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Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°1

SOMMAIRE

1. Ascension atmosphérique

➢ Atmosphère en équilibre p.2

➢ Ascension du ballon météorologique p.4

➢ Ascension de la montgolfière p.5

➢ Différents modèles d'atmosphère p.6

➢ Concours externe CAPESA p.19

2. Statique des fluides et forces pressantes

➢ Equilibre d'un aréomètre p.9

➢ Calcul de la densité d'un liquide p.9

➢ Manomètre différentiel p.10

➢ Citerne à fioul p.11

➢ Mouvement du ludion p.12

➢ Tube en U p.14

➢ Barrage prismatique p.14

➢ Etude de barrages p.16

3. Tension superficielle

➢ Loi de Laplace p.22

➢ Ascension capillaire p.22

➢ L'impossible montée p.22

➢ Loi de Tate (Capesa) p.24

➢ Méthode d'arrachement p.25

➢ Densimètre p.25

Danièle FRISTOT


4. Dynamique des fluides parfaits

➢ Ecoulement vertical p.27

➢ Alliage d'aluminium p.27

➢ Nettoyage au jet d'eau p.28

➢ Chauffage central p.28, 36

➢ Théorème de Bernoulli (CAPLP) p.20, 35

➢ Vidange d'un réservoir (BTS) p.29, 30, 37, 38,40

➢ Temps de vidange (PLPA) p.21

➢ Contrôle BTS ( Bernoulli) p.30

➢ Citerne p.31

➢ Tube de Venturi p.34

➢ Phénomène de cavitation (CAPESA) p.27, 46

➢ Coup de Bélier p.34, 47

➢ Fonctionnement d'une hélice p.43, 44,48

5. Dynamiques des fluides non parfaits

➢ Ecoulement de Poiseuille p.51

➢ Formule de Stockes p.51

➢ Réfrigérant à huile p.51

➢ Perte de charge dans une pipeline p.52

➢ Puissance dissipée dans un oléoduc p.52

➢ Ecoulement laminaire sur p.52

un plan incliné

➢ Etude de l'eau sucrée au p.53

viscosimètre à chute de bille

➢ Viscosimètre capillaire p. 53

➢ Etude de la viscosité du lait p.55

➢ Turbine p.56

Danièle FRISTOT


1. A1. ASCENSIONSCENSION ATMOSPHÉRIQUEATMOSPHÉRIQUE

Exercice n°1 - Ascension atmosphérique (Extrait Concours spécial T' – Session 1993)

Introduction

Le problème traite de l'ascension atmosphérique en ballon et montgolfière.

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le champ de pesanteur, d'intensité uniforme g,

est dirigé suivant l'axe vertical Oz, et de sens opposé. Tous les mouvements étudiés

s'effectuent suivant cet axe vertical.

Dans tout le problème, les gaz ont les propriétés du gaz parfait. R désigne la constante des gaz

parfaits.

I. Etude de l'atmosphère en équilibre.

La masse molaire moyenne de l'air est égale à Me. Sa pression est égale à p, sa masse

volumique est égale à . On désigne par po et o les valeurs de p et au niveau du sol (où

z=0).

1. On s'intéresse à l'équilibre de l'atmosphère isotherme. On appelle T la température

uniforme de l'air.

a. Exprimer la valeur de la masse volumique de l'air en fonction de p, R, T et Me.

b. Ecrire la condition d'équilibre statique de l'air. En déduire la valeur de la pression p,

en fonction de po, g, z, Me, R et T.

c. A quelle altitude H la pression est-elle égale po/2 ?

d. Evaluer H, après avoir indiqué les valeurs numériques retenues pour chacune des

données intervenant.

2. Le modèle de l'atmosphère isotherme n'est pas très réaliste ; aussi, on s'intéresse à

l'équilibre polytropique de l'atmosphère. Jusqu'à une altitude de 10 km, on admet que la

température de l'air vérifie la loi :

T=T o1− z ,

expression dans laquelle le gradient de température −T o est une constante

négative. To est la température de l'air au niveau du sol.

a. Proposer une valeur numérique plausible pour la constante , indiquer sur quelles

bases numériques repose votre évaluation.

Danièle FRISTOT


b. Calculer la pression p de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres

po , ,Me ,g ,R et T o .

c. Calculer la masse volumique de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres

o , ,Me ,g ,R et T o .

d. Exprimer p et en fonction de l'altitude z, des paramètres po ,o, , et de la

constante dont on donnera l'expression. Montrer que :

p=po1 −z =o1 − z−1

e. A quelle altitude H la pression est-elle égale à po/2 ?

Dans toute la suite du problème, on utilisera le modèle de l'atmosphère polytropique.

Les expressions de la pression et de la masse volumique de l'atmosphère seront notées

pe et e à l'altitude z.

II. Ascension du ballon météorologique

Le ballon météorologique est constitué d'une enveloppe de volume maximal égal à Vm.

La masse de l'enveloppe et des instruments de mesure est égale à m, tandis que leur

volume total est négligeable.

Au niveau du sol, l'enveloppe n'est pas complètement dilatée et occupe le volume Vo,

tandis que la température interne est égale à To.

Le ballon est gonflé avec de l'hélium dont la masse molaire est égale à Mi. La masse

totale de l'hélium est égale à mi. On notera pi et i la pression et la masse

volumique du gaz à l'intérieur de l'enveloppe. La masse volumique initiale de l'hélium

sera notée io .

L'ascension du ballon s'effectue en deux phases ; au cours de la première, l'enveloppe

se dilate jusqu'à atteindre le volume Vm ; au cours de la seconde, qui se fait à volume

constant, le ballon s'élève jusqu'à ce qu'il atteigne sa position d'équilibre et son altitude

maximale.

On notera le rapport des capacités calorifiques à pression et volume constants pour

l'hélium.

1. Première phase de l'ascension. On admet que l'hélium, à l'intérieur de

l'enveloppe, subit une détente adiabatique réversible. On admet aussi que l'équilibre de

pression est réalisé entre l'intérieur et l'extérieur du ballon.

a. Quelle est la valeur du rapport pour l'hélium, considéré comme un gaz parfait ?

Danièle FRISTOT


b. Ecrire la condition sur o ,V o ,m et mi , pour que le ballon puisse décoller.

c. A l'altitude z, calculer la masse volumique de l'hélium, en fonction de io, , , et z.

d. Calculer la poussée d'Archimède exercée sur le ballon. Exprimer la valeur 0 de

au niveau du sol, en fonction de mi, g, Mi et Me, puis la valeur de en fonction de

0 , , , et z.

e. Sachant que ≈5,4 , indiquer le sens de variation de avec l'altitude.

f. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter la ballon, en fonction de m, mi, Me,

Mi, g, , , et z.

g. On admettra que la masse m est choisie de telle sorte que la force ascensionnelle F

reste positive lorsque l'enveloppe est complètement dilatée. Quelle est alors l'altitude zd

atteinte par le ballon ?

2. Deuxième phase de l'ascension. Le ballon continue son ascension, sans

augmentation du volume de son enveloppe.

a. Quelle est la température de l'hélium au début de cette phase ?

b. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter le ballon, en fonction de m, mi, Vm,

g, , ,o et z. Quelle est alors l'altitude zm atteinte par le ballon à la fin de cette

seconde phase ?

c. L'altitude zm atteinte, le ballon se met en équilibre thermique avec l'air extérieur.

Quel serait le volume de l'hélium, exprimé en fonction de o , m, mi, Vo et Vm, dans les

conditions de pression et de température régnant à cette altitude ?

d. En utilisant le résultat de la question II.1.b, montrer que le ballon reste gonflé à son

volume maximal, et qu'il se stabilise à l'altitude zm.

III. Ascension de la montgolfière

La montgolfière est constituée d'une enveloppe ouverte de volume intérieur Vo, et d'une

nacelle. La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est égale à m ;

le volume propre de ces différents éléments est négligeable.

Le volume de l'enveloppe est constant, mais la masse mi de l'air chaud emprisonné à

l'intérieur de l'enveloppe est variable.

Dans un but de simplification, on supposera, dans cette partie, que la température Ti et

la pression pi sont uniformes à l'intérieur de l'enveloppe.

L'ouverture inférieure de l'enveloppe permet, d'autres part, de réaliser en permanence

Danièle FRISTOT


l'équilibre de pression entre le milieu extérieur et l'air chaud intérieur.

Les conditions atmosphériques sont identiques à celles définies pour l'étude de

l'ascension du ballon météorologique.

Les capacités calorifiques molaires à pression et volume constants seront notées Cp et

Cv. On notera le rapport Cp/Cv de l'air.

La montgolfière est en équilibre à l'altitude z, altitude où l'air extérieur possède la

pression pe et la température Te.

1. Equilibre de la montgolfière.

a. Exprimer la masse mi de l'air intérieur à l'enveloppe en fonction de pe, Vo, Me et Ti.

b. Ecrire la condition d'équilibre de la montgolfière. En déduire une relation qui relie les

températures Te et Ti aux masses m et mi. Exprimer la masse mi en fonction de m, Te et

Ti.

c. Ecrire la condition d'équilibre en fonction de Ti, To, o , Vo, m, , et z.

d. Quelle est la valeur minimale Td de la température Ti permettant le décollage de la

montgolfière ?

e. Exprimer la condition d'équilibre de la montgolfière en fonction de Td. Montrer qu'elle

peut s'écrire : pe[ 1 T e

−1 T i ]=po[ 1

T o

− 1 T d ].

Exercice n° 2 - (Extrait concours spécial P')

Partie I : Etude de différents modèles d'atmosphère

Dans cette partie, on considère l'air comme un gaz parfait. Cet air est en équilibre statique

dans le champ de pesanteur terrestre de module g. Oz désignant l'axe vertical ascendant, on

désire étudier les évolutions de la pression P, de la température T et de la masse volumique

en fonction de l'altitude z du point considéré.

On pose : Po=P z=0, T o=T z=0 , o=z=0. Pour les applications numériques, on

prendra : g = 9,8 m.s-2, o=1,25 kg.m−3 , Po=105 Pa , T o=290 K.

1. Modèle de l'atmosphère isotherme.

On suppose l'air en équilibre isotherme à la température To. Déterminer la pression P et

la masse volumique à l'altitude z en fonction de Po , o et g.

Danièle FRISTOT


Application numérique : à quelle distance ho a-t-on : =0

2 ?

2. Modèle de l'atmosphère adiabatique.

On admet qu'il existe maintenant entre P et une relation de la forme :

P=P0 [ 0

]

avec = constante.

a. Sachant que le gaz est parfait, établir l'équation différentielle vérifiée par T et

montrer que :

dTT o

=−dz

où est une constante que l'on exprimera en fonction de , Po , o et g.

b. En déduire t(z), P(z) et z .

c. Montrer que, dans ce modèle, l'atmosphère est limitée et calculer la hauteur limite

h1 en fonction de Po , o , g et .

Application numérique : en plus des valeurs précédentes, on donne =1,4 ; calculer

h1 .

d. Quelle valeur faudrait-il donner à pour que ce modèle coïncide avec celui de

l'atmosphère isotherme ?

On rappelle que limn∞ [1x

n ]n

=ex .

3. Modèle de l'atmosphère standard.

Pour étudier les performances d'un hélicoptère, on définit habituellement une

atmosphère standard où on admet que et T varie de la manière suivante :

= H−zHz

T=T o−z avec H = 20 km et =6,5.10−3 K.m−1.

