1

SUITES

A. Définition Une suite d’éléments d’un ensemble E est une application u d’une partie D de ¥ dans E On appelle suite réelle toute application u d’une partie D de ¥ dans E ¡ On appelle suite complexe toute application u d’une partie D de ¥ dans E £ Notations :

a) Si n D∈ , l’image de n par u c’est à dire u n est notée nu b) On note la suite n n Du ou simplement u. c) Le terme nu est appelé terme général de la suite n n Du

Cas courants : Ø Si D = ¥ la suite est notée ( )n nu ∈¥ ou ( ) 0n nu ≥ .

L’ensemble formé de telles suites est noté ¥¡ Ø Si *D = ¥ la suite est notée ( ) *n nu ∈¥ ou ( ) 1n nu ≥ .

B. Modes de génération d’une suite

1) Mode explicite : Chaque terme de la suite n n Du est donné explicitement en fonction de n : , nn D u f n où f est une fonction numérique à une variable réelle définie sur un intervalle I contenant D ( I D ) Exemple :

2 1nn ,u n n f n¥ , où 2 1f : x x xa

2) Mode récurrent

La suite n n Du est définie par la donnée de ces q premiers termes et d’une relation de la forme

( )1 1, ,...,n q n n n qu f u u u+ + + −= où qest un entier naturel non nul Exemples :

Soit la suite n nu ¥ définie par 0

1

22 1n n

uu u

, on a 1n nu f u avec 2 1f : x xa

Soit la suite n nf ¥ définie par 0 1

2 1

0 1

n n n

f , fn , f f f

¥ (suite de Fibonacci)

3) Mode implicite

Le terme nu est l’unique solution d’une équation du type 0nf x

2

Exemple : Montrer que, pour tout entier naturel n , l’équation lnx x n possède une unique solution nu dans 0, La fonction nf : x x ln x na est continue et strictement croissante sur 0, , elle réalise une bijection de 0, sur ¡ Comme 0 ¡ , 0 a un unique antécédent par nf noté nu dans 0, :l’équation lnx x n+ = possède une unique solution nu dans 0, Remarque : Le mode explicite est le plus pratique pour avoir rapidement nu en fonction de n On essaie donc de passer du mode récurrent (ou implicite) au mode explicite Il existe des suites pour lesquelles ce « passage » est facile

C. Suites usuelles 1) Suites arithmétiques

Une suite arithmétique de raison r £ est une suite n n pu vérifiant la relation de récurrence :1, nnn p u u r+∀ ≥ = +

Une suite arithmétique de premier terme pu et de raison r vérifie les résultats suivants :

n pn p,u u n p r (Formule explicite) 1

2

np n

kk p

n p u un p , u

2) Suites géométriques (suites récurrentes linéaires du premier ordre)

Une suite géométrique de raison q £ est une suite n n pu vérifiant la relation de récurrence :1, nnn p u qu+∀ ≥ =

Une suite géométrique de premier terme pu et de raison q vérifie les résultats suivants :

n pn pn p,u q u

(Formule explicite)

1

si 1 1

1si 11

nn p

kpk p

q ,n pn p, u qq ,u

q

3) Suites arithmético-géométriques

Une suite réelle n n pu est arithmético-géométrique s’il existe deux complexes 0,1a et 0b tels que 1, nnn p u au b+∀ ≥ = + Détermination d’une formule explicite : En notant l’unique solution de l’équation x ax b (appelé point fixe de la suite)

1 1n n n na b

n p,u au b n p,u au aα α

α α

3

1 1n n n nn p,u au b n p,u a uα α La suite nv définie par n nn p ,v u α est donc une suite géométrique de raison On a donc :

n n

n p n pn p n pv u

n p ,v a v n p ,u a uα

α α

Il faut bien sûr connaître la méthode Exemple : Soit la suite nu définie par 0 5u et 1 3 4nnn ,u u¥ Donner, pour tout entier naturel n l’expression de nu en fonction de n

(Réponse : 13 2nnu )

4) Suites récurrentes linéaires du second ordre Une suite complexe n n pu est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 s’il existe deux complexes a etb 0b tels que :

2 1 nn nn p ,u a u b u

Détermination d’une formule explicite : On appelle équation caractéristique de la suite nu récurrente linéaire d’ordre 2 l’équation

2 0x ax b Soit ∆ le discriminant de cette équation Deux cas se présentent

• Si 0∆ , l’équation admet deux soutions distinctes 1r et 2r , alors 2 1 2, , ,

n nnn u r r £ ¥

• Si 0∆ , l’équation caractéristique admet solution unique 1r , alors

2 1, , ,n

nn u n r £ ¥

Dans les deux cas on détermine les complexes et à l’aide des deux premiers termes de la suite Démonstration : on se place dans le cas où la suite nu est définie sur ¥ Travail préliminaire : Soit r un nombre complexe solution de l’équation caractéristique 2 0x ax b Soit la suite nv définie par : 1, n n nn v u r u ¥ La suite nv est une suite géométrique de raison a r : en effet, pour tout entier naturel n , on a :

