Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 10 Les algorithmes de recherche Les...
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Structures de données
IFT-2000
Abder AlikacemAbder Alikacem
Semaine 10 Les algorithmes de rechercheLes structures arborescentes
Département d’informatique et de génie logiciel
Édition septembre 2009
! +
Les algorithmes de recherche
Les algorithmes de recherche La recherche séquentielle La recherche dichotomique
Complexité des algorithmes de recherche Recherche dichotomique et arborescence
La recherche séquentielle
3 1 4 2 8 14 12 11 6 9 10
recherche(3) = 1 comparaison recherche(10) = 11 comparaisons recherche(12) = 7 comparaisons recherche(13) = 11 comparaisons meilleur cas = O(1) pire cas = O(n) en moyenne = O(n/2) absences = O(n)
Données pas triées
La recherche séquentielle
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
recherche(1) = 1 comparaison recherche(14) = 11 comparaisons recherche(8) = 6 comparaisons recherche(13) = 11 comparaisons meilleur cas = O(1) pire cas = O(n) en moyenne = O(n/2) absences = O(n/2)
Données triées
La recherche séquentielle
données non triées : données présentes : O(n/2) données absentes : O(n)
données triées : données présentes : O(n/2) données absentes : O(n/2)
coût pour trier et maintenir triées !
Modèles d’implantation
tableau :
liste chaînée :
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
La recherche binaire
implantation en tableau = accès direct à n’importe quel élément
en regardant tout de suite au milieu, on peut éliminer la moitié des données
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
La recherche binaire
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100
La recherche binaire
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
La recherche binaire
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
La recherche binaire
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 10
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
6 7
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
6 7
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
6 7
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
6 7
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
7
La recherche binaire : 10 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
6 7
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
7
La recherche binaire : 9.5 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
6 7
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
7
La recherche binaire : 9.5 ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100 5
6 108
6 7
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
7
11
5
2
1
n
n/2
n/4
n/8
Tableau comparatif
recherche séquentielle : (données triées)• données présentes : O(n/2)• données absentes : O(n/2)
recherche binaire : (données triées)• données présentes : O(log n)• données absentes : O(log n)
Modèles d’implantation
tableau :
liste chaînée ?
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100
Structures pointées
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Structures pointées
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Structures pointées
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Structures pointées
1 2 3 4 6
8
9 10 11 12 14
0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
Structures pointées
1 2 3 4 6
8
9 10 11 12 14
0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
Structures pointées
1 2 3 4 6
8
9 10 11 12 14
0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
Structures pointées
1 2
3
4 6
8
9 10
11
12 14
0 1 3 4 6 7 9 10
Structures pointées
1 2
3
4 6
8
9 10
11
12 14
0 1 3 4 6 7 9 10
Structures pointées
1 2
3
4 6
8
9 10
11
12 14
0 1 3 4 6 7 9 10
Structures pointées
1
2
3
4
6
8
9
10
11
12
14
Structures pointées
1
2
3
4
6
8
9
10
11
12
14
Structures pointées
1
2
3
4
6
8
9
10
11
12
14
Structures pointées
1
2
3
4
6
8
9
10
11
12
14
Arbre binaire !
1
2
3
4
6
8
9
10
11
12
14
Arbre = index
1
2
3
4
6
8
9
10
11
12
14
Les structures d’arbres
Définitions Parcours d’arbres Arbres binaires complets ou feuillus Description en terme de type abstrait et implantation
Dans un tableau Par chaînage dynamique
Définitions
Un arbre orienté (appelé parfois arbre enraciné) est un graphe acyclique orienté qui vérifie les conditions suivantes:
Il existe exactement un noeud qui n'a pas de ‘ prédécesseur ’.
Ce noeud s'appelle la racine et l'ordre d'entrée de la racine est 0.
Tous les noeuds, sauf la racine, n'ont qu'un ‘ prédécesseur ’ et ils ont tous un ordre d'entrée égal à 1.
