- 1 / 7 -

SSttrruuccttuurreess aallggbbrriiqquueess ((1111hh))

II.. LLooii ddee ccoommppoossiittiioonn iinntteerrnnee E dsigne un ensemble.

11)) DDffiinniittiioonn Df : On appelle loi de composition interne (l.c.i.) ou opration sur E toute

application de E E vers E . Lorsque cette loi de composition interne est note , on note x y limage du couple ( , )x y par lapplication prcdente. Llment x y est appel compos de x par y via . Les l.c.i. sont gnralement notes , , , , , ,... +

Df : On appelle magma tout couple ( , )E form dun ensemble E et dune loi de composition interne sur E .

22)) PPaarrttiiee ssttaabbllee Df : On appelle partie stable dun magma ( , )E toute partie A de E telle que

, ,x y A x y A .

Df : Soit A une partie stable dun magma ( , )E .

Lapplication restreinte ( , )A A A

x y x y

dfinit une loi de composition

interne sur A appele loi de composition interne induite par . On la note |A ou plus couramment et on peut ainsi donner un sens au magma ( , )A .

33)) PPrroopprriittss dduunnee llooii ddee ccoommppoossiittiioonn iinntteerrnnee aa)) ccoommmmuuttaattiivviitt Df : Soit une loi de composition interne sur E . On dit que deux lments a

et b de E commutent pour la loi ssi a b b a= .

Df : Une loi de composition interne sur E est dite commutative ssi tous les lments de E commutent deux deux. Le magma ( , )E est alors dit commutatif.

bb)) aassssoocciiaattiivviitt Df : Une loi de composition interne sur E est dite associative ssi

, , , ( ) ( )a b c E a b c a b c = . Le magma ( , )E est alors dit associatif.

44)) EEllmmeennttss ppaarrttiiccuulliieerrss Soit ( , )E un magma aa)) llmmeenntt rrgguulliieerr Df : On appelle lment rgulier de ( , )E tout lment x de E tel que

,a b E , x a x b a b= = (rgularit gauche) et a x b x a b= = (rgularit droite).

bb)) llmmeenntt nneeuuttrree Df : On appelle lment neutre de ( , )E tout lment e de E tel que x E

e x x= (neutre gauche) et x e x= (neutre droite). Prop : Si ( , )E possde un lment neutre celui-ci est unique. Df : On appelle monode tout magma ( , )E associatif et possdant un lment

neutre. Si de plus est commutative, le monode ( , )E est dit commutatif.

cc)) llmmeenntt ssyymmttrriissaabbllee Soit ( , )E un monode dlment neutre e . Df : On appelle lment symtrisable de ( , )E tout lment x de E tel quil

existe y E pour lequel x y e= (symtrisabilit gauche) et y x e= (symtrisabilit droite).

Prop : Si x est symtrisable alors !y E tel que x y y x e= = .

Df : Si x est symtrisable, lunique lment y de E tel que x y y x e= = est appel symtrique de x et on le note sym( )y x= .

- 2 / 7 -

Prop : Si x est symtrisable alors sym( )x lest aussi et sym(sym( ))x x= . Prop : Si x et y sont symtrisables alors x y lest aussi et

sym( ) sym( ) sym( )x y y x= . Prop : Si x est un lment symtrisable de ( , )E alors x est rgulier.

55)) IIttrr dduunn llmmeenntt Soit ( , )E un monode de neutre e . Soit x E . Pour *n , on note nx x x x= (n termes) Ainsi 1 2,x x x x x= = . De plus on pose 0x e= . Ainsi on donne un sens nx pour n . Df : nx est appel itr dordre n de llment x . Prop : ( ), , p q p qp q x x x + = et ( )( )p q pqx x= . Supposons que x soit symtrisable. Pour *n , on note ( ) sym( ) sym( ) sym( )nx x x x = (n termes) Ainsi ( 1) sym( )x x = , ( 2) sym( ) sym( )x x x = ,... On donne ainsi un sens nx avec n lorsque x est symtrisable. Prop : Soit x un lment symtrisable de E .

,nn x est symtrisable et ( )sym( )n nx x = .

( ), ,

p q p qp q x x x + = et ( )( )p q pqx x= .

66)) SSttrruuccttuurreess pprroodduuiittss aa)) ssttrruuccttuurree ssuurr nE Soit ( , )E un magma et X un ensemble non vide. Df : On dfinit une loi de composition interne, encore note , sur nE par

1 1( , , ),( , , ) nn nx x y y E on pose 1 1 1 1( , , ) ( , , ) ( , , )n n n nx x y y x y x y= .