1 2 1 1n n n n n n n nv u ru a r u bu a r v ru bu

4

21n n n nv a r v b ar r u a r v Cas où l’équation caractéristique 2 0x ax b admet deux solutions distinctes 1r et 2r On a 1 2r r a Considérons les suites ny et nz définies par : 1 1, n n nn y u r u ¥ et 1 2, n n nn z u r u ¥ Le travail préliminaire nous permet d’affirmer que la suite ny est une suite géométrique de raison

1 2a r r et que la suite nz est une suite géométrique de raison 2 1a r r On a donc 1 1 1 1 0 2, 1

nn nn u r u u ru r ¥ et 1 2 1 2 0 1, 2

nn nn u r u u r u r ¥

En effectuant 2 1 , on obtient : 1 2 1 2 0 1 1 1 0 2,n n

nn r r u u r u r u r u r ¥

Puisque 1 2 ,r r il vient : 1 2 0 1 1 01 21 2 1 2

, n nnu r u u run u r r

r r r r

¥

Cas où l’équation caractéristique 2 0x ax b admet une seule solution 1 2ar

Considérons la suite ny définie par : 1 1, n n nn y u r u ¥ Le travail préliminaire nous permet d’affirmer que la suite ny est une suite géométrique de raison

1 2 2a aa r a

On a donc : 1 1 1 0 1,n

n nn u r u u ru r ¥ soit 1 1 1,n

n nn u ru r ¥ avec 1 1 0u ru

On montre alors par récurrence que : 11 0 1 1 01

, n n nnn u r u n r r u nr

¥

Remarquons que 1 02ar puisque 0 ne peut être solution de l’équation caractéristique car 0b

Cas réel pour les suites récurrentes linéaires du second ordre Une suite réelle n n pu est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 s’il existe deux réels a etb 0b tels que :

2 1 nn nn p ,u a u b u

Trois cas se présentent :

• Si 0∆ , l’équation admet deux solutions réelles distinctes 1r et 2r , alors

2 1 2n nnA,B , n p,u Ar Br¡

• Si 0∆ , l’équation caractéristique admet une unique solution réelle 1r , alors

2 1nnA,B , n p,u r An B¡

• Si 0∆ , l’équation caractéristique admet deux solutions complexes non réelles

conjugués distinctes *r, ¡ ¡θ , 1ir reθ et 2

ir re θ , alors

2 nnA,B , n p,u r Acos n Bsin nθ θ ¡

5

Dans les trois cas on détermine les réels A et B à l’aide des deux premiers termes de la suite Démonstration : Les deux premiers cas s’obtiennent comme dans le cas complexe

Si l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjugués distinctes *r, ¡ ¡θ ,

1ir reθ et 2

ir re θ , alors 2 n in n innA,B , n ,u Ar e Br e£ ¥ θ θ

On a :

0 1

1 1 1 2

A B u L

Ar Br u L

2 1 1L r L donne : 1 1 01 1

u ruAr r

( 1 1r r puisque 1r ¡ )

2 1 1L r L donne : 1 1 01 1

u ruB Ar r

Ainsi on a : 2n in n in n innn ,u Ar e Ar e r Re Ae¥ θ θ θ Soit finalement : 2 2n in n in nnn ,u Ar e Ar e r Re A cos n Im A sin n¥ θ θ θ θ Exemple : suite de Fibonacci

Soit la suite n nf ¥ définie par 0 1

2 1

0 1

n n n

f , fn , f f f

¥

La suite 0n nf est une suite récurrente linéaire d’ordre2 qui a pour équation caractéristique 2 1 0x x

5∆ , cette équation admet deux racines réelles distinctes 11 5

2r et 2

1 52

r

2 1 5 1 52 2

n n

nA,B , n , f A B

¡ ¥

0

1

00

11 5 1 5 112 2 5

A B B Af

AA Bf

On a donc : 1 215n n

nn , f r r ¥

Remarque :

Le réel 11 5

2r est noté Φ : c’est le nombre d’or

2

2

2 1 51 2 141 5

rr

ΦΦ

6

D. Suites bornées, monotones 1) Suites bornées

On dit que la suite( )n n Du ∈ est majorée s’il existe un réel M tel que , nn D u M∀ ∈ ≤ (M est un majorant) On dit que la suite( )n n Du ∈ est minorée s’il existe un réel m tel que , nn D u m∀ ∈ ≥ (m est un minorant) Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée. Proposition :

La suite ( )n n Du ∈ est bornée si et seulement si la suite ( )n n Du ∈ est majorée Démonstration : Première étape : supposons ( )n n Du ∈ majorée

, , nK n D u K+∃ ∈ ∀ ∈ ≤¡ , on peut écrire alors , , nK n D K u K+∃ ∈ ∀ ∈ − ≤ ≤¡

La suite( )n n Du ∈ est bornée On vient de montrer ( )( ) ( )( ) majorée bornéen n n Dn Du u ∈∈ ⇒ Deuxième étape : supposons ( )n n Du ∈ bornée Il existe deux réels m et M tels que , nn D m u M∀ ∈ ≤ ≤