Ce modèle n'est valable que pour z < 11 km.

a. Montrer que, si l'on donne à une certaine valeur s , les modèles de l'atmosphère

adiabatique et de l'atmosphère standard donnent la même évolution de la température

T. Exprimer s en fonction de , ,Po ,T o et g.

Calculer la valeur numérique de s.

b. On considère maintenant les expressions de la masse volumique données par les

deux modèles, atmosphère adiabatique avec =s et atmosphère standard ; donner

un ordre de grandeur de la valeur numérique du module de l'écart relatif maximum

entre les deux expressions des masses volumiques (on rappelle que z < 11 km).

Commenter.

Danièle FRISTOT


Danièle FRISTOT


2. S2. STATIQUETATIQUE DESDES FLUIDESFLUIDES ETET F FORCESORCES PRESSANTESPRESSANTES

Exercice n° 1 : Equilibre d'un aréomètre.

Un densimètre est un instrument de verre, lesté à sa

partie inférieure. Sa masse totale est m. Il est composé

d'une carène lestée de volume V et à sa partie

supérieure d'un tube fin de diamètre d. Le tube est

gradué. La hauteur h dont est immergé le tube, est

reliée à la densité du liquide dans lequel il est plongé.

1. Ecrire la relation d'équilibre de l'instrument dans

un liquide de masse volumique si la

hauteur du tube immergée est h.

2. Calculer h pour l'eau.

Application numérique :

m=50,00 g ; V=48,00cm3 ; d=3,50mm ; le liquide est de l'eau : =1000kg.m−3 .

Exercice n° 2 : Calcul de la densité d'un liquide.

Pour mesurer la densité d'un liquide, on réalise 3 pesées successives d'un même solide,

suspendu sous le plateau d'une balance.

Lors de la première pesée, le solide est suspendu, à l'air libre. Pour équilibrer le solide, il faut

mettre dans le deuxième plateau une masse m0=20,50 g .

Lors de la deuxième pesée, le solide est immergé dans de l'eau distillée à 4°C. Pour équilibrer

le solide, il faut mettre dans le deuxième plateau une masse m1=12,70 g .

Lors de la troisième pesée, le solide est immergé dans le liquide dont on cherche la densité, à

20°C. Pour équilibrer le solide, il faut mettre dans le deuxième plateau une masse

m2=14,10 g .

Etablir la relation littérale donnant la densité du liquide, puis la calculer.

Donnée : la masse volumique de l'eau à 4°C est eau=1000kg.m−3 .

Danièle FRISTOT


Exercice n°3 - BTS industriels

Un manomètre différentiel est formé de deux récipients cylindriques de sections droites

identiques S, réunis par un tube de section intérieure s (voir figure). Il contient deux liquides

incompressibles non miscibles entre eux ; leur surface de séparation se trouve toujours dans la

partie gauhe du tube de section s.

Figure

L'eau a une masse volumique notée 0 .

L'aniline a une masse volumique notée .

1. On étudie l'équilibre initial du manomètre, sachant que la pression au-dessus des deux

liquides est la même, égal à p0 .

1.1. A désigne un point de la surface de séparation eau/aniline. Enoncer la relation

fondamentale de la statique des fluides. Donner les expressions de pA et de pB en

fonction de p0 , 0 , , H0 , H et g (voir figure)

1.2. Démontrer la relaion entre 0 , , H0 et H .

2. On provoque une surpression p au-dessus de l'eau (la pression devient

p0 pp0 ) et on observe un déplacement h de la surface de séparation

eau/aniline (la pression au-dessus de l'aniline reste égale à p0 ).

2.1. Démontrer que la surface libre de l'eau s'abaisse de sS

h .

2.2. Préciser comment se fait le déplacement de la surface libre de l'aniline dans le

récipient de droite, et donner son expression en fonction de h , s et S.

3. Etude de l'équilibre final du manomètre :

3.1. Ecrire les expressions des nouvelles hauteurs d'eau H '0 et d'aniline H ' au-

dessus de la nouvelle surface de séparation eau/aniline et en déduire la relation entre la

surpression p et le déplacement h .

Danièle FRISTOT


3.2. Exprimer ph

en fonction de 0 , , s , S et g .

3.3. Calculer ph

et p en tenant compte des données suivantes :

S=100.s , 0=998kg.m−3 , =1024kg.m−3 , g=9,8m.s−2 , h=5mm .

Conclure quant à l'ordre de grandeur d'une telle variation de pression.

N.B. : On néglige tout phénomène lié à la tension superficielle.

Exercice n°4 - Citerne à fioul

Une citerne à fioul de capacité volumique C est constituée d'un tronçon central cylindrique

encadré de deux extrémités hémisphériques (figure 1 ci dessus).

Une pompe aspire le combustible jusqu'à la chaudière.

Données :

dimensions extérieures de la citerne L=2,05m ; R=0,63m

capacité C=2000 litres

masse de la citerne (vide) : M=150kg

masse volumique de l'eau : e=1000kg.m−3

masse volumique du fioul : f=840kg.m−3

accélération de la pesanteur : g=10m.s−2

Danièle FRISTOT

Socle en béton

Eau

Ancrage

Fuel

2R

L

Capacité C


Ancrage de la cuveLa notice du constructeur porte la mention :

Pose en cas de nappe phréatique :prévoir quatre points d'ancrage

commander un jeu de deux sangles.

1. Indiquer brièvement pourquoi l'on doit prendre ces précautions.

2. On suppose que la cuve est entièrement immergée dans l'eau (figure 2).

Exprimer puis calculer :

2.1. le volume extérieur de la citerne Ve ;

2.2. l'intensité A de la poussée d'Archimède qu'exerce l'eau sur la cuve ;

2.3. l'intensité F de l'effort supporté par chaque point d'ancrage lorsque la cuve est à

moitié remplie de fioul.

Exercice n°5 - (Extrait concours ingénieur ville de Paris)

Un ludion est un petit personnage (P) solide,

solidaire d’une petite sphère (S)

imperméable de volume variable,

renfermant de l’air ; il est placé dans une

éprouvette cylindrique verticale (C), de

hauteur très supérieure aux dimensions du

ludion (les échelles ne sont pas respectées

sur la figure), remplie d’eau sur une hauteur

h et fermée dans sa partie supérieure par

une membrane souple imperméable (S).

Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, le ludion est en équilibre en un point voisin de la

surface de l’eau (figure 1). Lorsqu’on appuie sur la membrane (S), on constate que le ludion

tombe au fond de l’éprouvette (figure 2). On se propose d’interpréter sommairement cette

observation.

L’eau est supposée incompressible et homogène, de masse volumique = 103 kg.m-3.

L’air contenu entre l’eau et la membrane (S) forme un système fermé (A). Lorsqu’on n’appuie

pas sur la membrane, l’air contenu dans (A) est en équilibre dans l’état E1 ; il occupe un

volume initial Va1=100 cm3 , sa température vaut T a1=300 K et sa pression est égale à

Pa1=1,0 bar . Lorsqu’on appuie sur la membrane, l’air contenu dans (A) atteint un nouvel

Danièle FRISTOT


état d’équilibre E2 ; sa pression prend la valeur Pa2=2,0 bar , sa température devient T a2et

le volume occupé devient V a2.

L’air, contenu dans la sphère (S) ou dans le système (A) est assimilé à un gaz parfait de masse

molaire M=29 g.mol-1, dont le rapport des capacités calorifiques à pression et à volume

constants vaut =Cp

Cv

=1,4 . On rappelle la valeur de la constante des gaz parfaits, R=8.31 J.K-

1.mol-1.

1. Champ de pression dans l’eau : on considère le dispositif en l’absence de ludion, c’est-à-

dire plus précisément lorsqu’on remplace le ludion immergé par un volume équivalent d’eau.

Exprimer à l’équilibre, les pressions P1(z) et P2(z) dans l’eau en fonction de Pa1, Pa2

, g,

et z.

2. Mouvement du ludion : on admet que le champ de pression déterminé à la question

précédente est effectivement le champ de pression en présence du ludion, que celui-ci soit au

repos ou en mouvement. Lorsqu’on n’appuie pas sur la membrane, la sphère souple (S),

solidaire du ludion, est immergée en équilibre, à la cote z = 0. Cette sphère, remplie d’air à la

température T a1=300 K et à la pression Pa1=1,0 bar occupe alors un volume VL = 1 cm 3.

On admet que lorsque le centre d’inertie G du ludion est à la cote z, on peut déterminer

approximativement le volume de (S) en considérant que l’air qu’elle contient est à la pression

uniforme P1(z) ou P2(z) suivant qu’on appuie ou non sur la membrane.

a) En traduisant l’équilibre du ludion dans l’état initial et en négligeant le volume du

personnage (P) devant celui de la sphère (S), calculer sa masse m.

b) En adoptant un modèle d’évolution adiabatique et réversible pour l’air contenu dans la

sphère (S), exprimer son volume V(z) lorsqu’on appuie sur (Σ) et que le centre d’inertie G du

ludion est à la cote z, en fonction de Pa1 , Pa2 , g, , z, et VL.

c) Etablir l'équation différentielle du deuxième ordre dont est solution la fonction z(t) en

négligeant les frottements.

d) En déduire la vitesse (dz / dt) en fonction de z et des données.

e) Donner une valeur approximative de la vitesse avec laquelle le ludion atteint le fond du

récipient (z = h = 1m).

f) Discuter brièvement en quoi le comportement du ludion serait qualitativement changé ou

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inchangé si sa masse diminuait de 5 %. Même question si elle augmentait de 5%.

Exercice n°6 : Tube en U

Soit un tube en U contenant trois liquides non miscibles

1 , 2 et 3 . Déterminer l'altitude de chaque niveau

de séparation par rapport à une altitude 0 de référence

au sol.

Données : z0 −z1 =0,2 m ; 1 =1000 kg.m−3 eau

z3 −z2 =0,1 m ; 2 =13,6.103 kg.m−3 Hg

z1 z2 =1 m ; 3 =700 kg.m−3 essence

Exercice n°7 : Barrage prismatique (extrait PLP externe 2002)

Dans tout l’exercice, les solides et les liquides sont plongés dans le champ de pesanteur

uniforme d'intensité g.

Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen, et associé à un repère R (O, x, y, z), tel que

l'axe Oz soit dirigé suivant la verticale ascendante.

On se réfère au schéma de la figure ci-dessous. Le barrage est formé d'un solide indéformable,

en forme de pentaèdre de base rectangulaire. Sa section est un triangle isocèle, de hauteur h,

de demi angle au sommet égal à . Sa masse volumique est égale à .

Il est posé sur le sol horizontal et permet de retenir l'eau d'un lac dont la masse volumique est

égale à .

On note u le vecteur normal à la face immergée

( dirigé vers le barrage) et u’ le vecteur normal à

la face à l’air libre et aussi dirigé vers le barrage.

On suppose que les seules forces qui

interviennent sont liées à la pression des fluides

(eau et air), au poids du barrage et aux forces de

contact exercées sur le sol.

Danièle FRISTOT

2

z

hEau

g

0 x

1

2

3

zo

z3

z2

z1

0


La longueur L du barrage est suffisamment grande pour que l'on puisse négliger les forces de

liaison intervenant à ses extrémités.

On appellera po la pression uniforme de l'air au voisinage du barrage.

1. Exprimer la pression P exercée par l'eau sur le barrage en fonction de l’altitude z, po, ,g et

h.

2. Calculer la résultante des forces pressantes par unité de longueur sur la face immergée du

barrage. En déduire la résultante de forces pressantes par unité de longueur sur la face

émergée.

3. On admet que ni l'air, ni l'eau ne peuvent pénétrer sous le barrage. On considère que ce

dernier ne tient alors en équilibre sur le sol que par action de forces de frottement solide. Dans

ce cas la réaction du sol par unité de longueur, sur le barrage est représentée par :

➢ une composante normale N verticale ascendante,

➢ une composante tangentielle T horizontale qui s'oppose au glissement du barrage.

