Συστματα στο χρο του Laplace
Ο μετασχ. Laplace εναι να πολτιμο εργαλεο για την ανλυση συστημτων. Η ικαντητ του να ερμηνεει
συχνοτικ πλθος σημτων, σημαντικ περισστερων απ το μετασχ. Fourier, τον κνει ιδανικ για τη μελτη
συστημτων.
Εχουμε δει αρκετ πργματα για τα συστματα σε προηγομενο κεφλαιο, καθς και σχετικ με την αιτια-
ττητα και την ευστθεια ενς συστματος. Υπρχουν δεξιπλευρα, αριστερπλευρα, αμφπλευρα, αιτιατ και
μη συστματα που ορζονται ακριβς με τον διο τρπο που περιγρφηκε στην Παργραφο 9.2.4. Μλιστα, την
αιτιαττητα και την ευστθεια την εχαμε ορσει και στις πρτες μας συζητσεις για συστματα, ως την ικαντητα
του συστματος να εξαρτ την ξοδ του μνο απ τωρινς παρελθοντικς τιμς της εισδου (αιτιαττητα) και
την ιδιτητα του συστματος να παργει φραγμνες εξδους για φραγμνες εισδους (ευστθεια).
Ας δομε σε αυτ το κεφλαιο πως λα αυτ εκφρζονται στον χρο του μετασχ. Laplace, πσο απλοποιονται,
και πως μας βοηθ ο μετασχ. Laplace να λνουμε πρακτικ προβλματα.
10.1 Μια μικρ εφαρμογ-κνητρο
Ας υποθσουμε τι επικοινωνετε με να φλο σας τηλεφωνικ μσω ενς smartphone. Το σμα φωνς σας κω-
δικοποιεται ψηφιακ και αποστλλεται μσω του τηλεπικοινωνιακο καναλιο - που στο παρδειγμα αυτ πρκειται
για τον ελεθρο χρο (αρα) - στο σταθμ βσης της υπηρεσας κινητς τηλεφωνας σας. Προτο παραδωθε στο
smartphone του συνομιλητ σας, πρπει να ‘‘καθαριστε’’ απ τις παρεμβολς του τηλεπικοινωνιακο καναλιο.
Ας θεωρσουμε το τηλεπικοινωνιακ κανλι ως ΓΧΑ σστημα, με εσοδο το ψηφιοποιημνο σμα φωνς σας και
ξοδο μια τροποποιημνη κδοσ του λγω των παρεμβολν που εισχθησαν απ το κανλι, πως στο Σχμα 10.1.
Ο σταθμς βσης αναλαμβνει περιοδικ να εκτιμ το κανλι στο χρο που βρσκεστε, δηλ. να υπολογζει την
ΓΧΑ σστημα h(t) , H(s)
Σχμα 10.1: Ασρματο τηλεπικοινωνιακ κανλι.
κρουστικ απκριση h[n] του καναλιο. Σκοπς του σταθμο βσης εναι να προσπαθσει να ακυρσει την επ-
δραση του καναλιο στο σμα εισδου, στε να παραδσει στο φλο σας να σο το δυνατν πισττερο αντγραφο
του σματος φωνς που εστλη απ το τηλφων σας.
Αν υποθσετε τι το κανλι με ευσταθ και αιτιατ κρουστικ απκριση h(t) χει μετασχ. Laplace H(s), ττε ο σταθμς βσης θα θελε να αντιστρψει την επδραση του συστματος επνω στο σμα εισδου. Απ την
ιδιτητα της συνλιξης γνωρζετε τι
Y (s) = H(s)X(s) (10.1)
244 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
και θα θλατε να βρετε να σστημα Hi(s) = 1 H(s) τσι στε
Hi(s)Y (s) = Hi(s)H(s)X(s) = X(s) (10.2)
δηλ.
