Solides, Liquides et Gaz - UNIGE

Solides, Liquides et Gaz

Un de nos sujets d’interet est la mati ere.

Nous entamons l’exploration des proprietes mecaniques, thermiques,electriques, magnetiques et optiques de la matiere.

– Nous commencerons par un apercu du paysage atomique (sur lequel nousreviendrons en fin de cours)

– Ensuite nous explorerons les differents etats de la matiere

les liquides et gaz, appeles “Fluides”

les solides

Universite de Geneve 9 -1 C. Leluc

Atomes et mati ere

On connait aujourd’hui ∼110 materiaux de base, appeles elements (oxygene,fer, hydrogene...).

Un echantillon d’un element donne est compose d’entites identiques sub-microscopiques, appellees atomes , chacun etant le plus petit echantillonrepresentatif de l’element.

Lorsque les elements differents se combinent, on obtient des corps composes.L’entite fondamentale d’un corps compose, c-a-d celle qui a les proprietes chi-miques du compose, est une mol ecule , elle-meme composee d’atomes (p.eNaCl, H2O). Certains gaz comme l’Helium (He) et l’Argon (Ar) sont mono-atomiques (leurs molecules sont des atomes individuels), tandis que l’oxygeneet l’azote sont diatomiques (O2, N2).


Le Nombre d’Avogadro

– La masse des atomes et des molecules s’exprime souvent en unite demasse atomique uma ou u. Par definition on attribue tres precisement a unatome neutre de 12

6 C6, la masse 12u. Par rapport au gramme :

1 uma = 1, 6605387 × 10−24g

Pour un atome :11H : 1, 007825 u, 168 O8 : 15, 994915 u.

Pour une molecule : masse mol eculaire est la somme des masses desatomes constituant la molecule (p.e CO2 = 12 + 2 × 15, 994915u ∼ 44u).

– Une mole est la quantite de substance dont la masse en grammes estnum eriquement egale a la masse moleculaire exprimee en uma.1 mole C pese 12 g = 12 u × nb d′atomes1 mole CO2 pese 44 g = 44 u × nb de moleculesUne mole de CO2 contient donc le meme nombre de molecules qu’une molede C ou qu’une mole de n’importe quelle autre substanceNA = 6, 022 × 1023 molecules.mole−1 le nombre d′AvogadroDe facon plus generale, meme si les particules d’une substance sont desions ou des atomes plutot que des molecules, ou meme un melange dedifferentes particules, une mole contient toujours NA particules.


Masse volumique et Densit e

– la masse volumique en kilogramme/m3

ρ =m

V

1 g/cm3 =1 × 10−3 kg

(1 × 10−2 m)3= 103 kg/m3

– densiteLa densite represente le rapport entre lamasse volumique d’une substance a cellede l’eau a 4◦C. Il s’agit d’une valeur ab-solue, sans dimension, ni unite. Commeρeau = 1, 00g/cm3, la densite de n’im-porte quelle substance equivaut a l’expres-sion numerique de sa masse volumiqueen g/cm3. Ainsi la densite du mercure est13600/1000 =13,6, soit 1 cm3 a une massede 13,6 g.

Materiau ρ (kg/m3)Air 0◦/1 atm 1,29Air 20◦/1 atm 1,21Air 0◦/50 atm 6,5CO2 0◦/1 atm 1,98Helium 0◦/1 atm 0,179Eau(vapeur) 0,598Eau 4◦/1 atm 1000Eau 4◦/50 atm 1002Eau de mer 1025Mercure 13600Alcool 790Sang 1050Aluminium 2700Plomb 11300Or 19300Terre(noyau) 9500Soleil(au centre) 1,6 ×105

Noyau atomique 1017


Exemple : Masse de l’or

Soit une sphere pleine en or (masse atomique =197) de diametre 10cm. Lamasse volumique de l’or est 19, 3 × 103 kg/m3.– Determiner sa masse ? ?

Son volume

V = 4/3πR3 = (4/3) 3, 1416 (0, 05 m)3 = 0, 524 × 10−3m3

Avec la masse volumique ρ, on trouve :

m = ρ V = (19, 3 × 103kg/m3)(0, 524 × 10−3m3) = 10, 1kg = 10100g

– Combien d’atomes contient-elle ? ?1 mole d’or a une masse de 197 g. Cette sphere est donc l’equivalentde :10100/197 = 51,27 mol. Ainsi

N = NA × 51, 27 = (6, 022 × 1023atomes/mol) × (51, 27 mol)N = 3, 1 × 1025atomes


Taille des atomesL’atome est un ensemble de particules enmouvement et en interaction. C’est un ob-jet electriquement neutre. Chaque atomeconsiste en un noyau tres petit et tres denseentoure par un nuage d’electrons. Le noyau,dont le diametre est entre 104 et 105 foisplus petit que celui de l’atome, est une boulede protons charges positivement et neutronsneutres qui se deplacent rapidement, lies parla force nucleaire.

Estimation de la taille des atomes dans un solide/liquide en negligeant l’espacevide entre eux et en supposant qu’ils “remplissent” tout le volume du corps(ceci est une approximation). Supposons que chaque atome soit un petit cubede volume L3, la masse volumique d’une mole de masse, Mm, est :

ρ =Mm

V=

Mm

NAL3L =

Mm

NAρ

1/3

p.e la taille d’une molecule d’eau vaut :

L =

18 g

(6.022 × 1023atomes/mole)(1.0 g/cm3)

1/3

= 3 × 10−8cm = 0.3 nm


Etats de la mati ere

Toute substance peut en principe exister dans quatre etats physiques dis-tincts : solide, liquide, gaz ou plasma . C’est la balance entre l’energie decohesion et l’energie thermique qui determine l’etat du systeme.– solide : conserve sa forme et son volume.– liquide : coule, prend la forme du recipient dans lequel il est place, mais

conserve un volume constant (si incompressible)– gaz : coule, se disperse prenant la forme et occupant tout le volume du

recipient– plasma : melange d’atomes, ions et electrons

La liaison chimique est un concept indispensable pour expliquer la cohesion dela matiere et elle joue un role fondamental dans les proprietes des materiaux.Les forces de liaison sont essentiellement de nature electrostatique. On dis-tingue :– les liaisons fortes , energie de liaison 50-500 kJ.mole−1 : liaison

metallique, liaison ionique et liaison covalente.– Les liaisons faibles , energie de liaison inferieure a 50 kJ.mole−1 : liaison

hydrogene et liaison de Van de Waals.Universite de Geneve 9 -7 C. Leluc

Les solides

Les atomes d’un solide metallique (Fer) se disposent dans une structureordonnee a trois dimensions, qui se repete un tres grand nombre de foisdans chaque direction : un solide cristallin (mineraux, tous les metaux etsels). Les atomes d’un solide sont en mouvement, mais ce ne sont quede petits mouvements vibratoires au voisinage de leur position d’equilibre.

Si une substance est composee d’atomes qui ne sontpas disposes d’une facon ordonnee et repetitive, lesolide est amorphe (caoutchouc, resine, plastiqueset divers materiaux vitreux.)

Si les atomes sont disposes dans une configurationordonnee a trois dimensions mais qui ne se repetepas avec une periodicite reguliere, le solide estquasi-cristallin (forme de matiere decouverte en1983).

Les solides composites tels que le bois, les fibres deverre, l’os et les vaisseaux sanguins sont composesde plusieurs materiaux differents lies ensemble.


