Sujets de TERM1maths/fichiers/... · 2019-11-26 · Steven G. Krantz (2006), Geometric Function...

Universite Grenoble Alpes 2019-2020M1 Mathematiques generales

Sujets de TER

Mode drsquoemploi Envoyer au responsable du M1 un message indiquant votre nom et lesnumeros des quatre sujets sur lesquels vous souhaiteriez travailler classes par ordre depreference decroissante Le titre du message doit obligatoirement inclure la chaıne decaracteres M1 MG TER Date limite drsquoenvoi mardi 3 decembre 23h59

1 Autour du theoreme de de Branges

2 Autour du theoreme de la representation conforme de Riemann

3 Bases de Grobner et algebres de Fomin-Kirillov

4 Bases de Grobner et algebres de Fomin-Kirillov duales

5 Biais de publication

6 Cadran solaire digital

7 Codes pour la metrique du rang

8 Comment croissent les groupes

9 Equation des ondes

10 Factorisation de polynomes a coefficients rationnels

11 Fonctions maximales de Hardy-Littlewood

12 Fonctions zeta drsquoIhara sur des graphes et des groupes

13 Geometrie hyperbolique groupes fuchsiens

14 Geometrie spherique caracteristique drsquoEuler et homologie simplicielle

15 Inegalites isodiametriques et isoperimetriques

16 Jeux stochastiques application au jeu du laquo Qui est-ce raquo17 Lois de reciprocite

18 Lois Zeta pour lrsquoarithmetique

19 Melanges de cartes

20 Methode de Coppersmith et applications cryptographiques

21 Metrique de Schwarzschild

22 Orbites de familles de champs de vecteurs

23 Parallelisabilite des spheres

24 Pavages par dominos et modele des dimeres

25 Periode trois implique chaos et theoreme de Sharkovsky

26 Probleme de Schoenflies

27 Theorie de Floquet

28 Theorie du complot

29 Voyage sur les groupes de Lie


En 1916 Ludwig Bieberbach demontre que si une fonction analytique z 7rarr z + a2z2 +

a3z3 + middot middot middot est injective sur le disque unite D alors |a2| 6 2 De plus Bieberbach conjec-

ture que |an| 6 n pour tout n gt 2 et que toutes ces inegalites sont strictes a part pourles rotations de la fonction de Koebe k definie par k(z) = z

(1minusz)2 Cette conjecture

demontree par Louis de Branges en 1984 permet de relier la structure analytique et lecomportement geometrique drsquoune classe de fonctions a savoir les fonctions univalentessur D (crsquoest-a-dire definies et injectives sur D)

La preuve du theoreme de de Branges est hors de portee drsquoun travail de TER Par conse-quent apres srsquoetre familiarise avec le sujet par quelques calculs explicites on srsquointeresseradans un premier temps a la preuve originelle par Bieberbach que |a2| 6 2 basee sur letheoreme de lrsquoaire et a quelques consequences de ce resultat comme le theoreme du quartde Koebe et le theoreme de la distorsion

Dans un second temps on se tournera vers la preuve que |an| lt en pour tout n duea John Edensor Littlewood en 1925 et vers la preuve de la conjecture de Bieberbachquand tous les coefficients an sont reels due a Jean Dieudonne en 1931 Puis si le tempsle permet on abordera la preuve que |a3| 6 3 due a Charles (Karl) Loewner en 1923 Lademonstration de ce dernier resultat est basee sur une equation drsquoevolution introduitepar Loewner a cet effet et portant son nom depuis utilisee plus tard par de Brangesdans sa preuve de la conjecture complete et reutilisee depuis le debut des annees 2000par Oded Schramm Greg Lawler Wendelin Werner et drsquoautres pour decrire la limitedrsquoechelle de divers modeles probabilistes sur des reseaux planaires issus de la mecaniquestatistique

Prerequis

Le cours drsquoAnalyse complexe du premier semestre

Bibliographie

Conjecture de Bieberbach page Wikipedia frwikipediaorgwikiConjecture_de_Bieberbach

Jacob Korevaar (1986) Ludwig Bieberbachrsquos Conjecture and Its Proof by Louis deBranges The American Mathematical Monthly 93 n7 505-514 Disponible a lrsquoadresse wwwmaaorgprogramsmaa-awardswriting-awardsludwig-bieberbachs-

conjecture-and-its-proof-by-louis-de-branges

Terence Tao (2018) 246C Notes 3 Univalent functions the Loewner equation and theBieberbach conjecture Disponible a lrsquoadresse terrytaowordpresscom20180502246c-notes-3-univalent-functions-the-

loewner-equation-and-the-bieberbach-conjecture

2

2 Autour du theoreme de la representation conforme deRiemann

Le theoreme de la representation conforme de Riemann montre que tout domaine simple-ment connexe du plan complexe different du plan est biholomorphe au disque unite Undomaine est simplement connexe si et seulement si les composantes connexes de son com-plementaire sont toutes non bornees ce qui equivaut a dire que son complementaire dansla sphere de Riemann est connexe On va srsquointeresser aux domaines comportant des trouset dans un premier temps aux couronnes ArR = z isin C r lt |z| lt R ou 0 lt r lt RDeux couronnes ArR et ArprimeRprime sont biholomorphes si et seulement si Rr = Rprimerprime

On montrera ensuite que tout domaine doublement connexe du plan tel que les compo-santes connexes du complementaire ne sont pas reduites a un point est biholomorphe aune couronne Pour ceci il faudra parler de probleme de Dirichlet et de fonctions harmo-niques ce qui permettra drsquoetudier la preuve de Riemann du theoreme de la representationconforme

Prerequis


Bibliographie

Joseph L Walsh (1973) History of the Riemann Mapping Theorem The AmericanMathematical Monthly Vol 80 n3 270-276

Steven G Krantz (2006) Geometric Function theory Explorations in Complex AnalysisBirkhauser

Walter Rudin (2009) Analyse reelle et complexe 3eme edition Dunod

Lars V Ahlfors (1978) Complex analysis An introduction to the theory of analyticfunctions of one complex variable Third edition International Series in Pure and AppliedMathematics McGraw-Hill


Les bases de Grobner sont un outil tres utilise en algebre commutative et noncommuta-tive pour pouvoir manipuler des algebres donnees par des generateurs et relations Parailleurs les algebres de Fomin-Kirillov ont ete introduites par Sergey Fomin et AnatolKirillov dans leur etude de la cohomologie des varietes de drapeaux Ces algebres appa-raissent aussi dans la classification des algebres de Hopf de dimension finie car il srsquoagitdrsquoalgebres de Nichols

Le but de ce TER est drsquoutiliser des techniques de bases de Grobner pour calculer une

