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RECHERCHE Une approche générique de la réécriture Marc Aiguier Diane Bahrami (*)Université d’Évry Val d’Essonne, LaMI, CNRS UMR 8042, 523, Place des Terrasses de l’Agora, 91000 Évry, France {aiguier,bahrami}@lami.univ-evry.fr RÉSUMÉ. Dans cet article, nous étudions la réécriture en tant que système de preuve opération- nel de façon générique (c’est-à-dire indépendamment de la logique sous-jacente). Dans ce but, nous proposons des conditions simples qui permettent de caractériser les logiques où ce type de preuve effective peut être appliqué. Ces conditions sont fondées sur une propriété définie sur les arbres de preuve, que nous appelons semi-commutation. Nous montrons alors comment axiomatiser les notions usuelles de terminaison, confluenceet confluence locale au sein de ce méta-formalisme. Cela nous permet de retrouver les résultats fondamentaux de Church-Rosser et Newman et de proposer une méthode de complétion de Knuth et Bendix générique. ABSTRACT. In this paper we study rewriting as an operational proof system in a generic (i.e. logic-independent) way. To do this, we propose simple conditions which allow to characterise logics were this kind of effective proof can be applied. This conditions are based on a proof tree property, that we call semi-commutation. We then show how to define the standard notion of termination, confluence and local confluencec in this meta-formalism. It allows us to obtain the fundamental results of Church-Rosser and Newman and to propose a generic Knuth and Bendix completion method. MOTS-CLÉS : réécriture abstraite, logicalité, propriété de Church-Rosser, lemme de Newman, système de Knuth et Bendix, complétion de Knuth et Bendix KEY WORDS : abstract rewriting, logicality, Church-Rosser property, Diamond lemma, Knuth&Bendix system, Knuth&Bendix completion Technique et sciences informatiques.

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RECHERCHE

Une approche générique de la réécriture

Marc Aiguier � — Diane Bahrami�(*)Université d’Évry Val d’Essonne, LaMI, CNRS UMR 8042,523, Place des Terrasses de l’Agora, 91000 Évry, France{aiguier,bahrami}@lami.univ-evry.fr

RÉSUMÉ.Dans cet article, nous étudions la réécriture en tant que système de preuve opération-nel de façon générique (c’est-à-dire indépendamment de la logique sous-jacente). Dans ce but,nous proposons des conditions simples qui permettent de caractériser les logiques où ce typede preuve effective peut être appliqué. Ces conditions sontfondées sur une propriété définiesur les arbres de preuve, que nous appelons semi-commutation. Nous montrons alors commentaxiomatiser les notions usuelles de terminaison, confluence et confluence locale au sein de ceméta-formalisme. Cela nous permet de retrouver les résultats fondamentaux de Church-Rosseret Newman et de proposer une méthode de complétion de Knuth etBendix générique.

ABSTRACT.In this paper we study rewriting as an operational proof system in a generic (i.e.logic-independent) way. To do this, we propose simple conditions which allow to characteriselogics were this kind of effective proof can be applied. Thisconditions are based on a prooftree property, that we call semi-commutation. We then show how to define the standard notionof termination, confluence and local confluencec in this meta-formalism. It allows us to obtainthe fundamental results of Church-Rosser and Newman and to propose a generic Knuth andBendix completion method.

MOTS-CLÉS: réécriture abstraite, logicalité, propriété de Church-Rosser, lemme de Newman,système de Knuth et Bendix, complétion de Knuth et Bendix

KEY WORDS: abstract rewriting, logicality, Church-Rosser property, Diamond lemma,Knuth&Bendix system, Knuth&Bendix completion

Technique et sciences informatiques.

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1. Introduction

1.1. Motivation

L’automatisation du raisonnement est utile dans plusieursdomaines scientifiques,aussi bien pour prouver des théorèmes en mathématiques ou établir des propriétésphysiques que pour prototyper ou montrer la correction de logiciels.Automatiser le raisonnement revient à trouver un algorithme qui reçoit en entrée unensemble d’hypothèses, un ensemble de règles de démonstration et une propriété (letout écrit selon des règles bien précises), et qui est capable de dire si cette dernièreest une conséquence des hypothèses selon les règles de démonstrations données audépart. Dans le cadre de la logique équationnelle, on parle alors de problème dumot. Malheureusement, Turing et Church ont démontré que ce problème était semi-décidable. Il a donc fallu trouver des méthodes pour le résoudre partiellement dans lecadre général. La réécriture est une de ces méthodes. La réécriture est une techniquede preuve automatique permettant de donner une solution au problème du mot danscertaines structures algébriques au travers de systèmes deréécriture de termes conver-gents (c’est-à-dire nœthériens et confluents). Les structures algébriques étudiées ontprincipalement été les congruences. Depuis les années soixante-dix, il existe une pro-cédure de semi-décision qui permet de construire de façon incrémentale, à partir den’importe quel ensemble d’équations, de tels systèmes convergents et équivalents àl’ensemble d’équations de départ (c’est-à-dire dont la puissance de preuve de théo-rèmes est identique). Récemment, plusieurs travaux ont proposé une généralisation dela réécriture à d’autres structures algébriques que les congruences. Ils découlent derésultats établis par J. Levy et J. Agustí [18, 19] qui furentles premiers à appliquerla réécriture à des pré-ordres. Ces derniers ont défini la notion de bi-système de ré-écriture : deux relations de réécriture obtenues par intersection d’un pré-ordre avec unordre de réduction (c’est-à-dire une congruence bien fondée sur les termes) et avec soninverse, donnant ainsi pour chacune des relations le sens dela réécriture à appliquer. Àpartir de ces travaux pionniers, deux généralisations furent proposées. Dans [26, 28],G. Struth étudie la réécriture de termes dans le cadre de relations non symétriquesquelconques et l’applique à la théorie des treillis complets distributifs [27]. M. Schor-lemmer, dans [22, 23], définit une extension de la logique desprédicats du premierordre réduite à des relations binaires dans laquelle il est possible de spécifier des gé-néralisations de la loi Leibniz (transitivité, typage, etc.) par composition de relationsbinaires et inclusion d’ensembles, et étudie la réécrituredes termes au sein de cettelogique.Dans cet article, nous montrons que la réécriture en tant quetechnique de preuve opé-rationnelle peut être appliquée à une plus large classe de logiques et structures algé-briques. Dans ce but, nous étendons aux aspects opérationnels nos premiers résultatsétablis dans [1] où nous avons étudié, indépendamment de la logique sous-jacente, laréécriture en tant que système déductif (les aspects opérationnels n’étaient pas consi-dérés). Ainsi, nous caractérisons les notions de terminaison et de déterminisme de laréduction (représenté par la confluence dans le cadre des relations transitives) et nous

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définissons une méthode de complétion à la Knuth-Bendix dansce cadre générique.

1.2. Comparaison avec les travaux existant

La méthode que nous proposons dans cet article est différente des deux approches [26,23] présentées ci-dessus. Elle est plus générale dans le sens où comme nous venonsde le dire elle ne réduit pas l’étude de la réécriture à des relations binaires fermées partransitivité ou de façon plus générale par composition de relations binaires [23], maisà n’importe quelle fermeture (par exemple la règle du modus-ponens dans le cadrede la logique conditionnelle). De plus, ces relations binaires pourront être contraintespar d’autres relations n-aires (par exemple, le prédicat dedéfinissabilité dans le cadrede la logique équationnelle partielle). Enfin, l’approche suivie dans cet article vise àdonner une description de la réécriture indépendante de la logique sous-jacente. Ence sens, elle diffère des travaux ci-dessus où l’approche consiste à définir une logiqueenglobant les logiques usuelles et à étudier la réécriture au sein de cette logique plusuniverselle. Ainsi, le but du travail développé dans cet article est de fournir à chaqueconcepteur de logiques une méthodologie permettant de définir et d’appliquer (quandcela est possible) la réécriture comme système de preuve opérationnel. L’intérêt estd’éviter aux auteurs de telles logiques de développer de nombreux résultats formelsqui ne sont souvent que des adaptations de résultats bien connus à leur nouveau for-malisme, tout en conservant les avantages de ce dernier (en clarté et en concision parexemple). Ce type d’approche «méta» a déjà été largement appliqué aux aspects sé-mantiques des logiques [7, 15, 11, 21] et à l’inférence de théorèmes [20, 12]. Maisça n’est pas le cas pour les aspects opérationnels des logiques (qui se caractérisentessentiellement par la réfutation causale dans le cadre du calcul de la résolution pourles théories de Horn et par la réécriture de termes pour les théories équationnelles).En effet, à notre connaissance, il n’y a eu aucun travail généralisant la réfutationcausale et les travaux cités en début de paragraphe sont les seuls qui généralisentla réécriture de termes à des relation binaires transitivesmais pas nécessairement sy-métriques [6, 26, 23]. Seules certaines propriétés sémantiques des théories de Hornont eu une caractérisation générique dans le cadre d’une restriction des institutionsdans [29].

1.3. Composition de l’article

L’article s’organise de la façon suivante : dans la section 2, nous rappelons lesnotations et définitions à propos des systèmes formels, de ladéduction de théorèmes etdes arbres de preuve. En section 3, nous rappelons les définitions de base des systèmesformels à prédicats ainsi que le concept de semi-commutation sur lequel se fondenotre approche générique, telles qu’ils sont donnés dans [1]. La section 4 est dédiéeà la définition des systèmes de réécriture dans ce cadre générique. C’est ici que nousaxiomatisons les notions de dérivations, de terminaison des systèmes, d’effluences

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(c’est-à-dire de preuves non déterministes), de preuves par réécriture, et que nousétablissons des conditions suffisantes permettant d’obtenir une généralisation de lapropriété de Church-Rosser et du lemme de Newman à ce niveau d’abstraction. Ensection 5, nous spécifions une procédure de Knuth-Bendix abstraite et prouvons sacorrection. Enfin, en section 6, nous appliquons la méthodologie développée dans cetarticle pour étudier la réécriture et définir une procédure de complétion correcte ausein de la logique conditionnelle positive avec fonctions partielles.

2. Préliminaires et notations

Un système formelS défini sur alphabet est la donnée d’un ensembleF � �,et d’un ensemble fini de relations n-aires surF . On le noteS = (F;R). Les élémentsdeF sont appelésformuleset les relations deR sont appeléesrègles d’inférence. Unerègle munie d’une aritén est donc un ensemble de n-uplets('1; : : : ; 'n) de motsappartenant àF . Chaque séquence('1; : : : ; 'n) appartenant à une règler deR estappeléeinstancede cette règle. Les formules'1; : : : ; 'n�1 sont les prémisses deret 'n est sa conclusion. On note une telle instancer '1:::'n�1'n . UnedéductiondansS à partir d’un ensemble d’hypothèses� � F est une séquence finie de formules deF ( 1; : : : ; m) telle que pour chaque i (1 � i � m), soit i est une formule de�, soit il existe une instance'1:::'n�1 i d’une règler dansS satisfaisant : pour chaque1 � j � n� 1 il existe1 � k � i � 1 tel que'j = k. Un théorèmed’un ensemblede formules� est toute formule' telle qu’il existe une déduction dansS à partir de�dont' est la dernière formule. On le note� ` '.Un arbre de preuve� dans un système formelS est un arbre fini dont les noeuds etles feuilles sont étiquetés par des formules deF de la façon suivante : si un noeud estétiqueté par'n et ses fils sont étiquetés (de la gauche vers la droite) par'1; : : : ; 'n�1,alors il existe une instance d’une règler dansS de la forme'1:::'n�1'n . Un arbre de

preuve� de racine' est dénoté� : '. On noteL(�) le multi-ensemble1 des feuillesde�. Trivialement, pour tout énoncé� ` ', il existe un arbre de preuve� : ' dontles feuilles sont choisies parmi les conclusions d’instances de règler d’arité 1 (c’est-à-dire quer est de la forme ) ou bien parmi les formules de�.On utilise la numérotation standard pour faire référence aux positions des noeuds desarbres : les mots surN. Une position dénote alors le chemin menant de la racine ausous-arbre se trouvant à cette position. Ce sous-arbre est dénoté par�j! . Étant donnéeune position! 2 N� dans un arbre de preuve�, �[�0℄! dénote l’arbre de preuveobtenu à partir de� en ayant remplacé le sous-arbre�j! par�0. Bien entendu,�j! et�0 ont même racine. Quand�j! est une feuille, nous utilisons l’expression� �'�0 pour�[�0℄!. Cette opération s’appelle lacompositionde� et�0 à la position!.Deux arbres de preuve� et�0 sontéquivalentspour un ensemble de formules� si etseulement si� et�0 sont deux arbres de preuve de� ` '.

