Statique Des Fluides
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Université Paul Sabatier - FSI L2 Mécanique / Mathématiques II STATIQUE DES FLUIDES Après avoir étudié les propriétés générales des fluides, nous abordons ici le domaine des fluides en équilibre statique, ou encore des fluides au repos. (pas d’écoulement dans ce chapitre). 1. Définitions et équations La statique des fluides est l’étude des fluides au repos (ou en équilibre statique). L’étude de la statique des fluides se ramène généralement à la question suivante: Quelle est la pression qui s’exerce en tout point du fluide au repos ? a) Pression On a vu au chapitre I qu’un fluide (gaz ou liquide) est un corps dont les molécules sont sans cesse en déplacement et assimilé à un corps continu, sans rigidité, pouvant s’écouler et se déformant sous l’action d’une force extérieure. La présence d’une paroi dans le volume du fluide provoque de nombreux chocs entre les molécules du fluide et la paroi. Considérons un fluide homogène enfermé dans une enceinte, en l’absence de forces pesanteur Les molécules constituant ce fluide génèrent des forces désordonnées i f r uniformément réparties. Le fluide exerce alors une force de surface, dirigée du fluide vers la paroi qui dépend de la nature du fluide et de son état de mouvement relativement à la paroi. Mécanique des fluides Manuel Marcoux II - 1
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fluides en équilibre statiques ou au repos
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II
STATIQUE DES FLUIDES
Aprs avoir tudi les proprits gnrales des fluides, nous abordons ici le domaine des
fluides en quilibre statique, ou encore des fluides au repos.
(pas dcoulement dans ce chapitre).
1. Dfinitions et quations La statique des fluides est ltude des fluides au repos (ou en quilibre statique).
Ltude de la statique des fluides se ramne gnralement la question suivante:
Quelle est la pression qui sexerce en tout point du fluide au repos ?
a) Pression
On a vu au chapitre I quun fluide (gaz ou liquide) est un corps dont les molcules sont sans
cesse en dplacement et assimil un corps continu, sans rigidit, pouvant scouler et se
dformant sous laction dune force extrieure.
La prsence dune paroi dans le volume du fluide provoque de nombreux chocs entre les
molcules du fluide et la paroi.
Considrons un fluide homogne enferm dans une enceinte, en labsence de forces pesanteur
Les molcules constituant ce fluide gnrent des forces dsordonnes ifr
uniformment
rparties. Le fluide exerce alors une force de surface, dirige du fluide vers la paroi qui
dpend de la nature du fluide et de son tat de mouvement relativement la paroi.
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Considrons un point M sur la paroi, et llment de surface autour de ce point. dS
En moyenne, la force rsultante fdr
des efforts exercs sur est normale dS . dS
Par dfinition, la pression P qui sexerce sur est gale au quotient du module par la
surface :
dS df
dS
dSdfP = (scalaire)
On peut alors crire que dans le cas dun fluide au repos, sur un lment de surface autour
du point M trait, sexerce la force lmentaire
dS
fdr
telle que :
df p n dS=uur r
o est la normale sortante la paroi. nr
P est la pression exerce par le fluide sur la paroi en M
Remarque :
En ralit, il existe une pression en tout point dun fluide, mme en labsence de paroi, lie
aux forces de pression qui sexercent sa surface et aux forces de volume (poids )
b) Units
La pression P correspond une force par unit de surface, elle sexprime dans le systme
international en 2N m ou Pascals (Pa)
Dans le systme international, on a :
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[ ] [ ][ ] Pasmkgmsmkg
mN
LFP =====
2
2
2
22 ....
Remarques :
1 Pa correspond une pression trs faible On utilise couramment le bar : (ou encore lhPa, en mto =100 Pa) 51 10bar Pa=
La pression atmosphrique de lair varie ordinairement de 0.9 1.2 bars. Sa valeur moyenne la surface de la Terre est 1.01325 1bar atm=
La mesure de la pression atmosphrique l'aide de manomtres colonne de mercure reste une mthode courante autre unit utilise : 1.01325 760bar mmHg= ou Torr (pression exerce par une colonne de mercure de 1mm, cf. paragraphe suivant)
Autres units :
le PSI (Pound per Square Inch), ou livre par pouce carr, unit anglo-saxonne, trs utilise en aronautique : PaPSI 68951 =
le mCE (mtre de colonne deau), 1 mCE = pression exerce par 1 m de colonne deau, 4C et sous 1 atm = 9807 Pa
Le mCE est trs commode lorsque le fluide est leau (chauffage, rseau deau potable,
hydraulique) mais ne se justifie pas pour les autres liquides.