Posons ( )max ,A m M= On a alors n D ,

nu M M A≤ ≤ ≤ et nu m m A− ≤ − ≤ ≤ ce qui donne nu A≥ −

Finalement n D ,n nA u A u A− ≤ ≤ ⇒ ≤

On vient de montrer ( )( ) ( )( ) bornée majoréen nu u⇒

2) Suites monotones

a) Définitions On dit que la suite ( )n n Du ∈ est croissante si 1, n nn D u u +∀ ∈ ≤ On dit que la suite ( )n n Du ∈ est décroissante si 1, n nn D u u +∀ ∈ ≥ On dit que la suite ( )n n Du ∈ est croissante à partir d’un certain rang p D∈ si 1, n nn p u u +∀ ≥ ≤ On dit que la suite ( )n n Du ∈ est décroissante à partir d’un certain rang p D∈ si 1, n nn p u u +∀ ≥ ≥ Une suite est dite monotone si cette suite est croissante ou décroissante. On dit que la suite ( )n n Du ∈ est constante si 1, n nn D u u +∀ ∈ = On dit que la suite ( )n n Du ∈ est stationnaire (ou constante à partir d’un certain rang p D∈ ) si p∃ ∈ ¥tel que 1, n nn p u u +∀ ≥ =

b) Méthodes pour étudier la monotonie d’une suite

Dans la pratique on étudie en général le signe de 1n nu u+ − pour connaître la monotonie d’une suite : Si 1n nu u+ − garde un signe constant à partir d’un certain rang, la suite u est monotone.

7

Remarques : Ø Toute suite croissante est minorée par son premier terme Ø Toute suite décroissante est majorée par son premier terme

Cas particuliers :

i. Cas des suites à termes strictement positifs à partir d’un certain rang p La suite ( )n n Du ∈ est croissante à partir d’un certain rang p D∈ si et seulement si 1, 1n

n

un p

u

La suite ( )n n Du ∈ est décroissante à partir d’un certain rang p D∈ si et seulement si 1, 1nn

un p

u

Exemple :

Soit la suite n nu ¥ définie par 2 1n

nn ,u n

¥

On a 0nn ,u ¥ comme quotient de termes strictement positifs Nous avons deux méthodes à notre disposition pour étudier la monotonie de cette suite

1

12 2 2 12 2 0

2 1 2 1 1 2

n nn n

n nnn ,u u

n n n n n n

¥ ,

OU : 1

1 2 1 2 2 12 22

nn

nn

u n nn ,u n n

¥

puisque 2 2 2 0n n

La suite est donc croissante

ii. Cas des suites de la forme ( )nu f n= où f est une fonction numérique à une variable réelle définie sur un intervalle I ⊃ D

Si f est croissante sur I alors la suite ( )n n Du ∈ est croissante Si f est décroissante sur I alors la suite ( )n n Du ∈ est décroissante (Attention les réciproques sont fausses !) En effet : 1

croissante 1 1 n n

fn n f n f n u u

1 décroissante

1 1 n nf

n n f n f n u u

Exemple :

La fonction ( ): sinf x x xπ+a n’est pas monotone sur +¡ ( ) ( )1 30 0 1 12 2

f f f = < = > =

En revanche la suite ( )n n Du ∈ de terme général ( ) ( )sinnu f n n n nπ= = + = est croissante

8

LIMITE D’UNE SUITE

A. Suites convergentes

1) Définition Une suite réelle ( )n nu ∈¥ est dite convergente s’il existe un réel L tel que :

0 00, , , ( )nn n n n u L ¥ ¥

Remarque : La définition signifie que, pour tout 0ε , tous les termes de la suite à partir d’un certain rang (ou encore tous les termes de la suite sauf un nombre fini) sont dans l’intervalle L ,Lε ε Sur la figure est noté e

Notation : On dit que L est la limite de la suite ( )n nu ∈¥ ou que la suite ( )n nu ∈¥ converge vers le réel L On notelim nn u L→+∞ = ou n nu L

Remarque :

0 0n n nn n nlim u L lim u L lim u L

Exemples : Ø Une suite ( )n nu ∈¥ constante converge vers 0u

En effet 00 0n, n , u u¥ε ε

9

Ø La suite 1

1 nn

¥ converge vers 0

Soit 0ε , 1 1 1 10 1 11 1

n nn n

εε ε

En prenant 01nε

on a pour 0n n 1 1 1 11 1

1n n

nε

ε ε ε

Une suite qui ne converge pas est dite divergente : c’est à dire la suite tend vers l’infini ou la suite n’admet pas de limite. Exemple :

La suite 1 nn ¥

est divergente

En effet supposons qu’elle converge vers un réel L En prenant 1

2ε , il existerait un entier 0n tel que pour 0n n , on ait

12n

u L

En considérant un entier pair plus grand que 0n et un entier impair plus grand que 0n , on obtiendrait 112

L et 112

L

Cela est impossible puisque l’inégalité triangulaire donne

1 1 1 1 1 1 2L L L L L L , or 1 11 1 12 2

L L

2) Proposition 1

Si une suite converge, sa limite est unique Démonstration : Supposons que la suite ( )n nu ∈¥ possède deux limites distinctes L et L' Soit 0ε , par définition, on peut trouver deux entiers 0n et 1n tels que, pour tout n ¥ ,

0 nn n u L ε , et 1 nn n u L ' ε

Par inégalité triangulaire, on obtient, en prenant3

L L'ε

, pour 0 1n max n ,n

22 0

3 3n n n nL L' L L'

L L' L u u L' L u u L' ε

On aboutit à une contradiction, donc L L'