1. Un multi-ensemble est une extension élémentaire de la notion d’ensemble oú l’on accepte l’apparitionmultiple d’un même élément. Formellement, un multi-ensembleM sur un ensembleA se définit par uneapplicationM : A! N. Les opérations usuelles sur les ensembles s’étendent de manière naturelle.

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3. Systèmes formels à prédicats

Dans cette section, nous rappelons notre axiomatisation dela réécriture en tantque système déductif telle qu’elle est présentée dans [1]. La relation de réécritureque nous définissons s’appelle usuellement la relation deconvertibilité. Elle traduitune réécriture où aucun ordre de réduction n’est imposé. Elle est le fondement lo-gique de la réécriture utilisée comme système de preuve automatique. L’approche quenous avons suivie pour définir ce type de réécriture est d’utiliser le système formelsous-jacent à la logique traitée. Ceci vient d’une observation vérifiée par toutes les lo-giques où cette technique de preuve automatique a été définieet appliquée : la relationde convertibilité

�$ définit à chaque fois une stratégie qui sélectionne des arbres depreuves munis d’une structure particulière. Intuitivement, ces arbres, que nous appel-leronsarbres de réécriture, dénotent la fermeture des relations de réécriture de base.Ainsi, les arbres de preuve qui caractérisent les réécritures de base se situent toujoursau-dessus des arbres de preuve qui spécifient les fermeturesde ces relations (en consi-dérant que les feuilles sont au sommet et la racine en bas de l’arbre). Par exemple,dans le cadre de la logique équationnelle mono-sorte, la relation de convertibilité as-sociée à un ensemble quelconque d’équations� est obtenue en fermant� par contexteet par substitution, puis simplement par transitivité. La correction de cette nouvelleméthode de preuve par rapport au raisonnement équationnel usuel provient du faitque les règles de remplacement et de substitution remontentsur la transitivité et donctout arbre de preuve peut être transformé en un arbre de réécriture équivalent (c’est-à-dire qui possède la même conclusion). Notre méthode sera alors fondée sur unegénéralisation de cette propriété que nous appelleronssemi-commutation. À partir decette propriété de semi-commutation, nous produirons deuxensembles disjoints,Upet Down, qui partitionnent les règles d’inférence de telle sorte que toutes les règlesdeUp semi-commuteront avec les règles deDown mais l’inverse ne sera pas vrai.Donc, les règles deUp caractériseront les étapes de réécriture élémentaires, etcellesdeDown seront utilisées pour composer les étapes de réécriture entre elles.

3.1. Définition de base

La réécriture peut s’appliquer à chaque fois que l’on cherche des méthodes pourraisonner de façon automatique avec des relations binaires(équations [3], inclusions [18,19], de façon plus générale relations transitives mais non symétriques [6, 26, 23], leproblème de l’appartenance dans un idéal d’anneaux de polynômes [9], etc.). Cesrelations peuvent être contraintes par d’autres relationsn-aires (le prédicat de définis-sabilité dans les algèbres partielles, etc.). Enfin, elles sont définies sur des élémentshomogènes mais qui peuvent être de natures différentes selon le formalisme sous-jacent (par exemple de simples mots, des termes, des graphes, etc.). Tout ceci nousamène alors à donner au système formel sous-jacent à toute logique où la réécrituresera étudiée, la forme générale suivante :

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Définition 3.1 (Système formel à prédicats)Un système formel à prédicatsest untriplet SP = (T; P;R) tel queT est un ensemble,P est un ensemble de relationsd’arité n sur T , et (F;R) est un système formel oùF est l’ensemble des formulesdéfini de la façon suivante :F = fp(t1; : : : ; tn) j p 2 P ^ (t1; : : : ; tn) 2 pg.Exemple 3.2 Donnons le système formel à prédicats pour la logique équationnellemono-sorte. Tout d’abord, rappelons les définitions élémentaires de cette logique. Unesignature� est un ensemble de noms de fonction, chacun muni d’une aritén 2 N.Étant donnée une signature�, l’ensemble des termes avec variables dans un ensembleV , notéT�(V ), est l’ensemble des termes standards librement engendrés àpartir deV . Une�-équation est un couple(t; t0) où t et t0 sont des éléments deT�(V ). Unetelle équation est notéet = t0. Une substitution est une application� : V ! T�(V ).Son extension canonique aux termes deT�(V ) est notée�℄ : T�(V ) ! T�(V ). Elleest définie par :f(t1; : : : ; tn) 7! f(�℄(t1); : : : ; �℄(t1)).Étant donnée une signature�, nous pouvons lui associer le système formel à prédicatssuivant :

— T = T�(V )),— P est l’ensemble de toutes les�-équations.P est donc le singletonf=g où=

est la relation binaire surT définie par :==def T � T ,— R est l’ensemble des relations d’inférence définies à partir des schémas de

règle suivants :� Réflexivité t=t Symétrie t=t0t0=t Transitivité t=t0 t0=t00t=t00� Remplacementti=t0if(t1;::: ;ti;::: ;tn)=f(t1;::: ;t0i;::: ;tn) fn 2 �� Substitution

t=t0�℄(t)=�℄(t0) où� : V ! T�(V ) est une substitution.

3.2. Prédicats appropriés pour la réécriture

Dans un système formel à prédicats, un prédicatp sera ditapproprié pour la ré-écriture si p est binaire et à chaque fois que nous avons� ` p(t; t0), il existe unedéduction dont l’arbre de preuve sous-jacent possède la structure particulière d’êtreun arbre de réécriture. Cette notion d’arbre de réécriture repose sur la propriétéquepossèdent certaines instances de règles d’inférences desemi-commuterpar rapport àd’autres instances. Toutes ces notions seront définies ici.

Notation 3.3 Notons� = (�1; : : : ; �k; ') où k � 0, l’arbre de preuve dont la der-nière règle d’inférence est'1;::: ;'k' et tel que pour tout1 � i � k, � : 'i est lesous-arbre de� à la positioni.Notation 3.4 SoitS un ensemble d’arbres de preuve. NotonsS℄ la fermeture deSpar l’opération de composition d’arbres.

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Définition 3.5 (Arbre structuré) SoitSP = (T; P;R) un système formel à prédi-cats. SoitE � P un sous-ensemble de prédicats binaires. SoientUpE = (Upp)p2E etDownE = (Downp)p2E deux familles d’ensembles non vides d’instances de règlesd’inférence telles que pour toutp 2 E, Upp etDownp partitionnent l’ensemble desinstances'1;::: ;'np(t;t0) avecn � 0. NotonsPrUpE>DownE le plus petit ensemble (au sensde l’inclusion) défini inductivement de la façon suivante :

— Up℄ [DownE 2 PrUpE>DownE— Soient'1:::'np(t;t0) 2 Downp et (�i : 'i)1�i�n une séquence den arbres de

preuve telle que pour tout'i = p0(u; v) avecp0 2 E, �i 2 PrUpE>DownE . Alors,(�i : '1; : : : ; �n : 'n; ') 2 PrUpE>DownEDéfinition 3.6 (Semi-commutation)Avec les notations et conditions de la défini-tion 3.5,UpE semi-commuteavecDownE si et seulement si pour tout arbre depreuve : i0 1 : : : i'1:::'np(t;t0) : : : mp0(u; v)où i 2 Downp et i0 2 Upp0 , il existe un arbre équivalent� 2 PrUpE>DownE parrapport àL(�). Quand la propriété desemi-commutationest satisfaite, les arbres depreuve dePrUpE>DownE sont appelésarbres de réécriture.

La recherche des ensemblesUpE etDownE est un problème ad-hoc à la logiquesous-jacente. De plus, les couples d’ensembles(UpE ; DownE) satisfaisant les condi-tions de la définition 3.6 peuvent être multiples. Par exemple, dans le cadre de lalogique équationnelle mono-sorte dont le système formel à prédicats est présenté dansl’exemple 3.2, on peut considérer comme candidats tous les couples définis de la fa-çon suivante :Upf=g contient toutes les instances des règles d’inférence excepté une

instance quelconque de la règle de transitivité, disonst1=t2 t2=t3t1=t3 . Il est très fa-

cile de démontrer que toute instance des règles de symétrie,remplacement et sub-stitution semi-commute avec cette instance (en fait, on verra dans l’exemple 3.8,que ces instances semi-commutent avec toutes les instancesde la règle de transiti-

vité). Enfin, tout arbre de preuve de la forme :

t1=t2 t2=t3t1=t3 t3=t4t1=t4 se transforme en :t1=t2 t2=t3 t3=t4t2=t4t1=t4 qui appartient àUp℄f=g. Dans ce cas,Upf=g semi-commmute

avecDownf=g = f t1=t2 t2=t3t1=t3 g.Maintenant, pour beaucoup de logiques (en tout cas, toutes celles utilisées en informa-tique et en mathématiques) la relation d’inférence` est générée à partir de schémas derègle d’inférence, c’est-à-dire une unique forme caractérisant une infinité d’instances.Pour ces logiques, une stratégie consiste alors à faire appartenir au même ensembleUpE ouDownE toutes les instances d’un même schéma de règle. C’est bien entendula stratégie qui a été suivie pour toutes les logiques où la réécriture a été étudiée.