3

base de Hamel des algebres de Fomin-Kirillov a six generateurs ainsi que les constantesde structure pour le produit a lrsquoaide du logiciel GAP

Prerequis

Algebre de L3A et de M1

Bibliographie

Sergey Fomin Anatol N Kirillov (1999) Quadratic algebras Dunkl elements and Schu-bert calculus Advances in geometry Progr Math vol 172 Birkhauser Boston BostonMA 147-182

Alexander Milinski Hans-Jurgen Schneider (2000) Pointed indecomposable Hopf alge-bras over Coxeter groups New trends in Hopf algebra theory (La Falda 1999) ContempMath vol 267 Amer Math Soc Providence RI 215ndash236 Disponible a lrsquoadresse wwwmathematikuni-muenchende~hansschPublicationshtml

Victor A Ufnarovskij (1995) Combinatorial and asymptotic methods in algebra Alge-bra VI 1ndash196 Encyclopaedia Math Sci 57 Springer Berlin

Victor A Ufnarovskij (1998) Introduction to noncommutative Grobner bases theory(English summary) Grobner bases and applications (Linz 1998) 259ndash280 London MathSoc Lecture Note Ser 251 Cambridge Univ Press Cambridge


Les bases de Grobner sont un outil tres utilise en algebre commutative et noncommu-tative pour pouvoir manipuler des algebres donnees par des generateurs et relationsPar ailleurs les algebres de Fomin-Kirillov ont ete introduites par Sergey Fomin et Ana-tol Kirillov dans leur etude de la cohomologie des varietes de drapeaux Ces algebresapparaissent aussi dans la classification des algebres de Hopf de dimension finie car ilsrsquoagit drsquoalgebres de Nichols Comme ces algebres sont quadratiques elles possedent desalgebres duales quadratiques

Le but de ce TER est drsquoutiliser des techniques de bases de Grobner pour calculer une basede Hamel des algebres de Fomin-Kirillov duales a six generateurs ainsi que les constantesde structure pour le produit a lrsquoaide du logiciel GAP

Prerequis


Bibliographie

Sergey Fomin Anatol N Kirillov (1999) Quadratic algebras Dunkl elements and Schu-

4

bert calculus Advances in geometry Progr Math vol 172 Birkhauser Boston BostonMA147ndash182




Chelsea Walton James J Zhang (2019) On the quadratic dual of the Fomin-Kirillovalgebras Trans Amer Math Soc 372 no 6 3921ndash3945Preprint arXiv180609263[mathRA]


Drsquoapres Confucius laquo Lrsquohomme sage apprend de ses erreurs et lrsquohomme encore plus sageapprend des erreurs des autres raquo On pourrait donc srsquoattendre a ce que les revues scien-tifiques publient avec meme valeur les resultats probants et les non resultats ce qui onlrsquoaura compris nrsquoest evidemment pas le cas Les chercheurmiddotsemiddots et les revues scientifiquesont plutot tendance a ne publier que les resultats juges statistiquement significatifs et alaisser de cote les resultats non concluants ce qursquoon appelle un biais de publication

Le but de ce TER est drsquoetudier la modelisation du biais de publication et la possibilite(ou non) de le compenser notamment en etudiant lrsquoarticle donne en reference

Bibliographie

Jeffrey D Scargle (1999) Publication bias (the ldquofile-drawer problemrdquo) in scientific infe-rence Preprint arXivphysics9909033[physicsdata-an]


En 1987 Kenneth Falconer montre qursquoil existe une facon de construire un objet physiquedont lrsquoombre a chaque heure est cette heure ecrite en chiffres

Plus mathematiquement etant donnee une famille (θi)iisinI de directions dans lrsquoespacede dimension 3 et une famille (Ai)iisinI drsquoensembles mesurables dans le plan Falconermontre lrsquoexistence drsquoun ensemble mesurable A dans lrsquoespace tel que pour tout i isin I laprojection orthogonale de A sur un plan dans la direction θi est exactement Ai (a des

5

laquo presque partout raquo pres)

Il existe plusieurs constructions drsquoun tel objet en plus de celle de Falconer et le butdu TER est drsquoen explorer quelques unes Par exemple on peut passer par la geometriefractale ou sous des hypotheses additionnelles sur les projections realiser A de ma-niere explicite laquo par couches raquo (Crsquoest comme cela que sont fabriques les cadrans solairesdigitaux que lrsquoon trouve dans le commerce)

Si tout se passe bien il sera possible de fabriquer pour de vrai un tel objet et drsquoen fairela demonstration le jour de la soutenance

Prerequis

Selon la methode utilisee un peu de theorie de la mesure de la geometrie euclidienneen dimension 3 et (si tout se passe bien donc) un peu de programmation et de travauxmanuels

Bibliographie

Kenneth Falconer (2003) Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applica-tions John Wiley and Sons

Ian Stewart (1991) What in heaven is a digital sundial Scientific American

Un exemple wwwfransmaesnlgenkengk-zw08-ehtm


Les codes correcteurs drsquoerreurs sont des parties judicieusement choisies drsquoespaces vec-toriels sur un corps fini (par exemple des sous-espaces) de sorte que la redondanceque contiennent leurs elements permette de retrouver le message initial en cas de per-turbation moderee dans la transmission Les codes pour la metrique du rang sont dessous-ensembles de lrsquoespace des matrices de taille mtimes n a coefficients dans un corps Fqmunis de la distance d(MM prime) = rg(MminusM prime) Introduits par Delsarte en 1978 ces codessuscitent toujours lrsquointeret des chercheurs de par leur efficacite pour la transmission desinformations en reseau

Lrsquoobjet de ce TER est lrsquoetude de la theorie de base de ces codes On y prouve desresultats analogues aux resultats classiques concernant les codes munis de la distancede Hamming borne de Singleton sur la taille drsquoun code de distance minimale donneecode dual drsquoun code lineaire et ses parametres identites de MacWilliams reliant lesdistributions de poids drsquoun code et de son dual etc Il srsquoagit aussi drsquoetudier les proprieteset des constructions des codes optimaux pour le rang dits MRD crsquoest-a-dire ceux pourlesquels la borne de Singleton est atteinte

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Prerequis

Algebre lineaire elementaire dualite le cours drsquoAlgebre 1 sur les corps finis servira alrsquooccasion

Bibliographie

Elisa Gorla Alberto Ravagnani (2018) Codes Endowed With the Rank Metric in Net-work Coding and Subspace Designs M Greferath et al Eds Springer 3-23 PreprintarXiv171002067[csIT]


Si G est un groupe de type fini engendre par un ensemble fini S stable par passage alrsquoinverse on definit γGS N rarr N la fonction de croissance du groupe G pour la partieS comme associant a chaque entier naturel n le nombre γGS(n) drsquoelements de G quipeuvent etre ecrits comme le produit drsquoau plus n elements de S

