Sommaire de la séquence 12data.over-blog-kiwi.com/0/56/36/40/201304/ob_50ac85_al4...— 140 Cned,...

Sommaire de la séquence 12

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je redécouvre les prismes droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je représente des prismes droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je fabrique des patrons de prismes droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je calcule le volume de pavés droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je calcule le volume d’un prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je découvre les cylindres de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je fabrique des patrons de cylindres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je calcule le volume d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J’effectue des exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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©Cned-2009

ObjectifsSavoir représenter des prismes droits et des cylindres de révolution .

être capable de calculer l’aire latérale, l’aire totale, le volume d’un cylindre et d’un prisme droit .

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© Cned, Mathématiques 5e, 2008 — 139

Séquence 12séance 1 —

Séance 1Je découvre les prismes droits

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 12.

Prends ensuite ton cahier de cours puis écris :« SÉQUENCE 12 : PRISMES DROITS, CYLINDRES DE RÉVOLUTION »

en haut de la première page blanche. Fais de même avec ton cahier d’exercices.

Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.

je revise les acquis de la 6e 1- Voici quatre figures. Laquelle représente un parallélépipède rectangle de dimensions

2 cm, 6 mm et 2,5 cm en perspective cavalière ?

figure a figure b figure c figure d

2- Parmi les quatre figures suivantes, laquelle représente un patron de parallélépipède rectangle ?

figure a figure b figure c figure d

3- La longueur totale des arêtes d’un cube de 3 cm d’arête est :

p 12 cm p 24 cm p 36 cm p 48 cm

4- L’aire totale des faces d’un cube de 4 cm d’arête est :

p 32 cm2 p 48 cm2 p 64 cm2 p 96 cm2


— © Cned, Mathématiques 5e, 2008140

Séquence 12 — séance 1

Afin de ne pas endommager ton livret, pour faire les exercices 1, 2 et 3 suivants, tu utiliseras les figures de la page de découpage « Je découvre les prismes droits », qui est à la fin de ce livret.

Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 1

La figure ci-dessous représente un patron d’une boîte sans fond ni couvercle.

4 cm2 cm 3 cm

4,5 cm

1- Découpe la première figure de la page de découpage, puis fabrique la boîte sans fond ni couvercle.

2- On aimerait mettre un fond et un couvercle à la boîte. Fais ci-dessous une figure à main levée d’un couvercle qui convient. Tu indiqueras sur cette figure les mesures nécessaires pour pouvoir le tracer en vraie grandeur avec les instruments de géométrie.

3- a) Complète la deuxième figure de la page de découpage, afin d’obtenir un patron de la boîte avec fond et couvercle (n’oublie pas de prévoir des languettes de collage).

b) Découpe la figure obtenue puis vérifie que le patron que tu proposes répond à l’énoncé. S’il ne convient pas, essaie de comprendre pourquoi, puis recommence. Utilise alors éventuellement la figure 3 de la page de découpage.

4- Compare le périmètre du couvercle de ta boîte et la longueur du grand rectangle ci-dessus (celui composé de trois rectangles de largeur 2 cm, 4 cm et 3 cm).

5- Peut-on construire un autre patron de la boîte avec fond et couvercle ?

Exercice 2

La figure ci-dessous représente aussi un patron d’une boîte sans fond ni couvercle.

2 cm




1- Découpe la première figure de la page de découpage, puis fabrique la boîte sans fond ni couvercle.

2- On aimerait mettre un fond et un couvercle à la boîte. a) De quelle forme sont les couvercles qui conviennent ?b) Tous les couvercles répondant à l’énoncé sont-ils superposables ?c) La boîte que tu fabriqueras aura un couvercle ayant un angle de 30°. Fais ci-dessous

une figure à main levée d’un couvercle qui convient. Tu indiqueras sur cette figure les mesures nécessaires pour pouvoir le tracer en vraie grandeur avec les instruments de géométrie.

3- a) Complète la deuxième figure de la page de découpage, afin d’obtenir un patron de la boîte avec fond et couvercle (n’oublie pas de prévoir des languettes de collage).

b) Découpe la figure obtenue puis vérifie que le patron que tu proposes répond à l’énoncé. S’il ne convient pas, essaie de comprendre pourquoi, puis recommence. Utilise alors éventuellement la figure 6 de la page de découpage.