Prop : Si ( , )E est un monode (resp. commutatif) dlment neutre e alors ( , )nE est un monode (resp. commutatif) dlment neutre ( , , )e e= .

De plus, un lment 1( , , )nx x x= est symtrisable ssi { }1, ,i n , ix lest, et si tel est le cas, 1sym( ) (sym( ), ,sym( ))nx x x= .

bb)) ssttrruuccttuurree ssuurr ( , )X EF Soit ( , )E un magma et X un ensemble non vide. Df : On dfinit une loi de composition interne, encore note , sur ( , )X EF

par , ( , )f g X E F on pose , ( )( ) ( ) ( )x X f g x f x g x = . Prop : Si ( , )E est un monode (resp. commutatif) dlment neutre e alors

( ( , ), )X EF est un monode (resp. commutatif) dlment neutre :x e .

De plus, un lment ( , )f X EF est symtrisable ssi x X , ( )f x lest, et si tel est le cas, (sym )( ) sym( ( ))f x f x= .

77)) NNoottaattiioonn aaddddiittiivvee eett mmuullttiipplliiccaattiivvee Df : Un monode est dit not additivement (resp. multiplicativement) ssi sa loi

de composition interne est note + (resp. ) Lorsquon adopte la notation additive ou multiplicative dun monode, on adopte les conventions de notations du tableau ci-dessous :

Notation par dfaut Notation additive Notation multiplicative + ou .

e 0 1 x y x y+ xy ou .x y

sym( )x x 1x

1

n

ii

x=

1

n

i

i

x=

1

n

i

i

x=

nx .n x nx

- 3 / 7 -

IIII.. GGrroouuppeess

11)) DDffiinniittiioonn Df : On appelle groupe tout magma ( , )G tel que

1) est associative, 2) ( , )G possde un lment neutre e , 3) tout lment de ( , )G est symtrisable. Si de plus est commutative, le groupe ( , )G est dit commutatif ou plus couramment ablien.

Prop : Si ( , )G est un groupe alors ( , )nG lest aussi. Prop : Si ( , )G est un groupe alors ( ( , ), )X GF lest aussi.

22)) SSoouuss--ggrroouuppee aa)) ddffiinniittiioonn Soit ( , )G un groupe dlment neutre e . Df : On appelle sous-groupe de ( , )G toute partie H de G telle que :

1) e H , 2) , sym( )x H x H (stabilit par passage au symtrique), 3) , ,x y H x y H (stabilit).

Thorme : Si H est un sous-groupe de ( , )G alors ( , )H est un groupe. Si de plus ( , )G est ablien alors ( , )H lest aussi.

Prop : (Caractrisation rapide des sous-groupes) Soit H une partie de G . On a quivalence entre : (i) H est un sous-groupe de ( , )G ,

(ii) , , sym( )

H

x y H x y H

.

Prop : Soit 1 2,H H deux sous-groupes de ( , )G . 1 2H H est un sous-groupe de ( , )G .

bb)) ggrroouuppee ddeess rraacciinneess nnmmee ddee lluunniitt Soit *n et { }/ 1nnU z z= = .

Prop : ( , )nU est un groupe ablien. Pour { }11, 1n U= = .

Pour { }22, 1, 1n U= = . On a 1 1

1 1 11 1 1

.

Pour { }233, 1, ,n U j j= = . On a

2

2

2

2 2

11 1

11

j j

j j

j j j

j j j

.

Pour { }44, 1, , 1,n U i i= = . On a

1 11 1 1

1 11 1 1

1 1

i i

i i

i i i

i i

i i i

.

cc)) ggrroouuppeess ggoommttrriiqquuee P le plan gomtrique de direction P . ut : translation de vecteur u

.

,OH : homothtie de centre O et de rapport .

,RotO : rotation de centre O et dangle .

Prop : { }/ut u P= T

est un sous-groupe de ( ( ), )PS . Prop : Soit O P . { }

,/ *O OH = H est un sous-groupe de ( ( ), )PS .

Prop : Soit O P . { },

Rot /O O = R est un sous-groupe de ( ( ), )PS . On appelle isomtrie du plan tout ( )f PS telle que ,A B P ,

( ) ( )f A f B AB= . Prop : Lensemble I des isomtries du plan est un sous-groupe de ( ), )P(S .

- 4 / 7 -

33)) MMoorrpphhiissmmee ddee ggrroouuppeess Soit ( , )G , ( , )G et ( , )G trois groupes dlments neutres ,e e et e . aa)) ddffiinniittiioonn Df : On appelle morphisme du groupe ( , )G vers ( , )G toute application

:G G telle que : , , ( ) ( ) ( )x y G f x y f x f y = . (image de la compose est la compose des images). Si f est bijective, on dite que f est un isomorphisme. Si ( , ) ( , )G G = , on dit que f est un endomorphisme. Si ( , ) ( , )G G = et f est bijective on dit que f est un automorphisme.