Le but de ce TER est drsquoobserver quelques unes (au choix) des situations suivantes

Le groupe G est fini si et seulement si γGS(n) = o(n) (pour S arbitraire) Un theoremeplus subtil (du a Jacques Justin Alex Wilkie et Lou van den Dries) mais accessible iciest que G possede un sous-groupe isomorphe a Z drsquoindice fini dans G si et seulement siγGS nrsquoest pas bornee et γGS(n) = O(n)

Des exemples de croissance de groupes sont abordables la croissance de tout groupeabelien de type fini (pour nrsquoimporte quelle partie generatrice finie) est bornee par unefonction polynomiale Plus technique la croissance de tout groupe nilpotent (en par-ticulier le groupe de Heisenberg des matrices 3 times 3 sur Z triangulaires superieures dediagonale 1) est bornee par une fonction polynomiale La croissance de tout groupe librede rang plus grand que 2 est minoree par une exponentielle (a nouveau pour nrsquoimportequelle partie generatrice finie)

Un theoreme du a John Milnor et Joseph A Wolf dit que tout groupe resoluble dont lacroissance est majoree par un polynome possede un sous-groupe nilpotent drsquoindice fini(Hors de portee drsquoun TER plane ici un theoreme du a Mikhaıl Gromov qui supprimelrsquohypothese de resolubilite)

Et en 1983 Rostislav Grigorchuk a fourni un exemple de groupe de croissance interme-diaire crsquoest-a-dire tel que γGS(n) = o(an) pour tout a gt 1 et γGS(n) est asymptotique-ment superieure a nrsquoimporte quel polynome en n

Bibliographie

Avinoam Mann (2011) How Groups Grow London Mathematical Society Lecture NotesSeries 395 (chapitres 1 a 6 et 10)

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Les equations des ondes figurent parmi les equations les plus importantes de la physiquemathematique Historiquement elles apparaissent drsquoabord dans une description de lavibration drsquoune corde Elles peuvent etre lineaires ou non lineaires Les equations deMaxwell (lineaires) et les equations drsquoEinstein (non lineaires) possedent des structuressimilaires Dans ce stage on essaiera de comprendre quelques proprietes fondamentalesdes solutions de ces equations On etudiera en detail les equations de Maxwell

Prerequis

Les cours de M1 drsquoequations differentielles ordinaires et drsquoanalyse fonctionnelle

Bibliographie

Michael E Taylor (1996) Partial Differential Equations 1 (Basic theory) Applied ma-thematical Sciences 115 Springer


Srsquoil est bien connu que tout polynome de Q[X] se decompose de facon unique en produitde polynomes irreductibles calculer une telle decomposition en pratique nrsquoest pas unprobleme evident Le but de ce TER est de comprendre le fonctionnement de lrsquoalgorithmerecent de factorisation de van Hoeij et idealement drsquoarriver a en implementer quelquesetapes sous SageMath

Lrsquoidee principale est de commencer par calculer une factorisation modulo un nombrepremier p (algorithme de Berlekamp ou de Cantor-Zassenhaus) puis de relever cettefactorisation au corps Qp des nombres p-adiques La derniere phase plus delicate consistea regrouper les facteurs obtenus dans Qp[X] de facon a obtenir des elements de Q[X]

Bibliographie

Alin Bostan et al (2017) Algorithmes Efficaces en Calcul Formel Preprint HAL hal-

AECF


Soit (X d) un espace metrique muni drsquoune mesure (exterieure) micro Si f X rarr R estmesurable on pose pour x isin X

M(f)(x) = supRgt0

1

micro(B(xR))

intB(xR)

|f(y)|dmicro(y)

8

La fonction M(f) srsquoappelle la fonction maximale de Hardy-Littlewood de f La transfor-mation M f rarr M(f) introduite en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John EdensorLittlewood constitue un outil puissant en analyse harmonique

Le but de ce TER est de demontrer que M est continue de Lp dans Lp pour 1 lt p 6 +infinet est faiblement continue dans L1 dans les cas suivants

1 X = Rn muni de sa structure euclidienne et micro est la mesure de Lebesgue On utilisealors des techniques classiques drsquoanalyse reelle comme des theoremes drsquointerpola-tion et des approximations de lrsquoidentite

2 (X d) est un espace metrique quelconque et micro verifie la condition dite de double-ment du volume a savoir que micro(B(x 2r)) 6 c middotmicro(B(x r)) uniformement en x dansX et en r gt 0 Dans ce cas on utilise des lemmes de recouvrement de type Vitali

Si le temps le permet on donnera des applications en analyse de Fourier

Prerequis

Theorie de la mesure de L3 et Analyse fonctionnelle de M1

Bibliographie

Javier Duoandikoetxea (2000) Fourier Analysis Graduate Studies in Mathematics 29American Mathematical Society

Juha Heinonen (2001) Lectures on analysis on metric spaces Springer


La fonction zeta de Riemann est un objet important associe a la repartition des nombrespremiers definie comme

ζ(s) =infinsumn=1

1

ns=

prodp premier

(1minus 1

p

)minus1

Drsquoautres types de fonctions zeta peuvent etre etudies qursquoelles soient definies par unproduit eulerien comme ci-dessus ou comme solution drsquoune equation fonctionnelle (deDedekind associee a un corps de nombres de Dirichlet associee a une representationdrsquoEpstein associee a une forme quadratique)

Dans ce TER on srsquointeresse a des fonctions zeta associees a des graphes (au sens desgraphes constitues de sommets et drsquoaretes) dites fonctions zeta drsquoIhara On part drsquoungraphe on definit ce qursquoest un ldquopremierrdquo pour le graphe en termes de cycles reduits eton definit la fonction zeta par le produit eulerien analogue a la formule ci-dessus

Cette fonction est liee au decompte de classes de conjugaison dans les groupes libresmunis drsquoune metrique

9

Un resultat dans ce contexte du a Yasutaka Ihara Hyman Bass et Ki-ichiro Hashimotoexprime la fonction zeta comme un determinant faisant intervenir la matrice drsquoadjacenceet la matrice diagonale des degres des sommets

On pourra explorer la preuve de ce theoreme lrsquoanalogue du theoreme des nombres pre-miers pour les cycles premiers drsquoun graphe lrsquoanalogue de lrsquohypothese de Riemann dansce contexte et pourquoi cette version de lrsquohypothese de Riemann est vraie si et seule-ment si le graphe est un graphe dit de Ramanujan crsquoest a dire un graphe optimal pourune certaine inegalite spectrale pour sa matrice drsquoadjacence

Il est possible drsquoopter pour une approche experimentale du sujet selon les gouts