4- Compare le périmètre du couvercle de ta boîte et la longueur du grand rectangle vert précédent (celui composé de quatre rectangles de largeur 2 cm).

5- Peut-on construire un autre patron de la boîte avec fond et couvercle ?

Exercice 3

Fabrique le solide dont voici le patron :

4 cm

4 cm

4 cm

4 cm

4 cm

Utilise la figure de la page de découpage.




Effectue les deux exercices ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 4

Tu viens de fabriquer trois solides (dans l’exercice 1, l’exercice 2 et l’exercice 3). Ont-ils des points communs ? Si oui, lesquels ?

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Exercice 5

Guillermo dit qu’un cube et un parallélépipède rectangle sont des prismes droits. Amaury n’est pas d’accord. Qui a raison ?

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Lis ce qui suit, puis note-le dans ton cahier de cours.

e retiens PRISME DROIT : Description d’un prisme droit Définition :Un prisme droit est un solide qui a :• deux faces parallèles et superposables qui sont des polygones (triangles,

quadrilatères, ...) ; ces deux faces sont appelées les bases du prisme droit• les autres faces sont des rectangles ; on les appelle faces latérales.

Exemples :

BaseBaseB seBBase

Base

sommet

face latérale

arête latérale (ou hauteur)

arête latérale (ou hauteur)

Remarque : Un parallélépipède rectangle est un prisme droit dont les bases sont des rectangles.Patron d’un prisme droit : On peut dessiner plusieurs patrons pour un même prisme droit.

hauteur

périmètre d'une base

j



Effectue l’exercice suivant à la fois dans ton livret et dans ton cahier d’exercices.

Exercice 6

1- Trois des huit solides suivants ne sont pas des prismes droits. Barre-les.

4,6 cm

0,9 cm

1,7

cm

A

D

B

E

C

F

Solide 2

G H

J I

K

N

L

M

3,5 cm

2,1 cm

1,5 cm

Solide 3

F

A

B C

D

E

L

G

H I

J

K

1,2 cm

1,5 cm

2,9 cm

0,8 cm

Solide 4

2,5 cm

A B

C D

Solide 5

A B

CD

E

2,4 cm

2 cm

Solide 7Solide 6

4 cm

1,6 cm

1,2 cm

A E

F

G

H

I

B

CD

J

2,6 cm

1,5 cm

A

E F

GH

B

CD

3 cm

3,8 cm

2 cm

A

F E

K

J

D

I

C

L

B

HG

Solide 8

2- Pour chacune des figures représentant un prisme droit, nomme• une base et une face latérale • une arête latérale

3- Indique la hauteur de chacun des prismes.




Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 7

On considère dans cet exercice les prismes droits de l’exercice précédent.

1- Complète le tableau suivant sachant que s désigne le nombre de sommets d’un prisme, f son nombre de faces et a son nombre d’arêtes.

s f a

solide 1

solide 2

solide 3

solide 6

solide 8 2- Semble-t-il exister une relation entre s, f et a ?

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

Dans chaque cas, tu écriras les calculs sur une seule ligne.

Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens la méthode.

je comprends la méthodeNommer le prisme droit ci-contre

A

B

C

DE

F

G

H

IJ

1- Je commence par nommer une base : par exemple ABCDE

2- Avant de continuer à nommer le prisme droit,

• je repère les arêtes qui relient les deux bases (ici : [AF], [BG], [CH], [DI], [EJ])

• je pense :

« à A correspond F, à B correspond G ... »

3- Je continue de nommer le prisme droit considéré : A B C D E F G H I J




Effectue l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 8

Complète les notations pour chacun des prismes droits de l’exercice 6.

notation

solide 1 DE…………………………………

solide 2 JN…………………………………

solide 3 ED…………………………………

solide 6 EI…………………………………

solide 8 HI…………………………………

S’il te reste du temps, effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 9

Un prisme a 20 sommets. Combien a-t-il :

1- d’arêtes ? 2- de faces ?




Séance 2Je représente des prismes droits

Effectue les deux exercices suivants sur ton livret.