Hi(s)H(s) = 1, RHi ∩RH 6= ∅ (10.3)
Το σστημα Hi(s) θα δετε τι ονομζεται αντστροφο σστημα και θα μελετσετε τις ιδιτητς του. Ομως,
πολλς φορς το αντστροφο σστημα δεν εναι ευσταθς και αιτιατ πως απαιτεται για την υλοποησ του. Γιατ
συμβανει αυτ; Τι εναλλακτικς επιλογς υπρχουν σε αυτν την περπτωση; Μπορομε με κποιο τρπο να
ακυρσουμε ολικ μερικ την επδραση του καναλιο, και με τι κστος; Ττοια ερωτματα θα εστε σε θση να
απαντσετε με την ολοκλρωση του κεφαλαου αυτο.
10.2 Η Συνρτηση Μεταφορς
x(t) = est = e(σ+j2πf)t (10.4)
σε να ΓΧΑ σστημα με κρουστικ απκριση h(t). Η ξοδος του συστματος δνεται απ τη σχση
y(t) = T{x(t)} = h(t) ∗ x(t) =
∫ ∞ −∞
H(s) =
h(t)e−stdt (10.7)
που δεν εναι λλο απ το μετασχ. Laplace της κρουστικς απκρισης του συστματος, και τσι μπορομε να
γρψουμε οτι
y(t) = H{est} = H(s)est (10.8)
Σας θυμζει κτι; ,Βλπουμε τι η επδραση της συνρτησης μεταφορς του συστματος H(s) επνω σε μια εσο-
δο της μορφης est εναι ο πολλαπλασιασμς της με τη συνρτηση μεταφορς H(s)! Θυμηθετε οτι ιδιοσυνρτηση
ενς συστματος λγεται το σμα που περνει απ το σστημα χωρς καμι τροποποηση πλν του πολλαπλασια-
σμο του με μια συνθως μιγαδικ σταθερ, πως εδαμε στο μετασχ. Fourier. Ετσι, αναγνωρζουμε το est ως
ιδιοσυνρτηση του ΓΧΑ συστματος και το H(s) ως η αντστοιχη ιδιοτιμ.
Τρα, ας εκφρσουμε την μιγαδικ συνρτηση μεταφορς H(s) σε πολικ μορφ, ως
H(s) = |H(s)|ejφ(s) (10.9)
που |H(s)| και φ(s) εναι το μτρο και η φση του H(s), αντστοιχα. Τρα, ξαναγρφοντας την ξοδο του
συστηματος, θα χουμε
y(t) = |H(σ + j2πf)|eσtej(2πft+φ(σ+j2πf))
= |H(σ + j2πf)|eσt cos(2πft+ φ(σ + j2πf)) + j|H(σ + j2πf)|eσt sin(2πft+ φ(σ + j2πf)) (10.11)
Μπορομε εδ να παρατηρσουμε τι το σστημα, δεδομνης της εισδου της μορφης x(t) = est, αλλζει το
πλτος της εισδου κατα παργοντα |H(σ + j2πf)| και μετατοπζει τη φση των ημιτονοειδν συνιστωσν κα-
τ φ(σ+j2πf). Το σστημα δεν αλλζει οτε τον παργοντα σ, οτε τη συχντητα f της εισδου. Ενδιαφρον! ,
Κεφλαιο 10. Συστματα στο χρο του Laplace 245
10.3 Μετασχ. Laplace και Διαφορικς Εξισσεις Συστημτων
Τρα που χουμε να τσο δυνατ εργαλεο ανλυσης σημτων και συστημτων, μπορομε να μιλσουμε
ακμα πιο γενικ για τα συστματα, θεωρντας τι αυτ περιγρφονται απ μια διαφορικ εξσωση. Οπως χουμε
πει, πολλ φυσικ και μηχανικ συστματα μπορον να αναχθον σε διαφορικς εξισσεις. Για παρδειγμα,
τα ηλεκτρικ κυκλματα συνεχος ρεματος περιγρφονται απ διαφορικς εξισσεις, και η απλοποηση που
συνεπγεται με την ανλυσ τους στο χρο του Laplace εναι σημαντικ. Εν γνει λοιπν, ο μετασχ. Laplace μας επιτρπει να λνουμε ττοιες διαφορικς εξισσεις πολ εκολα, μετατρποντς τες σε απλς αλγεβρικς!