Déterminer les composantes N et T, composantes de la réaction du sol sur l'unité de longueur

de barrage.

4. L'équilibre statique n'est garanti que si |T| < f |N|, expression dans laquelle f est un

coefficient constant positif, appelé coefficient de frottement statique du barrage sur le sol. En

déduire la valeur minimale du coefficient de frottement, pour que le barrage reste en équilibre

sur le sol, sans glisser.

5. Application numérique.

Déterminer la valeur limite de f pour que le barrage ne glisse pas.

Données :

h = 10 m ; g = 10m.s-2 ; = 2.103 kg.m-3 ; = 103 kg.m-3 ; = 45° ; Po = 105 Pa

Exercice n°8 - (Extrait Concours navale – session 1994)

I. Statique des fluides

On considère de l'eau liquide de masse volumique pas nécessairement constante, en

équilibre dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. L'axe z'z est orienté de bas

en haut et h représente la hauteur d'eau. Ecrire la relation locale liant en un point quelconque

du fluide la masse volumique à la pression qui existe en ce point.

1. En déduire que les surfaces isobares sont des plans horizontaux.

2. On suppose dans cette question que le fluide est de l'eau et qu'elle est incompressible,

déterminer alors la relation qui relie la pression P(z) à la côte z en fonction de la

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pression à la surface libre du liquide Po, de la hauteur h d'eau et de l'altitude z. Par la

suite on définit P(z) comme la pression différentielle due à l'eau c'est-à-dire p(z) = P(z) –

Po.

3. On tient compte maintenant de la variation de avec la pression. On prendra comme

relation pour le volume :

V=Vo1−c2 −P−Po au voisinage de Vo

4. On donne To = 273 K, et Po = 101325 Pa. On mesure m/Vo=o=103 kg/m3 .

a. Déterminer P(0) et p(0) pour h=100 m en considérant l'eau soit comme un fluide

incompressible, soit comme un fluide compressible. Conclusion.

b. Quelle erreur relative commet-on, quand on assimile l'eau a un fluide incompressible,

on exprimera cette erreur relative en fonction de ,o ,g et (h-z).

c. Application numérique : calculer (h-z) pour obtenir une erreur relative de 1%.

DANS TOUTE LA SUITE DU PROBLEME ON PRENDRA =o.

II. Etude d'un barrage – poids

Il existe deux grandes catégories de barrages, les barrages – poids et les barrages – voûtes.

Les barrages – poids ont presque tous la même coupe transversale triangulaire, le sommet du

triangle placé au niveau le plus haut que pourra atteindre la surface libre de l'eau. Les

parements d'un barrage sont les deux faces visibles de l'ouvrage en général en béton. On

distingue le parement amont (face côté eau) et le parement en aval (face côté air). Le

parement amont est vertical et le parement aval est incliné et sa pente est donnée par l'angle

(voir fig. 1). L'ouvrage subit trois forces réparties, les forces de pression exercées par

l'eau, le poids du barrage et la réaction que le sol exerce sur l'ouvrage. On admettra que les

éléments de réduction de ces actions sont une force F appliquée en C, le poids P appliqué

en G et une réaction R appliquée en M. On note h la hauteur du barrage, par L sa largeur de

base et par he la hauteur moyenne de l'eau retenue en amont. (On a évidemment he < h.)

L'eau est considérée comme un fluide incompressible de masse volumique o . Le béton a une

masse volumique égale b . On donne b=2,5 o .

On considèrera une base ux et uz et que les vecteurs seront toujours déterminés dans cette

base.

De plus les calculs seront effectués, numériquement ou non, en considérant toujours 1 mètre

de largeur de barrage.

Danièle FRISTOT


1. Les forces de pression que l'eau exerce sur une face amont en un point Mi sont notées

dF , la résultante de cette force répartie sera notée F et on définit son centre de

poussée C par la relation

OC∧F=∫∫sOM i∧dF

2. Déterminer le poids de l'ouvrage et donner la position de son centre de gravité G. (On

précisera les composantes et les coordonnées.)

3. En écrivant les conditions d'équilibre, trouver alors la résultante des actions que le sol

exerce sur le barrage et déterminer la position M où s'exerce cette résultante.

4. Pour des raisons de sécurité on souhaite que la position du point M se situe avant les

2/3 de la base, soit xM2L /3. Ceci est pour éviter le basculement du barrage sous la

pression de l'eau par rapport au point B. Quelle valeur doit-on donner à pour que

cette condition soit réalisée.

Faire l'application numérique. On prendra he = 0,8 h. On notera 1 la valeur limite de

.

5. On impose une deuxième condition, on veut que le rapport des composantes

horizontale et verticale de la réaction que le sol exerce sur le barrage soit dans le

rapport ¾.

a. Quelle est la raison physique de cette condition ?

b. Quelle valeur doit-on donner à pour que cette condition soit réalisée. Faire

l'application numérique. On notera 2 la valeur limite de .

6. En fait des infiltrations d'eau se produisent au niveau des fondations. Ces infiltrations

d'eau créent sous celui-ci des sous pressions effectives qui décroissent linéairement de

A à B. Elles sont évidemment proportionnelles à la hauteur d'eau he, la sous-pression est

nulle en B et égale à eghe en A.

a. Déterminer la poussée verticale F1 due à ces sous-pressions et son centre de

poussée C1.

b. Quelles sont alors les nouvelles valeurs de 1 et 2 . Application numérique. On

prendra =0,5.

7. On choisit finalement =60° pour construire le barrage ; par suite de pluies

Danièle FRISTOT

eau

barrage

B(L)A

he

uz

ux


exceptionnelles le barrage est complètement rempli, les conditions données au 1.4 et

au 1.5 sont-elles vérifiées ?

III. Etude d'un barrage – voûte

Un barrage – voûte s'arc-boute sur les flancs d'une vallée pour leur transmettre les efforts

provenant de la poussée de l'eau. On considère que le barrage voûte a un parement amont de

profil courbe d'équation z=axn , n étant positif mais pas nécessairement entier. On fera le

calcul des forces de poussée sur l'unité de largeur.

1. On considère la quantité d'eau comprise entre HIA, toujours sur une largeur de 1 mètre.

Calculer le poids de cette quantité d'eau, on note par he la hauteur d'eau AH = IB, par xe

la distance HI = AB. (HIBA est un rectangle.)

2. Déterminer les coordonnées du centre de gravité de cette quantité d'eau

AG=xGuxzGuz

3. Calculer la force due à la pression que cette quantité d'eau subit sur la face AH et

déterminer le centre de poussée.

4. Déduire des calculs précédents la poussée F que le barrage reçoit de l'eau, on

déterminera les composantes Fx et Fz de cette poussée.

5. Trouver une équation de degré n vérifiée par l'abscisse xC du centre de poussée.

6. Application numérique : déterminer Fx, Fz, xC et zC avec he = 50 m, n=2 et xe = 10 m.

Exercice n°9 - (Extrait Concours externe CAPESA 2000)

1. Statique des fluides :

1.1 Etablir l’équation locale d’un fluide de masse volumique en équilibre dans un champ de

pesanteur terrestre uniforme g : dp=− .g .dz (l’axe Oz est vertical ascendant).

Danièle FRISTOT

barrageeau

H(he) I

uz

uxAB(xe)


1.2. Applications :

1.2.1 On peut considérer que dans une zone de l’atmosphère terrestre d’environ 10 km

d’épaisseur 0≤z≤10 km , la température décroît avec l’altitude z selon une loi

affine : T = To.(1 – k.z) où To et k sont des constantes positives. Le champ de pesanteur

reste pratiquement constant et l’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M.

L’indice 0 (Po, 0, To) est relatif aux grandeurs au sol (z = 0).

On posera = Mgk.R.T o

1 : où R est la constante universelle des gaz parfaits.

a – Exprimer la pression P à l’altitude z en fonction de Po, k, et z.

b – Calculer numériquement la pression P dans une station d’hiver à l’altitude

z = 2300 km, sachant que M = 29.10-3 kg.mol-1 ; To = 293 K ; R = 8,32 J. mol-1.K-1 ;

g = 9.81 m.s-2 ; Po = 105 Pa et k = 2,2.10-5 m-1.

c – En déduire qualitativement comment varie la température d’ébullition de l’eau avec

l’altitude et préciser l’intérêt d’un auto-cuiseur dans ces conditions.

1.2.2. Une porte d’écluse, verticale, plane, rectangulaire, de largeur L et de hauteur H subit

l’action de l’eau d’un canal sur l’une de ses faces sur une hauteur Ho.

Calculer la force pressante qu’exerce l’eau sur cette porte d’écluse.

A. N. : masse volumique de l’eau = 103 kg.m-3 ; L = 6m ; H = 10 m ; Ho = 5m et g

= 9.81 m.s-2.

2. Dynamique des fluides parfaits

2.1Définir la notion de fluide parfait

2.2Le théorème d'Euler résulte de l'application de la relation fondamentale de la dynamique

d'un système matériel au cas d'un système fluide fermé contenu dans un tube

d'écoulement (système A1B1A2B2 de la figure ci-dessous).

Dm étant le débit massique, il s'exprime par ∑F ext=Dm v2 − v1.

Danièle FRISTOT

v1

B1

B2

A2

A1

v2


2.2.1 Donner la définition du débit massique noté Dm.

Vérifier l'homogénéité du théorème d'Euler

2.2.2 Applications :

a – Dans un réacteur, la propulsion est obtenue en éjectant à l'arrière les gaz résultant

de la combustion de kérosène dans de l'air préalablement comprimé, prélevé en

amont.

La vitesse absolue de l'avion est notée v et la vitesse relative des gaz éjectés en aval

u . Voir figure ci-dessous.

- Etablir l'expression de la poussée du réacteur.

b – On considère une fusée dans sa phase d'accélération.

- Préciser la différence de principe de propulsion entre une fusée et un réacteur, pour

ce qui concerne les fluides.

- En déduire l'expression de la poussée d'une fusée.

2.3. Le théorème de Bernoulli est une conséquence de l'application du théorème de

l'énergie cinétique à un système fluide contenu dans un tube de courant élémentaire

(système A1B1A2B2 de la figure ci-dessous).

Danièle FRISTOT

z

z2

z1

A1

A2

B2

B1

0

v2

v1

v

u


2.3.1 Enoncer le théorème de Bernoulli en précisant les conditions de sa validité.

2.3.2 Première application. Voir schéma ci-dessous

Dans le jet d'une soufflerie orienté verticalement de haut en bas, on place une balle de

ping-pong que l'on abandonne. La balle reste au dessous du jet dans l'entonnoir.

Indiquer comment le théorème de Bernoulli permet d'expliquer cette observation.

Préciser le rôle de l'entonnoir. On indiquera l'(les) approximation(s) nécessaire(s) pour

que cette interprétation soit acceptable.

2.3.3 Seconde application.

Vers 2000 ans av J.C., les anciens Egyptiens mesuraient le temps avec une clepsydre

(horloge à eau). Celle-ci est constituée d'un réservoir de section circulaire muni d'un

orifice C à la partie inférieure.

Sa forme est choisie de telle manière que la hauteur z comptée à partir de l'orifice de

sortie C de section s ; on suppose que l'on a toujours S(z) >> s.

a – Déterminer à partir de la relation de Bernoulli la vitesse de sortie du liquide v(z) en

fonction de la hauteur z du liquide restant à un instant donné.

b – Donner deux expressions du débit volumique en fonction de s et v(z) ainsi que de

S(z) etdzdt

.

c – La surface libre du liquide est de la forme S z=k z avec k = constante. A

l'instant t = 0, la hauteur de liquide est H.