Exercice 10

Termine la représentation en perspective cavalière des prismes droits suivants.

Rappel : en perspective cavalière, deux segments parallèles et de même longueur dans la réalité sont représentés par deux segments parallèles et de même longueur.

Exercice 11

Trace en pointillés les arêtes cachées.




Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 12

Léo et Santo ont fabriqué chacun une boîte en carton avec couvercle, ayant la forme d’un prisme droit.Celle de Léo a 10,5 cm de hauteur et sa base est un parallélogramme dont les côtés mesurent 2 cm et 4 cm.

Celle de Santo a 9 cm de hauteur et sa base est un triangle équilatéral de 6,5 cm de côté.

a) Représente à main levée chacune de ces boîtes posées sur leur base.b) Léo et Santo ont renforcé les arêtes de chacun des prismes à l’aide de papier adhésif.

Lequel des deux enfants a utilisé le plus de ruban ?

Exercice 13

Un prisme droit a pour base un quadrilatère dont les côtés mesurent 5 cm, 6 cm, 7 cm et 9 cm. La somme des longueurs des arêtes du prisme est égale à 82 cm.

Tim dit que l’une des faces de ce prisme est un carré. Qu’en penses-tu ?

Exercice 14

On considère le prisme droit ABCDEF représenté ci-contre en perspective cavalière.

1- a) Cite les bases de ce prisme.b) Détermine CB.c) Quelle est la nature des bases ?

2- Cite la (ou les) arête(s) de ce prisme droit :a) parallèle(s) à l’arête [AB]b) perpendiculaire(s) à l’arête [AC]c) perpendiculaire(s) à la face ABC.

3- Cite deux arêtes ni sécantes ni parallèles.

4- Cite la(les) face(s) perpendiculaire(s) à la face ABC.

7 cm

A

D

EF

BC

3 cm

3 cm

5- Représente le prisme droit en perspective cavalière, avec ADFC en avant.

Aide : Remarque que le prisme peut être obtenu en « coupant en deux » un parallélépipède rectangle.




Séance 3Je fabrique des patrons de prismes droits

Pour faire l’exercice suivant, tu utiliseras les figures correspondantes de la page de découpage « Prismes droits ».

Exercice 15

Chacune des figures ci-dessous représente un patron inachevé de prisme droit. Dans chacun des cas :• termine-le, • découpe-le,• puis vérifie en faisant un pliage qu’il convient. Si tu t’es trompé(e), recommence.

a)

b)

Remarque : tous les sommets du patron ne sont pas tous sur des points du quadrillage.




Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 16

Le dessin à main levée ci-dessous, représente un patron de prisme droit.

Complète le codage des longueurs égales.

Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 17

Construis un patron du prisme droit de l’exercice 14.

Exercice 18

1- Construis un patron du prisme droit représenté ci-dessous, ayant pour base un parallélogramme.

2- Cite les arêtes de ce prisme droit perpendiculaires

a) à [BC],

b) à la face EFGH.

3- Cite une face perpendiculaire à la face ABCD.

A B

CD

E F

GH

4,5 cm

2,2 cm

2 cm

75 °

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit après l’avoir lu.

e retiens

AIRE LATÉRALE D’UN PRISME DROIT

L’aire latérale d’un prisme droit est la somme

des aires de ses faces latérales.

Ici, l’aire latérale est la somme des aires des cinq rectangles représentés en blanc : AFJE, EJID, DIHC, CHGB, BGFA

A

B

C

D

E

F

G

H

IJ

j




Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 19

Mathéo dit, en observant le patron du prisme droit qui figure dans son cahier de cours, qu’on peut obtenir l’aire latérale de ce prisme en faisant une multiplication. Es-tu d’accord avec lui ?

Exercice 20

On considère le prisme droit représenté à main levée ci-contre. h désigne sa hauteur en cm.

1- Calcule à l’aide de h :

a) l’aire de chacune des faces latérales,

b) l’aire latérale du prisme.

2- D’après ce qui précède, l’aire latérale du prisme peut-elle être obtenue en multipliant le périmètre de sa base par sa hauteur ?

