Sources de difficultés en résolution de problèmes.

© R. & M. Lyons

Janvier 2010

D’abord la compréhension et l’assimilation du contexte.

Un premier type de contexte est le fait de considérer que le problème est un

problème de mathématiques et, conséquemment, de chercher quelle technique mathématique appliquer,

sans essayer de comprendre le contexte évoqué dans le problème.

Sur un navire, il y a 12 moutons, 10 chevaux et 15 chèvres. Quel est

l’âge du capitaine ?

37 ans !

Une corde mesure 2 mètres à une heure. Quelle sera sa longueur à

3 heures ?

6 mètres !

Une poule, qui a 2 pattes, est attachée à un piquet. Une vache,

qui a 4 pattes est attachée à 2 piquets. Combien de pattes a un

cheval qui est attaché à 3 piquets ?

6 pattes !

Et parfois 7 ou 12 pattes.

Ce qui est très instructif au sujet des problèmes précédents est

d’abord que les erreurs existent autant que le problème soit donné

oralement ou par écrit.

De plus, ces réponses surprenantes apparaissent vers l’âge de sept ou huit ans, pas

avant. Et le pourcentage d’élèves qui les donnent augmente tout le long du

primaire.

Autre constatation intéressante :

Les élèves qui répondent correctement à ces problèmes se retrouvent parmi ceux qui sont considérés les plus forts

ou les plus faibles en mathématiques.

Ajoutons que si, dans ces problèmes, les nombres sont écrits en lettres et non avec

des chiffres et si les problèmes sont coiffés du titre «Examen

de français», les résultâts s’améliorent énormément.

Les élèves expliquent ce qui précède en disant qu’en

maths, ils essaient de trouver le calcul qu’il faut effectuer

alors qu’en français, ils essaient de comprendre de

quoi il est question.

Voici quatre problèmes

«Extrait d’une enquête faite dans les écoles primaires françaises portant sur 1796 garçons et 1731 filles. On a indiqué le pourcentage des réponses exactes.»

Cité par Gaston Mialaret.

Pédagogie des débuts du calcul.

Fernand Nathan. 64 pages.

Date inconnue, entre 1955 et 1965.

Page 22.

J’avais 18 francs dans mon porte-monnaie; j’ai acheté un crayon qui m’a coûté 7 francs. Combien me reste-t-il ?

Réussite : Filles : 79,1%

Garçons : 80,9%

Les élèves ont 7 ou 8 ans.

Ce premier problème a un taux de réussite élevé parce que :

- Son contexte est bien connu des élèves;

- Il contient le mot «reste» qui invite à soustraire.

Dans un bidon il y avait 17 litres de vin. Il ne reste plus que 4 litres.

Combien a-t-on enlevé de litres de vin ?

Réussite : Filles : 78,8%

Garçons : 76,7%

Les élèves ont 7 ou 8 ans.

Réussi pratiquement aussi bien que le premier problème, celui-ci offre les mêmes caractéristiques :

- Contexte connu;

- Mot «reste» et mot «enlevé» qui évoquent une soustraction.

Je dois parcourir 7 kilomètres dans une journée. Le matin, je fais 4 kilomètres. Combien de kilomètres me reste-t-il à

faire dans l’après-midi ?

Réussite : Filles : 42,5%

Garçons : 43,2%

Les élèves ont 7 ou 8 ans.

Cette fois, c’est l’échec même si :- Le mot «reste» est présent;- Il s’agit de la soustraction la plus

simple : 7 – 4.

La différence : le contexte, la visualisation de ce qu’est un

kilomètre.

Jacques a 7 images. Paul en a 12. Combien Paul a-t-il d’images de plus

que Jacques ?

Réussite : Filles : 38,1%

Garçons : 43,8%

Les élèves ont 7 ou 8 ans.

Encore un échec.

Cette fois-ci, les élèves ont été piégés par l’expression «de plus»

qui évoque une addition.

Quelles conclusions tirer de ce qui précède ?

1. Lorsqu’ils considèrent qu’un problème est un problème de

mathématiques, les élèves cherchent à y associer un ou des

calculs avec peu de soucis relativement au sens du contexte.

2.a) Afin d’identifier le ou les calculs à effectuer ils cherchent des mots spéciaux : reste, en

tout, chaque, de plus…

2.b) Ils observent aussi les nombres ayant, par exemple,

remarqué qu’en soustraction et en division le premier nombre du

problème est très souvent le plus grand.