En déduire que la variation de la hauteur de liquide z en fonction du temps est bien une

fonction affine du temps.

d – Calculer le temps d'écoulement du liquide correspondant à une hauteur de liquide

z=h2

, sachant que k = 0,2 S.I. ; H = 0,5 m ; s = 1 mm2 et g = 9,81 m.s-2.

Danièle FRISTOT


3. T3. TENSIONENSION SUPERFICIELLESUPERFICIELLE

Exercice n°1 – Loi de Laplace

Considérons 2 plaques planes parallèles situées à la distance 2a l’une de l’autre et plongées

dans l’eau qui les mouille parfaitement. (On pourra assimiler, dans le plan, la trace de la

surface libre a un demi cercle).

Calculez de deux façons différentes la valeur de la dénivellation h (forces de tension

superficielle et formule de Laplace).

A. N : eau A = 73.10-3 S.I.

a = 1 mm

Exercice n°2 – Ascension capillaire

Un corps solide S en matière plastique de forme parallélépipédique rectangle (base carrée de

côté a et de longueur l très grande par rapport à a) flotte sur un liquide L sur lequel il est

allongé, sa longueur l parallèle à la surface. En raison du phénomène de capillarité, le

raccordement de la surface du liquide autour du solide se fait sous un angle . Soient la

masse volumique du liquide et A sa constante capillaire.

On donne = 1g.cm-3 ; A = 70 ergs.cm-2 ; a = 2 cm ; l= 20 cm.

1. Etablir la relation entre l’ascension z et la courbure au

point correspondant de la surface de raccordement.

Application : = 0°.

2. Le liquide situé au-dessus de X’X exerce des forces de

pression sur une paroi latérale. Calculer la grandeur

et le point d’application de leur résultante.

Exercice n°3 - L'impossible montée

Données numériques :

➢ Accélération de la pesanteur g=9,81 m.s−2

➢ Constante des gaz parfaits R=8,3145 J.K−1.mol−1

Danièle FRISTOT


➢ Pression atmosphérique normale 1,01325bar=0,101325MPa≈760mmHg

➢ Masse volumique de l'eau à 20°C =0,99821 g.cm−3

➢ Tension superficielle de l'eau à 20°C =72,75 x10−3N.m−1

➢ Viscosité dynamique de l'eau à 20°C =1,002x10−3kg.m−1.s−1

➢ Rayon des canaux de xylène (bois) R≈25 m conifères à 200m chêne

➢ Température de fusion de la glace sous

pression normale T F=273,15 K

A. La poussée atmosphérique

1. En supposant que l'eau est incompressible, quelle est la pression P(h) au sommet d'une

colonne d'eau de hauteur h et dont la base est à la pression atmosphérique Po ?

2. Application numérique : Quelle hauteur maximale hA peut atteindre l'eau soumise à une

aspiration sous vide ?

B. La capillarité

A l'interface entre une phase liquide et une phase gazeuse, un accroissement réversible dA de

la surface de contact, à température constante, nécessite un apport énergétique par travail

donné par dA où ( > 0) est la constante de tension superficielle entre les deux

phases. Les forces de tension superficielle tendent donc à réduire la surface de contact et elles

créent du côté concave une surpression par rapport au côté convexe, donnée, pour une

interface sphérique de rayon r, par2

r.

1. On considère une goutte de liquide, sphérique, de rayon r, à l'équilibre avec l'air

environnant de pression uniforme Po ; soit Pi la pression au sein de la goutte.

a. Donner l'expression de Pi en fonction de Po, et r.

b. Application numérique : A partir de quel rayon la pression au sein d'une goutte d'eau

est-elle supérieure de 1o /oo à la pression atmosphérique ?

2. Lorsque l'on plonge un tube de verre très propre, cylindrique et de faible rayon R, dans

un liquide, on constate que le liquide s'élève dans le tube d'une hauteur h. Le ménisque

a la forme d'une calotte sphérique qui se raccorde aux parois avec un angle (voir

figure 1).

a. En calculant la pression du liquide sous le ménisque de deux façons différentes, relier

h à R, cos et à la grandeur C= g

, dont on donnera la dimension et que l'on

interprétera.

b. Que se passe-t-il si 2

?

Danièle FRISTOT


c. Application numérique : Calculer C pour l'eau. De quelle hauteur hC la sève

brute peut-elle s'élever par capillarité dans les canaux de xylène qui la transportent ?

Exercice n°4 - Capesa externe 1994

Formation des gouttes à l'extrémité d'une pipette – Etude de la chute d'une goutte

d'eau dans l'air

1. Des gouttes d'éthanol sont émises, à 20°C, à l'aide d'une pipette dont la section droite

de l'extrémité est plane.

1.1 Réaliser le bilan des forces qui s'exercent sur une goutte se formant à l'extrémité de

la pipette.

1.2 Décrire le phénomène observable à l'instant précis où la goutte se détache. Faire un

schéma à cet instant.

1.3 Etablir l'expression de la masse de la goutte.

1.4 Déterminer le rayon de striction au moment où la goutte se détache.

On donne :

➢ 1 mL d'éthanol contient 70 gouttes

➢ diamètre extérieur de la pointe de la pipette : D = 2.10-3 m

➢ constante de tension superficielle de l'éthanol à 20°C : 1 =23.10−3 N.m−1

➢ densité de l'éthanol à 20°C : d = 0,791

➢ constante de l'attraction terrestre au lieu de l'expérience : ∣∣g∣∣=9,81 m.s−2

2. Des gouttes d'eau pure sont émises à l'aide de la même pipette, dans les mêmes

Danièle FRISTOT

h 2R


conditions expérimentales.

Calculer la masse d'une goutte d'eau, au moment où celle-ci se détache de la pipette.

On donne la constante de tension superficielle de l'eau à 20°C : 2 =73.10−3 N.m−1

3. Chaque goutte d'eau qui tombe dans l'air est soumise à son poids P et à l'action de

l'air. Chaque goutte s'échappe de la pipette sans vitesse initiale.

L'air exerce sur la goutte une force de résistance proportionnelle à sa vitesse de la

forme f =−K .v .

La goutte reste sphérique au cours de la chute.

On néglige la poussée d'Archimède et on considère que le système est ramené à son

barycentre.

On fait l'hypothèse que l'évaporation au cours de la chute est négligeable.

3.1 Etablir l'équation différentielle du mouvement de la goutte.

3.2 Montrer que la goutte atteint une vitesse limite vL.

3.3 Calculer la durée de la chute pour que la vitesse de la goutte soit à 10-3 près celle

de la vitesse limite.

On donne la vitesse limite de la goutte déterminée expérimentalement : vL=0,25 m.s−1 .

Exercice n°5 – Méthode d'arrachement

On veut mesurer la tension superficielle d'un liquide par la méthode d'arrachement. Une lame

de platine de 20mm de long et d'épaisseur négligeable est suspendue à un fil passant sur

une potence ; on peut tirer sur ce fil sans secousse. La lame est mouillée dans un liquide versé

dans un récipient placé sur le plateau d'une balance électronique. Cette balance indique alors

m1=250,35g . La lame est ensuite arrachée de la surface. Juste avant l'arrachement, la

balance indique une masse m2=250,06g .

1. Justifier le signe de la différence de pesée.

2. Déterminer la tension superficielle du liquide dans les conditions de température et de

pression de la mesure.

Donnée : g=10m.s−2 .

Exercice n°6 – Densimètre

Soit le densimètre de la figure ci dessous. Sa masse totale est notée m . Il est composé d'une

carène de volume V et à sa partie supérieure d'un tube fin de diamètre d . Le tube est

Danièle FRISTOT


gradué. La hauteur h dont est immergé le tube est reliée à la densité du liquide dans lequel

il est plongé.

On se propose d'étudier l'influence des phénomènes de capillarité sur la mesure de densité

effectuée à l'aide de ce densimètre.

En négligeant la force de tension superficielle, on avait trouvé dans l'eau une hauteur

immergée h=0,208m .

1. Exprimer la force de tension superficielle qui

s'exerce sur le tube.

2. En déduire la hauteur h' de tige immergée en

tenant compte de cette force.

Application numérique : m=50,00 g ; V=48,00cm3 ; d=3,50mm ; le liquide est de l'eau :

- =1,00.10−3kg.m−3 ; - =73.10−3 N.m−1 ;

- g=10m.s−1 ;

Conclusion ?

Danièle FRISTOT


4. 4. DDYNAMIQUEYNAMIQUE DESDES FLUIDESFLUIDES PARFAITSPARFAITS

Exercice n°1 : Ecoulement vertical

On utilise le venturimètre représenté sur la figure ci-contre

pour mesurer un débit d’eau.

La dénivellation du mercure dans le manomètre différentiel

est h = 35,8 cm, la densité du mercure est 13,6.

1. Expliciter le débit d’eau en fonction de la différence des

pressions entre les points A et B et de leur distance h’ =

75,0 cm. On fera l’hypothèse d’un fluide parfait,

incompressible.

2. Calculer le débit sachant que les diamètres du col et du

tube sont respectivement 15 et 30 cm.

3. Calculer les vitesses moyennes de l’eau dans le col, ainsi

que dans le tube.

Exercice n°2 : Alliage d'aluminium

On désire couler par gravité un alliage d'aluminium dans une coquille. Voir le schéma ci-dessus

d'une demi-coquille.

L'alliage liquide est considéré comme un fluide parfait.

On donne

- la masse de la pièce M=0,162 kg ;

- masse volumique de l'alliage : b=2,7kg.dm−3

- la section du trou d'attaque de remplissage S=80 mm2 .

Danièle FRISTOT


Chaque pièce est coulée en un temps t de deux secondes.

1. Calculer le débit massique Qm au niveau du point d'attaque de la coulée point A.

2. Calculer la vitesse du fluide en un point A pendant la coulée, cette vitesse étant

considérée comme constante pendant toute l'opération.

Exercice n°3 : Nettoyage au jet d'eau

Une lance nettoyeuse est raccordée à un tuyau d'alimentation de section S1 et de même

axe horizontal que la lance. A l'intérieur de ce tuyau, l'eau est soumise à la pression p1 et

possède la vitesse v1=8m.s−1 .

Afin d'obtenir un nettoyage efficace, on souhaite obtenir, à la sortie de la lance, une vitesse de

jet v2=80m.s−1 et un débit de 6000L.min−1 .

1. Calculer la section S1 du tuyau d'alimentation.

2. Calculer la pression p1 de l'eau à l'intérieur du tuyau.

Exercice n°4 : Chauffage central

Dans une installation de chauffage central, l'eau sort de la chaudière avec un débit volumique

qv=18L.min−1 à une pression p=5.105 Pa dans un tuyau de diamètre intérieur D=20mm .

Les radiateurs sont branchés en dérivation.

Le diamètre intérieur du tuyau qui les parcourt est d=5 mm.

On considère l'eau comme un fluide parfait de masse volumique =1,00.10−3kg.m−3 .

1. Calculer la vitesse de l'eau à la sortie de la chaudière.

2. Calculer la vitesse et la pression de l'eau en un point d'un radiateur situé à 3,0 m

d'altitude au dessus de la chaudière dans les deux cas suivants :

2.1. un seul radiateur est ouvert

2.2. deux radiateurs sont ouverts

Danièle FRISTOT


Exercice n°5 : Vidange de réservoir

Données :

=900kg.m−3

s=3,0cm2

g=9,8N.kg−1

Le réservoir représenté ci-dessus, ouvert à l'air libre, a pour dimensions :

L=1,60 m ; l = 0,75 m ; H = 1,00 m.