Prop : Soit a G . :n

G

n a

est un morphisme de groupes.

bb)) pprroopprriittss Prop : Soit :f G G un morphisme de groupes.

( )f e e = , , (sym( )) sym( ( ))x G f x f x = , , , ( ) ( ( ))p px G p f x f x = et

11 1

, , , ( ) ( )n n

n i ii i

x x G f x f x= =

= .

Prop : Si :f G G et :g G G sont deux morphismes de groupes alors :g f G G est aussi un morphisme de groupes.

Prop : Soit :f G G . Si f est un isomorphisme alors 1 :f G G lest aussi.

cc)) nnooyyaauu eett iimmaaggee Prop : Soit :f G G un morphisme de groupes.

Si H est un sous-groupe de ( , )G alors ( )f H est un sous-groupe de ( , )G . Si H est un sous-groupe de ( , )G alors 1( )f H est un sous-groupe de ( , )G .

Df : Soit :f G G un morphisme de groupes. On appelle image de f , lensemble Im ( )f f G= . Cest un sous-groupe de ( , )G . On appelle noyau de f , lensemble { }1ker ( )f f e = . Cest un sous-groupe de ( , )G .

Thorme : Soit :f G G un morphisme de groupes. + f est surjective ssi Im f G= , + f est injective ssi { }ker f e= .

dd)) mmoorrpphhiissmmee ggoommttrriiqquuee P le plan gomtrique Prop : Soit O P .

,OH est un morphisme de ( *, ) vers ( ( ), )PS dimage OH et de noyau { }1 .

Prop : Soit O P . ,

RotO est un morphisme de ( , )+ vers ( ( ), )PS dimage OR et de noyau 2 .

Et si le temps le permet on parle des translations.

IIIIII.. EEttuuddee dduu ggrroouuppee ssyymmttrriiqquuee

11)) PPeerrmmuuttaattiioonn ddee { }1,2,...,n n= Df : Pour *n , on note nS lensemble des permutations de n .

( , )nS est un groupe dlment neutre Id Idn = appel groupe symtrique dordre n .

Df : Pour n S , on note 1 2 ...(1) (2) ... ( )

n

n

= pour visualiser laction

de . Prop : Pour 3n le groupe ( , )nS nest pas commutatif.

- 5 / 7 -

22)) CCyycclleess Soit p tel que 2 p n . Soit 1,..., pa a une liste de p lments deux deux distincts de n . Soit : n nc dfinie par :

1 2 2 3 1 1( ) , ( ) ,..., ( ) , ( )p p pc a a c a a c a a c a a= = = = et { }1\ ,..., , ( )n px a a c x x = . c est une permutation de n .

Df : c est appele cycle de longueur p (ou p cycle). On le note ( )1 2 ... pc a a a= .

Lensemble { }1,..., pS a a= est appel support du cycle c .

Df : Les cycles de longueur 2 sont appels transpositions. Une transposition ( )i j = a pour effet dchanger i et j .

La suite est optionnelle : Prop : Si c est un cycle de longueur p alors Idpc = .

33)) DDccoommppoossiittiioonn dduunnee ppeerrmmuuttaattiioonn eenn pprroodduuiitt ddee ttrraannssppoossiittiioonnss Prop : Tout cycle de longueur p peut se dcomposer en un produit de 1p

transpositions. Thorme :

Toute permutation de n peut se dcomposer en un produit dau plus 1n transpositions.

Prop : Toute permutation de n peut se dcomposer en un produit de transpositions de la forme ( )1 k avec 2 nk .

44)) SSiiggnnaattuurree dduunnee ppeerrmmuuttaattiioonn Df : Soit n S et un couple ( , )i j avec 1 i j n < .

On dit ralise une inversion sur le couple ( , )i j ssi ( ) ( )i j > . On note ( )I le nombre de couples ( , )i j (avec 1 i j n < ) sur lesquels ralise une inversion.

Df : On appelle signature dune permutation de nS le rel ( )( ) ( 1)I = . Prop : La signature dune transposition est 1 .

Thorme : Lapplication { }: 1,1n S est un morphisme du groupe ( , )nS sur { }( 1,1 , ) .

Par suite ( )I mme parit que ( ) ( )I I + , puis ( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )I I I + = = = . Ainsi est un morphisme de groupes. Cor : Ainsi 1 1( ) ( ) ( )p p = .