3) Proposition 2 Toute suite convergente est bornée Démonstration : Soit une suite n nu ¥ lim Lnn u→+∞ = : 0 00, , , ( )nn n n n u L ¥ ¥

Pour 1ε , 0 0, , ( 1)nn n n n u L ¥ ¥

Ainsi, pour 0n n , 1n n nu u L L u L L L

Posons 00 1 1nK max u ,..., u , L , on a nn , u K ¥ : la suite n nu ¥ est bornée

10

ATTENTION : une suite bornée n’est pas nécessairement convergente

La suite 1 nn ¥

est bornée car 1 1 1nn , ¥ et la suite est divergente

4) Proposition 3

Si une suite n nu ¥ converge vers un réel L alors la suite n nu ¥ converge vers L En effet si n nu ¥ converge vers un réel, alors 0 00, , , ( )nn n n n u L ¥ ¥ On peut alors écrire 0 00, , , ( L )n nn n n n u L uε ε∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ − ≤ − ≤¥ ¥

Ce qui prouve que la suite n nu ¥ converge vers L ATTENTION la réciproque est fausse

La suite 1 nn

¥

converge (suite constante) mais la suite 1 nn ¥

diverge

En revanche n nu ¥ converge vers un réel 0 si et seulement si n nu ¥ converge vers 0

11

B. Suites ayant une limite infinie On dit que la suite n nu ¥ a pour limite si 0 0 nA , n , n , n n u A¡ ¥ ¥ On note alors lim nn u→+∞ = +∞

On dit que la suite n nu ¥ a pour limite si 0 0 nA , n , n , n n u A¡ ¥ ¥ On note alors lim nn u→+∞ = −∞

Exemple La suite

nn

¥ admet pour limite

En effet si A ¡ , 2n A n A

Alors en considérant l’entier 20 1n A , on a, pour tout réel A , 2 2

0 1n n n A A n A A

Exemple :

La suite 1 nn ¥

n’a pas pour limite et

En prenant 2A , il n’existe pas d’entier naturel n tel que 1 2n En prenant 2A ,il n’existe pas d’entier naturel n tel que 1 2n

Conclusion : la suite 1 nn ¥

n’est pas convergente, elle ne peut avoir pour limite ou:

la suite 1 nn ¥

n’a pas de limite

Nous verrons une autre démonstration de ce résultat plus tard Exemple hyper important : limite de nq avecq réel

si 1 0 si 11 si 1

n

n

qlim q q

q

Pour 1q , la suite nq n’a pas de limite

12

C. Opérations sur les limites Lemme :

Si deux suites nu et nv convergent vers 0 alors la suite n nu v converge vers 0 Si la suite nu converge vers 0 et si la suite nv est bornée alors la suite n nu v converge vers 0 Remarque : Le second point est très utile en exercices Démonstration :

Soit 0ε . 0 0 2nn , n , n n u¥ ¥ ε

, et 1 1 2n

n , n , n n v¥ ¥ ε

En posant 2 0 1max ,n n n , on a alors 2, n n n nn n n u v u v ¥ et donc la suite n nu v converge vers 0 La suite nv est bornée : , , nK n v K ¡ ¥ Soit 0ε

0 0 1nn , n , n n u

Kε

¥ ¥

Alors 0 11n n n nn , n n u v u v KK¥ εε

et donc la suite n nu v converge vers 0

Ø Soient deux suites nu et nv admettant une limite (finie ou infinie) alors la limite de leur somme n nu v est donnée par le tableau suivant :

Démonstration ; Dans le cas où les deux suites ont une limite finie notées respectivement L et L' n n n nu v L L' u L v L' Les suites nu L et nv L' convergent vers 0, alors la suite n nu v L L' converge vers 0 donc la suite n nu v converge vers L L'

13

Ø Soient deux suites nu et nv admettant une limite (finie ou infinie) alors la limite de leur produit n nu v est donnée par le tableau suivant :

Démonstration ; Dans le cas où les deux suites ont une limite finie notées respectivement L et L'

n n n n nu v LL' u L v L v L' La suite nu L converge vers 0 et la suite nv est bornée puisque convergente donc la suite n nu L v converge vers 0

La suite nv L' converge vers 0 et la suite L est bornée puisque convergente donc la suite nv L' L converge vers 0

Conclusion : la suite n nu v LL' converge vers 0 et donc la suite n nu v converge vers LL' Ø Soit une suite n nu ¥ qui ne s’annule pas à partir d’un certain rang et ayant une limite, alors la

limite de la suite 1

nu

est donnée par la tableau suivant :

Les deux tableaux précédents permettent de déterminer la limite de la suite nn

uv

puisque 1n n

n n

u uv v

Stabilité des inégalités par passage à la limite

Soient n nu ¥ et nv deux suites convergeant vers L et L' , et telles que n nu v à partir d’un certain rang , alors L L' Démonstration : raisonnons par l’absurde

Supposons que L L' et posons 03

L L'ε

0 0 nn , n , n n L u L¥ ¥ ε ε

14

1 1 nn , n , n n L' v L'¥ ¥ ε ε Alors, en posant 2 0 1n max n ,n , on a pour 2n n : n nu v ce qui est absurde En effet pour 2n n , L' Lε ε car

