SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 1 Analyse temps-fréquence Spectrogramme...

SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

1

Analyse temps-fréquence

Spectrogramme

Distribution de Wigner Ville


2

Les signaux non stationnaires

• Un signal dont la ‘ structure ’ change au cours du temps– parole, musique, impacts, ‘ chirp ’, machines tournantes lors

d ’accélération ou décélération,

– on souhaite faire l ’analyse en fréquence de régions locales du signal .i.e. localisée temporellement.

ANALYSE TEMPS FREQUENCE

• Une limite « le principe d’incertitude »– B largeur de bande fréquentiel d ’un signal,

– T durée du signal

• alors : BT 1/2– plus on veut se localiser sur une portion d ’un signal

– moins on peut spécifier les fréquences précisément


3

Le spectrogramme formulation

• DSP x(t) signal stationnaire x(t)

x (f) = x(t).e-2jft 2 est indépendant du temps

• Spectrogramme : non stationnaire = suite de non stationnarités

– Sx (t,f) = x(u).h(u-t).e-2jft 2 est fonction du temps et de la fréquence

– h(t) est une fenêtre glissante

• bonne résolution temporelle si h(t) courte

• bonne résolution fréquentielle si h(t) longue


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Représentation ‘ Waterfall ’(ou cascade)


5

Le spectrogramme Représentation plan


6

Le spectrogramme quelques propriétés

• Les plus:– positif,

– extension directe de Fourier, interprétation identique en fréquences

– pas de termes d ’interférences

• Les moins:– principe d ’incertitude BT 1/2,

• compromis entre résolutions en fréquence et en temps

– la résolution et les lois en fréquence sont fonction de la fenêtre

– l ’optimisation des fenêtres nécessite des informations a priori sur le signal


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Spectrogramme: chirpnfft=64


8

Spectrogramme: chirpnfft=128


9

Spectrogramme chirpnfft=256


10

Spectrogramme chirpnfft=512


11

Spectrogramme: double chirp (nfft=128)


12



13



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Spectrogramme: signal d ’engrenage (nfft=256)


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Spectrogramme: signal d ’engrenage (nfft=1024)


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Comment définir une fréquence ?

• Dans le cas stationnaire– Fourier

– « Sinusoïde de durée infinie »

• Dans le cas non stationnaire– même définition que le cas stationnaire mais QUI VARIE DANS LE

TEMPS??

• Impossible à cause du principe d’incertitude

– On définit alors la FREQUENCE INSTANTANEE

• signal analytique,

– cette quantité est fonction du temps, elle correspond à la sinusoïde qui suit au mieux le signal

– cependant elle est adaptée à un signal à bande étroite (.i.e. une composante)

)(ˆ.)()( txjtxtxa

))((.2

1)( txArg

dt

dtf ai


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Fréquence instantanée et retard de groupe pour un signal monochromatique

• Fréquence instantanée• x(t) = cos (2. .f0.t)

• xa(t) = cos (2. .f0.t) + j. sin (2. .f0.t) = e 2.j. .f0

.t

• fi (t) = 1/2. d/dt { arg (xa(t) } = f0

– localisation en fréquence d ’une composante temporelle

• Retard de groupe• Xa(f) = TF { xa(t) }

• tg = 1/2. d/df { Arg Xa(f) } retard de groupe

• x(t) = cos (2. .f0.t), xa(t) = e 2. .f0

.t

– Xa(f) = (f-f0) tg=0

• x(t) = cos (2. .f0.(t-t0)), xa(t) = e 2. .f0

.(t-t0

)

– Xa(f)= (f-f0).e-2 .j f0t0 tg=t0

– localisation en temps d ’une composante fréquentielle


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Distributions temps fréquence

• Objectifs: – Améliorer la résolution en temps et en fréquence de l ’analyse d ’un

signal non stationnaire

• Des représentations temps- fréquence ont été développées pour avoir la meilleure répartition de l ’énergie dans ce plan.

• Ces représentations sont dites représentations quadratiques

– Distribution de Wigner,

– Classe générale de Cohen

– d ’autres représentations existent (Choï Williams, ..)


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Quelles sont les propriétés souhaitées pour une représentation T-F ??

)(),(

restationnai processusun pour

enfin

F-T domaine le dans énergiel' deon Distributi 2et 1

DSP )(),(2

einstantané puissance )(),(1

marginales propriétés lessatisfait ),(

f)(t,pout tout 0 réelleest ),(

2

fSftS

fSdtftS

txdfftS

ftS

ftS

xx

xx

x

x

x


20

Fréquence instantanée et retard de groupe pour un chirp

• Chirp (sinus à balayage linéaire d ’amplitude constante (durée infinie)

– x(t) = a. cos ( 2(t)) = a. cos(2(f0t + b/2.t2))

– xa(t) = a. e 2j(f0

t + b/2.t^2), Xa(t) = A(f) e j (t)

• fréquence instantanée f(t) = (1/2).d(t)/dt = f0+b/2.t

• retard de groupe tg(f)= (1/2).d(t)/df = -2/b.(f-f0)

– réciprocité entre la fréquence instantanée et le retard de groupe

• Ces notions sont importantes – pour les signaux mono composantes

– pour les signaux dont l ’amplitude varie lentement vis-à-vis de la fréquence la plus basse

• Dans les autres cas, la fréquence instantanée sera une valeur moyenne


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La fonction d’autocorrélation et DSP

deRfS

dttxtxT

txtxER

fjxx

T

Txx

..2).()(

)().(.2

2))().(()(

• Aléatoire stationnaire

• Aléatoire , non stationnaire

detRftS

txtxEtR

fjxx

xx

..2).,(),(

))().((),(


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La fonction d’autocorrélation signal déterministe

• Ecriture de la fonction d ’autocorrélation

• Déterministe

)2

(.)2

(

)2

().2

(),(),(

21

21

ttetttavec

txtxEttRtR

duuxuxttugtR

dttxtxR

)2

().2

().,;(),(

temps'le dans variable' cas lepour et

)().()(


23

Spectre de Wigner Ville : définition

• Pour un signal déterministe

• Cas particulier :

• On obtient la transformation de Wigner Ville

duuxuxttugtR

)

2().

