Stabilité F.Rotella I.Zambettakis …©CritèredeNyquist Tracé du lieu de Nyquist de GH(p)...

AutomatiqueStabilité

F. Rotella I. Zambettakis

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F. Rotella I. Zambettakis Automatique 1

Stabilité La réponse fréquentielle

La réponse fréquentielle

réponses temporellesfournissent des mesures directes des qualités d’un système.

réponses fréquentiellespermettent l’utilisation de méthodes graphiques performantes.

ThéorèmeLa réponse à une entrée sinusoïdale sinωt d’un système linéaireAsymptotiquement Stable est, en Régime Permanent une sinusoïde demême pulsation ω, amplifiée et déphasée.



Réponse fréq. d’un système linéaire-1

F (p) =N(p)

D(p)→

{s(d)(t) + · · ·+ a0s(t) = bne(n)(t) + · · ·+ b0e(t)v(t) = u(t)

e(t) = sinωt =⇒e(t) = e jωt

u(t) = N(jω)e jωt

Résolution des E.Diff. :

s(t) =

{sol.générale ss 2nd membre (C.I)+une sol.part. avec 2nd membre

→ 0 SASe jωt+ϕ

v(t) = SD(jω)e jωt+ϕ



Réponse fréq. d’un système linéaire-2l’équa.diff. v(t) = u(t) devient donc :

SD(jω)e jωte jϕ = N(jω)e jωt

Se jϕ =N(jω)

D(jω)=⇒

{S = |F (jω)|

ϕ = arg(F (jω))

Système linéaire + S.A.SA =⇒ le régime transitoire tend vers 0en réponse à sinωt, s(t)→ |F (jω)| sin [ωt + arg(F (jω))]

Fonction de transfertF (jω) : fonction de transfert de la variable complexe jω=⇒ Bode, Black, Nyquist


Stabilité Critère de Nyquist

Critère de NyquistC’est un critère de stabilité :I du système G (p) bouclé par retour H(p) ;I fréquentiel ;I graphique ;I utilise le modèle transfert de la boucle ouverte G (p)H(p).

Théorème de Cauchyf (p) fonction de la variable complexe p ayant P pôles et Z zéros àl’intérieur d’une courbe fermée C, en parcourant C dans le sens rétrogradela courbe d’affixe f (C) fait autour de 0 T = P − Z tours dans le sens trigo.



Illustration graphique du théorème de Cauchy

C

p×

×f (p)

C

P pôlesZ zérosde f (p)

(C) f (C)

(0) {f (C)} = P − Z



Application à la stabilitéle transfert en boucle fermée :

FBF (p) =G (p)

1 + G (p)H(p),

sera asymptotiquement stable si les zéros de 1+ GH(p) sont tous dans C−.

On applique le th. de Cauchy à f (p) = 1 + GH(p)

I mais : (0) {1 + GH(C)} = (−1) {GH(C)}I donc, si GH(C) effectue T tours dans le sens trigo autour de −1, et

que par ailleurs GH(p) a P pôles dans C (donc 1 + GH aussi !),I ALORS : 1 + GH(p) a Z = P − T zéros dans C, c’est-à-dire

FBF (p) =G (p)

1 + G (p)H(p)a P − T pôles dans C.



Contour de Bromwich

choix de Cpas de pôles à Re = 0 ⇒ C contour d’exclusion qui les englobe.

C

Im

Reρ

=∞

C−

C+

ImC



Critère de stabilité de Nyquist

DéfinitionGH(C) , où C est le contour de Bromwich, constitue le lieu de Nyquistcomplet de GH(p), soit G (jω)H(jω), ω ∈ ]−∞,+∞[.

condition nécessaire et suffisante de S.A.Le lieu de Nyquist complet de la boucle ouverte GH(C) doit faire autour de−1 un nombre de tours dans le sens trigo identique au nombre de pôlesnon asymptotiquement stables (Re ≥ 0) de GH(p) :

T(−1) = PNAS(BO)



Critère du revers

Cas particulier d’applicationPour les systèmes asymptotiquement stables en boucle ouvertePNAS(BO) = 0, soit :

T(−1) {GH(C)} = 0.

Critère simplifié de NyquistGH(p), asymptotiquement stable, est asymptotiquement stable en bouclefermée si et seulement si le point -1 est laissé à gauche lorsque l’on parcourtle lieu de Nyquist de GH(jω), ω ≥ 0, dans le sens des ω croissants.

ExtensionCette propriété est encore vraie si GH(p) a un pôle nul (intégrateur).



