˆ r4; 5; 6s “ r´3; 6;´6s,� : divisibilité (entière ou autre), e.g. 1007 � 2014,

ffl : non divisibilité (entière ou autre), e.g. 2013 ffl 2014,

. mod . : utilisé pour écrire lŠégalité modulo un nombre, e.g. 17 “ 2 mod 5.

Opérateurs (unaires) usuels

ℛ� : partie réelle dŠun complexe, i.e. ℛ�p�` ��q “ �,

ℐ� : partie imaginaire dŠun complexe, i.e. ℐ�p�` ��q “ �,

sup : partie supérieure dŠun ensemble (plus petit majorant),

inf : partie inférieure dŠun ensemble (plus grand minorant),

lim : limite, en précisant souvent lim�Ñ0

pour dire Şquand � tend vers 0Ť,

lim sup : limite supérieure (aussi noté lim, ou parfois lim Ò),lim inf : limite inférieure (aussi noté lim, ou parfois lim Ó),arg : un argument (dŠun complexe), e.g. argpe�Þ{4q “ Þ{4 mais Þ{4` 2Þ convient aussi.

Un problème ? Signalez-le à Lilian Besson 3 Mahindra Ecole Centrale, 2014

Symboles, notations et conventions MA 101 5 août 2014

Notations pour les limites

Ñ : pour une limite : � Ñ `8 signiĄe que Ş� tend vers `8Ť,

� Ñ �` : signiĄe que � tend vers � par valeurs supérieures (i.e. � Ñ�ą�

�),

� Ñ �´ : signiĄe que � tend vers � par valeurs inférieures (i.e. � Ñ�ă�

�),

�p�`q : limite de � en � par valeurs supérieures, i.e. �p�`q def“ lim�Ñ�`

�p�q,

�p�´q : limite de � en � par valeurs inférieures, i.e. �p�´q def“ lim�Ñ�´

�p�q.

Autres notations

�` : partie positive de �, i.e. �` def“ maxt�p�q, 0u,�´ : partie négative de �, i.e. �´ def“ mint�p�q, 0u,� : conjugué dŠun complexe, i.e. �` ��

def“ �´ ��,

|�| : valeur absolue dŠun nombre, e.g. |�` ��| def“a

�2 ` �2 ou | ´ 2.73| “ 2.73,

x, y : vecteurs �, �. Parfois aussi noté ÝÑ� ,ÝÑ� etc,

|x| : norme du vecteur x, e.g. |r1; 2; 3s| “a

12 ` 22 ` 32 » 3.741,

‖.‖ : norme générale, ‖.‖� : norme �, ‖.‖`8] : norme inĄnie,

p��q�PN : la suite de terme général �� P �, i.e. la fonction � : NÑ �, � ÞÑ ��.

Dérivées et calcul différentiel

� 1 : dérivée 4 de � , e.g. ln1p�q “ 1

�,@� ą 0. Aussi noté

.

� (en physique),

�2 : dérivée seconde de � (ou..� en physique)), �3 dérivée tierce, . . . , � p�q dérivée �ième pour � ě 0,

�� : puissance �ième de � pour � ě 0 (à ne pas confondre avec les dérivées � p�q !),

��� : dérivée partielle de � selon la �ième coordonnée,

∇� : gradient de � (aussi noté Grad�),

Div� : divergence de � .

Intégrales

ż �

�

�p�qd� : intégrale de la fonction � : � ÞÑ �p�q sur p�, �q,ż

� : intégrale de la fonction � sur son ensemble de déĄnition (lorsque ce n’est pas ambigu),

¿

�p�qd� : intégrale curviligne de � ,

ij

p�,�qˆp�,�q

�p�, �qd�d� : intégrale double de la fonction � : p�, �q ˆ p�, �q, p�, �q ÞÑ �p�, �q.

Ensembles de fonctions

ℱp�, � q : fonctions de � dans � , i.e. � � ,

�p�, � q : fonctions continues de � dans � ,

�p�q : fonctions continues de � dans �,

��p�, � q : fonctions continues et bornées de � dans � ,

��p�, � q : fonctions � fois dérivables, de dérivées �ième continues, de � dans � (� P N),

�8p�, � q : fonctions inĄniment dérivables, de � dans � ,

4. Si elle existe !

Un problème ? Signalez-le à Lilian Besson 4 Mahindra Ecole Centrale, 2014

Symboles, notations et conventions MA 101 5 août 2014

ℒp�, � q : applications linéaires de � dans � ,

ℒp�q : applications linéaires de � dans �.

ℒ�p�, � q : applications linéaires continues de � dans � ,

Want more ? A list of mathematical symbols, on Wikipédia : en.wikipedia.org/wiki/Table_of_mathematical_symbols,and more lists on mathematical notation, on Wikipédia.

Un problème ? Signalez-le à Lilian Besson 5 Mahindra Ecole Centrale, 2014