2().,;(),(

detRftS fjxx

..2).,(),(

)2

().2

(),()(),;( txtxtRtuttug

defXfXftS

detxtxftS

tjWV

fjWV

...2*

...2

).2

().2

(),(

).2

().2

(),(


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Distribution de Wigner Ville

• Signaux déterministes Signaux aléatoires

• Rem: la représentation de Wigner Ville prend en compte TOUT le signal.

• Pour les signaux déterministes => Représentation de WV

• Pour les signaux aléatoires => Spectre de WV

detxtxftW fjWV

...2).2

().2

(),(

dettRftW fj

xxWV...2).

2,.

2(),(


25

Propriétés de la TF de Wigner Ville(1)

groupe de retard ,

).,(

).,(.

))((2

13

fen modulé signalun d' einstantané fréquence ,

).,(

).,(.

))((2

13

DSP )(),(2

einstantané puissance )(),(1

_

_

2

dtftW

dtftWt

fXArgdf

d

dfftW

dfftWf

txArgdt

d

fSdtftW

txdfftW

WV

WV

WV

WV

xWV

WV


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Propriétés de la TF de Wigner Ville(2)

• Inconvénients– Valeurs négatives locales !!!

– Interférences entre les composantes des signaux

• ceci est du au produit x(t-T/2) x(t+T/2)

• Avantages– meilleure résolution en temps et fréquence puisque on utilise tout le signal

– propriétés marginales

– estimation des modulations de fréquences

– du retard de groupe


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Wigner Villecas discret

– l ’indice l, dans la TFWV directe correspond à l.t/2

– l ’indice k, dans la TFWV inverse correspond à k/2.M.t

• D ’où un échantillonnage 2 fois plus fin!

• Autre interprétation:• le produit des 2 signaux x(t), x(t+T/2) donne dans le domaine

fréquentiel une convolution avec un spectre de largeur double! D ’où la nécessité d ’échantillonner à une fréquence double de celle de Nyquist!

1,0),().()(2

1),(

1

0

2

)2(..2*

MnnxenlxnxM

klWM

n

M

lnkJ

WV

1,0),().()(2

1),(

1

0

2

)2(..2*

MkkXenlXnXM

klWM

n

M

knlJ

WV


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Transformée de Wigner VilleUtilisation du signal analytique

• Au lieu d ’utiliser x(t), on utilise souvent le signal analytique de x(t)

• Ce signal a un spectre défini uniquement pour les fréquences positives.

• Ce permet:– d ’éviter d ’échantillonner à la fréquence double!

– d ’éviter les interactions entre les fréquences positives et négatives du spectres.

• Formulation basée sur la TF des signaux

• remarque:– il n ’y a pas de pertes d ’informations

– WV est défini pour les fréquences positives, sans pertes d ’informations

)(ˆ.)()( txjtxtxa


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Pseudo Wigner-Villeet Pseudo Wigner-Ville Lissé

• Pseudo Wigner Ville : lissage en fréquence

– version lissée en fréquence

– on utilise une portion du signal

– moins bonne résolution en fréquence

• Pseudo Wigner Ville Lissé : lissage en temps et fréquence

– convolution bi-dimensionnelle

– réduction des interférences

– positivité

– perte de résolution T-F

detxtxwwftW fjPWV

...2* ).2

().2

()2

().2

(),(

dvdufvtuvuWftW PWVPWVL .).,().,(),(

)().(),( fvhtuwfvtu


30

Pseudo WV chirp nfft=64


31



32



33

Pseudo WV chirp2 nfft=64


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Pseudo WV signaux d ’engrenage nfft=256


37

Pseudo Xigner Ville Lissé etSpectrogramme

• Spectrogramme

• Interprétation:– le spectrogramme correspond à une version lissée du spectrogramme

dvduvtutWvuWftS

duetuhuxduetuhuxftS

duetuhuxftS

hWVxWV

ufjufjx

ufjx

.).,().,(),(

)).().().().().((),(

).().(),(

)()(

*..2*..2*

2..2*

WV de la fenêtreWV du signal


38

Annexe : représentation générale des représentations quadratiques

La classe de Cohen

• duuxuxttugtR

)

2().

2().,;(),(

Cohen de classe la denoyau leest

)2

()2

()).,,;(),,(

)2

()2

()).,;(),(

)2

()2

(.).,;(),(

.).,;(),;(

*2(

2

)(

ddudtxtxeftftC

ddudtxtxetGftS

dudtxtxetGtR

detGtug

tfujc

tfujc

utuj

uj


39

Cas particuliers de la classe de Cohen

• Forme générale

ddudtxtxeftftC tfujc )

2()

2()).,,;(),,( *2(

ces.interféren lescontrôler de

permet quion distributi la denoyau leest (.)

WilliamsChoï )/4

)(exp(

/4

1(.)

Ville Wigner Pseudo )2

().2

((.)

VilleWigner 1(.)

2

2

2

tu

ww

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