A

E

F G

H

B C

D

5 cm

6 cm

5,5 cm

h

11 cm

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit après l’avoir lu.

e retiens

aire latérale d’un prisme = périmètre de base x hauteur

Ici, l’aire latérale est l’aire de la surface blanche.

aire totale d’un prisme = aire latérale + aire des deux bases

périmètre de base

A

B

C

D

E

F

G

H

IJ

hauteur

j




Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 21

On considère la figure à main levée ci-contre représentant un prisme droit à base triangulaire. Calcule :

1- l’aire latérale

2- l’aire totale de ce prisme.

A

D

E

F

B

C

H4 cm

3,2 cm

4,8 cm

6 cm

Exercice 22

Un prisme droit de 6,5 dm de hauteur a pour base un losange. L’aire latérale du prisme est égale à 117 dm2. Calcule la longueur d’un côté du losange.

Séance 4Je calcule le volume de pavés droits

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 23

Les figures suivantes, constituées de cubes, occupent autant de place dans l’espace. On dit qu’elles ont le même volume.

Cite :

a) toutes les unités de volume que tu connais. b) toutes les unités de contenance que tu connais.Pour chacune, indique à côté, entre parenthèses son abréviation.




Effectue les trois exercices ci-dessous directement sur ton livret. Exercice 24

1- Qu’est-ce qu’un m3 ? un dm3 ?

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

2- Complète les pointillés :

a) 1 m3 = ......... dm3

b) 1 L = ............ dm3

c) 1 L = ............ dL.

Exercice 25

Complète les pointillés :

a) 4,9 cm3 = ............. mm3

b) 3,5 dm3 = .............m3

c) 0,134 m3 = .............cm3

d) 1 900 mm3 = .............dm3

Exercice 26


a) 4,5 dL = ........... cL

b) 6,9 mL = ...........cL

c) 16,4 hL = ..........L


Exercice 27

Vrai ou faux ?

1 mL = 1 cm3

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 28


a) 5,9 L = ............... cm3

b) 0,89 m3 = ...........L

c) 4,8 cL = ...........cm3





Exercice 29

Amaury veut remplir un parallélépipède rectangle avec des cubes de 1 cm d’arête. Les dimensions du parallélépipède sont ;

longueur : 7 cm, largeur : 4 cm et hauteur : 3cm.

a) Combien de cubes lui faut-il pour remplir entièrement le solide ?b) Quel est en cm3 le volume de ce parallélépipède ?

Prends ton cahier de cours, puis lis attentivement et recopie le paragraphe ci-dessous.

e retiens

Pavé droit Si un pavé droit a pour dimensions a, b et c

(exprimées dans la même unité), son volume est :

a x b x c a

b

c

j

Effectue les quatre exercices ci-dessous directement sur ton cahier d’exercices.

Exercice 30 Quel est le volume d’un parallélépipède rectangle dont les arêtes mesurent :

4,5 dm 3,2 cm 2 cm ?

Exercice 31 Une cour rectangulaire a une aire de 66 m2. On la recouvre d’une couche de sable de 3 cm d’épaisseur. Quel est le volume de sable utilisé en m3 ?

Exercice 32

Un pavé droit a un volume de 160 cm3. Sa longueur est 8 cm et sa hauteur 4 cm.

Quelle est sa largeur ?

Exercice 33 On verse 3 L d’eau dans le récipient ci-contre. À quelle hauteur arrivera-t-elle ?

20 cm15 cm

30 cm




Séance 5Je calcule le volume d’un prisme droit


Exercice 34

Voici un prisme droit :

A

E F

GH

B

CD

I J

KL

2,4 cm

1,2 cm

3,5 cm

2 cm

5 cm

1- Cite une de ses bases.

2- Calcule son volume.

3-

a) Alex Privif dit que le volume du prisme ci-dessus peut être obtenu en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur. Vérifie l’affirmation d’Alex.

b) Alex dit qu’il peut démontrer mentalement son affirmation. Saurais-tu retrouver son raisonnement ?

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit.

e retiens

Volume d’un prisme droit

Volume d’un prisme droit = aire de la base x hauteur

surfac

e

d'une

base

A

B

C

D E

F

G

H

I J

haut

eur

j





Exercice 35

La figure ci-dessous représente une tente de camping.Calcule le volume d’air contenu dans cette tente.