Les gazL’alchimiste van Helmont (∼ 1620) a transpose le mot grec chaos en flamant,obtenant le mot gaz, qui est effectivement un sacre chaos.

– Chaque cm2 de peau recoit un flux de 3 × 1023 molecules d’air par secondepuisant leur energie du rayonnement solaire.

– La masse volumique,ρ, de l’air est seulement 1/800 de celle de l’eau.– Dans CNTP, il y a ∼ 3× 1019 molecules d’air par cm3. La distance moyenne

entre ces molecules est 3 nm soit 10 fois la taille de la molecule.– La vitesse moyenne, sans vent, 450m/s (1620 km/h), mais chaque molecule

ne parcourt que 8 × 10−8m avant d’entrer en collision.

Gaz PourcentageAzote 78,08

Oxygene 20,95Argon 0,9CO2 0,03Neon 0,002Ozone 0,000007

Les gaz ont des proprietes variees :N2, O2, He, CO2 : transparentsCl : jaune, Br : brun-orangeRa : radioactif et dangereux, CO : mortelH2 : explose, CO2 : eteintO3 : odeur metallique , H2S : oeuf pourri

La gravite agit a grande echelle pour confiner un gaz : contraction d’un nuagegazeux interstellaire pour former une etoile, retient l’atmosphere terrestre.Universite de Geneve 9 -9 C. Leluc

Les liquides

L’eau et le p etrole sont les seuls liquides existant en grande quantite dans lanature. En fait beaucoup de liquides familiers, comme le sang, le vin, les jusde fruits sont surtout de l’eau.

Le liquide est un etat intermediaire entre la violence aleatoire du gaz et lecalme relatif du solide : il faut trouver le bon equilibre entre l’energie thermiqueet l’energie de liaison.

L’aptitude a s’ecouler, qui est la propriete caracteristique des liquides, varieavec la force de cohesion qui est differente pour chaque substance (acetone,eau, huiles, goudron). La viscosit e est la resistance interne ou le frottementqui s’oppose au mouvement d’un objet immerge dans un liquide.

Nous allons regrouper l’etude des liquides et gaz, car tous deux sont des sub-stances qui peuvent s’ecouler, qui se conforment aux limites donnees par lerecipient. On les regroupe sous le terme de FLUIDES.L’application des principes de la mecanique newtonienne aux fluides permetde decrire les phenomenes regissant leur comportement. Nous traiteronsd’abord les Fluides parfaits , c-a-d incompressibles et non-visqueux (l’eaupeut etre consideree comme un tel liquide), puis les fluides visqueux .


Transformations d’un etat dans un autre

– Lorsqu’on chauffe un solide (p.e la glace), ses molecules recoiventde l’energie cinetique sous forme d’un mouvement vibratoire additionneldesordonne : elles oscillent plus vigoureusement autour de leur positiond’equilibre. Si l’energie recue est suffisante pour surmonter les forces in-termoleculaires, le solide fond .

– A l’ etat liquide , de petits groupements de molecules associees persistent,mais ils se font et se defont au gre des deplacements de l’echantillon. Il ya de l’ordre, mais il est local et changeant. Il subsiste un tissu de forces decohesion intermoleculaires de portee assez longue ; mais les molecules ontassez d’energie pour se mouvoir aisement malgre cette force. Elles restentrelativement proches l’une de l’autre et interagissent sensiblement ; mais laliaison puissante et rigide du solide a disparu.

– En elevant la temp erature , le liquide se rapproche de son point d’ebullition ;les liens entre des molecules finissent par ceder. L’energie cinetique ther-mique aleatoire de certaines molecules depasse l’energie potentielle decohesion ; elles s’echappent alors en groupe du liquide. Les agregats locauxse desintegrent et le liquide s’evapore ; il devient un gaz.


Pression hydrostatique

Au lieu de forces ponctuelles, nous considerons maintenant des forces quiagissent sur une surface etendue. Si une force est repartie sur une surface etagit normalement a cette surface, la pression ,P , est definie comme le quo-tient de la force par cette surface :

P =F⊥

A

C’est un scalaire : en tout point elle a une valeur, mais pas une direction. Ps’exprime en N/m2 ou pascal (Pa) : 1 N/m2 =1 Pa.Considerons un recipient contenant un liquide :

– Le fluide exerce une force de pression vers l’exterieursur la base et les parois laterales du recipient et celles-ci reagissent avec une contre-force.

– Un fluide exerce une pression dans toutes les directions.En un point precis d’un fluide au repos, la pression estla meme dans toutes les directions.

– La force F exerc ee par un fluide au repos sur toutesurface rigide est toujours perpendiculaire a cettesurface : le fluide n’a aucune rigidite et ne peut subir ouexercer aucune contrainte de cisaillement.


Pesanteur et Pression hydrostatique

La pesanteur est la cause de la pression hydrostatique.Soit un reservoir ouvert et contenant un timbre-poste d’aire A immerge dans le liquide a une pro-fondeur h, parallellement a la surface du liquide.La face superieure du timbre est soumise, de lapart du liquide, a une force normale vers le basegale au poids de la colonne de fluide au-dessusdu timbre.Volume : V = A hmasse : m = ρ A hPoids : FW = m g = ρ A h gPression :

P =FW

A=

ρA h g

A= ρ h g

EXEMPLE : La pression subit par un nageur a 20m sous l’eau sera :

P = ρgh = (1, 025 × 103kg/m3)(9, 81m/s2)(20m) = 2, 0 × 105N

ce qui est environ la pression d’un pneu automobile.


Variation de la pression avec la profondeurA l’interieur du liquide, a une hauteur y au-dessus du fond, on delimite unminuscule volume plat dont l’aire est A, de masse dm et l’epaisseur dy. Pest la pression sur la surface inferieure et P + dP celle qui agit vers le bassur la face superieure. La pression du fluide sur la plaque exerce une forceegale a P A vers le haut et a (P+dP)A vers le bas. La seule autre force qui agitsur ce volume est la force de gravitation, dw,

dw = (dm)g = (ρdV ) g = (ρAdy) g = ρgA dy

Le volume choisi est en equilibre, Σ ~F = 0 :

PA − (P + dP ) A − ρg A dy = 0

dP

dy= −ρg

Si ρ est constant (liquide) :

dP = −ρgdy∫ P2P1

dP = −∫ y2y1

ρgdy

P2 − P1 = − ρg∫ y2y1

dy = − ρg (y2 − y1)

P1 = P2 + ρ g hUniversite de Geneve 9 -14 C. Leluc

Cas de la pression atmosph erique : ρ n’est pas constantOn veut determiner la variation de pression de l’atmosphere terrestre en fonc-tion de la hauteur y au-dessus du niveau de la mer, en supposant que gdemeure constant et que la masse volumique de l’air est proportionelle a lapression, soit

ρ

ρo

=P

Po

ou les quantites avec index o sont au niveau de la mer. Repartons de l’equationprecedente :

dP

dy= −ρg

Ici cela donne :dP

dy= −P (

ρo

Po

) gdP

P= −(

ρo

Po

) g dy

∫ PPo

dP

P= −(

ρo

Po

) g∫ yo dy ln

P

Po

= −(ρo

Po

) g y

P = Po e−(ρog/Po)y


Cas de la pression atmosph erique : EXEMPLEA quelle hauteur la pression de l’air equivaut-elle a la moitie de sa valeur auniveau de la mer ? On prend les valeurs suivantes : la pression au niveau dela mer,Po = 1, 013 × 105 N/m2, la masse volumique de l’air au niveau de lamer, ρo = 1, 29 kg/m3, et g = 9, 81 m/s2