2

2 03 3

L L' L L'L' L L' L L L'ε ε ε

Ce résultat est souvent utilisé sous la forme plus simple où l’une des deux suites est constante Ainsi Si n nu ¥ est une suite convergente vers un réel L et si il existe un réel A tel que nu A à partir d’un certain rang , alors L A

Si n nu ¥ est une suite convergente vers un réel L et si il existe un réel A tel que nu A à partir d’un certain rang , alors L A Notamment la limite d’une suite convergente de signe constant à partir d’un certain rang est de même signe que la suite

15

D. Théorèmes d’existence d’une limite

1) Travail préliminaire : notion de borne supérieure, borne inférieure

Quelques rappels : La relation est une relation d’ordre total sur ¡ Soit A un sous ensemble non vide de ¡ Le réel a est le plus grand élément ou le maximum de A si a est un majorant de A et si a A Quand il existe, le maximum de A est noté max A Remarque : lorsqu’un sous ensemble de ¡ admet un maximum, alors celui-ci est unique Le réel a est le plus petit élément ou le minimum de A si a est un minorant de A et si a A Quand il existe, le minimum de A est noté min A Remarque : lorsqu’un sous ensemble de ¡ admet un minimum, alors celui-ci est unique ATTENTION : Un sous ensemble de ¡ même majoré n’admet pas nécessairement de maximum Un sous ensemble de ¡ même minoré n’admet pas nécessairement de minimum Bilan : Une partie A de ¡ possède un maximum (respectivement un minimum) si et seulement si elle possède un majorant (respectivement un minorant) qui est élément de A Notion de borne supérieure

a) Définitions Soit A un sous ensemble non vide de ¡ Si l’ensemble des majorants de A admet un plus petit élément, celui-ci est appelé la borne supérieure de A et se note sup A Si l’ensemble des minorants de A admet un plus grand élément, celui-ci est appelé la borne inférieure de A et se note inf A Remarque : En général la borne supérieure (respectivement borne inférieure) de A n’appartient pas à A, si elle appartient à A c’est le maximum (respectivement minimum)

b) Caractérisation Soit A un sous ensemble non vide de ¡

0

x A,xsup A

, x A, xα

αε α ε α

Le second point exprime le fait qu’un nombre strictement plus petit que n’est pas un majorant de A

0

x A, xinf A

, x A, xα

αε α α ε

Le second point exprime le fait qu’un nombre strictement plus grand que n’est pas un minorant de A

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c) Axiome Toute partie non vide et majorée de ¡ admet une borne supérieure Toute partie non vide et minorée de ¡ admet une borne inférieure Exemple :

Soit 11 n * *nA ; n u ; nn ¥ ¥

en notant 11 nnu n

On a 21 31 1

2 2nu ,

n

et 2 11 21 1 0

2 1 2 1nnu ,

n n

La partie A de ¡ est majorée par 32

et minorée par 1 , comme c’est une partie non vide de ¡ elle admet une borne supérieure et une borne inférieure

232

u A , 32

max A sup A

1 A , 1* nn ,u¥

2 1 1nn lim u : 0 0 2 10 12 2n, n , n n u¥ ε εε

Alors 0 2 1 1 12nn ,u¥ ε ε

Conclusion : 1 inf A mais 1 n’est pas le minimum de A

2) Théorème de la limite monotone Toute suite croissante et majorée converge Toute suite décroissante et minorée converge Démonstration : Soit n nu ¥ une suite croissante et majorée Considérons l’ensemble ,nA u n ¥ , cet ensemble est non vide et majoré : il admet une borne supérieure notée Montrons que la suite n nu ¥ converge vers Soit 0ε , il existe 0n ¥ tel que 0nu La suite étant croissante et majorée par , il vient pour 0n n

0n n nu u uα ε α α ε : la suite nu converge vers On a de plus , sup limn n nnn u u n u ¥ ¥ Remarque : Si nu est une suite décroissante et minorée alors , inf limn n nnn u u n u ¥ ¥ Une suite croissante et non majorée admet pour limite Une suite décroissante et non minorée admet pour limite Démonstration : Soit nu une suite croissante et non majorée : 00 nA , n ,u A¡ ¥

Comme la suite est croissante : 00 0 n nA , n ,n n u u A¡ ¥ soit nn lim u

17

Conséquence : Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée Une suite décroissante converge si et seulement si elle est minorée

3) Théorème d’encadrement (ou des gendarmes)

Soient trois suites nu , nv et nw Si à partir d’un certain rang on a n n nu v w et si les suites nu et nw convergent vers le même réel L , alors la suite nv converge vers L Démonstration : Il existe un entier naturel 0n tel que pour 0n n on ait n n nu v w

Soit 0ε , 1 1 nn ,n n u L¥ ε , et 2 2 nn ,n n w L¥ ε Pour 0 1 2n max n ,n ,n , nu et nw sont éléments de l’intervalle L ,Lε ε ainsi nv L ε : donc nn

lim v L

4) Théorème de comparaison

Soient deux suites nu et nv vérifiant à partir d’un certain rang n nu v Si nn

lim u

alors nnlim v

Si nnlim v

alors nnlim u

5) Théorème des suites adjacentes Définition : Deux suites nu et nv sont dites adjacentes si nu est croissante et nv est décroissante La suite n nu v converge vers 0 Théorème : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite Démonstration : Montrons que n nn ,u v¥

Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe un entier naturel p tel que p pu v

