Statistique Descriptive Chapitre 1 : Les tableaux et représentations graphiques Pr. Abdelkrim EL...

Statistique DescriptiveChapitre 1 : Les tableaux et

représentations graphiques

Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM

EST de Guelmim

Maroc

Site internet : http://el-mouatasim.webs.com

Objectifs de ce module

Savoir décrire et représenter une série statistique par un tableau et un ou plusieurs graphiques adaptés.

On fera des choix des représentations différents selon la nature du caractère.

Statistiques descriptives à une variable : représentations

Introduction

La représentation tabulaire est préalable à toute analyse statistique.

Elle fait suite au travail préliminaire de collecte des données.

La représentation graphique d’un seul caractère repose sur une règle de proportionnalité des hauteurs ou aires des graphiques aux effectifs (ou fréquences).

Le choix d’un type de graphique dépendra de la nature du caractère étudié.

Plan du chapitre 1

I. Caractères qualitatifs.

II. Caractères quantitatifs discrets.

III. Caractères quantitatifs continus.

Voici les parties que nous allons aborder :

Plan de la partie

1. Représentation tabulaire. 2. Diagramme à bande.3. Diagramme circulaire.

Voici les chapitres que nous allons aborder :

Ⅰ. Caractères qualitatifs

1. Représentation tabulaire

Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si le caractère est ordinal).

La première colonne renseigne les modalités et les deux suivantes les effectifs et fréquences.

Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter une dernière colonne avec les fréquences cumulées.


Noms Situation de f amille

M.Azim Marié

MFarid Veuf

Mme Latifi Mariée

Melle Fatiha Célibataire

M. Ahmed Divorcé

M. Salih Marié

M. Berrada Divorcé

Mme Réda Divorcée

Melle Fatiha Célibataire

M. Halim Marié

M. Chadi Veuf

Mme Faouzi Mariée

... ...

Exemple: On a noté la situation familiale des 150 employés d'une entreprise.



On ne s'intéresse pas à la situation personnelle de M. Azim ou de M. Farid, mais à la répartition du caractère "situation familiale" dans la population des 150 employés.

Pour cela il faut, pour chacune des modalités de la variable, déterminer l'effectif correspondant, c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette modalité : il faut dénombrer le nombre de célibataires, le nombre de mariés, etc..

Cela peut se résumer par :

Modalités Eff ectif s

Marié 80

Célibataire 30

Veuf 20

Divorcé 20

On notera x1, x2, ..., xk les différentes

modalités, et n1, n2, ... , nk les effectifs

associés.

Dans le tableau ci-dessus, x1 = "marié",

n1 =

k =

La somme des effectifs vaut :

La variable que nous venons de voir

est…

On aurait pu tout aussi bien présenter les résultats sous la forme ci-dessus, par exemple.

Modalité Eff ectif

Célibataire 30

Marié 80

Divorcé 20

Veuf 20

Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale, les modalités sont toujours présentées dans l'ordre :

x1 x2 .... xk , comme dans l'exemple ci-dessous.

Modalités = tailles

Eff ectif s = Nombre de personnes de cette taille

XS 10

S 25

M 40

L 32

XL 23

XXL 20

L'ensemble des couples

{ (xi , ni ), i = 1, ... , k } est une série statistique (ordonnée), ou distribution observée de la variable.

La somme de tous les ni est-elle toujours égale à n, nombre des observations ? On notera ceci :

effectif total

On appellera fréquence relative la valeur

que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par fi x 100, c'est le pourcentage d'individus

pour lesquels la variable a pris la valeur xi.

Complétez le tableau :

Modalités xi Eff ectif ni Fréquence relative f i %

Célibataire 30 0.2 20

Marié 80

Divorcé 20

Veuf 20 Eff ectif total : 150

A quoi est égal ici le total de la colonne fréquence ? Et celui de la colonne "pourcentage" ? Il y a, parmi les 150 employés, …….% qui sont mariés.

2. Diagramme à bandes

Aussi appelé représentation par « tuyaux d’orgue ».

Les modalités sont placées sur un axe horizontal.

Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un axe vertical.