SOLUTION :

P = Po e−(ρog/Po)y

D’apres les valeurs de l’enonce, la quantite ρog/Po vaut :

ρog

Po

=(1, 29 kg/m3)(9, 81 m/s2)

1, 013 × 105 N/m2 = 1, 25 × 10−4m−1

On cherche la valeur de la hauteur y pour laquelle P = Po/2. Ainsi

P = Po/2 = Po e−(ρog/Po)y

1/2 = e−(1,25×10−4 m−1)y

y = (ln 2, 00)/(1, 25 × 10−4 m−1) = 5500 m

Il faut monter a 5500m pour avoir une pression atmospherique diminuee demoitie.Universite de Geneve 9 -16 C. Leluc

Pression dans un r ecipient

Pour un fluide, nous avons trouve :P1 = P2 + ρ g hAinsi si la surface du liquide est soumisea une pression exterieure, celle-ci doit etreajoutee a la pression, ρgh. Si P2 designe lapression atmospherique Patm

P1 = ρgh + Patm Pression absolue

P1 − Patm = ρ g h Pression de jauge

ou manometrique

La pression est la m eme en tous les pointssitu es a un m eme niveau horizontal d’unmeme fluide au repos :

PA = PB = PC = Patm + ρg h

PD 6= PA 6= PE


Pression atmosph erique, le barom etreLa pression de l’air produit une force normale a la surface libre du mercurede la cuve et le pousse a l’interieur du tube jusqu’a une hauteur telle que lapression excercee par le mercure du tube sur celui de la cuve est egale a cellede l’atmosphere. “ Nous vivons immerges au fond d’un ocean d’air (Toricelli)”

PB = PA + ρ gh = 0 + ρgh = PC = Patm

1 atmosphere est definie comme la pressionequivalente a celle que produit a 0◦C une co-lonne de 760 mm de mercure de masse volu-mique 13.5950 × 103 kg/m3.

1atm = ρgh

= (13, 595 × 103kg/m3)(9, 80665m/s2)(0, 76m)

= 1, 01324 × 105 Pa

Comme la vapeur d’eau est moins dense que l’air (ρvap = 0, 598kg/m3), l’airhumide exerce une pression plus basse que l’air sec. La baisse du barametreannonce en general de la pluie.Universite de Geneve 9 -18 C. Leluc

Conversion des unit es de pression

Par definition 1 bar = 1, 0 × 105 Pa, donc

l’ equivalent de 1 atmosph ere1, 013 × 105 Pa

760 mm Hg1,013 bar = 1013 millibars = 1013 hectopascals

La source Pression (Pa)Soleil, en son centre 2×1016

Terre, en son centre 4×1011

Ocean, au point le plus profond 1,1×108

Atmosphere, de Venus 90×105

Terre 1,0×105

Mars ∼ 7 × 102

Air, au sommet du Mont Everest 30×103

Air, altitude d’un avion(11km) 23×103

Pression de radiation solaire sur Terre 5×10−6

Ultravide en laboratoire 10−12


Appareil de mesure : Manom etre

Un manometre mesure une difference de pression entre la pression re-cherchee et la pression atmospherique : pression de jauge/manometrique.

PA = PB = ρgh + Patm

PB − Patm = ρgh

PB − Patm : Pression de jaugePB : Pression absolue

Si la pression du sang dans une veine,Pv, vaut ∼ 2kPa = 15 mm Hg, lapoche doit etre placee a h ≥ Pv

ρg∼

20 cm au-dessus de l’aiguille pour quele fluide de perfusion coule dans laveine. ρ est la masse volumique dufluide injecte.


Circulation sanguine

Mesure de la pression sanguinepar catheterisation

Psang = Patm + ρgh − ρsgh′

Tension arterielle : mercureTension veineuse, plus basse :solution de sel

Role de la gravitation dans la circulationsanguine

Pour hc = 1, 3 m,

Pp − Pc = ρghc = (1, 0595 × 103kg/m3)

(9, 81m/s2)(1, 3m) = 13, 5kPa

Mais le sang circule, il aurait fallu utiliserl’equation de Bernoulli, mais comme lesvitesses de circulation sanguine sont pe-tites et ∼ egales, on retombe sur la memeequation.


La pression : Exemple

Un buveur aspire de l’eau grace a une paille. Sa bouche est a 15cm au-dessus de la surface du liquide. (a) Quelle doit etre la pression absolue danssa bouche, Ps ? et (b) la pression manometrique, PM ?SOLUTION : (a) La colonne d’eau doit avoir une hauteur de 0,15m au-dessusde la surface libre de l’eau ou la pression est Patm. Il faut donc creer dansla bouche une pression, Ps telle que Ps + la pression de la colonne d’eau de15cm de hauteur soit egale a la pression atmospherique Patm.

Ps + ρ g h = Patm

Ps = Patm − ρgh = 1, 013 × 105Pa − (1, 00 × 103kg/m3)(9, 81m/s2)(0, 15m)

= 0, 998 × 105Pa

C’est 98,5% de la pression atmospherique.(b) La pression manometrique, PM , vaut :

PM = Ps − Patm = −1, 53 × 103Pa


Principe de Pascal

Une pression externe appliquee a un fluide confine a l’interieur d’un recipientferme est transmise integralement a travers tout le fluide.

La seringue de Pascal Pulv erisateur a erosol

La pression appliquee esttransmise uniformementen tous points du liquide.

Un gaz sous pression (propulseur)pousse vers le bas sur la surface duliquide a pulveriser.


Principe de PascalUne meme pression peut etre pro-duite au sein d’un liquide par despistons de sections differentes quiexercent des forces qui different enproportion.

Machines hydrauliquesDeux enceintes communicantes(meme fluide) sont munies de 2pistons de differentes sections. Lapression generee par l’un des pis-tons est transmise integralement al’autre :

Pi = Po

Fi

Ai

=Fo

Ao

Fo = Fi

Ao

Ai

C’est un multiplicateur de forceet non un multiplicateur de tra-vail comme toutes les machines.Il y a conservation d’energiemecanique : le travail de Fi estegal au travail de Fo.


Pouss ee d’Archim edeUn objet immerge dans un fluide parait plus leger : il est pousse vers le hautavec une force egale au poids du fluide qu’il deplace.

La poussee d’Archimede est causee par la pesanteur agissant sur le fluide.Elle a son origine dans la difference de pression entre la partie superieure etla partie inferieure de l’objet immerge. Considerons un cube plein, dont lesfaces ont une surface A, immerge dans un liquide de masse volumique ρo.