Πιο συγκεκριμνα λοιπν, στω το σστημα που περιγρφεται απ μια διαφορικ εξσωση με σταθερος συ-
ντελεστς ak, bl, N∑ k=0
ak dky(t)
bl dlx(t)
dtl (10.12)
Για τη μοναδικ λση της εξσωσης απαιτονται οι περφημες βοηθητικς αρχικς συνθκες. Στην πρξη, οι
αρχικς συνθκες αφορον την κατσταση του συστματος πριν την εφαρμογ της εισδου. Αν υποθσουμε
τι η εσοδος εφαρμζεται τη χρονικ στιγμ t = 0, ττε οι αρχικς συνθκες περιγρφουν την κατσταση του
συστματος για t = 0−, δηλ. ακριβς πριν την εφαρμογ της εισδου. Πολλς φορς στη βιβλιογραφα, οι αρχικς
συνθκες χρησιμοποιον το συμβολισμ t = 0− για τη χρονικ στιγμ των αρχικν συνθηκν. Στο εξς, θα
υιοθετσουμε αυτν την πρακτικ στο συμβολισμ. Ο ρλος των αρχικν συνθηκν μας παρχει μοναδικ λση
για το σστημα που περιγρφεται απ μια διαφορικ εξσωση. Γιατ αυτ; Σκεφτετε την πιο απλ διαφορικ
εξσωση που ξρετε: f ′(x) = f(x). Ξρετε τι η λση της εναι f(x) = cex, c ∈ <, η οποα δεν εναι μοναδικ.
Για να την κνετε ττοια, θα πρπει να σας δνεται κποια συνθκη για να βρετε το c, π.χ.
f(0) = 2
που οδηγε σε c = 2. Αρα μπορετε να καταλβετε τι μια διαφορικ εξσωση, και γενικτερα η παραγγιση,
εναι μια μη αντιστρψιμη διαδικασα. Χρειαζμαστε επιπλον πληροφορα για να την αντιστρψουμε με μοναδικ
τρπο, η οποα μας δνεται με τη μορφ αρχικν συνθηκν.
Τα προβλματα που συναντμε εναι τα ακλουθα:
(α) Η ερεση της εξδου ενς συστματος που εναι ΓΧΑ, δηλ. χει μηδενικς αρχικς συνθκες. Σε αυτ τα
συστματα, η ξοδος αποτελεται μνο απ την απκριση μηδενικς κατστασης. Αφο οι αρχικς συνθκες
εναι μηδενικς, χρησιμοποιομε τη σχση
dnx(t)
dtn ←→ snX(s) (10.13)
για να μετατρψουμε τη διαφορικ εξσωση σε αλγεβρικ, να βρομε το μετασχ. Laplace της εξδου, και να
τον αντιστρψουμε πσω στο χρνο. Ττε η Σχση (10.12) γνεται
N∑ k=0
aks kY (s) =
M∑ l=0
bls lX(s) (10.14)
k X(s) (10.16)
Η ξοδος στο πεδο του χρνου y(t) υπολογζεται απ γνωστς ιδιτητες και πνακες /και απ το Ανπτυγμα
σε Μερικ Κλσματα.
(β) Η ερεση της κρουστικς απκρισης h(t) ενς ΓΧΑ συστματος. Στο χρο του Laplace αυτ γνεται μεσω
της συνρτησης μεταφορς H(s) που χαρακτηρζει το σστημα. Ττε θεωρομε τι οι αρχικς συνθκες εναι
μηδενικς και χρησιμοποιομε ξαν τη σχση
dnx(t)
dtn ←→ snX(s) (10.17)
για να μετατρψουμε τη διαφορικ εξσωση σε αλγεβρικ και να κατασκευσουμε το λγο Y (s)/X(s) που θα
246 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
μας δσει τη συνρτηση μεταφορς. Απ τη Σχση (10.16), θα χουμε
H(s) = Y (s)
k (10.18)
Η δια σχση λαμβνεται απ ευθεας και απ τη Σχση (10.16), αφο γνωρζουμε τι η απκριση ενς ΓΧΑ συ-
στματος αποτελεται απ τη συνλιξη της εισδου και της κρουστικς απκρισης του συστματος. Στο χρο
του Laplace, η συνλιξη μετατρπεται σε γινμενο της συνρτησης μεταφορς H(s) και του μετασχ. Laplace της εισδου X(s). Παρατηρστε τι για να σστημα που περιγρφεται απ διαφορικ εξσωση με σταθερος
συντελεστς, η συνρτηση μεταφορς εναι ρητ συνρτηση πολυωνμων του s. Αυτ εναι χαρακτηριστικ
των ΓΧΑ συστημτων που περιγρφονται απ διαφορικς εξισσεις με σταθερος συντελεστς.