La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à l’effectif correspondant.

Permet de comparer d’un « coup d’œil » les différentes modalités.


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

cadres ouvriers employés ouvriers

Série1

CSP ni fi Cadres 10 0,05 Agents de maîtrise 40 0,2 Employés 60 0,3 Ouvriers 90 0,45

3. Diagramme circulaire

L’aire, et donc l’angle au centre d’un secteur, est proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de la modalité considérée (d’où un angle de fi x 360° pour la modalité i).

Permet de bien visualiser la part relative de chaque modalité.


Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets


Plan de la partie

1. Représentation tabulaire. 2. Diagramme bâton.3. Courbe des fréquences

cumulées.




Tableau à simple entrée, où les données sont classées par ordre croissant.

La première colonne renseigne les différentes valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences et fréquences cumulées.


De même, pour une variable discrète, on notera x1 , x2 , ... , xk les valeurs rangées par

ordre croissant, et n1 , n2 , ... , nk les effectifs

correspondants.

Noms Nombre d'enfants

M.Azim 2

MFarid 3

Mme Latifi 0

Melle Fatiha 0

M. Ahmed 1

M. Salih 0

M. Berrada 1

Mme Réda 0

Melle Fatiha 2

M. Halim 4

M. Chadi 1

Mme Faouzi 3

M. Ali 2

Melle Loubna 0

M Fatih 0

M. Said 1

M. Radi 2

Mme Faraj 2

Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus, construisez le tableau :

Nombre d'enfants xi Eff ectifs ni

0 6

Nombre d'enf ants xi Eff ectif ni Fréquence relative f i

0 6 0.33

1 4 0.22

2 5 0.28

3 2 0.11

4 1 0.06

Total : 18 1

Voyons un autre exemple : Pour étudier les appels téléphoniques arrivant à un central, on a noté, sur 96 jours comparables, le nombre d'appels reçus entre 9 h et 9 h 10. Les résultats sont consignés dans ce tableau :

Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été de 2 ?

Nombre d'appels xi

Nombre de jours ni

Fréquence relative f i

% f i 100

0 2 0.0208 2.08

1 14 0.1458 14.58

2 23 0.2396 23.96

3 24 0.2500 25.00

4 18 0.1875 18.75

5 9 0.0938 9.38

6 6 0.0625 6.25

Total : 96 1 100

Quelle est la proportion de jours où le nombre d'appels a été supérieur ou égale à 3?

Nombre d'appels xi

Nombre de jours ni


% f i 100

0 2 0.0208 2.08

1 14 0.1458 14.58

2 23 0.2396 23.96

3 24 0.2500 25.00

4 18 0.1875 18.75

5 9 0.0938 9.38

6 6 0.0625 6.25

Total : 96 1 100

Combien y-a-t-il eu de jours où le nombre d'appels a été inférieur ou égal à 2 ?

Nombre d'appels xi

Nombre de jours ni


% f i 100

0 2 0.0208 2.08

1 14 0.1458 14.58

2 23 0.2396 23.96

3 24 0.2500 25.00

4 18 0.1875 18.75

5 9 0.0938 9.38

6 6 0.0625 6.25

Total : 96 1 100

Plus généralement, si

{ (xi , ni ), i = 1, ..., K }est la distribution observée d'une variable discrète, n1 + n2 + ... + ni = Ni est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été inférieure ou égale à xi..

On peut calculer Ni de proche en proche :

N1 = n1, N2 = N1 + n2, N3 = N2 + n3, etc ...

Les Ni sont les effectifs cumulés croissants.

De même ni + ni+1 + ... + nk = N'i est le

nombre d'individus pour lesquels la variable a été supérieure ou égale à xi.

Il peut se calculer de proche en proche :

N'k = nk , N'k-1 = nk + nk-1 ,

Les N'i sont les effectifs cumulés

décroissants.

On peut définir de même :

Fi = f1 + f2 + ... + fi , fréquences relative

cumulées croissantes obtenues de proche en proche par Fi+1 = fi+1 + Fi

F'i = fi + fi+1 + ... + fk , fréquences relative

cumulées décroissantes obtenues de proche en proche par F'i = F'i+1 + fi

Fi et F'i peuvent s'exprimer aussi en pourcentage

(en multipliant tout par 100).