2,1 m

1,5 m

1,2

m

Exercice 36a) Complète la figure ci-dessous afin d’obtenir le dessin en perspective cavalière d’un prisme

droit.

4,2 cm

7,1 cm

2,5 cm1,5 cm

N M

L

PO

b) Calcule l’aire d’une base.

c) Quelle doit être la hauteur de ce prisme pour que son volume soit égal à 81,5 cm3 ?

Exercice 37

Un prisme droit métallique ayant une épaisseur de 4 cm est plongé dans un réservoir parallélépipédique contenant de l’eau.

Le niveau de l’eau monte de 1 mm.Quelle est l’aire de base de ce prisme ?

40 cm

15 cm




Séance 6Je découvre les cylindres de révolution


Exercice 38

Les boîtes de conserves ci-dessus ont la même forme. Ce sont des cylindres de révolution.

1- Que peux-tu dire du fond et du couvercle de chacune d’elles ?

2- « Une révolution » est un « tour complet ».

En observant la figure ci-contre, explique pourquoi les solidesprécédents sont appelés cylindres de révolution. ?

Recopie le paragraphe suivant dans ton cahier de cours après l’avoir lu.

e retiens CYLINDRE

Description d’un cylindre :

Un cylindre de révolution est un solide décrit par un rectangle qui tourne autour de l’un de ses côtés.

Il est limité par :

• deux disques de même rayon, les bases, situés dans des plans parallèles. La droite passant par les centres des deux disques s’appelle l’axe du cylindre. Elle est perpendiculaire à chaque base.• une surface courbe appelée surface latérale du cylindre.

rayo

n

hauteur

base

base

j




Lis attentivement le paragraphe suivant :

je comprends la méthodeReprésenter en perspective cavalière un cylindre de révolution de 3 cm de diamètre et de 4 cm de hauteur posé sur une de ses bases

3 cm

4 cm

Je trace un rectangle de 3 cm sur 4 cm.

3 cm

4 cm

Je trace à main levée deux « ovales » (des ellipses) superposables

3 cm

4 cm

Je trace en pointillé la partie cachée du contour de la base inférieure. J’efface les traits inutiles.

Représenter en perspective cavalière un cylindre de révolution de 2,1 cm de diamètre et de 8 cm de hauteur, l’une des bases étant face à l’observateur.

A

C

D

B

Je trace l’une des bases en vraie grandeur. On trace donc un cercle de 2,1 cm de diamètre.

Je trace :• [AB] l’un des diamètres du cercle,• puis deux segments [AD] et [BC] de même longueur (inférieure à 8 cm)

A

C

D

B

A

C

D

B

Je trace le cercle de diamètre [CD]. Je trace en pointillé la partie cachée de la deuxième base tracée. J’efface les traits inutiles.




Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 39

Dans le « Je comprends la méthode » précédent, dans quel cas, a) les bases sont-elles représentées par des disques ? b) la hauteur et le diamètre sont-ils représentés en vraie grandeur ?

Exercice 40

Représente en perspective cavalière un cylindre de révolution de rayon 4 cm et de hauteur 5 cm posé sur une de ses bases.

Effectue maintenant l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 41

Complète la figure ci-dessous pour qu’elle représente une vue en perspective d’un cylindre de révolution de 6 cm de hauteur.

Effectue les trois exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 42

On fait tourner un carré de 2 cm de côté autour d’un de ses côtés.Représente en perspective cavalière le cylindre obtenu, avec une base face à l’observateur.

Exercice 43

La figure ci-contre, représente un cylindre de révolution de rayon 1,5 cm et de hauteur 2,5 cm.O et O’ sont les centres des disques de base.E est un point de la base de centre O à 1,5 cm de O.

1- Quelle est la nature du triangle OO’E ? On ne demande pas de justifier.

2- Représente le triangle OO’E en vraie grandeur.

O

O'

E




Exercice 44

Voici un paquet cadeau. Il a la forme d’un cylindre de révolution de diamètre 10 cm et de hauteur 32 cm.

Calcule la longueur de ficelle nécessaire pour ficeler le paquet (Ne tiens pas compte des nœuds).

Séance 7Je fabrique des patrons de cylindres


Exercice 45

1- Adèle aimerait fabriquer une boîte cylindrique en carton.

