Sommaire 1) Vérification de la maîtrise des items...

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MATHEMATIQUES

SUIVI DES ACQUIS

ET

PREPARATION DES ELEVES

AU DNB

Travail différencié destiné aux élèves du groupe 0

Fascicule 1

Sommaire

Aider les élèves à passer du groupe 0 au groupe 1 Page 2

1) Vérification de la maîtrise des items réussis par la groupe 0 Page 3

- Item 4 – 2011- Reproduire un figure Page 4 - Item 3 – 2010 - Lire les coordonnées d’un point Page 5 - Item 9 – 2011 - Repérer un extrémum dans un tableau Page 6 - Item 1 – 2012 - Evaluer une probabilité Page 7

2) Diagnostic sur les items réussis par le groupe 1 : Page 8

- Item 4 – 2009 - Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés Page 9

- Item 6 – 2010 - Construire une figure 0 - Item 9 – 2010 - Dessiner en vraie grandeur

une face d’un tétraèdre page 11 - Item 1 - 2010 - Effectuer un calcul sur des entiers

relatifs Page 12 - Item 4 – 2010 - Lire un graphique (lecture inverse) Page 13 - Item 13 – 2011 - Lire un graphique (lecture d’image) Page 14 - Item 18 – 2012 - Lire un graphique (lecture d’image) Page 15 - Item 19 – 2012 – Interpréter un graphique cartésien Page 16 - Item 13 – 2012 – Lire et exploiter un tableau de

données Page 17 - Item 11- 2009 - Evaluer une probabilité Page 18 - Item 2 – 2012 – Raisonner sur les probabilités Page 19 - Item 7 – 2012 – Calculer l’aire d’un carré Page 20 - Item 10 – 2012 – Appliquer la formule de calcul du

volume du cône Page 21

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3) Travail sur les 4 champs : 2

I – Géométrie : a) Constructions en géométrie plane Page 22

b) Représentation de faces de solides en vraie grandeur Page 24

II - Nombres et calculs : c) Opérations sur les entiers relatifs Page 25 III - Organisation et gestion de données. Fonctions : d) Lecture de tableaux et graphiques Page 26 e) Notions élémentaires de statistiques et probabilités Page 30 IV - Grandeurs et mesures : f) Aborder longueurs-aires-volumes Page 31

« Aider des élèves à passer du groupe 0 au groupe 1 »

En fin de collège, 15% des élèves sont en grande difficulté. Cette donnée est fournie par le HCE et confirmée par l’échelle CEDRE dont les groupes 0 et 1 ont des proportions cumulées également de 15%. Les candidats au DNB classés dans le groupe 0 de notre échelle représentent 9 à 10% et font, pour la plupart d’entre eux, très probablement partie de ces 15% d’élèves en grande difficulté. On notera cependant, que la proportion de candidats situés dans le groupe 0 est nettement inférieure aux 15% d’élèves repérés en grande difficulté. Cela signifie qu’une partie importante de ces élèves, au moins un tiers, obtient une note supérieure ou égale à 10 sur 40 sur l’épreuve de mathématiques du DNB. Les items réussis par les élèves du groupe 0 sont donc rares. Ils se limitent à quatre appartenant à deux champs différents :

• « Géométrie » où leur réussite se cantonne au thème des constructions de figures. La maîtrise de ce thème n’est achevée que pour les élèves du groupe 2.

• « Organisation et gestion de données » où la réussite se limite au thème de la lecture de graphiques et de tableaux et au thème statistiques et probabilités.

Les items réussis par les élèves du groupe 1 sont au nombre de treize se répartissant sur les quatre champs parmi lesquels on retrouve les deux précédents :

• « Géométrie » où la réussite reste cantonnée à la construction de figures avec cependant une première réussite sur une construction concernant le thème de l’espace.

• « Nombres et calculs » où la réussite se limite à un item de calcul numérique concernant les entiers relatifs

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• « Organisation et gestion de données » où la réussite se poursuit sur le thème de la lecture de graphiques et de tableaux ainsi que sur les items concernant le thème statistiques et probabilités.

• « Grandeurs et mesures » où la réussite ne concerne que le thème périmètres, aires et volumes.

Le travail à proposer aux élèves positionnés dans le groupe 0 à l’issue du

brevet blanc peut donc se construire autour de la progression suivante : 1. Vérification de la maîtrise des items réussis par le groupe 0. 2. Diagnostic sur les items réussis par le groupe 1. 3. Travail sur les 4 champs : - Géométrie : a. constructions en géométrie plane. b. représentation de faces de solides en vraie grandeur. - Nombres et calculs : c. opérations sur les entiers relatifs. - Organisation et gestion de données. Fonctions : d. lecture de tableaux et graphiques. e. notions élémentaires de statistiques et probabilités. - Grandeurs et mesures : f. aborder périmètres-aires-volumes (concepts, dénombrement d’unités, comparaison, estimation, découpage-recollement …).

1. Vérification de la maîtrise des items réussis par le groupe 0.

Thème constructions : Reproduire une figure (Item 4- DNB 2011- Réussi à 67% par le groupe 0) Thème lecture de graphiques et tableaux :

Lire un graphique (lecture d’image) (Item 3- DNB 2010- Réussi à 69% par le groupe 0)

Repérer un extremum dans un tableau (Item 9- DNB 2011- Réussi à 87% par le groupe 0) Evaluer une probabilité (question fermée à trois choix) (Item 1 – DNB 2012- Réussi à 80 % par le groupe 0)

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Item 4 – DNB 2011 : reproduire une figure Cet item confirme la réussite déjà connue des candi dats sur la réalisation de figures planes. Il est le seul à être réussi par le groupe 0 réussi cette année-là.

Critère : La figure doit être correcte aux imprécisions près.