Alors pour n p , n p p nu u v v : on a n n p pu v u v , la suite n nu v convergerait vers un réel 0p pL u v , ce qui est absurde

La suite nu est croissante majorée par 0v converge vers un réel M La suite nv est décroissante minorée par 0u converge vers un réel M ' Comme 0n nn lim u v M M ' M M ' Les deux suites adjacentes convergent vers le même réel M avec , n nn u M v¥∀ ∈ ≤ ≤

18

6) Suites extraites Définition : Une suite n nv ¥ est une suite extraite ou sous suite d’une suite n nu ¥ s’il existe une application strictement croissante de ¥ dans ¥ vérifiant : n nn ,v u¥ ϕ Les suites extraites les plus utilisées sont les sous suites de la forme 2nu et 2 1nu Proposition : Soit nu une suite réelle convergeant vers un réel L , alors toute suite extraite de nu converge vers ce même réel Démonstration :

Montrons par récurrence que n , n n¥ϕ Soit P n :" n n"ϕ Initialisation : 0 ¥ϕ donc 0 0ϕ : 0P vraie Hérédité : soit n ¥ . Supposons n nϕ , montrons que 1 1n nϕ

strit.croissante

1 1n n n nϕ

ϕ ϕ , comme n nϕ , 1n n nϕ ϕ , on a 1 1n nϕ

Conclusion : n , n n¥ϕ

Soit nu qui converge vers L : 0 00 , , ,( )nn n n n u Lε ε∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ − ≤¥ ¥ ( ) ( ) ( )0 0 0 00, , , ( )nn n n n n n n u L∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ ≥ ≥ ⇒ − ≤ϕε ϕ ϕ ε¥ ¥

La suite n nuϕ ¥ converge vers L Exemple : Si la suite nu converge vers un réel L alors la suite 1nu converge vers L La suite 1 n est divergente puisque les suites 2nu et 2 1nu convergent respectivement vers1et -1 La contraposée de la proposition est souvent utilisée pour montrer qu’une suite diverge (il suffit d’exhiber deux suites extraites qui ne convergent pas vers le même réel) Toutefois on a le résultat suivant Si les deux sous suites 2nu et 2 1nu d’une suite nu convergent vers une même limite L alors la suite

nu converge vers L En effet soit 0ε Il existe un entier naturel 0n et un entier naturel 1n tels que, pour tout entier naturel n,

0 2nn n u L ε et 1 2 1nn n u L ε

Si 0 12 2 1n max n , n , on a nu L ε car soit n est pair ( 2n p avec 0p n ) , soit n est impair ( 2 1n p avec 1p n )

19

E. Brève extension aux suites complexes On appelle suite complexe toute application u d’une partie D de ¥ dans £ On peut parler d’une suite complexe convergente

Une suite complexe n n Du est dite convergente s’il existe un complexe L tel que :

{0 0mod

0 , , ,( )nule

n n D n n u Lε ε∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ − ≤¥

Remarque :

0 0n n nn n nlim u L lim u L lim u L

On peut parler d’une suite complexe bornée On dit qu’une suite complexe n n Du est bornée si la suite ( )n n Du ∈ est majorée, c’est-à-dire si

nM , n D, u M¡ Toute suite complexe convergente est bornée En revanche on ne peut parler de suite complexe croissante, décroissante, majorée, minorée On ne peut pas non plus parler, pour les suites complexes, de limite infinie Exercice : limite de la suite nq avec q complexe Si 1q , lim 0n

nq

donc la suite nq converge vers 0

Si 1q , la suite nq diverge puisque non bornée car lim nn

q

Si 1q , la suite nq converge vers 1 Si 1q et 1q , la suite nq diverge , en effet en notant nnu q , on a 1 1n nu Supposons que la suite converge vers L , 1 11 0n n qu qu L qL L q L absurde Théorème Soit une suite complexe nu et un complexe L Il est équivalent de dire 1) La suite nu converge vers L 2) Les suites réelles nRe u et nIm u convergent respectivement vers Re L et Im L

Démonstration :

1 2) ) Si la suite nu converge vers L Les inégalités

0 n n nRe u Re L Re u L u L , et 0 n n nIm u Im L Im u L u L permettent d’obtenir 2) par le théorème d’encadrement 2 1) ) est une conséquence de l’inégalité 0 n n nu L Re u Re L Im u Im L et du théorème d’encadrement

En effet quels que soient les réels a etb , 2 2 2 2a b a b a b (il suffit de comparer les

carrés 2 2a b et 2 2 2 22a b a b )

20

ANALYSE ASYMPTOTIQUE

A. Relations de comparaison : cas des suites réelles 1) Relations de domination, de négligeabilité

a) Définitions Soient u et v deux suites réelles On dit que la suiteu est négligeable devant la suitev (ou que la suite v est prépondérante devant la suiteu ) s’il existe un entier naturel 0n et une suite w , définie à partir du rang 0n , convergeant vers 0 tels que 0 , n n nn n u v w

On note alors u v o ou n nu v o (lire « petito de v ») On dit que la suiteu est dominée par la suitev s’il existe un entier naturel 0n et une suite w , définie à partir du rang 0n , bornée tels que 0 , n n nn n u v w