Remarque : Toutes ces units sont proportionnelles.
c) Equation fondamentale
En prsence dautres forces, la pression devient variable. Le champ de pesanteur en particulier
fait varier la pression en fonction de laltitude.
Relation exprimant les variations de pression en fonction de z dans le champ de pesanteur
(vertical, /z, et oriente vers le bas):
gzdpd =
Relation fondamentale de la statique des fluides (RFSF), en 1D
Dmonstration :
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Equilibre dun lment de liquide dans le champ de pesanteur
Remarques :
Le signe traduit le fait que la pression diminue quand laltitude augmente Dans les problme que nous traiterons, le champ de pesanteur sera gnralement orient
vers le bas et uniforme : , avec zg g= r er csteg =
Gnralisation
De manire gnrale (configuration tridimensionnelle) lorsque le champ de pesanteur est
orient de manire quelconque, celle-ci scrit :
= Vpesanteur dVgF rr (= gm r si et g sont constants)
o V est le volume fluide.
Par ailleurs on a , et la force lmentaire de pression scrit : ),,( zyxPP =
dVPGradezPe
yPe
xPfd zyx =
+
+= rrrr
La rsultante des forces de pression exerces sur un systme de volume V limit par la surface S vaut alors :
=== V SouVpression dSnPdVPGraddVdVfdF rrr
(thorme dOstrogradsky)
Lquilibre du systme se traduit par : 0F = rr 0pression pesanteurF F+ = rr r =+ VV dVgdVPGrad 0rr
Soit encore, localement, dans llment de volume : dV
0Grad p g + =uuuuuur rr Relation fondamentale de la statique des fluides en 3D
(Le cas prcdent, 1d, est un cas particulier de celui-ci)
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2. Statique des fluides incompressibles Dans le cas o le volume du fluide est peu influenc par les conditions externes (pression,
temprature) il est alors considr incompressible, et on a cste . Cest le cas de la plupart des liquides.
Les rsultats prsents dans cette partie concernent donc des liquides en quilibre statique
dans le champ de pesanteur, et en prsence de parois ou dinterfaces.
a) Variations de pression
Dans le cas des fluide incompressibles ( cste= ), la RFSF en 1D donne : Csteg
dzdP ==
En intgrant cette relation /z, on obtient alors le thorme de Pascal :
( )P z g z Cste= +
La pression augmente donc linairement avec la profondeur
Remarques :
Ce rsultat est lorigine du principe de fonctionnement des manomtres et baromtres (variation linaire il est facile de faire une chelle gradue de pression / rfrence)
Ce rsultat nest pas vrai en prsence dautres forces, pour Cste ou pour un fluide compressible
Entre deux points A et B situes des hauteurs de diffrence h,; la variation de pression sexprime alors simplement par :
B AP P g h =
Exemple : cas de leau, , et 3.1000 = mkg 2.81.9 = smgSi (ngligeable) mmz 1= atmPPaP 41081.9 =Si mz 10= atmPbarPaP == 198100 la pression augmente de 1 bar tous les 10m (cf plonge )
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Consquence : Principe de Pascal
Un liquide au repos transmet parfaitement toute variation de pression
Utilisation dans la transmission de forces (presse hydraulique, piston, circuit de freins,
vrins )
b) Liquide surface libre
Considrons un liquide contenu dans un rcipient sans couvercle, dont la surface est en
contact avec lair extrieur (surface libre) la pression atmosphrique.
On note z la verticale descendante.
Lapplication du thorme de Pascal entre un point de la surface et un point M dans le
rcipient, de profondeur h par rapport la surface libre:
ratmM PhgPP ==
rP est ce que lon appelle pression hydrostatique (ou relative).