Ensemble Groupe 0 Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Nb de 1 128 10 44 48 26 Nb de 9 18 4 7 7 0 Nb de 0 4 1 0 3 0

Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé

% de 1 85% 67% 86% 83% 100% % de 9 12% 27% 14% 12% 0% % de 0 3% 7% 0% 5% 0%

Pourcentages obtenus en excluant les candidats n’ayant pas abordé la question

% de 1 exclu 88% 71% 86% 87% 100% % de 9 exclu 12% 29% 14% 13% 0%

Commentaire :

La réussite d’ensemble est maximale pour cet item qui est le seul réussi par le groupe 0. Il est donc peu discriminant, le groupe 1 réussissant d’ailleurs un peu mieux que le groupe 2. Analyse didactique :

Ce thème des réalisations de figures de géométrie plane vient, années après années, confirmer qu’il constitue une des rares valeurs sûres pour la réussite des candidats au DNB, notamment pour les plus fragiles d’entre eux. Vu du côté des enseignants, qui sont tous à un moment ou à un autre auteurs de sujets d’examen blanc, il s’agit donc d’un thème à exploiter en début d’exercice pour faciliter l’entrée des élèves dans le sujet.

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Item 3 – DNB 2010 : lire les coordonnées d’un point

Un item parfaitement réussi qui est aussi le seul réussi par le groupe 0 cette année-là.

Critère : le candidat doit donner comme réponse 6,5 à 0,1 près et sans exigence d’unité.

Commentaire :

La lecture des coordonnées d’un point avait produit en 2009 une réussite nationale de 82% puis de 57% l’an derrnier où une difficulté inhérente au choix des unités. Cette année, la réussite sur cette capacité, non perturbée par des éléments périphériques, redevient excellente. La lecture graphique directe reste donc bien un point fort de nos élèves lorsqu’elle n’est pas perturbée par des choix d’unités qui peuvent les dé stabiliser. Analyse didactique : Les très rares erreurs semblent s’apparenter davantage à de l’étourderie qu’à des questions de fond.

Ensemble Groupe 0 Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3

Nb de 1 141 9 44 59 29

Nb de 9 3 1 2 0 0

Nb de 0 4 3 1 0 0


% de 1 95% 69% 94% 100% 100%

% de 9 2% 8% 4% 0% 0%

% de 0 3% 23% 2% 0% 0%

Pourcentages obtenus en excluant les candidats n’ayant pas abordé la question % de 1exclu

98% 90% 96% 100% 100%

% de 9 exclu 2% 10% 4% 0% 0%

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Item 9 – DNB 2011 : Repérer un extremum dans un tab leau Cet item simple, relevant de la prise d’information , est réussi par presque tous les candidats.

Critère : Le candidat doit donner la réponse attendue (année 1999).


Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé % de 1 96% 87% 94% 100% 96% % de 9 1% 0% 2% 0% 4% % de 0 3% 13% 4% 0% 0%

Pourcentages obtenus en excluant les candidats n’ayant pas abordé la question % de 1 exclu 99% 100% 98% 100% 96% % de 9 exclu 1% 0% 2% 0% 4%

Commentaire :

Cet item relevant de la prise d’information et constituant la première question du problème est parfaitement réussi par les candidats. Analyse didactique :

Repérer un maximum parmi une liste de nombres entiers est une capacité manifestement maîtrisée par les candidats. Le fait que ces nombres mesurent ici une grandeur quotient n’a pas eu d’effet perturbateur pour la réussite.

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Item 1 – DNB 2012 : Evaluer une probabilité (question fermée à quatre choix)

Un item parfaitement réussi y compris par le groupe 0.

Critère : le candidat doit cocher la bonne réponse.


Nb de 1 141 16 44 60 21

Nb de 9 1 0 0 1 0

Nb de 0 8 4 2 2 0


% de 1 94% 80% 96% 95% 100%

% de 9 1% 0% 0% 2% 0%

% de 0 5% 20% 4% 3% 0%


% de 1 exclu 99% 100% 100% 98% 100%

% de 9 exclu 1% 0% 0% 2% 0%

Commentaire :

Un seul élève échoue sur cet item. Quelques-uns ne répondent pas mais ils sont très peu nombreux et par ailleurs, pour une partie d’entre eux, il s’agit d’un problème d’organisation : ils ont répondu sur la feuille du sujet qui n’était pas disponible lors de nos corrections (mais elle l’était en général dans les copies des candidats lors de l’examen). Analyse didactique :

Un item du même genre avait été étudié dans le sujet 2011. Il avait déjà produit une très bonne réussite d’ensemble à 71%, néanmoins moindre que celle-ci en particulier pour le groupe 0 qui n’avait obtenu que 60% de réussite. La question posée en 2009 était pourtant classique (tirage de billes dans une urne) mais c’était aussi la première année où les probabilités apparaissaient dans les programmes du collège. Si cette apparition dans l’examen constituait un signal fort en direction des enseignants, l’enseignement de ce thème n’était pas stabilisé dans les pratiques.

Nous retiendrons qu’il semble l’être aujourd’hui, qu’il constitue un des sujets permettant de mettre en réussite toute une classe et qu’à ce titre il représente pour le professeur une ressource utile dans la conduite de son enseignement.

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2. Diagnostic sur les items réussis par le groupe 1 .

Thème constructions :

Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés (Item 4 – DNB 2009- Réussi à 33% par le groupe 0)

Reproduire une figure (Item 6- DNB 2010- Réussi à 46% par le groupe 0)

Thème espace :

Dessiner en vraie grandeur une face d’un tétraèdre (Item 9- DNB 2010- Réussi à 23% par le groupe 0) Thème calcul numérique : Effectuer un calcul sur des entiers relatifs (Item 1- DNB 2010- Réussi à 31% par le groupe 0) Thème lecture de graphiques et tableaux :

Lire un graphique (lecture d’antécédent) (Item 4- DNB 2010- Réussi à 46% par le groupe 0)

Lire un graphique (lecture d’image) (Item 13- DNB 2011- Réussi à 33% par le groupe 0)

Lire un graphique cartésien (lecture d’image)( Item 18- DNB 2012- Réussi à 45 % par le groupe 0)

Interpréter un graphique cartésien (Item 19 – DNB 2012- Réussi à 45 % par le groupe 0)

Lire et exploiter un tableau de données (Item 13 – DNB 2012- Réussi à 50 % par le groupe 0)

Thème statistiques et probabilités :

Evaluer une probabilité (question fermée à trois choix) (Item 11- DNB 2009- Réussi à 60% par le groupe 0)

Raisonner sur des probabilités (question fermée à quatre choix) ( Item 2- DNB 2012- Réussi à 50 % par le groupe 0) Thème périmètres, aires, volumes : Calculer l’aire d’un carré (Item 7 – DNB 2012- Réussi à 30 % par le groupe 0) Appliquer la formule du calcul du volume du cône (Item 10- DNB 2012 – Réussi

à 15 % par le groupe 0)

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Item 4 – DNB 2009 : Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés (cet item figure parmi les 6 items nationaux)

Un item très bien réussi, qui vient confirmer, à la suite d’une observation du même type sur l’épreuve de l’an dernier, que la construction de figures géométriques est bien maîtrisée par les candidats.