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L’avantage de cette stratégie est qu’elle profite pleinement de ces formes génériquessimples dont le nombre est usuellement fini. Ceci permet entre autres d’étudier de fa-çon simple la propriété de semi-commutation. En effet, sanscette caractéristique, lenombre d’instances d’une règle d’inférence est habituellement infini, et ainsi, la véri-fication de la propriété de semi-commutation peut devenir difficile voire impossible. Ilsuffit alors de tester la propriété de semi-commutation entre les schémas de règle prisdeux à deux et de mettre dansDownE toutes les instances des schémas de règle qui nevérifient pas cette dernière sur au moins un des autres schémas (voir l’exemple 3.8).Par souci de simplicité, nous n’avons pas modélisé cette stratégie dans notre méta-cadre. La raison est qu’elle demande au préalable de formaliser la notion de schémade règle. Or, cette formalisation s’avère être une tâche difficile et fastidieuse, ce quid’un point de vue pédagogique engendrerait une difficulté supplémentaire dans la pré-sentation de la méta-caractérisation. Cela aurait été de peu d’intérêt pour une stratégiesi naturelle.La difficulté de cette formalisation réside principalementdans l’hétérogénéité de l’in-terprétation des objets manipulés. En effet, parmi les méta-variables manipulées àl’intérieur des schémas de règle, certaines sont interprétées comme des termes, desformules ou encore des objets mathématiques plus complexes(par exemple, des ap-plications dénotant des substitutions). De plus, ces dernières peuvent être contraintessur leur forme ou d’autres critères (par exemple que toutes les variables soient substi-tuées par des termes définis ou encore des conditions de portées sur les variables dansle cadre de la logique du premier ordre).À notre connaissance, il n’existe pas de travaux sur une formalisation générale desschémas de règle. Seuls quelques travaux ont été effectués pour certaines familles delogiques simples (logique propositionnelle [24], logiquedu premier ordre [25]) et dansle cadre restreint de calcul à la Hilbert.

La propriété de semi-commutation définit des règles de transformation d’arbresde preuve. Quand l’application de ces dernières termine, elles permettent alors detransformer tout arbre de preuve en un arbre de réécriture.

Définition 3.7 (Approprié pour la réécriture) SoitSP = (T; P;R) un système for-mel à prédicats. Un sous-ensembleE � P de prédicats binaires estapproprié pour laréécrituresi et seulement s’il existe deux familles d’ensembles d’instances de règlesUpE etDownE satisfaisant à toutes les conditions de la définition 3.5 et aux deuxconditions suivantes :

1.UpE semi-commute avecDownE et

2. les règles de transformations d’arbres de preuve résultant de cette propriété desemi-commutation terminent.

Cette définition amène aux commentaires suivants :

— Dans les logiques où ce type de déduction a été défini, les tautologies sontsimplement reconnues sur leur structure syntaxique. Par exemple, dans le cadre de la

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logique équationnelle, une tautologie est nécessairementde la formet = t. Commeautre exemple, dans le cadre de la logique équationnelle conditionnelle, les tautologiessont toutes les formules de la forme ) t = t ou bien 1 ^ t = t0 ^ 2 ) t = t0 où 1 et 2 sont des conjonctions d’équations. Pour toutes ces logiques, il n’est alors pasutile de considérer dans les ensemblesUp etDown les arbres de preuves dénotant detelles tautologies. Elles ne seront prises en compte que comme fermeture de la relationde convertibilité ou de réécriture.

— La terminaison d’un ensemble de règles de transformation est un problème in-décidable souvent difficile à démontrer2. Cependant, dans [1], nous présentons unefamille de systèmes formels à prédicats pour lesquels la terminaison est toujours as-surée. Ces derniers sont ceux où la propriété de semi-commutation résulte en un en-semble de règles de transformation d’arbres de preuve vérifiant certaines conditions.Ces conditions sont une généralisation d’une propriété usuellement vérifiée par l’en-semble des logiques sur lesquelles la réécriture a été étudiée. Elles traduisent le fait quela semi-commutation consiste à distribuer certaines instances de règles sur d’autres.Par exemple, dans le cadre de la logique équationnelle, la règle de substitution remontesur la règle de transitivité. En effet, nous avons la transformation suivante:

SubstTrans

t=t0 t0=t00t=t00�(t)=�(t00) Trans

Substt=t0�(t)=�(t0) Subst

t0=t00�(t0)=�(t00)�(t)=�(t00)Cette transformation consiste bien à “distribuer”la règlede substitution sur les pré-misses de la règle de transitivité. Les autres règles de la logique équationnelle satis-font la même propriété de se distribuer sur la règle de transitivité (voit l’exemple 3.8ci-dessous).

Exemple 3.8 Pour le système formel à prédicats développé dans l’exemple3.2, nousappliquons donc la stratégie qui consiste à partitionner les schémas de règle eux-mêmes. Montrons alors que toute instance des règles de symétrie, remplacement etsubstitution se distribue sur toutes les instances de la règle de transitivité :

Remp.

Trans.ti=t0 t0=t0iti=t0if(t1;::: ;ti;::: ;tn)=f(t1;::: ;t0i;::: ;tn)

Trans.

Remp.ti=t0f(t1;::: ;ti;::: ;tn)=f(t1;::: ;t0 ;::: ;tn) Remp.

t0=t0if(t1;::: ;t0;::: ;tn)=f(t1;::: ;t0i ;::: ;tn)f(t1;::: ;ti;::: ;tn)=f(t1;::: ;t0i;::: ;tn)Sym.

Trans. t=t0 t0=t00t=t00t00=t Trans.Sym. t0=t00t00=t0 Sym. t=t0t0=tt00=t

(pour la règle de substitution se référer aux commentaires ci-dessus)

En suivant le même principe de preuve, il est très facile de voir que l’inverse n’estpar vrai en général. On pose doncUpf=g comme l’ensemble contenant toutes lesinstances de symétrie, remplacement et substitution, etDownf=g comme l’ensemblecontenant toutes les instances de la règle de transitivité.

2. Pour s’en convaincre, il suffit de voir la plupart des conjectures en théorie des nombres dont l’énoncétraduit souvent un problème de terminaison.

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À partir de ces définitions, nous avons montré dans [1], le résultat suivant, connusous le nom de logicalité:

Théorème 3.9 (Logicalité généralisée)Pour tout système formel à prédicats munid’un ensemble approprié pour la réécriture, on a :� ` p(u; v)() u �$p� voù p 2 E et

�$p� est la clôture des formules de la formep(t; t0) 2 � par les arbresde réécriture dePrUpE>DownE (voir [1] pour les définitions exactes et la preuvecomplète de ce résultat).

Ce résultat est donc une généralisation du résultat de logicalité démontré par G. Bir-khoff dans le cadre de la logique équationnelle mono-sorte et de toutes ses extensionsalgébriques simples ( [30], [31]). Il établit un résultat decomplétude entre la preuveformelle et la réécriture utilisée comme un mécanisme de déduction (les aspects opé-rationnels sont ignorés).

4. Systèmes de réécriture

4.1. Définitions de base

L’idée centrale de la réécriture est d’orienter les prédicats binaires dans l’espoird’obtenir au final une procédure de décision compatible avecles prédicats d’origine(c’est-à-dire possédant le même pouvoir de preuve). L’orientation d’un prédicat bi-naire p définit deux relations binaires!p et p, appelées relations de réécriture.Dans le cas où un prédicat binairep est transitif, la relation!p associée sera alors unordre. Sip est symétrique, une seule relation de réécriture suffit. En effet, quandp estsymétrique, nous avons p= (!p)�1.Dans le cadre générique présenté dans cet article, les prédicats binaires ne sont mu-nis d’aucune propriété particulière (par exemple, on ne sait rien de leur symétrie oude leur transitivité). Ils peuvent être contraints par d’autres formules définies sur desprédicats quelconques (comme le prédicat unaire de définissabilité dans le cadre de lalogique avec fonctions partielles - voir la section 6). Les systèmes de réécriture sontalors définis dans notre cadre de la façon suivante :

Définition 4.1 (Système de réécriture)Soit SP = (T; P;R) un système formel àprédicats muni d’un ensembleE � P approprié pour la réécriture. UnSP-systèmede réécritureest un tripletR = (�;!; )où� est un ensemble de formulesp(t1; : : : ; tn)tel quep62E, et! et sont deux familles indexées parE de relations binaires surTsatisfaisant :8p 2 E; !p [ p� p.

La condition imposée sur les relations de réécriture signifie simplement que lesdeux relations!p et p sont compatibles avec la définition syntaxique du prédicat

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Une axiomatisation de la réécriture 11p donnée dansSP (par exemple, la compatibilité avec les sortes dans le cadredeslogiques multi-sortes).

Afin de respecter la structure des arbres de réécriture, les étapes de réécriture se-ront obtenues, pour chaque prédicatp 2 E, en fermant chacune des deux relationsde réécriture!p et p par les arbres deUp℄E . Une dérivation sera donc obtenue enfermant toutes les étapes de réécriture selon les instancesdeDownE . L’approche na-turelle serait alors d’orienter la conclusion d’une instance de règle deDownE dansune direction donnée à la condition que toutes ses prémissesà réécrire (c’est-à-direcelles dont le prédicat appartient àE) soient orientées dans cette même direction.C’est le cas, dans le cadre de la logique équationnelle simple, pour la transitivité.Cependant, ceci n’est pas toujours vérifié, comme nous le verrons pour le modus po-nens de la logique équationnelle conditionnelle développée dans la section 6 de cetarticle : l’orientation de la deuxième prémisse du modus ponens n’a aucune influencesur l’orientation de la conclusion. Il faut donc mettre en évidence, pour chaque arbredeDownE , les feuilles dont l’orientation a de l’importance. Nous les regroupons dansle multi-ensembleFRL(�) dont la définition est la suivante :

Définition 4.2 (Feuilles de réécriture fixées)Pour chaque instance� de DownE ,définissons le multi-ensembleRL(�) = fp(u; v) j p(u; v) 2 L(�) ^ p 2 Eg. Lemulti-ensemble desfeuilles de réécriture fixéespour �, notéFRL(�), est un sousmulti-ensemble deRL(�).

Cependant, cela n’est encore pas suffisant. En effet, pour certains systèmes formelsà prédicats, il est préférable de retirer de l’ensembleUpE certaines instances de règlesqui par leur présence engendrent nécessairement une non-terminaison des relations deréécriture sous-jacentes. C’est le cas des instances de la relation de symétrie dans lecadre de la logique équationnelle. Une caractérisation générale de ces instances est lasuivante :

Définition 4.3 (Schéma de bouclage simple)SoitSP = (T; P;R) un système for-mel à prédicats muni d’un ensembleE � P approprié pour la réécriture. Unschémade bouclage simpleest la donnée den instances distinctes deUpE ,�1 : p1(u1; v1); : : : ;�n : pn(un; vn) telles que :fp1(u1; v1); : : : ; pn(un; vn)g � [1�i�nRL(�i)Fait 4.4 Étant donné un arbre de réécriture� : p(u; v) quelconque défini uniquementà partir d’un sous-ensemble desn instances d’un schéma de bouclage simple, il existeun arbre de réécriture défini aussi uniquement à partir desn instances du schéma debouclage simple et dont� est un sous-arbre direct.

Exemple 4.5 Dans le cadre de la logique équationnelle simple, les couples d’ins-

tances(u=vv=u ; v=uu=v) sont les seuls schémas de bouclage simple.

Notation 4.6 (Retrait des schémas de bouclage simple)SoitSP un système formelà prédicats muni d’un ensembleE de prédicats approprié pour la réécriture. NotonsUpE��! le sous-ensemble deUpE obtenu en retirant toutes les instances apparaissantdans un schéma de bouclage simple.

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12 Technique et sciences informatiques.