MP est la pression absolue ou totale (pression par rapport une situation de vide parfait, o la
pression est nulle)
Remarques :
Elle est indpendante de la forme du rcipient cf. exprience du crve-tonneau de Pascal, 1650
la plupart des manomtres mesurent et non la pression absolue rP
Application : Baromtre au mercure (Torricelli, 1643)
Le tube de Torricelli, baptis par la suite baromtre, est un tube en U, ferm dun cot et
ouvert vers lair atmosphrique de lautre, et contenant du mercure.
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Le systme en quilibre prsente un dnivel h entre les deux surfaces libres de mercure qui
dpend de la pression extrieure . atmP
Lapplication du rsultat prcdent ce systme, la pression tant nulle au fond du tube ferm
(vide), donne :
hgP mercureatm = (variation linaire)
Une graduation de rfrence permet donc de mesurer la diffrence de pression partir des
diffrences de niveau entre les deux surfaces libres du mercure.
Remarque :
Pour la pression atmosphrique standard, PaatmPatm 1013251 == , on obtient . mmh 760=Ceci correspond la dfinition de lunit de mesure de pression appele le Torr (de Torricelli)
1 Torr = pression exerce par h=1mm de mercure,
Torratm 7601 = PaTorr 322.1331 =
3. Principe dArchimde
a) Corps immerg
Considrons un corps de volume V, dlimit par la surface ferme S plong dans un fluide de
masse volumique et soumis au champ de pesanteur gr .
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Dfinition :
La rsultante de toutes le forces de pression exerces par le liquide sur le corps immerg est :
== V VA dVPGraddVdVfdrr
Or daprs lquilibre hydrostatique : gPGrad lr= , avec l constant
gmgV llA rrr ==
Thorme dArchimde
Tout corps plong dans un fluide en quilibre est soumis de la part de celui-ci une pousse
verticale dirige de bas en haut, gale au poids du volume de fluide dplac, et appliqu au
centre de masse de ce volume (centre de carne)
(dcouverte due Archimde, 250 ans avant JC).
Application : Montgolfire
Quelle taille doit avoir une montgolfire sphrique remplie dHlium pour soulever une masse
de 2 tonnes ?
( et temprature et pression ambiante) 3.17.0 = mkgHe 3.3.1 = mkgair
Conditions dquilibre
Soit un corps immerg dans un fluide au repos.
Son comportement est donn par le poids apparent : Aap PP +=rrr
En projetant / zer
no obtient : Aap PP += si , le corps slve 0>apP si , le corps reste immobile (quilibre) 0=apP si , le corps chute, senfonce 0
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Dfinition :
La rsultante des forces de pression quexercent 1 et 2 sur V scrit dans ce cas.
1 21 1 2 2A V V V
Grad p dv Grad p dv Grad p dv = = uuuuuur uuuuuur uuuuuurr
Do daprs le principe dArchimde appliqu chacun des 2 fluides
gmmAAArrrr )( 2121 +=+=
les masse et tant respectivement les masses des fluides 1 et 2 dplaces par les parties
du corps immerg en contacte avec celles-ci.
1m 2m
Application :
Dans le cas dun corps flottant sur leau (interface air-eau), comme aireau 1000 , le poids de lair dplac peut tre nglig.
A eaudplacem g = r r
Remarque :
La pousse dArchimde Ar
est applique au centre dinertie des fluides dplacs, appel
centre de carne, not C, et non au centre de masse G du corps flottant
Problme lorsque C est en dessous du centre de masse G du solide : position instable (cf. bateaux avec une coque triangulaire, TP)
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4. Forces de pression sur une paroi
Dfinition
On appelle torseur des forces de pression sur une paroi de surface S le torseur des actions
mcaniques sur cette paroi, , dfini par la rsultante des forces appliques et le
moment de ces forces en un point : (cf. mcanique du solide)
[ )( SPF ]
[ ]AA SPM
SPRSPF
=
)(
)()( r
r
avec : == SS dSnPfdSPR rrr )( == SSA dSnPAMfdAMSPM rrr )( A tant le point o sapplique le moment.