L’unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que : AB = 16 cm, AC = 14 cm et BC = 8 cm.

1) a) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.

Critère : aucune méthode particulière, aucune trace de construction ne sont imposées. Le candidat doit fournir une figure correcte aux imprécisions usuelles de tracés près


Nb de 1 122 5 42 52 23

Nb de 9 21 8 9 4 0

Nb de 0 6 2 2 2 0


% de 1 82% 33% 79% 90% 100%

% de 9 14% 53% 17% 7% 0%

% de 0 4% 13% 4% 3% 0%


Commentaire : La construction est classique, les longueurs en jeu s’expriment en

nombres entiers de centimètres. Conformément à ce que l’on pouvait attendre, la réussite est donc très bonne (87% au niveau national) confirmant ainsi que la construction de figures géométriques est bien ma îtrisée par nos élèves. Analyse didactique :

L’unique erreur répertoriée consiste pour les candidats à tracer un triangle rectangle en suivant les lignes du quadrillage. La question suivante de l’exercice : « le triangle est-il rectangle ? » peut ici avoir joué un rôle incitatif sur cette procédure erronée. Un problème de format de compas peut également avoir posé des problèmes de réalisation. En effet, certains compas ont un écartement maximum trop faible pour les mesures réclamées dans l’énoncé.

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Item 6 – DNB 2010 : Construire une figure Une construction de figure bien réussie mais qui me t en difficulté une majorité des candidats du groupe 0.

Critère : la figure est exacte aux imprécisions de tracés près.


Nb de 1 135 6 41 59 29

Nb de 9 9 4 5 0 0

Nb de 0 4 3 1 0 0


% de 1 91% 46% 87% 100% 100%

% de 9 6% 31% 11% 0% 0%

% de 0 3% 23% 2% 0% 0%


% de 1 exclu 94% 60% 89% 100% 100%

% de 9 exclu 6% 40% 11% 0% 0%

Commentaire :

La réussite d’ensemble dépasse 80% comme cela était déjà le cas sur des items de construction géométrique dans le passé. Cet item vient confirmer que la construction de figures géométriques est globalement bien maîtrisée même si on sait que l’usage du rapporteur par exemple peut faire fléchir cette réussite sensiblement (70% de réussite l’an dernier sur la construction d’un triangle ayant un angle de mesure imposée). Analyse didactique :

Les réponses incomplètes (carré seul) et les erreurs dans la prise d’information (dessin d’un rectangle non carré) sont les seules erreurs, par ailleurs peu fréquentes.

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Item 9- DNB 2010 : Dessiner en vraie grandeur une f ace d’un tétraèdre Le groupe 0 est le seul que cette question de géomé trie dans l’espace met en difficulté. La grande majorité des candidats interprète donc correctement le dessin en perspective cavalière.

Critère : Figure correcte aux imprécisions de tracés près.


Nb de 1 116 3 35 51 27

Nb de 9 23 4 10 7 2

Nb de 0 9 6 2 1 0


% de 1 78% 23% 74% 86% 93%

% de 9 16% 31% 21% 12% 7%

% de 0 6% 46% 4% 2% 0%


% de 1 exclu 83% 43% 78% 88% 93%

% de 9 exclu 17% 57% 22% 12% 7%

Commentaire : Cet item de géométrie dans l’espace est très bien réussi. Les candidats

ont très majoritairement su distinguer le dessin en perspective de la face ABC et la figure en vraie grandeur de ce triangle. Peut être aussi ont-ils pris l’information sur les longueurs des trois côtés du triangle sans s’interroger plus avant sur l’interprétation de la perspective. Mais au moins, la forme du triangle ABC figurant sur la perspective les a rarement perturbés. Analyse didactique :

La réussite global qui se situe à 78% est peu différente de celle observée l’an dernier sur la construction d’un triangle connaissant les longueurs des trois côtés qui était de 82%. Par conséquent, le contexte de géométrie dans l’espace ne semble pas avoir déstabilisé les candidats. Ceux qui se laissent abuser et qui reproduisent une forme de triangle semblable à celle du triangle ABC figurant sur la perspective sont très marginaux puisqu’ils ne sont que deux.

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Item 1 – DNB 2010 : Effectuer un calcul sur des en tiers relatifs

Un item très simple qui isole le groupe 0.

Critère : le candidat doit répondre -5. (Aucune attente concernant la justification)

Commentaire : Les groupes 2, 3 et 4 réussissent très nettement cet item. Le groupe 0

échoue très nettement sur cet item. La réussite d’ensemble est très forte mais 8% d’échec et 2% de non réponses ce sont 2 ou 3 élèves par classe de troisième qui ne maîtrisent pas les opérations s ur les entiers relatifs. Analyse didactique :

Les erreurs repérées sont du type -6+5=11 ou -11. Ces erreurs révèlent une vraie difficulté qui dépasse l’étourderie et qui renvoie au concept de nombre relatif. L’existence de non réponses spécifiques au groupe 0, alors qu’il s’agit là de la toute première question de l’épreuve, montre que ces opérations sur les relatifs ne font pas sens pour certains élèves. Cela signifie également que les candidats concernés n’ont pas su s’appuyer sur la calculatrice pour effectuer ce calcul.


Nb de 1 133 4 42 58 29

Nb de 9 12 6 5 1 0

Nb de 0 3 3 0 0 0


% de 1 90% 31% 89% 98% 100%

% de 9 _8% 46% 11% 2% 0%

% de 0 2% 23% 0% 0% 0%


% de 1 exclu 92% 40% 89% 98% 100%

% de 9 exclu 8% 60% 11% 2% 0%

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Item 4 – DNB 2010 : Lire un graphique

(lecture inverse) L’inversion du sens de lecture suffit pour déstabil iser certains élèves et pour mettre en échec le groupe 0.

Critère : Le candidat doit donner une réponse appartenant à l’intervalle ]9, 9,4] sans exigence d’unité.