Exemple 4.7 Selon l’exemple 4.5, nous définissonsUpf=g����! par :Upf=g����! = Upf=g n fu=vv=u j u; v 2 T�(V )gDéfinition 4.8 (Étape de réécriture) SoitR = (�;!; ) un système de réécriture.Notons� = � [ fp(u; v) j p 2 E ^ (u !p v _ u p v)g. Pour chaque prédicatp 2 E, la relation!pR� T � T (resp. pR� T � T ) est le plus petit ensemble (ausens de l’inclusion) défini inductivement de la façon suivante :

1.!p�!pR (resp. p� pR)

2. pour tout arbre de preuve� : p(t; t0) 2 Up�!℄p tel que :

(a) pour toutp0(u; v) 2 RL(�), on au!p0R v (resp.u p0R v)(b) pour tout' 2 L(�) n RL(�), on a� ` '

on at!pR t0 (resp.t pR t0).Notons!R= (!pR)p2E et R= ( pR)p2E . Un élément de!R [ R est appeléuneétape de réécriture.Enfin, notons$R= f$pRgp2E la famille de relations binaires surT où pour chaquep 2 E,$pR est la fermeture de!pR [ pR par les arbres deUp�!℄p selon les points

2.(a) et 2.(b) ci-dessus en remplaçant«!pR (resp. pR)» par$pR et «!p0R (resp. p0R)» par$p0R.

Remarque : La relation$R contient entre autres pour toutes les instances deUpE��!les conflits d’orientation parmi les feuilles à réécrire, c’est-à-dire les cas où au moinsdeux feuilles de réécriture d’une instance ne sont pas orientées dans le même sens.

Bien entendu, pour espérer obtenir un système qui termine ilfaut, pour tout arbre� 2 UpE��!, et toute formule' 2 L(�)nRL(�), que l’énoncé� ` ' soit décidable. Ceproblème se rencontre régulièrement dans les extensions dela réécriture de termes.Par exemple, dans le cadre de la réécriture modulo un ensemble d’équationsE , ré-écrire une classe[s℄E nécessite d’énumérer toutes les classesE-équivalentes às afinde trouver un terme qui se réduit via la relation de réécriture. Ceci demande alors quetoutes les classes d’équivalence soient finies.

Définition 4.9 (Fermeture des étapes de réécriture)Avec les notations des défini-tions 4.8 et 4.2, on note

�!pR la fermeture de la relation!pR par l’ensemble d’ins-

tancesDownp. Elle se définit comme suit :t �!pR t0 si et seulement si il existe unarbre de preuve� : p(t; t0) 2 Downp tel que :

1. pour toutp0(u; v) 2 FRL(�), on au �!p0R v,2. pour toutp0(u; v) 2 RL(�) n FRL(�), on a soitu �!p0R v, soitu � p0R v,3. pour tout' 2 L(�) n RL(�), on a� ` '

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Une axiomatisation de la réécriture 13

On définit� pR de la même façon. On note

�!R= ( �!pR)p2E et� R= ( � pR)p2E .

Enfin, notons�$R= ( �$pR)p2E la famille indexée parE des relations binaires surT

où pour chaquep 2 E,�$pR est la fermeture de$R par les arbres deDownp, c’est-

à-dire quet �$pR t0 si et seulement s’il existe un arbre de preuve� : p(t; t0) 2 Downptel que :

— 8p0(u; v) 2 RL(�); u �$p0R v— 8' 2 L(�) n RL(�); � ` '.

Remarque : De la définition 4.9, on constate aisément que�!pR [ � pR� �$pR.

De plus, de la même façon que pour la relation$R,�$R contient aussi les conflits

d’orientation parmi ses feuilles à réécrire fixées.

La définition 4.9 amène aux commentaires suivants :

— Ici aussi, la terminaison des systèmes de réécriture requière pour tout arbre� deDownE et tout' 2 L nRL(�) que les énoncés de la forme� ` ' soient décidables.

— Comme nous l’avons expliqué précédemment, les tautologiessont habituel-lement reconnues directement par leur structure syntaxique. Dans ce cas, nous neprenons pas en compte, dansPrUpE>DownE , les arbres dont la conclusion est unetautologie. La fermeture des étapes de réécriture se décompose alors en deux ferme-tures. La première concerne la fermeture par les arbres deDownE telle qu’elle estdéfinie dans la définition 4.9. La seconde définit alors la fermeture par les tautologies.Cette dernière fermeture se définirait dans notre cadre générique de la façon suivante :0!p�= 0 p�= f(u; v) j ; ` p(u; v)g.

Dans le cas où la relation à réécrire est transitive, une dérivation est uniquement dé-finie par une séquence d’étapes de réécriture. Il ne sert à rien de connaître les instancesde la règles de transitivité qui permettent, à partir d’une telle séquence, d’aboutir àl’équation finale. Cela vient du fait que l’ordre d’application de la règle de transitivitén’a pas d’influence sur le résultat obtenu :t1=t2 t2=t3t1=t3 t3=t4t1=t4 t1=t2 t2=t3 t3=t4t2=t4t1=t4 .

De par l’abstraction de notre approche, il ne nous est pas possible de représenter lesdérivations de nos systèmes de réécriture sous forme de séquences d’étapes de réécri-ture. En effet, la fermeture d’un ensemble d’étapes de réécriture par les instances deDownE n’est pas déterministe à priori. À partir des mêmes feuilles, il se peut quedeux suites d’applications d’instances différentes mènent à deux conclusions diffé-rentes ou que seule l’une des deux mène à une conclusion (et que pour l’autre on nepuisse plus appliquer aucune instance deDownE alors que l’arbre n’est pas encorecomplet).

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14 Technique et sciences informatiques.

Ceci aboutit naturellement à dénoter les dérivations par des arbres dont les feuillessont des étapes de réécriture (c’est-à-dire, des éléments de!R [ R) et les noeudsdes fermetures d’étapes de réécriture (c’est-à-dire des éléments de�$R).

Notation 4.10 L’expressionu ��R v signifie que l’on a soitu �!R v soitu � R v.Définition 4.11 (Dérivations) Avec les notations de la définition 4.9, unedérivation

est un arbre� dont les noeuds sont étiquetés par des éléments de��R et les feuilles

par des éléments de�R. Elle se définit de la façon suivante : l’arbre��1 : u1 ��p1R v1 : : :�n : un ��pnR vnu ��pR vest unedérivationsi et seulement si :1: pour tout1 � i � n, �i est une dérivation ;2: il existe une instance�0 = 1::: mp(u;v) 2 Downp telle que :

— RL(�) = fp1(u1; v1); : : : ; pn(un; vn)g— 81 � i � n; i 2 L(�) n RL(�)) � ` i3: 81 � i 6= j � n; pi(ui; vi); pj(uj; vj) 2 FRL(�)) (ui �!R vi , uj �!R vj).

Dans ce cas, la réécriture associée àp(u; v) dans� respecte ce sens.

On fait référence à cette dérivation par� : u ��pR vDéfinition 4.12 (Preuves)Avec les notations de la définition 4.11, unepreuveest dé-

finie comme une dérivation en remplaçant��R par

�$R et en supprimant la condi-tion 3.

Une dérivation (resp. une preuve) est donc tout arbre résultant de la définition induc-

tive de��R (resp.

�$R) à partir des étapes de réécriture élémentaires dans lequelon aretiré tout ce qui ne concernait pas un prédicat à réécrire.

4.2. Relation de réduction et terminaison

Bien entendu, un système de réécriture termine si aucune de ses dérivations n’estextensible à l’infini. Ici, l’extension d’une dérivation porte naturellement sur les arbres.On pourrait être tenté de la définir sur la simple notion de sous-arbre, et donc direqu’un système termine si il ne possède pas de dérivation extensible à l’infini. Cepen-dant, ceci est trop fort. En effet, prenons le simple cadre dela logique équationnelle oùune dérivation est extensible aussi bien sur le terme le plusà gauche que sur celui leplus à droite. Mais, seules les extensions effectuées sur les termes les plus à droite desdérivations déterminent la terminaison des systèmes de réécriture. Dans le cadre gé-nérique développé ici, il n’est pas possible de caractériser l’équivalent de ces notions

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Une axiomatisation de la réécriture 15

de terme le plus à gauche et de terme le plus à droite propres aux relations transitives.La seule chose que l’on puisse dire est que la relation d’extensibilité associée aux sys-tèmes de réécriture est contenue dans la relation de sous-arbres. On obtient alors ladéfinition suivante :

Définition 4.13 (Relation d’extensibilité) SoitR un système de réécriture. Unere-lation d’extensibilitépourR est une relation binaire)R définie sur les dérivationstelle que :� )R �0 =) 9! 2 N�; �0j! = �.

Définition 4.14 (Terminaison) SoitR un système de réécriture muni d’une relationd’extensibilité)R. On dira queR terminepar rapport à)R si et seulement)R estnœthérienne.

Prouver la terminaison d’un système de réécriture peut demander de regarder unensemble infini d’extensions pour chacune des dérivations possibles du système. Unmoyen de répondre à ce problème est d’utiliser une relation plus simple à définir pos-sédant naturellement la propriété de terminaison recherchée (par exemple, tous lesordres de réductions usuels dans le cadre des logiques algébriques, c’est-à-dire lesextensions de la logique équationnelle), et qui contient larelation d’extensibilité sous-jacente. Ceci motive alors le concept de relation de réduction qui englobe dans sadéfinition les fermetures par les arbres deUp�!℄E etDownE . Pour les même raisons queprécédemment, cette relation n’est pas forcément une relation d’ordre.

Définition 4.15 (Relation de réécriture) SoitSP = (T; P;R) un système formel àprédicats muni d’un ensembleE de prédicats approprié pour la réécriture. Soit� unensemble de formules de la formep(t1; : : : ; tn) où p62E. Soit� une relation binairesur T . Notons� = � [ fp(u; v) j u � vg. Le couple(�;�) est appelérelation deréécrituresi et seulement si :

— � respecte la syntaxe définie par les prédicats deE, c’est-à-dire :�� [p2E p [ p�1— � est fermée parUp�!℄E , c’est-à-dire : pour tout arbre� : p(u; v) deUp�!℄p, si

pour chaque feuillep0(u0; v0) 2 RL(�) on au0 � v0 (resp.v0 � u0) et pour chaquefeuille' 2 L(�) n RL(�) on a� ` ', alorsu � v (resp.v � u)

— � est fermée parDownE , c’est-à-dire : pour tout arbre� : p(u; v) 2 Downp,si pour chaque feuillepi(ui; vi) 2 FRL(�) on a ui � vi (resp. vi � ui), pourchaquepj(uj; vj) 2 RL(�) nFRL(�) on auj � vj ou bienvj � uj et pour chaque' 2 L(�) n RL(�) on a� ` ', alorsu � v (resp.v � u).

Définition 4.16 (Réduction) Avec les notations de la définition 4.15, uneréductionest alors définie comme une dérivation en remplaçant dans la définition 4.11, le sym-bole

�!pR par le symbole�.De la même manière que pour les dérivations, on peut définir des relations d’extensi-bilité pour les réductions. Ces dernières contiennent aussi la relation de sous-arbres.

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Définition 4.17 (Relation de réduction) Une relation de réécriture(�;�)munie d’unerelation d’extensibilité> est unerelation de réductionsi et seulement si> est nœthé-rienne.

Comme nous l’avons déjà succinctement abordé ci-dessus, montrer la terminaisond’un système de réécriture à partir des seules règles de réécriture est un problème quipeut s’avérer très difficile. Dans le cadre de la logique équationnelle (ceci se généralised’ailleurs à toutes les logiques fonctionnelles manipulant des relations transitives oude façon plus générale des relations binaires définies commela composition d’autresrelations binaires [23]), un moyen pour obtenir un tel résultat est souvent de définir unordre de réduction plus général (c’est-à-dire un ordre bien-fondé fermé par contexteet substitution) sur les termes qui contient la fermeture réflexive et transitive de larelation de réécriture. Cette méthode est justifiée par un théorème simple établi parLankford [17]. Ci-dessous, nous donnons une forme généralisée de ce résultat dans lecadre de nos systèmes de réécriture.