Il est muni, à sa base, d'un orifice de vidange de section s. Le réservoir est plein de fioul,

liquide parfaitement fluide, de masse volumique .

1. L'orifice est ouvert. On procède à la vidange du réservoir.

1.1. La section horizontale du réservoir (L x l = S) étant très grande par rapport à la

section s de l'orifice de vidage, quelle approximation peut-on faire ?

1.2. Etablir l'expression littérale de la valeur c de la vitesse du jet au niveau de l'orifice

de vidange lorsque la hauteur du liquide est H (la pression extérieure au niveau de

l'orifice est celle de l'air environnant).

1.3. Calculer la valeur numérique de c.

1.4. Exprimer le débit volumique qv en fonction de : H, s, g.

1.5. Calculer la valeur numérique de qv .

1.6. Quelle serait la durée du vidage si ce débit restait constant ?

2. Calcul de la durée théorique du vidage.

Pendant une durée très petite dt la hauteur du liquide dans le réservoir varie de dz.

2.1. Exprimer la variation de volume dv correspondante :

2.1.1. en fonction de dz

2.1.2. en fonction de qv .

2.2. En déduire que dt=−Ss

1s 2gz

dz

Danièle FRISTOT


2.3. Sachant qu'une primitive de1 z

est 2 z ; montrer, en utilisant l'équation

précédente, que la durée théorique du vidage est voisine de 30 minutes.

2.4. Comparer cette valeur à celle trouvée à la question 1.6.

2.5. Expliquer la différence.

3. La durée réelle du vidage est en fait supérieure à la durée théorique calculée.

Pourquoi ?

Exercice n°6 : Contrôle BTS (50 min)

Un récipient de section S contient un liquide idéal

de masse volumique . La hauteur H de liquide

dans le récipient est maintenue constante.

Le liquide s'écoule par une canalisation

horizontale cylindrique de section s, placée à la

base du récipient. La pression atmosphérique est

notée po.

On donne : =103kg.m−3 ; H=3m ; po=105 Pa ; g=10m.s−2

diamètre de la canalisation d=0,05m.

1.

1.1. Etablir les expressions littéraes de la vitesse v B et du débit volumique qv du

liquide en B.

1.2. Calculer v B et qv .

2. On fixe à la sortie de la canalisation un

tube de diamètre d'=d/2.

Exprimer littéralement puis calculer :

2.1. la vitesse d'écoulement en C, vC

2.2. la vitesse d'écoulement en B, v 'B

2.3. le nouveau débit volumique de sortie q'v ( au point C).

3. On coude le tube à angle droit. La partie verticale C'C, dirigée vers le bas, a une

Danièle FRISTOT


longueur L égale à 0,40 m.

Exprimer littéralement puis calculer :

3.1. la vitesse d'écoulement v 'C en C

3.2. la pression statique pC ' (point de coudage).

Exercice n°7 : Citerne

Données :

Masse volumique de l'eau =103 kg.m−3

Pression de vapeur saturante de l'eau à 20°C pvs=2500 Pa.Intensité du champ de pesanteur g=10m.s−2

pression atmosphérique p=105 Pa.

A. Une citerne destinée au transport d'eau permet d'alimenter un réservoir R1 .

Elle est stationnée, pleine, sur la plate-forme et on la siphonne pour effectuer son vidage.

Un tuyau cylindrique, considéré comme une canalisation régulière, plonge pratiquement

Danièle FRISTOT


jusqu'au fond (point A) de la citerne, remonte en un point B où il est suspendu à une potence,

puis débouche à l'air libre au point C, au-dessus de la cuve R1 . Tous ces points figurent sur le

document.

1. Au tout début de l'écoulement, sachant que la citerne est ouverte à l'air libre, établir

l'expression littérale puis calculer la vitesse vo d'éjection du fluide en C. En déduire le

débit-volume, noté Qvo .

2. On rappelle qu'il y a risque de cavitation dans une canalisation si la pression en un point

de l'écoulement devient trop faible et atteint la pression de vapeur saturante pvs du

fluide qui circule.

Exprimer, puis calculer la hauteur théorique maximale à laquelle on peut porter le point

B de la conduite en évitant ce type de risque.

3. En fait, au cours de la vidange, le niveau supérieur du liquide baisse. On note alors z la

nouvelle cote à un instant t.

Que devient alors l'expression du débit-volume qv t en fonction de d, g, z et zC ?

4. On se propose d'étudier les variations de z en fonction du temps. Pour cela on

examinera :

la variation dV du volume contenu dans la citerne en fonction d'une variation dz de cote

du niveau supérieur ;

la variation dz de la cote en fonction du temps dt.

En introduisant la vitesse d'écoulement v(t) on établira l'équation différentielle solution

du problème.

5. Par intégration de cette équation différentielle on calculera le temps nécessaire au

remplissage du récipient R1 .

On remarquera qu'à l'instant initial (t=0), z=z L0 et que lorsque R1 est plein, le

niveau de liquide dans la citerne est z x calculable.

B. On s'intéresse maintenant à l'étude d'une estimation de la perte de charge.

Afin de simplifier, l'étude, et du fait que le débit-volume varie peu, on posera pour sa suite

qv=Cte .

Du fait des pertes de charge, sa valeur moyenne est qv=3,14 .10−2m3. s−1 .

1. Calcul de la perte de charge régulière

1.1. On rappelle : J r=v2 . L.2.g.d

.

A l'aide d'une étude sommaire des équations aux dimensions, préciser la dimension de

Danièle FRISTOT


J r .

1.2. Déduire du nombre de Reynolds la nature de l'écoulement dans cette canalisation.

1.3. La hauteur moyenne des aspérités est : =0,01mmDéterminer le coefficient de perte de charge dans la canalisation. Le candidat

exploitera les abaques de Colebrook et fera apparaître, sans ambiguïté, sur sa copie la

méthode de recherche de .

Calculer la perte de charge régulière totale J r en mètres.

2. Calcul de la perte de charge singulière

On rappelle J s=v 2∑ K

2 g2.1. Quelle est la dimension de J s sachant que K est un coefficient sans dimension

caractérisant chaque singularité.

2.2. Pour réaliser cette installation et protéger le réservoir, on a été amené à introduire

des singularités. Les coefficients K sont donnés ci-dessous :

- en A : une crépine de coefficient K = 4 et une section contractée de coefficient K = 0,4

- en B' et B" : deux coudes légers de coefficient K = 0,2.

Calculer la perte de charge singulière totale J_s .

2.3. Evaluer la perte de charge totale de l'installation et la puissance perdue de ce fait.

2.4. Le point B étant situé à la cote z B=4,75m , et le débit-volume ayant toujours

pour valeur qv=3,14.10−2m3. s−1 que devient la pression au point B si l'on tient

compte de la perte de charge dans cette canalisation ?

Conclure quant à l'influence de cette perte de charge sur le risque de cavitation.

Danièle FRISTOT


Exercice n°8 : Tube de Venturi

Un tube de Venturi est constitué d'un convergent et d'un divergent que l'on intercale dans une

conduite où circule un fluide de masse volumique dont on veut mesurer le débit volumique

qv .

Sur ce tube sont prévus deux prises de pression. Chacun des tubes, servant à mesurer la

pression, est relié à une branche d'un manomètre différentiel sur lequel on lit une dénivellation

H.

L'objectif de ce problème est d'établir la relation entre H et le débit volumique du fluide qv .

Nous supposons le fluide parfait et incompressible et l'écoulement permanent.

1. S1 et S2 sont les sections droites de la conduite à l'endroit des prises de pression

S 2

S 1=0,5 ; v1 et v2 sont les vitesses du fluide respectivement en A1 et A2 ; p1

et p2 sont les pressions du fluide respectivement en A1 et A2 .

Comparer, en justifiant, v1 et v2. En déduire le rapportv2

v1des vitesses.

Comparer p1 et p2 sans effectuer de calcul, mais en justifiant la réponse.

2. Le tube de Venturi étant disposé horizontalement, écrire le théorème de Bernoulli entre

A1 et A2 , puis établir l'expression de p1 – p2 en fonction de , v1 et v2 .

3. Le fluide s'écoulant de façon permanente et son débit volumique étant noté q_v,

déterminer l'expression de p1 – p2 en fonction de , qv , S1 et S2 .

4. Le manomètre contient de l'eau. Exprimer p1 – p2 en fonction de H, g, et eaula masse volumique de l'eau. Indiquer l'unité dans laquelle s'exprime chacune de ces

Danièle FRISTOT

Manomètre différentiel

Convergent Divergent

Axe de laconduite

Section S1

Section S2

Sens de l'écoulement A2

A1


grandeurs.

5. En identifiant les expressions obtenues question 3 et 4, montrer que H=k.qv2 et

déterminer l'expression de k en fonction de ,eau , g, S1 et S2 . Indiquer l'unité de k.

6. Application numérique :

- masse volumique de l'eau : e=1000kg.m−3

- masse volumique du fluide : =900kg.m−3

- rapport des sections : S2/ S1=0,5

- diamètre de la section S1 : D1=60mm

- accélération de la pesanteur : g=9,81m.s−2

On mesure H = 10 mm. Calculer k. En déduire le débit volumique qv du fluide.

Exercice n°9 : Expression générale du théorème de Bernoulli

Donner l'expression générale du théorème de Bernoulli.

Quelle est la signification physique de cette expression, des différents termes ? Unités.

Un réservoir alimente une canalisation cylindrique de section constante comprenant une vanne

K, 4 coudes à angle droit et un ajutage de sortie F tel que sa section (de sortie) soit la moitié de

celle de la canalisation.

Calculer la vitesse de sortie de l'eau (en B) si h=3m (2 cas) :

a. sans tenir compte des pertes de charges singulières

b. en en tenant compte. On admettra comme coefficient de perte da charge :

➢ pour la vanne : v =0,4

➢ pour l'ajutage de sortie assez allongé : =0

➢ pour un coude droit à angle droit : c=1

➢ pour une entrée de conduite en T : v=0,5

Danièle FRISTOT

A

x B

h


Exercice n° 10 : MÉCANIQUE DES FLUIDES (extrait 3ème concours CAPLP 2004)

D’après un sujet du bac pro Pilotage des Systèmes de Production Automatisée,

session 2001

Formulaire :

Débit : Q = S v

Relation de Bernoulli : p1 .g.z1 1 2

v12 =p2 .g.z2

1 2

v22

Masse volumique de l’eau : = 1 000 kg.m-3

La ville de Genève possède un jet d’eau qui projette une demi tonne d’eau par seconde. La vitesse de sortie de

l’eau de la tuyère cylindrique est 56 m.s-1. On suppose l’écoulement permanent.

I. 1. Calculer le rayon intérieur R de la section de la tuyère. Exprimer le résultat en cm.

Dans le circuit hydraulique amenant l’eau à la tuyère de sortie, on suppose que l’écoulement

est horizontal. La vitesse de l’eau alimentant la tuyère est de 3 m.s-1 et la pression à la sortie

du circuit est égale à la pression atmosphérique patm, soit 1 bar.

I. 2. Calculer la pression à laquelle est portée l’eau qui alimente la tuyère. Exprimer le résultat

en bar.

Exercice n ° 11 – Chauffage central

Le dessin ci-dessus est une représentation simplifiée d'une installation de chauffage central

dans laquelle l'eau circule en circuit fermé.

Les diamètres intérieurs des canalisations des

parties A, B sont notés respectivement dA ,

dB .

La partie B est située à une hauteur hB au-

dessus de la partie A ; la partie C est située à

une hauteur hC au-dessous de cette partie A.

