Surfaces implicites Les différents modèles analytiques
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Surfaces implicites
Les différents modèles
analytiques
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PlanPlan• Les transformations de l'espace• Calcul de la normale• Les surfaces implicites non-bornées
– Les primitives
– Les modèles de composition
• Les surfaces implicites bornées– Les primitives
– Les modèles de composition
• Surfaces implicites bornées / non bornées
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Les transformations de l'espaceLes transformations de l'espace
• Rappel :
– translation
– rotation autour de (Ox)
1000
100
010
001
tz
ty
tx
1000
0cossin0
0sincos0
0001
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Les transformations de l'espaceLes transformations de l'espace
– changement d'échelle
1000
01
00
001
0
0001
sz
sy
sx
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Appliquée à une surface impliciteAppliquée à une surface implicite• Pour appliquer une transformation à une surface implicite,
on transforme le repère local dans lequel elle est définie :
f(x,y,z)
rot trans
scaleobjet finalffinal(x,y,z)
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Evaluation de la fonctionEvaluation de la fonction• Quand j'évalue la fonction ffinale en un point P de l'espace,
je vais chercher la valeur de la fonction f d'origine au point p correspondant dans le repère de définition de la surface implicite :
1
z
y
x
P PMP scale1
1 1
12 PMP trans
21PMP rotfinal
ffffinal zyxfzyxf ,,,,
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Illustration sur du CSGIllustration sur du CSG
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Calcul de la normaleCalcul de la normale• La normale en un point P d'une surface implicite est défini
par le gradient de la fonction potentiel f en ce point P.
Pz
f
Py
f
Px
f
PfPN )( si f(P) 0 définit le volume
PfPN )( si f(P) 0 définit le volume
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Les surfaces implicites non bornéesLes surfaces implicites non bornées• La fonction varie de façon continue dans tout
l'espace.
• L'isovaleur C0 est fixée à C0=0
• La convention intérieur / extérieur est à préciser en fonction des différents modèles
• Exemples de primitives : – Les quadriques présentées au cours précédent
– Le plan
dczbyaxzyxf ,,
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Les primitives à squeletteLes primitives à squelette• Un squelette S est défini à partir d'une primitive
géométrique simple
• La fonction potentielle f est définie à partir de la distance d(S,P) entre un point P de R3 et le squelette S
22 , rPSdPf rPSdPf , ou
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Surfaces à squelettesSurfaces à squelettes
r
r
rr
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Les opérateurs de compositionLes opérateurs de composition• Le mélange : Il s'agit d'une transition lisse et arrondie liant
les objets composés avec des opérateurs de composition booléenne
Union Intersection Différence
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Les fonctions réellesLes fonctions réelles• Modèle introduit par V.L. Rvachev en 1982 et approfondi par A.
Pasko en 1994 :
– Convention : f(P) 0 définit le volume
• Union
• Intersection
• différence
• Transition franche sur la surface mais le champ de potentiel est de continuité C1 partout ailleurs (fondamental pour le CSG).
22
2121,, ffffzyxf
22
2121,, ffffzyxf
22
2121\ ,, ffffzyxf
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Opérateurs avec transitions doucesOpérateurs avec transitions doucesConvention : f(P) 0 définit le volume
• Opérateurs avec mélange :
• Transition douce sur la surface et le champ de potentiel est de continuité C1 en tous points.
2
2
2
2
1
1
0
1
,,,,~
af
af
azyxfzyxf OpOp
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Vérifiez votre compréhensionVérifiez votre compréhension
• Avec un schémas du type de celui utilisé pour comprendre les opérateurs de composition à base des fonctions min et max, vérifiez le respect des conventions int/ext de ces opérateurs.
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Les surfaces implicites bornéesLes surfaces implicites bornées
• La fonction varie de façon constante au delà d'un certain rayon d'influence. Dans notre cas, la constante est nulle.
• L'isovaleur C0 est fixée à C0=0.5 en général
• La convention intérieur / extérieur est :
– f(P) > C0 : le point P est à l'intérieur du volume
– f(P) < C0 : le point P est à l'extérieur du volume
– f(P) C0 : définit le volume
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Le "Blobby model"Le "Blobby model"• Primitives locales par approximation : Au delà d’un certain rayon
d’influence, la fonction est presque nulle.
• Les primitives de base sont limitées à des sphères.
• Le modèle : – Un blob isolé
où di(x,y,z) est la distance entre le centre du blob et le point P(x,y,z).
zyxdabzyxf iiii ,,exp,, 2
0.5
0di
fibi
ai
bi
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Le mélangeLe mélange• Primitive complexe :
n
ii zyxfzyxf
1
,,,,
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Les fonctions potentielles bornéesLes fonctions potentielles bornées• La gaussienne est approximée par une fonction
polynomiale avec un rayon d’influence R. – Le calcul de l’exponentielle est évité et ainsi la fonction est moins
coûteuse à évaluer.
– Au delà d’un certain rayon d’influence R, la fonction vaut zéro.
0.5
0di
fi
1
RR
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Exemple de fonctions bornéesExemple de fonctions bornées
• B. Wyvill (1986) :
• N. Stolte (1996)
1322
2
3
3
R
d
R
ddf
0df
si Rd
sinon
4228
1Rd
Rdf
0df
si Rd
sinon
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Les primitives à squeletteLes primitives à squelette• Cette représentation se prête tout particulièrement à
l’utilisation de primitives à squelette car elle sont définies par une fonction de distance.
• On remplace la fonction de distance d qui est définie entre un point P0 qui est le centre de la sphère et un point P(x,y,z) de l’espace par la distance entre le squelette S et un point P(x,y,z) de l’espace.
• Le fonction fi reste la même. Seul le calcul de la distance change!
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Les primitives négativesLes primitives négatives• Permet de retirer de la matière au lieu d’en ajouter sans
augmenter la complexité du modèle.
m
jj
n
ii zyxfzyxfzyxf
11
,,,,,,
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Graphe de mélangeGraphe de mélange• Pour éviter le mélange indésirable
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Graphe de mélangeGraphe de mélange
• Les primitives sont regroupées par groupe. Les primitives d’un même groupe se mélangent entre elles et seuls sont mélangés les groupes reliés par un lien.
• Exemple de la main :
paume
doigt 1
doigt 5
doigt 4
doigt 3doigt 2
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L’écrasementL’écrasement
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Le CSGLe CSG• Il existe des opérateurs CSG pour les primitives bornées,
mais des recherches restent encore à faire pour les rendre plus adaptés
– Les variations des champs de potentiels deviennent de plus en plus irrégulière et la forme du mélange de plus en plus difficile a contrôler
– Néanmoins, avec beaucoup de temps et d’efforts, on arrive à des résultats
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Quelques résultatsQuelques résultats
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Quelques résultatsQuelques résultats
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Modèles bornés / non bornésModèles bornés / non bornés• Modèles bornés :
– Une évaluation moins coûteuse de la fonction potentielle
– Plus difficile de développer des modèles de composition évolués
– Adapté au mélange et l’animation d’une grande quantité de primitives
• Modèles non bornés :– Evaluation chère de la fonction potentielle
– Modèle général permettant d’intégrer n’importe quelle type de surface implicite
– Une grande variété d’opérateurs de déformation et composition
– Adaptés à la composition d’un petit nombre de primitives complexes utilisant des opérateurs plus évolués