Bibliographie

Audrey Terras (2011) Zeta Functions of Graphs A Stroll through the Garden Cam-bridge Studies in Advanced Mathematics 128 (chapitres 1 2 6 7 10 11)


Les cinq axiomes des Elements drsquoEuclide proposes aux alentours de 300 avant J-Ctroublerent les mathematiciens presque des leur invention Le dernier axiome stipulantque par chaque point il passe une unique droite parallele a une droite donnee paraissaitpeu naturel en comparaison des autres et on esperait redonner une harmonie completea la theorie en reduisant cet axiome au rang de theoreme demontre a partir des quatreaxiomes laquo naturels raquo De nombreuses demonstrations erronees de lrsquoaxiome des parallelesont ete donnees

Plus de deux mille ans apres les travaux drsquoEuclide les premiers exemples de geometriesnon euclidiennes crsquoest-a-dire des espaces verifiant tous les axiomes drsquoEuclide sauf lepostulat des paralleles furent donnes On les connaıt aujourdrsquohui sous le nom drsquoespaceshyperboliques Dans ce TER nous etudierons ces espaces leurs droites leurs formulestrigonometriques leurs groupes drsquoisometries Le cas echeant on elargira la thematique dutravail en srsquointeressant a leurs sous-groupes discrets et a leurs liens avec la classificationdes surfaces de Riemann via le theoreme drsquouniformisation

Bibliographie

Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups Chicago Lectures in Mathematics Universityof Chicago Press

10

14 Geometrie spherique caracteristique drsquoEuler et homo-logie simplicielle

Le caracteristique drsquoEuler est un objet mathematique dont la forme le plus simple peutsrsquoexpliquer a des collegiens et la forme la plus compliquee est encore un sujet actuel derecherche

Dans sa forme la plus simple la formule drsquoEuler affirme que la somme du nombre defaces et du nombre de sommets drsquoun polyedre est egale au nombre de ses aretes plusdeux Nous verrons trois demonstrations de cette formule lrsquoune basee sur une recurrencesur la complexite du polyedre une deuxieme basee sur les formules trigonometriquesen geometrie spherique (notamment un lien etonnant entre la somme des angles drsquountriangle et son aire) et une troisieme basee sur un invariant topologique sophistique les groupes drsquohomologie simplicielle A lrsquoaide de cet invariant nous verrons que la formesimple de la formule drsquoEuler enoncee ci-dessus peut se generaliser a une classe tresgenerale drsquoespaces topologiques

Bibliographie

Mark A Armstrong (1997) Basic Topology Springer Undergraduate Texts in Mathe-matics

William S Massey (1990) Algebraic topology An introduction Springer GraduateTexts in Mathematics 56


Le but du stage est de demontrer les deux resultats suivants

1 Si A est un sous-ensemble de Rn de diametre d alors sa mesure de Lebesgue estinferieure a celle drsquoune boule de meme diametre et il y a egalite si et seulement siA est une boule de diametre d

2 Si A est un sous-ensemble (regulier) de Rn de perimetre P (A) (en un sens a donner)alors V (A)(nminus1)n 6 Cn middotP (A) ou V (A) designe la mesure de Lebesgue de A et Cnest une constante explicite puisque Cn realise lrsquoegalite dans lrsquoinegalite prceedentesi A est une boule

Les demonstrations reposent sur des procedes de symetrisation On etudiera quelquesapplications en analyse et en theorie geometrique de la mesure

Prerequis

Theorie de la mesure et Calcul differentiel de L3

11

Bibliographie

Lawrence Craig Evans Ronald F Gariepy (2015) Measure theory and fine propertiesof functions Revised edition CRC Press

16 Jeux stochastiques application au jeu duldquoQui est-ce rdquo

Dans un jeu stochastique les joueurs agissent sur lrsquoenvironnement dans des buts diffe-rents et possiblement contradictoires Crsquoest le cas particulier des jeux a somme nulle pourlesquels un gain pour un joueur se traduit par une perte pour les autres Les principalesquestions en theorie des jeux sont lrsquoexistence drsquoune strategie optimale (argument de com-pacite) et la valeur du gain pour un joueur tres patient (grand nombre de repetitions)sous la strategie optimale

Le but de ce TER est drsquoetudier le cadre des jeux stochastiques tel que presente dans lesnotes de cours de Laraki etou le livre de Sorin et lrsquoapplication de cette theorie a lastrategie optimale pour le jeu du ldquoQui est-ce rdquo

Prerequis

Probabilites discretes

Bibliographie

Rida Laraki (2006) Jeux Stochastiques Disponible a lrsquoadresse wwwmathpolytechniquefrxupsxups06-04pdf

Sylvain Sorin (2002) A first course on zero-sum repeated games Chapitres 1 et 5

Mihai Nica (2016) Optimal Strategy in ldquoGuess Who rdquo Beyond Binary Search PreprintarXiv150903327[mathPR]

17 Lois de reciprocite

Il est connu que pour p nombre premier impair qui ne divise pas lrsquoentier a la congruence

x2 equiv a mod p admet une solution si et seulement si a(pminus1)

2 equiv 1 mod p Ceci srsquoexprimeen termes drsquoun caractere (crsquoest-a-dire un morphisme dans Ctimes) drsquoordre 2 du groupe Ftimesp le symbole de Legendre Inversant la question la loi de reciprocite quadratique permetde savoir a etant fixe pour quels premiers p la congruence x2 equiv a mod p admet unesolution Cette loi fut drsquoabord formulee par Euler et Legendre puis Gauss en donna lapremiere preuve en 1801 la baptisant le theoreme drsquoor

Cette loi a par la suite ete tres largement generalisee par etapes successives SuivantGauss et Eisenstein qui introduirsient a cet effet les anneaux drsquoentiers euclidiens Z[i]et Z[j] on etudiera ici les lois de reciprocite cubique et biquadratique la consideration

12

des carres modulo un nombre premier y fait place a celle des cubes puis des puissancesquatriemes modulo un irreductible de ces anneaux et on definit les generalisationsadequates du symbole de Legendre

Plusieurs preuves de ces trois lois de reciprocite seront proposees on etudiera a ceteffet les sommes de Gauss puis les sommes de Jacobi associees a des caracteres sur FpOn verra des applications arithmetiques de ces sommes notamment pour compter lessolutions drsquoequations polynomiales sur Fp

Prerequis

Anneaux et corps du cours de M1 du premier semestre (structures quotients)

Bibliographie

Kenneth F Ireland Michael Rosen (1990) A classical introduction to modern numbertheory Springer second edition (chapitres 6 8 et 9)


Il srsquoagit de detailler les preuves et de proceder a quelques generalisations faciles deresultats de lrsquoarticle en reference