(γ) Η ερεση της εξδου ενς συστματος που δεν εναι ΓΧΑ, δηλ. που χει μη μηδενικς αρχικς συνθκες.
Ομως ο δπλευρος μετασχ. Laplace δεν περιλαμβνει αρχικς συνθκες στον υπολογισμ του. Αυτ μως
μπορε να το κνει ο μονπλευρος μετασχ. Laplace, ο οποος (δετε τον Πνακα 9.1) περιλαμβνει αρχικς
συνθκες στον υπολογισμ του! Σε αυτν την περπτωση χρησιμοποιομε τη σχση
dnx(t)
(10.19)
απ το μονπλευρο μετασχ. Laplace, για να μετατρψουμε τη διαφορικ εξσωση σε αλγεβρικ, να βρομε
το μετασχ. Laplace της εξδου, και να τον αντιστρψουμε πσω στο χρνο. Ο αναγνστης μπορε να δεξει
(Ασκηση ΧΧΧΧ) τι ο μετασχ. Laplace της εξδου Y (s) δνεται σε αυτν την περπτωση ως
Y (s) =
k X(s) +
+ ∑M l=0
k=0 aks k
k X(s) +
k=0 aks k
(10.21)
αφο η εσοδος εφαρμζεται πντα σε χρονικς στιγμς t ≥ 0. Παρατηρστε τι ο πρτος ρος εξαρτται
απ την εσοδο εν ο δετερος απ τις αρχικς συνθκες!
Σχμα 10.2: Εκολη λση διαφορικν εξισσεων με μετασχ. Laplace!!
Ας δομε δυο παραδεγματα που δεχνουν χαρακτηριστικ πς ο μετασχ. Laplace μπορε να μας διευκολνει
ταν χουμε να κνουμε με συστματα. Ας υποθσουμε τι οι λσεις μας θα εναι αιτιατς.
Παρδειγμα 10.1:
d2y(t)
Κεφλαιο 10. Συστματα στο χρο του Laplace 247
με αρχικς συνθκες y(0−) = 2, y ′ (0−) = 1 και εσοδο x(t) = e−4tu(t).
Λση:
την και στα δυο μλη, χουμε:
L{d 2y(t)
dt2 }+ L{5dy(t)
dt }+ L{x(t)} (10.23)
s2Y (s)− sy(0−)− y′(0−) + 5sY (s)− 5y(0−) + 6Y (s) = sX(s)− x(0−) +X(s) (10.24)
s2Y (s)− 2s− 1 + 5sY (s)− 10 + 6Y (s) = sX(s)− 0 +X(s) (10.25)
Y (s)(s2 + 5s+ 6)− 2s− 11 = X(s)(s+ 1) (10.26)
Y (s)(s2 + 5s+ 6)− 2s− 11 = s+ 1
s+ 4 (10.27)
s+ 4 + 2s+ 11 (10.28)
Y (s) = s+1 s+4 + 2s+ 11
s2 + 5s+ 6 (10.29)
Y (s) = 2s2 + 20s+ 45
(s+ 2)(s+ 3)(s+ 4) (10.30)
Μπορομε να εφαρμσουμε Ανπτυγμα σε Μερικ Κλσματα, μια και η τξη του πολυωνμου του παρονομαστ
εναι μεγαλτερη της τξης του αριθμητ. Οπτε
Y (s) = 2s2 + 20s+ 45
(s+ 2)(s+ 3)(s+ 4) =
= 2s2 + 20s+ 45
(s+ 3)(s+ 4)
= 2s2 + 20s+ 45
(s+ 2)(s+ 4)
= 2s2 + 20s+ 45
(s+ 2)(s+ 3)
2 (10.34)
Για να εναι αιτιατ η ξοδος, θα πρπει Ry ⊇ R1 ∩R2 ∩R3 με
R1 = {<{s} > −2} (10.35)
R2 = {<{s} > −3} (10.36)
R3 = {<{s} > −4} (10.37)
Y (s) = 13
Οπτε πηγανοντας πσω στο χρνο, θα εναι
y(t) = 13
2 e−4tu(t) (10.39)

Παρδειγμα 10.2:
Εστω οτι να αιτιατ ΓΧΑ σστημα H(s) περιγρφεται απ τη διαφορικ εξσωση
d2
1. Υπολογστε την κρουστικ απκριση h(t) του συστματος.