Théorème 4.18 (Théorème de Lankford généralisé)SoitR = (�;!; ) un sys-tème de réécriture muni d’une relation d’extensibilité)R. R termine par rapportà )R si et seulement si il existe une relation de réduction(�;�) dont la relationd’extensibilité est>, et telle que :

1. 8p 2 E;!p [( p)�1 ��2. pour toute dérivation�, notons� la réduction obtenue en remplaçant tout

noeud et toute feuilleu �!R v (resp.u � R v) de � par u � v (resp.u � v).Alors, nous avons :�)R �0 =) � > �0.

Dans le cadre des logiques où la relation à réécrire est la fermeture par compositiond’autres relations binaires (ceci généralise entre autresles relations transitives maisaussi les relations de sous-typage, etc.), on peut alors utiliser tous les résultats usuelssur les ordres de simplification que l’on peut trouver dans n’importe quel livre traitantdu sujet de la réécriture termes (par exemple [3]).

4.3. Propriétés des systèmes de réécriture

L’idée de la réécriture en tant que système de déduction est d’établir une relationentre la relation de convertibilité et la réécriture, connue sous le nom de la propriétéde Church-Rosser. Dans le cas des logiques dites fonctionnelles ou algébriques (ex-tensions de la logique équationnelle), ceci est obtenu en assurant que la relation deréécriture est déterministe (on dit aussi confluente). La confluence définit des règlesde transformation de certains arbres de réécriture en d’autres arbres de réécriture. Lespremiers sont appelés despicset les seconds desvallées. En utilisant le vocabulairedéfini dans cet article, les pics et les vallées sont composésde deux dérivations (c’est-à-dire des séquences d’étapes de réécriture) liées entre elles par une instance de larègle de transitivité. Ce qui les différencie est que dans les pics, les dérivations sontliées par le terme de début alors que dans les vallées, elles sont liées par le terme de fin.

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Une axiomatisation de la réécriture 17

La propriété de Church-Rosser est alors obtenue à partir de la propriété de confluenceen constatant que pour ces logiques fonctionnelles, tous les arbres de réécriture telsqu’ils sont définis dans la définition 3.6, peuvent se mettre sous la forme d’une sé-quence de pics et de vallées. Il est alors très facile de constater que le remplacementde tout pic maximal (c’est-à-dire non sous-arbre d’un pic plus grand) réduit le nombrede pics de départ. La confluence traduit donc un ensemble de règles qui permet detransformer tout arbre de réécriture en une vallée, en un nombre fini d’applications.Pour généraliser la propriété de Church-Rosser, nous devons donc dans un premiertemps définir un équivalent des notions de pics et de vallées.De par l’abstraction duformalisme traité ici, ces deux notions ne sont pas généralisables directement (car lesnotions de termes de début et de fin sont propres aux relationstransitives). En effet,nous pouvons constater simplement que ce ne sont que des notions duales définiessur les instances d’arbres deDownE , et qui partitionnent l’ensemble des possibili-tés d’orientation des feuilles fixées à réécrire de chaque instance d’arbre deDownEquand ces dernières ne définissent pas une dérivation. Enfin,ces notions ne traduisentplus un déterminisme ou un non-déterminisme de la réécriture propre aux relationstransitives. Nous ne parlerons pas alors, à ce niveau d’abstraction, de pic et de vallée,mais simplement demauvaise preuveet debonne preuve.

Définition 4.19 (Bonne et mauvaise preuve)SoitSP = (T; P;R) un système for-mel à prédicats muni d’un ensembleE de prédicats approprié pour la réécriture. Lesnotions debonnes preuveset demauvaises preuvesse caractérisent par deux fonctionsG;B : DownE ! 22T�T satisfaisant aux conditions suivantes3 :

— elles ne dépendent que des feuilles de réécriture fixées :8� 2 DownE ; 8S 2 B(�) [G(�);(p(u; v) 2 FRL(�)) (u; v) 2 S _ (v; u) 2 S)^((u; v) 2 S ) 9p 2 E: p(u; v) 2 FRL(�) _ p(v; u) 2 FRL(�))— une feuille de réécriture fixée d’un arbre� deDownE n’apparaît qu’une seule

fois dans chaque preuve deG(�) [B(�) :8� 2 DownE ; 8S 2 B(�) [G(�); (u; v) 2 S , (v; u) =2 S— les bonnes et les mauvaises preuves ne contiennent aucune dérivation :8� 2 DownE ; 8S 2 B(�) [G(�); FRL(�) = fp1(u1; v1); : : : ; pn(un; vn)g =)(91 � i 6= j � n; (ui; vi) 2 S , (vj ; uj) 2 S)

De la définition 4.19, on observe aisément que :

1. les notions de bonne et de mauvaise preuve sont des notionsduales, c’est-à-dire,pour toutS 2 G(�), il existe un uniqueS0 2 B(�) tel que(u; v) 2 S , (v; u) 2 S0,et inversement.

3. La lettreG est utilisée pour “Good” et la lettreB pour “Bad”.

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18 Technique et sciences informatiques.

2. les trois ensembles que sont les bonnes preuves, les mauvaises preuves, et lesdérivations d’un arbre� deDownE forment une partition de l’ensemble des combi-naisons possibles d’orientation des feuilles de réécriture fixées de�.

Exemple 4.20 Dans le cadre de la logique équationnelle, à partir du partitionnementeffectué dans l’exemple 3.8, les notions de bonnes et de mauvaises preuves se défi-nissent de la façon suivante :

— B : t1=t2 t2=t3t1=t3 7! ff(t2; t1); (t2; t3)gg— G : t1=t2 t2=t3t1=t3 7! ff(t1; t2); (t3; t2)ggB définit bien la notion de pict1 t2 ! t3, etG celle de valléet1 ! t2 t3. Ici,

les ensembles ne sont que des singletons car la règle de transitivité ne contient quedeux prémisses.

Une preuve par réécriture est donc soit une dérivation, soitune preuve dont tousles sous-arbres directs sont des dérivations et seule la dernière étape est l’applicationd’une bonne preuve. En suivant la définition des applicationsG etB de l’exemple 4.20,ceci définit bien l’équivalent d’une preuve par confluence dans les logiques fonction-nelles.

Définition 4.21 (Preuve par réécriture) SoitR = (�;!; ) un système de réécri-ture. Notons� = � [ fp(u; v) j p 2 E ^ (u !p v _ u p v)g. Unepreuve parréécritureest soit une dérivation, soit une preuve de la forme :� = �1 : u1 ��p1R v1 : : : �n : un ��pnR vnu �$pR vtelle qu’il existe�0 : p(u; v) 2 Downp avecRL(�0) = fp1(u1; v1); : : : ; pn(un; vn)gsatisfaisant aux conditions suivantes :

1. 8 2 L(�0) n RL(�0);� ` 2. 9S 2 G(�0); 8pi(ui; vi) 2 FRL(�0); (ui; vi) 2 S , ui �!piR viEnfin, une preuve par effluence est le dual d’une preuve par réécriture.

Définition 4.22 (Preuve par effluence)Une preuve par effluencese définit commeune preuve par réécriture lorsque cette dernière ne caractérise pas une dérivation, enchangeant la condition “S 2 G(�0)” par la condition “S 2 B(�0)”.Uneeffluence localeest une preuve par effluence de hauteur1.

Définition 4.23 (Church-Rosser, correct et localement correct) Un système de ré-écritureR est dit :

— deChurch-Rossersi et seulement si pour toute preuve il existe une preuve parréécriture de même conclusion.

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Une axiomatisation de la réécriture 19

— correctsi et seulement si pour toute preuve par effluence il existe une preuvepar réécriture de même conclusion.

— localement correctsi et seulement si pour toute effluence locale il existe unepreuve par réécriture de même conclusion.

Comme nous l’avons explicité précédemment, le cadre des systèmes de réécrituredéfini dans cet article est trop général pour obtenir les propriétés usuelles sous-jacentesà la complétion. Les logiques dans lesquelles des procédures de complétion ont été dé-finies, comme la logique équationnelle qui est un exemple représentatif de notre abs-traction, possèdent toutes des propriétés qui sont utiles dans ce contexte mais ne sontpas forcément satisfaites par tout système formel à prédicats (ces dernières n’étantpas imposées dans la définition). Tout d’abord, on peut remarquer que dans toutesces logiques, toute preuve dans un système de réécriture quin’est pas une dérivationcontient au moins une effluence. Cette effluence est obtenue en ré-agençant l’ordred’application des règles de transitivité. De plus, dans toute preuve, le remplacementd’une effluence de taille maximale (c’est-à-dire qui n’est pas contenue elle-même dansune effluence) par une preuve par confluence réduit, en général d’une unité, le nombred’effluences maximales de départ. Toute preuve par effluencecontient une effluencelocale comme sous-arbre. Enfin, il existe une relation d’ordre nœthérienne sur leseffluences. Dans le cadre des logiques où la relation à réécrire est transitive, cette der-nière est contenue dans une relation d’ordre plus générale engendrée à partir d’unerelation de réduction sur les termes.Guidés par ces propriétés, nous restreignons la notion de système formel à prédicatspour ne traiter que des systèmes formels à prédicats dits deKnuth-Bendix. Avant dedéfinir ces derniers, nous devons tout d’abord définir quelques notions utiles à ce pro-pos.

Définition 4.24 (Possession d’effluences)Une preuve� possède des effluences (resp.des effluences locales)si et seulement si il existe un sous-ensemble de feuillesD �L(�), une preuve par effluence (resp. une effluence locale)�0, une preuve�00 et unmot! 2 N� tels que :

— L(�0) = D,— � et�00 ont même conclusion, et— �00j! = �0.

Le couple d’arbres(�0; �00) s’appelle uneeffluence(resp.effluence locale) de�.

Exemple 4.25 Soit l’arbre de preuve� obtenu à partir de la séquence de réécrituresuivante en appliquant les instances de la règles de transitivité de la gauche vers ladroite : t1 ! t2 t3 t4 ! t5 t6 ! t7Les couples suivants sont des exemples d’effluences de� :

1. ( t3 t4!t5t3 +$t5 ; t1!t2 t3t1+$t3 t3 t4!t5t3 +$t5t1+$t5 t5 t6!t7t5 +$t7t1 +$t7 )

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20 Technique et sciences informatiques.

2. ( t2 t3 t4t2+ t4 t4!t5t2 +$t5 ; t1!t2 t2 t3 t4t2 + t4 t4!t5t2+$t5t1 +$t5 t5 t6!t7t5+$t7t1 +$t7 )3. ( t5 t6!t7t5 +$t7 ; t1!t2 t3t1 +$t3 t3 t5t1+$t4 t4!t5t1 +$t5 t5 t6!t7t5+$t7t1 +$t7 )

Définition 4.26 (Effluence maximale)Avec les notations de la définition 4.24, uneeffluence(�01; �001 ) d’une preuve� est ditemaximalesi et seulement s’il n’existe pasd’autre effluence(�02; �002 ) de� telle queL(�01) � L(�02).Exemple 4.27 En reprenant l’exemple 4.25, seuls les couples 2. et 3. sont des ef-fluences maximales. L’effluence 1. n’est pas une effluence maximale parce queft3 t4; t4 ! t5g est inclus dansft2 t3; t3! t4; t4 ! t5g.