Il existe un chemin unique de la racine à chaque noeud.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père)(Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Parent(Q) = {N}
Parent(R) = { }
Parent(B) = {M}
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père)(Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le(s) nœud(s) immédiatement successeur(s)
du nœud.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Enfant(Q) = { }
Enfants(R) = {M,N}
Enfant(B) = {V}
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement successeurs
du nœud. RacineRacine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Racine(Arbre) = {R}
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement
successeurs du nœud. Racine Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. FeuilleFeuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Feuilles(Arbre) = {S,T,Y,O,P,Q}
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement
successeurs du nœud. Racine Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. FeuilleFeuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants. Ancêtre(s) d’un nœudAncêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Ancêtres(Q) = {N,R}
Ancêtre(R) = { }
Ancêtres(B) = {M,R}
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement
successeurs du nœud. Racine Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. FeuilleFeuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants. Ancêtre(s) d’un nœudAncêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine. Descendant(s) d’un nœudDescendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux
feuilles accessibles par ce nœud.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Descendant(Q) = { }
Descendants(R) = {M,N,A,…,V}
Descendant(B) = {V}
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement
successeurs du nœud. Racine Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. FeuilleFeuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants. Ancêtre(s) d’un nœudAncêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine. Descendant(s) d’un nœudDescendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux
feuilles accessibles par ce nœud. Profondeur d’un nœudProfondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Profondeur(Q) = 2
Profondeur(R) = 0
Profondeur(B) = 2
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement
successeurs du nœud. Racine Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. FeuilleFeuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants. Ancêtre(s) d’un nœudAncêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine. Descendant(s) d’un nœudDescendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux
feuilles accessibles par ce nœud. Profondeur d’un nœudProfondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine. Hauteur d’un nœudHauteur d’un nœud : Le chemin le plus long pour atteindre une feuille.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Hauteur(Q) = 0
Hauteur(R) = 3
Hauteur(B) = 1
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement
successeurs du nœud. Racine Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. FeuilleFeuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants. Ancêtre(s) d’un nœudAncêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine. Descendant(s) d’un nœudDescendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux
feuilles accessibles par ce nœud. Profondeur d’un nœudProfondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine. Hauteur d’un nœudHauteur d’un nœud : Le chemin le plus long pour atteindre une feuille. Niveau d’un nœudNiveau d’un nœud : La hauteur de l’arbre moins la profondeur du nœud.
A
M
B
V
R
O
N
P Q
S T
Niveau(Q) = 3 – 2 = 1
Niveau(R) = 3 – 0 = 3
Terminologie des arbres
Parent d’un nœudParent d’un nœud (Père) (Père) : Le nœud immédiatement prédécesseur. Enfant(s) d’un nœud (fils)Enfant(s) d’un nœud (fils) : Le ou les nœuds immédiatement
successeurs du nœud. Racine Racine : Un nœud qui n’a pas de prédécesseur. FeuilleFeuille : Un nœud qui n’a pas d’enfants. Ancêtre(s) d’un nœudAncêtre(s) d’un nœud : Tous les nœuds prédécesseurs jusqu’à la racine. Descendant(s) d’un nœudDescendant(s) d’un nœud : Tous les nœuds successeurs jusqu’aux
feuilles accessibles par ce nœud. Profondeur d’un nœudProfondeur d’un nœud : L’ordre du chemin à partir de la racine. Hauteur d’un nœudHauteur d’un nœud : Le chemin le plus long pour atteindre une feuille. Niveau d’un nœudNiveau d’un nœud : La hauteur de l’arbre moins la profondeur du nœud. ForêtForêt : Un ensemble d’arbre.
A
M
B
V
O
N
P Q
S T
Terminologie des arbres
Un arbre est soit vide ou possède une racine à laquelle est rattaché zéro ou plusieurs sous-arbres non vides.
T1
T2
Racine
Racine de T1
Racine de T2
==> structures récursives
Terminologie des arbres
Le nombre de sous-arbres associés à un noeud (nombre de descendants directs) est appelé le degré du noeud. Le degré d'un arbre correspond au degré le plus élevé de ses noeuds. Une chaîne (liste linéaire) est un arbre de degré 1.
b
an
i r
e
z
Le sous-arbre de racine i est l’arbre composé des descendants de i, enraciné en i On appelle aussi ce sous-arbre : fils de b
• tableau
• liste chaînée
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
Une liste est un arbre de degré 1
1 2 3 4 6 8 9 10 11 12 14
100
Arbre binaire
racine
sous-arbre de gauchesous-arbre de droite
nœuds internes
feuilles
Un arbre de degré 2 est appelé arbre binaire.
Arbres n-aire
racine
nœuds internes
feuilles
...
Un arbre de degré n est appelé arbre n-aire.
Les arbres ordonnés
Un arbre ordonné est un arbre où la position respective des sous-arbres reflète une relation d'ordre.
Exemple: l’arbre de Huffman pour la compression de données
W
U V
X Y
Z
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
Arbres partiellement ordonnés: le monceau
94
67
5544
42
18
12 06
La valeur de la clé d’un parent est plus grande (ou égale) à celle de ses 2 fils L’arbre est complet: tous les nœuds sont présents sauf éventuellement dans le dernier niveau. Si c’est le cas, le remplissage des nœuds dans ce niveau doit se faire de gauche à droite.