Nb de 1 126 6 40 51 29

Nb de 9 16 4 5 7 0

Nb de 0 6 3 2 1 0


% de 1 85% 46% 85% 86% 100%

% de 9 11% 31% 11% 12% 0%

% de 0 4% 23% 4% 2% 0%


% de 1 exclu 89% 60% 89% 88% 100%

% de 9 exclu 11% 40% 11% 12% 0%

Commentaire :

La réussite d’ensemble reste à un haut niveau mais le groupe 0 n’est plus en réussite. Analyse didactique :

Cette question porte sur le même graphique que la précédente qu’elle suit immédiatement dans le texte. C’est donc bien l’inversion du sens de lecture qui crée la difficuté mettant en échec 10% supplémentaires de candidats par rapport à la lecture dans le sens direct.

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Item 13 - DNB 2011 : lire un graphique

(lecture d’image)

Un item qui confirme la réussite habituelle des can didats sur le thème de la lecture de graphique, ceci en dépit de sa situat ion en toute fin

d’épreuve.

Critère : le candidat doit fournir le résultat correct : 250 (avec ou sans €).




Commentaire :

Les résultats indiquent une très bonne réussite s’agissant d’une question figurant dans la dernière partie du problème. Elle confirme la réussite déjà enregistrée sur un tel item en 2010 où la réussite était de 95%. Analyse didactique :

Si la réussite globale n’est cette fois que de 82% (contre 95% en 2010) l’explication de cette moindre réussite tient très certainement à la situation de cette question qui figure dans la troisième et dernière partie du problème. Le fait que le groupe 0 ne réussisse pas l’item s’explique de la même manière. Les candidats du groupe 0 qui répondent réussissent à 83%. On peut donc considérer que cette lecture d’image est bien maîtrisée par chacun des groupes, y compris le groupe 0. La non réussite de ce groupe dans le cas présent tient en effet non pas à des erreurs qui sont très rares mais à des non réponses qui s’expliquent par une démobilisation des candidats les plus fragiles sur la fin de l’épreuve.

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Item 18 – DNB 2012 : Lire un graphique cartésien

(lecture d’image)

Bien que situé en troisième partie du problème, cet item est très bien réussi confirmant encore une fois que la lecture de graphiques est un

thème qui met les élèves en réussite.

Critère : le candidat doit fournir le bon résultat.


Nb de 1 134 9 45 59 21

Nb de 9 3 2 0 1 0

Nb de 0 13 9 1 3 0


% de 1 89% 45% 98% 94% 100%

% de 9 2% 10% 0% 2% 0%

% de 0 9% 45% 2% 5% 0%


% de 1 exclu 98% 82% 100% 98% 100%

% de 9 exclu 2% 18% 0% 2% 0%

Commentaire :

Malgré une position en toute fin de sujet, cet item est très bien réussi et confirme que la lecture de graphiques est un thème qui met les élèves en réussite. Seul le groupe 0, handicapé par une proportion de non réponses importante, n’est pas en réussite. Analyse didactique :

L’élément le plus marquant est que les candidats sont allés chercher en fin de problème une question qui leur convenait, n’hésitant pas pour cela à délaisser la partie II qui précédait cette question. Un enseignement à tirer pour les enseignants lorsqu’ils bâtissent leurs évaluations : nous savions déjà que des questions élémentaires en début de problème permettent d’assurer l’entrée des élèves dans la situation choisie mais la réussite sur cet item montre que des questions bien choisies en fin de problème permettent d’éviter la démobilisation classique en fin de sujet.

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Item 19 – DNB 2012 : Interprèter un graphique

Bien que portant sur les deux dernières questions d u sujet cet item est, comme le précédent, très bien réussi. La tâche d’in terprétation n’est

pourtant pas élémentaire.

Critère : le candidat doit fournir une réponse correcte à une au moins des deux questions.

Commentaire :

Comme pour l’item précédent, seul le groupe 0, handicapé par une proportion de non réponses importante, n’est pas en réussite. Bien qu’il s’agisse des deux ultimes questions de l’épreuve, les candidats sont donc majoritairement en réussite, le groupe 3 étant même en réussite totale. Analyse didactique :

La tâche n’est pas élémentaire, il ne s’agit pas d’une simple lecture mais bien d’une interpréta-tion. La difficulté de l’item est modérée par le fait qu’il porte sur deux questions et que la réussite à une seule des deux suffit à assurer la réussite sur l’item.

Les erreurs sont peu nombreuses. Elles se rattachent à deux types : une confusion entre vitesse constante et arrêt de l’avion d’une part, des réponses confuses et inintelligibles d’autre part. Ce dernier type d’erreur étant à rattacher à un défaut de maîtrise de la capacité à communiquer.


Nb de 1 110 9 31 49 21

Nb de 9 19 2 9 6 0

Nb de 0 21 9 6 8 0 Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé

% de 1 73% 45% 67% 78% 100%

% de 9 13% 10% 20% 10% 0%

% de 0 14% 45% 13% 13% 0%


% de 1 exclu 85% 82% 78% 89% 100%

% de 9 exclu 15% 18% 23% 11% 0%

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Item 13 – DNB 2012 : Lire et exploiter un tableau d e données

Un item très bien réussi qui confirme la réussite h abituelle des candidats sur le thème de la lecture de tableaux.

Critère : Le code 1 est attribué pour un résultat correct ou un calcul cohérent (même en cas d’erreur dans l’addition ou la soustraction)


Nb de 1 137 10 44 62 21

Nb de 9 4 2 2 0 0


% de 1 91% 50% 96% 98% 100%

% de 9 3% 10% 4% 0% 0%

% de 0 6% 40% 0% 2% 0%


% de 1 exclu 97% 83% 96% 100% 100%

% de 9 exclu 3% 17% 4% 0% 0%

Commentaire :

Trois des quatre groupes réussissent parfaitement cet item. Seul le groupe 0, avec un élève sur deux seulement en réussite, est à la peine. Il s’agit davantage de non réponses que d’erreurs sans qu’on puisse incriminer la place de la question dans le sujet car la proportion de non réponses est régulièrement à ce niveau au sein du groupe 0.