En suivant la définition 4.24, aucune contrainte n’est imposée sur l’arbre�00 ex-cepté qu’il doit contenir un sous-arbre dénotant une effluence dont les feuilles sontprécisémentD. Il se peut alors qu’à partir d’un arbre� nous nous retrouvions à choi-sir une effluence(�0; �00) où le nombre d’effluences de�00 est plus grand que ce-lui de �. De plus, le remplacement d’une effluence par une preuve par réécriture demême conclusion n’assure en rien, dans ce cadre général, quedans l’arbre résultant,le nombre d’effluences possibles ait réduit. L’associationdes ces deux remarques fal-sifie alors l’équivalence entre les systèmes corrects et lessystèmes de Church-Rosser.Dans le cadre des logiques fonctionnelles où la relation à réécrire est transitive, ceci serésout simplement car le choix d’une effluence à partir d’uneséquence de réécrituressimple ne consiste qu’à ré-agencer l’ordre d’application de la règle de transitivité.La séquence de réécriture étant la même, le nombre d’effluences est alors identique.Donc, le remplacement d’une effluence maximale par une preuve par réécriture réduitd’une unité le nombre d’effluences maximales de départ.

Notation 4.28 (Nombre d’effluences maximales)Avec les notations de la définition 4.26,étant donnée une preuve�, notonsNEM (�), appelénombre d’effluences maximalesde �, le nombre de sous-ensembles distinctsD � L(�) pour lesquels il existe uneeffluence maximale(�0; �00) de� telle queL(�0) = D.Dans la suite, on notera� �em � pour signifier queNEM (�) � NEM (�0) et� <em � pour signifier queNEM (�) < NEM (�0).Définition 4.29 (Système formel de Knuth-Bendix)Un système de Knuth-Bendixest un système formel à prédicatsSP = (T; P;R) muni d’un ensembleE � Pde prédicats approprié pour la réécriture et tel que pour tout système de réécritureR = (�;!; ) qui termine pour une relation d’extensibilité)R, les conditionssuivantes sont vérifiées :

1. (Existence d’effluences) : Toute preuve� qui n’est pas une preuve par réécri-ture possède au moins une effluence(�0; �00) satisfaisant la condition :�00 �em �.

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Une axiomatisation de la réécriture 21

2. (Réduction des effluences maximales) : Étant donnée une effluence maximale(�0; �00) d’une preuve� satisfaisant à la condition du point 1., pour toute preuve parréécriture�000 de même conclusion que�0 on a :�00j! = �0 =) �00[�000℄! <em �00

3. (Existence d’effluence locale) : Toute preuve par effluence� possède une ef-fluence locale.

4. (Existence d’un ordre nœthérien sur les effluences) : Soit� la relation d’ordredéfinie sur les effluences de la façon suivante :�1 � �2 ssi il existen 2 N et deuxséquences finies((�01; �001 ); : : : ; (�0n; �00n)) et (�0001 ; : : : ; �000n�1)) telles que :

— (�01; �001 ) est une effluence locale de�1 satisfaisant�001 �em �1— pour tout1 � i � n� 1 :� �000i est une preuve par réécriture de même conclusion que�0i� (�0i+1; �00i+1) est une effluence locale de�00i [�000i ℄!i (c-à-d.�00i j!i = �0i) satisfaisant�00i+1 �em �00i [�000i ℄!i— il existe une preuve�3 telle que(�2; �3) est une effluence maximale de�00n[�000n ℄!n

(�00nj!n = �0n) satisfaisant�3 �em �00n[�000n ℄!nL’ordre� doit être nœthérien.

Plus succinctement, l’ordre� exprime le fait que toutes les effluences maximalesd’un arbre résultant d’une séquence de remplacements d’effluences locales par despreuves par réécriture de même conclusion dans une effluence� de départ, sont pluspetites que� selon cet ordre.

Par définition de�, si le système de réécriture sous-jacent est localement correctalors les éléments minimaux sont nécessairement des effluences locales. Attention, dufait de la généralité de l’approche, toutes les effluences locales ne sont pas nécessaire-ment minimales pour l’ordre� (alors que c’est le cas pour la logique équationnelle).

Exemple 4.30 Le système formel à prédicats associé à la logique équationnelle estde Knuth-Bendix. En effet, :

1. Toute séquence de réécriture qui n’est pas une dérivationni une preuve parréécriture possède au moins une effluence maximale. À partird’une séquence de ré-écriture donnée, quel que soit l’ordre d’application de la transitivité, les arbres résul-tants possèdent tous le même nombre d’effluences maximales selon la notation 4.28. Ilpeut exister d’autres couples satisfaisant à toutes les conditions de la définition 4.26avec un nombre d’effluences maximales différent (c’est-à-dire plus petit ou plus grand)mais dans ce cas ils sont nécessairement définis à partir d’une séquence de réécrituredifférente.

2. Dans le cadre de la logique équationnelle, le point 2. de ladéfinition 4.29résulte directement du fait que tout sous-arbre d’une preuve par réécriture est lui-même une preuve par réécriture. Dans une séquence de réécritures élémentaires, enremplaçant une effluence maximale par une preuve par réécriture, on diminue donc lenombre d’effluences maximales d’une unité.

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22 Technique et sciences informatiques.

3. Toute preuve par effluence possède une unique effluence locale. Ceci s’observeaisément de façon graphique.

4. L’équivalent de� dans le cadre de la logique équationnelle est inclus dansl’ordre A suivant : z + x +! z0 A w + y +! w0 ssix +! yPour tout système de réécriture qui termine, nous savons parle théorème de Lank-

ford que+! est nœthérien. Donc,A l’est aussi. Enfin, tout ordre inclus dans un ordre

nothérien est lui-même nœthérien, donc� est nœthérien.

À partir de la définition 4.29, nous obtenons alors le résultat suivant qui est unegénéralisation aux systèmes de Knuth-Bendix de la propriété de Church-Rosser et dulemme de Newman :

Théorème 4.31Pour tout système de réécritureR qui termine défini dans un systèmede Knuth-Bendix, les conditions suivantes sont équivalentes :

1.R est localement correct.

2.R est correct.

3.R est de Church-Rosser.

5. Complétion des systèmes de réécriture

Dans cette section, nous proposons une méthode de complétion adaptée à notrecadre générique. Comme il est usuel de le faire depuis les travaux de Bachmair, Der-showitz et Hsiang [4, 5], cette méthode de complétion sera présentée sous la formed’un ensemble de règles d’inférence.Ici, étant donné un système formel à prédicatsSP = (T; P;R)muni d’un ensembleEde prédicats appropriés pour la réécriture, les règles d’inférence agiront sur des paires(�;R) telles que :

— � = (�; E) où� est un ensemble de formules de la formep(t1; : : : ; tn) avecp62E, etE un ensemble de couples composés d’une formule de la formep(t; t0) avecp 2 E et d’un symbole pris dansf!; ;�g.— R = (�;!; ) est un système de réécriture.

Le symbole associé à toute formulep(t; t0) dansE dénote le sens de réécriture quel’on attend dans les étapes de complétion qui succèdent à cette dernière :

— si le symbole est! (resp. ) alors on accepterat!p t0 (resp.t p t0),— si le symbole est� alors le sens est indifférent, c’est-à-dire qu’on acceptera

comme choix d’orientation de la réécrituret !p t0 ou bient0 !p t. Bien entendu,quand l’un des deux sens est choisi, l’autre est exclu naturellement.

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Une axiomatisation de la réécriture 23

Une preuve d’une formulep(t; t0) avecp 2 E dans un couple(�;R), appelée icipreuve mixte, se définit alors de la façon suivante :

Définition 5.1 (Preuve mixte) Pour tout couple(�; R), notons�$�;R la famille in-

dexée parE de relations binaires�$p�;R sur T définies par :

�$p�;R est la fermeturede!pR [ pR [f(u; v) j p(u; v) 2 �g par les arbres deUp�!℄p et Downp (cf. lesdéfinitions 4.8 et 4.9).On appellepreuve mixtetout arbre résultant de la fermeture de$�;R parDownEdans lequel on a retiré tout ce qui ne concernait pas un prédicat à réécrire (cf. lesdéfinitions 4.11 et 4.12).Les notions d’effluence locale et maximale dans une preuve mixte s’étendent de façonnaturelle.

Enfin, l’algorithme de complétion reçoit aussi en entrée unerelation de réduction(�;�) surT munie d’une relation d’extensibilité>. La procédure de complétion estalors définie par l’ensembleC des règles d’inférence données en figure 1.

Les règles de complétion de la figure 1 appellent quelques commentaires :— La règleDÉDUIRE dérive une formule à réécrire qui est une conséquence di-

recte d’une effluence des règles deR. Dans le cadre des logiques fonctionnelles, cetterègle est remplacée par un calcul de paires critiques. Ce calcul a la particularité determiner lorsque l’ensemble des règles de départ est fini. Ici, ce calcul n’est pas géné-ralisable car la définition d’une paire critique repose sur des propriétés d’unification etde superposition propres à la réécriture de termes du premier ordre qui n’apparaissentpas dans notre cadre générique.

— La règleSIMPLIFIER utiliseR pour réduire des formules à réécrire. Elle consistedonc à rechercher une instance� deDownE dont la conclusion est l’une des formulesde�, et à la remplacer dans� par toutes les prémisses de cette instance (celles indi-cées parI) qui ne se réécrivent pas munies d’un sens d’orientation compatible avec ladénotation de bonne preuve pour�. Dans le cadre de la logique équationnelle, elle setraduirait de la façon suivante :

SIMPLIFIER�[f(u=v;_)g;R�[f(u0=v;�)g;R si u +!R u0

Ceci s’obtient à partir de l’instance de la transitivitéu=u0 u0=vu=v . Commeu +!R u0, iln’est pas possible d’obtenir une mauvaise preuve (c’est-à-dire un pic) quelle que soitl’orientation que prendra l’identitéu0 = v dans les étapes de complétion qui suivent.C’est la raison pour laquelle, dans une telle logique, le symbole d’orientation associéà chaque équation dans� est inutile. Il suffit en effet d’orienter l’équation quellequesoit cette orientation. Aucun sens n’a donc besoin d’être signalé au préalable.Pour cet exemple, la conditionu0 �$R v n’est plus utile pour la règle de complé-tion SUPPRIMERcar elle est nécessairement vérifiée. Ceci est une conséquence de la“circularité” modulo la symétrie de la règle de transitivité. En effet, nous avons :u = u0 u0 = vu = v =) u=u0u0=u u = vu0 = v

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Soit E 0 (resp.R) un ensemble de couples de la forme(p(u; v);�) où p 2 E et� 2 f!; ; !g (resp. de règles de réécriture). Soit(�;R) un couple sur lequelagissent les règles d’inférence ci-dessous où� = (�; E) etR = (�;!; ). On utili-sera la notation�[E 0 (resp.R[R) pour désigner le couple(�; E[E 0) (resp. le triplet(�;!0; 0) où!0=! [fu! v j u! v 2 Rg et 0= [fu v j u v 2 Rg).Enfin, on utilisera la notation(p(u; v); _) pour signifier que le sens attendu de l’orien-tation peut être n’importe lequel choisi dansf!; ; !g.