On note alors u O v ou n nu O v (lire « grandO de v ») Conséquence immédiate : u v u O v o (réciproque fausse !)

b) Caractérisation Soient u et v deux suites réelles Supposons que v ne s’annule pas à partir d’un certain rang, on a alors :

0nn n n nuu o v limv

n nu O v La suite nn

uv

est bornée

Démonstration : Supposons quev ne s’annule pas à partir d’un certain rang : 1 1 0nn , n n v¥ Dém 1

Supposons n nu v o , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ;u v w¥ avec 0nn lim w

Pour 0 1max ,n n n , on a 0n n nnu wv

Supposons que 0nn n

ulimv

, on pose alors pour 1n n , nnn

uwv

Par construction pour 1n n , n n nu v w avec 0nn lim w , ce qui signifie que n nu v o

Dém 2

Supposons n nu O v , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ;u v w¥ avec nw bornée

Pour 0 1max ,n n n , on a n nn

u wv

donc la suite nn

uv

est bornée

Supposons que la suite nn

uv

est bornée, on pose alors pour 1n n , nn

n

uwv

Par construction pour 1n n , n n nu v w avec nw bornée, ce qui signifie que n nu O v

21

Exemples :

Montrer que 2 21 1 1sin nn o n , o , O

n n nn

Remarques : Une suiteu converge vers 0 si et seulement si elle est négligeable devant la suite constante égale à 1, c’est-à-dire si et seulement si 1nu o Une suiteu est bornée si et seulement si elle est dominée par la suite constante égale à 1, c’est-à-dire si et seulement si 1nu O Exercice 1 : Soient et β deux réels

Donner une condition nécessaire et suffisante sur et β pour avoir n o nα β Exercice 2 :

Soit a ¡ et soit la suite n nu ¥ définie par : n

nan ,un !

¥

a) Montrer l’existence d’un entier naturel 0n tel que 1

012

n

n

un n ,

u

b) Montrer alors que !na n o

22

c) Reformulation des croissances comparées de suites

Pour tous réels ,α β avec 0β , on a

0n

lnnlim

n

α

β et

n

n

elimn

β

α

Ce qui se traduit par : lnn o nβ α et nn o eα β Remarque : on peut ajouter au vu des résultats précédents Pour tous réels et β , n o nα β α β Pour tout réel a , !na n o

Pour tout réel 1a et 0α , nn o aα car ln a nna e

d) Liens entre les relations de comparaison

Les résultats suivants ne sont que des traductions de résultats connus sur les suites bornées et les suites convergeant vers 0, ils doivent pouvoir être retrouvés rapidement : Soient a,b,u,v des suites réelles

n n n na o u a O u

n n n n n n n na O u et b O v a b O u v n n n n n n n na o u et b O v a b o u v n n n n n n n na o u et b o v a b o u v

n n n n n n na O u et b O u , a b O uλ λ ¡ , on écrit n n nO u O u O uλ n n n n n n na o u et b o u , a b o uλ λ ¡ , on écrit n n no u o u o uλ

n n n n n na O u et u O v a O v n n n n n na o u et u O v a o v n n n n n na O u et u o v a o v

n n n n n na o u et u o v a o v

23

2) Relation d’équivalence a) Définition

Soientu et v deux suites réelles On dit que la suiteu est équivalente à la suitev s’il existe un entier naturel 0n et une suite w , définie à

partir du rang 0n , convergeant vers 1 tels que 0 n n nn n ,u v w On note alors u v∼ ou n nu v∼ Remarque : Si la suiteu est équivalente à la suitev alors la suitev est équivalente à la suiteu On dit que les suitesu et v sont équivalentes En effet Si u v∼ alors il existe un entier naturel 0n et une suite w définie à partir du rang 0n , convergeant vers

1 tels que 0 n n nn n ,u v w

1 11 0 1n nn lim w , n ,n n wε ε ¥ (Soit1 1nw )

En prenant 12

ε , 0 11 02n

n max n ,n w et alors 0 11

n nn

n max n ,n v uw

Comme 1 1n n

limw

, on a v u∼

b) Caractérisation

Soientu et v deux suites réelles Supposons que v ne s’annule pas à partir d’un certain rang, on a alors :

1nn n n n

uu v limv

∼

Démonstration : Supposons quev ne s’annule pas à partir d’un certain rang : 1 1 0nn , n n v¥

Supposonsu v∼ , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ,u v w¥ avec 1nn lim w

Pour 0 1max ,n n n , on a 1n n nnu wv

Supposons que 1nn n

ulimv

, on pose alors pour 1n n , nnn

uwv

Par construction pour 1n n , n n nu v w avec 1nn lim w , ce qui signifie queu v∼

Remarque importante :

Si L est un réel non nul alors u L∼ (La suiteu converge vers L)

c) Opérations sur les équivalents La relation ∼ est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites réelles Soitu une suite réelle, on au u∼ (réflexivité) Soient u et v deux suites réelles, siu v∼ alors v u∼ (symétrie) Soient , ,u v w trois suites réelles, siu v∼ et v w∼ alors u w∼ (transitivité)

24

Soitu et v deux suites réelles, siu v∼ alors u v∼ Soient u,v,u',v' des suites réelles Siu v∼ et u' v'∼ alors u u' v v' ∼ Soient u,v,u',v' des suites réelles avec u' et v' ne s’annulant pas à partir d’un certain rang