Analyse didactique :

La lecture de tableaux, même si comme ici elle s’accompagne d’un traitement supplémentaire de l’information relevée, fait partie des thèmes qui permettent de mettre en réussite un maximum d’élèves. Les erreurs sont donc très peu nombreuses. Elles se limitent à quelques élèves qui ont calculé le nombre manquant en utilisant une moyenne. Ces candidats ont alors divisé l’effectif total 1113 par 6 ou par 7 selon les cas, en suivant une idée implicite d’équirépartition inappropriée dans le cas présent.

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Item 11 – DNB 2009 : Evaluer une probabilité (ques tion fermée à trois choix)

(cet item figure parmi les 6 items nationaux)

Un item peu discriminant, traité par tous les candi dats, globalement bien réussi mais présentant un fort taux résiduel d’erre ur y compris parmi les

candidats en grande réussite.

Commentaire : La réussite est bonne avec 71% pour l’ensemble et un taux

s’échelonnant de 60 à 83% selon les groupes. Les non réponses sont rares ce qui est une caractéristique habituelle des QCM sans points négatifs. L’item apparaît peu discriminant dans les pourcentages de réussite mais ce sont surtout les 17% d’erreurs qui subsistent encore dans la catégorie 3 qui apparaissent marquants. Ils mettent clairement en évidence que l’approche intuitive de la notion de probabilité reste à conso lider y compris pour une part non négligeable des élèves les plus solides en mathématiques. Analyse didactique :

Les réponses fausses indiquent toutes « Claude » c’est à dire la réponse correspondant à l’effectif de boules rouges maximal. Cette erreur, conforme au pronostic qu’on pouvait émettre a priori, consiste donc en une confusion entre effectif et fréquence.


Nb de 1 106 9 35 43 19

Nb de 9 39 5 17 13 4

Nb de 0 4 1 1 2 0

Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé % de 1 71% 60% 66% 74% 83%

% de 9 26% 33% 32% 22% 17%

% de 0 3% 7% 2% 3% 0%

Pourcentages obtenus en excluant les candidats n’ayant pas abordé la question % de 1 73% 64% 67% 77% 83%

% de 9 27% 36% 33% 23% 17%

Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac.

Le contenu des sacs est le suivant Sac d’Aline : Sac de Bernard : Sac de Claude :

5 billes rouges 10 billes rouges

et 30 billes noires

100 billes rouges

et 3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?

19

Item 2 – DNB 2012 : Raisonner sur les probabilités

Un item, en lien avec le précédent, qui est cette f ois discriminant et qui met en difficulté la moitié du groupe 0.

Critère : le candidat doit cocher la bonne réponse.

Commentaire : La réussite reste bonne, confirmant le résultat observé sur l’item

précédent mais un élève sur six produit cette fois une réponse fausse.

Analyse didactique : S’agissant d’une question à choix multiple les copies ne comportent

pas d’éléments explicatifs des stratégies des candidats. Les erreurs se répartissent à parts égales entre « Augmente » et « Reste identique » alors qu’aucun candidat ne choisit « On ne peut pas savoir ». Dans les deux cas, on peut soupçonner que le candidat ne maîtrisant pas le fond de la question s’est laissé porter par un indice de contexte : le nombre de portes augmente ce qui peut l’inciter à cocher « Augmente », le nombre de voiture à gagner ne change pas ce qui peut l’inciter à cocher « Reste identique ». Nous retiendrons que plus des trois quarts des candidats ont réussi ces deux premiers items portant sur le thème des probabilités, un thème qui apparait donc comme favorable pour une gestion positive de l’hétérogénéité dans la classe.


Nb de 1 115 10 32 54 19

Nb de 9 25 6 10 7 2


% de 1 77% 50% 70% 86% 90%

% de 9 17% 30% 22% 11% 10%

% de 0 7% 20% 9% 3% 0%


% de 1 exclu 82% 63% 76% 89% 90%

% de 9 exclu 18% 38% 24% 11% 10%

20

Item 7- DNB 2012 : Calculer l’aire d’un carré

Un item élémentaire mais dont la bonne réussite, ob tenue dès le groupe 1, constitue une amélioration sensible par rapport aux items analogues des années antérieures.

Critère : Le code 1 est attribué pour une démarche correcte consistant à calculer le carré du côté. Les erreurs de longueurs, de calcul et d’unités ne sont pas prises en compte.

Commentaire : Bien qu’élémentaire et produisant une bonne réussite d’ensemble,

l’item se révèle très discriminant. Le groupe 3 est en réussite totale mais dans le groupe 0 c’est moins d’un élève sur trois qui réussit. Comparativement aux autres items de calculs d’aires rencontrés au cours des années précédentes, qui n’étaient réussis qu’à partir des groupes 2 ou 3, la réussite des candidats apparait en progrès sensibles.

Analyse didactique : On retrouve l’erreur classique de confusion avec le périmètre (10

occurrences) ainsi qu’une erreur du type (côté)4 (4 occcurrences).

Parmi les 113 réussites observées il s’en trouve 31 pour lesquelles le résultat est donné sans unité, une quinzaine pour lesquelles le résultat est donné en cm et une où le résultat est donné en cm3. Inattention ou problème plus profond ? Cette désinvolture vis-à-vis des unités jette un doute sur la maîtrise du concept d’aire qu’ont certains des candidats en réussite sur l’item.


Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé % de 1 75% 30% 67% 87% 100% % de 9 17% 45% 22% 11% 0% % de 0 7% 25% 11% 2% 0% Pourcentages obtenus en excluant les candidats n’ayant pas abordé la question % de 1 exclu 81% 40% 76% 89% 100% % de 9 exclu 19% 60% 24% 11% 0%

21

Item 10 – DNB 2012 : Appliquer la formule de calcul du volume du cône.

Un item globalement bien réussi, à 79%, mais qui is ole totalement le groupe 0 dont l’échec manifeste tranche avec la for te réussite des trois autres groupes.

Critère : Le candidat doit substituer avec des valeurs cohérentes (√21 ou 4,1 sont acceptés pour h). Les erreurs de calcul numérique ne sont pas prises en compte mais la conduite du calcul doit être cohérente (notamment le carré doit être bien interprété).




% de 1 exclu 92% 50% 92% 95% 95%

% de 9 exclu 8% 50% 8% 5% 5%

Commentaire :

Un item analogue «Appliquer la formule de calcul du volume d’un tétraèdre » avait conduit en 2010 à une très faible réussite de 26%. Cette fois, la réussite apparait donc en progrès importants.