Pression manometrique inferieure : Pb = ρo ghb

Pression manometrique superieure : Pt = ρo ght

Difference de pression :∆P = ρo g (hb − ht) = ρo g hest a l’origine de la poussee d’Archimede, soit :FA = A ∆P = ρo g A hOr, A h = V est le volume du corps, egal aussiau volume du fluide deplace, si le corps est totale-ment immerge. Comme la masse du fluide deplaceest mo = ρo V , on peut ecrire :

FA = ρo g V = mo gLa pouss ee d’Archim ede est egale au poids du liquide d eplac e


Pouss ee d’Archim ede : exemple

Submergee dans l’eau, une couronne de 14,7 kg a un poids apparent de 13,4kg. Est-elle en or pur ?SOLUTION : le poids apparent de l’objet submerge, F ′

W , equivaut a sonpoids reel,FW , moins la poussee d’Archimede, FA, vers le haut, soit :

F ′W = FW − FA = ρ g V − ρo g V

ou ρ, ρo sont les masses volumiques de l’objet et del’eau respectivement. On peut donc ecrire :

FW

FW − F ′W

=ρgV

ρo gV=

ρ

ρo

La quantite FW/(FW − F ′W ) represente la densite de

l’objet. Pour la couronne on obtient :

ρ

ρo

=FW

FW − F ′W

=14, 7kg

1, 3kg= 11, 3

ce qui correspond a une masse volumique de11300kg/m3. Cet objet semble etre en plomb.


Pouss ee d’Archim ede : exemple du ballon

Un ballon meteorologique a une masse de 5,00 kg lorsqu’il est vide et un rayonde 2,879 m quand il est entierement gonfle a l’helium. Il porte une petite charged’instruments de masse 10,0 kg. Sachant que l’air et l’helium ont respective-ment des masses volumiques de 1,16 kg/m3 et 0,160 kg/m3, le ballon peut-ildecoller ?SOLUTION : Pour que le ballon puisse decoller, il faut que la poussee d’Ar-chimede soit plus grande que le poids du ballon.Ici la poussee d’Archimede est egale au poids de l’air deplace, soit le poids del’air qui occupe le volume du ballon spherique, soit :

FA = ρairV g = (1, 16kg/m3)((4/3)πR3)(9, 81m/s2) = 1, 14 × 103N

En comparaison, le poids de l’helium est :

ρHeV g = (0, 16kg/m3)((4/3)πR3)(9, 81m/s2) = 156, 9N

Ainsi le poids total de l’helium, du ballon et de la charge est :

FW = (15, 0kg)(9, 81m/s2) + 156, 9N = 304N

Ainsi la poussee d’Archimede depasse largement le poids total et le ballondecollera rapidement. Mais jusqu’a quelle hauteur ? ? ?


Flottabilit e

Si un objet pese plus que le volume total de liquide qu’il deplace, il coule.Si un objet pese moins que le volume total de liquide qu’il deplace, il s’enfoncepartiellement jusqu’a ce que la poussee d’Archimede equilibre son poids, ilflotte.

Si une portion Vim de son volume est immergee dansun liquide de masse volumique ρo, la poussee d’Ar-chimede vaut ρogVim. Cette force doit etre egale etopposee au poids ρgV de l’objet, soit

ρgV = ρogVim

ρ

ρo

=Vim

V

Le rapport des masses volumiques est egal a la fraction du volume immerge.Si le poids de l’objet est exactement egal au poids du fluide qu’il peut deplacer,le corps ne peut ni couler ni flotter partiellement : il est totalement immerge enequilibre metastable, n’importe ou au-dessous de la surface du liquide.La densite de l’eau riche en sel de la Mer Morte est beaucoup plus grandeque celle de l’eau pure. Par consequent, on flotte avec une bonne partie deson corps hors de l’eau.


Flottabilit e : IcebergOn parle souvent de la partie visible de l’iceberg sous-entendant que la plusgrande partie de l’iceberg est cachee sous l’eau. Quelle est la fraction visible ?SOLUTION : Le poids d’un iceberg de volume V est :

FP = ρ V g

ou ρ = 917kg/m3, masse volumique de la glace. Le poids de l’eau deplaceeest :

FA = ρo Vim g

ou ρo = 1025kg/m3, masse volumique de l’eau de mer et Vim le volume del’eau deplacee, i.e le volume immerge de l’iceberg. Pour que l’iceberg flotte, ilfaut que

ρ V g = ρo Vim g

Si bien que la fraction visible, fvis, de l’iceberg vaut :

fvis =V − Vim

V= 1 −

Vim

V= 1 −

ρ

ρo

= 1 −917kg/m3

1025kg/m3 = 0, 1 ou 10%


Tension superficielle : γ

C’est un phenomene qui a lieu a la surface de separation entre liquide et gaz.Une molecule, au sein d’un liquide, est soumise, par ses voisines, a des forcesintermoleculaires (forces de Van der Waals). Ces forces sont symetriques ets’equilibrent mutuellement. Il n’en est pas de meme pour une molecule ensurface qui est sollicitee de facon dissymetrique, la resultante des forces etantdirigee vers le liquide. Donc pour accroıtre l’aire de la surface d’un liquide, ilfaut exercer une force et effectuer un travail afin d’amener les molecules del’interieur a la surface. Ce travail augmente l’energie potentielle des moleculesen surface, appelee energie superficielle.Plus l’aire est grande, plus l’energie superfi-cielle prend une valeur considerable. La den-site d’energie superficielle, γ, peut etre definiepar :

γ = ∆ε/∆A

exprimee en Joules/m2 ou Newton/m. ∆ε estl’energie correspondant a la surface ∆A. γs’appelle aussi une tension superficielle , cequ’on justifie de la facon suivante :


Tension superficielle γ

Considerons un cadre ABCD, sur lequel coulisse une tringle EF. Une pelliculede liquide est tendue sur la surface EBCF. L’energie superficielle vaut :ε = γ 2A = γ 2 x l (la pellicule a 2 faces, d’ou le facteur 2).

Substance γ (N/m) (◦C)Eau-Air 0,076 0Eau-Air 0,059 100Sang-Air 0,058 37Mercure-Air 0,465 20Glycerine-Air 0,063 20

On tire la tringle avec une force F , on effectueun travail W = ∆x F et l’energie superficielledevient ε′ = γ 2A′ = γ 2 (x + ∆x) l.La difference (ε′ − ε) est egale au travail W :

(ε′ − ε) = γ 2 ∆x l = ∆x F d’ou γ =F

2l

exprime en Newton/m. On a bien la dimensiond’une force divisee par une longueur.La tension est dirigee tangentiellement a la sur-face du liquide. Tout se passe comme si leliquide etait surmonte d’une pellicule tendue.Par exemple un volume de liquide laisse a lui-meme en etat d’apesanteur et sans recipient atendance a se mettre en boule, la sphere etantla forme ou la surface est minimum pour un vo-lume donne.


Tension superficielle : applications

La tension superficielle permet aux insectes de marcher sur l’eau et a desobjets plus denses que l’eau, comme une aiguille en acier, de flotter.

L’objet s’enfonce legerement dans l’eau : sonpoids effectif FW est son poids veritable moins laforce de poussee du liquide. Lorsque l’objet estspherique, la tension superficielle γ s’exerce entout point le long d’un cercle de rayon r. Seule lacomposante verticale γ cos θ agit pour compenserFW . Ainsi la force nette ascendante attribuable ala tension superficielle est :

F = (γ cos θ)L = 2πrγ cos θ

Les savons et les detergents diminuent la tension superficielle de l’eau, ce quis’avere fort utile pour les lavages.


Loi de LaplaceDecoupons dans une membrane liquide un element de surface ∆x, ∆y. Cetelement est soumis a 4 tensions superficielles et a une force normale duea la difference de pression entre les 2 surfaces ∆P = Pi − Pe, soitF = ∆P ∆x ∆y. Cette force est ⊥ a la surface et est equilibree par les4 tensions dont la resultante doit etre opposee a ~F . (Une surface quelconqueest caracterisee par 2 rayons de courbures R1 6= R2.)