Un manomètre placé en A indique une pression

pA .

Danièle FRISTOT

Partie B

Partie A

Partie Ch

c

hB

Chaudière


On donne :

- dA=20mm ;

- dB=15mm ;

- hC=3m ;

- hB=5m ;

- pA=5.105 Pa ;

1. On suppose, le chauffage étant arrêté, que l'eau ne circule pas.

1.1. Quelle est l'expression de la pression pB dans la partie B ? Calculer pB .

1.2. Quelle est l'expression de la pression pC dans la partie C ? Calculer pC .

2. On suppose que le chauffage fonctionne, le débit de l'eau qv=21L.min−1 .

2.1. Calculer les vitesses vA et vB de l'eau dans les parties A et B.

2.2. La pression pA ayant la même valeur que précédemment, exprimer puis calculer

p'B , nouvelle valeur de la pression dans la partie B.

Comparer pB et p'B .

Exercice n ° 12 - Vidange d'un réservoir (Extrait banque d'épreuves G2E 2003)

Un grand récipient, posé sur un plan horizontal (figure 3), contient de l'eau, de masse

volumique =1000 kg/m3 . On donne AB = H = 1 m et g = 10 m/s2.

Un trou O est percé dans la paroi supposée mince à 20 cm de la surface libre B.

1. a. Si le niveau B est supposé constant, quelle est la vitesse d'écoulement vo par le trou O ?

b. Quelle serait la valeur si on remplaçait l'eau par du mercure ?

c. On considère qu'une goutte d'eau, supposée ponctuelle, après son passage en O n'est

plus soumise qu'à son poids. Calculer sa vitesse lorsqu'elle est sortie depuis 0,4 s.

2. Quelle est la nouvelle valeur v'o de la vitesse d'écoulement en O, si une surpression de 1kPa

s'exerce à la surface de l'eau de niveau constant ?

Danièle FRISTOT

ho

O 0

h

z


3. Le récipient a une section droite S = 20 cm2 et le trou O une section s = 2 mm2.

Le niveau B de la surface libre n'est plus constant mais se déplace avec une vitesse de

norme vB. Que devient la vitesse d'écoulement Vo en O ?

On appliquera le théorème de Bernoulli entre un point de la surface libre et le point O.

4. La hauteur hB de liquide diminue avec le temps à partir de la valeur initiale H à t=0.

On admettra que : vB << Vo et s << S.

a. Quelle est l'expression de hB en fonction du temps ?

b. En déduire les expressions littérales de la vitesse Vo d'éjection en O, du débit volumique

Do à travers le trou O et du volume de liquide o restant à l'instant t.

c. Au bout de quel temps to l'écoulement par le trou O s'arrête-t-il ?

Quel volume 'o reste-t-il alors dans le réservoir ?

Exercice n°13 - Temps de vidange

A t=0, la différence de niveau entre A et B

est h.

Calculer le temps T pour que le liquide soit

au même niveau en A et B ?

A.N : SA = 1 m2, SB = 0.5 m2, s=1 cm2

= 0.29 et h =0.5 m

Exercice n°14 - Vidange d'un réservoir (Extrait PLPA – session 2003)

Première partie

Un réservoir cylindrique, de section S, contient une hauteur H d'un liquide de masse volumique

non visqueux considéré comme incompressible.

A l'instant t=0, le liquide s'écoule par un petit orifice de section circulaire s (s<<S) situé à la

base du réservoir. L'écoulement est supposé quasi permanent, unidimensionnel et

irrotationnel.

On note :

z(t) = z, l'altitude de la surface libre du liquide à l'instant t

V(t) = V, la vitesse de déplacement de la surface libre du liquide

v(t) = v, la vitesse d'écoulement du liquide par l'orifice de section s

Po : pression atmosphérique

g : le champ de pesanteur supposé uniforme

Danièle FRISTOT

zA

zB

h

SA

SB

csα


1.1 Comparer qualitativement les vitesses V et v.

1.2 Etablir l'expression de v en fonction de z.

1.3 En déduire l'équation différentielle satisfaite par z.

1.4 Etablir l'expression de la durée de vidange t1 du réservoir en fonction de H, S, s et g.

1.5 Calculer t1 sachant que H = 1,2 m ; g = 9,8 m.s-2 ;Ss=104 .

Deuxième partie

On adapte, sur l'orifice de la cuve remplie d'eau, un tuyau horizontal de longueur L et de

section s telle que s = 10-4 S. L'extrémité E du tuyau est fermé par une vanne (V) supposée

ponctuelle. On note H, la hauteur d'eau dans la cuve au dessus du point O et , la masse

volumique de l'eau.

2.1Donner l'expression de la pression p(O) de l'eau au point O à l'équilibre.

Calculer p(O) si H = 1,2 m ; g=9,8 m.s-2, Po = 105 Pa et = 103 kg.m-3.

2.2 On ouvre brusquement la vanne à l'instant t = 0.

Le régime d'écoulement de l'eau dans la cuve est assimilé à un régime quasi permanent.

On s'intéresse au régime transitoire d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal. On

suppose que la hauteur d'eau dans la cuve reste pratiquement constante et égale à H

pendant la durée du régime transitoire.

On appelle v la vitesse d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal et on pose

v1 =2gH.

En un point M, d'abscisse x, du tuyau, l'expression de la pression p(x,t) de l'eau est donnée

par : px ,t =PoL−x dvdt

Etablir l'équation différentielle satisfaite par v en appliquant le théorème de Bernoulli entre

l'entrée du tuyau et un point de la surface libre de l'eau dans le réservoir.

2.3 En déduire l'expression de v en fonction de v1, L et t.

Indiquer ce que représente v1.

Danièle FRISTOT

v

Po

0

z

HV

z(t)


On donne : Arg th X=1 /2 ln1X

1−X =∫0

x

dX

1−X2

; th X= eX−e−X

eXe−X

On posera : 2Lv1

= etvv1

=X

2.4 Calculer v1 pour H=1,2 m, g = 9,8 m.s-2.

2.5 Déterminer à quel instant t1 la vitesse v s'approche de v1 au 1/1000 près si L = 10 m.

On rappelle que thu=eu−e−u

eue−u≈1 −2 e−2u pour u suffisamment élevé.

2.6 Pour t>t1, la vitesse v d'écoulement de l'eau dans le tuyau horizontal est supposée

constante et l'écoulement est stable.

Déterminer la valeur de la pression p de l'eau dans le tuyau et qualifier le régime

d'écoulement.

2.7 Dans d'autres situations, il est fréquent d'observer des pertes de charge le long des

conduites horizontales.

Expliquer ce phénomène d'un point de vue énergétique. Préciser sa conséquence

essentielle. Citer les paramètres qui influent sur ce phénomène.

Exercice n°15 : Vidange d’un réservoir

Un récipient a une symétrie de révolution autour de l’axe vertical 0z. Le fond du récipient est

percé d’un orifice de faible section s=1 cm2. A l’instant t = 0 où commence la vidange, la

hauteur d’eau dans le récipient est égale à H et à un

instant t elle devient z. On suppose que l’eau est un

fluide incompressible, non visqueux.

1) En supposant l’écoulement quasi-permanent

(permanence établie pour des intervalles de temps

successifs très courts) calculer la vitesse v(z=0)

d’éjection de l’eau à un instant t .

2.a) Comparer à l’instant t , pour une surface de l’eau de cote z toujours très supérieure à la

section s de l’orifice, vitesse v(z) du niveau d’eau à la cote z et vitesse v(z=0) d’éjection.

2.b) En déduire que v z=0≈2gz et que l’équation différentielle donnant la hauteur

d’eau est dzdt

=−s2gz

r2 .

3) Le récipient a la forme d’un cylindre de révolution de rayon r=R. Calculer le temps de

Danièle FRISTOT

z r(z)

H

0


vidange si la hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.

4) Clepsydre : le rayon r du récipient à la cote z est donné par r=azn.

4.a) Déterminer les coefficients n et a pour que le niveau d’eau du récipient baisse réguli-

èrement de 6 cm par minute.

4.b) Quelle est la hauteur minimale z = h d’eau dans le récipient pour quev z

v z=0≤1 %.

4.c) Quel volume d’eau doit-on mettre dans le récipient pour que le temps d’écoulement de

l’eau entre la hauteur H et la hauteur h soit de 15 minutes ? Quelle a pu être l’utilité de cet

appareil ?

5) Le récipient a la forme d’une sphère de rayon r=R. Calculer le temps de vidange si la

hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.

Exercice n°16 - Extrait Capesa externe

1. On rappelle qu'un fluide incompressible en écoulement parmanent satisfait à la

relation de Bernoulli :

p1 2

. .v2 .g .z=cte

le long d'une ligne de courant.

Préciser la signification des différents termes de la relation.

2. Une conduite amène l'eau d'un barrage vers la turbine d'une centrale hydro-

électrique. La conduite cylindrique, de diamètre D = 30 cm, a son départ situé à h =

20 cm en dessous de la surface libre de l'eau ; elle se termine à H = 150 m en

dessous de cette surface par un injecteur (tubulure de section décroissante) de

diamètre de sortie d = 15 cm.

On donne la pression atmosphérique Po=1,00.105 ; g=9,8 m.s−2 ;

=1,00.103 kg.m−3 .

On suppose le niveau du barrage constant, l'écoulement dans la conduite

permanent, et la pression dans le jet à la sortie de l'injecteur égale à Po.

Danièle FRISTOT


2.1 En utilisant la relation de Bernoulli sur une ligne de courant entre un point de la

surface libre et un point dans le jet de sortie de l'injecteur, démontrer l'expression

de la vitesse de l'eau dans le jet :

vs=2.g.H

Calculer numériquement la vitesse vs .

2.2 Donner l'expression littérale de la vitesse de l'eau dans la conduite en amont de

l'injecteur, et calculer numériquement cette vitesse.

2.3 On appelle phénomène de cavitation l'apparition de bulles de vapeur dans l'eau

en écoulement ; ce phénomène se produit pour P≤Ps où Ps est la pression de

vapeur saturante de l'eau à la température considérée ; on suppose la température

de l'eau uniforme et on donne Ps=1,5.103 Pa.

Montrer qu'il n'y a pas de phénomène de cavitation dans la conduite.

2.4 Si on supprime l'injecteur, quelle est la portion de conduite affectée par la

cavitation ?

2.5 L'eau qui sort de l'injecteur transporte de l'énergie cinétique. Exprimer E la

quantité d'énergie cinétique disponible en sortie d'injecteur par unité de temps, et

calculer numériquement E.

2.6 Quelle puissance mécanique peut-on raisonnablement espérer récupérer sur

l'arbre de la turbine hydraulique ?

Exercice n°17 - (suite du concours spécial P')

Partie II – Vol vertical de l'hélicoptère

Dans toute la suite du problème, on supposera que localement, au voisinage de l'hélicoptère,

l'air se comporte comme un fluide non visqueux et incompressible.

Danièle FRISTOT

conduite

barrage

injecteur

0

z

h

MH

D d

Po

Po


A. Mouvement d'un fluide (l'air) à travers une hélice.

Dans le référentiel (RH), supposé galiléen, lié au plan de rotation de l'hélice, on considère une

veine de fluide, s'appuyant sur la circonférence engendrée par l'extrémité de l'hélice ; On

suppose que ce tube de courant a une symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de

l'hélice, que l'écoulement est permanent dans (RH) et qu'à l'extérieur de ce tube de courant le

fluide est immobile à la pression Po. On néglige l'influence de la pesanteur sur le fluide (l'air ici)

et on appelle la masse volumique de ce fluide supposé incompressible. On distingue trois

parties dans cet écoulement (cf. figure)

Parties 1 et 2 : écoulement laminaire, irrotationnel, unidimensionnel (la pression et la vitesse

du fluide ont même valeur sur une section droite donnée du tube), les sections d'aire S01 et S02

sont prises suffisamment éloignées de l'hélice pour que la pression puisse y être égale à P0.