L’observation marquante est que dans cette bonne réussite globale de l’échantillon, le groupe 0 apparait très isolé dans un échec massif.

Analyse didactique :

Cet item apparait comme un marqueur du groupe 0. Les candidats de ce groupe sont largement en échec, 70% d’entre eux n’abordant pas la question alors que les trois autres groupes sont en grande réussite. Il semble donc que la complexité apparente de la formule les rebute.

22

3. Travail sur les 4 champs : Principe général

Le groupe académique a déterminé une échelle de performance à partir de

l’épreuve de mathématiques du DNB. Chaque professeur de mathématiques en

classe de troisième connait ses élèves et est capable de positionner chacun

d’eux dans cette échelle, notamment en s’appuyant sur les résultats d’un brevet

blanc. Une fois l’élève positionné dans l’échelle, il devient possible de lui

proposer un travail adapté à sa position dans l’échelle. C’est cette

différenciation que le fascicule suivant propose.

Les travaux proposés ici visent à aider les élèves du groupe 0 à

atteindre le groupe 1. L’échelle de performance permet de repérer les items

réussis par le groupe 1 sur lesquels il convient de faire travailler en priorité les

élèves du groupe 0 afin de rester dans leur zone proximale de développement.

Un travail sur les items des groupes supérieurs risquerait, au moins dans un

premier temps, de démotiver les élèves et les enseignants. Il est nécessaire

également de vérifier, pour chaque élève du groupe 0, la maitrise des items

réussis par le groupe 0 avant de s’engager sur ce travail concernant les items

réussis par le groupe 1.On ne se limitera pas nécessairement aux exercices

proposés qui ne sont donnés que pour indiquer les principales directions de

travail à explorer.

I - Géométrie

a) Constructions en géométrie plane

Les élèves du groupe 0 savent pour la plupart d’entre eux construire un

triangle rectangle à partir d’une figure codée. Dans cette partie, deux objectifs

sont donc visés :

- apprendre à construire un triangle à partir de ses trois longueurs ou à

partir d’une face d’un solide représenté en perspective. Il s’agit dans ce cas de

passer d’une représentation à un dessin en vraie grandeur.

- reproduire plus généralement un polygone à partir d’une figure

codée.

Exercice : Dans chaque cas, effectuer une figure à main levée puis

construire en vraie grandeur :

1) ABC triangle tel que AB = 5 cm ; A C = 7 cm et BC = 8 cm.

2) DEF triangle rectangle en E tel qu e DE = 4 cm et EF = 3 cm.

3) GHI triangle rectangle en G tel que GH = 5 cm et HI = 8 cm.

4) JKL triangle isocèle en J tel que J K = 7 cm et KL = 10 cm.

5) MNP triangle équilatéral tel que MN = 6 cm

Commentaires :

L’exercice proposé porte sur des constructions de triangles à partir de

données de longueurs et non pas sur de simples reproductions.

1) un triangle défini par 3 longueurs.

2) un triangle rectangle défini par les 2 côtés de l’angle droit.

23

3) un triangle rectangle défini par un côté de l’angle droit et

l’hypoténuse.

4) un triangle isocèle défini par 2 côtés.

5) un triangle équilatéral défini par la mesure d’un côté.

La traduction à main levée des triangles doit être codée et complétée avec les

mesures près des côtés pour qu’elle soit utile.

Analyse :

Ce travail doit être accompagné par la réalisation préalable de figures à

main levée. Cette étape est indispensable à la réussite des élèves. A cette

occasion, on pourra « dicter » la description des triangles qui seront

directement traduits au fur et à mesure sous forme de dessins à main levée par

l’élève plutôt que de donner la forme ci-dessus. Il est primordial que l’élève

perçoive cette étape de construction à main levée comme utile et l’on pourra

renforcer cet apprentissage dès lors que l’occasion se présente. L’objectif étant

que cela devienne un outil réflexe, ou en tout cas un « levier » en cas de

difficulté.

On évitera ici de définir un triangle à partir de la donnée d’un ou de

plusieurs angles, cet item n’est en effet pas réussi non plus pour le groupe 1.

Propositions de prolongement

Exercice : dicté (ou non)à réaliser par la suite à partir de la

traduction de la figure à main levée :

Construire un triangle ABC tel que AC = 7 cm,

AB = 5 cm et BC = 6 cm.

Placer les points E sur [AC] et F sur [AB] tel que

AE = BF = 2 cm.

Exercice : Reproduire la figure ci-contre sachant que ABCD e st

un carré

de 6 cm de côté .

b) Représentation de faces de solides en vraie grandeur

24

C’est un item que les élèves du groupe 0 ne maitrisent pas mais que

l’on peut proposer à l’aide d’étapes intermédiaires.

Exercice : On donne un pavé droit représenté en perspective

cavalière

tel que AD = 5 cm, DE = 3 cm et DC = 4 cm.

1°) En réalité, la face AHGB est :

Un carré

Un parallélogramme

Un rectangle

2°) Coder la figure.

3°) Représenter la face AHGB en vraie grandeur.

Commentaires :

Ce travail permet dès la première question de recentrer les élèves qui

pourraient reproduire tout le pavé au lieu d’une seule face ou qui reproduiraient

un parallélogramme au lieu du rectangle attendu. Le codage doit finir d’établir

et d’affiner les propriétés de cette figure. Il est évident que l’apport de solide

réel (morceau de sucre, …) ainsi qu’un logiciel de géométrie permettant de

faire pivoter la représentation apporteront un complément non négligeable.

Analyse :

Les élèves de ce groupe considèrent souvent qu’une propriété est vraie

si elle se voit. C’est pourquoi travailler le passage du dessin en perspective à

l’extraction d’une face dans un plan n’est pas si aisé pour certains élèves. Par

ailleurs, les règles du dessin en perspective cavalière ne sont pas toujours

maîtrisées (repérage des angles droits, des arêtes parallèles ou de même

longueur).

25

II- Nombres et calculs

c) Opération sur les entiers relatifs

Pour ce champ, l’objectif est d’amener les élèves à savoir effectuer un

calcul avec des entiers relatifs.