2. Βρετε την ξοδο, y(t), του συστματος ταν η εσοδος εναι της μορφς
x(t) = e−2tu(t) (10.41)
1. Μετασχηματζοντας τη διαφορικ εξσωση στο χρο του Laplace, χουμε
s2Y (s)− sY (s)− 2Y (s) = X(s) (10.42)
Y (s)(s2 − s− 2) = X(s) (10.43)
H(s) = 1
= 1
= 1
3 (10.46)
και το πεδο σγκλισης θα εναι το {<{s} > 2} = {<{s} > 2} ∩ {<{s} > −1}. Αρα
H(s) = A
s− 2 +
και ττε
h(t) = 1
Y (s) = H(s)X(s) = 1
(s− 2)(s+ 1) X(s) =
= 1
= 1
= 1
RH = {<{s} > 2} (10.54)
και η εσοδος
RY = {<{s} > 2} ∩ {<{s} > −2} = {<{s} > 2} (10.56)
Αρα
s+ 2 (10.57)
και στο πεδο του χρνου, λαμβνοντας υπψη τι το πεδο σγκλισης εναι δεξιπλευρο
y(t) = 1

Παρ λου που οι διαφορικς εξισσεις δημιουργθηκαν για να αναπαραστσουν φυσικ συστματα (και ρα
αιτιατ), απ μαθηματικς πλευρς μια διαφορικ εξσωση μπορε να χει και αντι-αιτιατ κρουστικ απκριση! Για
παρδειγμα, η συνρτηση μεταφορς
d
H2(s) = 1
s , <{s} < 0 (!!!) (10.63)
αφο ξαν ισχουν τα παραπνω! Οι αντστοιχες κρουστικς αποκρσεις των δυο αυτν συστημτων δνονται -
πως ξρετε - ως
h1(t) = u(t) (10.64)
Οπως δη γνωρζετε, για την αιτιαττητα ενς συστματος απαιτεται επιπλον πληροφορα (αυτ της αρχικς
ηρεμας του συστματος). Σε κθε περπτωση, ταν αναφερμαστε σε διαφορικς εξισσεις (στην κρουστικ
τους απκριση, στην ξοδ τους) θα υποθτουμε πντα τι λα αυτ εναι αιτιατ.
Εν γνει μως, να ΓΧΑ σστημα μπορε να χει αιτιατ, μη-αιτιατ, αντι-αιτιατ κρουστικ απκριση,
καθς η αιτιαττητα δεν εναι απαρατητη για την υλοποηση του συστματος off-line, πως π.χ. σε λογισμικ
ενς υπολογιστ, που λες οι τιμς ενς σματος χουν αποθηκευτε εκ των προτρων. Ας δομε να ττοιο
παρδειγμα συστματος.
Παρδειγμα 10.3:
H(s) = s+ 1
250 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
Βρετε την ξοδ του y(t) ταν στην εσοδ του εμφανζεται το σμα x(t) = −e2tu(−t).