Tracé du lieu de Nyquist de GH(p)

1. Tracer G (jω)H(jω), ω variant de 0 à +∞ : décomposition entransferts élémentaires.

2. Symétrie par rapport à l’axe réel pour ω variant de −∞ à 0.3. Si GH n’a pas de pôle imaginaire pur : courbe fermée.4. Si GH possède un pôle jβ d’ordre n sur l’axe imaginaire :

Principe de fermetureOn contourne le pôle jβ par un demi-cercle infiniment proche

Im

jβρ = ε→ 0

Image d’un contournementPour ω = β− à ω = β+ on obtient :I n demi-cercles de rayon infiniment grands ;I parcourus dans le sens trigonométrique.

Preuve



Exemple 1

Le transfert F (p) =10000(1 + 0.1p)4(1 + 0.001p)2

(1 + p)4(1 + 0.01p)4, a pour lieux de Bode :

−200

−150

−100

−50

0

50

100

Am

plitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

103

104

105

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Pulsation (rad/sec)



Exemple 1L’axe réel étant défini par les valeurs de phase :

ϕréel = kπ, k ∈ Z,

on en déduit que le lieu de Nyquist possède 4 intersections avec l’axe réelen :

10000,−0.32,−4,−1514,

lorsque ω croît de 0 à +∞.

D’où viennent ces chiffres ?Soit g la valeur du gain en dB pour une phase de kπ :1. Comme g = 20 log10 |α|, l’intersection avec l’axe réel vaut (en

module) :

|α| = 10g20 .

2. Si k est pair, signe(α) = +1, sinon signe(α) = −1.F. Rotella I. Zambettakis Automatique 13


Exemple 1Des variations du gain et de la phase on déduit le lieu de Nyquist de F (p).

C

10000(ω = 0)

−1514

1©

−4−0.32 (ω =∞)

2©

(ω = −∞)



Exemple 1Étude de stabilité en boucle fermée

Comme :−4 < −1 < −0.32,

on est dans la situation suivante F (p) est asymptotiquement stable enboucle fermée.

C

(ω = 0)

(ω = −∞)

(ω =∞)−1•

le nombre de toursautour de −1(comptés algébriquement) est de :(+1)+(−1) = 0

(+1)

(-1)



Exemple 2

Lieu de Nyquist de F (p) =1

p(p + 1)2.

Tableaude

variations

ω ∞ 0

1p

Gain ∞ 0

Arg. −π2

1(1 + p)2

Gain 10

Arg. 0 −π

F (p)

Gain ∞ 0

Arg. −π2 −3π

2



Exemple 2Tracé du lieu de Nyquist

C

1©lieu deNyquist de F (p)pour ω : 0→∞

(ω = 0+)

2©symétrique(ω = 0−)

Fermeturepar 1 demi-tourdans le sens direct



Exemple 2Calcul de l’intersection avec l’axe réel

1. On cherche la pulsation pour laquelle arg(F (jω)) = −π.

2. Or1pdéphase constamment de −π

2.

3. Donc, on cherche ω pour laquelle arg(

1(jω + 1)2

)= −π

2.

Il s’agit de ω−π = 1 rad/s.

4. Pour cette pulsation :∣∣∣∣1p∣∣∣∣ω=1

= 1 et∣∣∣∣ 1(p + 1)2

∣∣∣∣ω=1

=12.

ConclusionL’intersection du lieu de Nyquist avec l’axe réel vaut −1

2.



Exemple 2Étude de stabilité en boucle fermée

Comme :1. Le nombre de pôles non asymptotiquement stables de F (p) est :

1 (1 pôle en zéro) ;

2. Le nombre de tours algébriques autour de -1 est de :

1 (car −1 < −0.5).

ConclusionF (p) est asymptotiquement stable en boucle fermée par retour unitaire.


Stabilité Réglage de k

RemarqueQue se passe-t-il sur le lieu de Nyquist si F (p) est remplacé par kF (p) ?

Interprétation graphiqueLa multiplication par k agit comme une homothétie :

de centre 0, de rapport k .

En conséquencesSi k :I augmente en module, le lieu se dilate ;I diminue en module, le lieu se contracte ;I à module constant, change de signe, on effectue une symétrie par

rapport à 0.



Application au réglage du gain kConditions de stabilité relatives au gain k , pour le système bouclé :

- - - -

6

k F (p)��+−

Procédure

1. On trace le lieu de Nyquist de F (p).2. On mène l’analyse de stabilité pour k = 1.3. Soient αi les intersections de ce lieu avec l’axe réel.4. Valeurs limites de stabilité du système en boucle fermée :

ki = − 1αi.