Partie 3 (d'épaisseur très faible) : zone perturbée par la rotation de l'hélice, de section

d'aire S = S1 = S2.

En désignant par n le vecteur unitaire de l'axe de révolution du système, dirigé de l'amont

vers l'aval (cf. figure), on adopte les notations suivantes :

● P0 et V01=V01n respectivement pression et vitesse du fluide en amont, dans la section

d'aire S01.

● P0 et V 02=V 02n respectivement pression et vitesse du fluide en aval, dans la section

d'aire S02.

● P1 et V 1=V 1n (on pose V1 = V) respectivement pression et vitesse du fluide en amont,

dans la section d'aire S1, juste avant l'hélice (S1 = S).

● P2 et V 2=V 2n respectivement pression et vitesse du fluide en amont, dans la section

d'aire S2, juste avant l'hélice (S2 = S).

On appelle F=F n la force exercée par l'hélice sur le fluide et par P la puissance fournie par

Danièle FRISTOT

V=0

P0

P0

P0

P0

S02

S01

S1,P

1

S2,P

2nV 01 V 02V 2

V 1


l'hélice au fluide. Dans cette partie II, l'hélice peut provoquer le mouvement de l'air (hélice

propulsive), ou bien, l'air en mouvement peut être à l'origine de la rotation de l'hélice (hélice

éolienne).

1. On se propose de calculer F par deux méthodes différentes. On n'oubliera pas de

préciser les conditions d'application des théorèmes utilisés.

a. Ecrire les relations de conservation du débit massique.

b. Appliquer le théorème de Bernoulli dans les zones 1 et 2 de l'écoulement.

c. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la portion de fluide située

dans la zone 3, déterminer une expression de F en fonction de ,S ,V ,V01 et V02 .

d. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à une autre portion de fluide

que l'on précisera, déterminer une autre expression de F en fonction de

,S ,V ,V01 et V02 .

e. En déduire des relations simples entre les vitesses V1 , V2 , V 01 et V 02.

2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au fluide contenu dans la zone

(1+2+3), calculer la puissance P en fonction de ,S ,V ,V01 et V02 .

3. En déduire la relation générale qui lie P , F et V.

On désire maintenant s'intéresser à divers mouvements verticaux à vitesse constante

(éventuellement nulle) de l'hélicoptère. On supposera que dans le référentiel (RH)

supposé galiléen, lié à l'hélicoptère, le fluide obéit aux lois précédentes, c'est-à-dire que

l'encombrement de l'hélicoptère ne modifie pas la répartition des vitesses du fluide. On

admettra donc que les expressions de la force F et de la puissanceP calculées dans la

partie II.A. Sont encores valables dans le référentiel lié à l'hélicoptère. On désigne par

k le vecteur unitaire de l'axe Oz vertical ascendant.

B. Vol stationnaire de l'hélicoptère.

On s'intéresse à un hélicoptère en vol stationnaire (altitude constante) ; le référentiel (RH), lié à

l'hélicoptère coïncide donc avec celui lié au sol, supposé galiléen.

1. Dessiner dans le repère lié à l'hélicoptère l'allure de la veine de fluide qui traverse

l'hélice. On placera sur le dessin la section d'aire S01 au-dessus de celle d'aire S02 (les

vecteurs n , défini dans la partie II.A., et k sont ainsi opposés) et on y représentera

les différentes vitesses et forces en présence. Dans un modèle de schématisation

simple, quelle valeur peut-on donner à la vitesse V01 définie à la question II.A. ? En tenir

compte pour faire le dessin.

2. On désigne par M la masse totale de l'hélicoptère. Déterminer la puissance P qui doit

Danièle FRISTOT


être disponible sur le rotor en fonction de M, g, S (aire de la section de la veine de fluide

au niveau de l'hélice, cf. partie II.A.) et de la masse volumique de l'air au niveau de

l'hélicoptère, pour que le vol stationnaire soit possible.

3. la puissance P M disponible sur le rotor varie en fonction de l'altitude z suivant la loi P M

= P 0 e− z

z0 où P 0 et z0 sont des constantes.

On considère dans cette partie le modèle de l'atmosphère standard. (cf. partie I.).

a. Quelle est la masse maximale Mo que puisse avoir l'hélicoptère pour qu'il puisse

décoller ? On exprimera Mo en fonction de P 0 , g, 0 (masse volumique de l'air au

niveau du sol) et S.

Application numérique : en plus des valeurs numériques données à la partie I., on

donne : P 0 = 5,66.105 W, S = 130 m2. Calculer Mo.

b. La masse réelle de l'hélicoptère est égale à M (M < Mo) ; déterminer une relation liant

M et l'altitude maximale zp à laquelle peut voler cet hélicoptère en vol stationnaire, en

fonction des constantes Mo, z0 et H (H défini dans la partie I.). En linéarisant l'équation

obtenue, montrer que l'on peut écrire :

MM0

=1−azp

et déterminer l'expression de a en fonction de H et zo.

Application numérique : on rappelle H = 20 km et on donne zo = 14,5 km.

● Déterminer l'altitude maximale zp pour une masse M=4,3.103 kg.

● Déterminer la nouvelle altitude maximale z' si l'hélicoptère emporte avec lui une

« petite surcharge » m = 5% de Mo, sa masse devenant M' =M + m. Conclusion.

C. Vol vertical ascendant de l'hélicoptère à vitesse constante.

On considère un vol vertical ascendant à la vitesse rectiligne et uniforme uo=uok uo0.

1. En prenant les mêmes conventions que dans la partie II.2., dessiner dans le repère (RH)

lié à l'hélicoptère l'allure de la veine de fluide qui traverse l'hélice, en y représentant les

différentes vitesses et forces en présence. Dans un modèle de schématisation simple,

quelle valeur peut-on donner à la vitesse V01 (définie dans la partie II.A.) ?

2. Calculer la puissance P qui doit être disponible sur le rotor pour assurer une vitesse uo

constante ; exprimer P en fonction de uo , g, S, de la masse M de l'hélicoptère et de la

masse volumique de l'air au niveau de l'hélicoptère. Peut-on retrouver le cas de la

partie II.B. ?

Application numérique : on se place au niveau du sol ; à l'aide des données

numériques précédentes, calculer la valeur maximale de uo pour : M = 4,3.103 kg, M' =

M + 5.10-2 Mo. Conclusion.

Danièle FRISTOT


Exercice n°18 - Phénomène de cavitation

Une conduite, de diamètre D=30 cm, de longueur l=200 m, amène l’eau ( masse volumique

=103 kg.m−3) d’un barrage vers la turbine d’une centrale hydroélectrique située à H=160m

au dessous de la surface libre de l’eau dans le barrage.

Le barrage a une grande capacité si bien que l’on peut considérer que le niveau de la surface

libre est constant.

Le départ de la conduite est située à H0=20m au dessous de la surface libre.

La pression atmosphérique est égale à p0=105 Pa, l’intensité du champ de pesanteur est

g=10m.s-2.

1. Montrer que si l’extrémité aval A de la conduite est à l’air libre, on aura un phénomène de

cavitation (la pression p devient inférieure à la pression de vapeur saturante de l’eau pV = 2300

Pa à 20 °C) dans une région de la conduite que l’on déterminera.

2. On visse à l’extrémité une tubulure de section décroissante (injecteur), de diamètre d .

Montrer que la cavitation disparaît si d < d0 ; calculer d0.

3. L’injecteur a un diamètre de sortie d=15 cm. Calculer la vitesse vs de l’eau à la sortie de

l’injecteur, le débit massique m et la puissance cinétique Pc du jet.

Danièle FRISTOT


Exercice n° 19 - Coup de Bélier

Un réservoir cylindrique, d’axe vertical et de

grande section, alimente une canalisation

cylindrique horizontale, de faible section et de

grande longueur l. Cette canalisation est munie à

son extrémité x=l d’une vanne V.

A l’instant t=0 où on ouvre la vanne, la hauteur

d’eau dans le réservoir au dessus de la

canalisation est h. On admet que, pendant la

courte durée de régime transitoire dans la canalisation, h ne varie pratiquement pas.

L’écoulement de l’eau dans la canalisation est mono dimensionnel soit v=v x , t ex .

L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible de masse volumique µ .

1) Montrer que, compte tenu des hypothèses faites, la vitesse de l’écoulement dans la

canalisation est uniforme c’est à dire que v=v t ex .

2) Si A et B sont deux points d’une même ligne de courant (C), montrer, en intégrant

l’équation d’Euler, que :

pB, t v2B, t

2g zB=p A,t

v2A, t 2

gz A−∫A

B∂v∂t

dl suivant (C)

a ) Que devient la relation précédente si A est un point de la surface libre du réservoir et si B

se confond avec V extrémité de la canalisation.

Intégrer l’équation différentielle obtenue dans les premiers instants après l’ouverture de la

vanne en supposant que h ne varie pratiquement pas et montrer que

v=2gh tanht gh/2l2

A.N. : h=10m ; l=100 m. Calculer v t→∞ et le temps nécessaire pour que v diffère de

moins de 1% de cette valeur.

b) Soit M un point d’abscisse x de la canalisation. Calculer la pression p(x,t) en appliquant la

relation de la question 2) entre M et V.

Danièle FRISTOT


4) La hauteur d’eau dans le réservoir est h’ et la vitesse d’écoulement de l’eau est v '=2gh '

Au temps t’=0, on ferme la vanne, la vitesse d’écoulement varie selon v t '=2gh' 1 − t 'T

si T est la durée (supposée courte) de fermeture de la vanne.

En appliquant la relation de la question 2) entre les points A et M, calculer la pression p(x,t’).

Montrer que cette pression est maximale en x=l, au temps t’=T.

Commenter l’application numérique pour po = 105 Pa, h’=5m et T=0.1s.

Exercice n°20 - Fonctionnement d’une hélice

Dans un fluide parfait, homogène et

incompressible (air ou eau) de masse

volumique , est immergée une hélice.

On se place dans un référentiel (R), supposé

galiléen où l’hélice est animée d’un

mouvement de rotation à vitesse angulaire

constante autour de son axe x’x fixe.

On fait les hypothèses suivantes :

• le mouvement du fluide autour de l’hélice est supposé stationnaire dans (R) et à

symétrie de révolution autour de x’x,

• la figure représente un tube de courant dans (R), dans l’hypothèse où SA > SB ; loin de

l’hélice, la vitesse du fluide est vA en amont de l’hélice et vB en aval,

• la pression à grande distance de l’hélice, dans toutes les directions, est uniforme et

vaut p0 (c’est vrai en particulier sur SA et SB ),

• les sections S1 et S2 du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires pratiquement

confondues de valeur S ; les pressions sur ces sections y sont uniformes et

respectivement égales à p1 et p2,

• la vitesse du fluide au voisinage de l’hélice dans (R) est supposée uniforme de valeur

v ,

• on suppose qu’il n’y a aucune dissipation d’énergie mécanique par frottement dans le

contact fluide-pales de l’hélice et on néglige les effets de la pesanteur.

1) Ecrire les deux relations entre SA, vA, SB, vB, S et v.

Danièle FRISTOT


2) Evaluer les pressions p1 et p2 en fonction de po , , vA ,vB et v.

En déduire la résultante F des efforts exercés par l’hélice sur le fluide en fonction de

,S ,v A ,vB ; discuter le sens de F .