La projection d’une tension selon la direc-tion de ~F vaut : 2γ∆x tan θ et tan θ ∼∆y/2R1

(meme expression selon R2).L’equilibre pour les 4 tensions s’exprimepar :

∆P ∆x ∆y = 2 γ∆x ∆y (1

R1

+1

R2

)

∆P = 2 γ (1

R1

+1

R2

) Loi de Laplace

Pour une sphere (bulle de savon) de rayon R (R1 = R2), ∆P = 4 γR

. Lapression interne est d’autant plus grande que R est petit ; une petite bulle, encontact avec une grosse, va gonfler la grosse et disparaıtre. Pour une gouttespherique, la surface ne presente plus qu’une face, alors ∆P = 2 γ

R.


La capillarit e : Angle de contact

L’angle de contact, θ, est le resultat de la competition entre les forces decohesion des molecules du liquide et les forces d’adhesion entre les moleculesdu liquide et celles du solide.

Interface θ[◦]Eau- verre 0

Ethanol - Verre propre 0Mercure -Verre propre 140

Eau -paraffine 107

Si θ < π/2, le liquide est mouillantet monte vers une paroi verticale (lesmolecules du liquide sont plus attireespar le solide que par le liquide).Si θ > π/2, le liquide est non-mouillant et fait une depressioncontre une paroi verticale.Ces valeurs dependent non seule-ment des materiaux en presence,mais encore de leur purete (undetergent dans l’eau modifiecompletement sa tension superfi-cielle) et de la temperature.


La Capillarit e

L’ascension et la depression d’un liquide dans un tube capillaire (tube de faiblediametre) sont appelees phenomenes de capillarite. Le degr e d’ elevation (ouabaissement) est li e a la tension superficielle, a l’angle de contact et aurayon du tube.La tension superficielle γ agit avec un angle θ autour d’un cercle derayon r. La grandeur de la force verticale due a cette tension vaut :

Fv = 2 π r γ cos θ

Cette force est exactement com-pensee par le poids du liquide en-dessous, soit FW = ρgV = ρgπ r2h.A l’equilibre, Fv = FW :

2 π r γ cos θ = ρ g π r2 h

h =2γ cos θ

ρgrLoi de Jurin

Si θ = 90◦, alors h = 0. Si θ > 90◦, cos θ et h < 0 : il y a depression.Les effets de capillarite sont plus grands pour les faibles valeurs de r.


Ecoulement d’un fluide parfait

Les experiences menees par O.Reynolds en 1883 ont montre qu’il y avait 2regimes distincts d’ecoulement : laminaire et turbulent .

Ecoulement laminaire– Si un fluide se deplace de facon

que sa vitesse en tout point resteconstante en module et en direction,on a un ecoulement regulier. C’est unecoulement lent.

– La vitesse peut etre differente endifferents points.

– On a des lignes de courant . La tan-gente est dans la meme direction que lavitesse, si bien que 2 lignes de courantne peuvent se croiser, car au point derencontre une particule du fluide aurait2 vitesses differentes.

– Les lignes de courant sont plusserr ees l a ou la vitesse est plusgrande.


Ecoulement d’un fluide parfaitEcoulement turbulent

– L’ecoulement turbulent correspond a unmouvement irregulier chaotique et variable.

– Un fluide reel ne peut pas toujours suivre lasurface d’un solide ; il forme alors derrierel’obstacle un fouillis de tourbillons qui consti-tuent l’ecoulement turbulent.

– Lorsque la vitesse d’ecoulement augmente,son aptitude a suivre les contours d’un obs-tacle solide diminue encore. Il s’eloigne dela surface de l’obstacle et forme derriere luides turbulences qui emporte l’energie.

– L’ecoulement d’un fluide reel depend ausside sa viscosite. La couche du fluide qui esten contact avec la paroi solide adhere etreste immobile par rapport a la paroi.


Equation de continuit eLa constance de la masse volumique d’un liquide est la base d’une relationfondamentale qui nous permet de comprendre comment un liquide s’ecouledans les tuyaux et les veines. Considerons un tube de courant dans un fluideen ecoulement laminaire. Le fluide entre par l’element de tube 1 de section A1

et sort par l’element de tube 2 de section A2. Pendant un intervalle de temps∆t, les molecules entrant dans le tube traversent une distance v1∆t et lesparticules sortant une distance v2∆t (v1 et v2 sont les vitesses moyennes dufluide en 1 et en 2). Puisque les volumes entrant et sortant sont les memes :

(A1v1∆t) = (A2v2∆t)

A1 v1 = A2 v2

Ceci est l’ equation de continuit e.Si la section du tube augmente, la vitessed’ecoulement diminue et vice-versa.Le produit A v, qui est constant dans un tubede courant, est le debit volumique, J :

J = A v =∆ V

∆ t


Exemple : Ecoulement d’un robinet

Vous avez surement remarque que juste au sortir d’un robinet, la section dutube de courant d’eau est plus large que quelques centimetres plus bas. Pour-quoi ? Prenez Ao = 1, 2cm2, et A = 0, 35cm2. Les 2 mesures sont separeesd’une distance h = 45mm.

SOLUTION : l’equation de continuite donne :

Ao vo = A v

avec v, vo les vitesses respectives. Mais l’eaus’ecoule librement sous l’effet de la gravita-tion, soit :

v2 = v2o + 2gh

En eliminant v entre ces 2 equations, on obtient pour vo :

vo =

√√√√√√√√2ghA2

A2o − A2

=

√√√√√√√√(2)(9, 81m/s2)(0, 045m)(0, 35cm2)2

(1, 2cm2)2 − (0, 35cm2)2= 0, 286m/s

Le debit volumique J vaut alors :

J = Ao vo = (1, 2cm2)(28, 6cm/s) = 34cm3/s


Exemple : Circulation du sangLe sang est pompe vers l’exterieur du coeur dans l’aorte, un tube aux paroisepaisses (2mm) et de diametre interieur 18mm, a une vitesse moyenne de0,33 m/s, dans le cas d’un adulte au repos. (a) Calculer le debit. L’aorte sedivise en 32 grandes arteres, approximativement de meme taille, environ 4mm de diametre interieur. (b) Quelle est la vitesse du sang dans ces arteres.Les plus petites branches du systeme sont les capillaires, de diametre interieurproche de 8 ×10−6m. (c) Sachant que la section totale de l’ensemble descapillaires est 2,5×105mm2, quelle est la vitesse du sang dans un capillaire ?SOLUTION : (a) Pour l’aorte (indice A)

JA = AAvA = π

DA

2

2

vA = π(9, 0 × 10−3m)2(0, 33m/s) = 8, 4 × 10−5m3/s

(b) L’aorte se divise en 32 arteres. Comme le debit a travers l’aorte est lememe qu’a travers l’ensemble des 32 arteres (indice a) JA = Ja = Aava

va =JA

Aa

=8, 4 × 10−5 m3/s

32π(Da/2)2= 0, 21m/s

(c) De meme, dans les capillaires (indice c) : JA = Jc = Ac vc

vc =JA

Ac

=8, 4 × 10−5 m3/s

2, 5 × 10−1m2= 3, 4 × 10−4m/s


Equation de BernoulliElle decoule du principe de conservation de l’energie, d’apres lequel le travailfourni a un fluide lors de son ecoulement d’un endroit vers un autre est egal ala variation de son energie mecanique (fluide incompressible, non-visqueux,ecoulement laminaire et stationnaire) : ∆W = ∆Ec + ∆Ep .Un fluide sous pression contient de l’energie car un travail sur lui a etenecessaire pour etablir la pression. Un fluide dont la pression varie subit unevariation d’energie.La pression agissant sur un element de volume de ce fluide en mouvementexerce un travail sur lui, qui se traduit par une variation de son energiecinetique,Ec, ou de son energie potentielle,Ep .