Les arbres de tri
Un arbre binaire de tri ordonne totalement les informations qu’il stocke(par clé) :
Toutes les clés de valeur inférieure ou égale à celle de la racine sont stockées dans le descendant gauche de la racine.
Toutes les clés de valeur strictement supérieure à celle de la racine sont stockées dans le descendant droit de la racine.
Tout ajout, toute suppression de nœud doit maintenir cette propriété vraie.
49
34
3020
23 5O
45
gauche
48
droit
29
24 Ajout de la valeur 49 :
Remarque :Tout ajout se fait par une feuille.
Ajoute de la valeur 24
49
24
Les arbres de recherche
Un arbre de tri est également dit de recherche à condition d’être équilibré.
Un arbre équilibré est un arbre organisé de telle manière à ce que sa profondeur soit minimale. La recherche d'un élément dans un arbre est alors logarithmique.
Critères HB[k] (height-balanced(k) tree)
HB[1] HB[2]
Les arbres équilibrés sont dits arbres AVL (du nom de leurs inventeurs Adel'son -Vel'skii Landis en 1962).
Un arbre binaire est dit équilibré lorsque la différence entre les hauteurs des fils gauche et droit de tout noeud ne peut excéder 1 en valeur absolue (si HB[1] ):|hauteur (sous-arbre droit) - hauteur (sous-arbre gauche)| 1)
Cette différence de hauteur est appelée facteur d’équilibre.
Arbres AVL - exemples
12
8
410
16
2
14
6
Un arbre AVL
12
8
410
16
2
14
6
1
Après l’ajout de 1, ce n’est plus un arbre AVL
Ces noeuds violentla condition
Arbres de recherche et algorithmique
Les arbres binaires de recherche présentent deux avantages : tri efficace car les valeurs sont maintenues ordonnées recherche efficace par dichotomie, beaucoup plus efficace que la recherche linéaire dans une liste.
template <typename X>class Arbre{ ... bool rechercher (const X& E); // est retourné : vrai si E est dans l’arbre, faux sinon
...}
Arbres de recherche et algorithmique
bool rechercher (const X& E);// est retourné : vrai si E est dans l’arbre, faux sinon
si vide => retourner fauxsinon si (E = valeur racine) => retourner vrai sinon si (E<valeur racine) => retourner rechercher dans sous-arbre gauche sinon retourner rechercher dans sous-arbre droit fsi fsifsi Si n est le nombre de nœuds et si l ’arbre est équilibré alors
la complexité de l ’algorithme de recherche dichotomiqueest de l ’ordre de log2(n).
Exemple : n=1024 => complexité ~ 10
Visite arborescente
priorité au père (pré-ordre) Les descendants d’un nœud sont traités après lui:
1. visiter la racine r ;2. visiter récursivement les enfants : v1, v2, …, vk
priorité aux fils (post-ordre) Les descendants d’un nœud sont traités avant lui:
1. visiter récursivement les enfants : v1, v2, …, vk
2. visiter la racine r ;
ordre symétrique (en-ordre)Le descendant de gauche est traité avant le nœud, le droit est traité
après lui:1. visiter l’enfant de gauche (v1)
2. visiter la racine r ;3. visiter l’enfant de droite (v2)
Parcours par niveau
L’algorithme utilise une file.
Il s’agit d’un parcours par largeur (contagion) tel que discuté dans le cours.
Dans le parcours par niveau, tous les nœuds d’un même niveau sont traités avant de descendre au niveau suivant.
/
*
log
+
-
3
*
n
1 n
1n
- * * / log 3 n 1 n + n 1
1
1.1 1.2
1.1.1 1.1.2 1.2.1 1.2.2
Adressage hiérarchique
opérations facilitées :• comparaison rapide de nœuds
• <1 ? 1.1.2>, <1.1 ? 1.2>• trouver le parent commun
• <1.1.2 ? 1.2>, <1.1 ? 1.2>• positionne le nœud dans l’arbre
Il s’agit d’adresser chaque nœud par une chaîne de caractères. La racine a commeadresse 1 , son fils gauche 1.1, son fils droit 1.2. Tout fils gauche a commeadresse l’adresse de son parent qu’on concatène 1, on concatène 2 pour les filsdroits.