En utilisant la loi Zeta lrsquoauteur fournit plusieurs jolies demonstrations de resultats clas-siques A titre drsquoexemple

1 Pour s gt 11

ζ(s)=

prodp premier

(1minus pminuss) (un resultat du a Euler)

2 On tire k gt 2 entiers dans lrsquoensemble 1 2 n et on note pn(k) la probabilite queces entiers soient premiers entre eux Alors pn(2)rarr 6π2 lorsque nrarr +infin (un resultatdu a Dirichlet) Plus generalement pn(k)rarr 1ζ(k) quand nrarr +infin

3 Une generalisation du resultat de 2 si Xn et Yn sont deux variables aleatoiresindependantes de loi uniforme sur 1 2 n alors pgcd(Xn Yn) converge en loi versla loi Zeta de parametre 2

4 Soient Xn et Yn deux variables aleatoires independantes de loi uniforme sur lrsquoensembledes entiers de Gauss de partie imaginaire non nulle et de norme au plus n2 et Zn leplus grand diviseur commun de Xn et Yn dans lrsquoanneau des entiers de Gauss En 1989George E Collins et Jeremy R Johnson ont demontre que

limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

13

Bibliographie

Olivier Garet (2015) Les lois Zeta pour lrsquoarithmetique Quadrature 96 1-20 PreprintHAL hal-01277715


Pour garantir lrsquoequite un joueur doit savoir bien melanger un paquet de cartes en lebattant alors qursquoun magicien doit savoir battre un paquet de cartes sans le melangerApres avoir modelise mathematiquement lrsquooperation ldquobattage drsquoun paquet de cartesrdquo lesujet du TER pourra evoluer au gre des envies de lrsquoetudiant Voici des exemples possibles

mdash Les melanges parfaits (combinatoire) recherche drsquoinvariants utiles pour faire untour de magie par exemple

mdash Les ldquobonsrdquo melanges (probabilites) qursquoest-ce qursquoun jeu bien melange combien debattages faut-il executer pour en obtenir un

Prerequis

Probabilites de L3

Bibliographie

Aime Lachal (2010) Melanges parfaits de cartes (I) In-shuffles et out-shuffles Quadra-ture 76 13-25 Preprint HAL hal-00864428

Aime Lachal (2010) Melanges parfaits de cartes (II) Melanges de Monge Quadrature77 23-29 Preprint HAL hal-00864433

Djalil Chafaı Florent Malrieu (2018) Recueil de Modeles Aleatoires Preprint HAL hal-

01897577v3

20 Methode de Coppersmith et applications cryptogra-phiques

Etant donne un polynome P isin Z[X] il est facile de trouver ses racines modulo unnombre premier p crsquoest-a-dire les entiers x pour lesquels P (x) equiv 0 [p] Mais si N est unnombre compose trouver les racines de P modulo N revient en general a factoriser N ce qui est un probleme difficile lorsque N est grand

En 1996 Don Coppersmith a donne un algorithme permettant de determiner les laquo pe-tites raquo racines de P modulo N crsquoest-a-dire les entiers x isin Z verifiant P (x) equiv 0 [N ]et |x| lt N1deg(P ) Cet algorithme permet drsquoattaquer certains usages du protocole dechiffrement RSA il a aussi rendu possible une attaque sur des centaines de cles RSA

14

Un outil fondamental de la methode de Coppersmith est la reduction de reseaux eucli-diens Cette reduction consiste essentiellement a trouver dans un sous-groupe additif Γde Zn donne par une famille de generateurs des petits vecteurs non nuls (pour une normeusuelle) Trouver le plus court vecteur non nul de Γ est un probleme difficile quand nest grand mais pour la methode de Coppersmith on a seulement besoin de trouver unvecteur laquo suffisamment court raquo ce qui peut se faire avec lrsquoalgorithme LLL de reductionde reseaux

Bibliographie

Don Coppersmith (1996) Finding a small root of a univariate modular equation in Ad-vances in Cryptography ndash EUROCRYPTrsquo96 vol 1070 of Lecture Notes in Comput SciSpringer 155ndash165

Daniel J Bernstein et al (2013) Factoring RSA keys from certified smart cards Cop-persmith in the wild in Advances in Cryptography ndash ASIACRYPT 2013 vol 8270 of Lec-ture Notes in Comput Sci Springer 341ndash360 Cryptology ePrint disponible a lrsquoadresseiacr2013599

Arjen K Lenstra Hendrik W Lenstra Laszlo Lovasz (1982) Factoring polynomials withrational coefficients Mathematische Annalen vol 261 (4) 515ndash534 Disponible sur le sitede Hendrik W Lenstra wwwmathleidenunivnl~hwl


La metrique de Schwarzschild decrit des trous noirs a symetrie spherique Crsquoest unesolution exacte des equations drsquoEinstein dans le vide Un bon nombre de predictionsde la relativite generale est base sur une etude detaillee de cette metrique Pendantce TER lrsquoetudiant(e) devra drsquoabord apprendre les bases de la geometrie lorentzienneOn examinera ensuite plus en detail la metrique de Schwarzschild On comprendra enparticulier la notion de trou noir et lrsquoexistence drsquoune sphere de photons qui est une spheresur laquelle des photons peuvent tourner sans aller a lrsquoinfini

Prerequis

Le cours de M1 de geometrie differentielle

Bibliographie

Robert M Wald (1984) General Relativity University of Chicago Press

Barrett OrsquoNeill (1983) Semi-Riemannian Geometry With applications to relativity Pureand Applied Mathematics volume 103 Academic Press

15


On propose de lire et de comprendre la preuve du theoreme de Sussmann

On se donne k champs de vecteurs sur une variete connexe M Le theoreme de Sussmanndemontre en 1973 etablit que lrsquoorbite de tout point de M crsquoest-a-dire lrsquoensemble despoints que lrsquoon peut obtenir a partir de ce point en integrant alternativement ces champsde vecteurs en temps positifs ou negatifs est une sous-variete immergee de M

Ce resultat permet de retrouver le theoreme de Chow-Rashevskii obtenu en 1938-1939qui sous des hypotheses locales en chaque point de la variete assure que lrsquoorbite dechaque point est la variete toute entiere

Les theoremes de Sussmann et de Chow-Rashevskii sont fondamentaux en theorie ducontrole ou il srsquoagit de repondre a la question dite de la controlabilite drsquoun systemedonne crsquoest-a-dire de la possibilite effective drsquoamener le systeme drsquoun etat a un autre

Bibliographie

Hector J Sussmann Orbits of Families of Vector Fields and Integrability of DistributionsTransactions of the American Mathematical Society Vol 180 171-188 (1973) Disponiblea lrsquoadresse wwwamsorgjournalstran1973-180-00S0002-9947-1973-0321133-2