Equation de Bernoulli– Travail fourni au fluide ∆W

∆W = F1∆l1 − F2∆l2 = P1 A1∆l1 − P2 A2∆l2

Comme ∆l1 = v1∆t et ∆l2 = v2∆t

∆W = P1 A1 v1∆t − P2 A2 v2∆t

Avec l’equation de continuite : A1 v1 = A2 v2 = A v

∆W = v A ∆t(P1 − P2)

La masse de l’element de volume deplace :∆m = ρ∆V = ρ(A v ∆t)

∆W = (∆m

ρ)(P1 − P2)

– Variation d’energie cinetique

∆Ec =1

2∆m(v2

2 − v21)

– Variation d’energie potentielle gravitationnelle

∆Ep = ∆m g (y2 − y1)


Equation de Bernoulli

D’apres les 3 dernieres equations, nous obtenons : ∆W = ∆Ec + ∆Ep

(∆m

ρ)(P1 − P2) =

1

2∆m(v2

2 − v21) + ∆m g (y2 − y1)

(P1 − P2) =1

2ρ(v2

2 − v21) + ρg(y2 − y1)

P1 +1

2ρ v2

1 + ρ g y1 = P2 +1

2ρ v2

2 + ρ g y2

Le long d’une ligne de courant, un fluide parfait en ecoulement regulier etlaminaire obeit au theoreme de Bernoulli :

P +1

2ρ v2 + ρ g y = Ctte

Chaque terme a les dimensions d’une energie par unit e de volume oudensit e d’ energie. Cas particulier pour un fluide au repos, v1 = v2 :

P1 − P2 = ρg(y2 − y1)

On retrouve que la pression est la meme en tous points situes a la memeprofondeur quelle soit la forme et le volume du recipient.


Exemple

L’eau, qui circule a travers une maison dans un systeme de chauffage a l’eauchaude, est pompee a une vitesse de 0,50 m/s par un tuyau mesurant 4,0cmde diametre et place dans la cave a une pression de 3,0 atm. Determiner lapression dans un tuyau d’un diametre de 2,6 cm situe a l’etage, a 5,0m au-dessus de la cave.SOLUTION : On calcule d’abord v2 la vitesse de l’eau a l’etage :

v2 =v1A1

A2

= (0, 50m/s)(π)(0, 020m)2

(π)(0, 013m)2= 1, 2m/s

Pour obtenir la pression, P2, on se sert de Bernoulli : P2 + ρgy2 + 12ρv2

2 =

P1 + ρgy1 + 12ρv2

1

P2 = P1 + ρg(y1 − y2) +1

2ρ(v2

1 − v22)

= (3, 0 × 105N/m2) + (1, 0 × 103kg/m3)(9, 81m/s2)(−5, 0m)

+1

2(1, 0 × 103kg/m3)[(0, 50m/s)2 − (1, 2m/s)2]

= 3, 0 × 105N/m2 − 4, 9 × 104N/m2 − 6, 0 × 102N/m2 = 2, 5 × 105N/m2


Experience de Torricelli

Un liquide coulant a l’air libre est a la pression atmospherique, P2 = PA

P +1

2ρ v2

1 + ρ g h = PA +1

2ρ v2

2

v22 = v2

1 +2(P − PA)

ρ+ 2gh

De l’equation de continuite, si A1 � A2, v2 � v1 , v21 est negligeable devant

v22. Si le reservoir est a l’air libre, P = PA

v2 =√2gh

Si le frottement est negligeable, le liquide jaillit de l’ouverture avec une vitesseegale a celle qu’il aurait gagnee en chute libre a partir de la hauteur h.


Effet Venturi

Certaines applications pratiques de l’hydrodynamique des fluidesresultent de l’interd ependance de la pression et de la vitesse. Regardonsle cas ou la variation d’energie potentielle gravitationnelle est negligeable. Soitun tube horizontal presentant un retrecissement (A1 > A2) :

P1 +1

2ρv2

1 + ρ g y1 = P2 +1

2ρv2

2 + ρ g y2

P1 +1

2ρv2

1 = P2 +1

2ρ v2

2

Comme A1 v1 = A2 v2, eliminons v2

P1 +1

2ρv2

1 = P2 +1

2ρ (

A1 v1

A2

)2

P1 − P2 =1

2ρ v2

1 (A2

1 − A22

A22

) → P1 ≥ P2

Une partie du liquide, forc ee a se deplacer plus rapidement, est le si eged’une pression inf erieure a celle d’une partie du fluide qui se d eplacelentement.Universite de Geneve 9 -46 C. Leluc

Effet Venturi : exemples

– Deux navires amarres dans un courant ou voguantcote a cote. La deflexion des lignes de courant entreles 2 navires produit une chute de pression et les 2navires eprouvent une force qui les pousse l’un versl’autre. Vous avez le meme phenomene quand uncamion passe a cote d’une voiture ; cela donne auconducteur de la voiture l’impression d’etre attire parle camion.

– L’arteriosclerose survient quand une plaque se formesur les parois interieures des arteres, genant le fluxsanguin. Il en resulte une chute de tension par effetventuri. L’artere peut a la longue se fermer momen-tanement. La tension arterielle du sang l’ouvre pourse fermer a nouveau : il en resulte une palpitation vas-culaire.

– Arrachage des toits lors d’une tempete : le vent souffle a une vitesse de198km/h (55 m/s) sur le toit d’une maison. La difference de pression entrel’interieur et l’exterieur vaut : Patm−Pext = 1

2ρv2 = 1815N. Ce qui engendre

sur un toit de 90 m2 une force de 163350 N, qui le soulevera.


Equation de Bernoulli : ExempleSoit une cuve ouverte destinee a la fabrication de la biere de masse volu-mique ρ = 1, 0 × 103kg/m3 et un tuyau pour en prendre des echantillons. Aun instant donne, le niveau du liquide baisse a la vitesse 1,0 cm/s tandis quela biere coule a la vitesse 50 cm/s au niveau du manometre. Quelle est a cetinstant la pression absolue en ce point du tuyau ?

Prenons le niveau de reference pour l’energie potentielleau niveau du manometre (y2 = 0, y1 = h = 2, 0 m)

P1 +1

2ρv2

1 + ρ g y1 = P2 +1

2ρv2

2 + ρ g y2

Patm +1

2ρv2

1 + ρgh = P2 +1

2ρ v2

2 + 0

P2 = Patm +1

2ρ(v2

1 − v22) + ρ g h

P2 = 1, 013 × 105Pa +1

2(1, 0 × 103kg/m3) × [(0, 01m/s)2 − (0, 5m/s)2]

+(1, 0 × 103kg/m3)(9, 81m/s2)(2, 0m)

= 1, 013 × 105Pa − 1, 25 × 102Pa + 1, 96 × 104Pa = 1, 2 × 105Pa


Mesure de la tension art erielle

Pendant un cycle cardiaque complet, la pression dans le coeur et le systemecirculatoire passe par un maximum (phase de pompage du coeur) et par un mi-nimum (sang renvoye par les veines). On mesure ces pressions extremes. Sonprincipe est base sur le fait que l’ecoulement sanguin dans les arteres n’estpas toujours laminaire. L’ecoulement devient turbulent quand les arteres sontcomprimees. Il est alors bruyant et peut etre percu au moyen d’un stethoscope.