Exercice : Les programmes de calcul

Programme 1 :

Choisir un nombre

Ajouter - 9

Multiplier par 5

Programme 2 :

Choisir un nombre

Le multiplier par – 7

Ajouter 13

1) Applique le programme 1 aux nombres 1 puis 12 et enfin (- 4).

2) Applique le programme 2 aux nombres 1 puis 12 et enfin (- 4).

Commentaires :

Il s’agit d’appliquer un programme de calcul avec addition et

multiplication d’entiers relatifs.

L’objectif est ici de permettre à l’élève de s’entrainer en ayant des

tâches répétitives.

Analyse :

Les priorités sur les opérations ou les règles de distributivité ne se

retrouvent que dans le groupe 3.

On évitera donc de proposer des programmes de calculs contenant des

difficultés techniques ou des étapes trop nombreuses qui risqueraient de

bloquer les élèves de ce groupe.

26

Exercice :

1) Compléter les chaines logiques suivantes :

a) -5 - 8 - 11 ?

b) 4 - 12 36 ?

c) 7 -1 -9 ?

2) Pour chaque chaine, donner l’opération qui perme t de passer

d’un nombre à son suivant.

Commentaires :

Les qualités d’observation seront mises au premier plan mais on

insistera également sur la rédaction de la vérification des opérations

proposées. L’usage de la calculatrice n’est bien sûr pas incompatible.

Analyse :

L’objectif est la familiarisation dans un contexte volontairement simple

avec les calculs sur les entiers relatifs

III - Organisation et gestion de données. Fonctions

d) Lecture de tableaux et graphiques

Les élèves du groupe 0 savent lire une image dans un

graphique et repérer un extrémum dans un tableau. L’objectif est ici

de leur apprendre à lire le couple antécédent-image sur un

graphique ainsi que de savoir interpréter un graphique cartésien.

27

Exercice :

Le graphique ci-dessous indique le nombre de médail les remportées par les USA aux jeux Olympiques d’été de 1948 à 1976.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

No

mb

re

de

mé

da

ille

s

Années

Or

Argent

Bronze

a) Quel est le nombre de médailles d’argent obtenue s par les USA en 1956 ?

b) En quelle année les USA ont-ils remporté le moin s de médailles d’argent ? c) En quelle année et dans quelle catégorie (or, a rgent, bronze) les USA ont obtenu 21 médailles ? d) Quel est environ le nombre total de médailles ob tenues par les USA en 1968 ? e) Entre 1956 et 1976, de combien les USA ont-ils a ugmenté leur nombre de médailles d’argent ? f) En quelle année les USA ont-ils eu le plus de m édailles d’or ?

Commentaires :

Une aide matérielle concernant le surlignage en couleur de chacune

des courbes (afin de mieux les identifier) sera peut-être à envisager.

a) Lecture directe d’image sur un graphique.

b) Lecture d’antécédent sur un graphique.

c) Lecture et interprétation des coordonnées d’un point.

d) Lecture de trois images à partir d’un même antécédent (l’année) et

calcul d’une somme d’entiers.

e) Calcul de la différence de deux images à partir de deux abscisses

différentes.

f) Repérer un extremum sur un graphique.

Analyse :

Le support ne présente pas de difficulté particulière malgré la

cohabitation de trois courbes dans un même repère. Il doit permettre aux

élèves de prélever les informations nécessaires. Aucune difficulté particulière

non plus quant au calcul de la somme. Ils savent déjà repérer un extremum

dans un tableau et, dans ce cas, on attend qu’ils soient capables de le repérer

à partir d’un graphique.

28

Exercice: LES PETITS CHIENS-LOUPS

(Extrait de Evaluation Nationale 5 ème 2012)

Adrien a deux chiens loups, un mâle et une femelle, qui ont

maintenant 15 mois.

Depuis qu’ils sont nés, Adrien a relevé tous les mo is leur masse et

a fait ce graphique :

Quel âge ont les chiens lorsque leurs masses ont 6 kg d’écart ?

Laissez apparents tous vos tracés sur le graphique .

Commentaires :

Lecture autonome puis exploitation et interprétation des données du

graphique.

On pourra proposer une tâche intermédiaire qui consisterait déjà à repérer en

pointillés la masse d’un chien-loup mâle de 5 mois et d’un chien-loup femelle

au même âge.

Analyse :

La difficulté consiste non seulement à lire les coordonnées mais surtout

à repérer une différence entre deux images ayant la même abscisse.

29

Exercice :

Dans le tableau ci-dessus, on a relevé les températ ures de villes en

Alaska le mercredi 5 décembre 2012 :

1) Dans quelle ville la température est-elle la plu s basse ?

2) Dans quelle ville la température est-elle la plu s élevée?

3) Quel est la différence de température entre la v ille de Birchwood et

la ville de Cordova ?

4) L’affirmation suivante :

« Il y a un écart de plus de trente degrés entre Fa irbanks et Gustavus

» est-elle vraie ?

5) Ce même jour à Orléans, la température est telle que si on l’ajoute à

celle de Cold Bay on obtient zéro. Quelle est alors la température à

Orléans ?

Vill

e

Ann

ette

Isla

nd

Birc

hwoo

d

Chi

gnik

Col

d B

ay

Cor

dova

Fai

rban

ks

Gus

tavu

s

Ken

ai

Sitk

a

Tem

p

(°C) 2 -23 -10 -7 -17 -31 -13 -26 3

Commentaires :

Le choix des valeurs de ce tableau a été dicté par la volonté d’avoir une

approche du calcul sur les nombres relatifs en leur donnant du sens.

1) 2) Recherche d’extremum dans un tableau.

3) Recherche d’informations à partir d’un tableau et calcul de la

différence de deux entiers relatifs.

4) Validité d’un énoncé à vérifier par calculs avec des entiers relatifs.

5) Notion et définition de l’opposé d’un entier relatif.

Analyse :

En travaillant les écarts de températures, on donne du sens aux calculs

sur les relatifs dans un contexte particulier, qu’il restera à étendre par la suite.

De plus, les valeurs ne sont pas ordonnées ce qui pourra être envisagé lors

d’un prolongement de cet exercice.

30

e) Notions élémentaires de statistiques et probabilités

Exercice : La fête foraine. (Extrait Antilles, Guyane du bre vet juin

2009)

Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tire r au hasard un

billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets.