Lrsquoespace vectoriel Rn admet une structure drsquoalgebre a division seulement pour n =1 2 4 8 (reels complexes quaternions octonions) Ce fait algebrique est lie a des pro-prietes du fibre tangent de la sphere qui est trivial seulement pour les spheres de dimen-sion 0 1 3 ou 7 On est ainsi ramene a un probleme purement topologique resolu a lafin des annees 50 par John Willard Milnor et Raoul Bott et par John Frank Adams Lademonstration repose sur plusieurs aspects de la theorie des fibres vectoriels K-theorietopologique et classes caracteristiques

Ce TER sera lrsquooccasion de se familiariser avec les notions de varietes fibres vectorielscohomologie etc et ne necessite pas de prerequis particulier outre ceux mentionnesci-dessous

Prerequis

Algebre et Topologie de L3A

Bibliographie

Allen Hatcher Vector bundles and K-theory notes de cours non publiees disponibles a

16

lrsquoadresse pimathcornelledu~hatcherVBKTVBpagehtml

Raoul Bott John Milnor (1958) On the parallelizability of the spheres Bull AmerMath Soc 64 87-89

John Frank Adams (1958) On the nonexistence of elements of Hopf invariant one BullAmer Math Soc64 279-282


Le modele des dimeres est un modele de mecanique statistique de nature combinatoirerelie a la fois a de laquo vrais raquo modeles physiques (par exemple le modele drsquoIsing qui expliquela stabilite du champ magnetique cree par un aimant si la temperature nrsquoest pas tropelevee) et a des questions purement mathematiques

Le modele est defini de la maniere suivante etant donne un graphe G = (VE) (ou V estlrsquoensemble des sommets de G et E lrsquoensemble de ses aretes) une configuration de dimeressur G est une collection E drsquoaretes telle que chaque v isin V est lrsquoextremite drsquoexactementune arete dans E Dans le cas ou G est une partie du reseau carre en dimension 2 on peutvoir une telle configuration comme une collection de laquo dominos raquo (des rectangles de taille1times2 ou 2times1) disjoints qui recouvrent G On cherche alors a etudier les proprietes drsquounetelle configuration choisie aleatoirement uniformement parmi toutes les configurationsde dimeres sur G

Le TER consistera a etudier quelques unes des questions naturelles liees au modele

mdash Combien y a-t-il de configurations de dimeres Dans le cas general il nrsquoy a pasde formule exacte mais par exemple si G est planaire ce nombre peut etre ecritcomme un determinant grace au laquo matrix-tree theorem raquo

mdash De maniere reliee si G est un rectangle de taille k times n avec k petit on peutobtenir une relation de recurrence par la methode des matrices de transfert qui ade nombreuses applications en physique statistique

mdash A quoi ressemble un pavage par dominos laquo typique raquo dans une grande region duplan La reponse est spectaculaire et fait apparaıtre deux regions lrsquoune ou laconfiguration est laquo vraiment aleatoire raquo et lrsquoautre ou elle est deterministe ces re-gions etant separees par un laquo cercle arctique raquo Cette direction est plus ambitieusemais des resultats partiels sont tout a fait accessibles dans le cadre drsquoun TER etle modele est amusant a simuler

Prerequis

Notions de base de probabilites eventuellement un peu de combinatoire enumerativemais cela peut constituer une partie du travail de TER

17

Bibliographie

Richard Kenyon (2003) An introduction to the dimer model Preprint arXivmath

0310326[mathCO]

25 Periode trois implique chaos et theoreme de Sharkov-sky

Dans ce TER nous considerons des systemes dynamiques drsquoapparence tres simple desrecurrences de la forme

xn+1 = f(xn)

ou f est une application continue drsquoun intervalle ferme de la droite reelle dans lui-memeet nous nous poserons la question toute aussi simple quelles sont les periodes possiblesdes cycles de ce systeme dynamique

Un resultat tres etonnant de Tien-Yien Li et James A Yorke affirme que si un tel systemepossede un point periodique drsquoordre trois alors il possede des points periodiques detout ordre Nous debuterons le TER avec la demonstration de ce resultat Nous nousattaquerons ensuite a la demonstration (partielle) drsquoune generalisation de ce resultat ilexiste un ordre total dit ordre de Sharkovsky sur lrsquoensemble des entiers positifs tel quesi un systeme de cette forme possede un point periodique drsquoordre m alors il possede unpoint periodique drsquoordre n pour tout n plus grand que m

Bibliographie

Tien-Yien Li James A Yorke (1975) Period three implies chaos The American Mathe-matical Monthly volume 82 85-92

Veniamin L Smirnov Juan J Tolosa (2017) The Sharkovsky Theorem Preprint arXiv170207964[mathDS]


Un cercle dans la sphere de dimension 2 aussi tordu et peu regulier soit-il separe toujoursla sphere en deux composantes connexes homeomorphes a des disques La generalisationen dimension 3 est fausse James Waddell Alexander decouvre en 1924 une sphere dedimension 2 qui separe la sphere de dimension 3 en une boule et une region C nonhomeomorphe a la boule Autre fait surprenant decouvert par R H Bing en 1952 sion considere deux copies de C recollees sur leur bord commun on obtient a nouveaula sphere de dimension 3 Lrsquoadherence de la region C est un objet assez singulier Si onsuppose en revanche que crsquoest une variete Barry Mazur et Morton Brown ont tous deuxdemontre en 1959 que C doit etre une boule

18

Le TER tournera autour de ces objets topologiques amusants Ce sera lrsquooccasion drsquoap-prendre un peu de topologie des varietes avec des constructions concretes Pas de prere-quis particulier outre ceux mentionnes ci-dessous mais un gout pour la topologie

Prerequis

Topologie de L3A et Geometrie differentielle et dynamique de M1

Bibliographie

Andy Putman The generalized Schoenflies theorem notes de cours non publiees dispo-nibles a lrsquoadresse www3ndedu~andypnotesSchoenfliespdf

James Waddell Alexander (1924) An Example of a Simply Connected Surface Boundinga Region which is not Simply Connected PNAS vol 10 n1 8-10

R H Bing (1952) A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solidhorned spheres Ann of Math (2) 56 354-362

Morton Brown (1960) A proof of the generalized Schoenflies theorem Bull Amer MathSoc 66 74-76

Barry Mazur (1959) On embeddings of spheres Bull Amer Math Soc 65 59-65


Soit q Rrarr R une fonction continue et periodique de periode T gt 0 Lrsquoequation de Hillassociee a q est lrsquoequation differentielle

yprimeprime + q(t) y = 0

Par exemple lrsquoorbite de la Lune autour de la Terre est decrite par une equation de Hill