Ceci permet de dterminer les forces de pression auxquelles doit rsister un rcipient rempli
de liquide par exemple
Dfinition :
Le point dapplication de la rsultante des forces de pression est le point C pour lequel le
moment rsultant est nul : 0)(rr = SPM C
(Comme pour le centre de gravit G, qui est point dapplication du poids rsultante gm r sur
le volume V : ) 0)(rr =VgM G
Application : Rservoir ou barrage paroi plane
Considrons une paroi rectangulaire verticale, de largeur L et de hauteur h, sparant un liquide
masse volumique de lair pression atmosphrique.
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Quelle est la rsultante des forces quexerce le liquide sur cette paroi ? 221 LhgR =
Quel est le point dapplication ? hd32=
Particularit : Pression sur le fond dun rservoir
Considrons un rcipient de forme quelconque fond plat de surface S rempli dun liquide de
masse volumique jusqu une hauteur h.
Dans ce cas, la rsultante de forces de pression exerces par le liquide sur le fond (z=0)
scrit :
== S dSnzPSPR rr )0()( , avec hgcstezP === )0( et zen rr = zeRR r
r = , avec ShgR =
Cette pression ne dpend que de la surface dappui, et non de la forme du rcipient,
contrairement au poids
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5. Hydrostatique en rfrentiel non galilen Si le rfrentiel dans lequel le fluide est au repos nest pas galilen (acclration, rotation )
il faut ajouter les forces dinertie dentranement et de Coriolis dans le bilan des forces.
La RFSF devient alors :
0rrr =+ ieFF ou eamF rr =
Rappel : composition des acclrations (mcanique du point, rappel de L1)
Dans ltude du mouvement dun point matriel M, si on considre deux rfrentiel R et R en
mouvement quelconque lun par rapport lautre, la drivation de la loi de composition des
vitesses donne :
ce aRRaRMaRMarrrr ++= )'()'()(
avec ( )MORRRRMOdt
RRdROaRMa ee ')'()'(')'()''()'( ++= rr
rrr
)'()'(2 RMVRRacrrr =
o )'( RRr est le vecteur rotation entre les 2 repres R et R
Applications : Dtermination de la forme de la surface libre dans des rcipients en
mouvement
Celle-ci est obtenue partir des isobares (lignes de mme pression) obtenues par rsolution de
la RFSF en rfrentiel non galilen
Fluide en acclration horizontale : cstexg
z += plan inclin
Fluide en rotation uniforme (vortex) : csterg
z += 22
21 parabolode
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6. Statique des fluides compressibles Contrairement aux liquides, les gaz et vapeurs sont gnralement trs compressibles.
Dans ce cas le volume (et la masse volumique) est variable, et varie fortement en fonction de
la pression et de la temprature.
Dans le cas frquent o ils ont un comportement de type gaz parfait, ils vrifient lquation
dtat :
TRMmTRnVP ==
Dans ce cas, sa masse volumique scrit : TRMP
Vm == ,
Ce qui peut encore scrire, gTT
PP 0
00 = , en fonction dun tat de rfrence ( ) 000 ,, TVP
(cf chapitre I)
Lapplication de la RFSF donne : gTT
PP
dzdP
000=
Si T varie peu ou en situation isotherme, 0TcsteT == , alors gPP
dzdP
00=
On obtient donc, aprs intgration :
= )(0
00
0
)(zzg
PePzP
(variation exponentielle, et non linaire)
Application : dans lair, avec et 30 .1= mkg PaP 50 10=
Si , cela donne , et mz 10= PaP 999021 = %1
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En fait g varie peu (0.3 % entre le niveau d la mer et 10 km daltitude)
rsultat acceptable :
800051 10
z
eP
( T = 0C, au niveau de la mer : et 30 .293.1= mkg PaP 1013250 = )
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1. Dfinitions et quationsa) Pressionb) Unitsc) Equation fondamentale
2. Statique des fluides incompressiblesa) Variations de pressionb) Liquide surface libre
3. Principe dArchimdea) Corps immergb) Flottaison
4. Forces de pression sur une paroi5. Hydrostatique en rfrentiel non galilen6. Statique des fluides compressibles