Complétez le tableau :

Nombre d'appels

Fréquence relative en %

Fréquences cumulées croissantes

Fréquences cumulées décroissantes

0 2.08 2.08 1 14.58 16.66 97.92

2 23.96 83.34

3 25.00 65.62 59.38

4 18.75 84.37 5 9.38 93.75 15.63

6 6.25 6.25

2. Diagramme bâton

Diagramme bâton des effectifs

A chaque valeur du caractère portée en abscisse, on associe un « bâton » vertical dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif.

Cette représentation permet de comparer les effectifs de chaque valeur du caractère.


3. Courbe des fréquences cumulées

Représente l’évolution des fréquences cumulées.

Le caractère étant discret, la courbe est en « escalier ».

En effet, les valeurs étant séparées, entre chacune d’elle la fréquence cumulée est inchangée, d’où ces paliers.




Diagramme en Escalier

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7

Fré

qu

ence

rel

ativ

e cu

mu

lée

Ⅲ. Caractères quantitatifs continus


Plan de la partie

1. Représentation tabulaire. 2. Histogramme des densités de

fréquence.3. Polygone de fréquences4. Courbe des fréquences cumulées.




Tableau à simple entrée, où les classes de données sont triées par ordre croissant.

La première colonne renseigne les différentes classes de valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences relatifs et fréquences cumulées.

Si les classes ne sont pas toutes de même amplitude, on rajoute une colonne contenant les densités de fréquence, i.e. la fréquence de la classe divisée par son amplitude.


Lorsque la variable est continue, ou que la variable peut prendre un grand nombre de valeurs différentes, même si celle-ci est une variable discrète, il convient de regrouper ces valeurs en classes.

À chaque classe on fait correspondre une fréquence ou une fréquence relative, et l’on obtient alors une distribution de fréquence ou de fréquence relative pour valeurs groupées.

Pour construire une distribution de fréquence, de fréquence relative ou de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées on doit procéder de la manière suivante :

1. Déterminer le nombre de classes 2. Déterminer l’amplitude des classes3. Déterminer les différentes classes


1. Déterminer le nombre de classes :

1) (règle de Sturges)

2)

)(3.31 nLogNC

nNC Nombre d’observationsdans la série statistique


2. Calculer l’amplitude des classes :

1) D’une façon plus ou moins arbitraire

2) En utilisant l’étendue

minmax xxE

CC N

EA

Des classes d’amplitudes égales

(Plus grande valeur de la série statistique – Plus petite valeur de la série statistique)


3. Déterminer les différentes classes :

cc AxClasseAx 2min2min

cAxClassex min1min

ckc kAxClasseAkx minmin )1(

ccNcc ANxClasseANxc

minmin )1(


Voyons l'exemple d'une série brute de 60 valeurs du CA mensuelle d’une entreprise (en 1000dh), et le tableau des effectifs obtenus.

L'inconvénient est que, comme on aura toujours un grand nombre de valeurs différentes, on obtiendra un grand nombre de petits effectifs, ne résumant finalement pas grande chose !

1. Représentation tabulaireExemple 1

CA (1000dh) Eff ectif s CA (1000dh) Eff ectif s

159 1 169 7

160 0 170 7

161 0 171 9

162 0 172 6

163 2 173 5

164 3 174 2

165 3 175 1

166 0 176 2

167 5 177 1

168 6 Total : 60

Une variable continue ne prend pas des valeurs isolées, mais des valeurs appartenant à des intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des effectifs par valeurs, on définira des effectifs par intervalles, appelés classes.

Afin de simplifier la présentation on peut, quitte à perdre un peu d'information, regrouper les effectifs proches, par exemple

175 d’ effectif 1

176 d’ effectif 2

177 d’ effectif 1

peut être remplacé par [ 175 ; 178 [ d’ effectif 4.

On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en classes contiguës, de la forme :

[ e1 ; e2 [ [ e2 ; e3 [ [ e3 ; e4 [ ....