Soient y1 et y2 les solutions elementaires de lrsquoequation de Hill definies par les conditionsinitiales y1(0) = 1 yprime1(0) = 0 et y2(0) = 0 yprime2(0) = 1 Soient u1 et u2 les deux racines(possiblement egales) du polynome du second degre u2 minus (y1(T ) + yprime2(T ))u+ 1

Le theoreme de Floquet pour lrsquoequation de Hill donne les resultats suivants

1 Si u1 6= u2 il existe deux solutions indacuteependantes z1 et z2 de lrsquoequation de Hilltelles que pour tout t isin R

z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)

2 Si u1 = u2 alors u1 = u2 = plusmn1 et il existe deux solutions independantes z1 et z2 delrsquoequation de Hill telles que z1 est T -periodique si u1 = u2 = 1 et 2T -periodiquesi u1 = u2 = minus1

19

Theoreme de Floquet (1883) Soient A isin C(RMn(C)) periodique de periode T gt 0et Φ(t) une matrice fondamentale du systeme yprime = A(t) y Il existe P isin C(R GLn(C))T -periodique et B isinMn(C) constante telles que

Φ(t) = P (t) etB (forme normale de Floquet)

De plus si on note λk les valeurs propres de B et mk leur multiplicite pour 1 6 k 6 pou p est le nombre de valeurs propres distinctes de B alors les solutions du systemeyprime = A(t) y sont de la forme

y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0

ck` eλk t tl νk`(t)

ou les νk` sont des fonctions T -periodiques et les ck` sont des constantes complexes

Le theoreme de Floquet caracterise le cas drsquoexistence de solutions periodiques et il permetdrsquoen etudier la stabilite

On srsquointeressera aussi au theoreme de Massera et au theoreme de Reissig sur les solutionsperiodiques

Bibliographie

Florent Berthelin (2017) Equations differentielles Cassini

Stephane Gonnord Nicolas Tosel (1998) Themes drsquoanalyse pour lrsquoAgregation Calculdifferentiel Ellipses

Herve Reinhard (1992) Equations differentielles Fondements et applications Dunod


Lrsquohomme a-t-il reellement marche sur la lune Le changement climatique est-il une in-vention destinee a faire peur Existe-t-il une conspiration pour nous imposer des vaccinsinutiles Existe-t-il un remede cache contre le cancer Voici quatre exemples classiquescites pour presenter la theorie du complot Mais comme disait Jerry Fletcher laquo Un boncomplot est un complot qursquoon ne peut pas prouver raquo et il y a plusieurs possibilites pourqursquoun complot soit decouvert comme le nombre de conspirateurs impliques la quantitede temps qui a passe et la probabilite drsquoun defaut intrinseque du complot

Le but de ce TER est drsquoetudier lrsquoarticle donne en reference qui prend en compte cestrois facteurs afin de modeliser la probabilite qursquoun complot soit decouvert dans le tempsLrsquoetudiantmiddote devra reprendre les calculs de lrsquoarticle et etudier les critiques apportees parcertainmiddotemiddots de ses lecteurmiddottricemiddots

20

Bibliographie

David Robert Grimes (2016) On the viability of conspiratorial beliefs PLOS Onee0147905 Disponible a lrsquoadresse journalsplosorgplosonearticleid=101371journalpone0147905


Lrsquoobjet de ce TER est la lecture de lrsquoarticle en reference Lrsquoidee generale est de com-prendre etant donnee une famille de champs de vecteurs que lrsquoon peut emprunter (commeon emprunte une route) ou on peut aller dans lrsquoespace que lrsquoon considere Ici les espacesambiants ont beaucoup de structure puisqursquoil srsquoagit de groupes de Lie et les champs devecteurs sont des champs de vecteurs invariants a droite ou a gauche

Il srsquoagira de decouvrir les objets introduits (groupes de Lie notions de controlabilite)de comprendre les resultats et les preuves et drsquoen faire une restitution simplifiee (doncmoins detaillee) que ce soit a lrsquoecrit comme a lrsquooral

Bibliographie

Velimir Jurdjevic Ivan Kupka (1981) Control systems on semi-simple Lie groups andtheir homogeneous spaces Annales de lrsquoInstitut Fourier 31 no 4 151-179 Disponible alrsquoadresse wwwnumdamorgarticleAIF_1981__31_4_151_0

21

Autour du theacuteoregraveme de de Branges

Autour du theacuteoregraveme de la repreacutesentation conforme de Riemann

Bases de Groumlbner et algegravebres de Fomin-Kirillov

Bases de Groumlbner et algegravebres de Fomin-Kirillov duales

Biais de publication

Cadran solaire digital

Codes pour la meacutetrique du rang

Comment croissent les groupes

Eacutequation des ondes

Factorisation de polynocircmes agrave coefficients rationnels

Fonctions maximales de Hardy-Littlewood

Fonctions zecircta dIhara sur des graphes et des groupes

Geacuteomeacutetrie hyperbolique groupes fuchsiens

Geacuteomeacutetrie spheacuterique caracteacuteristique dEuler et homologie simplicielle

Ineacutegaliteacutes isodiameacutetriques et isopeacuterimeacutetriques

Jeux stochastiques application au jeu du ``Qui est-ce

Lois de reacuteciprociteacute

Lois Zecircta pour larithmeacutetique

Meacutelanges de cartes

Meacutethode de Coppersmith et applications cryptographiques

Meacutetrique de Schwarzschild

Orbites de familles de champs de vecteurs

Paralleacutelisabiliteacute des sphegraveres

Pavages par dominos et modegravele des dimegraveres

Peacuteriode trois implique chaos et theacuteoregraveme de Sharkovsky

Problegraveme de Schoenflies

Theacuteorie de Floquet

Theacuteorie du complot

Voyage sur les groupes de Lie


En 1916 Ludwig Bieberbach demontre que si une fonction analytique z 7rarr z + a2z2 +

a3z3 + middot middot middot est injective sur le disque unite D alors |a2| 6 2 De plus Bieberbach conjec-

ture que |an| 6 n pour tout n gt 2 et que toutes ces inegalites sont strictes a part pourles rotations de la fonction de Koebe k definie par k(z) = z

(1minusz)2 Cette conjecture

demontree par Louis de Branges en 1984 permet de relier la structure analytique et lecomportement geometrique drsquoune classe de fonctions a savoir les fonctions univalentessur D (crsquoest-a-dire definies et injectives sur D)

La preuve du theoreme de de Branges est hors de portee drsquoun travail de TER Par conse-quent apres srsquoetre familiarise avec le sujet par quelques calculs explicites on srsquointeresseradans un premier temps a la preuve originelle par Bieberbach que |a2| 6 2 basee sur letheoreme de lrsquoaire et a quelques consequences de ce resultat comme le theoreme du quartde Koebe et le theoreme de la distorsion