Rapport systolique/diastolique :120/80 en mm Hg


Tension art erielle : exemple

Calculer la puissance utile moyenne du coeur humain au repos. On supposeque la pression moyenne de sortie, Pm, est 1,33×104Pa (100 mm Hg) et ledebit, J , est 5,0 litres par minute. Comparer votre resultat avec le fait que lecoeur consomme de l’energie a raison d’environ 10 joules toutes les secondes.

SOLUTION : Mettons les donnees en unites SI : 1 litre=103cm3 = 103 ×(10−2)3m3 = 0, 001m3, alors

J = 5, 0 litre/mn = (5, 0 litre/mn)(0, 001m3/litre)(1/60s/mn) = 8, 33 × 10−5m3/s

La force qui fait le travail, est F = PmS et la puissance developpee est

P = Fv = PmSv = PmJ

Ce sang est pris a une pression manometrique presque nulle et envoye a unepression moyenne d’environ 1,33×104Pa. Par consequent

P = Pm J = (1, 33 × 104Pa)(8, 33 × 10−5m3/s) = 1, 1W

ce qui correspond a un rendement de l’ordre de 10%.


Les fluides r eels : la viscosit e

Les fluides reels (liquides et gaz) en mouvement presentent toujours deseffets lies aux forces de frottement interne caracterisees par la viscosit e dufluide. Meme si l’ecoulement s’effectue a vitesse constante, une force ~F estnecessaire pour vaincre les contraintes de cisaillement σ entre les couchesde fluide de surface laterale A. C’est une force de frottement s’exercant entreles differentes couches d’un fluide alors qu’elles glissent les unes contre lesautres.

Pour les liquides, cette force est attribuable aux forces de cohesion qui existentau niveau moleculaire tandis que pour les gaz, elle provient de collisions entreles molecules.

Le degre de viscosite varie selon les fluides (sirop est plus visqueux que l’eau).Cette propriete des fluides s’exprime de facon quantitative par le coefficientde viscosit e, η.


Les fluides r eels : la viscosit eSoit une mince couche de fluide d’epaisseur dy entre 2 plaques dont l’uneest immobile et l’autre de surface A est mobile. Le fluide en contact avec lesplaques s’attache a leur surface a cause des forces adhesives qui s’exercententre ses molecules et celles de chaque plaque. Si une force constante F estappliquee, la plaque accelere d’abord puis atteint une vitesse constante limite,vx, lorsque la force appliquee est contrebalancee par la force de viscosite. Lasurface superieure du liquide se deplace a la meme vitesse vx que la plaque.La partie inferieure reste fixe et ralentit l’ecoulement de la couche juste au-dessus et ainsi de suite. La vitesse a l’interieur du liquide varie donc de 0 a vx.Cette variation divisee par la distance sur la-quelle elle s’effectue s’appelle gradient de vi-tesse : dvx/dy. La force de viscosite, Fv, vaut :

Fv α Advx

dy= η A

dvx

dy

ou η est le coefficient de viscosit e qui s’ex-prime en Newton·s/m2 ou Pascal seconde(Pa·s).


Les fluides r eels : la viscosit e

Les liquides sont en general plus visqueux que les gaz.

La viscosite des liquides augmente en general quand la temperature diminue.Les gaz deviennent au contraire moins visqueux lorsque la temperature dimi-nue.

Temp(◦C) ηRicin (Pa·s) ηEau (Pa·s) ηAir (Pa·s) ηSang (Pa·s)0 5,3 1, 792 × 10−3 1, 71 × 10−5

20 0,986 1, 005 × 10−3 1, 81 × 10−5 3, 015 × 10−3

37 0, 695 × 10−3 1, 87 × 10−5 2, 084 × 10−3

60 0,080 0, 469 × 10−3 2, 00 × 10−5

80 0,030 0, 357 × 10−3 2, 09 × 10−5

100 0,017 0, 284 × 10−3 2, 18 × 10−5


Ecoulement laminaire dans un tuyau cylindrique

– en a) cas d’un fluide parfait (η = 0). Il pourrait couler dans un tuyau deniveau sans l’intervention d’une force. La pression ne change pas le long dutube tant que la section est constante (Theoreme de Bernoulli).

– en b) cas d’un fluide visqueux (η 6= 0). La presence de viscosite requiert unedifference de pression entre les extremites d’un tube pour que les fluidesreels aient un ecoulement regulier. La pression diminue le long du tube acause du travail depense pour compenser l’effet des forces de frottement.On appelle perte de charge cette difference de pression ∆P .

Un fluide de masse volumique ρ et de vis-cosite η s’ecoule vers la droite de manierereguliere dans un tube de rayon R. La varia-tion de vitesse du fluide d’un cote a l’autre dutube est indiquee par les fleches.


Ecoulement laminaire dans un tuyau cylindrique : la vitesseDecoupons a l’interieur un cylindre de fluide de rayon r (r < R), de longueurL. La force due a la difference de pression s’ecrit :

F = (P1 − P2) πr2

La force de viscosite ralentissant le mouvement du cylindre :

Fv = −η(2π r L)(dv

dr)

Comme le fluide s’ecoule de facon reguliere, il n’y a aucune acceleration, ces2 forces doivent s’equilibrer : −η(2π r L)(dv

dr) = (P1 − P2) πr2

dv

dr= −

(P1 − P2) r

2ηL∫ vx

0 dv = −P1 − P2

2η L

∫ rR r dr

v(r) = −P1 − P2

2 η L

r2

2

r

R

=P1 − P2

4 η L(R2 − r2)

C’est une parabole dont le sommet est situe sur l’axe central. La vitesse estmaxima au centre du tuyau et vaut : vmax = v(r = 0) = (P1 −P2)R

2/(4ηL)


Ecoulement laminaire dans un tuyau cylindrique : le d ebitComme la vitesse n’est pas constante, on ne peut pas ecrire simplementpour le debit : J = A v. Divisons une section du tube en minces anneauxd’epaisseur dr. L’aire d’un anneau vaut : dA = 2 π r dr et a l’interieur de cetanneau la vitesse est constante car elle ne depend que de r.Le debit volumique transporte dans cet anneau d’epaisseur dr est donc :

dJ = v(r) dA =P1 − P2

4 η L(R2 − r2) 2πr dr

En integrant sur tous les anneaux :

J =∫ R0 dJ =

π (P1 − P2)

2η L

∫ R0 (R2 r − r3) dr

J =π (P1 − P2)

2η L

R2r2

2−

r4

4

R

0

J =π (P1 − P2)R

4

8η LLoi de Poiseuille

Le debit depend de la quatri eme puissance du rayon du tube. Si pour ungradient de pression donne, le rayon double, le debit s’accroit d’un facteur 16 !