[ ek ; ek+1 [

et on notera n1, n2, ... , nk les effectifs

associés.

ni est le nombre d'individus appartenant à

la classe [ ei ; ei+1 [.

Exemple 1

Classes de CA ( en 1000dh) Eff ectif s

[159 - 165 [ 6

[165 - 168 [ 8

[168 - 171 [ 20

[171 - 174 [ 20

[174 - 177 [ 5

[177 - 179 [ 1

Exemple 1

Classes de CA ( en 1000dh) Eff ectif s

moins de 160 1

[160 - 165 [ 5

[165 - 170 [ 21

[170 - 175 [ 29

175 et plus 4

Quel que soit le type de variable on a finalement, pour toute modalité, valeur xi ,

ou classe [ ei , ei+1 [, un effectif ni , tel que

Il est parfois utile, surtout pour faire des comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner plutôt avec des fréquences relatifs.

Les définitions d'effectifs et de fréquences cumulés restent les mêmes dans le cas d'une variable continue.

Exemple 2 : Le tableau statistiqueExemple 2 : Le tableau statistique (valeurs groupées) (valeurs groupées)

Pour les trois dernières années, le débit mensuel moyen d'une rivière, exprimé en milliers de mètres cubes par seconde, a été le suivant :

Posons X = la variable statistique représentant le débit mensuel moyen d’une rivière.

Variable continue


(1) Nombre de classes :

classesLogNC 1358.6)36(3.31

classesNC 636

(2) L’amplitude des classes : 97.008.005.1 E

17.01617.06

97.0CA

)( 3mdemilliersen

10.193.0

93.076.0

76.059.0

59.042.0

42.025.0

25.008.0

6

5

4

3

2

1

Classe

Classe

Classe

Classe

Classe

Classe

(3) Détermination des classes :

Débit D


Distribution de fréquence, de fréquence relative et de fréquence relative cumulée :

2. Histogramme des densités de fréquence.

Ensemble de rectangles contigus. Pour chaque classe on trace un rectangle :

de base B proportionnelle à l’amplitude de la classe

de hauteur h proportionnelle à la densité de fréquence de la classe

L’aire du rectangle sera alors proportionnelle à la fréquence de la classe.


2. Histogramme des densités de fréquence.

Double interprétation :

On comparera les densités de fréquence des classes en comparant les hauteurs des rectangles.

On comparera les fréquences des classes en comparant les aires des rectangles.


Age (ans)

Nombre de personnes dans cette

tranche d'âge

20 à 30 100

30 à 40 150

40 à 50 90

50 à 65 20

Histogramme de fréquence pour valeurs groupées (exemple 2)

Histogramme de fréquence

0

5

10

15

20

25

0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus

Débit D (en milliers m3/sec)

Fré

qu

ence

Histogramme de fréquence relative pour valeurs groupées (exemple 2)

Histogramme de fréquence relative

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus

Débit D (en milliers de m3/sec)

Fré

qu

ence

rel

ativ

e

3. Polygone de fréquences pour valeurs groupées (exemple 2)

Polygone de fréquence

0

5

10

15

20

25

moins de0,08

0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus

Débit D (en milliers de m3/sec)

Fré

qu

ence

3. Polygone de fréquence relative pour valeurs groupées

Polygone de fréquence relative

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

moins de0,08

0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus

Débit D ( en milliers m3/sec)

Fré

qu

ence

rel

ativ

e


Représente l’évolution des fréquences cumulées.

Le caractère étant continu, la courbe l’est également.

Pour la construire, on joint les points de coordonnées (bi,Fi) où bi désigne l’extrémité supérieure de la ième classe.


Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées

Ogive de fréquence relative cumulée

,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

moins de0,08

0,08 -0,249

0,25 -0,419

0,42 -0,589

0,59 -0,759

0,76 -0,929

0,93 etplus

Débit D (en milliers m3/sec)

Fré

qu

ence

rel

ativ

e cu

mu

lée

Synthèse

En plus des tableaux et graphiques, on résume l'observation d'une variable quantitative par un petit nombre de paramètres.

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