Dans un second temps on se tournera vers la preuve que |an| lt en pour tout n duea John Edensor Littlewood en 1925 et vers la preuve de la conjecture de Bieberbachquand tous les coefficients an sont reels due a Jean Dieudonne en 1931 Puis si le tempsle permet on abordera la preuve que |a3| 6 3 due a Charles (Karl) Loewner en 1923 Lademonstration de ce dernier resultat est basee sur une equation drsquoevolution introduitepar Loewner a cet effet et portant son nom depuis utilisee plus tard par de Brangesdans sa preuve de la conjecture complete et reutilisee depuis le debut des annees 2000par Oded Schramm Greg Lawler Wendelin Werner et drsquoautres pour decrire la limitedrsquoechelle de divers modeles probabilistes sur des reseaux planaires issus de la mecaniquestatistique

Prerequis


Bibliographie

Conjecture de Bieberbach page Wikipedia frwikipediaorgwikiConjecture_de_Bieberbach

Jacob Korevaar (1986) Ludwig Bieberbachrsquos Conjecture and Its Proof by Louis deBranges The American Mathematical Monthly 93 n7 505-514 Disponible a lrsquoadresse wwwmaaorgprogramsmaa-awardswriting-awardsludwig-bieberbachs-

conjecture-and-its-proof-by-louis-de-branges

Terence Tao (2018) 246C Notes 3 Univalent functions the Loewner equation and theBieberbach conjecture Disponible a lrsquoadresse terrytaowordpresscom20180502246c-notes-3-univalent-functions-the-

loewner-equation-and-the-bieberbach-conjecture

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Prerequis


Bibliographie








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Prerequis


Bibliographie








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AECF



M(f)(x) = supRgt0

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micro(B(xR))

intB(xR)

|f(y)|dmicro(y)

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ζ(s) =infinsumn=1

1

ns=

prodp premier

(1minus 1

p

)minus1




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1 Pour s gt 11

ζ(s)=

prodp premier





limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

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Bibliographie






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Probabilites de L3

Bibliographie




01897577v3




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Bibliographie






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0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





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AECF



M(f)(x) = supRgt0

1

micro(B(xR))

intB(xR)

|f(y)|dmicro(y)

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ζ(s) =infinsumn=1

1

ns=

prodp premier

(1minus 1

p

)minus1




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1 Pour s gt 11

ζ(s)=

prodp premier





limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

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Probabilites de L3

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01897577v3




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0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





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AECF



M(f)(x) = supRgt0

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micro(B(xR))

intB(xR)

|f(y)|dmicro(y)

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ζ(s) =infinsumn=1

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1 Pour s gt 11

ζ(s)=

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limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

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Probabilites de L3

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xn+1 = f(xn)



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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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M(f)(x) = supRgt0

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|f(y)|dmicro(y)

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ζ(s) =infinsumn=1

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1 Pour s gt 11

ζ(s)=

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limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

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ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

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Probabilites de L3

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xn+1 = f(xn)



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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





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M(f)(x) = supRgt0

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intB(xR)

|f(y)|dmicro(y)

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ζ(s) =infinsumn=1

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1 Pour s gt 11

ζ(s)=

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1 Pour s gt 11

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P (Zn = 1) =1

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ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

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Bibliographie




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0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





Bibliographie







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M(f)(x) = supRgt0

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micro(B(xR))

intB(xR)

|f(y)|dmicro(y)

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ζ(s) =infinsumn=1

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1 Pour s gt 11

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limnrarr+infin

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ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

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Probabilites de L3

Bibliographie




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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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1 Pour s gt 11

ζ(s)=

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limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

13

Bibliographie






Prerequis

Probabilites de L3

Bibliographie




01897577v3




14


Bibliographie






Prerequis


Bibliographie



15






Bibliographie





Prerequis


Bibliographie


16











Prerequis


17

Bibliographie


0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



Bibliographie





18


Prerequis


Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


19




y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





Bibliographie







20

Bibliographie





Bibliographie


21

































Bibliographie





Bibliographie


10




Bibliographie








Prerequis


11

Bibliographie





Prerequis


Bibliographie









12



Prerequis


Bibliographie





1 Pour s gt 11

ζ(s)=

prodp premier





limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

13

Bibliographie






Prerequis

Probabilites de L3

Bibliographie




01897577v3




14


Bibliographie






Prerequis


Bibliographie



15






Bibliographie





Prerequis


Bibliographie


16











Prerequis


17

Bibliographie


0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



Bibliographie





18


Prerequis


Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


19




y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





Bibliographie







20

Bibliographie





Bibliographie


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Bibliographie








Prerequis


11

Bibliographie





Prerequis


Bibliographie









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Prerequis


Bibliographie





1 Pour s gt 11

ζ(s)=

prodp premier





limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

13

Bibliographie






Prerequis

Probabilites de L3

Bibliographie




01897577v3




14


Bibliographie






Prerequis


Bibliographie



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Bibliographie





Prerequis


Bibliographie


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Prerequis


17

Bibliographie


0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



Bibliographie





18


Prerequis


Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





Bibliographie







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Bibliographie





Prerequis


Bibliographie









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Prerequis


Bibliographie





1 Pour s gt 11

ζ(s)=

prodp premier





limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

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Bibliographie






Prerequis

Probabilites de L3

Bibliographie




01897577v3




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Prerequis


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Prerequis


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Prerequis


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0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



Bibliographie





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Prerequis


Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





Bibliographie







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1 Pour s gt 11

ζ(s)=

prodp premier





limnrarr+infin

P (Zn = 1) =1

ζ(2)β(2)

ou pour tout s gt 0

β(s) =+infinsumn=0

(minus1)n

(2n+ 1)s

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Bibliographie






Prerequis

Probabilites de L3

Bibliographie




01897577v3




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Prerequis


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Prerequis


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0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



Bibliographie





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Prerequis


Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





Bibliographie







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Probabilites de L3

Bibliographie




01897577v3




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Prerequis


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Prerequis


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0310326[mathCO]



xn+1 = f(xn)



Bibliographie





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Prerequis


Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





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xn+1 = f(xn)



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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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psumk=1

mkminus1sum`=0





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xn+1 = f(xn)



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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





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xn+1 = f(xn)



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Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





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xn+1 = f(xn)



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Prerequis


Bibliographie













z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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y(t) =

psumk=1

mkminus1sum`=0





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z1(t+ T ) = u1y1(t) et z2(t+ T ) = u2y2(t)


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psumk=1

mkminus1sum`=0





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Sujets de TERM1maths/fichiers/... · 2019-11-26 · Steven G. Krantz (2006), Geometric Function...

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