DÉDUIRE �;R�[f(p(u;v); !)g;R s’il existe une effluence localeu +$pR vORIENTER 1 �[f(p(u;v);�)g;R�;R[fu!pvg si u � v et� 2 f!; !gORIENTER 2 �[f(p(u;v);�)g;R�;R[fu pvg si u � v et� 2 f ; !gSUPPRIMER

�[f(p(u;v); !)g;R[fu !pvg�;R[fu !pvgSIMPLIFIER

�[f(p(u;v);_)g;R�[f(pi(ui;vi);�i)gi2I ;R s’il existe� : p(u; v) 2 Downp tel queRL(�) = fpk(uk; vk)gk2I` J , I 6= ; etJ 6= ;pour touti 2 I, ui �$pi�[fp(u;v)g;R vi,pour touti 2 I, pi(ui; vi)62FRL(�)) �i =�,

pour toutj 2 J , uj + !R vj , etil n’existe pas deS 2 B(�) telle que :8i 2 I; pi(ui; vi) 2 FRL(�) =) ((ui; vi) 2 S , �i 2 f!;�g)8j 2 J; pj(uj ; vj) 2 FRL(�) =) ((uj; vj) 2 S , uj �!pjR vj)

Figure 1. Les règles d’inférence pour la complétion

Remarque : Quand les tautologies sont simplement reconnues grâce à leur struc-ture syntaxique, on a vu que l’on pouvait alors les supprimerde l’ensemble�. Dans cecas, une règle de complétion supplémentaire doit alors êtreajoutée à l’ensemble desrègles de complétion de la figure 1:

SUPPRIMER-BIS�[f(p(u;v);_)g;R�;R si ; ` p(u; v)

Notation 5.2 Nous écrirons(�;R) ` (�0;R0) quand(�0;R0) a été obtenu en appli-quant une des règles d’inférence de la figure 1.

Les règles données dans la figure 1 sont correctes dans le sensoù elles ne changentpas la théorie sous-jacente.

Proposition 5.3 Si (�1;R1) ` (�2;R2) alors�$�1;R1= �$�2;R2 .

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Une axiomatisation de la réécriture 25

De plus, les systèmes de réécriture obtenus à chaque étape decomplétion ter-minent.

Proposition 5.4 Pour toute paire(�;R) obtenue à partir de la paire initiale(�0; ;)par application d’une des règles de complétion, le systèmeR termine par rapport àla relation)R définie comme> pour les dérivations générées à partir deR.

Enfin, chaque étape de complétion définit une transformationsur les preuves,associant à toute preuve mixte� : p(u; v) une preuve mixte�0 : p(u; v) obtenueen “contractant” une sous-preuve en une preuve par réécriture. Ici, les sous-preuvescontractiles sont de deux types :

1. effluence maximale

2. preuve contenant au moins une feuille de la formeu$E v.L’important est de montrer que ces transformations terminent. En effet, si au final

on obtient un ensemble de formules à orienter vide, on est alors sûr d’avoir obtenuune procédure de décision pour la théorie� de départ. Comme il est usuel de le faire,une condition suffisante est à imposer pour obtenir un tel résultat. Cette condition estnaturelle quand on a un choix non-deterministe sur les formules de la formep(u; v)à orienter ou à supprimer ainsi que les règles à réduire. L’idée sous-jacente est qu’unchoix accessible une infinité de fois n’est pas indéfiniment repoussé. On parle alorsd’équité. Dans, notre cadre elle se traduit par :

Définition 5.5 (Équité) Soit((�i;Ri))i�0 une suite telle que(�0;R0) ` (�1;R1) `: : : . On dit qu’une formule de la formep(u; v) (ou une règle ou une effluence lo-cale) estpersistantesi elle figure dans tous les�i à partir d’un certain rang. La suite((�i;Ri))i�0 est diteéquitablesi aucune formule de la formep(u; v) n’est persistanteet si toute effluence locale� : u �$R v est transformée par la formulep(u; v) à uneétape ultérieure.

Un autre critère important à imposer est que le remplacementde n’importe quelsous-arbre d’une preuve mixte par une preuve par réécrituren’augmente pas le nombred’effluences maximales de départ et le réduit même si ce sous-arbre dénote une ef-fluence maximale. Cette condition est une extension de la condition 2. (Réduction deseffluences maximales) aux preuves mixtes. Dans la suite, on supposera que tout sys-tème de Knuth-Bendix satisfait cette condition. De là, on obtient le résultat suivant :

Théorème 5.6Si la suite((�i;Ri))i�0 est équitable alors pour toute preuve mixte� : u �$�i;Ri v obtenue à une étapei, il existe unk � i et une preuve par réécriture�0 : u �$Rk v dansRk.

Dans le cadre des relations transitives, il est usuel de définir une mesure de com-plexité sur les preuves mixtes qui contient l’ordre de réduction � ci-dessus. On

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26 Technique et sciences informatiques.

RÉDUIRE�;R[fu !vg�[f(pi(ui;vi);�i)gi2I ;R s’il existe� : p(u; v) 2 Downp tel queRL(�) = fpk(uk; vk)gk2I` J , I 6= ; etJ 6= ;

pour touti 2 I, ui �$�;R[fu !vg vi,pour touti 2 I, pi(ui; vi)62FRL(�)) �i =�,pour toutj 2 J , uj !R vj, etil n’existe pas deS 2 B(�) telle que :8i 2 I; pi(ui; vi) 2 FRL(�) =) ((ui; vi) 2 S , �i 2 f!;�g)8j 2 J; pj(uj; vj) 2 FRL(�) =) ((uj ; vj) 2 S , uj !pjR vj)

Figure 2. Règle d’inter-simplification

montre alors que cette mesure décroît au travers de l’application des règles de complé-tion. Cependant, la cette mesure de complexité profite des propriétés propres aux rela-tions transitives. Elle peut être dénotée uniquement à partir des termes qui composentla séquence, et d’être ainsi définie comme une extension de l’ordre de réduction dedépart. Ici, il n’est pas possible de généraliser une telle mesure du fait que les preuvesne peuvent en général pas être mises sous la forme d’une séquence. Ainsi, ce ne sontpas les termes qui importent mais les instances des règles deDownE utilisées dans lapreuve.

5.1. Traitement des règles redondantes

Les règles de complétion données dans la figure 1 peuvent engendrer des procé-dures de complétion non-déterministes et peu efficaces. En effet, il est possible detraîner, tout au long de l’exécution, des règles de réécriture pouvant être déduites desautres règles (et donc un système de réécriture redondant).Un moyen de répondre àce problème serait d’ajouter la règle de la figure 2.

Succinctement, la règleRÉDUIRE consiste à rechercher une instance� deDownEdont la conclusion est l’une des règles de réécriture deR, et à remplacer cette règledansR par une règle pour chaque prémisse de� qui se réécrit (celles indicées parJ), et dans� par une formule pour chaque prémisse qui ne se réécrit pas (celles in-dicées parI). Pour ces dernières, l’ordre d’orientation associé ne doit pas, commeprécédemment, dénoter une effluence. Dans le cadre de la logique équationnelle, ellese traduirait alors par les deux règles suivantes :

1. RÉDUIRE 1 �;R[fu!vg�[f(u=v0;�)g;R si v +�R v0Ceci s’obtient à partir de l’instance de la transitivitéu=v0 v0=vu=v . Selon le sens de ré-

écriture appliqué entrev etv0, deux cas peuvent se présenter : soitv +!R v0 et donc parune application directe de la règle de complétionORIENTER1, on a directement queu ! v0, soitv + R v0 et dans ce cas l’équationu = v peut être supprimée à l’étape

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Une axiomatisation de la réécriture 27

suivante par application de la règleSIMPLIFIER. Pour ces deux raisons, la règle decomplétion usuellement donnée est la suivante :

RÉDUIRE 1 �;R[fu!vg�;R[fu!v0g si v +!R v02. RÉDUIRE 2 �;R[fu!vg�[f(u0=v;�)g;R si u!R u0

Ceci s’obtient à partir de l’instance de la transitivitéu=u0 u0=vu=v . Comme précédem-ment, quel que soit l’ordre d’orientation qui sera choisi dans la suite des étapes decomplétion pour l’équationu0 = v, cela donnera toujours une preuve par réécriture,d’où le symbole “�” associé à l’équationu0 = v dans�.Sans une condition d’ordre entre les règles de réécriture, il est connu que cette règlene fait pas décroître la complexité des arbres de preuves au travers de la complétion.De plus, elle peut même détruire la préservation de la théorie équationnelle de départ.Cependant, cette condition d’ordre entre les règles de réécriture est fondée sur le fil-trage et la relation “être sous-terme de” qui sont difficilement modélisables dans cecadre générique (on retrouve le même problème que pour la modélisation de la notionde paire critique).

6. Application à la logique conditionnelle partielle

Nous avons étudié la réécriture au sein de la logique des treillis et de la logiqueconditionnelle partielle multi-sortes avec égalité existentielle [2]. Nous vous présen-tons ici la deuxième application. La réécriture conditionnelle a été largement étudiéedans la littérature [8, 10, 16, 14]. Ici, nous étendons cettedernière d’une part aux fonc-tions partielles et d’ autre part à la résolution du problèmedu mots pour des formulesde la formes ) t = t0 (les travaux cités ci-dessus ne se sont intéressés qu’à montrerpar réécriture des équations simples non conditionnées).Par manque de place, nous invitons le lecteur à se reporter à notre article [1] pour laprésentation du système formel à prédicats associé, et l’étude de la semi-commutationentre les différents schémas de règles. Rappelons ici simplement que les formulesmanipulées sont de la formet = t0 et D (t) oú t et t0 sont des termes avec va-riables de même sorte et est une conjonction finie d’équations de la formeu = v,et qu’elles signifie respectivement ) t = t0 et ) D(t). Enfin, rappelons quel’étude de la semi-commutation à partitionner les règles dela façon suivante : pourtoute conjonction d’équations , Upf= g est défini par l’ensemble des instances desrègles de substitution, remplacement, monotonie, et symétrie, etDownf= g est définipar les instances des règles de transitivité et du modus-ponens. Les relations à réécrireétant symétriques, les systèmes de réécriture se définissent par des couples(�;!) oú� est un ensemble de prédicats de définissabilitéD (t) et! est une famille indexéepar toutes les conjonctions finies d’équations.Les feuilles de réécriture fixées pour toute instance� : u= v v= wu= w de la règle de

transitivité sontFRL(�) = fu = v; v = wg. À l’inverse, celles associées à toute

instance du modus-ponens� : u= ^v=v0^ 0u0 v= ^ 0v0u= ^ 0u0 sontFRL(�) = fu = u0g.