Ecoulement laminaire dans un tuyau cylindrique– La vitesse moyenne, vm se definit comme la vitesse, uniforme sur toute la

section du tube, qui donnerait le meme debit volumique : J = vm A ouA = πR2

vm =J

A=

P1 − P2

8ηLR2 =

vmax

2

La perte de charge par unit e de longueur , P1 −P2L

= ∆PL

= 8ηR2 vm, est

proportionnelle a la vitesse moyenne en regime laminaire.– la r esistance a l’ ecoulement ou resistance vasculaire (en physiologie)

Rf =∆P

J=

8ηL

πR4.

difficile a calculer directement, mais s’obtient indirectement par des mesuresde ∆P et J .

– dissipation de l’ energie m ecaniqueLa resultante des forces appliquees a une tranche de fluide est egale a :F = (P1 − P2) A = A ∆P . La puissance requise pour maintenir leregime stationnaire d’ecoulement est : Π = F vm = ∆P A vm = ∆P J ,soit

Π = ∆P (πR2) vm [tube cylindrique]Universite de Geneve 9 -57 C. Leluc

Nombre de Reynolds

Les lois de Poiseuille ne sont valables que pour l’ecoulement laminaire.L’ecoulement est toutefois frequemment turbulent, mais ce dernier est diffi-cile a analyser. C’est pourquoi on utilise une regle empirique pour determinerle type d’ecoulement d’un fluide reel. Selon la valeur d’un nombre sans dimen-sion appele, le nombre de Reynolds, NR, defini par :

NR =ρ vm D

η[sans dimension]

avec vm : vitesse moyenne d’ecoulement, D : diametre du tuyau et ρ la massevolumique du fluide– si NR < 2000, l’ecoulement est laminaire– si NR > 3000, l’ecoulement est turbulent . Ce type d’ecoulement est a

eviter car il dissipe plus d’energie mecanique que l’ecoulement laminaire.Applications : aerodynamisme des voitures, des avions, ecoulement dansles vaisseaux sanguins.

N cR = 2000 est le nombre de Reynolds critique qui correspond a la limite

de stabilite du regime laminaire et a la vitesse moyenne critique, vcm = η

ρDN c

R.L’ecoulement de la circulation sanguine est laminaire (silencieux) sauf pres desvalves cardiaques ou il est turbulent (bruyant).


EXEMPLE : Ecoulement laminaire dans une art ereLe rayon interieur d’une grosse artere d’un chien est de 4mm. Le debit sanguinest de 1 cm3/s. Prenez η = 2, 084 × 10−3Pa · s et ρ = 1, 050 × 103 kg/m3.– a) Calculer la vitesse moyenne,vm :

vm =J

A=

J

πR2=

10−6m3/s

π(4 × 10−3m)2= 1, 99 × 10−2m/s

– b) Calculer la perte de charge sur une distance de 10 cm :

∆P =8ηLvm

R2=

8(2, 084 × 10−3Pa · s)

(4 × 10−3m)2(0, 1m)(1, 99 × 10−2m/s) = 2, 07Pa

– c) Calculer la puissance dissipee, Π = ∆P (πR2)vm

Π = (2, 07 Pa)π(4 × 10−3m)2(1, 99 × 10−2m/s) = 2, 07 × 10−6W

– d) Trouver le nombre de Reynolds. Determiner si l’ecoulement est bien lami-naire ?

NR =(1, 050 × 103kg/m3)

(2, 084 × 10−3Pa · s)× (1, 99 × 10−2m/s) (2) (4 × 10−3m) = 80, 9

L’ecoulement est laminaire car NR est inferieur a 2000.


Ecoulement turbulent dans un tuyau cylindrique

Dans un ecoulement turbulent, la distribution des vitesses n’est plus parabo-lique et pour le meme gradient de pression, le debit est plus faible car la pertede charge est plus elevee que dans l’ecoulement laminaire.

Cet ecoulement est donne par la formule de Blazius . La perte de charge parunite de longueur est :

∆P

L= λ

ρ v2m

2 R

avec λ = 0, 133 N−0,25R .

En regime turbulent, la perte de charge est donc proportionnelle a v2m.


Ecoulement illimit e autour d’un obstacle

Lorsqu’un objet se deplace par rapport au fluide, ce fluide exerce sur lui uneforce, appelee force de r esistance , attribuable a la viscosite du fluide et agrandes vitesses, a la turbulence qui se produit derriere l’objet.1) Pour un ecoulement laminaire , la force de resistance est directement pro-portionnelle a la vitesse du fluide loin de l’objet v∞, soit Fv = k v∞. Lagrandeur de k depend de la taille et de la forme de l’objet ainsi que du degrede viscosite du fluide. Dans le cas d’une sphere de rayon R, k = 6πRη :

Fv = 6 π R η v∞ Loi de Stokes

Soit un objet de masse m, de volume V et demasse volumique ρ qui tombe dans un fluide(ρf ) sous l’action de la gravitation. La force degravitation vaut : FW = m g = ρ V g,la force de poussee du fluide : FA = ρf V g,et la force de resistance : Fv = k v∞.La 2eme loi de Newton donne :

ma = mg − FA − Fv = (ρ − ρf)V g − kv∞


Ecoulement illimit e autour d’un obstacleQuand l’acceleration devient nulle, la vitesse n’augmente plus : on atteint lavitesse limite ou vitesse de s edimentation :

v∞ → vl =(ρ − ρf) V g

k

vl =2

9

R2

ηg (ρ − ρf) pour une sphere

Les corps de petites dimensions, comme les macromolecules, ont une vitessede sedimentation tres faible qui peut etre augmentee a l’aide d’une centrifu-geuse. Cet appareil exerce sur les particules une force centripete qui a poureffet d’augmenter leur acceleration gravitationelle d’une valeur correspondanta ω2r, ω : vitesse angulaire du rotor, r distance entre l’objet et l’axe de rota-tion. On peut remplacer g par ω2r dans la formule precedente.2) Pour un ecoulement turbulent , a vitesse plus elevee, il y a formation detourbillons en arriere de l’obstacle qui entraınent l’apparition d’une force deresistance a l’ecoulement proportionelle a v2

∞

Fv = Cx

ρv2∞

2A

ou Cx est un nombre sans dimension qui depend de la forme geometrique del’obstacle (coefficient d’aerodynamisme).Universite de Geneve 9 -62 C. Leluc

Exemple : Ecoulement illimit e autour d’un obstacle

(a) Quelle est la vitesse de sedimentation d’une particule de poussiere derayon 10−5m et de masse volumique 2000 kg/m3 ? La temperature de l’air estde 20◦C. (b) Trouver la valeur de la force de resistance a cette vitesse.

SOLUTION : (a) A 20◦C, ρair = ρf = 1, 21kg/m3, ce qui est negligeableen comparaison avec celle de la particule. La viscosite de l’air est de 1,81×10−5Pa·s. Supposons que l’on puisse appliquer la Loi de Stokes, vl =29

R2

ηg(ρ − ρf)

vl =2

9

(10−5m)2

(1, 81 × 10−5Pa · s)× (9, 81m/s2)(2 × 103kg/m3) = 2, 41 × 10−2m/s

(b) La force de resistance due a la viscosite de l’air vaut : Fv = 6πRvlη

6π(10−5m)(2, 41 × 10−2m/s)(1, 81 × 10−5Pa · s) = 8, 23 × 10−11N


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