Siu v∼ et u' v'∼ alors u vu' v'

∼

Soient u et v deux suites réelles Siu v∼ , alors pour tout entier naturel m , on a m mu v∼ Soient u et v deux suites réelles ne s’annulant pas à partir d’un certain rang Siu v∼ , alors pour tout entier relatif m , on a m mu v∼ Soient u et v deux suites réelles ne s’annulant pas à partir d’un certain rang Siu v∼ , alors pour tout réel , on a u v∼α α ATTENTION : ne pas additionner des équivalents Démonstration de quelques points :

• Supposons n nu v∼ , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ;u v t¥ avec 1nn lim t

Supposons n nv w∼ , c’est à dire 1 1 n n nn , n n ,v w z¥ avec 1nn lim z

Alors 0 1 n n n n n nn max n ,n ,u v t w t z avec 1n nn lim t z , donc u w∼

• Supposons n nu v∼ , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ;u v w¥ avec 1nn lim w

Supposons n nu ' v '∼ , c’est à dire 1 1 n n nn , n n ;u' v' w'¥ avec 1nn lim w'

Alors 0 1 n n n n n nn max n ,n ,u u' v v' w w' avec 1n nn lim w w' , donc u u' v v' ∼

d) Exemples à connaître :

Ø Si la suite u converge vers un réel l 0≠ alors nu l∼

Ø Si ( )0

dk

n kk

u f n a n=

= = ∑ où f est une fonction polynômiale distincte de la fonction nulle de degré d alors dn du a n∼

Ø Siε est une suite convergeant vers 0 alors ( )ln 1 n nε ε+ ∼ ; 1n neε ε− ∼ Rappel : Une fonction f de ¡ dans ¡ est une fonction polynomiale si

( ) ( )10 1 0 10

, , ,..., , ...n

n n kn n k

kn a a a x f x a a x a x a x+

=

∃ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ = + + + = ∑¥ ¡ ¡

25

Pour toute fonction polynomiale distincte de la fonction nulle,

!n ¥ , ( ) 10 1! , ,..., nna a a +∃ ∈¡ tels que 0na et ( ) 0 10

...n

n kn k

kx f x a a x a x a x

=

∀ ∈ = + + + = ∑¡ L’entier naturel n est appelé le degré de la fonction polynomiale f et est noté deg f Par convention le degré de la fonction nulle est

e) Propriétés conservées par équivalence i. Limite

Soit u admettant une limite (finie ou infinie) Si v est une suite équivalente à la suite u , alors v tend vers la même limite que u Démonstration :

Si n nv u∼ , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ,v u w ¥ avec 1nn lim w Si u a une limite quand n tend vers l’infini, alors, comme 1nn lim w , v a la même limite

ATTENTION : la réciproque est fausse

ii. Signe Soient u et v deux suites réelles ne s’annulant pas à partir d’un certain rang Si u v∼ alors, à partir d’un certain rang, nu et nv sont de même signe Démonstration :

Si n nv u∼ , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ,v u w¥ avec 1nn lim w

1 11 0 1n nn lim w , n ,n n wε ε ¥ (Soit 1 1nwε ε )

En prenant 12

ε , 0 11 02n

n max n ,n w

Comme 2 2 0 0n nn , n n u et v¥ , alors pour 0 1 2n max n ,n ,n on a nu et nv de même signe

f) Lien avec la relation de négligeabilité

Soient u et v deux suites réelles

On a ; u v u v o v ∼ Démonstration :

Supposons n nu v∼ , c’est à dire 0 0 n n nn , n n ;u v w¥ avec 1nn lim w

Alors 0 1n n n nn n ,u v v w , et comme 1 0nn lim w on a n n nu v o v

Supposons n n nu v o v , c’est à dire 0 0 n n n nn , n n ;u v v w¥ avec 0nn lim w

Alors 0 1n n nn n ,u v w , et comme 1 1nn lim w on a n nu v∼

26

Remarque :

u v v u v u o u ∼ ∼ Corollaire :

u o v u v v ∼ , on écrit aussi n n nv o v v ∼ En effet u u v v , donc u o v u v v o v u v v ∼ Exemple 1 : De nn o aα pour 0α et 1a , on tire : n nn a aα ∼ Exemple 2 :

Si 2nu n n∼ , alors, comme 2n o n , on a 2 2n n n ∼ et par simplement 2nu n∼ (transitivité)

B. Relations de comparaison : cas des suites à valeurs complexes

Les trois types de relations de comparaison : O,o,∼ s’étendent aux suites à valeurs complexes La majorité des résultats obtenus pour les suites réelles s’étendent aux suites complexes, exceptions faites des propositions qui font intervenir le signe, les croissances comparées Remarque : Si u et v sont deux suites complexes ne s’annulant pas à partir d’un certain rang, alors on a

u O v u O v e t u o v u o v

En effet nn

uv

est borné si et seulement si nn

uv

est bornée, et 0 0nnn nn n

uuv v

Mais attention : 1 1nnn nn n

uuv v

, doncu v u v∼ ∼

La réciproque est fausse

Soit 2in

nu eπ

et 2in

nv eπ

, on a 1 1 11

n

nn

uv

, mais 1n nin inn

u e ev

π π n’a pas de

limite en