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Le sens de la réécriture de la prémisse de droite importe peu.La seule chose requiseest qu’elle se réécrit.De part la définition de cette logique comme extension de la logique équationnelle, leretrait des schémas de bouclage simple consiste simplementaux retraits des instancesde la symétrie(u= vv= u).Une étape de réécriture est alors définie par :t ! R t0 ssi il existeu ! 0 v 2 R,� : V ! T�(V ), une conjonction 00 et un contexteC tel que :

— 8x 2 V ar(u) [ V ar(v);� ` D 0(�(x))— = �( 0) ^ 00— � ` D (C[�(u)℄)— t = C[�(u)℄ et t0 = C[�(v)℄

À cause du modus-ponens, les dérivations ne peuvent pas êtrereprésentées sous laforme de séquences d’étapes de réécriture comme c’est le casquand on ne considèreque la transitivité comme fermeture (il suffit de considérerla séquence(t !u=v^ Rt0; t0 !u=v^ R t00; u! R v)). Cependant, on dispose d’une représentation linéaire desarbres dénotant de telles dérivations. En effet, on peut définir les dérivations de lafaçon suivante :

— toute séquencet1 ! R t2 ! R t3 ! R : : : ! R tn est une dérivation. Elle

aboutit à la conclusiont1 +! R tn— si d1 est une dérivation aboutissant à la conclusiont1 +! ^u=v^ 0R t2, etd2 est

une dérivation aboutissant soit à la conclusionu +! ^ 0R v ou bien à l’écriture inverse,

alors(d1 � d2) est une dérivation aboutissant à la conclusiont1 +! ^ 0R t2.En suivant la définition 4.15, une relation de réécriture pour une telle logique est

la fermeture transitive de toute relation binaire définie sur les termes fermée par sub-stitution et contexte. En effet, le modus-ponens n’influe pas sur les relations de ré-écritures. On peut donc utiliser tous les ordres de simplifications définis dans le cadrede la logique équationnelle. Il nous reste alors à définir lesnotions de bonne et demauvaise preuve. Les instances de la règle du modus-ponens ne disposant que d’unefeuille à réécrire fixée, ces notions sont vides pour ces dernières. Enfin, pour la règlede transitivité,elles sont équivalentes aux notions de pics et de vallées. Une preuve parréécriture est donc tout élément de

�! R Æ( �! R)�1, et une effluence est tout élément

de( �! R)�1Æ �! R (attention,�! R prend en compte la fermeture par modus-ponens).

En suivant les mêmes points que l’exemple 4.30, on démontre aisément que lesystème formel à prédicats associé à la logique conditionnelle partielle est de Knuth-Bendix. L’algorithme de complétion se définit alors en utilisant les mêmes règles decomplétion de la logique équationnelle auxquelles on ajoute les deux règles suivantespour prendre en compte la fermeture par modus-ponens :

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Une axiomatisation de la réécriture 29

SIMPLIFIER M.P (1) �[ft= ^ 0 t0g;R�[ft= ^u=v^ 0 t0g;R si u +! ^ 0R v ou bienu( +! ^ 0R )�1vSIMPLIFIER M.P (2) �[ft= ^ 0 t0g;R�[fu= ^ 0vg;R si t +! ^u=v^ 0R t0

Il est aisé d’adapter les règles d’inter-simplification usuelles à la logique équation-nelle dans le cadre de cette logique. En effet, la réécritureéquationnelle conditionnelletraite aussi de réécriture de termes dans le cadre de congruences.

7. Conclusion

Dans ce papier, après avoir rappelé nos premières définitions sur une axiomatisa-tion de la réécriture utilisée comme nouveau système déductif de preuves et oú lesaspects opérationnels étaient exclus, ainsi que l’établissement de sa complétude parrapport au système d’inférence de la logique, connu aussi sous le nom delogicalité,nous avons donné une axiomatisation abstraite de la réécriture prise dans son sensopérationnel. Ainsi, de façon générique (c’est-à-dire indépendamment de la logiquesous-jacente), nous avons modélisé les notions usuelles desystèmes de réécritures, dedérivations, de terminaison, de mauvaises et bonnes preuves (équivalent des pics et desvallées pour les relations transitives), ainsi que de preuve par réécriture. Nous avonsalors donné des conditions suffisantes permettant d’assurer dans ce cadre génériquel’équivalent des propriétés de Church-Rosser et du Lemme deNewman, fondementde la procédure de Knuth-Bendix. À partir de là, nous avons proposé une procédurede complétion à la Knuth-Bendix générale et avons montré la correction de cette der-nière.

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Annexe : Preuves

Démonstration du fait 4.4 page 11Par définition, tout arbre de réécriture� : p(u; v) construit uniquement à partir d’unsous-ensemble desn instances d’un schéma de bouclage a pour conclusion un élémentde

[1�i�nRL(�i). Donc p(u; v) 2 [1�i�nRL(�i), ce qui signifie qu’il existe une

instance�i parmi lesn instances du schéma de bouclage telle quep(u; v) 2 RL(�i).Il suffit alors de connecter� à la place de la formulep(u; v) dans�i. On obtient bienun arbre de réécriture construit lui aussi à partir desn instances du schéma de bouclagesimple et sur lequel on peut recommencer le même traitement. 2Démonstration du théorème 4.18 page 16()) Hypothèse :R termine.

Posons�= �! [( � )�1 et>=)R. À toute dérivation, on peut donc associerune et une seule réduction, et inversement. La terminaison deR implique quetoute suite de dérivations�1 )R �2 )R : : : soit finie. Par conséquent, larelation> est bien fondée. Enfin,� est par définition fermée par les arbres deUp�!℄E etDownE selon les deux derniers points de la définition 4.15.(() Hypothèse : il existe une relation de réduction(�;�) satisfaisant :8p 2 E;!p[( p)�1 ��.Posons,)R la restriction de> à toutes réductions dénotant une dérivation.Par hypothèse, La relation> est bien fondée. Ceci signifie que toute chaîne deréductions�1 > �2 > : : : est finie. Puisqu’à chaque dérivation correspondune réduction, toute suite de dérivations�1 )R �2 )R : : : est finie. Parconséquent,R termine pour)R. 2

Démonstration du théorème 4.31 page 22Montrons que les implications1) 2) 3) 1 sont satisfaites.

(1) 2) Hypothèse :R est localement correct.Pour démontrer cette implication, nous allons utiliser le principe d’induction mathé-matique. Il nous faut alors caractériser le prédicatP et la relation� bien-fondée.Puisque nous souhaitons montrer queR est correct, nous choisissons le prédicatPdéfini sur les preuves par effluence de la façon suivante :P (�) si et seulement si il existe une preuve par réécriture de mêmeconclusion que�. Le système de réécriture terminant, nous prenons donc égale à� la relation bien-fondée��1.Supposons alors que pour toute effluence�0 telle que�0 � �, on aitP (�0). Avons-nousP (�) ? Cette question se traduit par : existe-t-il une preuve par réécriture demême conclusion que�, que l’on peut obtenir à partir d’effluences maximales pluspetites selon l’ordre�?� Soit � une effluence locale. PuisqueR est localement correct, on a vu que les

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éléments minimaux selon� étaient nécessairement des effluences locales. Or, parcette même hypothèse, nous savons qu’il existe une preuve par réécriture de mêmeconclusion pour ces dernières.� Sinon,� est une preuve par effluence (qui peut être elle-même si elle dénoteune effluence locale). Par définition des systèmes de Knuth-Bendix,� possède uneeffluence locale. Par hypothèse de départ, il existe une preuve par réécriture équiva-lente à cette dernière dont le remplacement dans� caractérise une preuve�0 dont, pardéfinition des systèmes de Knuth-Bendix, les effluences maximales(�1; �2) satisfai-sant�2 �em �0 sont plus petites selon l’ordre�. Par hypothèse d’induction, chacunepeut être remplacée par une preuve par réécriture de même conclusion. De plus, pardéfinition des systèmes de Knuth-Bendix, le remplacement detoute effluence maxi-male par une preuve par réécriture de même conclusion, réduit le nombre d’effluencemaximale de départ. Enfin, ces dernières effluences maximales satisfaisant les mêmesconditions sur le nombre d’effluences maximales, sont aussiplus petites par l’ordre�que�. Nous aboutissons nécessairement en répétant ce procédé unnombre fini de foisà une preuve par réécriture.

(2) 3) Hypothèse :R est correcte.Ceci se démontre par récurrence sur le nombre d’effluence maximale d’une preuve.� si � n’a pas d’effluence maximale alors� est nécessairement une preuve parréécriture.� Soit (�0; �00) une effluence maximale de� telle que�00 �em �. Soit �000 unepreuve par réécriture de même conclusion que�0. Par définition des systèmes deKnuth-Bendix,on sait que�00[�000℄! <em �00 où�00j! = �0. Donc, on a aussi�00[�000℄! <em�. Par hypothèse de récurrence, il existe une preuve par réécriture de même conclusionque�00[�000℄! et donc que�.

(3 ) 1) Découle directement du fait qu’une effluence locale est aussi unepreuve. 2Démonstration de la proposition 5.3 page 24Ceci est trivial pour les quatre premières règles. Pour la règle SIMPLIFIER, �1 =� [ fp(u; v)g et�2 = � [ fpi(ui; vi)gi2I ,R1 = R2 = R, et pour chacun desi 2 I,on ui �$�1;R1 vi. On a donc

�$�2;R2� �$�1;R1. Inversement,fpi(ui; vi)gi2I � �2,uj + !R2 vj (j 2 J), et � : p(u; v) 2 Downp impliquentu �$�2;R2 v. On a doncaussi �$�1;R1� �$�2;R2 . 2Démonstration de la proposition 5.4 page 25Les formules à réécrire d’une étape de complétion à l’autre sont toutes orientées grâceà la relation de réduction� dont la relation d’extensibilité sous-jacente est bien-fondée. Donc, par le théorème 4.18,R0 termine par rapport à la relation d’extensibilité)R0 . 2

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Démonstration du théorème 5.6 page 25Posons�1 = [i�0�i etR1 = [i�0Ri, et pour toutp(u; v) 2 �1 notonsu $p�1 vl’arbre de preuve mixte réduit à cette feuille. Soit� la relation binaire définie sur lespreuves mixtes de la façon suivante :

— u$p�1 v � � : u �$pR1 v si � est une preuve par réécriture

— � : u �$pR1 v � u$p�1 v si � est une effluence locale

— u�p v � � : u �$pR1 v si � est une preuve par réécriture etu�p v 2 R1Notons� la fermeture de� par contexte de preuve mixte et par transitivité ainsi quepar la fermeture suivante :�1 � �2 (8>><>>: �1 et�2 ont même conclusion, et

il existe une effluence maximale(�0; �00) de�1 etune preuve�000 telles que�00 �em �1, �0 � �000,et�00j! = �0 =) �2 = �00[�000℄!.

Par le fait que le remplacement d’un sous-arbre dans une preuve mixte par unepreuve par réécriture n’augmente pas le nombre d’effluencesmaximales, et que latransformation d’une effluence maximale peut se faire par unnombre fini de rempla-cements successifs d’effluences locales par des preuves parréécriture,� est bien-fondée.

Pour prouver le théorème, on raisonne alors par induction bien-fondée sur�.Soit � : u �$�i;Ri v une preuve mixte. Par définition, si� n’est pas une preuve parréécriture dont les règle utilisées sont réduites, c’est que soit il existe une feuille dela formeu0 $�i v0, soit � possède une effluence maximale(�0; �00), soit il existeune règle non réduite parmi les feuilles de�. Par équité,u0 $�i v0 aura disparu dansun �j1 avecj1 > i. L’effluence maximale peut-être transformée en une preuve parréécriture à l’étapei, ou bien il existe une effluence locale non réductible à cetteétapequi par équité sera réductible à une étapej2 > i. Enfin, toujours par équité, la règleréductible sera contractée en une preuve par réécriture à une étapej3 > i. Dans tousles cas, on obtient une preuve mixte�0 à une étapej > i satisfaisant� � �0. Parhypothèse d’induction, il existe une étapek > j, telle quep(u; v) admette une preuvepar réécriture dansRk. 2