3) Evaluer F par ailleurs, en appliquant le théorème d’Euler dans (R) à un volume de

contrôle de grandes dimensions entourant l’hélice. En déduire la relation entre v, vA et

vB.

4) Evaluer la puissance Pf fournie au fluide par l’hélice, mesurée dans (R) :

a) à partir de F .

b) en appliquant le principe de conservation de l’énergie à un système convenable.

On exprimera Pf en fonction de vA ,vB et du débit massique Dm circulant dans le tube

de courant représenté.

5) Application à la propulsion d’un vaisseau (avion, navire) :

Le vaisseau a, par rapport à la terre où le fluide est immobile à grande distance de

l’hélice, une vitesse constante u=u ex (u > 0). Le fluide est éjecté vers l’arrière de

l’hélice à une vitesse ve=ve ex , à grande distance de celle-ci, ve étant mesurée par

rapport à la terre.

a) Evaluer le rapport énergétique =Pu

Pm

de la propulsion ; Pu est la puissance

fournie à la coque du vaisseau, mesurée dans le référentiel terrestre et Pm la puissance

fournie par le moteur actionnant l’hélice.

On exprimera en fonction de u et ve. Dans quelles conditions est-il maximal ?

Que faut-il en penser ?

b) A.N. : Calculer le rapport ve /u pour =0,85 (avion) et =0,60 (navire)

6) Application au fonctionnement d’une éolienne

Dans ce cas, (R) est le référentiel terrestre et vB < vA.

a) Quelle est la forme du tube de courant ?

b) Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’éolienne . On pose x=vB

v A

; S et vA

étant données, pour quelle valeur de x, la puissance P est-elle maximale ?

c) Le rendement énergétique r est défini comme le rapport de P au débit d’énergie

cinétique de l’air à travers la section SA du tube de courant. Exprimer r en fonction de x.

Que vaut r lorsque la puissance P est maximale ?

d) A.N. : =1,3 kg.m−3 ; vA=8 m.s-1 ; le diamètre de l’hélice est 10 m ; calculer Pmax.

Danièle FRISTOT


Danièle FRISTOT


5. E5. ETUDETUDE DEDE LALA VISCOSITÉVISCOSITÉ

Exercice n° 1 - Ecoulement de Poiseuille

Au fond d'un réservoir d'eau de très grande dimension, on adapte un tube vertical de 1 mm de

diamètre et de longueur l (l=20 cm), A 0°C, pendant une minute, la quantité d'eau écoulée est

80,2 cm3 . A cette température T 0 , la viscosité de l'eau est 1,8.10−3 Pl .

Quelle est, en cm, la hauteur d'eau qui était dans le réservoir ?

Exercice n° 2 - Formule de Stokes

Une bille de verre de 1 mm de rayon tombe dans de l'huile de ricin. Sa vitesse limite de chute

est 3 mm par seconde. Quel est le coefficient de viscosité de cette huile ?

Masse volumique du verre : 2.6g.cm−3

Masse volumique du l'huile : 0.96g.cm−3

(On rappelle que lorsqu'un corps sphérique de rayon R se déplace dans un fluide dont le

coefficient de viscosité est , la force de frottement visqueux f est donnée par la relation :

f =6Rv (formule de Stokes) où v est la vitesse limite de chute du corps.

Exercice n° 3 - Réfrigérant à huile

Un réfrigérant à huile est composé d'un groupe de 100 tubes cylindriques en parallèle, de

diamètre D=1cm et de longueur l=4m. A la vitesse moyenne v=2 m.s−1 on y fait circuler de

l'huile dont la densité moyenne est de 0,9 et dont le coefficient de viscosité dynamique varie

linéairement de 0,03 Pl à l'entrée jusqu'à 0,1 Pl à la sortie.

Calculer la puissance P qu'il faut fournir à l'huile pour lui faire traverser le système réfrigerant.

On négligera les pertes de charges singulières à l'entrée et à la sortie des tubes).

Donner une formule pratique pour calculer cette puissance dans laquelle n'intervient pas D.

Danièle FRISTOT


Exercice n° 4 - Perte de charge dans un pipeline.

Du pipeline de 30 cm de diamètre intérieur est destiné à transporter du pétrole brut de

viscosité dynamique =0,27 Pl et de densité 0,9 avec un débit massique de 324 t /h .

1. Quel est le régime d'écoulement.

2. Quelle doit-être la distance entre deux stations de pompage, pour que la pression des

pompes soit inférieure à 4,5.106 Pa (environ 45 atm).

3. Prévoir la puissance des moteurs destinés à équiper ces pompes sachant que le

rendement est de 75.

Exercice n°5 - Puissance dissipée dans un oléoduc

Quelle est en chevaux la puissance nécessaire pour transporter dans une conduite horizontale

de 10 cm de diamètre et 10 km de long, 50 m3 par heure d'une huile de masse volumique et

=0,95 g.cm−3 de viscosité dynamique =2 poises?

Si une seule pompe de circulation est utilisée, quelle pression doit-elle enfendrer ?

Exercice n°6 - Ecoulement laminaire sur un plan incliné

Une couche mince de fluide incompressible

(viscosité , masse volumique ) d'épaisseur e

coule le long d'un plan incliné, dont la ligne de

plus grande pente fait un angle avec

l'horizontale.

Montrer que le champ des vitesses permanent est

de la forme v=v y ex .

On néglige les forces de viscosité sur l'interface air/eau.

Déterminer la forme de v(y) ainsi que, pour une largeur L, la relation entre l'épaisseur e et le

débit D.

Calculer les vitesses maximales pour e=1 mm et =45 ° ,

• dans le cas de l'eau ( =10−3 Pa.s et =103 kg .m−3 )

Danièle FRISTOT


• dans le cas de l'huile ( =1 Pa.s et =103 kg .m−3 ).

Exercice n°7 - Etude de l'eau sucrée au viscosimètre à chute de bille

1. Etude du principe simplifié du viscosimètre à chute de bille.

Une bille sphérique de masse volumique S de rayon R, est lâché sans vitesse initiale

dans un fluide de masse volumique , de viscosité dynamique .

1.1. Recenser les forces qui s'exercent sur la bille lors de sa chute et donner leurs

caractéristiques. Les représenter sur un schéma (on rappelle la loi de Stokes : la valeur

de la force de frottement F, opposée à la vitesse de chute, est égale à 6 . . r.v où v

est la vitesse de chute).

1.2. Montrer qualitativement que la vitesse v de la bille tends vers une valeur limite v0 .

1.3. Une fois la vitesse limite v0 établie, on mesure le temps t nécessaire pour que la

bille parcoure une distance d donnée.

Etablir la relation entre t, g, d, R, , et S .

1.4. Montrer que peut se mettre sous la forme : =K.S−.t où K est une

constante.

2. Etude pratique de l'eau sucrée.

Le certificat d'étalonnage de l'appareil précise

K=8,94.10−8Pa.kg−1.m3

S=7,88.103 kg.m3

La mesure de la masse volumique de l'eau sucrée a donné :

=1,01.103kg.m−3 .

Le temps t de mesure est t=17,2 s.

2.1. L'eau sucrée se comporte comme un fluide newtonien : définir ce terme.

2.2. Calculer la valeur de la viscosité dynamique de l'eau sucrée.

Exercice n°8 - Viscosimètre capillaire

La question 3 peut être traitée à partir du résultat

de la question 2.

On rappelle la loi de Poiseuille pour une fluide newtonien en écoulement laminaire et en régime

Danièle FRISTOT


permanent dans une conduite cylindrique.

Qv=R4 p

8 L

avec :

Qv : débit volumique ( m3 . s−1 )

p = perte de charge régulière (Pa)

R = rayon de la conduite (m)

= viscosité dynamique du fluide (Pa.s)

L = longueur de la conduite (m).

On étudie un viscosimètre capillaire dont le principe est expliqué ci-après :

L'appareil est constitué d'un large récipient fixé sur un support et contenant le liquide à

étudier. Ce récipient présente, à sa base, un orifice permettant l'écoulement du liquide à

travers un tube très fin appelé "capillaire" de sorte que le régime soit laminaire. Une

éprouvette jaugée permettant de recueillir 50 mL de liquide est placée sous le capillaire.

Le récipient supérieur contenant plusieurs litres de liquide, nous pourrons considérer que la

hauteur h du liquide dans le récipient reste quasiment constante par rapport aux 50 mL qui

s'écoulent.

1. Pourquoi peut-on dire que le régime est permanent ?

2. Soit 2 fluides newtoniens (1) et (2) de masse volumique 1 et 2 et de viscosités

1 et 2 . On choisit pour le fluide (1) une hauteur h1 et pour le fluide (2) une

hauteur h_2 telles que 1h1=2h2 . Soit t 1 et t 2 les durées de remplissage de

l'éprouvette jaugée pour chaque fluide, montrer que :

t 1

1=t 2

2.

3. Application

On a mesuré pour de l'eau t1=120 s et pour de l'acétone t2=37s . On connait à

20°C les viscosités de ces deux liquides : pour l'eau 1=1,0mPa.s et pour l'acétone

2=0,31mPa.s .

3.1. Pour un liquide de viscosité inconnue, on mesure t3=700 s . En déduire 3 .

3.2. Dans le cas de l'eau, calculer Qv

3.3. En déduire la vitesse moyenne u dans le capillaire.

Danièle FRISTOT

Trait de jauge(50 ml)

Niveau pratiquement

invariableh

liquide


Données :

- Diamètre du capillaire : D = 0,5 mm.

Exercice n°9 - Etude de la viscosité du lait

On veut mesurer la viscosité du lait. On utilise pour cela un viscosimètre à

chute de bille qui comporte un long tube de verre vertical, rempli de lait,

et dans lequel on laisse tomber une bille sphérique. On mesure le temps

nécessaire relatif au déplacement de la bille entre deux repères fixes A et

B.

1. Faire le bilan des forces appliquées à la sphère (poids, poussée

d'Archimède, force de frottement) et les représenter sur un

schéma. Donner l'expression littérale des normes (valeurs) de

chacune de ces forces en fonction :

- de l'accélération de la pesanteur g,

- du coefficient de viscosité et de la masse volumique

du lait

- du rayon r de la sphère, de sa masse volumique B et de sa vitesse v.

Rappels

La poussée d'Archimède est égale au poids du volume déplacé

La force de frottement s'exerçant sur une sphère de rayon r en mouvement à la vitesse

v dans un fluide de coefficient de viscosité a pour valeur F=6 ..r.v.2. Sachant que le mouvement vertical descendant de la sphère devient rapidement

uniforme avant l'arrivée au repère A, établir la relation entre la durée t du parcours AB

de longueur L et les grandeurs précédentes.

Le temps de chute de la bille entre A et B distants de L=30 cm est t=10s. Calculer le

coefficient de viscosité dynamique du lait.

Données : - masse volumique de l'eau : =1000kg.m−3

- masse volumique de la bille : B=1050kg.m−3

- rapport de la bille r = 1,0 mm- accélération de la pesanteur : g=9,81m.s−2

Danièle FRISTOT

A

B


Exercice n°10 - Turbine

On étudie une turbine dont le conduit d'amenée

(A) a un diamètre d1=50 cm , et le conduit de

sortie (B), un diamètre d2=80 cm .

La distance verticale entre les points A et B

est h = 1 m.

L'eau pénètre dans la turbine avec un débit qv=0,20m3.s−1 et les pressions relatives en A et

B sont respectivement de 2,0.106 Pa et de −3,0 .104 Pa .

Déterminer, puis calculer la puissance fournie par l'eau à la turbine.

Danièle FRISTOT

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