Λση:
H(s) = s+ 1
(s+ 2)(s− 1) (10.67)
δηλ. χει δυο πλους στις θσεις s = −2 και s = 1. Ως μη-αιτιατ, θα εναι αμφπλευρο σμα. Τα αμφπλευρα
σματα χουν πεδο σγκλισης που αναπαρσταται ως μια ‘‘λωρδα’’ στο μιγαδικ εππεδο. Αρα το πεδο σγκλισης
της συνρτησης μεταφορς θα εναι το RH : {−2 < <{s} < 1}, το οποο μπορε να γραφε και ως
RH = { {−2 < <{s}} ∩ {<{s} < 1}
} (10.68)
Οπτε η ξοδος θα δνεται ως
Y (s) = X(s)H(s) = s+ 1
(s+ 2)(s− 2)(s− 1) (10.70)
= A
s− 1 (10.71)
με A,B,C να δνονται απ το ανπτυγμα σε μερικ κλσματα ως
Y (s) = − 1
s− 1 (10.72)
Οι πλοι του Y (s) βρσκονται στις θσεις s = −2, s = 2, και s = 1, ρα το πεδο σγκλισης της εξδου θα εναι
RY ⊇ RH ∩RX = {−2 < <{s} < 1} ∩ {<{s} < 2} = {−2 < <{s} < 1} (10.73)
Αν γρψουμε το πεδο σγκλισης ως τομ των επιμρους πεδων σγκλισης που αντιστοιχον στους πλους της
εξδου, θα εναι RY = {−2 < <{s} < 1} = {<{s} < 2} ∩ {<{s} < 1} ∩ {<{s} > −2}, και τσι το σμα εξδου
στο χρνο θα εναι αμφπλευρο σμα. Πργματι,
y(t) = − 1
με χρση των ζευγν του Πνακα 9.2.
10.4 ΓΧΑ Συστματα στο χρο του Laplace
Ας επικεντρσουμε τρα το ενδιαφρον μας στα ΓΧΑ συστματα, αυτ τη φορ απ τη σκοπι του μετασχημα-
τισμο Laplace, πως κναμε και για τον μετασχ. Fourier. Τα ΓΧΑ συστματα, πως χουμε δει, περιγρφονται
με τρεις τρπους:
N∑ k=0
3. με την απκριση σε συχντητ τους, H(f)
4. πλον, και με τη συνρτηση μεταφορς, H(s)
Κεφλαιο 10. Συστματα στο χρο του Laplace 251
Εδ, θα δομε τα συστματα απ τη σκοπι του Laplace και θα δομε πσο πιο απλ γνονται τα πργματα μερικς
φορς στο χρο αυτ. Στην ανλυση που ακολουθε, θα διαπιστσετε μεγλη ομοιτητα με τη αντστοιχη που
κναμε για το μετασχ. Fourier, γι αυτ και θα ακολουθσουμε το διο μοτβο.
Ας συζητσουμε για λγο τη χρησιμτητα αναπαρστασης συστημτων στο χρο του Laplace. Ο κυριτερος
λγος μιας ττοιας προσγγισης εναι η ευελιξα σχεδασης ΓΧΑ συστημτων. Θυμζουμε τι τα συστματα
χουν ως σκοπ την επεξεργασα (με οποιονδποτε τρπο) των σημτων που παρουσιζονται στην εσοδ τους.
Ας υποθσουμε τι θλουμε να σχεδισουμε να ΓΧΑ σστημα που θα εκτελε μια συγκεκριμνη τροποποηση στο
σμα εισδου του. Αυτ σημανει τι πρπει να το κατασκευσουμε με βση τα επιθυμητ για εμς χαρακτηριστικ
της απκρισης σε συχντητα του, H(f) - προφανς θα επεξεργαστομε πραγματικ σμα εισδου, το οποο θα
αναλεται σε πραγματικς συχντητες μσω του μετασχ. Fourier. Εδαμε νωρτερα, και μσω παραδειγμτων, τι
η θση των πλων και των μηδενικν καθορζει σχεδν απλυτα τη συμπεριφορ ενς σματος στο χρο του
Laplace, και κατ συνπεια τη μορφ του μετασχ. Fourier του μσω της μορφς του μετασχηματισμο Laplace επνω απ το φανταστικ ξονα του μιγαδικο επιπδου. Αν λοιπν τοποθετσουμε κατλληλα τους πλους
/και τα μηδενικ στο μιγαδικ εππεδο, μπορομε να κατασκευσουμε συστματα με επιθυμητς αποκρσεις σε
συχντητα. Αυτς οι αποκρσεις μπορον να υπολογιστον απ το μετασχ. Laplace θτοντας s = jω = j2πf , και με τις τεχνικς υπολογισμο αντιστρφου μετασχηματισμο που γνωρζουμε, να βρομε την κρουστικ απκρισ
τους. Εναι σημαντικ να επισημανθε τι παρ’ολο που ττοιες τεχνικς σχεδιστηκαν με σκοπ την επεξεργασα
σημτων συνεχος χρνου, μπορε κανες με απλς σχετικ μεθδους να μεταφρει την τεχνογνωσα σχεδασης
ττοιων συστημτων γργορα και απλ στον ‘‘ψηφιακ’’ κσμο, καθιστντας τες δυνατς να επεξεργαστον και
σματα διακριτο χρνου!