Elle découpe dans une feuille de carton souple un rectangle de 9 cm de long et 4 cm de large, puis roule ce rectangle comme indiqué ci-dessous, de façon à obtenir la surface latérale d’un cylindre de 4 cm de hauteur.

9 cm

4 cm

D

Fais comme elle.

2- Adèle aimerait mettre maintenant un fond et un couvercle à sa boîte.

a) Quel est le périmètre d’un couvercle ?

b) Quel est son diamètre D en cm ? Tu donneras la valeur exacte puis l’arrondi au dixième du résultat. Pense à vérifier ton résultat en mesurant.




Lis attentivement ce qui suit et retiens-le.

je comprends la méthodeConstruire un patron d’un cylindre de révolution de rayon

r = 1,2 cm et de hauteur h = 2,5 cm

1- Je calcule le périmètre d’une base : p = π x 2 x r = π x 2 x 1,2 = 2,4π p ≈ 7,5 cm (arrondi au dixième)

2- Je trace un rectangle de dimensions p et h.

3- Je trace deux disques de rayon r de part et d’autre du rectangle.

2,4 π

1,2 cm

1,2 cm

2,5 cm


Exercice 46

a) Construis un patron d’un cylindre de révolution de 5 cm de diamètre et de 3 cm de haut.

b) Découpe ce patron puis fabrique le cylindre de révolution.

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit à la suite. Tu ne feras pas la figure. Tu la repèreras sur la page de découpage « Cylindres de révolutions » puis tu la découperas et la colleras dans ton cahier.




e retiens PATRON D’UN CYLINDRE Voici ci-dessous un exemple de patron d’un cylindre.

hauteur

périmètre d'une base

1,8 cm

1,8 cm

Remarque : la position des deux disques n’a pas d’importance.

j




Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 47Sans faire de découpage, dis, dans chacun des cas suivants, si la figure proposée est un patron de cylindre de révolution.

a)

0,8 cm

0,8 cm

A B

CD

b)1 cm

1 cm

A

B C

D

Exercice 48

Fais le patron de chacun des solides ci-dessous.

1- 2-


4 cm2 cm

7 cm

3 cm

4 cm



Séquence 12

Lis ce qui suit et note-le sur ton cahier de cours.

e retiens Aire latérale et aire totale d’un cylindre. • Aire latérale : c’est l’aire de la surface latérale. C’est l’aire d’un rectangle ayant pour dimensions :∙ le périmètre d’une base∙ la hauteur du cylindre. Aire latérale = périmètre d’une base x hauteur aire latérale = 2πR x h

• Aire totaleaire totale = aire latérale + aire des deux bases

R

h

Comme : aire d’une base = πR2 on a : aire totale = 2πR x h + πR2 x 2

j

Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 49

1- Léo dit que les deux cylindres ci-dessous ont la même aire latérale.

Qu’en penses-tu ?

6 cm

14 cm 8 cm

10,5 cm

2- Calcule l’aire totale en cm2 de chacun de ces cylindres (Tu donneras la valeur exacte puis l’arrondi au dixième de chacun des résultats).

Exercice 50Un cylindre de révolution a une aire latérale égale à 114,61 cm2. Son rayon est 2,5 cm. On désigne par h la hauteur en cm de ce cylindre.

a) Explique pourquoi 5πh = 114,61b) Calcule l’arrondi au dixième de h.

Exercice 51

Un cylindre de révolution a une aire latérale égale à 122,46 cm2.Sa hauteur est 6,5 cm. Calcule la valeur exacte en cm de son diamètre puis arrondis le résultat au dixième.

séance 7 —




S’il te reste du temps, effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 52

Des cannettes de soda de 5 cm de diamètre sont vendues par lot de trois. Elles sont emballées comme indiqué ci-dessous à l’aide d’une bande de plastique.

9 cm

Calcule l’aire en cm2 de plastique nécessaire pour emballer chaque lot. Tu arrondiras le résultat à l’unité.



Séquence 12

Séance 8Je calcule le volume d’un cylindre


Exercice 53

Observe la figure ci-dessous et essaie de comprendre pourquoi le volume d’un cylindre se calcule comme celui d’un prisme droit, en multipliant l’aire d’une base par la hauteur.