- 4 de ces billets permettent de ga gner un lecteur MP3 ;

- 12 permettent de gagner une gross e peluche ;

- 36 permettent de gagner une petite peluche ;

- 68 permettent de gagner des porte -clés ;

- Les autres billets sont des bille ts perdants.

Quelle est la probabilité pour un participant :

1) De gagner un lecteur MP3 ?

2) De gagner une peluche (grande ou petite) ?

3) De ne rien gagner ?

Le forain décide de rajouter 20 billets perdants.

4) La probabilité pour que le participant ne gagn e rien avec son

billet :

a) augmente b) diminue c) reste la même

Commentaires :

1) Recherche du nombre de billets « MP3 » gagnants à comparer

avec le nombre total de billets mis en jeu.

2) Déterminer le nombre total de billets « peluches grosses et

petites » réunies, à comparer avec le nombre total de billets mis en

jeu.

3) Recherche du nombre total de billets perdants avant la

détermination de la probabilité.

4) Raisonner sur les probabilités.

Analyse :

La situation de ce problème se situe dans un domaine concret. Les

valeurs numériques simples permettent une meilleure représentation et

compréhension. Les réponses attendues sous forme de fractions sont à la

portée du groupe 1 selon l’échelle CEDRE.

31

IV - Grandeurs et mesures :

f) Aborder longueurs-aires-volumes (concepts,

dénombrement d’unités, comparaison, estimation,

découpage-recollement…)

L’objectif est de permettre aux élèves d’aborder des problèmes de

longueurs, d’aires de volumes (concept, dénombrement, comparaison,

estimation, découpage, recollement).

Exercice : Le jardinier

(Extrait de la banque de situations d’apprentissag e et d’évaluation

compétence 3 EDUSCOL)

Sur une feuille de papier quadrillé, les plates-ba ndes sont

représentées par les schémas suivants :

Au début du printemps, un jardinier doit entretenir quatre plates-bandes : il doit les clôturer par un grillage et y semer du gazon. Dans sa remise, il lui reste 32 mètres de grillage et un sac de graines de gazon permettant d’ensemencer une surfac e de 50 m 2. Il se demande si cela suffit pour entretenir au moi ns l’une des plates-bandes. Tu dois aider le jardinier à prendre une décision. Pour cela, tu rédigeras un texte court présentant ta démarche et tes arguments.

Commentaires :

Ce travail permet aux élèves de confronter les notions d’aires et de périmètres au sein d’une même situation. Le choix du support quadrillé est à conserver afin de permettre aux élèves de se repérer en côtés de carrés pour les longueurs ou en carrés pour les aires au lieu des unités cm ou cm²…

Analyse :

L’utilisation de « formules » pour le calcul du périmètre ou de l’aire n’est pas attendue, au contraire la confrontation et la mise en commun des différentes procédures sera l’occasion de donner du sens et de revoir les différentes méthodes de pavage, découpage-recollement, comparaison (plate-bande B et D)…

32

Exercice : Extrait de devoir en temps libre (site académique

Orléans-Tours)

Partie A :

On donne les pièces suivantes.

En effectuant les mesures nécessaires, calculer le périmètre et l’aire de chacune de ces figures.

Partie B :

Construire ces 7 pièces, les coller sur la copie po ur reproduire le chat. Calculer l’aire et le périmètre du chat. Expliquer les réponses.

Commentaires :

Les objectifs sont multiples : identifier les figures, mesurer les

longueurs, différencier aire et périmètre, réactiver les calculs de périmètres et

d’aires, construire et reproduire des figures, et enfin utiliser les pavages.

Un prolongement possible de cette activité avec ces mêmes pièces,

consiste à rechercher une figure qui a le plus grand périmètre possible.

Pour construire ce chat, on a utilisé :

• 3 pièces A • 2 pièces B • 1 pièce C • 1 pièce D

ATTENTION, sur le chat les pièces ne sont pas à l’échelle.

33

Analyse :

Pour les périmètres, l’utilisation de formules n’est pas attendu. La

somme des périmètres des pièces n’est pas égale au périmètre du puzzle, c’est

donc au concept de périmètre qu’il faut se raccrocher et pas aux formules dans

ce cas. On peut utiliser des formules pour le périmètre de chacune des pièces

mais cela ne constitue pas une obligation.

Pour les aires, le recours aux formules est attendu pour chaque pièce.

Le calcul de l’aire du chat se fait par additivité des aires, contrairement au

périmètre !

Exercice : 1) Combien de cubes contient cette boite ?

2) Ecrire un calcul en une seule expression permetta nt de trouver le nombre de cubes contenus dans cette boite ?

3) Trouver le nombre de cubes représentés dans ces deux pavés ?

34

4) Déterminer le nombre de cubes de 1 cm d’arête que peut contenir ce pavé ?

« Le volume de ce pavé est de 60 3cm ». Cette affirmation est-elle vraie ? Pourquoi ?

5) Combien de cubes de 1 cm d’arête peut-on mettre dans un parallélépipède rectangle de dimension 12 cm, 7 cm et 8 cm ? Quel est alors l e volume de ce pavé ?

Commentaires :

1) Dénombrement des cubes constitutifs d’un pavé représenté en perspective.

2) Tâche qui permet une consolidation des savoirs et une optimisation de la méthode.

3) Dénombrement de cubes constitutifs de solides représentés en perspective.

4) Calcul du volume d’un pavé représenté en perspective sans avoir un pavage complet à partir du dénombrement des « cubes »

5) Sans aide visuelle, calcul du volume d’un parallélépipède rectangle.

Analyse :

Au début, la difficulté réside essentiellement dans la perception des

« étages complets » et identiques alors que l’on ne voit que trois faces sur les

six. Contrairement à ce qu’il pouvait faire dans le plan, l’élève ne peut se

contenter de compter ce qu’il voit mais doit aussi prendre en compte ce qui est

caché. Par la suite, la mise en place de « formules » sera confrontée à des

pavés « incomplets ». Enfin, pour traiter les dernières questions, le pavage de

la face du dessous sera envisagé pour faciliter la transition entre le

dénombrement des cubes et l’opération se ramenant au produit de la longueur

par la largeur et la hauteur.

Sommaire 1) Vérification de la maîtrise des items...

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