Παρ λο που ως τρα συζητμε την επιρρο του μετασχ. Laplace στο φσμα πλτους ενς σματος, στην
πραγματικτητα με μοιο τρπο επηρεζεται και το φσμα φσης απ την παρουσα των πλων και των μηδενικν.
Γνωρζουμε τι η φση συνδεται με τη θση των επιμρους συνιστωσν, αλλις τη χρονικ δομ του σματος
του συστματος στο χρνο. Σντομα, θα αναπτξουμε ννοιες και εργαλεα για τον κατλληλο λεγχο της
φσης μσω της θσης των πλων και των μηδενικν.
Ενας λλος λγος εναι τι μσω του μετασχ. Laplace μπορομε να αναλσουμε σματα και συστματα που
δεν χουν μετασχ. Fourier. Με λλα λγια, μπορομε να αναλσουμε συστματα που εναι ασταθ. Σγουρα
θα σκεφτκατε τι ασταθ συστματα δεν χουν κποια πρακτικ χρησιμτητα. Κι μως, ασταθ συστματα
παρουσιζονται πολ συχν στη μηχανικ, και για να μπορομε να χειριστομε την αστθει τους, πρπει να
μπορομε να τα μελετσουμε. Περισστερα για αυτ θα δομε σντομα.
Ας δομε να απλ παρδειγμα για το πως δουλεουμε στο χρο του μετασχ. Laplace.
Παρδειγμα 10.4:
Εστω το αιτιατ σστημα που περιγρφεται απ τη διαφορικ εξσωση
d
του οποου ζητομε:
(γ) την ξοδ του για εσοδο x(t) = −e2tu(−t)
Λση:
sY (s) + 2Y (s) = X(s) (10.77)
Y (s)(s+ 2) = X(s) (10.78)
Y (s)
252 Μια εισαγωγ στα Σματα και Συστματα
με πεδο σγκλισης <{s} > −2, λγω αιτιαττητας, αφο η ρζα του πολυωνμου του παρονομαστ εναι η
s = −2. Ετσι, η συχντητα ω = f = 0 χει μγιστο, λγω της παρουσας του πραγματικο πλου στη θση
s = −2. Παρατηρστε επσης τι lims→∞H(s) = 0.
(β) Θα εναι
αφο το σστημ μας εναι αιτιατ απ εκφνηση.
(γ) Η εσοδος χει μετασχ. Laplace
x(t) = −e2tu(−t)←→ X(s) = 1
s− 2 , <{s} < 2 (10.82)
οπτε
s2 − 4 , −2 < <{s} < 2 (10.83)
το οποο, με βση τον Πνακα 9.1, χει αντστροφο μετασχ. Laplace
y(t) = −1
H(s) = s+ 1
Βρετε την κρουστικ απκριση h(t) για κθε πιθαν πεδο σγκλισης.
Λση:
H(s) = A
s− 2 +
= s+ 1
s− 1
s=2
= 3 (10.87)
= s+ 1
s− 2
s=1
= −1 (10.88)
s− 2 − 1
s− 1 (10.89)
Απ τους πνακς μας, χουμε κατ ευθεαν τι αν το σστημα εναι αιτιατ, ττε
h(t) = 3e2tu(t)− etu(t) (10.90)
με <{s} > 2, εν αν το σστημα εναι αντι-αιτιατ, ττε
h(t) = −3e2tu(−t) + etu(−t) (10.91)
με <{s} < 1. Τλος, αν το σστημα εναι μη αιτιατ, ττε
h(t) = −3e2tu(−t)− etu(t) (10.92)
με 1 < <{s} < 2.