Prends ton cahier de cours et note, à la suite du cours sur le cylindre, ce qui suit.

e retiens VOLUME D’UN CYLINDRE DE RÉVOLUTION

Propriété (admise) Le volume d’un cylindre de révolution est égal au produit de l’aire d’une base par la hauteur.

volume = aire d’une base x hauteur aire d’une base : πR2

V = πR2 x h

h

R

j

Lis attentivement le paragraphe suivant.

je comprends la méthodeUn bocal a la forme d’un cylindre de révolution de 7 cm de hauteur et de diamètre 12 cm. Calcule la valeur exacte en cm3 de son volume V , puis donne l’arrondi au dixième du résultat.

1- Afin d’y voir clair, je commence par faire au brouillon une figure à main levée représentant un cylindre, sur laquelle on note tout ce que l’on sait d’après l’énoncé.

séance 8 —



Séquence 12

2- Comme je cherche le volume en cm3, je veille à ce que toutes les longueurs utiles pour le calcul soient en cm. D’après le précédent « Je retiens », pour trouver l’aire d’une base, il faut connaître le rayon d’une base.

Le rayon en cm d’une base est : 12 : 2 = 6

Le volume V en cm3 du cylindre est : aire d’une base x hauteur = π x 62 x 7 = π x 36 x 7 = π x 252 = 252π

3- Pour trouver l’arrondi au dixième du résultat, j’utilise la calculatrice. Je tape :

252 x π EXE . Il s’affiche 791.6813487.

V ≈ 791,7 cm3 (arrondi au dixième)


Exercice 54

Peut-on verser 1L d’eau dans une casserole cylindrique de 6 cm de hauteur et de rayon 6,5 cm ?

Exercice 55

La figure ci-contre représente une pile électrique. Calcule son volume en cm3 (tu donneras la valeur exacte puis l’arrondi du résultat au dixième).

4,5 cm6,5

cm

2 cm

Rappel : dans une expression contenant des parenthèses, on commence par effectuer les calculs entre parenthèses.Exercice 56

La figure ci-contre représente une pièce métallique obtenue après avoir découpé un quart de cylindre de rayon 4 cm dans un pavé droit. Calcule le volume en cm3 de cette pièce (Tu donneras l’arrondi à 0,1 près du résultat).

8 cm

15 cm

3 cm


Calcule en m3 le volume de béton nécessaire pour réaliser ce tuyau. Tu donneras l’arrondi à 0,001 près du résultat.

5 m

34 cm

44 cm

— séance 8



Séquence 12


Une casserole a 9,5 cm de hauteur. Elle peut contenir 2,5 L.

1- Calcule son aire de base en cm2 ? (Tu donneras la troncature du résultat au centième).

2- Un couvercle de 8,5 cm de rayon peut-il la recouvrir ?

Prends ton cahier de cours puis note ce qui suit après l’avoir lu.

Exercice 59

Une boîte de conserve cylindrique a 10 cm de diamètre. Son volume est égal à 750 cm3.

Pourra-t-on la ranger « debout » sur l’étagère du bas du meuble ci-contre ?

10 cm


On considère les quatre mêmes récipients cylindriques ci-dessous contenant chacun de l’eau.

4 cm

12 c

m

11 c

m

7 cm

récipient 1 récipient 2 récipient 3 récipient 4 volume d’eau : 51 cm3

1- Calcule le volume d’eau contenu dans les récipients 2, 3 et 4.2- Si l’un des récipients précédents avait contenu 255 cm3 d’eau, quelle aurait été la hauteur

d’eau dans ce récipient ?3- Des cylindres de révolution ayant la même aire de base B étant donnés, Thibaut dit que

leur volume est proportionnel à leur hauteur h. Qu’en penses-tu ? (Si ta réponse est oui, quel est le coefficient de proportionnalité ?)

séance 8 —



Séquence 12


Un bocal cylindrique de 1,5 L a une hauteur de 21 cm. On verse dedans 1 L de sirop. Quelle est la hauteur de sirop dans le bocal ?


On met deux glaçons au fond d’un verre cylindrique de 3 cm de rayon. Les glaçons sont des cubes de 3 cm d’arête.