2.c) Ils comprennent aussi que, si les deux dernières semaines ont

porté sur l’étude de la multiplication, mieux vaut l’utiliser dans l’évaluation qui termine ces

deux semaines.

Que faire ?

1. Dans les problèmes contextuels, éviter d’utiliser des mots que l’on associe automatiquement à un

calcul précis.

Que faire ?

2. Enlever les nombres du texte des problèmes.

Ne pouvant essayer ainsi les diverses opérations une après

l’autre, les élèves devront s’approprier le sens du problème

afin de conclure qu’il faudra utiliser telle opération.

Que faire ?

3. Pour chaque problème contextuel, s’assurer d’abord que le contexte est compris et bien assimilé. Si ce n’est pas le cas, les élèves ne sont pas en mesure de démontrer leurs

compétences, leurs habiletés et leurs connaissances

mathématiques.

Prenons un exemple.

Imaginons un conducteur de taxi considéré comme l’as de sa ville.

En plus d’être courtois, de s’intéresser à de nombreux sujets

d’actualité ou autres, il est un excellent conducteur. C’est aussi

un excellent communicateur.

Mais il y a plus !

Il connaît sa ville comme le fond de sa poche. Dès qu’on lui donne une adresse, il la situe immédiatement, il visualise le trajet à faire, il tient compte des sens

uniques, des détours occasionnels suite à des incidents quelconques, il sait éviter

les rues très achalandées et, en faisant tout cela, il peut indiquer à des touristes

les points d’intérêts qu’il croise.

Voici son domaine :

Voici le genre de trajets qu’il effectue avec quelques trajets optionnels :

Mais un jour, il doit aller pratiquer son métier dans une

autre ville.

Voici le genre de trajets qu’il doit désormais visualiser et effectuer.

Pendant de nombreuses semaines, il sera sous stress et

communiquera peu. Il fera des erreurs, ne saura comment éviter les embouteillages, ne trouvera

pas facilement les adresses et les raccourcis. L’expert sera

redevenu novice.

S’il est évalué pendant ces semaines, ce qui sera vraiment

évalué, c’est son appropriation du contexte.

Il n’aura pas la chance de se montrer à son meilleur dans les

diverses facettes de l’exercice de sa profession.

Il faut comprendre que la résolution de problèmes, tout comme la créativité, se situent à l’échelon le plus élevé de

la pensée humaine (selon Bloom).

Évaluer ce qui se situe à des échelons inférieurs par des résolutions de

problèmes est injuste pour les élèves.

Quelle loi mathématique est illustrée par le schéma suivant ?

Ce contenant de 5 litres représente la moitié de ce dont j’ai besoin.

Comment pouvez-vous traduire cette affirmation par une équation

mathématique ?

Reconnaissez-vous le calcul illustré par ce tableau ?

Et par celui- ci ?

Ici, il s’agit de la loi des signes en multiplication.

+ +

_ _

L’ampoule brille lorsque les deux communicateurs sont reliés par le même fil ( + +) ou (- -).

Ce contenant de 5 litres représente la moitié de ce dont j’ai besoin.

L’égalité est :

5 £ ÷ ½ = 10 £

Et non :

5 £ × 2 = 10 £

Puisque le nombre 2 ne fait pas partie des données du problème.

Il représente, entre autres, que13 × 32 = 416

30 + 2

10

+

3

300 20

90 6

300 + 90 + 20 + 6 = 416

À moins que ce soit encore une illustration de la loi des signes ?

3 -2

1

-3

3 -2

-9 +6

(3-2)×(1-3) = 3 – 2 – 9 + 6 = -2

Le dernier peut servir à illustrer que3/4 × 4/5 = 12/20.

4/5

3/4

12 des 20 carrés sont verts.

Une personne qui ne reconnaît pas la loi des signes dans les deux premières illustrations

démontre-t-elle ainsi qu’elle ne connaît pas cette loi ?

Ne pas associer l’énoncé portant sur les contenants à la division de fractions pertinente signifie-t-il que nous sommes incapables de diviser par ½ ?

Ne pas percevoir les deux multiplications dans deux des schémas vus précédemment

signifie-t-il que nous ne savons pas multiplier ?

En fait, il faut évaluer séparément les habiletés et les connaissances

mathématiques d’abord. Par la suite, au moyen de problèmes

contextuels, il est parfois possible d’évaluer si l’élève en reconnaît

certaines applications.

Évaluer la maîtrise des habiletés et des connaissances mathématiques

de base en situation de résolution de problèmes correspond à exiger d’un postulant au permis de conduire de faire la preuve de ses habiletés en

participant à un grand prix de formule 1.