H(s) = 1250
(s− (σ0 + j2π20))(s− (σ0 − j2π20)) (10.93)
Μελετστε ποιοτικ τη συμπεριφορ της απκρισης πλτους του συστματος για σ0 = −5 και σ0 = − 1 2
και βρετε την κρουστικ του απκριση h(t).
Λση:
Δετε το Σχμα 10.3, που παρουσιζει το σστημα για την τιμ σ0 = −5. και εμφανς χει δυο πλους στις θσεις
100
Σχμα 10.3: Μτρο μετασχ. Laplace συστματος Παραδεγματος 6και η αντστοιχη απκριση πλτους για σ0 = −5.
s = −5+±j2π20. Η παρουσα πλων για ω = ±2π20 θα αυξσει τις τιμς της απκρισης πλτους γρω απ αυτς
τις συχντητες. Στην περπτωση που σ0 = −5, η αξηση θα εναι μικρ και πιο ομαλ, αφο οι πλοι βρσκονται
‘‘μακρι’’ απ το φανταστικ ξονα, εν για σ0 = −1/2, η αξηση θα εναι μεγαλτερη και πιο απτομη, αφο
οι πλοι βρσκονται κοντ στο φανταστικ ξονα. Τα συμπερσματα αυτ επιβεβαινονται απ τα Σχματα 10.3
και 10.4. Η κρουστικ απκριση δνεται αναπτσσοντας σε μερικα κλσματα τη ρητ συνρτηση μεταφορς. Εναι
50
Σχμα 10.4: Μτρο μετασχ. Laplace συστματος Παραδεγματος 6και η αντστοιχη απκριση πλτους για σ = −1/2.
H(s) = A
με
= 1250
= 1250
H(s) = 1250
h(t) = 125
Εξοδος ΓΧΑ Συστματος στο Χρο του Μετασχ. Laplace - Ι
Αν η εσοδος ενς ΓΧΑ συστματος
h(t)←→ H(s)
Bl 1
s− bl
με ROCk : <{s} > <{ak} και ROCl : <{s} < <{bl} και maxk{<{ak}} < <{s} < minl{<{bl}} ττε η
ξοδος μπορε εκολα να υπολογιστε στο χρο της συχντητας, ως
Y (s) = H(s)X(s)
και εφαρμζοντας Ανπτυγμα σε Μερικ Κλσματα, να βρεθε τελικ η ξοδος y(t).
και
Αν να σστημα περιγρφεται με διαφορικς εξισσεις ως
N∑ k=0
k
ττε χρησιμοποιομε Ανπτυγμα σε Μερικ Κλσματα για να αναλσουμε τη Συνρτηση Μεταφορς H(s) σε απλ κλσματα και να βρομε με χρση Πινκων την κρουστικ απκριση h(t).
10.4.1 Διατξεις Συστημτων
Ας δομε μερικς γνωστς διατξεις συστημτων και πως αυτς αναπαρστανται στο χρο του Laplace.
10.4.1.1 Συστματα σε Σειρ
Πολλς φορς, μας βολεει να βζουμε πολλ συστματα σε σειρ μεταξ τους, δημιουργντας να μεγαλτερο
σστημα που εκτελε επεξεργασα στην εσοδ του. Οταν χουμε ττοια συστματα σε σειρ, πως στο Σχ-
μα 10.5(α), η ξοδος του h1(t) περνει ως εσοδος στο h2(t). Μπορομε μως να θεωρσουμε τι τα συστματα
Κεφλαιο 10. Συστματα στο χρο του Laplace 255
αυτ αποτελον να μεγαλτερο σστημα, το οποο και αποτελε τη συνλιξη των επιμρους συστημτων στο
πεδο του χρνου.
Ομως ξρο&up