, ( ) ( )p pp = et en particulier 1( ) ( ) = . Prop : La signature dun p cycle est 1( 1)p . Df : Une permutation de signature 1 est dite paire.

Une permutation de signature 1 est dite impaire. On note nA lensemble des permutations paires de nS .

Prop : nA est un sous-groupe de ( , )nS . Df : ( , )nA est appel groupe altern dordre n . Prop : Pour 2n , Card ! 2n n=A .

IIVV.. AAnnnneeaauuxx

11)) DDffiinniittiioonn Df : Soit et deux lois de composition internes sur un ensemble E .

On dit que est distributive sur ssi , ,a b c E : ( ) ( ) ( )a b c a b a c= (distributivit gauche)

et ( ) ( ) ( )b c a b a c a= (distributivit droite). Df : On appelle anneau tout triplet ( , , )A form dune ensemble A et deux

loi de composition internes et tels que : 1) ( , )A est un groupe ablien, 2) ( , )A est un monode, 3) est distributive sur . Si de plus est commutative, lanneau ( , , )A est dit commutatif.

- 6 / 7 -

Prop : Si ( , , )A + est un anneau et *n alors ( , , )nA + est un anneau. Prop : Si ( , , )A + est un anneau et X un ensemble alors ( ( , ), , )X A +F est un

anneau.

22)) SSoouuss--aannnneeaauu Df : On appelle sous-anneau dun anneau ( , , )A + toute partie B incluse dans

A telle que : 1) 1A B , 2) , ,x y B x y B , 3) , ,x y B xy B .

Thorme : Si B est un sous-anneau de ( , , )A + alors ( , , )B + est un anneau. Si de plus ( , , )A + est commutatif alors ( , , )B + lest aussi.

33)) RRgglleess ddee ccaallccuullss ddaannss uunn aannnneeaauu Soit ( , , )A + un anneau de neutres 0 et 1. Prop : ,0 0 0a A a a = = . Prop : , , ( ) ( ) ( )a b A a b ab a b = = . Prop : , , , ( . ) .( ) ( . )a b A p pa b p ab a pb = = . Prop : 2 2 2 3, , ( ) , ( ) ...a b A a b a ab ba b a b + = + + + + = Thorme : (Formule du binme de Newton)

Soit ,a b A tels que a et b commutent.

( )0

, ( )n

n n k k

k

nn a b a b

k

=

+ = .

Thorme : Soit ,a b A tels que a et b commutent.

11

01 2 2 1

, ( )

( )( ... )

nn n n k k

k

n n n n

n a b a b a b

a b a a b ab b

=

=

= + + + +

44)) EEllmmeennttss iinnvveerrssiibblleess Df : Un lment a A est dit inversible ssi il est symtrisable pour i.e. ssi il

existe b A tel que 1Aab ba= = . Cet lment b est alors unique, on lappelle inverse de a , on le note 1a .

Prop : Si x est inversible alors 1x est inversible et 1 1( )x x = . Prop : Si x et y sont inversibles alors xy est inversible et 1 1 1( )xy y x = .

55)) DDiivviisseeuurrss ddee zzrroo Soit ( , , )A + un anneau aa)) ddffiinniittiioonn Df : Soit a A tel que 0Aa . On dit que a est diviseur de zro ssi

{ }\ 0Ab A tel que 0Aab = ou 0Aba = .

Prop : Un diviseur de zro est non rgulier pour . Prop : Les lments inversibles de A ne sont pas diviseurs de zro. bb)) aannnneeaauu ssaannss ddiivviisseeuurrss ddee zzrroo Prop : Si ( , , )A + ne possde pas de diviseurs de zro alors

, , 0 0A Aa b A ab a = = ou 0Ab = (implication dintgrit) Prop : Dans un anneau ( , , )A + sans diviseurs de zro tout lment non nul est

rgulier. cc)) iiddeemmppootteenntt eett nniillppootteenntt Df : Un lment a A est dit idempotent ssi 2a a= . Df : Un lment a A est dit nilpotent ssi *, 0n An a = .

VV.. CCoorrppss

11)) DDffiinniittiioonn Df : On appelle corps tout anneau commutatif ( , , )K + non rduit { }0K

dont tous les lments, sauf 0K , sont inversibles. Prop : Un corps na pas de diviseurs de zro.

- 7 / 7 -

22)) SSoouuss--ccoorrppss Soit ( , , )K + un corps. Df : On appelle sous-corps dun ( , , )K + toute partie L de K telle que :

1) L est un sous-anneau de ( , , )K + , 2) { } 1\ 0 ,Kx L x L .

Thorme : Si L est un sous-corps de ( , , )K + alors ( , , )L + est un corps.