1- Sachant qu’en fondant, la glace donne un volume d’eau égal à 90 % celui des glaçons, calcule le volume d’eau obtenu après la fonte des glaçons (en cm3 et en cL).

2- Calcule la hauteur d’eau en cm dans le verre (tu arrondiras le résultat au dixième).

Séance 9J’effectue des exercices de révision

Tu effectueras les quatre exercices suivants sur ton cahier d’exercices.


Voilà déjà une bonne demi-heure que Jade et Mathéo essaient de fabriquer un prisme droit à 11 sommets.

Soudain, Mathéo dit : « Cela ne m’étonne pas qu’on n’y arrive pas. Cette construction est impossible. Je sais le prouver ». Mathéo a raison. Saurais-tu retrouver son raisonnement ?

— séance 9




Exercice 64

Dans un parallélépipède rectangle de base ABCD, on a découpé un prisme droit ayant pour base le polygone EFGHIJKL.

AE = 10 cm

AL = 6 cm

BM = 5 cm

A E F

G

H

IJ

K

L

B

M

CD

On donne : AB = 27 cm et BC = 21 cm .

1- Calcule l’aire du polygone EFGHIJKL

2- Quel est en L le volume de ce prisme ?

Exercice 65

La figure ci-contre représente le rouleau cylindrique que passe sur son terrain Thibaut le jardinier avant de faire ses semis.

1- Lorsque le rouleau fait un tour, quelle distance en m parcourt Thibaut ? Tu arrondiras ton résultat au centième.

2- Le terrain de Thibaut est un rectangle de dimensions 34,5 m et 11 m.

a) Combien d’allers-retours sur la longueur va faire Thibaut ?

b) Quelle distance parcourra-t-il ?

55 cm

44 cm

Exercice 66

Calcule le volume en cm3 de la pièce d’un jeu de construction, représentée ci-contre.

2,4 cm

6,5 cm2,4 cm

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la (les) réponse(s) exacte(s) sur ton livret.Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.



Séquence 12

je m’évalue1-

a b

c d

3 cm

4 cm

4,5 cm

Voici un patron à main levée de prisme droit.Sur ce patron :

p a = 3 cm ; b = 4 cm ; c = 3 cm ; d = 4,5 cm

p a = 3 cm ; b = 4 cm ; c = 4,5 cm ; d = 3 cm

p a = 4 cm ; b = 3 cm ; c = 4 cm ; d = 4,5 cm

p a = 4 cm ; b = 3 cm ; c = 4,5 cm ; d = 4 cm

2-

2,4 cm

1,5 cm

A

B C

D

En faisant tourner le rectangle ci-dessus autour de [AB], on obtient :

p un prisme droit de 1,5 cm de hauteur

p un cylindre de révolution de 2,4 cm de rayon et de hauteur 1,5 cm

p un cylindre de révolution de 2,4 cm de diamètre et de hauteur 1,5 cm

p un cylindre de révolution de 1,5 cm de rayon et de hauteur 2,4 cm.

Voici un prisme droit dont les bases sont des parallélogrammes.

7 cm 2 cm

5 cm

4 cm

AE

K

F

GH

B

CD

3- Sa hauteur est : p 2 cm p 4 cm p 5 cm p 7 cm

4- Son aire latérale est : p 24 cm2 p 48 cm2 p 70 cm2 p 140 cm2

5- Son aire totale est : p 80 cm2 p 104 cm2 p 126 cm2 p 196 cm2

6- Son volume est : p 22 cm3 p 24 cm3 p 70 cm3 p 56 cm3

7- Dans la réalité, EAB mesure p 22 ° p 30° p 60° p 90°

— séance 9




8-

60 cm

50 cm

A

E F

GH

B

CD

Cet aquarium ayant la forme d’un parallélépipède rectangle peut contenir exactement 90 L d’eau. Sa hauteur AE est égale à :

p 3 cm p 3 dm p 3 m p 3 dam

Voici un cylindre :

10 c

m3 cm

9- Son aire latérale est :

p 76π cm2 p 188,50 cm2 p 60π cm2 p 238,76 cm2

10- Son volume est :

p 282,74 cm3 p 60π cm3 p 188,49 cm3 p 90π cm3


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