5. Les intervalles de k garantissant la stabilité sont définis par le nombrede tours du lieu autour de -1.



Exemple 1 (suite)La présence d’un gain proportionnel k donne le diagramme de Nyquist :

C

10000k−1514k−4k

−0.32k

plusieurs situations suivant la valeur de k

−0.32k < −1

nombre de tours : -2

système bouclé instable

−1•

−4k < −1 < −0.32k

nombre de tours : 0

système bouclé stable

−1•

−1514k < −1 < −4k



−1•

−1 < −1514k

nombre de tours : 0


−1•

10000k < −1



−1•

−1 < 10000k

nombre de tours : 0


−1•



Exemple 1 (suite)

Conditions de stabilité en boucle ferméeD’après ce qui précède, pour avoir un système stable en boucle fermée, ilfaut :I −4k < −1 < −0.32k ;I −1 < −1514k ;I −1 < 10000k .

Valeurs de k qui garantissent la stabilité asymptotique en boucleferméeSoient :1. −10−4 < k < 6.6× 10−4.2. 0.25 < k < 3.125.



Exemple 2 (suite)

Avec un gain k :

C

−0.5k

−1•

−1•

−1•

Lieu de Nyquist

Conditions de stabilité en bouclefermée1. Pour −0.5k < −1, soit k > 2, le

système est instable.2. Pour −1 < −0.5k < 0, soit

0 < k < 2, il est stable.3. Pour k < 0, il est instable.


Stabilité Critère simplifié

Remarques historiquesI Le critère de stabilité de Nyquist et la démonstration n’ont pas été

proposés par Nyquist.I Nyquist a seulement établi un critère simplifé de stabilité en étudiant

les conditions expérimentales d’instabilité des premiers amplificateursopérationnels sur les lignes téléphoniques :

“On regeneration theory”, 1932.

I La forme complète (et exacte) a été établie par en 1945 (L.A.MacColl).


Stabilité Robustesse

Marges de stabilité

ConstatationPlus le lieu passe loin du point critique -1 plus le système est stable.

Avantage du lieu de NyquistMise en évidence graphique du degré de stabilité par l’éloignement du lieude Nyquist par rapport au point critique.

Indicateurs de robustesse en stabilitéPour qualifier l’éloignement du lieu relativement à -1, on dispose desmarges :I de gain ;I de phase ;I de retard ;I de module.



Marge de gain

InterprétationIndique par quel facteur on peut multiplier le transfert en boucle ouverteavant que le système en boucle fermée soit instable.

−1• R

I

−α(ω−π)

Pour k =1α> 0, le système devient

instable et la marge de gain s’exprime(en dB) par :

mg = 20 log10(1α

).



Marge de phase

−1• RI

1mϕ

(ω|1|)

Si le lieu tourne de la marge de phasemϕ le système devient instable. Maispeu interprétable sur un transfert.

Marge de retardAvec ω|1|, on définit la marge deretard :

mR =mϕ

ω|1|,

qui s’interprète comme l’erreur quel’on peut commettre sur le retard purdu système sans le rendre instable enboucle fermée.



Marge de moduleC’est le critère le plus pertinent pour mesurer la robustesse en stabilitéd’une régulation.

−1• RI

mM

Mesure de la marge de moduleC’est le rayon mM du plus grandcercle :I centré en -1 ;I qui tangente le lieu de Nyquist

du système en boucle ouverte.



Lecture sur les lieux de BodeLieux de Bode du système en boucle ouverte :

gain

phase −π

0 dBmg

mϕ

ω|1|

ω−π

Remarque : mg et mϕ se lisent plus facilement sur les lieux de Bode.



Exercices1. Tracer les lieux de Nyquist des transferts suivants :

1− p(1 + p)(1 + 3p + p2)

,1− 2p + p2

1 + 2p + p2 ,1

p(p + 1)(3p + 2),

1(1 + p)4

,1− 2p

p(1 + p),

11 + p + p2 + p3 .

2. En déduire, dans chaque cas, les conditions de stabilité sur k pour lastructure :

- - - -

6

kN(p)

D(p)��+−

3. Vérifier ces résultats à l’aide :

3.1 du critère de Routh.3.2 d’un logiciel de simulation.



Preuve du contournementSoit :

GH(p) =K (p)

(p − jβ)n,

avec 0 < |K (jβ)| <∞.

Soit p = jβ + εe jϕ pour ϕ : −π2→ −3π

2, alors :

GH(p) =K (p)

(εe jϕ)n=

K (p)

εne−jnϕ.

ConclusionLorsque ϕ : −π

2→ −3π

2et ε→ 0 :

I −nϕ :nπ2→ 3nπ

2, soit n 1/2 tours dans le sens trigo

I de rayon |GH(p)| = Kεn→∞. Suite


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