Dessiner l’arbre binaire dont le parcours symétrique et le parcours en pré-ordre sont les suivants :
symétrique : A,B,D,E,L,P,S,Opré-ordre : O,S,P,L,E,D,B,A
Exercice
Exercice
Dessiner l’arbre binaire dont le parcours symétrique et le parcours en pré-ordre sont les suivants :
symétrique : D,L,P,S,E,A,O,Bpré-ordre : P,D,L,O,A,S,E,B
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide ? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide ? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide ? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide ? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide ? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre ≤
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Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
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Opérateurs (arbres binaires)
arbre vide? nombre de nœuds d’un arbre nombre de feuilles d’un arbre élément de la racine d’un arbre sous-arbre de gauche d’un nœud sous-arbre de droite d’un nœud hauteur à partir d’un nœud appartenance d’un élément à un arbre ajout (insertion) dans un arbre enlèvement dans un arbre
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Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Opérateurs (arbres binaires)
minimum des éléments d’un arbre (≤) maximum des éléments d’un arbre (≤) enfants d’un nœud descendants d’un nœud père (parent) d’un nœud ancêtres d’un nœud successeur d’un nœud (≤) prédécesseur d’un nœud (≤)
Implantation en tableau
1
2
3
4
6
8
9
10
11
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14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Implantation en tableau
1
2
3
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6
8
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99
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Implantation en tableau
appariement : la racine est à l’indice 1 sous-arbre de gauche est à 2*i sous-arbre de droite est à 2*i + 1 parent de l’élément d’indice i est à i/2 frère de droite est à i+1 (si i pair et i+1 ≤ N) frère de gauche est à i-1 (si i impair et i ≠ 1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Implantation en tableau
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Implantation en tableau
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9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Implantation en tableau
1
2
3
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8
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11
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14
8 3 11
2 4 10
12
1 6 9 14
1
2 3
4 5 6 7
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9 10 11 12 13 14 15
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Implantation en tableau
Avantages : simplicité d’implantation aucun espace perdu pour les pointeurs espace pour insérer un nœud déjà disponible parcours par niveau facilité parcours des feuilles facilité
8 3 11
2 4 10
12
1 6 9 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Désavantages : espace perdu pour les trous
Implantation en tableau
Désavantages pire cas
8 11 12 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8
11
12
14
1
3
7
15
Arbre dégénéré vers la droite
Arbre feuillu ou complet
Arbre complet: Un arbre de degré n est dit complet lorsque tous ses niveaux, à l’exception du dernier, possède un nombre maximal de nœuds. Le dernier niveau, quant à lui, est partiellement rempli de gauche à droite, sans trou.
Arbre de degré 3 complet
99
1
2 3
4 5 6 7
8 9 11 12 14 1510 13
Arbre de degré 2 complet
Arbre binaire feuillu ou complet
indice du premier élément du niveau k ?
nombre de feuilles maximum = (n + 1) / 2
nombre de nœuds maximum = 2p – 1, p= nombre de niveaux
hauteur = log((n + 1)/ 2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
99
1
2 3
4 5 6 7
8 9 11 12 14 1510 13
La classe Arbre (binaire)
template <typename T>class Arbre{public:
// …
private:T * tab; // ou vector<T> vint cpt; // Nombre d'éléments dans le tableau, inutile si vector
};
Implantation par tableauou vector
Implantation en tableau (2)
compaction des niveaux en conservant explicitement l’indice des
enfants de gauche et de droite d’un nœud
8 3 11
2 4 10
12
1 6 9 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 3 11
2 4 10
12
1 6 9 142 4 6 8 0 1
0 0 0 0
3 5 7 0 9 0 11
0 0
0
0
0
0
élément d’informationindice du sous-arbre de gaucheindice du sous-arbre de droite
Implantation en tableau (2)
Avantages : aucun trou ! pas besoin d’une sentinelle
Désavantages : espace additionnel pour l’information de contrôle (c.-à-d.
les indices des éléments enfants d’un nœud) revient à gérer une mémoire utilisée comme le tas
(«heap») problèmes d’ajouts ? d’enlèvements ?
8 3 11
2 4 10
12
1 6 9 142 4 6 8 0 1
0 0 0 0
3 5 7 0 9 0 11
0 0
0
0
0
0
Exercice
Définissez les attributs privés (modèle d’implantation) en tenant compte de cette version dans l’implantation.
La classe Arbre (binaire)
template <typename E>class Arbre{public:
//..Les méthodes publiques (i.e. les opérateurs)private:
// classe Noeudclass Noeud{ public:
E data;Noeud *gauche;Noeud *droite;int card;int hauteur; Noeud( const E&d ): gauche(0),data( d ),droite(0),hauteur(0) { }
};// Les membres donnéesNoeud * racine; //racine de l'arbrelong cpt; // Nombre de noeuds dans l'arbre// Les membres méthodes privés//...
};
...
data
Implantation par chaînage
Implantation par chaînage
Puisque chaque nœud possède au maximum deux nœuds fils, on maintient un pointeur sur chacun d’eux.
Avantages: La taille de l’arbre est dynamique. Facile d’opérer sur des pointeurs.
Inconvénients: On doit éviter les fuites de mémoire et les doubles références. On ne peut parcourir l’arbre que de la racine vers les feuilles.